Z-P-S空间中一类非线性算子方程解的存在性问题
非线性方程组的迭代解法【开题报告】
毕业论文开题报告 信息与计算科学 非线性方程组的迭代解法 一、选题的背景和意义 =的系数矩阵具有两非线性问题是近代数学研究的主流之一，随着计算问题的日益复杂化Ax b 个明显的特点：大型化和稀疏化。大型化指系数矩阵阶数可达上万甚至更高，稀疏性指A的零元素占绝大多数对这样的A作直接三角分解，稀疏性会遭到破坏，零元素被大量填入变为非零元素，因此迫切需要新的数值方法，适用于大型稀疏线性方程，以节省储存空间和计算时间，即提高计算效 =是数值计算的重要任务，但是率，迭代法在这样的背景下得到关注和发展，求解线性方程组Ax b 大多数科学和实际问题本质上是非线性的，能做线性化的毕竟有限，对这些非线性问题是各种解决方案，常常归纳为求解一个非线性方程组，而与线性方程相比非线性方程组的求解要困难和复杂的多，计算量也大的多，现有的理论研究还比较薄弱。而对于非线性方程，一般都用迭代法求解。二、国内外研究现状、发展动态 近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。三、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点） 非线性的迭代法是解非线性方程组的基本途径，是数值计算中非线性方程组求根的重要工具，也是研究非线性方程组整体性质和具体分布的重要工具。就因为这样，很多专家学者对非线性方程组的迭代法进行研究。在前人研究的基础上，本文首先介绍非线性方程组迭代法的产生背景以及国内外状况，然后从数值计算的定义及理论定理出发来研究非线性方程组的迭代法的一些相关的结论，包括非线性方程组的基于不动点原理的迭代法、newton迭代法及其收敛性、非线性方程组的迭代法及其收敛性、最小二乘法、迭代法的收敛加速性等，进一步讨论非线性方程组迭代解法的收敛性质以及其他一些相关定理，以便我们更好、更清楚的看到非线性方程组和迭代法之间的联系，以及收敛和加速。 四、研究（工作）步骤、方法及措施（思路） （一）研究方法
某些线性微分方程的算子解法
第23卷第5期 唐山师范学院学报 2001年9月 Vol. 23 No.5 Journal of Tangshan Teachers College Sep. 2001 ────────── 收稿日期：2001-06-20 作者简介：崔万臣（1953-），男，河北丰南人，唐山师范学院数学系讲师。 - 41 - 某些线性微分方程的算子解法 崔万臣 (唐山师范学院 数学系，河北 唐山 063000) 摘 要：给出了某些基本类型的线性微分方程的算子解法。 关键词：算子；逆算子；线性方程；特征根 中图分类号：O17 文献标识码：A 文章编号：1009-9115（2001）05-0041-02 在常微分方程中，方程求解问题是很重要的内容。一般常微分方程的求解不是容易的，但常系数线性方程的求解已经有了较多的方法。本文给出某些基本类型的常系数线性微分方程的算子解法。 1 算子的概念和性质 定义1 记d D dx =;222d D dx =… …n n n d D dx =。称2n D,D ......D 极其多项式n n 11n 1n L(D)D a D a D a --=++++ 为微分算子，简称算子。于是方程n n 11n 1n n n 1d d d y a y ......a y a y f (x)dx dx dx ---++++=可记为L(D)y f (x)= 定义2 设L(D)为一算子，若存在算子H(D)使L(D)(H(D)f (x))f (x)=，则称H(D)为L(D)的逆算子，记为1H(D)L(D)=于是方程L(D)y=f(x)等价于1y f (x)L(D) =可以证明，算子具有以下性质(证明略) 1．11221122L(D)(a y a y )a L(D)y a L(D)y +=+ 2．()()()()1212L (D)L D y L D L D y = 3． x x 11e e (L()0)L(D)L()λλ=λ≠λ 4.()x x 11e f (x)e f x L(D)L(D ) λλ=+λ 2 某些基本类型微分方程的算子解法 类型Ⅰ k L(D)y f (x)=，其中k f (x)为x 的k 次多项式。分两种情况讨论 1°若L(0)≠0，由逆算子定义直接可求得特解k k 1y f (x)Q(D)f (x)L(D) == 2°若L(0)=0,此时，()()()s 11L(D)D L D L 00,s 0=≠> 由性质2，方程的特解k k s 111y f (x)f (x)L(D)D L(D) == 例1 求方程22(D 1)y x 5+=+特解
非线性算子
