培优专题用提公因式法把多项式进行因式分解含复习资料

1、用提公因式法把多项式进行因式分解

【知识精读】

如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：

（1）当多项式中各项有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数取各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解

【分类解析】

1. 把下列各式因式分解

（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213

（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222

注： 当n 为自然数时，()

()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。

2. 利用提公因式法简化计算过程

例：计算1368987521136898745613689872681368987123?+?+?+?

3. 在多项式恒等变形中的应用

例：不解方程组23532

x y x y +=-=-???，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。

4. 在代数证明题中的应用

例：证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。

分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。

【实战模拟】

1. 分解因式：

（1）-+-41222332m n m n mn

（2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）

（3）a a b a b a ab b a ()()()-+---322222

2. 计算：()

()-+-221110的结果是（ ） A. 2100

B. -210

C. -2

D. -1 3. 已知x 、y 都是正整数，且x x y y y x ()()---=12，求x 、y 。

4. 证明：812797913--能被45整除。

5. 化简：111121995+++++++x x x x x x x ()()()

…，且当x =0时，求原式的值。

6. 计算：200020012001200120002000?-?

7. 设x 为整数，试判断1052+++x x x ()是质数还是合数，请说明理由。

试题答案

1. 分析与解答：

（1）-+-41222332m n m n mn

=--+226122mn mn m n ()

（2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--

=+---ax ax bx cx d n 132()

（3）原式=-+---a a b a a b ab a b ()()()322222

=--+-=--=-a a b a b a b a a b a b a a b ()[()]

()()()222

22333

注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。

2. B

3. Θx x y y y x ()()---=12

∴-+=()()x y x y 12

Θx y 、是正整数

∴12分解成1122634???，，

又Θx y -与x y +奇偶性相同，且x y x y -<+

∴-=+=???∴==???x y x y x y 2642

说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。

4. 证明：Θ812797913

-- =--=--=?=??=?333393135335

345

282726

262624224()

∴--812797913能被45整除

5. 解：逐次分解：原式=++++++()()()()111121995x x x x x x …

=++++=++++++==+()()()()()()()()1111111121995

341995

1996x x x x x x x x x x x …………

∴当x =0时，原式=1

(完整版)提公因式法因式分解练习题

因式分解---------提公因式法 下列从左到右的变形中，哪些是因式分解，哪些不是。 （1）)2(3362 2 3 b a a b a a -=- （2）)1(2 3 2 x x x x --=+- （3）))((2 2 b ab a b a ++-33b a -= （4）)3)(2(--x x 652+-=x x （5）㎡=m ×m （6）㎡+m=m 3（ ） 二、用提公因式法因式分解(一) （1）332168b a ab - （2）22mn n m +- （3）2 515x xy -- （4）3224 1ab b a - （5）ab b a b a -+2233 （6） 3 22316128ay y a y a -+- （7）am m a m a 126323+--（8）xy y x y x ++-2 2 3 2 用提公因式法因式分解(二) （1）2 )()(b a b a +-+ （2）)()(x y y y x x -+- （3）)(2)(62 n m n m +-+（4）)(2)(32 y x x y -+- （5）)()(3y x x y x ----（6）2 2 )()(m n n n m m --- （7）)(4)(6p q q q p p +-+ （8）)(4)(122 x y ab y x b a --- （9）))(())((y x b a y x b a -+-++ 用提公因式法因式分解(三) （1）)(2)(72a b y b a x --- （2） )3()3(52 2x a x --- （3） 23)()(2b a b a +-+ （4）2 22)3()3(a b x b a x --- 5）)(3)(2p q b q p a ---（6）2 2 3 )1(8)1(6x p x p --- （7）2 )1()1(---a a a （8）2 2 )()()(b a b a b a --+- （9）)1()1(2)1(3x c x b x a -+---- （10）)32()23()1(2x x x -+-- 用提公因式法因式分解(四) （1）2 )())((y x x y x y x x +--+

精讲精练：因式分解方法分类总结-培优(含答案)

因式分解·提公因式法 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过 程中常用的因式变换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---322 22 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123? +?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结 果。 解：原式)521456268123(1368987 +++?= =?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-???，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的 值。 分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。 解 ：

