绳子拉船问题
绳子拉船问题的理解与求解
、绳子拉船问题的理解 1 ?绳子拉船问题
如图1所示，在水面上方h 高的岸上，某人利用绕过定 滑轮0的轻绳匀速地拉动水面上的一只小船，如果人拉动 绳子的速度大小为 V ，则当绳子0A 与水平面的夹角为B 时， 小船运动的速度为多大。
2 ?常见错误及原因分析
对此问题，很多学生的常见错误是把拉动绳子的速率 V 沿
竖直
和水平两个方向分解， 如图2所示，因此错误地认为船沿水面运动的 速度，就是绳子沿水平方向的分速度，
即 V 船=Vcos 0
(1)
造成上述错误的原因， 就是没有分清楚合运动与分运动, 收缩方向是合运动，小船的运动为它的分运动。实际上，绳子 动与小船运动相同，也是水平向左，这才是合运动。
3 ?常规解法
如图1所示，当绳子拉着小船水平向左运动时，定滑轮右边 的绳子运动有这样的效果：一方面，沿绳子方向收缩；另一方面， 绳
子绕定滑轮 0顺时针转动。因此，可将绳 A 端(或小船)水平 向左的实际运动(合运动)分解成上述两个方向的分运动，如图 3
所示，而沿绳子收缩方向的分速度大小等于人通过定滑轮拉动绳
子的速度大小V ，故小船运动的速度为^
(2)
1 ?功能原理法
设定滑轮的质量、滑轮与轴之间的摩擦均不计, 中，人拉轻绳所做的功等于绳子拉船所做的功，即 间相同，则有：
：，即P 人=P 船
设人对绳子的拉力为 F ,则绳对船的拉力大小也为 F ,根据功率的计算公式 P=FVcos a,
S3
错误地认为与船相连的绳子沿 A 端与船相连，它的实际运
则人在利用绕过定滑轮的绳子拉船过程 W 人=W 船，由于人拉绳与绳拉船的时 (3)
(4)
联立（3 ）、（4 ）、（5）式可得
出COS?
■题■绳联物体的速度分解问题
【例题】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度V o拉水平面上的物体A，当绳与
水平方向成B角时，求物体A的速度。
★解析：解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A的两个分运动。物体A的
运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。
绳长缩短的速度即等于V i V o ;二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度B的值。这样就可以将V A按图示方向进行分解。所以V i及V实际上就是V A的两个分速度，如图所示，由此可得
V i V o
V A
cos cos
解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来
求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。
设船在B角位置经△ t时间向左行驶△x距离，滑轮右侧的绳长缩短△ L,如图所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，A ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有
L
xcos ，两边同除以△ t得：
t
即收绳速率V o V A COS，因此船的速率为:
x -
cos t
V0
V o
V A
COS
总结：微元法”可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体
间速度大小的关系。
解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子的拉力为F,则对绳子做功的功率为R Fv0;绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，
拉力大小也为F ,则绳子对物体做功的功率为P2F V A COS，因为P1P2所以
V o
V A
COS
评点：①在上述问题中，若不对物体A的运动认真分析，就很容易得出v A v0 COS的
错误结果；②当物体A向左移动，B将逐渐变大，v A逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体A却在做变速运动。
总结：解题流程：①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）；
②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；③确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；④作出速度分解的示意图，寻
找速度关系。
【例题】如图所示，在高为H的光滑平台上有一物体?用绳子跨过定滑轮C,由地面上的人以均匀的速度v o向右拉动，不计人的高度，若人从地面上平台的边缘A处向右行走距离S到达B处，这时物体速度多大？物体水平移动了多少距离？
★解析：人的实际运动为合运动，将此合运动分解在沿绳方向和垂直于绳的方向。
［全解］设人运动到B点时，绳与地面的夹角为&人的运动在绳的方向上的分运动的速
度为：V o COS 。物体的运动速度与沿绳方向的运动速度相同，所以物体的运动速度为物体移动的距离等于滑轮右端绳子伸长的长度,
v v o COS
_V o S_
:厂
h .. s 2 h 2 h 。
答
案：
v
命,八s
h h
［小结］分清合运动是关键，合运动的重要特征是，合运动都是实际的运动，此题中，人 向前的运动是实际的运动， 是合运动；该运动分解在沿绳的方向和垂直于绳的方向， 这两个
运动的物理意义是明确的， 从滑轮所在的位置来看， 沿绳的方向的运动是绳伸长的运动， 垂
直于绳的方向的运动是绳绕滑轮的转动， 人同时参与了这两个运动， 其实际的运动（合运动）
即是水平方向的运动 M 沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车 m 沿斜面升高?问：当 B 角，且重物下滑的速率为 v 时，小车的速度为多少？
★解析：重物M 的速度v 的方向是合运动的速度方向，这个 v 产生两个效果：一是使绳
的这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；
二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率
V 运动，如图所示，由图可知， v'= v cos 0.
【例题】一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物 分别为V A ,V B ,则（BD ）
A . V A V
B B . V A V B
C . V A V B
D .重物B 的速度逐渐增大
【例题】如图所示，一轻杆两端分别固定质量为 m A 和m B 的两个小球A 和B （可视为质 点）。将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成 a 角时，A 球沿槽下滑的速度
为V A ,求此时B 球的速度V B ?
