大数定律积分应用

大数定律的应用

------------蒙特卡罗积分法 一、概述

（一）、大数定律：

设X 1，X 2,.…是相互独立的，服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望

E （X k

）=u(k=1,2,…).作前n 个变量的算术平均值

∑=n

k k X 1

n

1

，则对于任意ε>0，有

1}|1

{|

lin

1

=<-∞

→∑=εμn

k k X n

P n ①

等式①表明，当∞→n 时这个事件当概率趋于1.即对于任意正数 ε，当n 充分大时，不等式 |

∑=n

k k X 1

n

1

-μ|<ε成立的概率很大，通俗地说，辛钦大数定理是说，对于独立同分布且

具有均值μ，的随机变量X 1 ,…，X n ,当n 很大时他们的算术平均 ∑=n

k k X 1

n

1

很可能接近

于μ.

（二）、蒙特卡罗法

蒙特学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法，与它对应的是确定性算法。

定积分的计算是Monte Carlo 方法引入计算数学的开端，在实际中，许多需要计算多重积分的复杂问题，用Monte Carlo 方法一般都能够很有效地予以解决，尽管Monte Carlo 方法给出的计算结果的精确度不是非常高，但它能很快地提供出一个低精度的模拟结果也是很有价值的。在多重积分计算中，由于Monte Carlo 方法的误差与积分重数无关，所以它比常用的均匀网格求积公式要优越。 二、基本原理

根据数学期望的定义，当x 在（a,b)上满足均匀分布时，

)]([)()(g a

x g E a b dx x b

-=?

②

我们在（a,b ）之间取n 个随机数，n 的值非常大，当n 的值大到一定程度时我们可以用

∑=n

k k

x g 1

)(n

1

近似g(x)在（a,b)上的数学期望E[g(x)],由此我们再利用公式②

，即可得到g(x)在区间（a,b)上的积分的近似值。 三、实例分析

（一）sin 函数的积分

首先计算一个比较简单的可以直接进行手算积分的函数的积分

?

2

s i n π

x d x

1）、基本思路

在（0，π/2)之间取10000个随机数，然后计算出它们的平均值

∑=n

k k

x

g 1

)(n

1，由

于10000个数据已经足够大，在要求不是非常高的情况下我们可以近似得认为它们的平均值

∑=n

k k

x g 1

)(n

1

就等于g(x)在（0，π/2)之间的数学期望E[g(x)]。最后利用公式②

可得

?

2

s i n π

x d x =（π/2-0）E[g(x)]

2）、c 程序实现 #include "stdio.h"

#include "time.h" #include "math.h" #include "dos.h" #define PI 3.1415926

void main()

{ double t,x,y,sum=0; long i;

char end;

printf("wait...");

srand((int)time(0)); /*设置随机数种子，保证每次运行程序的结果不一样 */ for(i=0;i<=100000;i++) {

x=rand()%10000; /* 取一个在0到10000范围内的整数 */ x=x/10000*PI/2; /*将随机数转换为（0，π/2)上的随机数 */ t=sin(x); /*计算sin 函数，即求每个随机数对应的函数值 */ sum=sum+t; /* 对随机数的函数值进行求和 */ }

printf("\n%f ",PI/2*sum/--i); /*计算出g(x)的数学期望乘以π/2求出积分的*/ /* 似值并输出 */

scanf("%c",&end); /*使程序停在输出完结果的画面， */ }

3) 理论计算

由于sin 函数的积分是比较简单的，我们可以直接对其进行积分，求得精确结果

?

2

s i n π

x d x =(-cos 0

2

/|

x π)=1

4）蒙特卡罗法估算结果分析

多次运行程序得到运行结果如下 0.983056 0.981828 0.982811 0.982450 0.981573 0.981261 0.981746 0.981057

0.982819 0.082183

从上面10次运行程序输出的结果可以看到用蒙特卡罗积分法得到的估计值基本稳定在 0.982附近，首先这个值已经比较精确，已经基本达到估算的要求。但令一方面，这个值并不是在准确值1附近浮动，而是普遍偏小一点点。

误差的来源应该是多方面的但主要在于以下几点

1、在c 程序中产生的随机数并不是真正意义上的完美的随机数，我们利用 x=rand()%10000; 产生令从0到9999之间的整数，然后令

x=x/10000*PI/2;

