实验5matlab自定义函数与导数应用(精)
实验5 matlab 自定义函数与导数应用
实验目的
１．学习matlab 自定义函数.
２．加深理解罗必塔法则、极值、最值、单调性.
实验内容
１．学习matlab 自定义函数及求函数最小值命令.
函数关系是指变量之间的对应法则，这种对应法则需要我们告诉计算机，这样，当我们输入自变量时，计算机才会给出函数值，matlab 软件包含了大量的函数，比如常用的正弦、余弦函数等.matlab 允许用户自定义函数，即允许用户将自己的新函数加到已存在的matlab 函数库中，显然这为matlab 提供了扩展的功能，无庸置疑，这也正是matlab 的精髓所在.因为matlab 的强大功能就源于这种为解决用户特殊问题的需要而创建新函数的能力.matlab 自定义函数是一个指令集合，第一行必须以单词function 作为引导词，存为具有扩展名“.m ”的文件，故称之为函数M －文件.
函数M －文件的定义格式为：
function 输出参数＝函数名（输入参数）
函数体
……
函数体
一旦函数被定义，就必须将其存为M －文件，以便今后可随时调用.比如我们希望建立函数12)(2++=x x x f ，在matlab 工作区中输入命令：
syms x ；y=x^2+2*x+1；
不能建立函数关系，只建立了一个变量名为y 的符号表达式，当我们调用y 时，将返回这一表达式.
y ?
y=x^2+2*x+1
当给出x 的值时，matlab 不能给出相应的函数值来.
x=3；y ?
y=x^2+2*x+1
如果我们先给x 赋值.
x=3；y=x^2+2*x+1
得结果：y=16
若希望得出2|=x y 的值，输入：
x=2；y ?
得结果：y=16，不是2=x 时的值.读者从这里已经领悟到在matlab 工作区中输入命令：y=x^2+2*x+1不能建立函数关系，如何建立函数关系呢？我们可以点选菜单Fill\New\M-fill 打开matlab 文本编辑器，输入：
function y=f1(x)
y=x^2+2*x+1；
存为f1.m .调用该函数时，输入：
syms x ；y=f1(x)?
得结果：y= x^2+2*x+1.输入:
y1=f1(3)?
得结果：y1=16
matlab 求最小值命令fmin 调用格式：
fmin(‘fun’，a ，b) 给出)(x f 在),(b a 上的最小值点.
２．自定义函数
例5.1.建立正态分布的密度函数
222)(21),.,(σμ--
σπ=μσx e x f
解：打开文本编辑器，输入：
function y=zhengtai(x ，a ，b)
y=1/sqrt(2*pi)/a*exp(-(x-b).^2/2/a^2)；
存为zhengtai.m .调用时可输入命令：
y=zhengtai(1，1，0)
得结果：y=0.2420.此即)0,1,1(f 的值.如果想画出标准正态分布的密度函数的图象，输入： ezplot(zhengtai(x ，1，0))
例5.2.解一元二次方程02=++c bx ax .
解：我们希望当输入c b a ,,的值时，计算机能给出方程的两个根.在文本编辑器中建立名为rootquad.m 的文件.
function [x1，x2]=rootquad(a ，b ，c)
d=b*b-4*a*c ；
x1=(-b+sqrt(d))/(2*a)
x2=(-b-sqrt(d))/(2*a)
比如求方程07322=-+x x 的根，可用语句：
[r1，r2]=rootquad(2，3，-7)
得结果：r1=1.2656
r2=-2.7656
２．验证罗必塔法则. 罗必塔法则是指在求00及∞
∞的极限时，可用导数之比的极限来计算（如果导数之比的极限存在或∞）
例5.3.以x
b a x x x -→0lim 为例验证罗必塔法则. 解：这是0
0型极限 f=a^x-b^x ；g=x ；L=limit(f/g ，x ，0)
得结果：L=log(a)-log(b)
df=diff(f ，x)；dg=diff(g ，x)；L1=limit(df/dg ，x ，0)
得结果：L1=log(a)-log(b)
从结果看出：L=L1，即
x
b a x x x -→0lim =x b a x x x '-→'0)(lim ４．函数的单调性与极值.
例5.4.求函数396)(23++-=x x x x f 的单调区间与极值.
