概率论与数理统计试题及答案
考试科目： 概率论与数理统计考试时间：120分钟 试卷总分100分
一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小
题，每小题3分，总计15分）
1．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现1点的概率为（ A ）。
(A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6
2．设随机变量的概率密度???≤>=-10
1)(2x x Kx x f ，则K=（ B ）。
(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2 3．对于任意随机变量ηξ,，若)()()(ηξξηE E E =，则（ B ）。 (A) )()()(ηξξηD D D = （B ）)()()(ηξηξD D D +=+ (C) ηξ,一定独立 （D ）ηξ,不独立
5．设)4,5.1(~N ξ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2<ξ<4}=（ A ）。 (A)0.8543 (B)0.1457 (C)0.3541 (D)0.2543
二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，
总计15分）
1．设A 、B 为互不相容的随机事件,6.0)(,3.0)(==B P A P 则=?)(B A P （ 0.9 ）。 2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为（ 1/10 ）。
3．设随机变量X 的概率密度??
?≤≤=其它
,
010,1)(x x f 则{}=>2.0X P （ 8/10 ）。
4．设D(ξ)=9, D(η)=16, 5.0=ξηρ，则D(ηξ+)=（ 13 ）。 *5．设),(~y 2σμN ，则
~y n
σμ
-（ N(0,1) ）。
三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分）
1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的25％，35％，
40％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02。现从出厂的产品中任取
一件，问恰好取到次品的概率是多少？
（1）全概率公式
)
4(0345
.0)6(100
210040100410035100510025)()()(3
1
分分=?+?+?=
=∑=i i i B A P B P A P
2．设连续型随机变量X 的密度为 ???≤>=-.0,
00
,)(5x x Ae x f x
(1)确定常数A (2)求}2.0{>X P (3)求分布函数F(x).
（2）①)3(15
1
0)(0
5分==
+=???+∞
∞
-∞
-+∞
-A dx Ae dx dx x x ?
故A=5 。
②.3679.05)2.0(12.05≈==>-+∞
-?e dx e P x ξ （3分）
③当x<0时,F(x)=0; （1分）
当0≥x 时，x
x
x
x e dx e dx dx x x F 50
515)()(-∞
-∞
---=+==???? （2分）
故???<≥-=-0
0,,0
1)(5x x e
x F x
. （1分）
3．设二维随机变量（ηξ,）的分布密度???<<<<=其它,01
0,,6),(2ξξηξηξf
求关于ξ和关于η的边缘密度函数。
（3）
?
+∞∞
-=分）
2(),()(dy y x f x f x 分）（其它3010),(6622??
???≤≤-==?x x x x x dy
?
+∞
∞
-=分）
（2),()(dx y x f y f y 分）
（其它3010),(66??
???≤≤-==?y y y y y dx
4．设连续型随即变量ξ的概率密度??
?
??≤<-≤≤=其它,02
1,210,
)(x x x x x f ，
求E(x),D(x)
（4）??-+=1
02
12)2(dx x x dx x EX 1)18(31
)14(31=---+=
（4分）
??-+=102123
2)2(dx x x dx x EX 6
7)116(41)18(3241=---+=（3分）
6
1
167)(22=-=-=EX EX DX （3分）
四．证明题（本大题共2小题，总计10分）
2．设)
,2,1(}{Λ=k X k 是独立随机变量序列，且?
???
??
??--++12212212112
1202~k k k k k k X ， 试证}{k X 服从大数定理。
(2))
2(.),2,1(,
12
1
)2(21)2()()()
2(,
0212)211(021
)2()(12212221
2212分分Λ==+?-===+-?+?
