最简二次根式和同类二次根式
最简二次根式和同类二次根式
一、复习引人：
1、化简下列二次根式： 1)18 2) 3
a 3) )0(92>
b a b 2、观察思考：
观察每组两个二次根式里的被开方数前后发生了什么变化,化简后的被开方数是由那些共同的特征.
总结：
1） 被开方数中各因式的指数都为1；
2） 被开方数不含分母.
3、同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 举例说明：如ab 3、y x +23
1、)(622b a m +等都是最简二次根式. 例1：判断下列二次根式是不是最简二次根式：
1）3
5a 2）a 42 3）324x 4）)1()12(32-≥++a a a 例2：将下列二次根式化成最简二次根式：
1）)0(423>y y x 2）)0())((22≥≥+-b a b a b a 3）)0(>>-+n m n
m n m 4、几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。在多项式中，同类项是可以合并的，类似的，同类二次根式也可以合并，它的依据是提取公因式.。
例3：下列二次根式，那些是同类二次根式：
12 ，24， 271，b a 4，)0(23>a b a ，
)0(3>-a ab 例4：合并下列各式中的同类二次根式： 1）323132122++-
； 2）xy b xy a xy +-3 三、课堂小结：
（1）掌握判断最简二次根式的依据：二次根式里被开方数中各因式的指数都为1且被开方数不含分母.
（2）化简二次根式时，要特别注意判断根号内字母的取值范围，从而正确化简.
（1）掌握判断同类二次根式的依据：即先化成最简二次根式，再看被开方数是否相同.
（2）合并同类二次根式时，可类比合并同类项.
最简二次根式和同类二次根式检测题
一、选择题（每题3分，共18分）
1、下列根式中与其他三个不同类的是（ ）
A B D 2、下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ ）
A ．18
3( )
A.1
B.1- 4、下列计算正确的是( )
A.= =
3= 3=-
5、化简122
154＋?的结果是( ).
(A) (D)
6、下列计算中,正确的是( )
A. 3a = B . 632a a a ÷=
C. 1(2)2a a -=-
D. 236(2)8a a -=-
二、填空题（每题4分，共36分）
7、计算:28-=______;123
2?= _______. 8、计算:27124148÷??
? ??
+=_________.
9_________．
10、若a a=_______，b=_______．
11的整数部分是a ，小数部分是b ，计算+b 的值为________．
12
=x 的取值范围是 。
13、将1m m --根号外的因式移到根号里面正确的是 。 14、20042003(52)(52)-+= 。
15、设a b c ，，都是实数，且满足条件22
(2)80a a b c c -+++++=，则ab+c = 。 三、解答题
16、计算（每题6分，共36分）
（1）212+348
（2）52+8-718
（3）9
50(98)2--;
（4）12322--.
（5）33
228a a a a -+;
（6）13282163-+
17、先化简,再求值:（本题10分）
-4
-2x x +24-4+4x x ÷-2x
x ,其中x 2
最简二次根式与同类二次根式的判别方法小结
最简二次根式与同类二次根式的判别方法小结 綦江县赶水中学 李开铜（401437） 最简二次根式是一种特殊形式的二次根式，如果一个二次根式不是最简二次根式，应根据积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质将其化为最简二次根式.被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式。这两个概念是本章最重要的两个概念，希望同学们一定要掌握好！现把判断最简二次根式、同类二次根式的方法总结如下： 一、最简二次根式的判别方法 1．被开方数不能含有开得尽方的因数 例1:化简363 温馨提示:被开方数中含有开得尽方的因数121. 解：原式 =31131131212=?=?. 2．被开方数不能含有小数或分数 例2:化简：(1).315)2(;72.0 温馨提示：（1）中被开方数中含有小数0.72;(2) 中被开方数中含有分数13. 解(1) 原式 =.253100 7210072==(2) 原式 =.33433316316=??= 3．被开方数不能含有开得尽方的因式 例3:温馨提示：被开方数中含有开得尽方的因数16和因式x 2、y 4 . 解：原式4xy = 判断最简二次根式就是注意两点：一是被开方数中不能含有分母或小数; 二是被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式. 二、同类二次根式的判别方法 判别几个根式是否为同类二次根式，其依据的同类二次根式的定义，若几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式. 例4:下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？
（1）18，3 1； （2）32，8； 温馨提示：要判断所给的两组二次根式是否是同类二次根式，首先要把所给的二次根式化成最简二次根式,再判断被开方数是否相同. 解：（1）2318=，3 1=331，由于化成最简二次根式后，两个根式被开方数不同，所以18与3 1不是同类二次根式. （2）2432=，228=，由于化成最简二次根式后，两个根式的被开数相同，所以32与8是同类二次根式. 例5:下列二次根式中，哪些与32是同类二次根式？ 27 1,50,54,48,3.0． 温馨提示：要判断哪个几个根式与32是同类二次根式，只要将所给的二次根式化成最简二次根式，然后观察其被开方数是否为3. 解：因为301013.0=，3448=，6354=，391271=，所以48，271与32是同类二次根式. 同学们在平时的学习中不断总结、反思，逐渐形成解题技能和技巧，在平时的学习中就会知一题而会一片!
