一个Hilbert型奇异积分算子的范数及应用
关于几种经济预测模型的应用研究
第１７卷第２期２００１年６月 哈尔滨商业大学学报 ＪｏｕｍａｌｏｆＨａ由ｍｕｍｖｅｎｌｔｙｏｆｃｏｍｍｅｒｃｅＮａｍｍｓｃｌｅｎｃ髓Ｅｄ血ｏｎ Ｖｏｌ－１７．Ｎｏ２ ＪｕＮ．２Ｉ）０１ 文章编号：１００４—１８４２（２００１）０２—００４４一０４ 多段式半导体激光器的端面输出谱 王佳菱１，林竹江２ （１哈尔滨商业大学基础部．黑龙＿｝工哈尔滨１５００７６； ２黑龙江商业高级技术学校，黑龙江暗尔演１ｊ００２７） 摘要：在充分考虑敏光源于放太卣盅辐射、而自发辐射可能产生于半导体激光嚣（ＬＤ）有潍层中的各点等精理事妻的基础上，我们采用射线击、越递推备式的形式导由院争段式卓导体激光嚣的输出谱的解折表选或，并叶某些常见的情￣兄进行了简单扼要地讨论。 关键词：多段式半导体激光嚣；输出谱：射线法 中图分类号：０４７１４文献标识码：Ａ Ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｏｆｔ｜心ｏｕｔｐｕｔＳｐｅｃｔｒｕｍ ＦｒｏｍＭｕｌｔｉ－Ｓｅ掣ｎｅｎｔｅｄＳｅｍｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒＬａ阶ｒｓ 肼ⅣＧＪ珏ｎｎ一，Ｌ．『：Ⅳ厨ｕ了ｉ∞矿 １Ｂａ啪Ｃｏ—Ｄ。Ｐａｎｎ婀止Ｈａ舳ｎ【ｍ嘲＇】ｌｖｏｆＣ０ｍｍｅ盹ｅ，Ｈａｔｂｌｎ１５００７６．ＣｈｌＴｌａ， ２Ｈｄｌ帅目ｌａ“ｇ（■ｍｍａＫ】一ｓｃｈｏｏｌ＇ｍｒｂｌｎ１５∞２７，ｃｈｉｎ曲 Ａｂｓｔ瑚ｃｔ：Ｔａｋｉ“ｇｉｎｔｏａｃｃｏｕｎｔｃｈｅ矗ｃｃｓｔｈａｔｔｈｅｋｅ¨ａ出ａｎｏｎ１ｓｄｅｖｅｌｏｐｅｄ矗ｏｍｄｌｅａｍｐｈ一丘ｅｄｓｐｏｎｃａｎｅｏｕｓｅＩＴｌｉｓ虹ｏｎ（ＡｓＥ）ａｎｄｔｈｅＡｓＥｎｌａｙｂ。ｇｅｎｅｆａ怔ｄａｔａⅡｙｐｏｊｎｔ。ｆ出ｅａｃｎｖｅｈｙ— ｅｒｏｆｔｈｅｓｅｌｌｌｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒｌａ５ｅｒ（ＬＤ），ｔｈｅｒａｙ仃ａｃｅｍｅｃｈｏｄｈａｓｂｅｅｎｕｓｅｄｔｏｄｅｎｖｅｔｈｅｅｘｐｒｅｓｓｌｏｎｏｆ出ｅｏｕｔｐｕｔ８ｐｅｃｔｒＬｌｍ丘ｏｍａｍＬｄｎ一５。粤ｎｅｎｅｔｅｄｓｅｌｃｏｎｄｕｃｔｏｒｌａｓｅｒＩｎａｄｄｉｎｏｎ，ｂｎｅｆｄｅｓｃｎｐ— ｔｉｏｎｓｈａｖｅｂｅｅｎ目ｖｅｎｔ。ｃ踮船。矗ｅｎｅｎｃｏｕｎｔｅｒｅｄ Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｕｌ石一ｓ。ｇｍｅｎｔｅｄｓｅ而ｃｏｒｌｄｕｃｔ。ｒｌａｓｅｒ：ｏｕｔｐｕｔ ５ｐｅｃｃｒｕｍ；ｒａｙｔｒａｃｅｍｅ出。ｄ ０引言 其实，多段式半导体激光器（ｎｓＬＤ）也是一种常见的半导体激光器（ＬＤ），可以用夹生产双稳或调谐输出的两电极、三电极等多电极半导体激光器实际上就是ｎｓＬＤ中的一种。在这类激光器中．由不同电极泵浦的有源层中的载流子密度可能会不同：换句话说，由柜互间【几乎）绝缘的电极的定义的各区的折射率也可能会不同，它们间的过渡区域可以被认为是一个有一定反射能力的界面【ＩＪ。前人的研究表明，如果ＬＤ的有源层内存在着反射率大于２×１０１的反射的话，其输出光谱将会发生昵显的变化目：文献…的研究结果表明，在ｎｓＬＤ军，文献［２】胪描述的情况是很容易得到满足的，故在研究光谱特性时多电极半导体激光器应该被看作是某种ｎｓＬＤ。Ｙｏｕｎｇ等人“和ｗｅｌｄｏｎ等人１４在沿ＬＤ纵旬特定的地方人为地引进了某些反射／散射、吸收点后，用较低的成本实现了模式抑制比大亍２０ 万方数据
几个范数不等式的证明
设X为一n维赋范空间，其范数定义为, 1≤p<∞，证明以下命题： 1. ||x||2≤||x||1≤; 2. ||x||p≤||x||1； 3. ||x||q≤||x||p≤，p|≤||x||2||y||2，令x=( |x1|, |x2|,..., |x n|)，y=(1,1, (1) 可得(|x1|+|x2|+…+|x n|)≤(|x1|+| x2|+…+|x n|)1/2n1/2 ||x||1≤成立。 根据Jensen不等式，令α=2，β=1可以证明。 2. 令f(x)= p=1,f(x)=1，所以只考虑p>1的情况
从上图可以看出f(x)在x=0时为1，先上升，在x=1达到最大值2p-1，然后下降，但始终≥1。所以有，即，令x=b/a，有a p+b p≤(a+b)p，同理，使用归纳法可 证明：|x1|p+|x2|p+…+|x n|p≤(|x1|+|x2|+…+|x n|)p②(|x1|p+|x2|p+…+|x n|p)1/p≤|x1|+|x2|+…+|x n| 也即||x||p≤||x||1成立。 3. 先证||x||q≤||x||p (p
矩阵范数详解