解：求可导函数的单调区间与极值，就是求导函数的正负区间与正负区间的分界点，利用matlab 解决该问题，我们可以先求出导函数的零点，再画出函数图象，根据图象可以直观看出函数的单调区间与极值．输入命令：
f=x^3-6*x^2+9*x+3；df=diff(f ，x)；s=solve(df)
得结果：ans=[1，3]，画出函数图象．
ezplot(f ，[0，4])
从图上看，)(x f 的单调增区间为)1,(-∞、),1(+∞，单调减区间是)3,1(，极大值7)1(=f ，极小值3)3(=f .
我们可以建立一个名为dandiao.m 的M —文件，用来求求函数的单调区间.
disp(‘输入函数（自变量为x ）’)
syms x
f=input('函数f(x)=')
df=diff(f)；
s=solve(df)
a=[]；
for i=1:size(s)；
a(i)=s(i)； end
ezplot(f ，[min(a)-1，max(a)+1])
要求函数)1ln(x x y +-=的单调区间与极值，可调用dandiao.m .输入：
dandiao ?
在matlab 工作区出现以下提示：
输入函数（自变量为x ）
函数f(x)=
在光标处输入：x-log(1+x)，可得结果s=0.从图上看，)(x f 的单调增区间为),0(+∞，单调减区间是)0,(-∞，极小值0)0(=f .
５．函数的最值
调用求函数最小值命令fmin 时，可得出函数的最小值点，为求最小值，必须建立函数M —文件.
例5.5.求函数1)3()(2--=x x f 在区间)5,0(上的最小值.
解：我们可以建立一个名为f.m 的函数M －文件.
function y=f(x)
y=(x-3).^2-1；
并且调用fmin
x=fmin((‘f’，0，5)
得：x=3，)(x f 在最小值点处的值（函数最小值）是1)3(-=f . 求最大值时可用x=fmin(‘-f(x)’，a ，b)
练习
1.建立函数x x a a x f 3sin 31sin ),(+=，当a 为何值时，该函数在3π=x 处取得极值，它是极大值还是极小值，并求此极值.
2.确定下列函数的单调区间.
（1）7186223---=x x x y （2）)0(8
2>+=x x x y
（3）)1ln(2x x y ++= （4）3)1)(1(+-=x x y
3.求下列函数的最大值、最小值.
（1）2
332x x y -=41≤≤-x （2）312
824≤≤-+-=x x x y
第13讲 函数与导数之导数及其应用(学生版)
第13讲 函数与导数之导数及其应用 一． 基础知识回顾 1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商 ＝Δy Δx 称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率 通 常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即 ． (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0)) 的 ．导函数y ＝f ′(x )的值域即为 ． 3．函数f (x )的导函数：如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开 区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作 ． 4．基本初等函数的导数公式表（右表） 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )g (x )]′＝ ； (3)????f (x )g (x )′= [g (x )≠0]． 5．导数和函数单调性的关系：(1)若f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是 函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ， b )上是 函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间(3)若在(a ，b )上， f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为 函数，若在 (a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为 函 数． 6．函数的极值：(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果 在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧 ， 右侧 ，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求方程 的根；③检查f ′(x )在方程 的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处 取得 ；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得 ． 7．函数的最值：(1)函数f (x )在[a ，b ]上必有最值的条件如果函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ] 上 ，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步 骤：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的 ；②将函数y ＝f (x )的各极值与 比较，其中最大 的一个是最大值，最小的一个是最小值． 二．典例精析 探究点一：导数的运算 例1：求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )? ???1＋1x ； (2)y ＝ln x x ；(3)y ＝x e x ； (4)y ＝tan x .