16.2(2)同类二次根式-经典练习题
同类二次根式 一、选择题 1.( ) 2.下面说法正确的是( ) A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 C D.同类二次根式的根指数为2的根式 3.( ) C 4. 10=，则x 的值是( )A.4 B.±2 C.2 D.±4 二、填空题 5.___________. 6.若最简二次根式____,____.a b == 7._____a = 8.，则它的周长是__________cm. 9.已知33______.x y y xy +=则x 11.已知21________. x x x -+=则 三、解答题 (12) (14) 1622x (15)0)>
(17)430) ab> 1、在15， 6 1， 2 1 1 ，40中最简二次根式的个数是………………（）A．1个B．2个C．3个D．4个 2、下列各组二次根式中是同类二次根式的是………………（） A． 2 1 12与 B．27 18与C． 3 1 3与 D．54 45与 3、下列各式正确的是………………（） A．a a= 2B．a a± = 2C．a a= 2D．2 2a a= 4、下列各式中① ②③④⑤⑥一定是二次 根式的有（）个。A 1 个 B）2个 C） 3个 D） 4个 5、若1＜x＜2，则()21 3- + -x x的值为………………（） A．2x-4 B．-2 C．4-2x D．2 6、（10与（9乘积的结果是………………（）。 A、B、C、D、 7、下列运算中，错误的是（） 3C.=16925 += 8、如果1 1 2 2= + - +a a a，那么a的取值范围是…………（） A．0 = a B．1 = a C．1 ≤ a D．1 0= =a a或 9、若x x x x- ? - = - -3 2 ) 3 )( 2 (成立。则x的取值范围为：（） A ）x≥2 B）x≤3 C）2≤x≤3 D）2＜x＜3 10、已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足0 8 36 12 2= - + + -b a a，那么这个三角形的最大边c的取值范围是…………………（） A．8 > c B．14 8< 第2讲 最简二次根式与同类二次根式 知识框架 最简二次根式和同类二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，是进一步研究二次根式运算的的知识基础．重点是最简二次根式、同类二次根式的判断，难点是同类二次根式的合并及最简二次根式的化简． 2.1 最简二次根式 最简二次根式的概念： （1）被开方数中各因式的指数都为1； （2）被开方数不含分母．被开方数； 同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 【例1】 将下列二次根式化成最简二次根式： （12248xy y -（0y <）； （222()()(0)a b a b a b -+≥≥； （33221)x x x x -+>． 【例2】将下列二次根式化成最简二次根式： （1（2 （30 c>）． b<）（40 b>，0 a>，0 【例3】将下列二次根式化成最简二次根式： （1) <<；（20) a b >>； m n a>． （32) 【例4】是最简二次根式，则m=________，n=________，p=________．（其中m，n，p不为0） 【例5】 如果 【例6】将下列式子化成最简二次根式： （1 ）) a b <<；（2 0) y x >>． 【例7】将下列式子化成最简二次根式： （1 （2 ）a -（3 ）(1a -- 【例8】 已知02x << 【例9】 已知53x y xy +==， 【例10】 已知0a < ． 2.2 同类二次根式 同类二次根式的概念： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 【例11】 判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ （1）32a a a +33 1 b ab b + （222329124a b a ab b +++32a a b + 【例12】 若最简二次根式2a b a b +-3a b -+是同类二次根式，求a 、b 的值． 【例13】 当3x =-时，二次根式2257m x x ++5，求m 的值． 《二次根式》分类练习题 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义： 形如 的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时， 才有意义． 【典型例题】 【例1】下列各式1） 22211 ,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、 2 1a + 2、在a 、2a b 、1x +、2 1x +、3中是二次根式的个数有______个 【例2】若式子 1 3 x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三： 1、使代数式4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2、使代数式2 21x x - +-有意义的x 的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 解题思路：式子a （a ≥0），50 ,50 x x -≥?? -≥? 