向量和矩阵的范数的若干难点导引 矩阵范数的定义 引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。 最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m n A C ?∈可以视为一个mn 维的向量（采用所谓“拉 直”的变换），所以，直观上可用mn C 上的向量范数来作为m n A C ?∈的矩阵范数。比如 在1l -范数意义下，111 ||||||m n ij i j A a === ∑∑()12 tr()H A A =； （1.1） 在2l -范数意义下，1 2 211||||||m n F ij i j A a ==?? = ??? ∑∑， （1.2） 注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F ”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius 范数，或F-范数。可以验证它们都满足向量范数的3个条件。 那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。 定义1 设m n A C ?∈，对每一个A ，如果对应着一个实函数()N A ，记为||||A ，它满足以下条件： （1）非负性：||||0A ≥； （1a ）正定性：||||0m n A O A ?=?= （2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈； （3）三角不等式：||A ||||||||||||,m n A B A B B C ?+≤+?∈ 则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。进一步，若对,,m n n l m l C C C ???上的同类广义矩阵范数||||?，有 （4）（矩阵相乘的）相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n l B C ?∈， 则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。 我们现在来验证前面（1.1）和（1.2）定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑（1.2）, 把较容易的（1.1）的验证留给同学们， 三角不等式的验证。按列分块，记1212(,,,),(,,,)n n A a a a B b b b == 。 2 22112||)(,),(),(||||||F n n F b a b a b a B A +++=+ 2222222211||||||||||||n n b a b a b a ++++++= ()()22 121222||||||||||||||||n n a b a b ≤++++ ()()()2222122121222122||||||||2||||||||||||||||||||||||n n n n a a a b a b b b =++++++++ 对上式中第2个括号内的诸项，应用Cauchy 不等式，则有 222||||||||2||||||||||||F F F F F A B A A B B +≤++2(||||||||)F F A B =+ （1.3） 于是，两边开方，即得三角不等式。 再验证矩阵乘法相容性。 2 2 2111 111||||||||m l n m l n F ik kj ik ki i j k i j k AB a b a b ======?? =≤ ??? ∑∑∑∑∑∑
矩阵范数理论及其应用
第四章 矩阵范数理论及其应用 知识要点： 1、向量范数及其性质（范数与赋范空间，n 维向量的1-范数1x 、2-范数2x 、p -范数p x 和∞范数x ∞ ，p p lim x x ∞→∞ =，a P a x Px =，2H H P x Px x P Px ==，有限维赋范 空间的范数是等价的） 2、矩阵范数及其相容性（Frobenius 范数，F E n =，相容性：AB A B ≤，1E ≥） 3、算子范数（定义，列范数，行范数，谱范数） 4、矩阵范数的应用（矩阵序列及幂级数的收敛性，矩阵条件数，摄动理论、矩阵的谱半径） §4.1 向量范数及其性质 一、范数与赋范线性空间 定义1：如果线性空间V 中的任一向量x ，都对应—个实值函数()f x （记为x ），并满足以下三个条件（称为范数公理）： (1)非负性：0x ≠时, x ＞0；0x =时, x =0。 (2)齐次性：ax =a x ,a K ∈，x V ∈。 (3)三角不等式：x y +≤x +y ，,x y V ∈。 则称x 为V 上向量x 的范数（norm ），V 称为赋范线性空间（normed linear space ）。 易证x y -满足距离公理，称之为x 与y 的范数诱导的距离。若0n x x -→，则称n x 收敛于x ，记为n x x →。 例1：对于连续函数空间[,]C a b 中的向量()f x ，可如下定义范数为：1()()b a f t f t dt = ? ， () max () a t b f t f t ∞ ≤≤=，1 () ()b p p p a f t f t dt ?? =???? ?，1p ≤<∞。分别称之为1-范数，∞- 范数，p -范数。 注：需要用到数学专业的一些函数不等式，才能证明上述范数的正确性。 性质1：对于赋范线性空间V 上任意的x ，定义实函数()f x x =，则()f x 为V 上的连续函数，即0x x →时，0()()f x f x →，其中0x V ∈。 证明：由000()()f x f x x x x x -=-≤-可知，0x x →时，0()()f x f x →。 因此，()f x 为V 上的连续函数。