高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系
高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1=
函数导数及其应用
函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 考纲要求：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用． [基础真题体验] 考查角度[求函数的定义域] 1．(2014·山东高考)函数f (x )＝1 log 2x －1的定义域为( ) A ．(0,2) B ．(0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞) 【解析】 要使函数有意义，则?? ? x >0， log 2x －1>0， 解得x >2. 【答案】 C 2．(2012·广东高考)函数y ＝x ＋1 x 的定义域为______． 【解析】 要使函数有意义，需????? x ＋1≥0，x ≠0.解得????? x ≥－1， x ≠0. ∴原函数的定义域为{x |x ≥－1且x ≠0}． 【答案】 {x |x ≥－1且x ≠0} 考查角度[函数的表示方法] 3．(2013·安徽高考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________. 【解析】 设－1≤x ≤0，则0≤x ＋1≤1，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－x (x ＋1)．又因为f (x
＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝f (x ＋1)2＝－x (x ＋1) 2. 【答案】 －x (x ＋1) 2 考查角度[分段函数] 4．(2013·福建高考)已知函数f (x )＝??? 2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2 ，则f ? ???? f ? ????π4＝________. 【解析】 ∵π4∈??????0，π2，∴f ? ?? ??π4＝－tan π 4＝－1， ∴f ? ?? ?? f ? ????π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 【答案】 －2 [命题规律预测]
2019高考数学二轮复习第二编专题二函数与导数第2讲导数及其应用配套作业文
第2讲导数及其应用 配套作业 一、选择题 1．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝x 3 －3ax ＋14 ，若x 轴为曲线y ＝f (x )的切线，则a 的值为() A.12B ．－12 C ．－34D. 14 答案 D 解析 f ′(x )＝3x 2 －3a ，设切点坐标为(x 0,0)，则 ??? ?? x30－3ax0＋14＝0，3x2 0－3a ＝0，解得????? x0＝1 2，a ＝1 4， 故选D. 2．(2018·赣州一模)函数f (x )＝12 x 2 －ln x 的递减区间为() A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 B 解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝x －1 x ＝ x2－1 x ， 令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1， 故函数f (x )在(0,1)上递减．故选B. 3．(2018·安徽示范高中二模)已知f (x )＝ln x x ，则() A ．f (2)＞f (e)＞f (3) B ．f (3)＞f (e)＞f (2) C ．f (3)＞f (2)＞f (e) D ．f (e )＞f (3)＞f (2) 答案 D 解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)， 因为f ′(x )＝1－ln x x2 ，所以x ∈(0，e)，f ′(x )>0； x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0， 故x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)， 而f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 9 6 ， f (e)>f (3)>f (2)．故选D. 4．(2018·安徽芜湖模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1
导数及其应用教材分析
第三章导数教材分析 一、内容安排 本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分. 导数的初步知识.关键是导数概念的建立.这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义.然后讲述初等函数的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数. 这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”. 导数的应用，这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法.然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法*最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法. 微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分.一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的. 本章共9小节，教学课时约需18节（仅供参考） 3. 1导数的概念 ............. 约3课时 3. 2几种常见函数的导数........... 约1课时 3. 3函数的和、差、积、商的导数...... 约2课时 3. 4复合函数的导数............. 约2课时 3. 5对数函数与指数函数的导数....... 约2课时 3. 6函数的单调性............. 约1课时 3. 7函数的极值 ............. 约2课时 3. 8函数的最大值与最小值......... 约2课时 3. 9微积分建立的时代背景和历史意义....约1课时 小结与复习.............. 约2课时 二、教学目标 1?了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式：
(完整版)导数知识点总结及应用
《导数及其应用》知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为： 2121 ()() f x f x x x --。 2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ?无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x +?-?=??无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +?-?；（3）取极限，当x ?无限趋近与0时，00()() f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ，则 0()f x A '=. 4. 导数的几何意义： 函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。 当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： （1）()kx b k '+=(k , b 为常数)； （2）0C '=(C 为常数)； （3）()1x '=； （4）2()2x x '=； （5）32()3x x '=； （6）211()x x '=-； （7 ）'； （8）1()ααx αx -'=（α为常数）；
高中数学导数及其应用
高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义
（Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数， 这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率；
③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。 事实上，在点处的增量
导数及应用知识点