-=++++k X E X D X E k k k k k k k k
k k k k
由切比雪夫大数定理可知}{k X 服从大数定理。 （1分）
考试科目：概率论与数理统计 考试时间：120分钟 试卷总分100分
一、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小
题，每小题3分，总计15分）
1．设,A B 为两随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是＿＿A ＿＿
A ．
()()P A B P A += B ．()()P AB P A =
Ｃ. ()()|P B A P B = Ｄ． ()()()P B A P B P A -=- 2. 设
()2,,X N μσ:那么当σ增大时，{}-P X μσ<= C
A ．增大
B ．减少
C ．不变
D ．增减不定
3． 设()()
()()~,E X-1X 21,X P poission λλ-==????分布且则＿A ＿
Ａ．1 B. 2 C ．3 D ．0 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分
1 .设A 、B 、C 、是三个随机事件。用A 、B 、C 表示事件“A 、B 、C 至少有一个发生”
A B C U U ;
2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率是 0.1 3．设随机变量X 与Y 相互独立，()()~1,2,~0,1,X N Y N 则随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数 (
)2
1523z f z -??- ???
=
;
4．已知()
2
~2,0.4,X N -则()2
3E X += 1.16
三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分）
１．设考生的报名表来自三个地区，各有10份，15份，25份，其中女生的分别为3份，7份，5
份。随机的从一地区先后任取两份报名表。求先取到一份报名表是女生的概率。
解.设B 为“取得的报名表为女生的”,i A 为“考生的报名表是第i 个地区的”,i=1,2,3 由全概率公式 2分
3
i 1
()()(|)i i P B P A P B A ==∑ 3分
131711
=+31031535
?+?? 3分 29
90
=
1分 即先取到一份报名表为女生的概率为29
90=. 1分
２．设随机变量X 的概率密度为()f x =Ax+10x 20,≤
?，
其他
，求① A 值； ②X 的分布函数()F x ；
③{}1.5 2.5P X << (1) ()()2
1221f x dx Ax dx A +∞
-∞
=+=+=?
?
Q
，1
2
A ∴=- 2分 (2)()()x F x f t dt -∞
=?
1分
0,0
101,
0221,
2
x x dt t dt x x -∞
=+-+≤
?≥??? 3分 20,01,
0241,
2
x x x x x
=-+≤
(3){}()()1.5 2.5 2.5 1.50.0625P X F F <<=-= 3分
３．设二维随机变量(,)X Y 有密度函数：()3x 4y ke ,x 0,y 0;(,)0,
f x y -+?>>?=???其它
求：（1）常数A ；
（2）()x y ,落在区域D 的概率，其中(){}D x,y ;0x 1,0 3. (34)340 ke d d e d 112 x y x y k x y k e dx y +∞+∞ +∞+∞ -+--== =?? ??，12k ∴= 5分 (){}{}()()12 343 8 00 ,01,0212110.9502 x y P x y D P X Y e dx e dy e e ----∈=<≤<≤==--≈?? 5分 4 . 设足球队A 与B 比赛，若有一队胜4场，则比赛结束，假设A ，B 在每场比赛中获胜的概率均为1 2 ，试求平均需比赛几场才能分出胜负？ 4. 设X 为需要比赛的场数， 1分 则{}148P X ==，{}154P X ==，{}5616P X ==，{}5 716P X ==， 4分 所以()1155 4567 5.8841616 E X =?+?+?+?≈ 4分 答：平均需比赛6场才能分出胜负 1分 ２．设{}n X 为相互独立的随机变量序列 , {n 1P X ,n == {}n 2 P X 01,n ==-n 2,3,=L 证明{}n X 服从大数定律。 2．( )(112010n E X n n n ?? =+?+?-= ??? 1分 ()()( ) (2 2 2 22112012 n n n D X E X E X n n n =+???? ?? = ?+?+?- ???= 2,3,i =L 1分 令121,2,3,,n n i i Y X n n +===∑L 则()()2 0,,n n E Y D Y n == 2分 0ε?>，由切比雪夫不等式知 (){} 22 1n n P Y E Y n εε -<≥- 1分 故有 (){} n lim 1n n P Y E Y ε→∞ -<→， 即{}n X 服从大数定律。 1分 1．对于事件,A B ，下列命题正确的是＿＿D ＿＿ A ．若,A B 互不相容，则.A 与B 也互不相容 B ．若,A B 相容，则.A 与B 也相容 Ｃ．若,A B 互不相容，则.A 与B 也相互独立 Ｄ．若A 与B 相互独立, 那么.A 与B 相互独立 2. 