★解析：A 球以V A 的速度沿斜槽滑下时，可分解为：一个使杆压缩的分运动，设其速
【例题】如图所示，重物 滑轮右侧的绳与竖直方向成
B ，如图所示，设汽车和重物的速度的大小
度为V AI ; —个使杆绕B 点转动的分运动，设其速度为V A2。而B 球沿斜槽上滑的运动为合 运动，设其速度为 V B ,可分解为：一个使杆伸长的分运动，设其速度为 V BI ，V BI =V AI ；
个使杆摆动的分运动设其速度为 V B2；
由图可知： V B 1 V B sin V A 1 V A cos
V B V A COt
【例题】如图所示，临界角C 为45°的液面上有一点光源 S 发出一束光垂直入射到水平 放置于液体中且距液面为 d 的平面镜M 上，当平面镜M 绕垂直过中心 0的轴以角速度3做
逆时针匀速转动时，观察者发现水面上有一光斑掠过，
则观察者们观察到的光斑在水面上掠
过的最大速度为多少？
故V
cos 2
液体的临界角为 C ,当20 =C=45°时，
V
达到最大速度v
max
求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向， 然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，
令两物体沿弹力方向
★解析：设平面镜转过B 角时，光线反射到水面上的
P 点，光斑速度为 V ，由图可知:
且V 丄 ，而V
cos2
L.2
- 2
cos2
的速度相等即可求出
【例题】一个半径为 R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度
V o 匀速运动。在半圆柱体上
搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。当杆与半圆柱体接触点 P 与柱心
的连线与竖直方向的夹角为 0,求竖直杆运动的速度。
★解析：设竖直杆运动的速度为 V i ，方向竖直向上，由于弹力方向沿 V o 、V i 在OP 方向的投影相等，即有 V o Sin
V i cos ，解得
V i =V o 。tan 0
【例题】一根长为L 的杆OA , O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球 A ，靠在一个质 量为M ,高为h 的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计， 试求当物块以速度 v 向右运
动时，小球A 的线速度V A （此时杆与水平方向夹角为 0）。
★解析：解题方法与技巧：选取物与棒接触点 B 为连结点。
（不直接选 A 点，因为A
点与物块速度的V 的关系不明显）。因为B 点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方 向一致，
故B 点的合速度（实际速度）也就是物块速度 V ; B
点又在棒上，参与沿棒向 A 点
滑动的速度V i 和绕O 点转动的线速度 V 2。因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向 分解，由
速度矢量分解图得：
V 2=vsin 0
设此时OB 长度为a ，贝U a=h/sin 0。 令棒绕O 点转动角速度为 3,贝 w =v 2/a=vsin 2 0h 。
故 A 的线速度 V A = wL =vLsin 20h 。
浅谈“运动速度的分解”中隐形的知识点
李泽龙
高中物理力学、电学、光学部分，速度的正交分解这一知识点常常“隐形”的渗透到不 同运动方向的两个或多个连结体运动的情景中，
或者运动物体的速度瞬间发生突变时的情景
中。如果解题者稍有不慎， 就会因不能辩识出或者不能正确的应用速度分解， 而造成对整道 题的解答错误。下面例举几道常出现速度分解的典型例题加以讨论分析， 把握此知识点出现
的规律性，以便灵活、准确的应用。
OP 方向，所以
人教版高一物理 船过河与绳拉船问题专练
【船过河问题】 1、一只船在静水中的速度为4m/s，它要以最短时间渡过一条40 m宽、水流速度为3 m/s的河．求： (1)船过河的时间； (2)船过河的位移大小 2、欲划船渡过宽100m的河，船相对河岸的速度v1=5m/s，水流速度v2=3m/s， （1）若小船在最短时间过河，船头应怎样放置，且渡河的最短时间是多少？ （2）若小船渡河位移最短，船头应怎样放置？且渡河的时间是多少？ （3）若水流速度变为6m/s，而船速不变，则渡河的最短位移是多少？ 3、两个游泳运动员A和B，A在河南岸、B在北岸，相距为S，两处连线与河岸夹角为θ，如 下图。若A、B在静水中的最大速度分为v A 、v B ，两人同时开始运动，水的流速为V 水 求： (1)它们从出发到相遇所需最短时间； (2)它们各自的运动方向。(设水流速保持不变) (命题说明：知识点――运动合成和分解；训练目的――极值的数学、物理方法在运动合成与分解中的应用)
4、一条宽为L的河流，河水流速为v1，船在静水中的速度为v2，要使船划到对岸时航程最短，船头应指向什么方向？最短航程是多少？ 5、在抗洪抢险中，战士驾驶冲锋舟救人，假设江岸是平直的，洪水沿江而下，水的流速为5m/s，舟在静水中的航速为l0m/s，战士救人的地点A离岸边最近点0的距离为50m如图，问： (1)战士要想通过最短的时间将人送上岸，求最短时间为多长? (2)战士要想通过最短的航程将人送上岸，冲锋舟的驾驶员应将舟头与河岸成多少度角开? (3)如果水的流速是10m/s，而舟的航速(静水中)为5m/s，战士想通过最短的距离将人送上岸，求这个最短的距离．
(完整版)绳(杆)端速度分解模型问题的分析(含答案)
绳(杆)端速度分解模型 一、基础知识 1、模型特点 沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等． 2、思路与方法 合运动→绳拉物体的实际运动速度v 分运动→????? 其一：沿绳(或杆)的速度v 1 其二：与绳(或杆)垂直的分速度v 2 方法：v 1与v 2的合成遵循平行四边形定则． 3、解决此类问题时应把握以下两点： (1)确定合速度，它应是小船的实际速度； (2)小船的运动引起了两个效果：一是绳子的收缩，二是绳绕滑轮的转 动．应根据实际效果进行运动的分解． 二、练习 1、如图所示，轻绳通过定滑轮拉动物体，使其在水平面上运动．若拉绳的速度为v 0，当绳与水平方向夹角为θ时，物体的速度v 为________．若此时绳上的拉力大小为F ，物体的质量为m ，忽略地面的摩擦力，那么，此时物体的加速度为________． 答案 v 0cos θ F cos θm 解析 物体的运动(即绳的末端的运动)可看做两个分运动的合成： (1)沿绳的方向被牵引，绳长缩短，缩短的速度等于v 0；(2)垂直于 绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长．即速度v 分解为沿绳 方向和垂直绳方向的分速度，如图所示，v cos θ＝v 0，v ＝v 0 cos θ . 拉力F 产生竖直向上拉物体和水平向右拉物体的效果，其水平分量为F cos θ，加速度a ＝F cos θm . 2、如图所示，一人站在岸上，利用绳和定滑轮拉船靠岸，在某一时刻绳的速度为v ，绳AO 段与水平面的夹角为θ，OB 段与水平面的夹角为α.不计摩擦和轮的质量，则此时小船的