5x =，y=2009，则x+y=2014 举一反三： 1、若11x x ---2 ()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值 3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。 已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求 y x 1 2+ 的值. 知识点二：二次根式的性质 【知识要点】 1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a aa 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()20 3. a a a a a a 200==≥- 同类二次根式的教学设计 教学目标 1．理解同类二次根式的概念，掌握判断同类二次根式的方法。 2．提供适当的问题情境，激发学生的求知欲望，培养学生学习数学的兴趣。 3．主动探索，勇于发现，学会交流，相互评价，提高学生的合作意识和能力。 教学过程 一、复习旧知，提出问题。 师：咱们前面学习了最简二次根式，哪个同学能说出一个最简二次根式？试试看！ 生1：。 师：好，再来！ 生2：。 生3：。 师：不是最简二次根式，为什么？它不符合最简二次根式的哪一个条件？ 生４：第二个，它含有能开得尽方的因数。 师：这位同学说得好！我发现，前面的几个根式，大家都是按顺序说的，能不能打破常规，有所创新？ 生５：。 师：好，刚才说的都是数学的，能否换成带字母的呢？ 生６：。 师：好，还有没有？有。我看还有很多同学跃跃欲试想发言，这很好。我想可能有的同学心理不平衡，心想老师只叫我们说，你自己怎么不说。好，我说几个，大家看一下，它们是不是最简二次根式？ 师：。 生众：不是。 二、合作讨论，探索新知。 师：在上述二次根式中，不是最简二次根式，能不能将它们化成最简二次根式？ 生众：能。 师：好，我请一个同学试试看。 生７：，，，。 师：说得好。大家看一下，在上面的这些根式中，有些根式之间有什么联系，或者说有什么共同之处。可以相互讨论一下。 生８：，和，和，和有关系。 师：它们之间有什么关系？ 生９：化成最简二次根式后，被开方数相同。 师：我们把这样的几个二次根式叫做同类二次根式，这就是我们今天要学习的内容，哪个同学能给同类二次根式下个定义？试试看。 生1０：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 师：好，我请一个同学再说一下。 生1１：（略） 师：说得对！好，请大家再想一下同类二次根式的概念。 生众：（默念。） 师：刚才我们把同类二次根式的定义说了两遍又背了一遍，只会背还不够。请大家考虑一下，从读、背同类二次式定义的过程中你有什么发现？有什么想法？ 创新三维学习法，高效学习加速度 知识精要 一、最简二次根式 1. 化简二次根式 把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外,或者化去被开方数 的分母的过程,称为化简二次根式, 通常把形如)0 a≥的式子叫做二次根 式。 2. 化简后的二次根式中： (1)被开方数中各因式的指数都为1； (2)被开方数不含分母。 3.最简二次根式必须满足二个条件： (1)被开方数中各因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。 二、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二次根式。 同类二次根式可以合并. 注：要判断几个根式是否为同类根式，不一定非要化成最简形式，实际上只要化成某一种形式后，在这种形式下，被开方数相同就可以了。 创新三维学习法，高效学习加速度 创新三维学习法，高效学习加速度 精解名题 例1.化简下列二次根式 (1) == 8=== ; (3) 0)x ≤( )) 0020x x ?=?=?- 创新三维学习法，高效学习加速度所以-(a+1),即a 原式= 所以应该选B 例3 02)++ 02)+ (11|1=++-． 111=． 1= 例4 最简二次根式 (1)下列各式中,是最简二次根式的是( ) A B C D 解：A B D 所以，应选C (2) 解：因为0x ≥， 则原式 = 3xy = (3) x 解：有式子可直接得：00x xy ≠≥且， 则原式x = 2 x = = )) 00x x ?>?==?- 《二次根式》分类练习题 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义． 【典型例题】 【例1】下列各式1） 22211 ,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、2 1a + 2、在a 、2a b 、1x +、2 1x +、 3中是二次根式的个数有______个 【例2】若式子3 x -有意义，则x 的取值围是 ．[来源:学* 科*网Z*X*X*K] 举一反三： 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2、使代数式 2 21x x -+-有意义的 x 的取值围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的 位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y= 5-x +x -5+2009，则 x+y= 解题思路：式子a （a ≥0），50 ,50 x x -≥??