从而得到（0，π/2)区间上的随机数，很显然用这种方法得到的随机数是一些特定的离散的值，着必然会带来一定的误差。

2、在c 程序中当数值的长度超过变量的位数是采用的是舍弃最后多余位的方法，这样必然导致每一个函数值都要比真实值略小，虽然这个误差非常小，但是在100000个抽样值中都存在这个问题，所以积少成多，最终的运算结果也会比真实值略小。

（二）、多项式函数的积分

接下来计算一个积分范围不是从0开始的多项式积分

?++2

1

3

4

)42x

dx

x x （

1）、基本思路

在（1,2)之间取10000个随机数，然后计算出它们的平均值

∑=n

k k

x

g 1

)(n

1，

由于10000个数据已经足够大，在要求不是非常高的情况下我们可以近似得认为它们的平均值

∑=n

k k

x g 1

)(n

1

就等于g(x)在（1,2)之间的数学期望E[g(x)]。最后利用公式②

可得 ?++2

1

3

4)42x dx x x （ =（1-2）E[g(x)]

2）、c 程序实现 #include "stdio.h" #include "time.h"

#include "math.h" #include "dos.h"

void main()

{ double t,x,y,sum=0,result,average; long i;

char end;

printf("wait...");

srand((int)time(0)); /*设置随机数种子，保证每次运行程序的结果不一样 */

for(i=0;i<=100000;i++)

{

x=rand()%10000; /* 取一个在0到10000范围内的整数 */

x=x/10000+1; /*将随机数转换为（1,2)上的随机数 */ t=x*x*x*x+2*x*x*x+4*x; /*计算该多项式函数，即求每个随机数对应的函数值 */ sum=sum+t; /* 对随机数的函数值进行求和 */ }

average=sum/--i; /* 对随机数的函数值进行求平均值 */

result=1*average; /*利用 ?++2

13

4

)42x dx x x （ =（1-2）E[g(x)] */

/* 求得积分结果*/ printf("\n%f ",result); /*输出结果*/ scanf("%c",&end); }

3) 理论计算

由于多项式函数的积分是比较简单的，我们可以直接对其进行积分，求得精确结果

?++2

13

4

)42x dx x x （=1

2|

)2215

12

45

x x x ++（

=

)2*22*2

12*5

12

45

++

（-

)22

15

1++（

=19.7

4）蒙特卡罗法估算结果分析

多次运行程序得到运行结果如下 18.846181 18.832073 18.817216 18.806864 18.775687 18.790586

18,822360

18.874818 18.825712 18.836064

从以上的实验数据可以看出使用蒙特卡罗法估算的积分值和准确值是比较接近的，但还是存在一些误差，估算的结果普遍偏小一点，这可能和c 程序中随机数的生成方式有关。另一方面在c 程序中当数值的长度超过变量的位数是采用的是舍弃最后多余位的方法，这样必然导致每一个函数值都要比真实值略小，虽然这个误差非常小，但是在100000个抽样值中都存在这个问题，所以积少成多，最终的运算结果也会比真实值略小。

（三）、复杂函数的积分

?

+5

3

10sin log xdx e e

x

x

1）、基本思路

在（3，5)之间取10000个随机数，然后计算出它们的平均值

∑=n

k k

x g 1

)(n

1

，

由于10000个数据已经足够大，在要求不是非常高的情况下我们可以近似得认为它们的平均值

∑=n

k k

x

g 1

)(n

1就等于g(x)在（1,2)之间的数学期望E[g(x)]。最后利用公式②

可得

))((3-5log 5

3

10sin x g E xdx e e

x

x

）（=+?

2)、程序实现

#include "stdio.h" #include "time.h" #include "math.h" #include "dos.h"

void main()

{ double t,x,y,sum=0,result,average; long i; char end;

printf("wait..."); srand((int)time(0)); for(i=0;i<=100000;i++)

{

x=rand()%10000; x=x/10000+1;

t=x*x*x*x+2*x*x*x+4*x; sum=sum+t; }

average=sum/--i; result=2*average; printf("\n%f ",result); scanf("%c",&end); }

程序原理和上一个基本类似，不再对代码进行注释。 3）、蒙特卡罗法估算结果分析 多次运行程序得到运行结果如下 77.542380 77.875053 77.511215 77.511215 77.534110 77.616808 77.761919 77.680132 77.863036 77.800019

从以上的估算数据中可以发现，真实值基本上稳定在77.7附近,可以认为该复杂积分的积分结果就是77.7

（四）、幂指数积分

?