非线性算子又称非线性映射，不满足线性条件的算子。泛函分析的研究对象主要是线性算子及其特殊情况线性泛函。但是，自然界和工程技术中出现的大量问题都是非线性的。数学物理中的一些线性方程其实都是在一定条件下的近似。为研究这些非线性问题，涉及到的算子(映射)将不能只局限于线性算子。人们从两种不同的途径研究非线性问题：①针对具体问题，考察具体非线性算子的特征，解释非线性现象。②从一般的算子概念出发，添加适当的分析、拓扑或代数性质导出一些一般性的结论。 代数、几何、拓扑中各种非线性映射是形形色色的，分析学中经常遇到的非线性算子则大抵由乘法、函数的复合以及各种线性算子组合而成。常见的非线性积分算子有:乌雷松算 子其中K(x,y，t)是 0≤x，y≤1，t∈R1上的连续函数;哈默 斯坦算子·，其中K是【0,1】×【0,1】上某p次可积函数，?(y,t)在【0,1】×R1上可测，对固定的y关于t连续。常见的微分算子有:KdV算子,极小曲面算子等。 许多非线性算子出现于非线性方程之中，从而有关非线性算子的理论就围绕着非线性方程的求解的研究而展开。设T是从B空间（巴拿赫空间）X到B空间Y的算子，设y∈Y，求解x∈X，满足： (1) 有时特别地考察y =θ（θ是Y中的零元）的情形，称解x为T的零点。显然，若T是一个满射，则(1)总有解,于是人们讨论在什么条件下T具有满射性.又若X=Y，方程(1)的求解问题有时化归寻求算子T1x = Tx+x-y的不动点 (2) 的问题。这样提问题有助于利用几何直观。 和线性方程的解集总是仿射集(线性子空间的平移)不同，方程(1)的解集构造很复杂，它可能对某些y是空集，而对另一些y则非空。其个数可能只有一个,可能有有穷多个，也可能有无穷多个；可能是孤立的，可能有聚点，也可能是连续统。 以X为定义域，取值为Y（映X入Y中）的子集的映射，称为集值映射。相应于(1)的求解问题写成下列从属关系： (3) 算子的微分学从分析上研究一般算子的途径是把数学分析中研究函数的微积分学推广到算子。设X、Y都是B空间，U是X中的一个开集,f:U→Y,称f在x0∈U连续，是指 相应于方向导数概念的是加托导数，简作G导数。称f在x0处G可微,是指对任意的h∈X，存在d f(x0,h)∈Y，使得
非线性方程牛顿迭代法与斯特芬森迭代法的研究与比较
非线性方程牛顿迭代法与斯特芬森迭代法的研究与比较 申林坚 （南昌航空大学 测试与光电工程学院 江西 南昌 330063） 摘要：本文针对一个具体的非线性方程032=-x e x 进行研究，首先作出了了函数 x e x x f -=23)(的图像，大体判定其零点（即方程解）在（3,4）区间内， 接着用牛顿迭代法和斯特芬森迭代法进行求解分析，牛顿法的迭代公式为 ) () (1k k k k x f x f x x '- =+， 斯特芬森迭代法公式为 ), (),(, 2)(21k k k k k k k k k k k y z x y x y z x y x x ??==+---=+ 记录两种方法求得指定精度解所需迭代次数及所需计算时间，并对其优缺点 进行了分析。 关键词：非线性方程；牛顿迭代法；斯特芬森迭代法 引言 非线性是实际问题中经常出现的，并且在科学与工程计算中的地位越来越重要，很多我们熟悉的线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化得到的，为得到 更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性模型，从而产生非线性科学，它是21世纪科学技术发展的重要支柱。本论文通过对特定非线性方程032=-x e x 进行求解，介绍了两种常用的迭代法牛顿迭代法和斯特芬森迭代法，详尽阐述了其各自的数学几何原理及优缺点比较，从而更深入的理解非线性方程的迭代法求解。 正文 一.作出)(x f 的图像，确定隔根区间 在Matlab 中输入以下指令并回车： x=(-10:0.001:10); y=3*x.^2-exp(x); plot(x,y); grid on ;
-10 -8-6-4-20246810 -2.5-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 x 10 4 图1 得到图1所示)(x f 的图像，易知，当10-
若干非线性算子的性质及应用
若干非线性算子的性质及应用 【摘要】：本文主要研究几类非线性算子的性质及应用。全文共分为四章。在第一章中，我们主要研究具有形式G=A+B的非线性算子，其中B为常算子、线性算子或者α-凹算子(0＜α＜1)。某些问题，如三点边值问题，奇异边值问题和脉冲问题通常可转化为此类算子。对这类算子进行深入的研究将有助于对上述问题的讨论。我们引入了局部u_0-凹算子的概念。局部u_0-凹算子是包含u_0-凹算子在内的范围更为广泛的一类算子。我们证明了当A满足某些特定条件时，C 是局部u_0-凹算子，并且得到了若干关于此类算子的不动点存在唯一性定理，这些定理不要求算子同时有上下解，也不要求算子具有连续性和紧性。主要结果如下：设E为实Banach空间，P为E中的正规锥，h＞θ，f∈P_h且M＞0，其中θ为E中的零元素。假设A：P→P 是α-齐次算子(α＞1)。算子C由Cu=Au+Mf，u∈P给定。如果存在v_0∈P_h使得(ⅰ)Cv_0≤v_0；(ⅱ)Av_0≤mf，其中m∈(0，M／(α-1))；那么(ⅰ)C在[θ，v_0]中有唯一的不动点x~*，并有x~*∈P_h，而且存在v′_0∈P_h，v′_0＞v_0使得C在[θ，v′_0]＼[θ，v_0]中没有不动点；(ⅱ)对任意的x_0∈[θ，v_0]，记x_(n+1)=Cx_n，n=0，1，2，…，则有(?)x_n=x~*。而且，存在(?)，γ∈(0，1)使得‖x_n-x~*‖≤2N(1-(?)~(γ~n))‖v_0‖，n=1，2，…，其中N是P的正规常数。然后，我们利用这些定理来讨论三点边值问题与得到了这两类三点边值问题解的存在唯一性结果。需要指出的是，对非线性三点边