-≥? 5x =，y=2009，则 x+y=2014 举一反三： 111x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求 xy 的值 3、当a 211a +取值最小，并求出这个最小值。 已知a 5b 是51 2 a b + +的值。 若3的整数部分是 a ，小数部分是 b ，则=-b a 3 。 若 17 的整数部分为x ，小数部分为y ，求 y x 12+ 的值. 【知识回顾】 1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a）2=a（a≥0）；（2 ） 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、概念与性质 例1下列各式1- 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1） x x - - + 3 1 5 ；（2） 2 2) - (x 例3、在根式1) ，最简二次根式是（） a（a＞0） = =a a2 a -（a＜0） 0 （a=0）； A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知： 的值。求代数式22,211881-+- +++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a>时，①如果a b >a b >a b >时，①如果2 2 a b >，则a b >；②如果2 2 a b <，则a b <。 例2、比较323 （3）、分母有理化法 龙文教育数学学科教师个性化辅导学案 教师： 学生： 时间: 年 月 日 时段： 课 题 教学目标 教学重点、难点 教学方法 教学内容 最简二次根式是一种特殊形式的二次根式，如果一个二次根式不是最简二次根式，应根据积的算术平方 根的性质和商的算术平方根的性质将其化为最简二次根式.被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式。 一、最简二次根式的判别方法 1．被开方数不能含有开得尽方的因数 例1:化简363 2．被开方数不能含有小数或分数 例2:化简：(1).3 15)2(;72.0 3．被开方数不能含有开得尽方的因式 例3:化简3532x y 判断最简二次根式就是注意两点：一是被开方数中不能含有分母或小数; 二是被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式. 二、同类二次根式的判别方法 判别几个根式是否为同类二次根式，其依据的同类二次根式的定义，若几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式. 例4:下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？ （1）18，3 1； （2）32，8； 例5:下列二次根式中，哪些与32是同类二次根式？ 27 1, 50,54,48,3.0． 例6：如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a 、b 的值是( ) A.a=2，b=1 B.a=1，b=2 C.a=1，b=-1 D.a=1，b=1 练习：若最简根式 与根式是同类二次根式，求a 、b 的值． 【课内习题精练】 一、精心选一选 1．在根式①ab ；②5 x ；③xy x -2；④abc 27中，最简二次根式是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①④ 2．下列二次根式中与3是同类二次根式的是（ ） A ．18 B ．3.0 C ．30 D ．300 3．若b ＜－1，则化1 +b a 为最简二次根式得（ ） A ．)1(11++b a b B ．－)1(1 1++b a b C ．－)1(1+b a a D ．b ＋1)1(+b a 16.2最简二次根式和同类二次根式(1) 上海市民办复旦万科实验学校 谷兴安 教学目标： 1.经历最简二次根式概念的形成过程，理解最简二次根式的概念, 通过化简二次根式,体会研究二次根式的方法. 2.会判别最简二次根式，会化最简二次根式. 教学重点和难点： 会判别最简二次根式，会把不是最简的二次根式化为最简二次根式. 教学流程设计： 教学过程设计： 一、复习提问： 1.如何化简二次根式？ 2.化简下列二次根式： 18 23 3 a 33a )0(92 >b a b )0(3>b a a b 二、学习新课： 1、观察思考： 观察每组两个二次根式里的被开方数前后发生了什么变化,化简后的被开方数是由那些共同的特征. 师生共同讨论总结： 1） 被开方数中各因式的指数都为1； 2） 被开方数不含分母. 师生共同总结：同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 举例说明：如ab 3、 y x +23 1、)(622b a m +等都是最简二次根式. 2、例题分析： 例1：判断下列二次根式是不是最简二次根式： 1）35a 2）a 42 3）324x 4）)1()12(32-≥++a a a 例2：将下列二次根式化成最简二次根式： 1）)0(423>y y x 2）)0())((22≥≥+-b a b a b a 3）)0(>>-+n m n m n m 三、课堂小结： （1）掌握判断最简二次根式的依据：二次根式里被开方数中各因式的指数都为1且被开方数不含分母. （2）化简二次根式时，要特别注意判断根号内字母的取值范围，从而正确化简. 