[A 基础达标]
1.在△ABC 中,已知a =4,b =6,C =120°,则边c 的值是( )
A .8
B .217
C .6 2
D .219
解析:选D.由余弦定理得:c 2=a 2+b 2-2ab cos C =16+36-2×4×6cos 120°=76,所以c =219,故选D.
2.在△ABC 中,若a =8,b =7,cos C =1314
,则最大角的余弦值是( ) A .-15
B .-16
C .-17
D .-18 解析:选C.由余弦定理,
得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =82+72-2×8×7×1314
=9, 所以c =3,故a 最大,
所以最大角的余弦值为cos A =b 2+c 2-a 22bc =72+32-822×7×3
=-17. 3.在△ABC 中,a ,b ,c 为角A 、B 、C 的对边,且b 2=ac ,则B 的取值范围是( )
A.?
???0,π3 B .????π3,π C.????0,π6 D .???
?π6,π 解析:选A.cos B =a 2+c 2-b 22ac =(a -c )2+ac 2ac =(a -c )22ac +12≥12,因为0
??0,π3. 4.在△ABC 中,若b cos A =a cos B ,则△ABC 是( )
A .等边三角形
B .等腰三角形
C .直角三角形
D .锐角三角形
解析:选B.因为b cos A =a cos B ,
所以b ·b 2+c 2-a 22bc =a ·a 2+c 2-b 2
2ac
. 所以b 2+c 2-a 2=a 2+c 2-b 2.
所以a 2=b 2.
所以a =b .故此三角形是等腰三角形.
5.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若C =120°,c =2a ,则( )
A .a >b
B .a
C .a =b
D .a 与b 的大小关系不能确定 解析:选A.由余弦定理,知c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,则2a 2=a 2+b 2+ab ,即a 2=b 2+ab ,则????b a 2+b a -1=0,所以
b a =5-12
<1,所以a >b ,故选A. 6.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2b cos B =a cos C +c cos A ,则B =________.
解析:依题意得2b ×a 2+c 2-b 22ac =a ×a 2+b 2-c 22ab +c ×b 2+c 2-a 2
2bc
,即a 2+c 2-b 2=ac ,所以2ac cos B =ac >0,cos B =12.又0
7.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a =2,cos C =-14
,3sin A =2sin B ,则c =________. 解析:因为3sin A =2sin B ,所以3a =2b .又a =2,所以b =3.由余弦定理可知c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,
所以c 2=22+32-2×2×3×???
?-14=16,所以c =4. 答案:4
8.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a 2=b 2+14c 2,则a cos B c
的值为________. 解析:因为a 2=b 2+14c 2,所以b 2=a 2-14c 2.所以cos B =a 2+c 2-b 22ac
= a 2+c 2-????a 2-14c 22ac =5c 8a
. 所以a cos B c =a ·5c 8a c =58. 答案:58
9.设锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a =2b sin A .
(1)求B 的大小;
(2)若a =33,c =5,求b 的值.
解:(1)由a =2b sin A ,根据正弦定理,得sin A =2sin B sin A ,因为sin A ≠0,所以sin B =12
. 因为△ABC 为锐角三角形,所以B =π6
. (2)根据余弦定理,b 2=a 2+c 2-2ac cos B
=27+25-2×33×5×32=7.
1.1.2 从容说课 课本在引入余弦定理内容时,首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角 形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题, 也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”.这样,用联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对过去的知识有了新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实 基础上,使学生能够形成良好的知识结构.设置这样的问题,是为了更好地加强数学思想方法的教学.比 如对于余弦定理的证明,常用的方法是借助于三角的方法,需要对三角形进行讨论,方法不够简洁,通过 向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法,发挥了向量方法在解决问题中的威力. 在证明了余弦定理及其推论以后,教科书从余弦定理与勾股定理的比较中,提出了一个思考问题“勾 股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系, 如何看这两个定理之间的关系?”并进而指出,“从余弦定理以及余弦函数的性质可知,如果一个三角形两 边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的 角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角.由上可知,余弦定理是勾股定理的推广”.还 要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的 启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系 教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用 教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程 2.余弦定理在解三角形时的应用思路
高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集, R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ?,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等
A B = 真子集 A ≠ ?B (或 B ≠ ?A ) B A ?,且B 中至少有一元素不属于A (1)A ≠ ??(A 为非空子 集) (2)若A B ≠ ?且B C ≠ ?,则 A C ≠ ? B A 集合 相等 A B = A 中的任一元 素都属于B ,B 中的任一元素都属于A (1)A ?B (2)B ?A A(B) (7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有 21n -个非空子集,它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名 称 记 号 意义 性质 示意图 交集 A B I {|,x x A ∈且}x B ∈ (1)A A A =I (2)A ?=?I (3)A B A ?I A B B ?I B A 并集 A B U {|,x x A ∈或}x B ∈ (1)A A A =U (2)A A ?=U (3)A B A ?U A B B ?U B A