非线性方程组数值解法
非线性方程组数值解法 n个变量n个方程(n >1)的方程组表示为 (1) 式中?i(x1,x2,…,x n)是定义在n维欧氏空间R n的开域D上的实函数。若?i中至少有一个非 线性函数，则称(1)为非线性方程组。在R n中记?＝ 则(1)简写为?(尣)=0。若存在尣*∈D，使?(尣*)＝0，则称尣*为非线性方程组的解。方程组(1)可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其中最著名的是牛顿法。 牛顿法及其变形牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序： (2) 式中
是?(尣k)的雅可比矩阵,尣0是方程(1)的解尣*的初始近似。 这个程序至少具有2阶收敛速度。由尣k算到尣k+的步骤为:①由尣k算出?(尣k)及 ;②用直接法求线性方程组的解Δ尣k；③求 。 由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。 为了评价非线性方程组不同迭代法的优劣，通常用效率作为衡量标准,其中P 为迭代法的收敛阶,W为每迭代步计算函数值?i及偏导数值的总个数（每迭代步中求一次逆的工作量相同,均不算在W内）。效率e越大表示此迭代法花费代价越小,根据效率定 义，牛顿法(2)的效率为。 牛顿法有很多变形,如当奇异或严重病态时，可引进阻尼因子λk，得到阻尼牛顿法，即
非线性方程组的求解
非线性方程组的求解 摘要：非线性方程组求解是数学教学中，数值分析课程的一个重要组成部分，作为一门学科，其研究对象是非线性方程组。求解非线性方程组主要有两种方法：一种是传统的数学方法，如牛顿法、梯度法、共轭方向法、混沌法、BFGS 法、单纯形法等。传统数值方法的优点是计算精度高，缺点是对初始迭代值具有敏感性，同时传统数值方法还会遇到计算函数的导数和矩阵求逆的问题，对于某些导数不存在或是导数难求的方程，传统数值方法具有一定局限性。另一种方法是进化算法，如遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、差分进化算法等。进化算法的优点是对函数本身没有要求，不需求导，计算速度快，但是精度不高。 关键字：非线性方程组、牛顿法、BFGS 法、记忆梯度法、Memetic 算法 1： 三种牛顿法：Newton 法、简化Newton 法、修改的Newton 法【1-3】 求解非线性方程组的Newton 法是一个最基本而且十分重要的方法, 目前使用的很多有效的迭代法都是以Newton 法为基础, 或由它派生而来。 n 个变量n 个方程的非线性方程组, 其一般形式如下: ???????===0),...,(... 0),...,(0),...,(21212211n n n n x x x f x x x f x x x f （1） 式(1)中,),...,(21n i x x x f ( i=1, ?, n) 是定义在n 维Euclid 空间Rn 中开域 D 上 的实值函数。若用向量记号，令： ????????????=n x x x ...X 21,????????????=??????????????====)(...)()(0),...,(...0),..,(0)...,()(2121212,211X f X f X f x x x f x x x f x x x f X F n n n n n
非线性Volterra积分方程
一类第二种非线性Volterra 积分方程 积分数值解方法 1前言 微分方程和积分方程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点.相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分方程对于问题的解决比微分方程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较方便，结果也比较完美,所以研究积分方程便得越来越有用,日益受到重视. 积分方程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关.一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分方程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分方程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分方程。