内积与范数
范数：用于度量“量”大小的概念 1. 引言 实数的绝对值：a 是数轴上的点a 到原点0的距离； 复数的模：a bi +=是平面上的点()b a ,到原点()0,0的距 离； 还有其他刻画复数大小的方法（准则）：如 １）b a +； ２）{}max , a b 2. 向量的范数：p-范数 1 1n p p k p k x x =??= ??? ∑ （1） 示例： 1211234515,2345,5x x x x ∞ ???=+-+++= ?-? ?? ?=?==? ?? = ??? ??? 3. 矩阵（算子）的范数 01max max x x Ax A Ax x ≠=== （2） 矩阵的谱半径:设M 是n 阶矩阵，称
()()()(){}12max , ,, n M M M M ρλλλ=L （3） 为该矩阵的谱半径。 记 ()1212,,,T T n T n A ββαααβ?? ? ?== ? ? ??? L M ， 那么， {}{}()1211111211112 max ,,,max max ,,,n k n p p x k T A A Ax A A A A αααβββρ∞=?=?? =?=??=??L L （3） 4. 矩阵的条件数：用于刻画矩阵“病态”程度的概念 ()1 cond A A A -=? 5.利用范数定义点之间的距离 (),,,n n x R y R d x y y x ∈∈?=- 向量的内积、范数及n 维空间距离的度量 令 P 是一数域， P n 是 P 上的向量空间，如果函数 ()?x y P P P n n ，:?→有如下性质： １、共轭对称性：?∈x y P n ，，()()??y x x y ，，=； ２、非负性：?∈x P n ，()?x x ，≥0，()?x x x ，=?=00；
线性空间中范数的选取及其基本定理的应用举隅
线性空间中范数的选取及其基本定理的应用举隅 摘要:本文首先从线性赋范空间中范数的定义出发对范数的选取及构建条件做出讨论,举了一个特征量不能成为范数的例子。继而基于范数的性质和推论,研究了范数应用的两个实例,即具有普遍意义的方程组迭代法敛速收敛问题,和分类数学模型中的准范数——马氏距离。 关键词:范数;向量;算子 引言 随着人们认识世界的不断升华,数量的概念从一维的数、二维的平面向量、三维的空间向量已经发展到n维乃至无穷维线性空间中的向量,后者虽然是抽象,但在其理论指导下的实际应用却十分广泛,例如由向量刻画的线性方程组的解在规划问题、有限元设计问题中的价值就是十分基本的。为了对线性空间及其向量实施拓扑结构与代数结构的研究,赋予它一个“距离”概念(或是准“距离”概念十分重要),这就是范数(及拟范数、准范数)的由来,由此导出的线性赋范空间或线性准赋范空间为近现代科学的发展提供了坚实的基础。范数是满足一定条件的可以用于度量向量和向量间关系的特征量,对于不同的问题,对于研究向量的不同方面,可以再满足条件的基础上选择或构造范数。其中有些范数是基本的,有些则可充分发掘问题内涵加以构造,结合范数的相关性质定理得到需要的结论,甚至为新理论的产生做出推动。比较范数这样的线性空间中有着丰富内涵和特点的数量关系和我们对基本的低维空间的认识,我们会看到在诸多科学问题中,前者更阐明了问题的核心,指向了问题的本质。在一些普遍问题或特有的建模问题中,提供了更好的解决方案。 1范数定义和范数选取条件的讨论 范数(标记为‖·‖)是线性赋范空间中基本与重要的概念,对于向量范数,基于以下的定义,人们一般认为它是欧氏空间中距离概念的推广: (1)正定性:对任意向量x,‖x‖≥0,当且仅当x=0时‖x‖=0; (2)正齐性:对任意向量x,α∈R,有‖αx‖=|α|‖x‖; (3)三角不等式:对任意向量x,y,‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖。 而对于线性赋范空间上的映射——算子(标记为T),可以构造如下的算子范数:(对于向量范数‖·‖*,如此定义的算子范数‖·‖*称为由向量范数导出的算子范数)。由此推出,算子范数的以下几点性质是基本的:
矩阵范数规范标准详解