四、作业布置： 练习册习题16.2(1) 教学设计说明： 1．通过观察三个二次根式的化简结果，顺利引出“最简二次根式”的概念，并通过举例学会判断一个二次根式是否为最简二次根式. 2．本节课的教学设计，力求体现出在教师引导下，师生共同讨论、分析、归纳，掌握化成最简二次根式的一般步骤，并通过课堂练习让学生在课堂上达到巩固所学知识的目的． 教学反思： 在化简二次根式时，如果要将被开方数中某个完全平方式的因式用它的正的平方根（即算术平方根）代替后移到根式外，那么这个正的平方根（即算术平方根）必须是“非负”的.因此，要根据二次根式有意义以及已给定的条件，判断字母或因式的取值范围. 最简二次根式和同类二次根式 一、复习引人： 1、化简下列二次根式： 1)18 2) 3 a 3) )0(92> b a b 2、观察思考： 观察每组两个二次根式里的被开方数前后发生了什么变化,化简后的被开方数是由那些共同的特征. 总结： 1） 被开方数中各因式的指数都为1； 2） 被开方数不含分母. 3、同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 举例说明：如ab 3、y x +23 1、)(622b a m +等都是最简二次根式. 例1：判断下列二次根式是不是最简二次根式： 1）3 5a 2）a 42 3）324x 4）)1()12(32-≥++a a a 例2：将下列二次根式化成最简二次根式： 1）)0(423>y y x 2）)0())((22≥≥+-b a b a b a 3）)0(>>-+n m n m n m 4、几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。在多项式中，同类项是可以合并的，类似的，同类二次根式也可以合并，它的依据是提取公因式.。 例3：下列二次根式，那些是同类二次根式： 12 ，24， 271，b a 4，)0(23>a b a ， )0(3>-a ab 例4：合并下列各式中的同类二次根式： 1）323132122++- ； 2）xy b xy a xy +-3 三、课堂小结： （1）掌握判断最简二次根式的依据：二次根式里被开方数中各因式的指数都为1且被开方数不含分母. （2）化简二次根式时，要特别注意判断根号内字母的取值范围，从而正确化简. （1）掌握判断同类二次根式的依据：即先化成最简二次根式，再看被开方数是否相同. （2）合并同类二次根式时，可类比合并同类项. 同类二次根式 一、选择题 1.是同类二次根式的是( ) 2.下面说法正确的是( ) A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 C D.同类二次根式的根指数为2的根式 3.( ) C 4. 10=，则x 的值是( ) B.±2 D.±4 、 二、填空题 5.___________. 6.若最简二次根式____,____.a b == 7._____a = 8.，则它的周长是__________cm. 9.已知33 ______.x y y xy ==+=则x 11.已知21________. x x x -+=则 三、解答题 (12) ] (14) 1622x (15)0)> { - (17)430)ab > 1、在15， 6 1 ， 2 11 ，40中最简二次根式的个数是………………（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、下列各组二次根式中是同类二次根式的是………………（ ） A ． 2 112与 B ．2718与 C ． 3 13与 D ．5445与 3、下列各式正确的是………………（ ） ( A ．a a =2 B ．a a ±=2 C ．a a =2 D ．22a a = 4、下列各式中①a ②1+b ③2a ④32+a ⑤122++x x ⑥12 -x 一定是二次根 式的有（ ）个。A 1 个 B ）2个 C ） 3个 D ） 4个 5、若1＜x ＜2，则()2 13-+ -x x 的值为………………（ ） A ．2x-4 B ．-2 C ．4-2x D ．2 6、（10与（）9乘积的结果是………………（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、 7、下列运算中，错误的是（ ） 3 C.= 16925+= 8、如果1122=+-+a a a ，那么a 的取值范围是…………（ ） A ．0=a B ．1=a C ．1≤a D ．10==a a 或 ^ 9、若x x x x -?-= --32)3)(2(成立。则x 的取值范围为： （ ） A ）x ≥2 B ）x ≤3 C ）2≤x ≤3 D ） 2＜x ＜3 10、已知三角形三边为a 、b 、c ，其中a 、b 两边满足0836122=-++-b a a ，那么这个三角形的最大边c 的取值范围是…………………（ ） A ．8>c B ．148< 《同类二次根式》教学设计 学习目标 1.掌握同类二次根式的概念． 2.会熟练的进行二次根式的加减运算及混合运算． 3.体会类比的数学思想在数学中的应用． 课前预习方案 自主学习 1.28______=． 2.1 3 0.527中同类二次根式是 ________． 3.51530_______=. 