因式分解提公因式法含答案

【知能点分类训练】 知能点1 因式分解的意义 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）． A．（x+3）（x－3）=x2－9 B．x2－9+x=（x+3）（x－3）－x C．xy2－x2y=xy（y－x） D．x2+5x+4=x（x+5+） 2．下列变形不属于分解因式的是（）． A．x2－1=（x+1）（x－1） B．x2+x+1 4 =（x+ 1 2 ）2 C．2a5－6a2=2a2（a3－3） D．3x2－6x+4=3x（x－2）+4 3．下列各式从左到右的变形中，哪些是整式乘法哪些是因式分解哪些两者都不是 （1）ad+bd+cd+n=d（a+b+c）+n （2）ay2－2ay+a=a（y－1）2 （3）（x－4）（x+4）=x2－16 （4）x2－y2+1=（x+y）（x－y）+1知能点2 提公因式法分解因式

4．多项式－7ab+14abx－49aby的公因式是________． 5．3x2y3，2x2y，－5x3y2z的公因式是________． 6．下列各式用提公因式法分解因式，其中正确的是（）． A．5a3+4a2－a=a（5a2+4a） B．p（a－b）2+pq（b－a）2=p（a－b）2（1+q） C．－6x2（y－z）3+x（z－y）3=－3x（z－y）2（2x－z+y） D．－x n－x n+1－x n+2=－x n（1－x+x2） 7．把多项式a2（x－2）+a（2－x）分解因式等于（）． A．（x－2）（a2+a） B．（x－2）（a2－a） C．a（x－2）（a－1） D．a（x－2）（a+1） 8．下列变形错误的是（）． A．（y－x）2=（x－y）2 B．－a－b=－（a+b） C．（a－b）3=－（b－a）3 D．－m+n=－（m+n）

因式分解培优练习题及答案

因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 22+8x+8 2x2）（（1）3p﹣6pq 2．将下列各式分解因式 3322．﹣6a b+3ab2 （）3a ）（1x y﹣xy ．分解因式32 22222）﹣4x y）﹣）1（）a（x﹣y+16（yx）（2（x+y 4．分解因式：22（ 2 2x（1）﹣x ）16x﹣1 3 2 2 2 （）yx+9yx4+12﹣﹣6xy3（）9xyy4）（﹣）（﹣ 5．因式分解：2 223﹣2am1（）8a y+xy+4x4x）2（ ．将下列各式分解因式：6． 322222 yx﹣+y4x）（2）（1（）3x﹣12x 223 22 y﹣2xy）+y﹣2）（x+2y（7．因式分解：（1）xy 8．对下列代数式分解因式： 2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（（1）nx﹣3）+1

2222﹣ba2a+1 ﹣a10﹣4a+4﹣b．分解因式：．分解因式：9 11．把下列各式分解因式： 42422 a﹣2）x+2ax+1+x （x﹣7x +1 （1） 22242432+2x+1 x+3x+2x （4（1﹣y+x））（1﹣y）1+y（3）（）2x﹣ 12．把下列各式分解因式： 32222224445+x+1；x ） b +2ac（+2bc3﹣a﹣b﹣c ；2a2 ；4x1（）﹣31x+15 （） 32432．a+2﹣6a﹣a﹣2a）5（；9﹣+3x+5xx）4（． 2﹣6pq=3p（p﹣2q1）3p），解答：解：（222．（x+2x）+4x+4），=2（2）2x+8x+8，=2（ 2．将下列各式分解因式 3322．6a （2）3ab+3ab﹣（1）x y﹣xy 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 2﹣1）=xy（x+1）（x﹣解：（1）原式=xy（x1）；解答：222．﹣b））=3a（（2）原式=3a（aa﹣2ab+b 3．分解因式 222222．）y﹣（2）（x4x+y﹣y）+16（y﹣x）；（1）a （x 22﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4（）+16y﹣x），=（x﹣y）（a）；解答：解：（1）a （x﹣y22222222222．）（x﹣2xy+y），﹣4x=y（，=（xx+y+2xy+y））（（2）（xx+yy）﹣ 4．分解因式： 222232．）（x﹣y4+12（x﹣）6xyy﹣9x）y﹣y+9；（4（1）2x16x﹣x；（2））﹣1；（3 2﹣x=x（2x﹣1（1）2x）；解答：解：2﹣1=（4x+1）（16x4x﹣1）；（2）223222；﹣y），）=﹣yy，=﹣y（9x（﹣6xy+y（3）6xy3x﹣9xy﹣222．﹣3y+2），=（3x﹣y）﹣，=[2+3（xy）]（（4）4+12x﹣y）+9（x 5．因式分解： 2322 y+xy+4x （2）4x （1）2am ﹣8a； 22﹣4）=2a（m+2）（8a=2a（mm﹣2）；解答：解：（1）2am﹣322222．），=x4x，=x（（+4xy+y （2）4x2x+y+4x）y+xy 6．将下列各式分解因式： 322222．y（x﹣+y4x）（2）（1）3x﹣12x 32）=3x（1+2x）（1﹣2x）1（）3x﹣12x；=3x（1﹣4x 解答：解：22222222222．）y （x+y﹣﹣2xy）（x）+y）=﹣4x（y（=xx+y+yx+2xy）（）（2