《周国标师生交流讲席010》 向量和矩阵的范数的若干难点导引(二) 一． 矩阵范数的定义 引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。 最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m n A C ?∈可以视为一个mn 维的向量（采用所谓“拉 直”的变换），所以，直观上可用mn C 上的向量范数来作为m n A C ?∈的矩阵范数。比如 在1l -范数意义下，111 ||||||m n ij i j A a === ∑∑( ) 12 tr()H A A =； （1.1） 在2l -范数意义下，1 2 211||||||m n F ij i j A a ==??= ??? ∑∑， （1.2） 注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F ”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius 范数，或F-范数。可以验证它们都满足向量范数的3个条件。 那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。 定义1 设m n A C ?∈，对每一个A ，如果对应着一个实函数()N A ，记为||||A ，它满足以下条件： （1）非负性：||||0A ≥； （1a ）正定性：||||0m n A O A ?=?= （2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈； （3）三角不等式：||A ||||||||||||,m n A B A B B C ?+≤+?∈ 则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。进一步，若对,,m n n l m l C C C ???上的同类广义矩阵 范数||||?，有 （4）（矩阵相乘的）相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n l B C ?∈， 则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。 我们现在来验证前面（1.1）和（1.2）定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑（1.2）,把较容易的（1.1）的验证留给同学们， 三角不等式的验证。按列分块，记1212(,,,),(,,,)n n A a a a B b b b ==L L 。 2 22112||)(,),(),(||||||F n n F b a b a b a B A +++=+Λ 2 222222211||||||||||||n n b a b a b a ++++++=Λ ()()22 121222||||||||||||||||n n a b a b ≤++++L ()()()22 22122121222122||||||||2||||||||||||||||||||||||n n n n a a a b a b b b =++++++++L L L 对上式中第2个括号内的诸项，应用Cauchy 不等式，则有 222||||||||2||||||||||||F F F F F A B A A B B +≤++2(||||||||)F F A B =+ （1.3） 于是，两边开方，即得三角不等式。 再验证矩阵乘法相容性。
泛函数与范数的定义
泛函数-正文 又称泛函，通常实（复）值函数概念的发展。通常的函数在R n或C n（n是自然数）中的集合上定义。泛函数常在函数空间甚至抽象空间中的集合上定义，对集合中每个元素取对应值（实数或复数）。通俗地说，泛函数是以函数作为变元的函数。泛函数概念的产生与变分学问题的研究发展有密切关系。设Ω为R n中的区域，Г1表示边界嬠Ω的片断, 表示一函数集合。考虑对应 ,式中F为具有2n+1个自变数的函数:为寻求J(u)的局部极值，在一定条件下取J(u)的加托变分 如果在u=u0达到局部极值，则u0适合欧拉方程δJ(u)=0。在应用中，常以数学或物理的某个微分方程为背景产生一定泛函数，使原问题化成泛函数极值问题。当代分析学中，变分方法有广泛应用。一般把问题化成Tx=0的形式，即对应于某泛函数φ的欧拉方程，其中φ定义在一巴拿赫空间X中的开集S上且加托可微:算子T称为梯度算子,φ称为T的场位。人们常遇到二阶微分系统，由此产生二次泛函数极值问题，是当代变分法常见的研究对象。 泛函数φ:S嶅X→R（X为拓扑空间）称为在x∈S处下半连续，如果对每个实数r<φx，有x的邻域U(x)，使得r<φz,凬z∈U(x)∩S。称φ在x∈S处下半序列连续,如果对每个序列 。其连续性及有界性如同对算子相应的性质所做的规定。 设φ是定义在线性集合S上的实（复）值泛函数。如果φ(x+y)＝φ(x)+φ(y)，φ称为加性的；如果φ（λx）=λφ(x),λ∈R(C)称为齐性的；如果同时有加性及齐性称为线性的。当φ