3

1

dx x x

1）、基本思路

在（1,3)之间取10000个随机数，然后计算出它们的平均值

∑=n

k k

x g 1

)(n

1

，由于10000

个数据已经足够大，在要求不是非常高的情况下我们可以近似得认为它们的平均值

∑=n

k k

x g 1

)(n

1

就等于g(x)在（1,2)之间的数学期望E[g(x)]。最后利用公式②

可得

))((1-33

1

x g E dx x x

）（=?

2)、程序实现

#include "stdio.h"

#include "time.h"

#include "math.h"

#include "dos.h"

void main()

{ double t,x,y,sum=0,result,average;

long i;

char end;

printf("wait...");

srand((int)time(0));

for(i=0;i<=100000;i++)

{

x=rand()%10000;

x=x/10000+1;

t=pow(x,x);

sum=sum+t;

}

average=sum/--i;

result=2*average;

printf("\n%f ",result);

scanf("%c",&end);

}

程序原理和上一个基本类似，不再对代码进行注释。

3）、蒙特卡罗法估算结果分析

多次运行程序得到运行结果如下

12.757260

12.863323

12.804183

12.727121

12.893228

12.785942

12.793447

12.756400

12.874630

12.799330

从以上的估算数据中可以发现，真实值基本上稳定在12,8附近,可以认为该幂指数积分的积分结果就是77.7

总结：以上三个例子都是一元函数积分的情况，一元函数的积分程序基本类似，只需修改一下具体的函数即可，下面我们来研究比较复杂一些的多元函数积分的情况。

（四）、二元积分

??

52

4

1

sin dxdy

y e

x

x

1）、基本思路

在（1,4）之间取10000个x 的随机数，在（2,5）之间取10000个y 的随机数然后计算出每一对（x,y)对应的函数值g(x,y),接着求出它们的平均值

∑=n

k k

k y x g 1

)(n

1

，由于10000个

数据已经足够大，在要求不是非常高的情况下我们可以近似得认为它们的平均值

∑=n

k k

k y x g 1

)(n

1

就等于g(xy)在)5,2(),4,1(∈∈y x 之间的数学期望E[g(x)]。最后利用公式②

可得

))(g 1-4*2-552

4

1

sin xy E dxdy y e

x

x

（）（）（=??

2)程序实现

#include "stdio.h" #include "time.h" #include "math.h" #include "dos.h"

void main()

{ double t,x,y,sum=0,result,average; long i; char end;

printf("wait..."); srand((int)time(0)); for(i=0;i<=100000;i++) {

x=rand()%10000; /* 产生一个x 的随机数 */

x=3*x/10000+1; /* 将x 转换到（1,4）上 */ y=rand()%10000; /*产生一个y 的随机数 */

y=3*x/10000+2; /*将y转换到（2,5）上 */

t=exp(sin(x))*pow(y,x); /* 计算每一对（x,y)对应的函数值 */

sum=sum+t; /* 求和 */

}

average=sum/--i; /* 求平均数 */

result=3*3*average; /* 求得最终结果 */

printf("\n%lf ",result);

scanf("%c",&end);

}

3）、蒙特卡罗法估算结果分析

76.023007

76.067155

76.075529

76.069914

75.982527

76.095394

75.946521

76.029258

76.058545

76.017462

从以上的估算数据中可以发现，真实值基本上稳定在76.0附近,可以认为该幂指数积分的积分结果就是76.0

四、总结

通过以上的一些实例，我们可以发现用蒙特卡罗积分法对一些无法直接进行积分的函数计算积分值是一种简单可行的方法，虽然需要大量的抽样，但是对计算机来说这是非常简单的。另一方面虽然这种方法计算得到的积分值和实际存在一定的误差，但是只要加大抽样的数量，还是可以吧误差控制在一定范围里面的，所以蒙特卡罗积分法是一种简单可行的用计算机进行积分运算的方法。