提取公因式法、分组分解法

二、因式分解 提取公因式法、分组分解法 练习要求 了解因式分解的概念；掌握提取公因式法与分组分解法。 A卷 一、填空题 1.把一个多项式化成的形式，叫做因式分解。 2.把下列各式分解因式 (1)3x-27y2= ；(2)6x2-7xy2= ； (3)2x2y-4xy3= ；(4)-5x2+10xy3= 。 3.(1)多项式2x2y-4x3y2+6x4y2各项的公因式是； (2)多项式-5ax5y6+15a2x4y7-35a3x2y4各项的公因式是。 4.把下列各式分解因式 (1)3(a+b)-4a(a+b)= ； (2)5(a-b)3-15(a-b)2= ； (3)4(a+2b)2(a-3b)-4(a+2b)3= ； (4)6(x-3y)4-12(3y-x)3= 。 5.把下列各式用分组分解法分解因式 (1)3x+3y-ax-ay= ； (2)ab-a-5b+5= 。 二、选择题 6.下列各式形是因式分解的是( ) (A)(x-7)(x+7)=x2-49；(B)x2+5x-6=x(x+5)-6； (C)5(x-2)(x-3)=5(x-3)(x-2)；(D)3x2-9xy+6x=3x(x-3y+2)。 7.多项式18a2b3-9ab2+27a2b2的公因式是( ) (A)ab2；(B)9ab2；(C)9ab；(D)3ab。 8.下列各多项式中有公因式an的是( ) (A)a n+2-5a2n；(B)a3n+a3； (C)a n+2-6a2；(D)an-1-a3n。 9.下列各多项式中不能用提取公因式法因式分解的是( ) (A)5x2y3-20xy3；(B)-3ab+16b3c； (C)x2-3x-1；(D)(a-b)(a+b)2-(b-a)2。 10.5x-7y-5ax+7ay因式分解时，下列分组方法错误的是( ) (A)(5x-7y)-(5ax-7ay)；(B)(5x-5ax)-(7y-7ay)； (C)(5x+7ay)-(5ax+7y)；(D)(5x-5ax)+(7ay-7y)。 三、简答题 11.将下列各式分解因式 (1)9x2y+15xy2-6xy； (2)-18x4y5+27x3y6-36x5y4； (3)x(a-x)(y+a)-2y(x-a)(a+y)； (4)(x-5)(3x-2)+10(5-x)； (5)x4-x2yz+x3y-x3z； (6)ax n-yx n+4x n+1y-4x n+1a。 12.简便计算

因式分解专题1_用提公因式法(含答案)

1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式 变换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 ) 243)((]2)(2))[(() (2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987521136898745613689872681368987123?+?+?+?

(完整版)因式分解培优题(超全面、详细分类)

因式分解专题培优 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 因式分解的一般方法及考虑顺序： 1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法． 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法． 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法． 一、运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2－b2=(a+b)(a－b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)； (4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)； (7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数； (8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例题1 分解因式： (1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4； (2)x3－8y3－z3－6xyz； (3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab； (4)a7－a5b2+a2b5－b7．