取实值时,加性得放松为次加性,其定义为：φ(x+y)≤φ(x)+φ(y)；齐性得放松为正齐性，其定义为：?(λx)=λ?(x)(λ≥0)；如果同时有次加性及齐性，则称φ具有次线性；如果对于λ∈(0,1)，有φ(λx+(1-λ)y)≤λφ(x)+(1-λ)φ(y)，则称φ为凸的;如果当x≠y时上式中的≤必为<,则称φ为严格凸的。在一些问题中,容许凸泛函数φ取值＋∞,但φ扝+∞,这时称φ为真凸的。此外,还有所谓凸集S上的拟凸泛函数φ：S嶅K→R（K为线性空间），使φ(tx+(1-t)y)≤max{φx,φy},x,y∈S, t∈(0,1)。在赋范空间K中无界集S上定义的泛函数φ称为强制的,如果有函数с:(0,+∞)→R,с(t)→+∞(t→+∞)使得φ(z)≥с(‖z‖),凬z∈S。 线性泛函数是线性算子理论研究的对象之一，也是研究空间性质及结构的工具。例如，局部凸拓扑线性空间K有对偶空间K，K的元素就是定义在K上的连续线性泛函数。对K可赋予简单收敛拓扑或有界收敛拓扑。偶K、K间的关系对认识空间的性质和研究算子的性质都有基本意义。 相应于多重线性算子有多重线性泛函数。例如，设K1、K2是同一数域上的线性空间,定义在积空间K1×K2上的映射φ:K1×K2→R（或C）称为双线性泛函数,如果K2(K1)中元素固定时φ成为K1(K2)上的线性泛函数。当K1=K2=K，K1及K2中取等同的x∈K，则得φ(x,x),称为二次泛函数。对希尔伯特空间中线性算子谱理论的研究，双线性泛函数形式作为表示工具是方便的。二次泛函数在变分法中的应用更是为人熟知的。 拟赋范空间、局部凸拓扑线性空间、赋范空间等的表征主要在于分别在各空间上定义的次加性泛函数，即拟范数、半范数族、范数等。测度空间中的测度，即对应于某种集合的值也可理解为泛函数。对于给定函数的不定积分也可类似地看待。 范数 向量范数
范数的定义
3.3 范数 3.3.1 向量范数 在一维空间中，实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。绝对值是一种度量形式的定义。 范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。任何对象的范数值都是一个非负实数。使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。向量范数是度量向量长度的一种定义形式。范数有多种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。 若X是数域K上的线性空间，泛函║·║: X->R 满足： 1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0； 2. 正齐次性：║cx║=│c│║x║； 3. 次可加性(三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║ 。 那么║·║称为X上的一个范数。 常用范数 这里以C^n空间为例，R^n空间类似。 最常用的范数就是p-范数。若x=[x1,x2,...,xn]^T，那么 ║x║p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^{1/p} 可以验证p-范数确实满足范数的定义。其中三角不等式的证明不是平凡的，这个结论通常称为闵可夫斯基(Minkowski)不等式。 当p取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形： 1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│ 2-范数：║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2 ∞-范数：║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│) 其中2-范数就是通常意义下的距离。 矩阵范数 一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。 如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小范数。
范数的物理意义
范数的物理意义 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
范数的物理意义在介绍主题之前，先来谈一个非常重要的数学思维方法：几何方法。在大学之前，我们学习过一次函数、二次函数、三角函数、指数函数、对数函数等，方程则是求函数的零点；到了大学，我们学微积分、复变函数、实变函数、泛函等。我们一直都在学习和研究各种函数及其性质，函数是数学一条重要线索，另一条重要线索——几何，在函数的研究中发挥着不可替代的作用，几何是函数形象表达，函数是几何抽象描述，几何研究“形”，函数研究“数”，它们交织在一起推动数学向更深更抽象的方向发展。 函数图象联系了函数和几何，表达两个数之间的变化关系，映射推广了函数的概念，使得自变量不再仅仅局限于一个数，也不再局限于一维，任何事物都可以拿来作映射，维数可以是任意维，传统的函数图象已无法直观地表达高维对象之间的映射关系，这就要求我们在观念中，把三维的几何空间推广到抽象的n维空间。 由于映射的对象可以是任何事物，为了便于研究映射的性质以及数学表达，我们首先需要对映射的对象进行“量化”，取定一组“基”，确定事物在这组基下的坐标，事物同构于我们所熟悉的抽象几何空间中的点，事物的映射可以理解为从一个空间中的点到另一个空间的点的映射，而映射本身也是事物，自然也可以抽象为映射空间中的一个点，这就是泛函中需要研究的对象——函数。 从一个线性空间到另一个线性空间的线性映射，可以用一个矩阵来表达，矩阵被看线性作映射，线性映射的性质可以通过研究矩阵的性质来获得，比如矩阵的秩反映了线性映射值域空间的维数，可逆矩阵反映了线性映射的可逆，而矩阵的范数又反映