积分中值定理的推广与应用

积分中值定理的推广与应用 系别数学系 专业数学与应用数学姓名韩凤 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月

国内图书分类号： 吕梁学院本科毕业论文（设计） 积分中值定理的推广与应用 姓名韩凤 系别数学系 专业数学与应用数学 申请学位学士学位 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月

摘要 在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用. 关键词：积分中值定理；推广；应用

ABSTRACT The integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about is one of the basic theorems in the definite integral part of“the mathematical analysis”and“the higher mathematics”.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the textbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some example through the following aspects,and giving some summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems. Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications.

浅谈几个著名的大数定律及应用

2010.No34 4 摘 要 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性，是随机现象统计规律性的具体表现，本文介绍了几种常用的大数定律，并给出一些简单应用。 关键词 大数定律 随机变量 数学期望 概率 1 引言 “大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们就会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一。偶然中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近．人们在实践中观察其他一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关，且不再是随机的深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么?在什么条件下具有稳定性?这就是大数要研究的问题。 2 几个大数定律 在介绍大数定律之前，先介绍几个相关定义。 定义1[1]设ξn (n=1,2,……)为概率空间(Ω,F,P)上定义的随机变量序列（简称随机序列），若存在随机变数ξ，使对任意ε>0，恒有： 则称随机序列 依概率收敛于随机变量ξ（ξ也可以是一个常数），并用下面的符号表示： 定义2[2]设 为一随机序列，数学期望E（ξn ）存在，令 ，若 ，则称随机序列 服从大数定律，或者说大数法则成立。 切比雪夫不等式 设随机变量X的数学期望E（X）与方差D（X）存在，则对于任意正数ε，不等式 都成立。不等式(1)和(2)称为切比雪夫不等式。切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下，只利用J的数学期望和方差即可对J的概率分布进行估值的方法，这就是切比雪夫不等式的重要性所在。 大数定律形式很多，我们仅介绍几种最常用的大数定律。定理1[1] （切比雪夫大数定律） 设随机变量ξ1,ξ2,…ξn 相互独立，它们的数学期望依次为a 1,a 2,…a n 方差依次为σ12,σ22,…σn 2而且存在正常数k，使得对一切i=1，2，…，有σi 2

推广的积分中值定理及其应用

推广的积分中值定理及其应用 摘要:定积分是微积分的重要组成部分,而积分中值定理是定积分的重要性质之一,所以积分中值定理在微积分中占了很重要的地位,本文系统的叙述了推广的积分中值定理包括:ξ必可以在开区间中取得,导函数的积分中值定理等多个方面,我们所学知识中积分中值定理与微分中值定理的中间点的存在区间是不统一的,但推广后的积分中值定理能够与微分中值定理的存在区间从形式上统一起来,使与其相关的理论得以联系和应用.同时,在本篇论文中以实例的形式列举了推广的积分中值定理在确定零点分布、证明积分不等式、求极限等方面的应用,显然,推广的积分中值定理的优点就在于此,它可以解决原积分中值定理无法解决的问题,这表明了积分中值定理在推广后更具有应用性. 关键词:积分中值定理;导函数;微分中值定理 Promotion of Integral Mean Value Theorem and Its Application Abstract:Definite integral is an important component of calculus, the mean value theorem is one of the important properties of the definite integral, so integral mean value theorem in calculus plays a very important position .This paper describes the system to promote the integral mean value theorem, including: ξwill be achieved in the open interval ,of the derivatives and other integral mean value theorem, we have the knowledge of the differential mean value theorem and the Intermediate Value Theorem Existence interval is not uniform, but after the promotion of integral mean value theorem and the Mean Value Theorem to the presence of range from the formal unity, so that contact can be associated with the theory and application. Meanwhile, in this paper an example to cite a form of integral mean value theorem in determining the zeros to prove inequality, such as the application of limit, obviously, to promote the advantages of integral mean value theorem in this, it Can solve the original integral mean value theorem can not solve the problem, suggesting that the integral mean value theorem in the promotion of a more applied after. Keywords: Integral mean value theorem, derivative, mean value theorem