提公因式法分解因式专项练习题

提公因式法分解因式专项练习题 提公因式法（1） （一）课堂练习 一、填空题 1.把一个多项式__________________________，这样的式子变形，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项 式______________。 2.把下列各多项式的公因式填写在横线上。 (1)x 2-5xy _________ (2)-3m 2+12mn _________ (3)12b 3-8b 2+4b _________ (4)-4a 3b 2-12ab 3 __________ (5)-x 3y 3+x 2y 2+2xy _________ 3.在括号内填入适当的多项式，使等式成立。 (1)-4ab-4b=-4b( ) (2)8x 2y-12xy 3=4xy( ) (3)9m 3+27m 2=( )(m+3) (4)-15p 4-25p 3q=( )(3p+5q) (5)2a 3b-4a 2b 2+2ab 3=2ab( ) (6)-x 2+xy-xz=-x( ) (7)21a 2 -a=21 a( ) 二、选择题 1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是（） (A)m(a+b)=ma+mb (B)x 2+3x-4=x(x+3)-4 (C)x 2-25=(x+5)(x-5) (D)(x+1)(x+2)=x 2+3x+2 2.下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（） (A)8a 2b 3c=2a 2·2b 3·2c (B)x 2y+xy 2+xy=xy(x+y) (C)(x-y)2=x 2-2xy+y 2 (D)3x 3+27x=3x(x 2+9) 3.下列各式因式分解错误的是（） (A)8xyz-6x 2y 2=2xy(4z-3xy) (B)3x 2-6xy+x=3x(x-2y) (C)a 2b 2-41ab 3=41ab 2(4a-b) (D)-a 2 +ab-ac=-a(a-b+c) 4.多项式-6a 3b 2-3a 2b 2+12a 2b 3因式分解时，应提取的公因式是（） (A)3ab (B)3a 2b 2 (C)- 3a 2b (D)- 3a 2b 2 5.把下列各多项式分解因式时，应提取公因式2x 2y 2的是（） (A)2x 2y 2-4x 3y (B)4x 2y 2-6x 3y 3+3x 4y 4 (C)6x 3y 2+4x 2y 3-2x 3y 3 (D)x 2y 4-x 4y 2+x 3y 3 6.把多项式-axy-ax 2y 2+2axz 提公因式后，另一个因式是（） (A)y+xy 2-2z (B)y-xy 2+2z (C)xy+x 2y 2-2xz (D)-y+xy 2-2z 7.如果一个多项式4x 3y-M 可以分解因式得4xy(x 2-y 2+xy) ，那么M 等于（ ） (A)4xy 3+4x 2y 2 (B)4xy 3-4x 2y 2 (C)-4xy 3+4x 2y 2 (D)-4xy 3-4x 2y 2 8. 下列各式从左到右的变形：①(a+b)(a-b)=a 2-b 2 ②x 2+2x-3=x(x+2)-3 ③x+2=x 1(x 2+2x) ④

因式分解一_提取公因式法和公式法_超经典

因式分解（一） ——提取公因式与运用公式法 【学习目标】（1）让学生了解什么是因式分解； （2）因式分解与整式的区别； （3）提公因式与公式法的技巧。 【知识要点】 1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意： （1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的， 并且注意括号内其它各项要变号。 （2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。 （3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公因式， 这时要特别注意各项的符号）。 （4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。 （5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领： （1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。 （3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。 （4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。 【经典例题】 例1、找出下列中的公因式： (1) a 2b ，5ab ，9b 的公因式 。 (2) －5a 2，10ab ，15ac 的公因式 。 (3) x 2y(x －y)，2xy(y －x) 的公因式 。

新浙教版数学七年级(下册)第四章《因式分解》培优题

新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题 一．选择题（共6小题） 1．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（） A．4x2+8x+1 B．x2y2﹣xy+1 C．x2﹣4x+16 D．x2﹣6xy﹣9y2 2．已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（） A．0 B．2 C．4 D．6 3．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12=1×12=2×6=3×4，则． 那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），则．正确的个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值时，可以设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）． 即x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n． ∴解得，n=﹣7，m=﹣21， ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 类似地，二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则它的另一个因式以及k 的值为（） A．x﹣1，5 B．x+4，20 C．x，D．x+4，﹣4 5．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（） A．1.1111111×1016B．1.1111111×1027 C．1.111111×1056D．1.1111111×1017

6．设a、b、c是三角形的三边长，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形．其中正确的说法的个数是（） A．4个B．3个C．2个D．1个 二．填空题（共7小题） 7．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为． 8．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：． 9．2m+2007+2m+1（m是正整数）的个位数字是． 10．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是． 11．若a+b=5，ab=，则a2﹣b2= ． 12．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论： ①2★（﹣2）=3 ②a★b=b★a ③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab ④若a★b=0，则a=1或b=0． 其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）． 13．若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为．

培优专题3_用分组分解法进行因式分解(含答案)