速度多大？ 解析小船的运动引起了绳子的收缩以及绳子绕定滑轮转动的效果，所以将小船的运动分解到绳子收缩的方向和垂直于绳子的方向， 分解如图所示，则由图可知 v A＝ v cos θ. 答案 v cos θ 3、如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的小车， 通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若小车和被吊的物体在同一 时刻的速度分别为v1和v2，绳子对物体的拉力为F T，物体所 受重力为G，则下列说法正确的是() A．物体做匀速运动，且v1＝v2 B．物体做加速运动，且v2>v1 C．物体做加速运动，且F T>G D．物体做匀速运动，且F T＝G 答案 C 解析把v1分解如图所示，v2＝v1cos α，α变小，v2变大，物体做加速运动，超重，F T>G，选项C正确． 4、人用绳子通过定滑轮拉物体A，A穿在光滑的竖直杆上，当以速度v0 匀速地拉绳使物体A到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为 θ，则物体A实际运动的速度是()
绳子拉船问题的理解与求解
绳子拉船问题的理解与求解 江西省都昌县第一中学李一新 绳子拉船问题是运动的合成与分解中的典型例子。很多学生对此问题的理解都感到非常困难，怎样使学生正确地理解和掌握这个问题呢？下面笔者就根据自己的教学经验，谈一谈这个问题的理解及求解此问题的一些方法。 一、绳子拉船问题的理解 1．绳子拉船问题 如图1所示，在水面上方h高的岸上，某人利用绕过定滑轮O的轻绳匀速地拉动水面上的一只小船，如果人拉动绳子的速度大小为V，则当绳子OA与水平面的夹角为θ时，小船运动的速度为多大。 2．常见错误及原因分析 对此问题，很多学生的常见错误是把拉动绳子的速率V沿竖直和水平两个方向分解，如图2所示，因此错误地认为船沿水面运动的速度，就是绳子沿水平方向的分速度，即=Vcosθ（1） V 船 造成上述错误的原因，就是没有分清楚合运动与分运动，错误地认为与船相连的绳子沿收缩方向是合运动，小船的运动为它的分运动。实际上，绳子A端与船相连，它的
实际运动与小船运动相同，也是水平向左，这才是合运动。 3．常规解法 如图1所示，当绳子拉着小船水平向左运动时，定滑轮右边的绳子运动有这样的效果：一方面，沿绳子方向收缩；另一方面，绳子绕定滑轮O顺时针转动。因此，可将绳A端（或小船）水平向左的实际运动（合运动）分解成上述两个方向的分运动，如图3所示，而沿绳子收缩方向的分速度大小等于人通过定滑轮拉动绳子的速度大小V，故小 船运动的速度为（2） 4．问题的理解 上述的求解结果学生普遍都感到难易理解。为了帮助学生更好地理解这个问题，我们就从小船运动的速度和拉动绳子的速度大小关系入手，由（2）式可知，小船运动的速度大于拉动绳子的速度，而（1）式则是小于拉动绳子的速度，因此只要证明小船运动的速度大于拉动绳子的速度，问题就比较容易理解了。将绳子拉动船的过程中，绳子与水平方向的夹角设置两个特殊值来进行考虑，如图4所示，设在某时间t内，拉动船时绳子与水平面的夹角由300增大到450，则在这段时间内，小船前进的距离为 绳子收缩的长度为
绳杆模型、小船过河模型(运动的合成与分解)
初探孔子的学习观 学习是人生的第一要务，是人立身立世之本，而学会学习又是人的核心素养之一。我们在学习《论语》时，深深感到至圣先师孔子的学习观，对我们学会学习，提升学习力，促进自主发展，具有不可估量的引领意义。 孔子的学习观，其主要三点是： 一、立志于学 子曰：“十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而随心所欲，不逾矩。”这是孔子的人生历程，是孔子的人生总结。十五立志于学，人生有了方向，也有了动力，因学而立，因学而不惑，因学而知天命，因学而耳顺，因学而随心所欲，不逾矩。孔子立志于学，从学习出发，演绎着人生的极致。 孔子一生有三大追求，第一是立志于学，第二是立志于行仁，第三是立志于求道。三大追求，学是基点，行仁是着力点，求道是归结点。“学”之所获所得，为行仁奠定了理论基石，“学”之所向所指，为求道支撑起了思想大厦。学习，铸造了孔子的伟大；学习，成就了孔子的辉煌。 今天的时代是一个知识爆炸、智力迸发、思想井喷的时代，为不负时代重托，不辱时代使命，为大有作为的时代书写最新最美的文字，我们更应该立志于学。 二、全面学习 孔子学习有两大特点：一是学习知识与学习技能齐头并进，三是书本学习和社会学习水乳交融。他学“五经”，诗、书、礼、易、乐，即文学、历史、社会规范、哲学、艺术。他学“六艺”，礼、乐、射、御、书、数，即礼仪、音乐、射箭、驾车、书写、计算。学习知识使之睿智深通，学习技能使之能广力强。孔子三十而立，收徒传学，名声高涨，五十以后周游列国，传道应对，显示了出类拔萃的才智和超乎寻常的能力。这是学习给予的力量，是学习结出的硕果。孔子远足洛阳，向老聃问礼询道；他入太庙，每事问；他向师襄学乐理；他说“三人行必有我师”。他带学生在游学路上，无时无刻不在学习，且把学习融会贯通在对时势的观察分析中，对事理的辨识判定中，以期实现自己的政治理想和学术主张。孟子称孔子为“时之圣人”，后世拜孔子为至圣先师，孔子当之无愧。 孔子全面学习，使之全面发展，从而造就了全能型的孔子。孔子办学，有弟子三千，贤人七十。孔子为政，有能力有决断，政绩斐然。孔子晚年游历各国，生命力旺盛，即使在凄风苦雨的生命暮年，他编《诗经》，修《春秋》。孔子虽然没有轰轰烈烈的伟业和壮举，但由平凡走向了伟大，由平常走向了永恒，这应归功于孔子的学习。 三、终身学习
绳子拉船的运动分解问题
绳子拉船问题的理解与求解 芜湖博韬教育査显国 绳子拉船问题是运动的合成与分解中的典型例子。很多学生对此问题的理解都感到非常困难，怎样使学生正确地理解和掌握这个问题呢下面谈一谈这个问题的理解及求解此问题的一些方法。 一、绳子拉船问题的理解 1．绳子拉船问题 如图1所示，在水面上方h高的岸上，某人利用绕过定滑轮O的轻绳匀速地拉动水面上的一只小船，如果人拉动绳子的速度大小为V，则当绳子OA与水平面的夹角为θ时，小船运动的速度为多大。 2．常见错误及原因分析 对此问题，很多学生的常见错误是把拉动绳子的速率V沿竖直和水平两个方向分解，如图2所示，因此错误地认为船沿水面运动的速度，就是绳子沿水平方向的分速度，即V船=Vcosθ（1） 造成上述错误的原因，就是没有分清楚合运动与分运动，错误地认为与船相连的绳子沿收缩方向是合运动，小船的运动为它的分运动。实际上，绳子A端与船相连，它的实际运动与小船运动相同，也是水平向左，这才是合运动。 3．常规解法 如图1所示，当绳子拉着小船水平向左运动时，定滑轮右边的绳子运动有这样的效果：一方面，沿绳子方向收缩；另一方面，绳子绕定滑轮O顺时针转动。因此，可将绳A端（或小船）水平向左的实际运动（合运动）分解成上述两个方向的分运动，如图3所示，而沿绳子收缩方向的分速度大小等于人通过定滑轮拉动绳子的速度大小V，故小船运动的速度为 （2）