《探索勾股定理》精品教案 教学目标: 知识与技能目标: 1.掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理; 2.能用勾股定理解决简单的问题。 过程与方法目标: 1.经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学发现过程,发展合情合理的推理能力 2.体会“数形结合”和“特殊到一般”的思想方法。 情感态度与价值观目标: 1.介绍古代在研究勾股定理方面取得的伟大成就。 2.在探索问题的过程中,培养学生的合作交流意识和探索精神。 重点: 探索和验证勾股定理 难点: 1、在方格上通过计算面积的方法探索勾股定理。 2、用面积法(拼图的方法)证明勾股定理。 教学流程: 一、情境引入 探究1:如图,从电线杆离地面8米处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m。 钢索的长度应该是多少? 问题:电线杆、地面与铁索之间构成了一个怎么样的几何图形呢? 回答:直角三角形
思考:在直角三角形中,已知两边长如何确定第三边? 在网格纸中,以直角三角形各边为边长画正方形 图中每个小方格代表一个单位面积 数一数,得出三个正方体的面积 正方形A中含有9 个小方格,即A的面积是9 个单位面积正方形B的面积是18 个单位面积。 问题:如何得到正方体C的面积呢? 方法一:分割法 分“割”成若干个直角边为整数的三角形 方法二:填补法 把C“补”成边长为6的正方形面积的一半
三个正方体的面积有什么关系呢? 总结:S A+S B=S C 即:两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积 追问:换一个直角三角形还依旧满足这种关系吗?满足 将直角三角形设为a,b,c,你能得到什么? S a+S b=S c —> a2+b2=c2 想一想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系? 总结: 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 做一做:如图,从电线杆离地面8米处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m,钢索的长度应该是多少? 根据前面所得出的结论,同学们能不能试着解一下刚上课提出的这个问题? 解:由勾股定理得: 所以,钢索的长度为10m
(北师大版)高一数学必修1全套教案
第一章集合 课题:§0 高中入学第一课(学法指导) 教学目标:了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求,了解新课程标准的基本思路,了解高考意向,掌握高中数学学习基本方法,激发学生学习数学兴趣,强调布置有关数学学习要求和安排。 教学过程: 一、欢迎词: 1、祝贺同学们通过自己的努力,进入高一 级学校深造。希望同学们能够以新的行动, 圆满完成高中三年的学习任务,并祝愿同 学们取得优异成绩,实现宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了,收获应是:吃苦耐 劳、严肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学,暂定 一年,… 4、本节课和同学们谈谈几个问题:为什么 要学数学?如何学数学?高中数学知识结
构?新课程标准的基本思路?本期数学教 学、活动安排?作业要求? 二、几个问题: 1.为什么要学数学:数学是各科之研究工具,渗透到各个领域;活脑,训练思维;计算机等高科技应用的需要;生活实践应用的需要。 2.如何学数学: 请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点:抓好自学和预习;带着问题认真听课;独立完成作业;及时复习。注重自学能力的培养,在学习中有的放矢,形成学习能力。 高中数学由于高考要求,学习时与初中有所不同,精通书本知识外,还要适当加大难度,即能够思考完成一些课后练习册,教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料,如订阅一份数学报刊,购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构: 书本:高一上期(必修①、②),高一下期(必
修③、④),高二上期(必修⑤、选修系列), 高二下期(选修系列),高三年级:复习资 料。 知识:密切联系,必修(五个模块)+选修系列(4个系列,分别有2、3、6、10个模块)能力:运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。 4.新课程标准的基本理念: ①构建共同基础,提供发展平台;②提供多样课程,适应个性选择;③倡导积极主动、勇于探索的学习方式;④注重提高学生的数学思维能力;⑤发展学生的数学应用意识;⑥与时俱进地认识“双基”;⑦强调本质,注意适度形式化;⑧体现数学的文化价值;⑨注重信息技术与数学课程的整合;⑩建立合理、科学的评价体系。 5.本期数学教学、活动安排: 本期学习内容:高一必修①、②,共72课时,
《探索勾股定理》知识点解读 知识点1:勾股定理(重点) ★勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a ,b ,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么222a b c +=。该定理反映了直角三角形的三边关系。(古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦”) ■温馨提示①勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角三角形,解题时,只能是在同一个直角三角形中时,才能利用它求第三边边长。 例:如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,BC=12,求AB 解:在Rt △ABC 中,根据勾股定理,得 AB 2=AC 2+BC 2=52+122=169,所以AB=13. ②在式子222a b c +=中,a 代表直角三角形的两条直角边,c 代表斜边,它们之间的关系不能弄错。应用勾股定理时,要注意确定哪条边是直角三角形的最长边,也就是斜边。在Rt △ABC 中,斜边未必一定是c ,当∠A=90°时,222=+a b c ;当∠C=90°时,222=+b a c . 例:在Rt △ABC 中,AC=3,BC=4,求AB 2的值。 解:当∠C=90°时,AB 2=AC 2+BC 2=32+42=25; 当∠A=90°时,AB 2=BC 2-AC 2=42-32=7 ③遇到直角三角形中的线段求值问题,要首先想到勾股定理。勾股定理把“数”与“形”有机地结合起来,把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”结合起来,是数形结合思想方法的典型。 ④勾股定理的变式: 在Rt △ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,则 222222222=()(), ()(), c a b a c b c b c b b c a c a c a c a b +=-=+-=-=+-===,
高一数学必修1质量检测试题(卷) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至6页。考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。 一、选择题:本答题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.集合{0,1}的子集有 ( )个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.已知集合2 {|10}M x x =-=,则下列式子正确的是 A .{1}M -∈ B . 1 M ? C . 1 M ∈- D . 1 M ?- 3.下列各组函数中,表示同一函数的是 A .1y =与0y x = B .4lg y x =与2 2lg y x = C .||y x =与2 y = D .y x =与ln x y e = 4.设集合{(,)|46},{(,)|53}A x y y x B x y y x ==-+==-,则B A = A .{x =1,y =2} B .{(1,2)} C .{1,2} D .(1,2) 5. 函数()ln 28f x x x =+-的零点一定位于区间 A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) 6.二次函数2 ()23f x x bx =++()b R ∈零点的个数是 A .0 B .1 C .2 D .以上都有可能 7.设 ()x a f x =(a>0,a ≠1),对于任意的正实数x ,y ,都有 A.()()()f xy f x f y = B. ()()()f xy f x f y =+ C.()()()f x y f x f y += D. ()()()f x y f x f y +=+