3、用分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（ ） A a a B a a C a a D a a .().().().()22 2222221111+--+++-- 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。 解：原式=+++++211242a a a a a (() =++++=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a a a a a 4324322222222321 2221 21 1()()()()() 故选择C 例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+- 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x x 54-，x x x 321--和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解法1： 原式=-+--+=--+=-++-+()() ()() ()()()x x x x x x x x x x x x x 54323222111111 解法2：

《因式分解-提公因式法》知识点归纳

《因式分解-提公因式法》知识点归纳★★ 知识体系梳理 ◆ 因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式；（化和为积） 注意： 、因式分解对象是多项式； 2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止； 3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性； ◆ 分解因式的作用 分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。 ◆ 分解因式的一些原则 （1）提公因式优先的原则．即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。 （2）分解彻底的原则．即分解因式必须进行到每一个

多项式因式都再不能分解为止。 （3）首项为负的添括号原则．即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“－”号的括号，并遵循添括号法则。 ◆ 因式分解的首要方法—提公因式法 、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的 因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。 3、使用提取公因式法应注意几点： （1）提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。 （2）公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。（找最高公因式）（3）对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。 ◆ 提公因式法分解因式的关键： 、确定最高公因式；（各项系数的最大公约数与相同因

因式分解培优专题

把下列各式因式分解 2 m2 m 1 a x abx a(a b)3 2a 2(b m m3 acx ax a)2 2ab(b a) (1)若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“一”号，使括号内的第 2.利用提公因式法简化计算过程 例? 计算 987 987 例：计算123 268 - 1368 1368 分析：算式中每一项都含有 竺 1368 987 521 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 456 987 1368 解: 说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要 注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。 举一反三： 1、分解因式： (1) 4m 2n 3 12m 3n 22mn 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组 2x y 3 , 5x 3y 2 求代数式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y)的值。 (2) a 2x n 2 abx n 1 acx n adx n 1(n 为正整数) 初三数学因式分解培优专题(一) 一、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括 号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配 律。多项式的公因式的确定方法是： (1) 当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。 (2) 系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解 析】 1. (1) (2) 分析： 分析：不要求解方程组，我们可以把 2x y 和5x 3y 看成整体，它们的值分别是 3 和2，观察代数式，发现每一项都含有2x y ，利用提公因式法把代数式恒等变形， 化为含有2x y 和5x 3y 的式子，即可求出结果。 解： 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数 n , 3n 22n 23n 2n 一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是 10的倍数 即可。 解： 一项系数是正数，在提出“―”号后，多项式的各项都要变号。 解： (2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当 n 为自 然数时，(a b)2n (b a)2n ； (a b)2n 1 (b a)2n 1，是在因式分解过程中 常用的因式变换。 解： 5、中考点拨： 例1。因式分解3x(x 2) (2 x) 解： 说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得 到。 例 2 .分解因式：4q(1 p)3 2( p 1)2 解：

提公因式法分解因式的教学设计

提公因式法分解因式的教学设计 教学目标 （一）知识认知要求 进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法. （二）能力训练要求 进一步培养学生的观察能力和类比推理能力. （三）情感与价值观要求 通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点. 教学重点 能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式. 教学难点 准确找出公因式，并能正确进行分解因式. 教学过程 一、创设问题情境,引入新课 上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜. 二、新课讲解 ［例2］把a（x－3）+2b（x－3）分解因式. 分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来. 解：a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b） 从分解因式的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？ ［例3］把下列各式分解因式:

（1）a（x－y）+b（y－x）; （2）6（m－n）3－12（n－m）2. 分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x －y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此. 解：（1）a（x－y）+b（y－x） =a（x－y）－b（x－y） =（x－y）（a－b） （2）6（m－n）3－12（n－m）2 =6（m－n）3－12［－（m－n）］2 =6（m－n）3－12（m－n）2 =6（m－n）2（m－n－2）. 二、做一做 请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立: （1）2－a=__________（a－2）; （2）y－x=__________（x－y）; （3）b+a=__________（a+b）; （4）（b－a）2=__________（a－b）2; （5）－m－n=__________－（m+n）; （6）－s2+t2=__________（s2－t2）. 解：（1）2－a=－（a－2）; （2）y－x=－（x－y）; （3）b+a=+（a+b）; （4）（b－a）2=+（a－b）2;