4．问题的理解 上述的求解结果学生普遍都感到难以理解。为了帮助学生更好地理解这个问题，我们就从小船运动的速度和拉动绳子的速度大小关系入手，由（2）式可知，小船运动的速度大于拉动绳子的速度，而（1）式则是小于拉动绳子的速度，因此只要证明小船运动的速度大于拉动绳子的速度，问题就比较容易理解了。将绳子拉动船的过程中，绳子与水平方向的夹角设置两个特殊值来进行考虑，如图4所示，设在某时间t内，拉动船时绳子与水平面的夹角由300增大到450，则在这段时间内，小船前进的距离为 绳子收缩的长度为 由此可得S＞L，故小船运动的速度必大于人拉动绳子的速度。这样一来，学生在理解此问题时就轻松多了，就会自动排斥错误的解法，从而认可和接收正确的解法。
专题十一-绳船模型的分析-培优篇
专题11绳船模型的分析 一、绳船模型中的速度关系 绳船模型是“速度分解与合成”中常用的一个典型模型，现在我们从多个角度采用不同的解题方法对这个模型作深入探讨，以达到举一反三的目的. 例1 如图11-1所示，人用轻绳通过定滑轮牵引小船靠岸，若收绳的速度为υ1，则在绳与水平方向夹角为a的时刻，船的速度υ有多大？（阻力不计） 二、绳船模型中的加速度关系 例2 如图11-4所示，长l的均匀直杆两端固定着两个小球A和B，A球在竖直墙壁上运动，B球在水平地面上运动，当杆与竖直墙壁的夹角为a、B球向右的速度为υB时，A球的速度为多少？若B球有向右运动的加速度a B，则A球的加速度为多大？ 从上面例题的分析中我们可以总结出两个结论： 1.不可伸长的绳子两端的两个物体沿绳方向的速度一定相等，但沿绳方向的加速度不一定相等.当物体有转动时，两物体沿绳方向的加速度就不相等. 2.根据运动的独立性原理，可认为被牵物体沿绳方向的加速度由两部分组成：一是另一端物体实际加速度沿绳方向的分量；二是被牵物体切向速度变化对应的法向加速度. 体验感悟 1.如图11-6所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过 B、D，BC段水平.当以恒定水平速度υ拉绳上的自由端时，A沿水平面前进，求当跨过B的两段绳子的夹角为a时，A的运动速度. 2.如图11-7所示，质点沿一圆周运动，过M点时速度大小为υ，作加速度矢量与圆相交成弦MA=l，试求此加速度的大
小. 1.如图11-8所示，AB杆以恒定角速度绕A点转动，并带动套在水平杆OC上的小环M运动，运动开始时，AB杆在竖直位置，则小环M的加速度将（） A.逐渐增大 B.先减小后增大 C.先增大后减小 D.逐渐减小 4.如图11-9所示，直杆AB搁在半径为r的固定圆环上以速度υ匀速运动，试求套在直杆和圆环交点处的小环M在图示位置时的加速度大小. 5.如图11-10所示，刚性杆OA和AB用铰链连接，OA=AB=L，O点固定，B点在长杆OC上做加速运动，运动过程中OA 与AB相互垂直时，B点的速度为υ，加速度为a，求此时A点的速度和加速度.
人船模型之二(带详细解析)
人船模型之二 动量守衡定律是自然界最重要最普遍的归律之一，利用该定律只考虑相互作用物体作用前后动量变化的关系，省去了具体细节的讨论，为我们解决力学问题提供了一种简捷的方法和思路。人船模型问题是一种很常见的题形，在研究过程当中，如果能恰当地应用动量守恒定律进行解题，会给我们带来意想不到的效果。 [例1] 如图1所示，静水面上停有一小船，船长L = 3米，质量M = 120千克，一人从船头走到船尾，人的质量m = 60千克。那么，船移动的距离为多少？（水的阻力可以忽略不计） 过程分析当人从船头走到船尾，通过脚与船发生了作用（也可 以认为走动过程就是人与船发生间歇性碰撞的过程）。 选取人和船为研究对象，由于不计水的阻力，所以系统 在水平方向上动量守恒。 解：设人从船头走到船尾，船对地的就离为S，则人对地移动了L - S，根据动量守恒定律可得 M S/t - m (L - S)/t = 0 解得 S = ML/(M + m) = 60*3/(120 + 60) = 1米 此题虽然很简单，但所展示的物理模型很重要，如果真正掌握了此题的解法，那么，下面几道题完全可以做到同法炮制，快速求解。 ※[例2] 一质量为M的船，静止于湖水中，船身长L，船的两
端点有质量分别为m1和m2的人，且m1>m2,当两人交换位置后，船身位移的大小是多少？（不计水的阻力） 过程分析此题初看上去较上题繁杂得多，物理模型也迥然相异，但实质上是大同小异，如出一辙。试想，若把质量大的人换成两个人，其中一个人的质量为m2，另一个人的质量为m = m1 - m2。由上一题可知，当两个质量都为m2的人互换位置之后，船将原地不动。这样一来，原来的问题就转化为上题所示的物理模型了，当质量为m = m1 - m2的人从船的一端走到另一端，求船的位移。 解：设船对地移动的位移为S，则质量为m = m1 - m2的人对地移动的位移就是L - S，由动量守恒定律可得 （M + 2m2）S/t – (m1 - m2) (L - S)/t = 0 解得 S = (m1 - m2)L/(M + m1 + m2) ※[例3] 某人在一只静止的小船上练习射击，船和人连同枪（不包括子弹）及靶的总质量为M，枪内装有n颗子弹，每颗子弹的质量为m，枪口到靶的距离为L，子弹射出枪口时相对地面的速度为v O，在发射一颗子弹时，前一颗粒子弹已陷入靶中，则在发射完n 颗子弹后，小船后退的距离为多少（不计水的阻力）。 过程分析子弹发射时在枪内的运动，和击靶的过程，类似于人船模型中相互作用。连发n颗子弹，相当于n个人从船头走到船尾。把船、人、枪、靶和子弹作为一个系统进行研究，因该系统在水平方
高中物理专题绳拉船模型的分析
绳拉船模型 目标：1、进一步理解运动的合成和分解； 2、运动分解的原则：按效果分解； 3、绳拉船模型分析。 例1、如图所示，在河岸上利用定滑轮拉绳使小船靠岸，拉绳速度为v,当船头绳长方向与水平方向夹角为a 时，船的速度是多少？ 例2、如图所示，汽车沿水平路面以恒定速度v 前进，则当拉绳与水平方向成θ角时，被吊起的物体M 的速度为M v 为多大？ 变式1、A 、B 两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A 以v 1的速度向右匀速 运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图 所示．物体B 的运动速度v B 为(绳始终有拉力)( ) A ．v 1sinα/sinβ B ．v 1cosα/sinβ C ．v 1sinα/cosβ D ．v 1cosα/cosβ 例3、如图所示，杆AB 的A 端靠在竖直墙上，B 端放在水平面上，此时杆与水平面的夹角为α，且 B 端的滑动速度为 B v ，求A 端的滑动速度A v .