知识链接 1.实数的运算法则、运算律和乘法公式: ① 加法交换律； ②加法结合律； ③ 乘法交换律； ④乘法分配律． 乘法公式：平方差公式，完全平方公式． 2.最简二次根式的化简． 课堂学习方案 知识结构 1.同类二次根式的概念：几个二次根式化为 最简二次根式后，如果被开方数相同，那 么这几个二次根式叫做同类二次根式． 2.判断是同类二次根式的方法：定义法． 3.二次根式的加减运算： 一般步骤：⑴将每个二次根式化简 ⑵找出同类二次根式 ⑶合并同类二次根式． 4.二次根式的混合运算： ⑴运算顺序：同实数先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的； ⑵运算律、运算法则、乘法公式同样适用． 典型例题 例1.判断下列各式哪些是同类二次根式： 11 2120.53227 ，，，， 思路分析：将每个根式应先化为最简二次根式，再依据定义进行判断． 12223?3 12 3283242 === ； 12 0.5222 === ； 11333 27 273819?===?， 1 20.532 ， ，是同类二次根式 1 1227 ， 是同类二次根式． 例2.计算： ⑴ ) 2 313- (2) 523 523 点拨：解决此类题能用公式时就利用公式， 可使运算简便． 解：⑴ )2313- =2 2 323112 3++- =323123+- =4． ⑵ 2 2 522 522 =( 2 2 2 52?? -?? ? =()2 58-=9 例3.①232 23 + 验证：223()3 3 22 22 23 21-+=- ()222212 21 -+= -2 23 + 二次根式加减法 学校:___________姓名：___________ 一、单选题 1．下列各式中，与是同类二次根式的是（） A．B．C．D． 2．在根式，，，，，中，与是同类二次根式的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 3．下列根式中，不能与合并的是( ) A．B．C．D． 4．下列各组二次根式中，可化为同类二次根式的是（） A．和B．和C．和D．和 5．下列说法正确的个数 ①2的平方根是；②与是同类二次根式； ③与互为倒数；④的绝对值是 A．0B．1C．2D．3 6．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（）A．2B．3C．4D．5 7．下面说法正确的是（） A．是最简二次根式 B．与是同类二次根式 C．形如的式子是二次根式 D．若＝a，则a＞0 8．计算2＋3－3的结果是( ) A．B．7C．2D．2＋ 9．计算-+的结果是() A．5B．3C．3D．9 10．计算2(3＋3)－3(4＋2)的结果是( ) A．－6＋12B．18＋12C．－6D．6 二、填空题 11．在，，中与是同类二次根式是________. 12．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a=___________。13．若最简二次根式与能合并成一项，则a＝_____． 14．若最简二次根式和-能合并,则a的值为___. 15．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则a =_________．16．若最简根式和是同类二次根式，则的值是__________． 17．计算:=_____. 18．化简：的结果为______. 19．一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成____________二次根式，再将____________相同的二次根式进行合并. 20．计算：＝_____． 21的结果是______，求得它的近似值为__ __．(结果精 确到0.01， 1.414， 1.732) 三、解答题 22．计算：6(2－)×－(－)＋|2－4| 23．计算：． 24．计算：3+2+2+3（结果保留根号）， 25．二次根式的加减法运算： （1）（2） （3）（4） （5）． 最简二次根式与同类二次根式的判别 最简二次根式是一种特殊形式的二次根式，如果一个二次根式不是最简二次根式，应根据积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质将其化为最简二次根式.被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式。这两个概念是本章最重要的两个概念，希望同学们一定要掌握好！现把判断最简二次根式、同类二次根式的方法总结如下： 一、最简二次根式的判别方法 1．被开方数不能含有开得尽方的因数 例1:化简363 温馨提示:被开方数中含有开得尽方的因数121. 解：原式 =31131131212=?=?. 2．被开方数不能含有小数或分数 例2:化简：(1).315)2(;72.0 温馨提示：（1）中被开方数中含有小数0.72;(2) 中被开方数中含有分数13. 解(1) 原式 =.25 31007210072==(2) 原式 =.33433316316=??= 3．被开方数不能含有开得尽方的因式 例3:温馨提示：被开方数中含有开得尽方的因数16和因式x 2、y 4 . 解：原式4xy = 判断最简二次根式就是注意两点：一是被开方数中不能含有分母或小数; 二是被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式. 