《因式分解--提公因式法》教案

《15．4．1因式分解——提公因式法》教案 广西桂平市社步一中黄郁贞 一、教学目标 ㈠、知识与技能：（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。 （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法。 ㈡、过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观 察能力，进一步发展学生的类比思想。 （2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力。 （3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。 ㈢、情感态度与价值观：让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。 二、教学重点和难点 重点：因式分解的概念及提公因式法。 难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。

-1)= 个整式的

五、学生学习活动评价设计 在本节教学设计中，对学生的评价方式：自评、互评、教师评价等。通过多样化的评价方式，激励、促进学生积极参与自主学习、实验探究、讨论交流中，并学会和同伴合作的良好学习习惯。例如： 1.个人回答问题次数：正确次数：改正人： 2.小组自评实验结论：活动1：正确、不完善、错误； （在所属情况下面打对勾）活动2：正确、不完善、错误。 活动…… 3.例题完成情况：小组内互评并把同伴错误之处改正过来。 4.课堂完成情况练习：小组内互评并把同伴错误之处改正过来。 六、教学反思 ㈠、教材分析 本节课选自人教版数学八年级上册第十五章第四节第一个内容（P165-167）。因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它在以后的代数学习中有着重要的应用，如：多项式除法的简便运算，分式的运算，解方程（组）以及二次函数的恒等变形等，因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义。

最新整式乘除与因式分解培优精练专题答案

整式乘除与因式分解培优精练专题答案 一．选择题（共9小题） 222 2．（2014?盘锦）计算（2a2）3?a正确的结果是（） 7776 可． 解：原式= =4a7， 故选：B． 22 ．3D．2 故选：B． 4．（2014?拱墅区二模）如果ax2+2x+=（2x+）2+m，则a，m的值分别是（） A．2，0 B．4，0 C． 2，D． 4， 运用完全平方公式把等号右边展开，然后根据对应项的系数相等列式求解即可．解：∵ax2+2x+=4x2+2x++m， ∴， 解得．

5．（2014?江阴市模拟）如图，设（a＞b＞0），则有（） A．B．C．1＜k＜2 D．k＞2 解：甲图中阴影部分的面积=a2﹣b2，乙图中阴影部分的面积=a（a﹣b）， =， ∵a＞b＞0， ∴， ∴1＜k＜2． 故选：C． 6．（2012?鄂州三月调考）已知，则的值为（）A．B．C．D．无法确定 解：∵a+=， ∴两边平方得：（a+）2=10， 展开得：a2+2a?+=10， ∴a2+=10﹣2=8， ∴（a﹣）2=a2﹣2a?+=a2+﹣2=8﹣2=6， ∴a﹣=±，

7．已知，则代数式的值等于（） A．B．C．D． 分析： 先判断a是正数，然后利用完全平方公式把两边平方并整理成的平方的形式，开方即可求解． 解：∵， ∴a＞0，且﹣2+a2=1， ∴+2+a2=5， 即（+|a|）2=5， 开平方得，+|a|=． 故选C． 8．（2012?滨州）求1+2+2+2+…+2的值，可令S=1+2+2+2+…+2，则 2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012 ．D． 根据题目提供的信息，设S=1+5+5+5+…+5，用5S﹣S整理即可得解． 解：设S=1+5+52+53+...+52012，则5S=5+52+53+54+ (52013) 因此，5S﹣S=52013﹣1， S=． 故选C． 9．（2004?郑州）已知a=x+20，b=x+19，c=x+21，那么代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc A．4B．3C．2D．1

提公因式法分解因式的常用技巧

提公因式法分解因式的常用 技巧 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

提公因式法分解因式的常用技巧 仁德一中高粉翠 内容摘要 提取公因式法是因式分解应首先考虑的方法，是初中数学学习中很重要的恒等变形之一，也是新课程中的重要内容，它被广泛地应用于初等数学学习之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．提取公因式法分解因式方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用． 关键词提取公因式法分解因式的方法、技巧 首先，我们必须把握什么是公因式，多项式中每一项都有的因式叫做这个多项式的公因式。一个多项式的公因式实质上是取各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积的形式。明确因式分解实质只是一个多项式的变形而已，不是计算。即等式的左边是一个多项式，右边是几个整式相乘的形式。 其次，我们必须掌握提取公因式法分解因式的几种简单的分解方法及技巧。主要体现以下几种方法： 方法一：提系数，有负号的包括负号比如分解因式 （1）8a3b2－12 解：原式 =4（2a3 b2－3） 方法二：提系数和字母比如分解因式 (2)8a3b2－12ab3c 解：原式=4ab2（2a2－3bc） 方法三：先变号再提取公因式比如分解因式 (3)6（x－2）＋x（2－x） 解：原式=6（x－2）－x（x－2） = （x－2）（6－x） 方法四：先展开括号再分组提取公因式比如分解因式