假设随机变量Ｘ的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ．若Ｘ与－Ｘ有相同的分布函数，则下 列各式中正确的是＿＿C ＿＿ A ．()F x ＝()F x -； B ．()F x ＝()F x --； C ．()f x ＝()f x -； D ．()f x ＝()f x --； ３. 若()21 1 ~,X N μσ，()22 2 ~,Y N μσ，那么(,)X Y 的联合分布为＿＿C ＿＿ Ａ.二维正态，且0ρ=； Ｂ. 二维正态，且ρ不定； Ｃ. 未必是二维正态； Ｄ. 以上都不对 ． ４. 设随机变量Ｘ和Ｙ的方差存在且不等于０，则()()()D X Y D X D Y +=+是Ｘ和Ｙ的＿＿C ＿＿ A . 不相关的充分条件，但不是必要条件； B .独立的必要条件，但不是充分条件； C . 不相关的充分必要条件； D . 独立充分必要条件． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分 1. 设A 、B 、C 、是三个随机事件。用A 、B 、C 表示事件“A 、B 、C 恰有一个发生” ABC ABC ABC U U ; 2. 设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k p X k A k == =L 则A= 1/5 3. 用(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y 表示{,}p a X b Y c <≤≤= (,)(,)F b c F a c -; 4．已知()~10,0.6,X N ()~1,2,Y N 且X 与Y 相互独立,则()3D X Y -= 7.4 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分） １．轰炸机轰炸目标，它能飞到距离目标400，200，100（米）的概率分别为0.5，0.3，0.2，又 设他在距离目标400，200，100（米）的命中率分别为0.01，0.02，0.1。求目标被命中的概率。 1.由全概率公式 2分 0.5*0.010.3*0.020.2*0.10.031++= 7分 目标被命中的概率为0.031. 1分 ２．设随机变量X 的概率密度为()f x =10,x 其他 ，求①C 值； ②X 的分布函数()F x ； ③求X 落在区间11 (,)22 -内的概率。 2.(1) ( )1 1f x dx C +∞ -∞ -==? ? Q ，1 C π ∴= 2分 (2)()()x F x f t dt -∞ =? 1分 0,111arcsin ,1121, 1x x x x x π-?≤-? ?==+-< (3){}()()0.50.50.50.51/3P X F F -<<=--= 3分 ３．设二维随机变量(,)X Y 的密度函数：222 21,(,)0, x y R f x y R π?+≤?=???其它 求：求关于X 与关于Y 的边缘分布密度； 3. 当R x R -≤≤ 时()(,)X f x f x y dy ∞ -∞ ===? ，3分 于是 ()0,X R x R f x -≤≤=??其他 2分 同理 Y ()0,R x R f y -≤≤=?? 其他 5分 4 .设随机变量X 具有密度函数01()2120x x f x x x ≤≤?? =-<≤??? 其他，求()E X 及()D X 。 4.12 20 1 ()(2)1E X x dx x x dx =+-=?? 5分 12 22320 1 ()()(2)11/6D X EX EX x dx x x dx =-=+--=?? 5分 四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） ２．设{}k X ，(1,2)k =L 是独立随机变量序列，21 22120 21111222k k k k k k X ++?? - ?= ?- ??? 证明{}k X 服从大数定律。 2．) 2(.),2,1(, 12 1 )2(21)2()()() 2(,02 12)211(021 )2()(12212221 2212分分Λ==+?-===+- ?+? -=++++k X E X D X E k k k k k k k k k k k k 由切比雪夫大数定理可知}{k X 服从大数定理。 （1分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分） 1. 设,A B 为随机事件,()0.5P A =,()0.6P B =,()0.7P A B =U ,则()|P A B = 2/3 2．设10把钥匙中有2把能打开门, 现任意取两把, 能打开门的概率是 17/45 3．设X ~(10,3),N Y ~(1,2)N , 且X 与Y 相互独立, 则(32)D X Y -= 35 4．设随机变量[0,6]X 在区间上服从均匀分布,则关于未知量x 的方程2 210x Xx ++=有实根的 概率为____5/6_____ 5. 设随机变量X 的数学期望()7E X =,方差()5D X =,用切比雪夫不等式估计得 {}212P X <<≥ 4/5 . 二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题4分，总计20分） 1．设事件,A B 相互独立,且()0P A >,()0P B >,，则有 B (A) ()|0P B A =; (B) ()()|P A B P A =; (C) ()|0P A B =; (D) ()()P AB P A = 2. 