二、同类二次根式的判别方法 判别几个根式是否为同类二次根式，其依据的同类二次根式的定义，若几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式. 例4:下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？ （1）18，3 1； （2）32，8； 温馨提示：要判断所给的两组二次根式是否是同类二次根式，首先要把所给的二次根式化成最简二次根式,再判断被开方数是否相同. 解：（1）2318=，31=33 1，由于化成最简二次根式后，两个根式被开方数不同，所以18与3 1不是同类二次根式. （2）2432=，228=，由于化成最简二次根式后，两个根式的被开数相同，所以32与8是同类二次根式. 例5:下列二次根式中，哪些与32是同类二次根式？ 27 1,50,54,48,3.0． 温馨提示：要判断哪个几个根式与32是同类二次根式，只要将所给的二次根式化成最简二次根式，然后观察其被开方数是否为3. 解：因为301013.0=，3448=，6354=，391271=，所以48，271与32是同类二次根式. 同学们在平时的学习中不断总结、反思，逐渐形成解题技能和技巧，在平时的学习中就会知一题而会一片! 蚅二次根式相关知识总结及典型例题讲解 蒃 賺知识点一：二次根式的概念 肇【知识要点】 螄二次根式的定义： 羂形如:的式子叫二次根式，其中戈叫被开方数，只有当一个非负数时，丿:才有意义. 羁【典型例题】 膆【例1】下列各式1) J5, 2)広3) J x2 2,4)扬,5)J( 1)2,6)「a,7) J a2 2a 1 , 莂其中是二次根式的是__________ (填序号) 蚂举一反三： 祎1、下列各式中，一定是二次根式的是（ a? 1 芄A -~a B、"70 C、D、 、漿中是二次根式的个数有__________________ 螁2、在苗、届、斤 个 【例2】若式子J_有意义，则x的取值范围是_______________ .[来源：学*科*网Z*X*X*K] 莃举一反三： 膀1、使代数式丄卫有意义的x的取值范围是（） x 4 袈A、x>3 B、x > 3 C、x>4 D、x > 3 且x z 4 x2 2x 1有意义的x的取值范围是_______________ 聿2、使代数式?， 螅3、如果代数式.m 1有意义，那么，直角坐标系中点P( m Jmn n)的位置在( ) 袄A、第一象限B、第二象限C第三象限D、第四象限 虿 袃【例3］若y= . x 5 + .5 x +2009，则x+y= ______________ x 5 0, x 5,y=2009，则x+y=2014 5x0莃解题思路：式子掐'(a>0), 荿举一反三： x—y的值为( ) 袇1、若x 1 .1 x (x y)2，则 芆A. —1 B . 1 C . 2 D . 3 2x 3 3 2x 4，求xy的值螃2、若x、y都是实数，且y== 聿3、当a取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小 16.2 最简二次根式和同类二次根式 一、 课本巩固练习 1、判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1； （2 （2 （4 2、判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式： 3、 将下列二次根式化简成最简二次根式： （1） 0)y >； （20)a b ≥≥； （2） (0)m n >>. 4、将下列各二次根式化成最简二次根式： 0)b >0)x y >>0)p q >> 5、下列二次根式中，哪些同类二次根式？ 0)a >，0)a >. 6、判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式： （1 （20)x ≥； （30)a >0)y > 7、 合并下列各式中的同类二次根式： （1）； （2） 8、合并下列二次根式中的同类二次根式： （1） （2） 二、基础过关 一选择题 1下列式子一定是二次根式的是 ( ) (A) (B) (C) (D) 23b =-，则 （ ） (A) 3b > (B) 3b < (C) 3b ≥ (D) 3b ≤ 3m 能取的最小整数值是 （ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 4x 的取值范围是 （ ） (A) 0x ≥ (B) 6x ≥ (C) 06x ≤≤ (D) x 为一切实数 5=x 的取值范围是 （ ） (A) 0x ≥ (B) 0x > (C) 1x ≥ (D) 1x > 6下列跟式中，最简二次根式是 （ ） （A (B) (C) (D) 二填空题 1当x 时，x 的取值范围是 2当x 时，二次根式取最小值，其最小值为 3=a 的取值范围 4当x 时，12x =-. 5计算：101 ()(2π--+= 二次根式加减法及混合运算 同类二次根式的定义：几个二次根式化简成最简二次根式后，如果它们的被 开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式 合并同类二次根式的法则：只把系数相加减，根号部分不变 1.若最简二次根式1+a 与4–2a 是同类二次根式，则a 的取值范围是______ 2._________． 3.下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ ） A B C D ．18 4.，则它的周长是 cm ． 