同步练习： 1.如图所示，物体A和B的质量均为m，且分别用轻绳连接跨过定滑轮(不计绳与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦)。当用水平变力F拉物体B沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中() A．物体A也做匀速直线运动B．绳子的拉力始终大于物体A所受的重力 C．物体A的速率小于物体B的速率D．地面对物体B的支持力逐渐增大 2.如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动，当AB杆和墙 的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大 ，则v1、v2的关系是() 小为v A．v1＝v2 B．v1＝v2cosθC．v1＝v2tanθD．v1＝v1sinθ 3.如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，两物体质量分别为m1和m2， 且m1 1．如图所示，套在竖直细杆上的环A 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B 相连．由 于B 的质量较大，故在释放B 后，A 将沿杆上升，当A 环上升至定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v 1≠0，若这时B 的速度为v 2，则 ( ) A ．v 2＝v 1 B ．v 2>v 1 C ．v 2≠0 D ．v 2＝0 [答案] D [解析] 环上升过程其速度v 1可分解为两个分速度v ∥和v ⊥，如图所示，v ∥＝v 2＝v 1·cos θ，当θ＝90°时，cos θ＝0，v ∥＝v 2＝0. 2．如图所示，A 、B 两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A 物体以速度 v 向左运动时，系A ，B 的绳分别与水平方向成α、β角，此时B 物体的速度大小为________，方向________． [答案] cos α cos βv 水平向右 [解析] 根据A ，B 两物体的运动情况，将两物体此时的速度v 和v B 分别分解为两个分 速度v 1(沿绳的分量)和v 2(垂直绳的分量)以及vB 1(沿绳的分量)和vB 2(垂直绳的分量)，如图，由于两物体沿绳的速度分量相等，v 1＝vB 1，v cos α＝v B cos β. 则B 物体的速度方向水平向右，其大小为v B ＝cos αcos β v 3．如图所示，点光源S到平面镜M的距离为d.光屏AB与平面镜的初始位置平行．当平面镜M绕垂直于纸面过中心O的转轴以ω的角速度逆时针匀速转过30°时，垂直射向平面镜的光线SO在光屏上的光斑P的即时速度大小为多大？ [答案] 8ωd [解析] 当平面镜转过30°角时，反射光线转过60°角，反射光线转动的角速度为平面镜转动角速度的2倍，即为2ω.将P点速度沿OP方向和垂直于OP的方向进行分解，可得：v co s60°＝2ω·OP＝4ωd，所以v＝8ωd. 4.如图6所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物 M，长杆的一端放在地上通过铰链联结形成转轴，其端点恰好处于左侧 滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，绕过两个滑轮后挂上 重物 M.C点与O点距离为l.现在杆的另一端用力．使其逆时针匀速转动，由图6竖直位置以角速度ω缓缓转至水平位置(转过了90°角)，此过程中下述说法中正确的是 ( ) A．重物M做匀速直线运动 B．重物M做匀变速直线运动 C．重物M的最大速度是ωl 拉小船问题 问题本质 拉小船是典型的运动的分解问题。需要正确找出合运动与分运动的关系。小船的和速度实际上是相对于地面的速度，需要将其分解。分解按实际效果，或约束的方向上进行。即沿绳收缩方向和垂直于绳方向进行分解。 基本模型 典型例题 ★如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v 拉水平面上的物体A ，当绳与水平方向成θ角时，求物体A 的速度。 答案：θ θcos cos 01 v v v A ==。 v 转 ★如图所示，在高为H 的光滑平台上有一物体．用绳子跨过定滑轮C ，由地面上的人以均匀的速度v 0向右拉动，不计人的高度，若人从地面上平台的边缘A 处向右行走距离s 到达B 处，这时物体速度多大？物体水平移动了多少距离？ 答案：2 20h s s v v +=，h h s d -+= 22 ★如图所示，重物M 沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m 沿斜面升高．问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v 时，小车的速度为多少？ 答案：v ′＝v ·cos θ ★一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B ，如图所示，设汽车和重物的速度的大小分别为B A v v ,，则（ ） A 、B A v v = B 、B A v v > C 、B A v v < D 、重物B 的速度逐渐增大 答案：BD ★如图所示,若中间的物体M 以速度v 匀速下降,那么在如图所示的位置,定滑轮两侧绳子上质量也是M 的两物体的瞬时速度v 1与v 2是（ ） A. v 1= v 2= v /cos θ B. v 1= v 2=vsin θ C. v 1= v 2=v D. v 1= v 2=vcos θ 答案 ：D ★如图所示，水平面上有一物体，小车通过定滑轮用绳子拉它，在图示位置时，若小车的速度为5 m/s ，则物体的瞬时速度为_______m/s. 答案：53 ★★如图所示．用一根长杆和两个定滑轮的组合装置用来提升重物M ，长杆的一端放在地上通过铰链联结形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O 点处，在杆的中点C 处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M ．C 点与O 点距离为l ，现在杆的另一端用力．使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓缓转至水平（转过了90°角） ．此过程中下述说法正确的是 试卷第5页，总6页 ……外……装…………__姓名：_________……内……装…………绝密★启用前 2019人教版必修第二册 第五章 抛体运动 专题一 小船 过河模型以及绳（杆）关联的模型 提升练习 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．质量为m 的物体P 置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P 与小车，P 与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v 水平向右做匀速直线运动．