设X ~2 (,)N μσ,那么概率{2}P X μ<+ D (A) 随μ增加而变大; (B) 随μ增加而减小； (C) 随σ增加而不变; (D) 随σ增加而减小 3. 设1{0,0}5P X Y ≥≥= ,2 {0}{0}5 P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= C (A) 15; (B) 25; (C) 35; (D) 45 4．设,X Y 相互独立，X 服从()0,2上的均匀分布，Y 的概率密度函数为,0 ()0,0 y Y e y f y y -?≥=? 则{}1P X Y +≥=＿＿D ＿＿ (A) 11e --; (B) 21e --; (C) 212e --; (D) 1 10.5e -- 三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共计50分） 1．某产品整箱出售，每一箱中20件产品，若各箱中次品数为0件，1件，2件的概率分别为80％， 10％，10％，现在从中任取一箱，顾客随意抽查4件，如果无次品，则买下该箱产品，如果有次品，则退货，求: (1) 顾客买下该箱产品的概率；(2) 在顾客买下的一箱产品中，确实无次品的概率. 解:设A 表示“顾客买下该箱产品” ，i B 分别表示“箱中次品数为0件，1件，2件” 0,1,2i = 则()0P B =80％，()1P B =10％()2P B =10％，，()0|P A B =1，()4 191420 |C P A B C =， ()418 2420 |C P A B C =，(3分) 由全概率公式得：()()()2 |i i i P A P A B P B == =∑448/475，(7分) 由贝叶斯公式得：()()() 000||() P A B P B P B A P A ==95/112 (10分) 2．已知随机变量X 的密度为,01 ()0, ax b x f x +< ?其它,且{1/2}5/8P x >=, 求: (1) 常数,a b 的值; (2) 随机变量X 的分布函数()F x 解: (1) 由1()/2f x dx a b +∞ -∞ = =+? , {}1/2 5/81/2()3/8/2P X f x dx a b +∞ =>==+? 解得 1,1/2a b == (4分) (2) 0.5,01 ()0,x x f x +< 其它,当0x <时, (){}0F x P X x =≤=，当01x ≤<时, (){}()()20 0.5/2x F x P X x x dx x x =≤=+=+? , 当1x ≥时, ()1F x =， 所以 ()()20, 0/2,011, 1x F x x x x x =+≤ ≥? (10分) 3．设二维随机变量(,)X Y 有密度函数：21 ,01,02; (,)3 0, x xy x y f x y ?+≤≤≤≤?=???其他 （1）求边缘概率密度()(),X Y f x f y ；（2）求条件密度()()|||,|X Y Y X f x y f y x ； （3）求概率{}P X Y >. 解: （1）()(,)X f x f x y dy +∞ -∞ = ? 222/3,01 0,x x x ?+≤≤=?? 其他 ()(,)Y f y f x y dx +∞ -∞ =? 1/3/6,02 0, y y +≤≤?=??其他 (4分) (2) 当02y ≤≤时, ()|(,)|() X Y Y f x y f x y f y ==2 62,0120,x xy x y ?+≤≤?=+??? 其他 当01x <≤时, ()|(,)|()Y X X f x y f y x f x =223,02 620, x xy y x x ?+≤≤?=+?? ?其他 (8分) (3) {}P X Y >(,)x y f x y dy >= ? 120017/243x dx x xy dy ?? =+= ?? ??? (10分) 4 . 设随机变量,X Y 独立同分布，都服从参数为λ的泊松分布，设2U X Y =+,2V X Y =-, 求 随机变量U 与V 的相关系数UV ρ 4 .解: ()()E X E Y λ==,()()D X D Y λ==,()3E U λ=,()3E V λ= ()()5D U D V λ==,()()(),43Cov U V D X D Y λ=-=, (8分) UV ρ = (10分) 四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 1. 设事件,,A B C 相互独立,证明事件A B -与事件C 也相互独立 1. 证明：由于事件,,A B C 相互独立，所以()()()()P ABC P A P B P C =， ()()()P AB P A P B =，()()()P AC P A P C =，()()()P BC P B P C =，(2分)所以 ()()() P A B C P AC BC -=-()() P AC P ABC =-()()()()()P A P C P A P B P C =-()()P A B P C =- 即()()P A B C -()()P A B P C =-,所以事件A B -与C 也相互独立 (5分) 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分） 1 .