壹 导数及其应用知识点 【知识概要】 一、导数的概念和几何意义 ●1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为： 2121 ()() f x f x x x --。 ●2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ?无限趋近于0时，比值 00()() f x x f x y x x +?-?= ??无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 ●3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率： 00()() f x x f x x +?-?；（3）取极限，当x ?无限趋近与0时， 00()() f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=。 ●4. 导数的几何意义： 函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 000()()y y f x x x '-=-。 当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。 ●5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度， ()a v t '=表示瞬时加速度。
导数及其应用.知识框架
要求层次重难点 导数及其应用导数概念及其 几何意义 导数的概念 A 了解导数概念的实际背景； 理解导数的几何意义． 导数的几何意义 C 导数的运算 根据导数定义求函数y c =， y x =，2 y x =，3 y x =， 1 y x =， y x =的导数 C 能根据导数定义，求函数 23 y c y x y x y x ==== ，，，， 1 y y x x == ，（c为常数）的导数． 能利用给出的基本初等函数的导数公式 和导数的四则运算法则求简单函数的导 数，能求简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +的复合函数）的导数．导数的四则运算 C 简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +）的导数） B 导数公式表 C 导数在研究函 数中的应用 利用导数研究函数的单调性（其 中多项式函数不超过三次） C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导 数研究函数的单调性，会求函数的单调区 间（其中多项式函数一般不超过三次）． 了解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件；会用导数求函数的极大值、极 小值（其中多项式函数一般不超过三次）； 会求闭区间上函数的最大值、最小值（其 中多项式函数一般不超过三次）． 会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式 函数不超过三次） C 利用导数解决某些实际问题 B 定积分与微积 分基本定理 定积分的概念 A 了解定积分的实际背景，了解定积分的基 本思想，了解定积分的概念． 微积分基本定理 A 高考要求 模块框架 导数及其应用
了解微积分基本定理的含义． 一、导数的概念与几何意义 1．函数的平均变化率： 一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-， 则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y x x +?-?= ??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率． 注：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2．函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-． 如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作： “当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→”读作 “趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?”． 3．可导与导函数： 如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这 个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数． 4.导数的几何意义： 设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与 00(,())B x x f x x +?+?的一条割线．由此割线的斜率是00()() f x x f x y x x +?-?= ??，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即 000()()lim x f x x f x x ?→+?-=?切线AD 的斜率． 由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '． 知识内容 x 0x y x O D C B A
高中数学导数及其应用
高中数学导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点?１、导数定义的认知与应用； ?2、求导公式与运算法则的运用; ? 3、导数的几何意义； ?4、导数在研究函数单调性上的应用; ５、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。??三、知识要点? (一)导数?１、导数的概念?（1)导数的定义 （Ⅰ)设函数在点及其附近有定义,当自变量x在处有增量△x（△ｘ可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ,叫做函数在点到这间的平均变化率。如果
时,有极限,则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率）,记作 ,即 。 ?(Ⅱ）如果函数在开区间(）内每一点都可导，则说在开区间()内可导,此时,对于开区间(）内每一个确定的值 ,都对应着一个确定的导数 ,这样在开区间(）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间( )内的导函数(简称导数),记作或, 即。??认知： （Ⅰ)函数的导数是以ｘ为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值;在点处的导数是的导函数当 时的函数值。 （Ⅱ)求函数在点处的导数的三部曲: ①求函数的增量 ;? ②求平均变化率； ③求极限?上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。?? (2)导数的几何意义:?函数在点处的导数，是曲线在点 处的切线的斜率。? (3)函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别:?（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续;?若函数在开区间(）内可导,则在开区间（）内连续(可
导一定连续）。??事实上，若函数在点处可导，则有 此 时,? ? ? ?记 ,则有即在点处连续。?（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。?反例：在点处连续，但在点处无导数。 事实上，在点处的增量?当 时，, ；?当时，, 由此可知，不存在，故在点处不可导。??2、求导公式与 求导运算法则 （１）基本函数的导数(求导公式） 公式1 常数的导数：(c为常数），即常数的导数等于0。??公式2 幂函 数的导数:。? 公式3 正弦函数的导数:。??公式4 余弦函数的导数： ??公式5 对数函数的导数:? (Ⅰ)； ?（Ⅱ）
导数及其应用.导数的应用最值