当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时（如图），下列判断正确的是（ ） A ．P 的速率为v B ．绳的拉力等于mg sin θl C ．P 的速率为v cos θ2 D ．绳的拉力小于mg sin θ1 2．如图所示,汽车甲通过定滑轮拉汽车乙前进,甲、乙分别在上下两水平面上运动,某时刻甲的速度为v 1,乙的速度为v 2,则v 1:v 2为( ) A ．1:cosβ B ．sinβ:1 C ．cosβ:1 D ．1:sinβ 试卷第6页，总6页 ○ … … … … 外 … … … … 装 订 … … … ※ 请 ※ ※ 不 ※ ※ 要 内 ※ ※ 答 ※ ※ 题 ○ … … … … 内 … … … … 装 订 … … … 3．有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为() A．B C．D． 4．一只小船渡河，运动轨迹如图所示．水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于河岸；小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船的初速度大小均相同，方向垂直于河岸，且船在渡河过程中船头方向始终不变．由此可以确定船 A．沿三条不同路径渡河的时间相同 B．沿AC轨迹渡河所用的时间最短 C．沿AC轨迹船到达对岸的速度最小 D．沿AB轨迹运动时，船在垂直于河岸方向做匀减速直线运动 5．如图所示，水平面上的小车向左运动，系在车后的轻绳绕过定滑轮，拉着质量为m 的物体上升．若小车以v1的速度做匀速直线运动，当车后的绳与水平方向的夹角为θ时，物体的速度为v2，绳对物体的拉力为F T，则下列关系式正确的是( ) A．v2=v1B．V2=V1/cosθ C．F T＞mg D．F T＝mg 6．如图所示，两次渡河时船对水的速度大小和方向都不变，已知第第一次实际航程为A至B，位移为S1，实际航速为v1，所用时间为t1．由于水速增大，第二次实际航程为A至C，位移为S2，实际航速为v2，所用时间为t2，则（） 绳子拉船问题的理解与求解 、绳子拉船问题的理解 1 ?绳子拉船问题 如图1所示，在水面上方h 高的岸上，某人利用绕过定 滑轮0的轻绳匀速地拉动水面上的一只小船，如果人拉动 绳子的速度大小为 V ，则当绳子0A 与水平面的夹角为B 时， 小船运动的速度为多大。 2 ?常见错误及原因分析 对此问题，很多学生的常见错误是把拉动绳子的速率 V 沿 竖直 和水平两个方向分解， 如图2所示，因此错误地认为船沿水面运动的 速度，就是绳子沿水平方向的分速度， 即 V 船=Vcos 0 (1) 造成上述错误的原因， 就是没有分清楚合运动与分运动, 收缩方向是合运动，小船的运动为它的分运动。实际上，绳子 动与小船运动相同，也是水平向左，这才是合运动。 3 ?常规解法 如图1所示，当绳子拉着小船水平向左运动时，定滑轮右边 的绳子运动有这样的效果：一方面，沿绳子方向收缩；另一方面， 绳 子绕定滑轮 0顺时针转动。因此，可将绳 A 端(或小船)水平 向左的实际运动(合运动)分解成上述两个方向的分运动，如图 3 所示，而沿绳子收缩方向的分速度大小等于人通过定滑轮拉动绳 子的速度大小V ，故小船运动的速度为^ (2) 1 ?功能原理法 设定滑轮的质量、滑轮与轴之间的摩擦均不计, 中，人拉轻绳所做的功等于绳子拉船所做的功，即 间相同，则有： ：，即P 人=P 船 设人对绳子的拉力为 F ,则绳对船的拉力大小也为 F ,根据功率的计算公式 P=FVcos a, S3 错误地认为与船相连的绳子沿 A 端与船相连，它的实际运 则人在利用绕过定滑轮的绳子拉船过程 W 人=W 船，由于人拉绳与绳拉船的时 (3) 小船渡河问题 例1 一条宽度为L的河，水流速度为为v水，已知船在静水中的航速v船，那么 （1）怎样渡河时间最短？ （2）若v水＜v船，怎样渡河位移最小？ （3）若v水＞v船，怎样渡河船漂下的距离最短？ 【分析与解答】： (1)如图1—1所示，设船的航向与河岸成任意角θ斜向上，这时船速在y轴方向上的分速度为v y=v船sinθ,渡河所需的时间为L/v船sinθ 可以看出：在L、v船一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=900时，sinθ=1,最大，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，且t min=L/v船 (2)如图1—2所示，渡河的最小位移即河的宽度L,要使渡河位移等于L,必须使船的合速度v 的方向与河岸垂直。此时船沿河岸方向的速度分量v x=0，这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，即v水-v船cosθ=0，θ=arccosv水/v船 因为0≤θ≤1，所以只有在v水＜v船时，船才有可能垂直河岸横渡。 (3)则不论船的航向如何，总要被水冲向下游，怎样才能使船的航程最短呢？如图1—3所示，设船头(v船)与河岸成θ角，合速度(v)与河岸成α角，可以看出：α角越大，船到下游的距离x越短。那么，在什么条件下，α角最大呢？请看可见，以v水的矢尖为圆心，为半径画圆，当与圆相切时如图1—4，角最大。此时sinα=v船/v水，船的最短航程为s=d/sinα=dv船/v水 可见，正交分解是解决渡船问题的一种比较好的方法 绳子拉船问题 一个速度岸矢量运算法则分解为两个分速度，可以有无数组解，但若与实际情况不服，则所得分速度就毫无物理意义。所以速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解。常用的思想方法有两种： 一种思想是现虚拟合运动的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的办法； 另一种思想方法实现确定合运动的速度方向（这里有一个简单的原则：物体的实际运动方向就是合速度的方向），然后分析有这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向。 例2：如图2-1所示，用绳牵引小船靠岸，若收绳的速度为v1，在绳子与水平方向夹角为α的时刻，船的速度v有多大？ 【分析与解答】：方法一：虚拟小船在Δt时间内从A移过Δs到达C如图2—2所示，这个运动可设想为两个分运动所合成：先被绳拉过Δs1到B，再随绳绕滑轮O点做圆周运动到C点，位移为Δs2 因为OB=OC，∠OBC=β=(180-Δθ)/2 若Δt很小很小，Δθ→0，则β→900，即Δs2与Δs1垂直，此时有Δs1=Δscosα,也就是Δs1/Δt=（Δs/Δt）cosα，则v1=vcosα，v=v1/cosα。 方法二：船的速度v的方向就是合运动的速度方向。由于这个v产生两个效果：一是使绳系着小船的一端沿绳拉方向以速率v1运动；二是师生的这段绕滑轮做顺时针方向的圆周运动，那么合速度v应沿着绳子的牵引方向和垂直于绳子的方向分解如图2—3所示，从图中可知： v=v1/cosα. 