设,A B 是两个随机事件, ()=0.7P A , ()=0.3P A B -,则事件“,A B 同时发生” 的 对立事件的概率为 0.6 2．设有40件产品，其中有4件次品，从中不放回的任取10次，每次取一件，则最后一件取的 为次品的概率是 0.1 3．设随机变量X 与Y 相互独立,X ~()1,2,N Y ~()0,1,N 则随机变量243Z X Y =-+的方差为 24 4．设随机变量X 的数学期望()75E X =,方差()5D X =,用切比雪夫不等式估计得 {}750.05P X ε-≥≤,则ε= 10 二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小 题，每小题4分，总计20分） 1．设总体X ~2 (1,)N σ,12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个样本, 则为参数2 σ的无偏估计量的 是( A ) (A) 211()1n i i X X n =--∑; (B) 2 11()n i i X X n =-∑; (C) 21 1n i i X n =∑; (D) 2X 2. 设X ~(,1)N μ,则满足{}{}22P X P X >=≤的参数μ=( C ) (A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3 3．设3{0,0}7P X Y ≥≥= , 4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=, 则{max{,}0}P X Y ≥=( C ) (A) 37; (B) 47; (C) 57; (D) 67 三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共计50分） 1．两个箱子中都有10个球，其中第一箱中4个白球，6个红球，第二箱中6个白球，4个红球， 现从第一箱中任取2个球放入第二箱中，再从第二箱中任取1个球，(1) 求 从第二箱中取的球为白球的概率；(2) 若从第二箱中取的球为白球，求从第一箱中取的2个球都为白球的概率 1．解: 设A 表示“从第二箱中取的球为白球” ，i B 分别表示“从第一箱中取的2个球都为 白球,1白1红，2个球都为红球” 1,2,3i =， 则()1P B =2 4210 C C =2/15，()2P B =1146 2 10C C C =8/15，()3P B =2 6210 C C =1/3，()1|P A B =2/3，()2|P A B =7/12，()3|P A B =1/2，(4分) 由全 概率公式得：()()()3 1 |i i i P A P A B P B == = ∑17/30， 由贝叶斯公式得： ()()() 111||() P A B P B P B A P A = =8/51 (10分) 2．设随机变量X 与Y 同分布，X 的概率密度为()f x =2 302 80, x x ?<≤????，其它 ，事件{} A X a =>与事件{} B Y a =>相互独立，且()3 4 P A B =U ，求常数a 的值。 2．解: 由于事件,A B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =()2 P A =????，所以 ()()()()P A B P A P B P AB =+-U ()()2 23/4P A P A =-=????，解得 ()1/2P A =或()3/2P A =（舍去），(5分) 所以(){}31/2()1/8a P A P X a f x dx a +∞ ==>==-? ，得a = (10分) 3．设二维随机变量(,)X Y 有密度函数：()43,0,0;(,)0,x y Ae x y f x y -+?>>?=??? 其他 （1）求常数A ； （2）求边缘概率密度()(),X Y f x f y ； （3）,X Y 是否相互独立。 3．解：（1）(43)0 1(,)d d e d d 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞ +∞ +∞ -+= == ?? ? ? ，12A ∴= (4分) （2）()(,)X f x f x y dy +∞ -∞ = ? 44,0 0,x e x -?>=?? 其他 ()(,)Y f y f x y dx +∞ -∞ =? 33,0 0, x e y -?>=??其他(8分) （3）()()(,)X Y f x y f x f y =，所以,X Y 相互独立。(10分) 4 . 设随机变量X ~()1,9N ，Y ~()0,16N ，相关系数12XY ρ=-，设32 X Y Z =+ 求： (1) 随机变量Z 的期望()E Z 与方差()D Z ； (2) 随机变量X 与Z 的相关系数XZ ρ 4 . 解： (1) X ~()1,9N ，Y ~()0,16N ，所以()1E X =，()0E Y =，()9D X =， ()16D Y =，(,)6XY Cov X Y ρ==- ，所以 ()()()11332E Z E X E Y =+=，()()()112 (,)3946 D Z D X D Y Cov X Y =++=(5分) (2) 由于()11(,)(,)0 32Cov X Z D X Cov X Y =+=，所以0XZ ρ== (10分) 四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 1. 设事件,,A B C 相互独立,证明事件A B U 与事件C 也相互独立. 