当前位置：文档库 › 高考数学压轴专题最新备战高考《不等式选讲》知识点训练含答案

高考数学压轴专题最新备战高考《不等式选讲》知识点训练含答案

【最新】高中数学《不等式选讲》专题解析

一、14

1．设x ∈R ，则“3

1x <”是“11

x -

<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】【分析】

分别求解三次不等式和绝对值不等式确定x 的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】由31x <可得1x <，由

x -

<可得01x <<，据此可知“31x <”是“

x -

<”的必要而不充分条件. 故选B . 【点睛】

本题主要考查不等式的解法，充分性与必要性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( ) A ．最小值是0，最大值是4 B ．最小值是－4，最大值是0 C ．最小值是－4，最大值是4 D ．没有最大值也没有最小值

【答案】C 【解析】

因为y ＝|x －3|－|x ＋1|4,322,134,1x x x x -≥??

=--<

，所以最小值是－4，最大值是4，选C.

点睛：分段函数的最值

由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．

3．若集合{}

540A x x x =-+<，{}

1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ?”的

（）

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分又不必要条件

【答案】A 【解析】【分析】

解出集合A 、B ，由B A ?得出关于a 的不等式组，求出实数a 的取值范围，由此可判断出“()2,3a ∈”是“B A ?”的充分非必要条件. 【详解】

解不等式2540x x -+<，解得14x <<，{}

14A x x ∴=<<. 解不等式1x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，

{}11B x a x a ∴=-<<+.

B A ?Q ，则有11

14a a -≥??+≤?

，解得23a ≤≤.

因此，“()2,3a ∈”是“B A ?”的充分非必要条件. 故选：A 【点睛】

本题考查充分非必要条件的判断，一般将问题转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.

4．不等式2

124x x a a +--≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是（） A ．(][),13,-∞+∞U B ．()(),13,-∞?+∞ C ．[]1,3 D ．()1,3

【答案】C 【解析】【分析】

令()12f x x x =+--，通过对x 的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，可求得

()min 3f x =，依题意，即可求得实数a 的取值范围.

【详解】

令()12f x x x =+--，

当1x <-时，()()123f x x x =----+=-；

当12x -≤≤时，()()[]12213,3f x x x x =+--+=-∈-；当2x >时，()()123f x x x =+--=； ∴()min 3f x =-.

∵不等式2

124x x a a +--≥-的解集为R ， ∴()2

min 43a a f x -≤=-，即实数a 的取值范围是[]1,3.

故选C. 【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，解题方法是转化为求函数最值，然后解不等式．

5．若函数()(0)1

f x ax a x =

+>-在(1,)+∞上的最小值为15，函数()1=+++g x x a x ,则函数()g x 的最小值为（）.

A ．2

B ．6

C ．4

D ．1

【答案】C 【解析】【分析】

当1x >，0a >时，由基本不等式可得()3≥f x a ，又()f x 最小值为15，可得出5a =，再由绝对值三角不等式()()()g =5151=4+++≥+-+x x x x x ，即可得出结果. 【详解】

当1x >，0a >时，()()111

+=+-+--a a f x ax a x a x x

≥a 3=a ，当且仅当2x =时等号成立，由题可得315a =，即5a =，所以()1=+++g x x a x ()()=5151=4+++≥+-+x x x x ，当且仅当

()()510++≤x x 即51x -≤≤-时等号成立，所以函数()g x 的最小值为4.

故选：C 【点睛】

本题主要考查基本不等式：)0,0a b a

b +?>，当且仅当a b =时等号成立，绝

对值的三角不等式： +≥-a b a b ，当且仅当0ab ≤时等号成立.

6．设a ＞0，b ＞0，且ab －(a ＋b)≥1，则( )

A ．a ＋＋1)

B ．a ＋＋1

C ．a －1)2

D ．a ＋b ＞＋1)

【答案】A 【解析】【分析】

2a b +.所以ab≤14 (a ＋b)2,所以1

(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1，再解不等式 (a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0得解. 【详解】

2a b +.所以ab≤1

(a ＋b)2. 所以

(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1. 所以(a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0.