绳子拉船问题的理解与求解 一、绳子拉船问题的理解 1．绳子拉船问题 如图1所示，在水面上方h高的岸上，某人利用绕过定滑轮O的轻绳匀速地拉动水面上的一只小船，如果人拉动绳子的速度大小为V，则当绳子OA与水平面的夹角为θ时，小船运动的速度为多大。 2．常见错误及原因分析 对此问题，很多学生的常见错误是把拉动绳子的速率V沿竖直和水平两个方向分解，如图2所示，因此错误地认为船沿水面运动的速度，就是绳子沿水平方向的分速度，即V 船=Vcosθ（1） 造成上述错误的原因，就是没有分清楚合运动与分运动，错误地认为与船相连的绳子沿收缩方向是合运动，小船的运动为它的分运动。实际上，绳子A端与船相连，它的实际运动与小船运动相同，也是水平向左，这才是合运动。 3．常规解法 如图1所示，当绳子拉着小船水平向左运动时，定滑轮右边的绳子运动有这样的效果：一方面，沿绳子方向收缩；另一方面，绳子绕定滑轮O顺时针转动。因此，可将绳A端（或小船）水平向左的实际运动（合运动）分解成上述两个方向的分运动，如图3所示，而沿绳子收缩方向的分速度大小等于人通过定滑轮拉动绳子的速度大小V，故小船运动的速度为 （2） 1．功能原理法 设定滑轮的质量、滑轮与轴之间的摩擦均不计，则人在利用绕过定滑轮的绳子拉船过程中，人拉轻绳所做的功等于绳子拉船所做的功，即W 人=W 船，由于人拉绳与绳拉船的时间相同，则有，即P 人 = P 船 （3） 设人对绳子的拉力为F ，则绳对船的拉力大小也为F ，根据功率的计算公式P=FVcos α，有 P 人 = F ·V （4） P 船 = F ·V 船cos θ （5） 联立（3）、（4）、（5）式可得 类型题： 绳联物体的速度分解问题 【例题】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v 拉水平面上的物体A ，当绳与水平方向成θ角时，求物体A 的速度。 ★解析：解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A 的两个分运动。物体A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于01v v =；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就可以将A v 按图示方向进行分解。所以1v 及2v 实际上就是A v 的两个分速度，如图所示，由此可得 θ θcos cos 01v v v A ==。 解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。 v 0 θ A 绳子拉船问题的理解与求解 绳子拉船问题是运动的合成与分解中的典型例子。很多学生对此问题的理解都感到非常困难，怎样使学生正确地理解和掌握这个问题呢？下面笔者就根据自己的教学经验，谈一谈这个问题的理解及求解此问题的一些方法。 一、绳子拉船问题的理解 1．绳子拉船问题 如图1所示，在水面上方h高的岸上，某人利用绕过定滑轮O的轻绳匀速地拉动水面上的一只小船，如果人拉动绳子的速度大小为V，则当绳子OA与水平面的夹角为θ时，小船运动的速度为多大。 2．常见错误及原因分析 对此问题，很多学生的常见错误是把拉动绳子的速率V沿竖直和水平两个方向分解，如图2所示，因此错误地认为船沿水面运动的速度，就是绳子沿水平方向的分速度，即V船=Vcosθ（1） 造成上述错误的原因，就是没有分清楚合运动与分运动，错误地认为与船相连的绳子沿收缩方向是合运动，小船的运动为它的分运动。实际上，绳子A端与船相连，它的实际运动与小船运动相同，也是水平向左，这才是合运动。 3．常规解法 如图1所示，当绳子拉着小船水平向左运动时，定滑轮右边的绳子运动有这样的效果：一方面，沿绳子方向收缩；另一方面，绳子绕定滑轮O顺时针转动。因此，可将绳A端（或小船）水平向左的实际运动（合运动）分解成上述两个方向的分运动，如图3所示，而沿绳 子收缩方向的分速度大小等于人通过定滑轮拉动绳子的速度大小V，故小船运动的速度为 （2） 4．问题的理解 上述的求解结果学生普遍都感到难易理解。为了帮助学生更好地理解这个问题，我们就从小船运动的速度和拉动绳子的速度大小关系入手，由（2）式可知，小船运动的速度大于拉动绳子的速度，而（1）式则是小于拉动绳子的速度，因此只要证明小船运动的速度大于拉动绳子的速度，问题就比较容易理解了。将绳子拉动船的过程中，绳子与水平方向的夹角设置两个特殊值来进行考虑，如图4所示，设在某时间t内，拉动船时绳子与水平面的夹角由300增大到450，则在这段时间内，小船前进的距离为 绳子收缩的长度为 由此可得S＞L，故小船运动的速度必大于人拉动绳子的速度。这样一来，学生在理解此问题时就轻松多了，就会自动排斥错误的解法，从而认可和接收正确的解法。 绳(杆)端速度分解模型 一、基础知识1、模型特点 沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等．2、思路与方法 合运动→绳拉物体的实际运动速度v 分运动→Error! 方法：v 1与v 2的合成遵循平行四边形定则．3、解决此类问题时应把握以下两点：(1)确定合速度，它应是小船的实际速度； (2)小船的运动引起了两个效果：一是绳子的收缩，二是绳绕滑轮的转 动．应根据实际效果进行运动的分解． 二、练习 1、如图所示，轻绳通过定滑轮拉动物体，使其在水平面上运动．若拉绳的速度为v 0，当 绳与水平方向夹角为θ时，物体的速度v 为________．若此时绳上的拉力大小为F ，物体 的质量为m ，忽略地面的摩擦力，那么，此时物体的加速度为________． 答案 v 0 cos θF cos θ m 解析 物体的运动(即绳的末端的运动)可看做两个分运动的合成：(1)沿绳的方向被牵引，绳长缩短，缩短的速度等于v 0；(2)垂直于 绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长．即速度v 分解为沿绳 方向和垂直绳方向的分速度，如图所示，v cos θ＝v 0，v ＝. v 0 cos θ拉力F 产生竖直向上拉物体和水平向右拉物体的效果，其水平分量为F cos θ，加速度a ＝. F cos θ m 2、如图所示，一人站在岸上，利用绳和定滑轮拉船靠岸，在某一时刻绳的速度为v ，绳AO 段与水平面的夹角为θ，OB 段与水平面的夹角为α.不计摩擦和轮的质量，则此时小 船的速度多大？ 解析 小船的运动引起了绳子的收缩以及绳子绕定滑轮转动的效果，所以将小船的运动分解到绳子收缩的方向和垂直于绳子的方向，分解如图所示，则由图可知 v A ＝. v cos θ答案 v cos θ 3、如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的小车， 通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若小车和被吊的物体在同一 时刻的速度分别为v 1和v 2，绳子对物体的拉力为F T ，物体所 受重力为G ，则下列说法正确的是( ) A ．物体做匀速运动，且v 1＝v 2 B ．物体做加速运动，且v 2>v 1 C ．