1. 证明：由于事件,,A B C 相互独立，所以()()()()P ABC P A P B P C =， ()()()P AB P A P B =，()()()P AC P A P C =，()()()P BC P B P C =，所以 ()()() P A B C P AC BC =U U ()()() P AC P BC P ABC =+-()()()()()()() P A P C P B P C P A P B P C =+- ()()()()()()()P A P B P A P C P A P B P C =+- ()()P A B P C =U 即()()P A B C U ()()P A B P C =U ,所以事件A B U 与C 也相互独立。(5分) 一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分） 1. 设,A B 为随机事件,()0.8P A B =U ,()0.4P B =,则() |P A B = 2/3 2．10个球队平均分成两组进行比赛,则最强的两个队分到同一组的概率为 2/9 3．设随机变量X 在区间[0,1]上服从均匀分布,则X Y e =的数学期望为 1e - 4．设X ~(,)b n p 为二项分布,且() 1.6E X =,() 1.28D X =,则n =___8___p = 0.2 5. 设随机变量X 在区间[0,2]上服从均匀分布,用切比雪夫不等式估计得{} 12P X -≥≤ 1/12 . 二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小题3分，总计18分） 1．设,A B 为事件,且A B ?,则下列式子一定正确的是( B ) (A) ()()P A B P A =U ; (B) ()()P BA P A =; (C) ()()P AB P B =; (D) ()()()P A B P A P B -=- 2. 设随机变量X 的分布率为{}1! k P X k a k λ==?, ()1,2,k =L ,则a = ( D ) (A) e λ-; (B) e λ ; (C) 1e λ--; (D) 1e λ- 3. 设(1,1)X N :,概率密度为()f x ,分布函数为()F x ,则有( A ) (A) {1}{1}P X P X ≤=≥; (B) {0}{0}P X P X ≤=≥; (C) ()()f x f x =-, x R ∈; (D) ()()1F x F x =--, x R ∈ 4. 设2{1,1}5P X Y ≤≤= ,3 {1}{1}5 P X P Y ≤=≤=,则{min{,}1}P X Y ≤=( A ) (A) 45; (B) 925 ; (C) 35; (D) 25 5. 设随机变量(),X Y 满足方差()()D X Y D X Y +=-,则必有( B ) (A) X 与Y 独立; (B) X 与Y 不相关; (C) X 与Y 不独立; (D) ()0D X =或()0D Y = 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分） 1．有三个盒子,第一个盒子中有2个黑球,4个白球,第二个盒子中有4个黑球,2个白球,第三个盒子 中有3个黑球,3个白球,今从3个盒子中任取一个盒子,再从中任取1球. (1) 求此球是白球的概率； (2) 若已知取得的为白球,求此球是从第一个盒子中取出的概率. 解:设A 表示“取得的为白球” ，i B 分别表示“取得的为第一，二，三盒的球” 1,2,3i = 则 ()()()1231/3P B P B P B ===，()1|2/3P A B =，()2|1/3P A B =，()3|1/2P A B =，(2 分) 由全概率公式得：()()()3 1 |i i i P A P A B P B == =∑1/2，(6分) 由贝叶斯公式得：()()() 111||() P A B P B P B A P A ==4/9 (10分) 2．已知连续型随机变量X 的分布函数为0, ()arcsin ,1, x a x F x A B a x a a x a ≤-??? =+-<≤?? >??,其中0a >为常 数。 求: (1) 常数,A B 的值; (2) 随机变量X 的密度函数()f x ;(3) 2a P X a ?? << ??? 解: (1) 由()F x 右连续性, () ()F a F a +-=-， () ()F a F a +=得02 A B π - =，12 A B π + =， 解得1/2,1/A B π== (6分) (2) ( )()0,a x a f x F x -<<'==? 其它, (8分) (3) 2a P X a ?? <<= ??? ()()/2F a F a -=1/3 (10分) 3．设随机变量X 在区间[1,2]上服从均匀分布, 求2X Y e =概率密度。 3．解: X 的概率密度为()X f x 1,120, x ≤≤?=? ?其他，2x y e =，220x y e '=>，反函数导数 ()12h y y '= ，{}242min ,e e e α==，{}244max ,e e e β==，所以2X Y e =的概率密度为()Y f y ()()(),0,X f h y h y y αβ?'≤≤?=? ?? 其他()24 1/2,0,y e y e ?≤≤=??其他(10分) 4．设二维随机变量(,)X Y 的密度函数：2,0,01 (,)0,Ay x y y f x y ?