所以最早研究积分方程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分方程，并用两种方法求出了它的解,第一的积分方程便是以Abel 命名的方程.该方程的形式为：? =-b a a x f dt t x t )() () (?,该方程称为广义Abel 方程,式中a 的值在(0,1)之间.当 a=21 时，该式子便成为)()(x f dt t x x x a =-??.在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace 反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分方程.但是Fourier 其实已经求出了一类积分方程的反变换，这就说明在早些时候积分方程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分方程.积分方程的形成基础是有两位数学家Fredholm 和V olterra 奠定的，积分方程主要是研究两类相关的方程，由于这两位数学家的突出贡献，所以这两个方程被命名为Fredholm 方程和V olterra 方程。后来又有德国数学家D.Hilbert 进行了重要的研究，并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert 领头科学家的研究，所以掀起了一阵研究积分方程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分。我国在60年代前，积分方程这部分的理论介绍和相关书本主要靠翻译苏联的相关书籍，那时研究的积分方程基本是一种模式，即用古典的方法来研究相关的积分方程问题，这样使得问题的研究变得繁琐、复杂，在内容方面比较单一、狭隘，甚至有些理论故意把积分方程的研究趋向于复杂化。随着数学研究的高速发展，特别是积分方程近年来的丰富发展，如此单一、刻板的解法已经不能跟上数学研究时代的步伐。在九十年代我国的数学专家路见可、钟寿国出版了《积分方程论》，该书选择2L 空间来讨论古典积分方程，并结合泛函分析的算子理论来分析积分方程的相关问题。最近出版的比较适合一般读者阅览的积分方程的书有李星出版的《积分方程》，该书从最简单的方
2.2 算子和算子方程
2.2 算子和算子方程 2.2.1 线性算子 1. 定义：设A D 和A D '都是线性函数集，且H D A ?，若元素A D ∈φ经算子A 映射得唯一的确定的元素A D '∈ψ，其映射关系为 φψA = 并满足线性运算律(α、β为任意常数) 2121)(φβφαβφαφA A A +=+ 则称A 为线性算子。其中：A D 是A 的定义域，A D '是A 的值域。 若对于任意的A D ∈φ，都有 i i φφφφA A =→lim 成立，则称A 为线性连续算子。 若对于任意的A D ∈φ，都有 φφC ≤A (C 为有限常数) 成立，则称A 为线性有界算子。 可以证明：线性连续算子等价于线性有界算子。 2. 运算性质 设A 、B 为线性算子，A D 、B D 分别为其定义域 (1) 算子的和——若B A D D ?∈φ φφφφ)()(A B B A B A +=+=+ (2) 算子的积——若B D ∈φ，A D ∈φB )A (B )B (A )B (A φφφ≠= (3) 算子的逆——若φφ=)(AB ，则 1-=A B ，1-=B A 称A 与B 互为逆算子。ψψ=-)(1AA 。 3. 线性算子方程： 可分为两种类型：
(1) 设A 是已知线性算子，若其值域中的已知点A D '∈ψ由定义域中相应未知点A D ∈φ映射而得，即 ψφ=A 则称之为确定性算子方程。 由算子方程的运算性质： ψφφφ111)()(---===A A A A A 确定性算子方程的求解任务：算子求逆运算。若1-A 存在，则解答是唯一的，1-A 连续，则解答是稳定的。 (2) 设A 为已知线性算子，其值域等于定义域A A D D ='，且λφψ=(λ为待定常数)在值域中也是未知点，则 λφφ=A 称为本征值算子方程。 本征值算子方程的求解任务： ①确定n λ所取的待定的值{ } ,2,1=n n λ； ②求出n λ所对应的解{} ,2,1=n n φ。 2.2.2对称算子和正定算子 1. 对称算子 定义1：设)()(),()(22E L D x V E L D x U A ?∈?'∈A ，则 ?>=<)(*)(,x E dx V U V U A A 称为含算子的内积，也即是交集上的线性泛函。 定义2：若函数集)(2E L D ?中的任何两个元素U 和V 所构成含算子的内积都满足 >>=< 收稿日期:2007-12-08 作者简介:李壮(1967-),男,黑龙江鸡西人,琼州学院计算机系副教授,博士。研究方向为非线性数值反演算法. 基金项目:国家自然科学基金(40774056)、海南省自然科学基金(10701)和海南省教育厅(H j 200778)资助. 