(4)a2－ab＋（ac－bc） 解：原式= a2－ab＋ac－bc =（a2－ab）＋（ac－bc） = a（a－b）＋c（a－b） =（a－b）（a＋c） 通过观察探讨，我们发现，一个多项式的公因式实质上是取各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积的形式。具体做法是： （1）找出各项的公因式。 （2）然后用多项式除以公因式，再把所得的商写在括号里与公因式相乘。 注意：（1）若多项式的首项为负数，为使提公因式后括号里首项不含负号，可提一个带负号的公因式。 （2）结果中出现相同因式时写成乘方的形式.公因式中字母也可以是整 式。（3）多项式中某一项全提公因式后不要漏掉“1”这一项。 （4）提公因式要一次提“全”提“尽”，直到不能再分解为止。 参考资料： （1）人教版八年级数学课本 （2）数学新课程标准

因式分解-提公因式法(含答案)

13.5.1 因式分解-提公因式法 【知能点分类训练】 知能点1 因式分解的意义 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）． A．（x+3）（x－3）=x2－9 B．x2－9+x=（x+3）（x－3）－x C．xy2－x2y=xy（y－x）D．x2+5x+4=x（x+5+） 2．下列变形不属于分解因式的是（）． A．x2－1=（x+1）（x－1）B．x2+x+1 4 =（x+ 1 2 ）2 C．2a5－6a2=2a2（a3－3）D．3x2－6x+4=3x（x－2）+4 3．下列各式从左到右的变形中，哪些是整式乘法？哪些是因式分解？哪些两者都不是？ （1）ad+bd+cd+n=d（a+b+c）+n （2）ay2－2ay+a=a（y－1）2 （3）（x－4）（x+4）=x2－16 （4）x2－y2+1=（x+y）（x－y）+1 知能点2 提公因式法分解因式 4．多项式－7ab+14abx－49aby的公因式是________． 5．3x2y3，2x2y，－5x3y2z的公因式是________． 6．下列各式用提公因式法分解因式，其中正确的是（）． A．5a3+4a2－a=a（5a2+4a） B．p（a－b）2+pq（b－a）2=p（a－b）2（1+q） C．－6x2（y－z）3+x（z－y）3=－3x（z－y）2（2x－z+y） D．－x n－x n+1－x n+2=－x n（1－x+x2） 7．把多项式a2（x－2）+a（2－x）分解因式等于（）． A．（x－2）（a2+a）B．（x－2）（a2－a） C．a（x－2）（a－1）D．a（x－2）（a+1） 8．下列变形错误的是（）． A．（y－x）2=（x－y）2B．－a－b=－（a+b） C．（a－b）3=－（b－a）3D．－m+n=－（m+n） 9．分解下列因式: （1）6abc－3ac2（2）－a3c+a4b+a3 （3）－4a3+16a2－26a （4）x（m－x）（m－y）－m（x－m）（y－m）

七年级数学因式分解培优试题

1.若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 2.若6,422=+=+y x y x 则=xy ____________ . 设z x y 23+=，求xz z y x 449222++-的值是________. 3.已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值.______________ 4.若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____, 若 051294422=+-+-y y x x , 求 的值_________. 5.若7,9x y xy +=-=-，求 x y -的值。______ 6．因式分解： （1）.提公因式法： a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 2883223x y x y xy ++= -2x 5n-1y n +4x 3n-1y n+2-2x n-1y n+4 （2）.公式法： 22414y xy x +-- yz z y x z y x 4))((-+--+ a 2-4b 2-4c 2 -8bc (3).分组分解法: = --+124323x x x a 2-c 2+2ab+b 2-d 2-2cd (4).添项拆项法 x 3-3x+2 x 4+4 2x 2 +x-1 x 4+x 2+1 x 4-7x 2+1 x 3+2x 2+2x+1 ---=++--=+--332222)1(1344422331n m m n m n y y xy x x b b a a ）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：（---= ++--= +--3 32222)1(1344422331n m m n m n y y xy x x b b a a ）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：（1 4)1(222+-+-n mn n m y x 3 26+