导数及其应用.导数的应用最值 题型四：函数的最值 【例1】 函数3()31f x x x =-+在闭区间[30]-， 上的最大值和最小值分别是（ ） A ．11-， B ．117-， C ．317-， D ．919-， 【例2】 已知32()26f x x x a =-+（a 是常数）在[22]-， 上有最大值3，那么在[22]-，上的最小值是（ ） A ．5- B ．11- C ．29- D ．37- 【例3】 设函数1 ()20)f x x x x =+ < 则()f x 的最大值为 ． 【例4】 函数3()34([01])f x x x x =-∈，的最大值是（ ） A ．1 B ．1 2 C ．0 D ．1- 【例5】 设函数1 ()21(0)f x x x x =+ -<，则()f x （ ） A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 【例6】 对于函数()f x ，在使()f x M ≥恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最大值称为函 数()f x 的“下确界”，则函数22 1 ()(1)x f x x +=+的下确界为 ． 【例7】 设函数()y f x =在()-∞+∞， 内有定义．对于给定的正数K ，定义函数()()()()K f x f x K f x K f x K ?=?>? ≤， 取函数()2x f x x e -=--，若对任意的()x ∈-∞+∞， ，恒有()()K f x f x =，则（ ） A ．K 的最大值为2 B ．K 的最小值为2 C ．K 的最大值为1 D ．K 的最小值为1 【例8】 下列说法正确的是（ ） A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B ．函数在闭区间上的最大值一定是极大值 C ．满足()0f x '=的点可能不是函数的极值点 D ．函数()f x 在区间()a b ， 上一定存在最值 【例9】 函数42()25f x x x =-+在区间[22]-， 上的最大值是 ；最小值是 ． 【例10】 对于函数22e ,0 ()1 2,02 x x x f x x x x ??? =?-+>??≤，有下列命题： ①过该函数图象上一点()()2,2f --的切线的斜率为2 2 e - ；
高考数学考点归纳之导数及其应用(经典版)
高考数学考点 归纳之导数及其应用（经典版）
一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念
（1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做 在点处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间 （）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率；
③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。
导数及其应用课标解读
导数及其应用课标解读 1、整体定位 《标准》中对导数及其应用的整体定位如下： “微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。” 为了更好地理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题： （1）要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。 由于在中学阶段，学生没有学习极限，而导数又作为一种特殊的极限，我们如何处理这部分内容呢？导数及其应用在编排上更侧重于思想和概念的本质，不能把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是通过实际的背景和具体应用事例—膨胀率、加速度、增长率等实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念，同时加强学生对导数几何意义的认识和理解。 （2）导数的运算不宜要求过高 由于没有学习极限，因此，我们不能过多地要求学生利用极限去求过于复杂的函数导数。这里，只要求学生能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x 2,y=x 3,y=x 1,y=x 的导数；能利 用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(a+b)）的导数。 （3）注重导数在研究函数和生活实践中的应用 导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般，最有效的工具。这里，我们要求学生能借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值。以及利用导数解诸如运动速度、物种繁殖、绿化面积增长率等实际问题，以及利润最大、用料最省、效率最高等优化问题。 （4）关注数学文化 重视和学生一起收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。 2、课程标准的要求 （1）导数概念及其几何意义 ①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。 ②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ①能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x 2,y=x 3,y=x 1,y=x 的导数。 ②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(a+b)）的导数。 ③会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 函数的单调性是函数的重要性质，函数的单调性问题是高考的热点问题，若利用函数定义求解，一般较为复杂，学生失分率高，新教材引入导数以后，有效地解决了这一难题。利用导
专题4 一元函数导数及其应用(原卷版)
专题4 一元函数导数及其应用 从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力. 预测2020年高考命题将保持稳定.主观题应用导数研究函数的性质，备考的面要注意做到全覆盖，如导数几何意义的应用、单调性问题、极（最）值问题、零点问题、不等式的证明、参数范围的确定等. 一、单选题 1．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．． ，则m 的范围是（ ） A ．1 (,)3 +∞ B ．1 (,)3 -∞ C ．1 [,)?3 +∞ D ．1(,3 -∞ 2．（2020·山东高三下学期开学）已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．2y x =-+ C ．y x = D ．2y x =- 3．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()2 2 1212M x x y y =-+-，则( ) A ．M 的最小值为2 5 B ．M 的最小值为 45 C ．M 的最小值为8 5 D ．M 的最小值为12 5 4．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）函数() ()()2 sin x x e e x f x x e ππ-+= -≤≤的图象大致为( )
导数及其应用
第一节 变化率与导数、导数的计算 考纲要求:1、了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 3.能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数),y ＝x ,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝1 x 的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式与导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数. 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 设函数y ＝f (x ),当自变量x 从x 0变到x 1时,函数值从f (x 0)变到f (x 1),函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 0 ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 、 当x 1趋于x 0,即Δx 趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数.通常用符号f ′(x 0)表示,记作f ′(x 0)＝li m x 1→x 0 f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0 ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 、 (2)导数的几何意义 函数y ＝f (x )在x 0处的导数,就是曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率.函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义.