第15卷 第2期 琼州学院学报 2008年4月28日 V o.l 15 N o .2Journal o fQ i ongzhou U niversity Apr .28.2008 非线性反问题同伦反演的一般格式 李 壮 (琼州学院计算机科学与技术系,海南五指山572200) 摘 要:针对非线性算子参数识别反问题,引入具有大范围收敛特性的同伦算法,构造了同伦反演求解 的一般格式. 关键词:反问题;同伦;算法 中图分类号:P315 文献标识码:A 文章编号:1008-6722(2008)02-0036-03 0 引言 波动方程反演是近年来兴起的一门新兴学科,在模式识别、图像处理、地震勘探、无损探伤等领域有着重要的应用.其广泛的应用背景和潜在的经济效益,使之成为了理论和应用研究的热点.由于反问题具有非线性、不适定的特点,目前研究主要集中于非线性反演算法:根据其是否需要线性化、是否具有全局搜索能力,分为线性化反演和完全非线性反演两类.其中,线性化反演以最速下降法、共轭梯度法、高斯牛顿法等为代表,将问题局部近似为一个线性问题,收敛速度较快,但不足之处在于其局部收敛性,迭代结果明显依赖于初值的选取,易陷入大量局部极值的陷阱,难以得到令人满意的全局最优解.相比之下,完全非线性反演不进行局部线性近似,而是将反演问题转化为一个非线性优化问题,通过具体算法进行直接求解,实现从数据空间到模型空间的映射.因此,完全非线性反演被认为是解决非线性反问题的根本途径. 目前,完全非线性反演算法中较为流行的有遗传算法、混沌优化法、模拟退火法等,并以遗传算法为其典型代表.但由于遗传算法存在对参数选择敏感、在进化后期收敛缓慢等问题,且由于其随机性和有限性,通常只能搜索到目标函数的极值点附近,而非精确的极值点,从而影响了计算的精度.随着相关学科的不断发展,完全非线性反演研究迎来了一个新的阶段,近年兴起的大范围收敛的同伦反演就属于完全非线性反演方法范畴.将代数拓扑学中的同伦方法引入到反演计算中,能够克服遗传算法等非线性反演算法易陷入局部收敛的弱点,且对初值选取无严格限制,能够构造出高效实用的大范围收敛方法[1~3].本文针对非线性反问题的基本模型,构造了同伦反演算法求解的一般格式. 1 反演模型 考虑时间-空间域上的非线性算子参数识别反问题 L (c(x ),t)u (x,t)=0, x ,t >0 Eu (x,0)=g (x ) x Bu (x,t)=f (x ,t), x ,t >0Au (x,t)= (x,t), x ,t >0(1)其中x =(x 1,x 2, ,x n )T , 为R P 中的区域, 为其边界,u (x,t)为定义在 !(0,?)上的充分光滑函 数,L 、E 、B 和A 分别为微分算子、初始条件算子、边界条件算子与附加条件算子, 为 的一部分,构成了确定算子参数c(x )的非线性反问题. 非线性偏微分方程及其几种解法综述 姓名：柏宝红 学号：BY1004120 目录 1、绪论 (3) 1.1背景 (3) 1.2 现状 (7) 2、非线性偏微分方程的几种解法 (10) 2.1逆算符法 (10) 2.2 齐次平衡法 (11) 2.3 Jacobi椭圆函数方法 (12) 2.4 辅助方程方法 (14) 2.5 F-展开法 (15) 2.6 双曲正切函数展开法 (17) 1、绪论 以应用为目的，或以物理、力学等其他学科问题为背景的微分方程的研究，不仅是传统应用数学中一个最主要的内容，也是当代数学的一个重要组成部分.它是数学理论与实际应用之间的一座重要桥梁，研究工作一直十分活跃，研究领域日益扩大。 目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方程(NLPDE).很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究.现实生活的许多领域内数学模型都可以用NLPDE来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是NLPDE，另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方程近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的研究，特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示出了很重要的理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普遍有效的求精确解的方法.20世纪50年代以来，人们对非线性现象的研究中提出了“孤子”的概念，进而使得对NLPDE求解的研究成为非线性科学中的热点。下面介绍一下孤立子理论的研究背景、研究现状。 1.1背景 孤立子理论己经成为应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在流体力学，等离子物理，经典场论，量子论等领域有着广泛的应用。 随着近代物理学和数学的发展，早在1834年由英国科学家Russell发现的孤立波现象近二十多年来引起了人们的极大关注，对非线性反问题同伦反演的一般格式
非线性偏微分方程