<<<<=?? 其他 （1）求常数A 的值；（2）求边缘概率密度()(),X Y f x f y ； （3）X 和Y 是否独立? 4．解: （1）由(,)1f x y dy +∞ -∞ =? ，得4A = (3分) (2)()(,)X f x f x y dy +∞ -∞ = ? ()21,01 0, x x ?-≤≤=??其他(6分) ()(,)Y f y f x y dx +∞ -∞ =? 34,01 0, y y ?≤≤=??其他 (9分) (3) ()()(,)X Y f x f y f x y ≠，不独立(10分) 5 . 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数： 6, 01(,)0, x x y f x y << ?其他 求（1）数学期望()E X 与()E Y ；（2）X 与Y 的协方差(),Cov X Y 5 .解: ()1/2E X =,(2分)()3/4E Y =,(4分)()3/5E XY = (6分)，所以 (),Cov X Y ()()()E XY E X E X =-=9/40 (10分) 四、证明题（本大题共1小题，每小题4分，共4分） 1. 设三个事件,,A B C 满足AB C ?,试证明:()()()1P A P B P C +≤+ 1. 证明：由于AB C ?，所以()()P AB P C ≤，所以 ()()()()P A P B P A B P AB +=+U ()()P A B P C ≤+U ()1P C ≤+ (4分) 一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分） 1. 设,A B 为随机事件,()()0.7P A P B +=,()0.3P AB =,则()() P AB P AB += 0.1 2．10件产品中有4件次品,从中任意取2件,则第2件为次品的概率为 0.4 3．设随机变量X 在区间[0,2]上服从均匀分布,则2Y X =的概率密度函数为 ()1,040, Y y f y ?< ??其他 4．设随机变量X 的期望()3E X =,方差()5D X =,则期望()2 4E X ??+=?? 54 5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得{} 22P X -≥≤ 1/2 . 二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小 题，每小题3分，总计18分） 1．设,A B 为对立事件, ()01P B <<, 则下列概率值为1的是( C ) (A) ()|P A B ; (B) ()|P B A ; (C) () |P A B ; (D) ()P AB 2. 设随机变量X ~()1,1N ,概率密度为()f x ,分布函数()F x ,则下列正确的是( B ) (A) {0}{0}P X P X ≤=≥; (B) {1}{1}P X P X ≤=≥; (C) ()()f x f x =-, x R ∈; (D) ()()1F x F x =--, x R ∈ 3. 设()f x 是随机变量X 的概率密度,则一定成立的是( B ) (A) ()f x 定义域为[0,1]; (B) ()f x 非负; (C) ()f x 的值域为[0,1]; (D) ()f x 连续 4. 设4{1,1}9P X Y ≤≤= ,5 {1}{1}9 P X P Y ≤=≤=,则{min{,}1}P X Y ≤=( A ) (A) 23; (B) 2081; (C) 49; (D) 13 5. 设随机变量(),X Y 的方差()4D X =,()1D Y =,相关系数0.6XY ρ=,则方差()32D X Y -= ( D ) (A) 40; (B) 34; (C) 17.6; (D) 25.6 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分） 1．甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为: 0.2 ,0.3,0.4, (1) 求恰有2位同学不及格的概率； (2) 若已知3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率. 1．解:设,,A B C 分别表示 “甲,乙,丙同学不及格” , 则()0.2P A =，()0.3P B =，()0.4P C =， 由题意,,A B C 相互独立 (2分) (1) 事件“恰有2位同学不及格” 为: D ABC ABC ABC =U U ，所以 ()P D ()()()P ABC P ABC P ABC =+ ()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++=0.188 (6分) (2)()() |()P BD P B D P D = ()()() P ABC P ABC P D +==33/47 (10分) 2．已知连续型随机变量X 的分布函数为2 20, 0(),0 x x F x A Be x -≤?? =??+>?, 求: (1) 常数,A B 的值; (2) 随机变量X 的密度函数()f x ;(3) ) 2P X << 解: (1) 由()F x 右连续性得() ()00F F +=，即0A B +=, 又由()1F +∞=得，1A =， 解得 1,1A B ==- (5分) (2) ()2 2,0()0, x xe x f x F x -??