关于高等数学常见中值定理证明及应用

中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

概率论大数定律及其应用

概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者 摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。概率论中讨论的向的定律。概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。 概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。 一方面，在理论上，大数定律可以看作是求解极限、重积分以及级数的一种新思路，另一方面，在实际生活中，保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定，我们都将看到大数定律的重要作用。

毕业论文大数定律在经济学中的应用

学校代码：10206 学生学号：051074204 白城师范学院 毕业论文（设计） 大数定律在经济学中的应用Law of large numbers in economics 学生姓名：安琦 指导教师：邬伟三讲师 学科专业：数学与应用数学 所在单位：数学系 2011年6月

摘要 概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一。 有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”中在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。 通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。这种情况下，偶然中包含着必然。必然的规律与特性在大量的样本中得以体现。 大数定律是概率论中的重要内容,它以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性,它是随机现象统计规律性的具体表现,在数学应用及经济生活中有着较为重要的作用,较多文献给出了不同条件下存在的大数定律,并利用大数定律和中心极限定理得到较多模型的收敛性,但对于它们的适用范围及在实际生活中的应用涉及较少。本文就大数定律做了具体的分析,介绍了几种较为常见的大数定律,并结合它们存在的条件的不同,分析了它们各种适用的数学模型的特征,列举了它们在经济生活领域的应用,将理论具体化, ,以使得枯燥的数学理论与实际想结合,使大家对大数定律在实际生活中的应用价值有了更深的认识。 关键词：大数定律特征函数保险银行贷款

Abstract A history of probability limit theorem is Bernoulli, later known as the "law of large numbers." Probability random variables discussed in the arithmetic mean law of convergence to the constant. Probability theory and mathematical statistics one of the basic laws. Some random events without a pattern, but many are regular, these "regular random incident," a large number of recurring conditions, often showing statistics of almost inevitable, this rule is the law of large numbers. In layman's terms, this theorem is that under the same conditions in the test, repeat testing several times, the frequency of random events similar to it probability. In this case, includes the inevitable accident. The regularity and characteristics of the inevitable large number of samples to be reflected. Law of large numbers is an important part of probability theory, its rigorous mathematical form, the most fundamental expression of the random nature of the phenomenon - an average of the stability of results, it is the statistical regularity of random phenomena of specific performance, application and economic life in mathematics has a more important role, more literature exists under different conditions are given law of large numbers, and using law of large numbers and central limit theorem, the convergence of many models, but their scope of application and in real life The applications involve small. This paper made a law of large numbers of specific analysis, introduces some of the more common law of large numbers, combined with their existing conditions, the analysis of their mathematical model for a variety of features, listed them in the field of economic life the application of the theory specific, in order to make the boring mathematical theory and practice was integrated so that peop le in the law of large numbers of applications in real life have a deeper understanding of the value. Keywords：Law of Large Numbers Characteristic function Insurance Bank loans

(完整版)中值定理的应用方法与技巧

中值定理的应用方法与技巧 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f b a -=?ξ。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得??=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 一、 微分中值定理的应用方法与技巧 三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。 例一．设)(x ?在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==??。证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+') ()(η?ξ?成立。 证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(??ξ?。 任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ?==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=') 0()1(0)(??η?。 两式相加得：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得 b a b a +='+') ()(η?ξ? 成立。 证法2：任意给定正整数b a ,，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对

大数据技术原理与应用-林子雨版-课后习题答案复习进程

大数据技术原理与应用-林子雨版-课后习 题答案

第一章 1.试述信息技术发展史上的3次信息化浪潮及具体内容。 2.试述数据产生方式经历的几个阶段 答：运营式系统阶段，用户原创内容阶段，感知式系统阶段。 3.试述大数据的4个基本特征 答：数据量大、数据类型繁多、处理速度快和价值密度低。 4.试述大数据时代的“数据爆炸”的特性 答：大数据时代的“数据爆炸”的特性是，人类社会产生的数据一致都以每年50%的速度增长，也就是说，每两年增加一倍。 5.数据研究经历了哪4个阶段？ 答：人类自古以来在科学研究上先后历经了实验、理论、计算、和数据四种范式。 6.试述大数据对思维方式的重要影响 答：大数据时代对思维方式的重要影响是三种思维的转变：全样而非抽样，效率而非精确，相关而非因果。 7.大数据决策与传统的基于数据仓库的决策有什么区别 答：数据仓库具备批量和周期性的数据加载以及数据变化的实时探测、传播和加载能力，能结合历史数据和实时数据实现查询分析和自动规则触发，从而提供对战略决策和战术决策。 大数据决策可以面向类型繁多的、非结构化的海量数据进行决策分析。