范数在数值计算中的应用
淮北师范大学 2013届学士学位论文 范数在数值计算中的应用 学院、专业数学科学学院数学与应用数学 研究方向数值分析 学生姓名李双阳 学号20091101072 指导教师姓名陈昊 指导教师职称讲师 2013年月日
范数在数值计算中的应用 李双阳 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘要 范数在解决数值计算中的一些问题有很大的用处。应用复合最速下降法，给出了求解矩阵方程组（AXB=E,CXD=F）加权范数下对称解及最佳逼近问题的迭代解法。对任意给定的初始矩阵，改迭代算法能够在有限步迭代计算之后得到矩阵方程组的对称解，并且在上述解集合中也可以给出指定矩阵的最佳逼近矩阵。并对线性方程组解的误差估计的推广定理理解对解的误差与矩阵、摄动矩阵、向量、摄动向量、算子范数之间的关系进行证明。从而了解范数以及极限的概念以致更好的解决像函数的一次逼近、二次逼近、矩阵方程组对称解的最佳逼近以及线性方程组解的误差估计等数值计算问题。 关键词：最速下降法，对称解，最佳逼近，摄动矩阵，算子范数
Norm in the application of the numerical calculation Li Shuangyang (School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000) Abstract Norm in numerical calculation in solving the problems are of great use. Application of compound the steepest descent method, solving matrix equations is presented (AXB = E, CXD = F) weighted norm under symmetric solution and the optimal approximation problem of iterative method. On any given initial matrix, the iterative algorithm can step in finite iterative calculation after get the symmetric solutions of matrix equations, and also in the solution set can be specified matrix optimal approximation of the matrix is given. And the error estimates of solutions of the linear equation theorem to understand the solution of the error and matrix, the perturbation matrix, vector, the perturbation dynamics, the relationship between the operator norm. To understand the norm and the concept of limit so that a better solution as a function of an approximation, quadratic approximation, symmetric matrix equations solution of the optimal approximation and the error of linear equations and numerical calculation. Key words：The steepest descent method, the symmetric solution of optimal approximation, the perturbation matrix operator norm
重庆大学矩阵理论及其应用论文
“矩阵理论及其应用”课程研究报告 科目：矩阵理论及其应用教师：蒋卫生 姓名：学号: 专业：机械电子工程类别：学术 上课时间：2013 年10 月至2013 年12 月 考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师(签名)