因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b≥2＋

故答案为：A 【点睛】

本题主要考查基本不等式和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

7．在平面内，已知向量(1,0)a =v ，(0,1)b =v ，(1,1)c =v

，若非负实数,,x y z 满足

1x y z ++=，且23p xa yb zc =++v v v v

，则（）

A ．p v

B ．p v

的最大值为C ．p v

D ．p v

的最大值为【答案】A 【解析】【分析】

求出p v 的坐标，表示p v ，即：p v

柯西不等式即可求得其最小值，问题得解．【详解】

因为()1,0a =v ，()0,1b =v ，()1,1c =v

，

所以23p xa yb zc =++v v v v

=()3,23x z y z ++，

又非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，所以01z ≤≤，

所以p

v =

≥

=，当且仅当()()31232,0x z y z z +?=+?=时，等号成立．

即：当且仅当41

,,055

x y z =

==时，等号成立．

所以p v

，故选A. 【点睛】

本题主要考查了柯西不等式的应用，还考查了向量的模及坐标运算，考查构造能力，属于中档题．

8．已知2(3)f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是( ) A ．33()()f x f a a -≤+ B ．24()()f x f a a -≤+ C ．()()5f x f a a -≤+ D ．2

|()()2|(1)f x f a a -≤+

【答案】B 【解析】【分析】

先令a=0,排除A ，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B 成立【详解】

令a=0，则1x ≤，即-1≤x≤1,()()()()()

0?f x f a f x f f x -=-=≤4,此时A,C,D 不成立，下面证明选项B 成立

()()22 33f x f a x x a a -=+--=()() 3x a x a -++≤()()3x a x a -++≤

()3x a ++=23x a a -++≤23x a a -++≤24a +

故选：B ．【点睛】

本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．

9．已知函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数,且当0x >时,()f x 单调递增，则关于x 的不等式(1)()f x f a ->的解集为（） A ．45

[,)33

B ．2112(,][,)3333

-? C ．12

[,)33?45(,]33

D ．随a 的值而变化

【答案】C 【解析】

试题分析：∵函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数，∴1-a=2a ，∴a=

，故函数()f x

的定义的定义域为22[,]33-

，又当2

x <≤时,()f x 单调递增，∴11113

(1)()(1)(){23313

x f x f f x f x ->

->?->?-≤

，解得1233x ≤<或4533x <≤，所以

不等式(1)()f x f a ->的解集为12[,)33

?45(,]33

，故选C

考点：本题考查了抽象函数的运用

点评：此类问题往往利用偶函数的性质()()f x f x =避免了讨论，要注意灵活运用

10．设0x 为函数()sin f x x π=的零点，且满足001()112

x f x ++<，则这样的零点有（） A ．18个 B ．19个

C ．20个

D ．21个

【答案】D 【解析】

从题设可得00()x k x k k Z ππ=?=∈，又

001()sin()sin()(1)222

k f x x k ππ

ππ+=+=+=-，故(1)11k k +-<，当k 取奇数时，

12k <，则1,3,5,7,9,11k =±±±±±±，共12个数；当k 取偶数时，10k <，则

0,2,4,6,8k =±±±±，共9个数，所以这样的零点的个数共有21个，应选答案D 。

点睛：解答本题的关键是如何理解“设0x 为函数()sin f x x π=的零点”这一题设信息，通过函数零点的概念建立三角方程，进而得到00()x k x k k Z ππ=?=∈，为求解下面的不

等式001112x f x ??++< ??

?提供了附加条件，最后运用分类整合的思想使得问题获解。

11．已知,,a b c R +∈ ，则()()()

2222a a

bc b b ac c c ab -+-+- 的正负情况是（）

A ．大于零

B ．大于等于零

C ．小于零

D ．小于等于零

【答案】B 【解析】【分析】

设0a b c >厖，所以333a b c 厖，根据排序不等式即可得出答案.

【详解】

设0a b c >厖，所以333a b c 厖

根据排序不等式得333333a a b b c c a b b c c a ?+?+?++…

又ab ac bc 厖，222a b c 厖，所以333222a b b c c a a bc b ca c ab ++++….