(3)函数的导函数 一般地,如果一个函数f (x )在区间(a ,b )上的每一点x 处都有导数,导数值记为f ′(x ):f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx ,则f ′(x )就是关于x 的函数,称f ′(x )为f (x )的导函数,通常也简称为导 数. 2.导数公式及运算法则 (1)导数公式表 (2)导数的运算法则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ); ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ); ③?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2 (g (x )≠0). (3)复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数与函数y ＝f (u ),u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. [自我查验] 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同.( ) (2)f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值.( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (4)????sin π3′＝cos π 3 、( )
《导数及其应用》经典题型及知识点总结
《导数及其应用》经典题型和知识点总结 一、知识网络结构 题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考点一 导数的概念，物理意义的应用 例1．(1)设函数()f x 在2x =处可导，且(2)1f '=，求0 (2)(2) lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2) (2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二 导数的几何意义的应用 例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值 例3：已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 题型二 函数单调性的应用 考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状 例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则
考点二 求函数的单调区间及逆向应用 例1 求函数5224+-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间） 例2 已知函数f (x )＝1 2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间） 练习：求函数x a x x f + =)(的单调区间。 例3 若函数f(x)＝x 3－ax 2 ＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用） 练习1：已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。 3. 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2-x+1在R 上为减函数，求实数a 的取值范围。 总结：已知函数)(x f y =在),(b a 上的单调性，求参数的取值范围方法： 1、利用集合间的包含关系 2、转化为恒成立问题（即0)(0)(/ / ≤≥x f x f 或）（分离参数） 3、利用二次方程根的分布（数形结合） 例4 求证x x
(完整版)导数及其应用知识点总结
导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'' ()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
函数与导数的关系及应用
函数与导数的关系及应用 河南三门峡市陕县一高 白成乐 函数的导数是近几年高考中的重要内容，也是必考内容，在河南高考题中尤为重要，无论选择题填空 题，还是解答题的都有考察，所占分数至少在30—40分！命题中的出现形式也是多种多样，一般都是和函数的单调性、极值、最值、积分、图像、不等式恒成立等知识综合联系在一起，综合能力巧强，知识的交汇点多，相对来说属于较难题！这里结合平时学生的练习实际谈谈函数的导数的应用经验和体会。 一、导数在解抽象函数构造的不等式中的应用 函数与方程及不等式是高中数学练习题中永远的主题，也是高中数学知识的主线，利用函数的导数可 以判断函数的单调性，从而判断函数值的大小，用来接相关的不等式是高考数学题中常见的类型。观察习题的特点，恰当地构造相关函数是阶梯的关键。 例1．已知定义在R 上的奇函数()f x ，设其导函数'()f x ，当(],0x ∈-∞时，恒有'()()xf x f x <-，令 ()()F x xf x =，则满足(3)(21)F F x >-的实数x 的取值范围是 （ A ） A ．（-1，2） B ．1 (1,)2 - C ．1(,2)2 D ．（-2，1） 解：因为 ()f x 为奇函数，且当(],0x ∈-∞时，'()()'()()0'()0xf x f x xf x f x F x <-?+-?-≤?-≤-≤?-≤≤ 例2. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时不等式()()'0f x xf x +<成立， 若()0.3 0.33 3a f =?(),log 3log 3b f π π=?3311,log log 9 9c f ??=? ?? ? ，则 , , a b c 大小关系是(D) A ． a b c >> B ． c a b >> C ． a c b >> D ． b a c >> 解：当0x >时不等式()()'0f x xf x +<()()' 0xf x xf x ?>. 例3.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()20f =，当 0x >时有 2 '()() 0x f x f x x - <恒成立，则不等式 2()0x f x >的解集为 （ D ） A ． ()() 2,02,-+∞ B ． ()()2,00,2- C ．()(),22,-∞-+∞ D ．()(),20,2-∞-