8.举例说明大数据的基本应用 9.举例说明大数据的关键技术 答：批处理计算，流计算，图计算，查询分析计算 10.大数据产业包含哪些关键技术。 答：IT基础设施层、数据源层、数据管理层、数据分析层、数据平台层、数据应用层。 11.定义并解释以下术语：云计算、物联网 答：云计算：云计算就是实现了通过网络提供可伸缩的、廉价的分布式计算机能力，用户只需要在具备网络接入条件的地方，就可以随时随地获得所需的各种IT资源。 物联网是物物相连的互联网，是互联网的延伸，它利用局部网络或互联网等通信技术把传感器、控制器、机器、人类和物等通过新的方式连在一起，形成人与物、物与物相连，实现信息化和远程管理控制。

大数定律及其应用( 刘胜举200702014001)

本科生毕业论文（设计） 题 目：大数定律及其应用 姓 名：刘胜举 学 号：200702014001 系 别：数学与计算机科学系 年 级：2007级 专 业：数学与应用数学 指导教师 熊国敏 职称： 教授 指导教师 王海英 职称： 讲师 2011年 4 月 28 日

目录 摘要............................................................ I 第一章绪论. (1) 第二章大数定律 (2) 2.1大数定律的发展历史 (2) 2.2几个常用的大数定律 (3) 第三章大数定律的一些应用 (6) 3.1大数定律在数学分析中的一些应用 (6) 3.2大数定律在保险业的应用 (10) 结论 (18) 参考文献 (19) 致谢 (20)

摘要 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：大数定律，概率分布，保险业 Abstract:The law of large numbers describles the most fundamental of the random nature in rigorous mathematical formation—the stability of the average results .It is a very important law, and its applications are very wide. This article describes several common law of large numbers, and analyzes their theoretical and practical applications. Key words: law of large numbers, probability distribution, insurance

大数据技术与应用专业详细解读

大数据技术与应用专业详细解读 大数据技术与应用专业是新兴的“互联网+”专业，大数据技术与应用专业将大数据分析挖掘与处理、移动开发与架构、人软件开发、云计算等前沿技术相结合，并引入企业真实项目演练，依托产学界的雄厚师资，旨在培养适应新形势，具有最新思维和技能的“高层次、实用型、国际化”的复合型大数据专业人才。 专业背景 近几年来，互联网行业发展风起云涌，而移动互联网、电子商务、物联网以及社交媒体的快速发展更促使我们快速进入了大数据时代。截止到目前，人们日常生活中的数据量已经从TB(1024GB=1TB)级别一跃升到PB(1024TB=1PB)、EB(1024PB=1EB)乃至ZB(1024EB=1ZB)级别，数据将逐渐成为重要的生产因素，人们对于海量数据的运用将预示着新一波生产率增长和消费者盈余浪潮的到来。大数据时代，专业的大数据人才必将成为人才市场上的香饽饽。当下，大数据从业人员的两个主要趋势是：1、大数据领域从业人员的薪资将继续增长；2、大数据人才供不应求。 图示说明：2012-2020年全球数据产生量预测 专业发展现状 填补大数据技术与应用专业人才巨大缺口的最有效办法无疑还需要依托众多的高等院校来培养输送，但互联网发展一日千里，大数据技术、手段日新月异，企业所需要的非常接地气的人才培养对于传统以培养学术型、科研型人才为主要使命的高校来说还真有些难度。幸好这个问题已经被全社会关注，政府更是一再提倡产教融合、校企合作来创办新型前沿几