物体做加速运动，且F T >G D ．物体做匀速运动，且F T ＝G 答案 C 解析 把v 1分解如图所示，v 2＝v 1cos α，α变小，v 2变大，物体做加速 运动，超重，F T >G ，选项C 正确． 4、人用绳子通过定滑轮拉物体A ，A 穿在光滑的竖直杆上，当以速度v 0 匀速地拉绳使物体A 到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A 实际运动的速度是 ( ) A ．v 0sin θ B.v 0sin θ C ．v 0cos θ D.v 0cos θ 答案 D 解析 由运动的合成与分解可知，物体A 参与两个分运动：一个是沿着与它相连接的绳子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动．而物体A 实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运 绳子拉船问题的理解和求解 一、绳子拉船问题的理解 1．绳子拉船问题 如图1所示，在水面上方h高的岸上，某人利用绕过定 滑轮O的轻绳匀速地拉动水面上的一只小船，如果人拉动 绳子的速度大小为V，则当绳子OA和水平面的夹角为θ时， 小船运动的速度为多大。 2．常见错误及原因分析 对此问题，很多学生的常见错误是把拉动绳子的速率V沿竖直 和水平两个方向分解，如图2所示，因此错误地认为船沿水面运动的 速度，就是绳子沿水平方向的分速度， 即V船=Vcosθ（1） 造成上述错误的原因，就是没有分清楚合运动和分运动，错误地认为和船相连的绳子沿收缩方向是合运动，小船的运动为它的分运动。实际上，绳子A端和船相连，它的实际运动和小船运动相同，也是水平向左，这才是合运动。 3．常规解法 如图1所示，当绳子拉着小船水平向左运动时，定滑轮右边 的绳子运动有这样的效果：一方面，沿绳子方向收缩；另一方面， 绳子绕定滑轮O顺时针转动。因此，可将绳A端（或小船）水平 向左的实际运动（合运动）分解成上述两个方向的分运动，如图3 所示，而沿绳子收缩方向的分速度大小等于人通过定滑轮拉动绳 子的速度大小V，故小船运动的速度为（2） 1．功能原理法 设定滑轮的质量、滑轮和轴之间的摩擦均不计，则人在利用绕过定滑轮的绳子拉船过程中，人拉轻绳所做的功等于绳子拉船所做的功，即W人=W船，由于人拉绳和绳拉船的时 间相同，则有，即P人= P船（3） 设人对绳子的拉力为F，则绳对船的拉力大小也为F，根据功率的计算公式P=FVcosα，有 P人= F·V （4） P 船 = F ·V 船cos θ （5） 联立（3）、（4）、（5）式可得 类型题： 绳联物体的速度分解问题 【例题】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v 拉水平面上的物体A ，当绳和水平方向成θ角时，求物体A 的速度。 ★分析：解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A 的两个分运动。物体A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于01v v =；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就可以将A v 按图示方向进行分解。所以1v 及2v 实际上就是A v 的两个分速度，如图所示，由此可得 θ θcos cos 01 v v v A == 。 解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。 设船在θ角位置经△t 时间向左行驶△x 距离，滑轮右侧的绳长缩短△L ，如图所示，当绳和水平方向的角度变化很小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有 θcos x L ?=?，两边同除以△t 得： θcos t x t L ??=?? 即收绳速率θcos 0A v v =，因此船的速率为： θ cos 0 v v A = v 0 A C B ?x ?L θ v 0 θ A 绳子拉船模型集锦 1．如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，则 () A．v2＝v1 B．v2>v1 C．v2≠0 D．v2＝0 [答案] D [解析]环上升过程其速度v1可分解为两个分速度v∥和v⊥，如图所示，v∥＝v2＝v1·cosθ，当θ＝90°时，cosθ＝0，v∥＝v2＝0. 2．如图所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A物体以速度v向左运动时，系A，B的绳分别与水平方向成α、β角，此时B物体的速度大小为________，方向________． [答案]cosα cosβ v水平向右 [解析]根据A，B两物体的运动情况，将两物体此时的速度v和v B分别分解为两个分速度v1(沿绳的分量)和v2(垂直绳的分量)以及v B1(沿绳的分量)和v B2(垂直绳的分量)，如图，由于两物体沿绳的速度分量相等，v1＝v B1，v cosα＝v B cosβ. 则B物体的速度方向水平向右，其大小为v B＝cosα cosβ v 3．如图所示，点光源S到平面镜M的距离为d.光屏AB与平面镜的初始位置平行．当平面镜M绕垂直于纸面过中心O的转轴以ω的角速度逆时针匀速转过30°时，垂直射向平面镜的光线SO在光屏上的光斑P的即时速度大小为多大？ [答案]8ωd [解析]当平面镜转过30°角时，反射光线转过60°角，反射光线转动的角速度为平面镜转动角速度的2倍，即为2ω.将P点速度沿OP方向和垂直于OP的方向进行分解，可得： v cos60°＝2ω·OP＝4ωd，所以v＝8ωd. 4.如图6所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物 M，长杆的一端放在地上通过铰链联结形成转轴，其端点恰好处于左 侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，绕过两个滑轮后挂 上重物 M.C点与O点距离为l.现在杆的另一端用力．使其逆时针匀速转动，由图6 竖直位置以角速度ω缓缓转至水平位置(转过了90°角)，此过程中下述说法中正确的是 () A．重物M做匀速直线运动 B．重物M做匀变速直线运动 C．重物M的最大速度是ωl D．重物M的速度先减小后增大 解析：由题知，C点的速度大小为v C＝ωl，设v C与绳之间的夹角为θ，把v C沿绳和垂直绳方向分解可得，v绳＝v C cosθ，在转动过程中θ先减小到零再反向增大，故v绳先增大后减小，重物M做变加速运动，其最大速度为ωl，C正确． 5.一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳子提升一个质量为m的重 物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H.车由静绳子拉船模型集锦
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