最小二乘法问题 摘要：无论在哪个专业领域，都不可避免的要面对测量所得到的一批数据。这些数据看似杂乱无章，但对于特定的时间却是符合特定的规律。而要发现这些规律必须借助一定的手段。矩阵理论作为一门具有强大功能的学科再此发挥了它重要的作用。用矩阵论的理论来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍了。在工程技术中引进矩阵理论不仅使理论的表达极为简捷，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是不容质疑的，更由于计算机和计算方法的普及发展，不仅为矩阵理论的应用开辟了崭新的研究途径。矩阵理论与方法已成为研究现代工程技术的数学基础。因此，对于数据的处理采用最小二乘法是最恰当不过的了。 关键词：数据处理，矩阵理论，最小二乘法 正文 一、引言 最小二乘法已有近200年的发展历史，它首先由Gauss K F提出并被应用于天文计算中，现已被广泛地用来解决各种技术问题。在过去的30多年里，它已被成功地应用到过程控制系统的参数估计领域，数字计算机技术又使最小二乘原理更有实践价值。参数估计现在模型结构已知时，用实验法所取得的数据来确定表征系统动力学模型中的参数。最小二乘法原理提供了一个数学程序，通过它可以获得一个在最小方差意义下与实践数据拟合最好的模型，它在稳态系统数学模型的回归分析方面应用已很成熟，在动态系统的参数辨识方面也取得了许多重要成果，其参数估计的收敛性质也得到了深入的研究，可以说在参数估计领域中最小二乘方法已达到了完善的程度。 本文讨论的问题如下： 一颗导弹从敌国发射，通过雷达我们观测到了它的飞行轨迹，具体有如下数据：
矩阵与范数—扫盲讲解
矩阵与范数、谱半径、奇异值 矩阵论主要研究的是线性空间以及在线性空间中的一些操作，主要是线性变换。当然书中主要是针对有限维的情况来讨论的，这样的话就可以用向量和矩阵来表示线性空间和线性变换，同其他的数学形式一样，矩阵是一种表达形式（notation），而这一方面可以简洁地表达出我们平时遇到的如线性方程和协方差关系的协方差矩阵等，另一方面又给进一步的研究或者问题的简化提供了一个平台。如特征值分析、稳定性分析就对应着诸如统计分布和系统稳定性等实际问题。而一系列的分解则可以方便方程的数值计算。作为矩阵论的学习，我们需要了解具体的一些计算究竟是怎么算的，但更关键的是要知道各个概念和方法的实际意义，各个概念之间的关系。 首先介绍的是线性空间，对于线性空间中的任意一个向量的表示有基（相当于度量单位）和坐标（相当于具体的尺度），基既然作为度量标准了，当然要求对每一个向量都适用，同时这个标准本身也应该尽可能的简洁，那么就得到了基定义的两点约束：１、基的组成向量线性无关；２、线性空间中的任一个向量都可以由基的线性表示。 基作为一种“计量标准”，当然可能会存在多种形式，只要满足上面的两点条件，因而就有必要解决不同的度量标准之间的转换关系，从而得到过渡矩阵的概念，同时可以使用这种转换关系（过渡矩阵）去完成度量量（坐标）之间的转换。 在完成了线性空间这一对象的认识和表达之后，下面需要研究对象和对象之间的关系。这里主要是线性变换，线性变换针对于实际对象主要完成类似于旋转和尺度变换方面的操作，而这种操作也牵涉到表达的问题。为了保持与空间的一致性，我们也同样是在特定的基下来表示，从而线性变换就具体化为一个变换矩阵，并且，在不同的基下对应的变换矩阵当然也不相同，这里的不同的变换矩阵的关系就是相似的概念。 到此，我们完成了空间中向量的表示和线性变换的矩阵表达。这里涉及了基、坐标、过渡矩阵、变换矩阵、相似矩阵这几个重要的概念。上面算是内涵上的认识，下面我们需要知道线性空间里究竟有些什么东西，它是如何组成的，各个组成成分之间的关系，也就是空间的结构性方面的东西。 首先认识子空间（空间的组成部分），当然既然也是空间，也就要满足空间的加法和数乘的封闭性，要满足那八条定律。后者可以由父空间保证，前面的就要子空间自身素质了。同时要看子空间之间的并、交、直和运算和相应的秩的关系。这里提到了维数，就要多说几句了，空间中的元素往往是连续过渡的，但是对于有限空间而言还有离散的性质，那就是维数，我称其为“不伸则已，一伸则增一”，从这也就说明了为什么可以用若干个子空间的直和可以等价于原线性空
各类范数定义.docx
范数的定义 设 X 是数域K 上线性空间，称║˙║为X 上的范数 (norm) ，若它满足： 1.正定性：║ x║≥ 0，且║ x║=0 <=> x=0 ； 2.齐次性：║ cx║=│c│║ x║； 3.次可加性 ( 三角不等式 ) ：║ x+y║≤║ x║+║y║ 。 注意到║ x+y║≤║ x║+║y║中如令y=-x ，再利用║- x║=║x║可以得到║ x║≥ 0，即║x║≥0在定义中不是必要的。 如果线性空间上定义了范数，则称之为赋范线性空间。注记： 范数与内积，度量，拓扑是相互联系的。 1.利用范数可以诱导出度量： d(x,y)= ║x - y║，进而诱导出拓扑，因此赋范线性空间是度量 空间。 但是反过来度量不一定可以由范数来诱导。 2.如果赋范线性空间作为( 由其范数自然诱导度量d(x,y)=的，即任何柯西(Cauchy) 序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为║x- y║的 ) 度量空间是完备 巴拿赫 (Banach) 空间。 3.利用内积 <˙, ˙>可以诱导出范数：║ x║=
范数概念