乎以及“互联网+”专业方向，也已经有一些企业大胆开始了这方面的创新步伐。据我了解，慧科教育就是一家最早尝试高校校企合作的企业，其率先联合各大高校最早开设了互联网营销，这也是它们的优势专业，后来慧科教育集团又先后和北京航空航天大学、对外经济贸易大学、贵州大学、华南理工大学、宜春学院、广东开放大学等高校在硕、本、专各个层次开设了大数据专业方向，在课程体系研发、教学授课及实训实习环节均有来自BAT以及各大行业企业一线的技术大拿参与，所培养人才能够很好地满足企业用人需求。 专业示例 笔者在对慧科教育的大数据技术与应用专业做了专门研究，共享一些主要特色给大家参考： 1.培养模式 采用校企联合模式，校企双方（即慧科教育集团和合作校方）发挥各自优势，在最大限度保证院校办学特色及专业课程设置的前提下，植入相应前沿科技及特色人才岗位需求的企业课程。 2.课程体系 笔者对慧科教育的大数据技术与应用做了专门研究，现分享一下慧科专业共建的课程给大家参考。慧科教育集团的专业课程重在培养学生的理论知识和动手实践能力，学生在完成每个学期的理论学习后，至少有两个企业项目实战跟进，让学生在项目中应用各类大数据技术，训练大数据思路和实践步骤，做到理论与实践的充分结合。 大数据专业的课程体系包括专业基础课、专业核心课、大数据架构设计、企业综合实训等四个部分。

大数定律与中心极限定理及其应用

重庆三峡学院毕业设计（论文）大数定律与中心极限定理及其应用 分院数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 班级 10数本1班 学号201006034109 姓名张永东 指导教师陈飞翔 (讲师) 2014年5月10日

目录 摘要.................................................................................................................................................. I ABSTRACT. ..................................................................................................................................II １大数定律的应用 .. (3) 1.1引言 (3) 1.2预备知识 (3) 1.2.1相关定义 (3) 1.2.2切比雪夫不等式及其应用 (4) 1.3几类重要的大数定律的应用 (4) 1.3.1切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用 (4) 1.3.2伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用 (6) 1.3.3辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用 (6) 1.4大数定律的意义 (8) 2 中心极限定理的应用 (8) 2.1前言 (8) 2.2几类重要的中心极限定理的应用 (9) 2.2.1林德伯格定理及其在保险方面的应用 (9) 2.2.2列维定理及其在极限求解方面的应用 (10) 2.2.3棣莫弗-拉普拉斯定理及其在实际生活方面的应用 (11) 2.2.4 李雅普诺夫中心极限定理及其在具体分布方面的应用 (14) 3 大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 3.1大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18)

(完整版)大数定律和中心极限定理

第五章 大数定律和中心极限定理 一、内容提要 （一）切贝谢夫不等式 1. 切贝谢夫不等式的内容 设随机变量X 具有有限的数学期望E （X ）和方差D （X ），则对任何正数ε，下列不等式成立。 (){}() (){}() . 1, 2 2 εεεεX D X E X P X D X E X P - ≤-≤ ≥-π 2. 切贝谢夫不等式的意义 （1）只要知道随机变量X 的数学期望和方差（不须知道分布律），利用切贝谢夫不等式，就能够对事件(){} ε≥-X E X 的概率做出估计，这是它的最大优点，今后在理论推导及实际应用中都常用到切贝谢夫不等式。 （2）不足之处为要计算(){} ε≥-X E X P 的值时，切贝谢夫不等式就无能为力，只有知道分布密度或分布函数才能解决。另外，利用本不等式估值时精确性也不够。 （3）当X 的方差D (X )越小时，(){} ε≥-X E X P 的值也越小，表明X 与E (X )有较大“偏差”的可能性也较小，显示出D (X )确是刻画X 与E (X )偏差程度的一个量。 （二）依概率收敛 如果对于任何ε＞0，事件{} επa X n -的概率当n →∞时，趋于1，即 {}1lim =-∞ →επa X P n n ， 则称随机变量序列X 1,X 2,…,X n ,…当n →∞时依概率收敛于α。 （三）大数定律 1. 大数定律的内容 （1）大数定律的一般提法 若X 1,X 2,…,X n ,…是随机变量序列，如果存在一个常数序列α1,…,αn ,…，对任意ε＞0，恒有 11lim 1=? ?? ???-∑=∞ →επn i n i n a X n P ， 则称序列{X n }服从大数定律（或大数法则）。 （2）切贝谢夫大数定律 设随机变量X 1,X 2,…,X n ,…相互独立，分别有数学期望E(X i )和方差D(X i )，且它们的方差有公共上界C ，即 ()().,,,2,1,ΛΛn i C X D i =≤