所以444222a b c a bc b ca c ab ++++… 即()()()

22220a

bc b b ac c c ab -+-+-….

故选：B 【点睛】

本题主要考查了排序不等式的应用，属于中档题.

12．已知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，则22x y z ++的最大值为（） A ．9 B ．3 C ．1 D ．27

【答案】B 【解析】【分析】

由已知2

1x y z ++=，可利用柯西不等式

2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++，构造柯西不等式，即可求解．

【详解】

由已知，可知,,x y z ∈R ，2

1x y z ++=，

利用柯西不等式2

()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++，可构造得2

(122)()(22)x y x x y z ++++≥++，即2

(22)9x y z ++≤，所以22x y z ++的最大值为3，故选B ．【点睛】

本题主要考查了柯西不等式的应用，其中解答中熟记柯西不等式，合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．

13．已知集合||1|2,}M x x x R =?-∈?，集合5|1,1P x x R x ?

=≥∈??+??

，则M P ?等于( )。

A ．{|13}x x -<≤

B ．{|14}x x -<≤

C ．{}|4x x ≤

D ．{|14}

x x -≤≤（）【答案】D 【解析】【分析】

根据绝对值不等式及分式不等式，化简集合M,P ，根据并集运算求解即可. 【详解】

Q |1|2x -?,

∴ 13x -≤≤,即[1,3]M =-，

x ≥+Q

， 14x ∴-<≤，即(1,4]P =-,

[1,4]M P ∴=-U ,

故选：D 【点睛】

本题主要考查了集合的并集运算，分式不等式，绝对值不等式，属于中档题.

14．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ?是q ?的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】【详解】

因为:1213p x x x +>?><-或，p ?：31x -≤≤；

22:5656023q x x x x x ->?-+

15．对任意x ∈R ,不等式22|sin ||sin |x x a a +-≥恒成立,则实数a 的取值范围是（） A ．01a ≤≤ B ．11a -≤≤ C ．12a -≤≤ D ．22a -≤≤

【答案】B 【解析】【分析】

解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为2

2||||t t a a +-≥.求函数

()||||||f t t t t a =++-的最小值,从而不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.解法二:（特殊值法）

代入2a =, 1a =-,排除错误选项即可. 【详解】

解:解法一:（换元法）

设sin t x =,则原不等式可化为2

2||||t t a a +-≥.

令()||||||f t t t t a =++-,则min [()](0)||f t f a ==, 从而解不等式2

||a a ≥可得11a -≤≤.故选B . 解法二:（特殊值法）

当2a =时,因为2|sin ||sin 2|2sin 2|sin |2|sin |2x x x x x +-=-+≥+≥,

当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 2|4x x +-≥不恒成立, 所以2a =不合题意,可以排除C 、D .

当1a =-时,因为2|sin ||sin 1|1sin 2|sin |1|sin |1x x x x x ++=++≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 1|1x x ++≥恒成立, 所以1a =-符合题意,可以排除A. 故选:B 【点睛】

本题考查绝对值不等式的参数问题,属于中档题,利用函数求最值的方法或者特殊值排除法都可以解题.

16．函数()f x 的定义域为A ,若存在非零实数t ，使得对于任意()x C C A ∈?有

,x t A +∈且()()f x t f x +≤，则称()f x 为C 上的t 度低调函数.已知定义域为[)0+∞，的

函数()=3f x mx --，且()f x 为[

)0+∞，上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（）

A ．[]0,1

B ．[)1+∞，

C ．(],0-∞

D ．][()

,01,-∞?+∞ 【答案】D

【解析】试题分析：由题意得， ()()6633f x f x mx m mx +≤?+-≥-对任意0x ≥都成立.当0m ≤时， 633633|m mx m mx -≤-?+-≥-恒成立；当0m >时，结合图象可知，要633mx m mx +-≥-对任意0x ≥都成立，只需0x =时

633mx m mx +-≥-成立即可，即6331m m -≥-?≥.选D.