一、范数的定义 若X是数域K上的线性空间，泛函║·║: X->R 满足： 1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0； 2. 正齐次性：║cx║=│c│║x║； 3. 次可加性(三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║ 。 那么║·║称为X上的一个范数。 （注意到║x+y║≤║x║+║y║中如令y=-x，再利用║-x║=║x║可以得到 ║x║≥0，即║x║≥0在定义中不是必要的。） 如果线性空间上定义了范数，则称之为赋范线性空间。 注记：范数与内积，度量，拓扑是相互联系的。 1. 利用范数可以诱导出度量：d(x,y)=║x-y║，进而诱导出拓扑，因此赋范线性空间是度量空间。 但是反过来度量不一定可以由范数来诱导。 2. 如果赋范线性空间作为(由其范数自然诱导度量d(x,y)=║x-y║的)度量空间是完备的，即任何柯西(Cauchy)序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为巴拿赫(Banach)空间。 3. 利用内积<·,·>可以诱导出范数：║x║=
范数的物理意义
范数的物理意义 在介绍主题之前，先来谈一个非常重要的数学思维方法：几何方法。在大学之前，我们学习过一次函数、二次函数、三角函数、指数函数、对数函数等，方程则是求函数的零点；到了大学，我们学微积分、复变函数、实变函数、泛函等。我们一直都在学习和研究各种函数及其性质，函数是数学一条重要线索，另一条重要线索——几何，在函数的研究中发挥着不可替代的作用，几何是函数形象表达，函数是几何抽象描述，几何研究“形”，函数研究“数”，它们交织在一起推动数学向更深更抽象的方向发展。 函数图象联系了函数和几何，表达两个数之间的变化关系，映射推广了函数的概念，使得自变量不再仅仅局限于一个数，也不再局限于一维，任何事物都可以拿来作映射，维数可以是任意维，传统的函数图象已无法直观地表达高维对象之间的映射关系，这就要求我们在观念中，把三维的几何空间推广到抽象的n 维空间。 由于映射的对象可以是任何事物，为了便于研究映射的性质以及数学表达，我们首先需要对映射的对象进行“量化”，取定一组“基”，确定事物在这组基下的坐标，事物同构于我们所熟悉的抽象几何空间中的点，事物的映射可以理解为从一个空间中的点到另一个空间的点的映射，而映射本身也是事物，自然也可以抽象为映射空间中的一个点，这就是泛函中需要研究的对象——函数。 从一个线性空间到另一个线性空间的线性映射，可以用一个矩阵来表达，矩阵被看线性作映射，线性映射的性质可以通过研究矩阵的性质来获得，比如矩阵的秩反映了线性映射值域空间的维数，可逆矩阵反映了线性映射的可逆，而矩阵的范数又反映了线性映射的哪些方面的性质呢？矩阵范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量，向量的“长度”缩放的比例。 范数是把一个事物映射到非负实数，且满足非负性、齐次性、三角不等式，符合以上定义的都可以称之为范数，所以，范数的具体形式有很多种（由内积定义可以导出范数，范数还也可以有其他定义，或其他方式导出），要理解矩阵的算子范数，首先要理解向量范数的内涵。矩阵的算子范数，是由向量范数导出的，由形式可以知： v 1u,v u x Ax max A == 或方阵 v 1 v v x Ax max A == 由矩阵算子范数的定义形式可知，矩阵A 把向量x 映射成向量Ax ，取其在向量x 范数为1所构成的闭集下的向量Ax 范数最大值作为矩阵A 的范数，即矩阵对向量缩放的比例的上界，矩阵的算子范数是相容的。由几何意义可知，矩阵的算子范数必然大于等于矩阵谱半径（最大特征值的绝对值），矩阵算子范数对应一个取到向量Ax 范数最大时的向量x 方向，谱半径对应最大特征值下的特征向量的方向。而矩阵的奇异值分解SVD ，分解成左右各一个酉阵，和拟对角矩阵，可以理解为对向量先作旋转、再缩放、最后再旋转，奇异值，就是缩放的比例，最大奇异值就是谱半径的推广，所以，矩阵算子范数大于等于矩阵的最大奇异值，酉阵在此算子范数的意义下，范数大于等于1。此外，不同的矩阵范数是等价的。 范数理论是矩阵分析的基础，度量向量之间的距离、求极限等都会用到范数，范数还在机器学习、模式识别领域有着广泛的应用。
各类范数定义
范数的定义 设X是数域K上线性空间，称║˙║为X上的范数(norm)，若它满足： 1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0； 2. 齐次性：║cx║=│c│║x║； 3. 次可加性(三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║ 。 注意到║x+y║≤║x║+║y║中如令y=-x，再利用║-x║=║x║可以得到║x║≥0，即║x║≥0在定义中不是必要的。 如果线性空间上定义了范数，则称之为赋范线性空间。 注记：范数与内积，度量，拓扑是相互联系的。 1. 利用范数可以诱导出度量：d(x,y)=║x-y║，进而诱导出拓扑，因此赋范线性空间是度量空间。 但是反过来度量不一定可以由范数来诱导。 2. 如果赋范线性空间作为(由其范数自然诱导度量d(x,y)=║x-y║的)度量空间是完备的，即任何柯西(Cauchy)序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为巴拿赫(Banach)空间。 3. 利用内积<˙,˙>可以诱导出范数：║x║=