微分与积分中值定理及其应用

第二讲 微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中 值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理 微分中值定理 罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf ． 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导； 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ．

大数据技术原理与应用 林子雨版 课后习题答案(精编文档).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 第一章 1.试述信息技术发展史上的3次信息化浪潮及具体内容。 2.试述数据产生方式经历的几个阶段 答：运营式系统阶段，用户原创内容阶段，感知式系统阶段。

3.试述大数据的4个基本特征 答：数据量大、数据类型繁多、处理速度快和价值密度低。 4.试述大数据时代的“数据爆炸”的特性 答：大数据时代的“数据爆炸”的特性是，人类社会产生的数据一致都以每年50%的速度增长，也就是说，每两年增加一倍。 5.数据研究经历了哪4个阶段？ 答：人类自古以来在科学研究上先后历经了实验、理论、计算、和数据四种范式。 6.试述大数据对思维方式的重要影响 答：大数据时代对思维方式的重要影响是三种思维的转变：全样而非抽样，效率而非精确，相关而非因果。 7.大数据决策与传统的基于数据仓库的决策有什么区别 答：数据仓库具备批量和周期性的数据加载以及数据变化的实时探测、传播和加载能力，能结合历史数据和实时数据实现查询分析和自动规则触发，从而提供对战略决策和战术决策。 大数据决策可以面向类型繁多的、非结构化的海量数据进行决策分析。

8.举例说明大数据的基本应用 答： 9.举例说明大数据的关键技术 答：批处理计算，流计算，图计算，查询分析计算 10.大数据产业包含哪些关键技术。 答：IT基础设施层、数据源层、数据管理层、数据分析层、数据平台层、数据应用层。

11.定义并解释以下术语：云计算、物联网 答：云计算：云计算就是实现了通过网络提供可伸缩的、廉价的分布式计算机能力，用户只需要在具备网络接入条件的地方，就可以随时随地获得所需的各种IT资源。 物联网是物物相连的互联网，是互联网的延伸，它利用局部网络或互联网等通信技术把传感器、控制器、机器、人类和物等通过新的方式连在一起，形成人与物、物与物相连，实现信息化和远程管理控制。 12.详细阐述大数据、云计算和物联网三者之间的区别与联系。

概率论大数定律及其应用

概率论大数定律及其应 用 Revised as of 23 November 2020

概率论基础结课论文 题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者 摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。概率论中讨论的向的定律。概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么在什么条件下具有稳定性这就是我们大数要研究的问题。

对积分中值定理的一点思考

对于积分中值定理的一点思考 摘要 积分中值定理是高等数学中重要的一部分，中值定理是人们认识高等数学世界、解决数 学问题的重要武器，本文在数学分析教材中第一积分中值定理的条件下，证明了介值点ξ必可在开区间 ),(b a 内取得，并且给出几分中值定理及其推广的一些应用. 关键词 积分中值定理 积分中值定理应用 积分中值定理的推广 第一积分中值定理 极限 一 引言 推广的积分第一中值定理： 若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在[a, b]上至少存在一点ξ使得 ??=b a b a x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ （1） 推广的积分中值定理可改进如下： 定理1：若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在) ,(b a 上至少存在一点ξ使得??=b a b a x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ。 对其证明如下： 因为)(x f 在],[b a 上连续，故)(x f 在],[b a 上存在最大值和最小值，不妨分别设为M 和m,即M x f m ≤≤)(，则必存在x x x x b a 2 1 2 1 ],,[,<∈，使m f x =)(1 ，M f x =)(2 ， 又因为 )(x g 在],[b a 上不变号，不妨设0)(≥x g ,则?≥b a dx x g 0)(， 且有)()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤，又)(x f 和)(x g 都在],[b a 可积，则)()(x g x f 在] ,[b a 也可积，从而有 ???≤≤ b a b a b a dx x g M dx x g x f dx x g m )()()()( （2）