考点：1、新定义函数；2、绝对值不等式.

17．不等式2

30x x -<的解集为（）

A ．{

}03x x << B ．{

}3003x x x -<<<<或

C ．{}30x x -<<

D ．{}33x x -<<

【答案】B 【解析】【分析】

将不等式表示为2

30x x -<，得出03x <<，再解该不等式可得出解集. 【详解】

将原不等式表示为2

30x x -<，解得03x <<，解该不等式可得30x -<<或

03x <<.

因此，不等式2

30x x -<的解集为{

}3003x x x -<<<<或，故选：B.

【点睛】

本题考查二次不等式的解法与绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中等题.

18．若,,a b c ∈R ，则下列结论中: (1)2

211a a a a

≥+； (2)a b a c b c -≤-+-； (3)若a b >，则

11a b

a b

>++；

(4)若1a b +=，则22

a b a b ++

+的最小值为其中正确结论的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B 【解析】【分析】

利用函数知识、换元法、绝对值不等式等知识，对选项进行一一推理证明，即可得答案. 【详解】对（1），2

221111()()20a a a a a a a a +

≥+?+-+-≥，∴1

2a a +≥或

11a a

+≤-， ∵1

2a a +≥或12a a

+≤-，∴原不等式成立，故（1）正确；

对（2），∵()()a b a c b c a c b c -=---≤-+-，故（2）正确；对（3），令1

,52a b =-=-，则51,114a b a b =-=++，显然11a b a b

>++不成立，故（3）错误；

对（4），∵1a b +=，∴22222

2(1)23

1111a b b b b a b b b b

+-+++=+=+-+-，当1b >时，2

01b b +<-，

∴2221

a b a b ++

+的最小值为4）错误. 故选：B. 【点睛】

本题考查函数与不等式的知识，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意消元法、换元法的使用.

19．函数y =的最大值是( )

A B C ．3

D ．5

【答案】B 【解析】【分析】

利用柯西不等式求解. 【详解】

因为y =≤=

=，即265x =时，取等号.

故选：B 【点睛】

本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.

20．空间中两条不相交的直线与另外两条异面直线都相交，则这两条直线的位置关系是（） A ．平行或垂直 B ．平行

C ．异面

D ．垂直

【答案】C 【解析】【分析】

利用反证法证明得解. 【详解】

不妨设空间中不相交的两条直线为a b ，，另外两条异面直线为c d ，，由于a b ，不相交，故a b ，平行或异面，设a c ，确定的平面为α.不妨设a b ∥，

①当b α?时，则a b ，与直线d 的交点都在α内，故d α?，而这与c d ，为异面直线矛盾；

②当b α?时，由a b ∥可知b P α，又c α?，故b c ，没有公共点，与b c ，相交矛盾. 由①②知假设a b ∥错误，故a b ，为异面直线. 故选C. 【点睛】

本题主要考查异面直线的判定和反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1，侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是（） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

高考数学不等式知识点总结及解题思路方法

高考数学不等式知识点总结及解题思路方法考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不等式知识要点 1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：. - = < ? a< ? b ? > > - = - b ; 0b ; a a a b b a b a （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a >（对称性） ? a< b b （2）c ? > >,（传递性） a> c a b b （3）c + ? > >（加法单调性） c a+ a b b （4）d + > >,（同向不等式相加） a+ > ? d b c a c b

（5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>?<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么 .2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等 . ,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2222(6)0||; ||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<->

(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)

高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

高考数学大题练习

高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2）（1）若a ⊥b ，求tan θ的值；（2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分）在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小；（2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值；（2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由：（3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；（2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值；（3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围.

高中数学不等式知识点总结

弹性学制数学讲义不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、

三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a

2017-18全国卷高考真题数学不等式选修专题

2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题数学不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，，当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞，上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ．当[]11x ∈-，时，()2g x =，()()12f x f -=≥．当()1x ∈-∞-，时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=．综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ．（2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-，恒成立．即220x ax --≤在[]11-，恒成立．则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤．故a 取值范围是[]11-，．

2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0a >，222ba b +==2.证明：（1）()22()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--<