5.下列说法正确的是： (A)最简根式一定是同类根式 (B)不是同类二次根式与31a a (C)任何两个根式都可以化成同类二次根式 (D)任何两个根式都可以化为最简根式 6.已知x ，y 为实数，且满足错误！未找到引用源。y y x ---+1)1(1=0，那么x 2011﹣y 2011= 7.计算：①12545515 20+-- ② ③1827122+- ④3 2+3－22－33 ⑤505 11221832++- + ⑧9654+ ⑩5 4540290+- ?+18－8－32 ?)27131( 12-- ? 27–45–20+75 ?2 127–2318–(43–412)， ?2a －3a 2b ＋54a －2b a 2b ， ?200320022323)()(+?- ? 21)+ ?（35-）（5＋3）－（2＋6）2 ?（x ＋2xy ＋y ）÷（x ＋y ） ?（x 2－y 2）÷（x ＋y ） ⑴()()223131+-- ⑵32（212－48 1＋348） ⑶（ab ab ab b a ?-+)33 ⑷)52)(103(-+ ⑸)23()23(-?+ 8与n m 、n 的值． 9.已知a ＝2b ＝2a b b a -的值．10(写出过程) 11.若01=++-y x x ，则20052006y x +的值；12.已知：x ＝352-，求x 2－x ＋1的值 13.已知：x ＝32+，y ＝32-，则代数式x ＋y 的值 二次根式的知识点汇总 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件， 如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意 义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等 于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没 有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数， 即0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正 数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即 0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或 0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平 方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即 ，。因而它的运算的结果是有差别的，， 而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无 意义，而. 二次根式加减法及混合运算 同类二次根式的定义：几个二次根式化简成最简二次根式后，如果它们的被开 方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式 合并同类二次根式的法则：只把系数相加减，根号部分不变 1.若最简二次根式1+a 与4–2a 是同类二次根式，则a 的取值范围是______ 2._________． 3.下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ ） A ． B C D ．18 4.，则它的周长是 cm ． 5.下列说法正确的是： (A)最简根式一定是同类根式 (B)不是同类二次根式与31a a (C)任何两个根式都可以化成同类二次根式 (D)任何两个根式都可以化为最简根式 6.已知x ，y 为实数，且满足y y x ---+1)1(1=0，那么x 2011﹣y 2011= 7.计算：①12545515 20+-- ② ③1827122+- ④32+3－22－33 ⑤505 11221832++- ）+ ⑧9654+ ⑩5 4540290+- ⑴+18－8－32 ⑵)27131( 12-- ⑶ 27–45–20+75 ⑷2 127–2318–(43–412)， ⑸2a －3a 2b ＋54a －2b a 2 b ， ⑹200320022323)()(+?- ⑺ 21)+ ⑻（35-）（5＋3）－（2＋6）2 ⑼（x ＋2xy ＋y ）÷（x ＋ y ） ⑽（x 2－y 2）÷（x ＋y ） ⑾()()223131+-- ⑿32（212－4 81＋348） ⒀（ab ab ab b a ?-+)33 ⒁)52)(103(-+ ⒂)23()23(-?+ 8n 是同类二次根式，求m 、n 的值． 9.已知a ＝2，b ＝2a b b a -的值．10大小关系(写出过程) 11.若01=++-y x x ，则20052006y x +的值；12.已知：x ＝ 3 52-，求x 2－x ＋1的值 13.已知：x ＝32+，y ＝32-，则代数式x ＋y 的值 14.已知232 3,232 3-+=+-=y x 求代数式2 2353y xy x +-的值 15. a ，小数部分是 b ，试求22a b +的值。 17.已知a b 、为有理数，m n 、分别表示5的整数部分和小数部分，且 21amn bn +=，则2a b +=八年级同步第2讲：最简二次根式与同类二次根式
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