>'==???其它, (8分) (3) )2P X <<( )2F F =-1 2e e --=- (10分) 3．设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为: ,0()0,0x X e x f x x -?>=? ≤? ,1,01 ()0,Y y f y < 3．解: 由于随机变量X 与Y 相互独立,所以Z X Y =+的密度函数为 ()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞ -∞ =-? (2分) 1 ,01 ,10,0z x z x z e dy z e dy z z ---?< ? ?? 11,01,10,0z z z e z e e z z ---?-< 4．设二维随机变量(,)X Y 的密度函数：, 02,(,)0, A x y x f x y ?<<<=? ?其他 （1）求常数A 的值；（2）求边缘概率密度()(),X Y f x f y ； （3）X 和Y 是否独立? 4．解: （1）由(,)1f x y dy +∞ -∞ =? ，得1/4A = (2分) (2)()(,)X f x f x y dy +∞ -∞ = ? 1/4,02 0, x x dy x -?≤≤?=????其他 /2,020,x x ≤≤?=??其他 (5分) ()(,)Y f y f x y dx +∞ -∞ =? 221/4,20 1/4,020,y y dx y dx y -?-≤ =?≤ ??其他()()2/4,202/4,020,y y y y +-≤ ?其他 (9分) (3) ()()(,)X Y f x f y f x y ≠，不独立(10分) 5 . 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数：3,0,01 (,)0,y x y y f x y <<< 其他 求（1）数学期望()E X 与()E Y ；（2）X 与Y 的协方差(),Cov X Y 5 .解: ()3/8E X =,(2分) ()3/4E Y =,(4分) ()3/10E XY = (6分)，所以 (),Cov X Y ()()()E XY E X E X =-=3/160, (10分) 四、证明题（本大题共1小题，每小题4分，共4分） 1. 设,,A B C 任意三个事件,试证明:()()()()P AB P BC P B P AC +-≤ 1. 证明： 因为()()()()P AB P BC P AB BC P ABC +=+U ,又由于AB BC B ?U ,ABC AC ?，所以()()P AB BC P B ≤U ，()()P ABC P B ≤,所以 ()()()()P AB P BC P B P AC +≤+,即()()()()P AB P BC P B P AC +-≤ (4分) 数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。 参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》 总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。 学分：3学分。 说明： 1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。 2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时)： 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、 一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥= * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020 一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为 华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、 A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X , 概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。 第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计 概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?= 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念 1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法； 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的 进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配 概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】数三概率论与数理统计教学大纲
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