第八章 圆锥曲线(一) 圆
《抛物线》复习题（陈老师编） （一）抛物线的定义及其标准方程
1, 填空题:
(1)抛物线2y x =-的开口向_____,焦点坐标F ________. (2)已知抛物线顶点在坐标原点,焦点1(0,)2
F ,则抛物线方程是___________. (3)已知抛物线顶点在原点,准线方程是13
y =,则抛物线方程是___________. (4)已知抛物线方程28y x =,则焦点F ________,准线方程为__________. 2, 单选题:
(1)抛物线28y x =-的焦点到准线的距离是 （ ）
（A ）8 （B ）-8 （C ）4 （D ）-4
(2)抛物线280x y -=的准线方程是 （ ）
（A ）2y = （B ）2y =- （C ）2x = （D ）2x =-
(3)抛物线2430x y +=的焦点坐标是 （ ）
（A ）1(,0)3 （B ）1(,0)3- （C ）1(0,)3 （D ）1(0,)3
- 3, 解答题:
求满足下列条件的抛物线的方程.
(1)顶点在原点,对称轴是坐标轴,且经过点2(,2)5
A --;
(2)以原点为顶点,y 轴为对称轴,且焦点到准线的距离等于6;
(3)顶点在原点,且焦点是圆22(2)4x y ++=的圆心;
(4)顶点是椭圆22169144x y +=的中点,焦点与该椭圆相同.
（二）抛物线的几何性质
1, 填空题:
(1) 抛物线24y x =-的开口方向______,顶点坐标是________,焦点坐标是 ________,对称轴是_______,准线方程是_____________.
(2) 顶点在原点,焦点是(0,1)F -的抛物线方程是____________.
(3) 顶点在原点,准线方程是12
y =-的抛物线方程是____________. (4) 顶点在原点,且经过点(3,6)M --的抛物线方程是____________.
2, 单选题:
(1) 抛物线214
y x =的焦点坐标是 （ ） （A ）(1,0) （B ）(0,1) （C ）(0,2) （D ）(2,0)
(2) 抛物线2320y x -=的准线方程是 （ ）
（A ）13x =- （B ）13x = （C ）16x =- （D ）16
x = (3)若抛物线216x y k
=的焦点到准线的距离是2, 则k = （ ） （A ）164± （B ）132± （C ）164
（D ）164- (4)直线y kx =与抛物线22y kx =-在同一坐标系中的图象可能是 （ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
3, 解答题:
(1)已知两抛物线的顶点都在原点,焦点分别是圆224x y +=与两坐标轴正方 向的交点,求两抛物线的交点间的距离.
(2)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上一点(,3)M m 到焦点F 的距离为5,求m 的值,并写出抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.
*(3)求抛物线28y x =-上到直线45y x =-的距离最近的点的坐标及最近距离.
*4, 解答题:
(1) 顶点在原点,焦点在x 轴上的抛物线,被直线210x y -+=求抛物线的方程.
(2) 过抛物线26y x =-的焦点作倾斜角为120?的直线与抛物线相交于A 、B 两点, 求线段AB 的长.
(3) 已知点(3,2)M ,点F 是抛物线22y x =的焦点,在抛物线上求一点A ,使ΔAMF 的周长最小,并求周长的最小值.
（4）已知双曲线221x y -=与圆22(2)7x y +-= 有四个不同的交点A 、B 、C 、D ， 试求 2222||||||||OA OB OC OD +++ 的值(O 为原点).
圆锥曲线-直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线位置关系 一、基础知识： （一）直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点） 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定， 下面以直线y kx m =+和椭圆：()22 2210x y a b a b +=>>为例 （1）联立直线与椭圆方程：222222 y kx m b x a y a b =+??+=? （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：() 2 22 2 22b x a kx m a b ++=，整理可得： ()22 222222220a k b x a kxm a m a b +++-= （3）通过计算判别式?的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与椭圆相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与椭圆相切 ③ 0?>为例： （1）联立直线与双曲线方程：22 2 2 22 y kx m b x a y a b =+?? -=?，消元代入后可得： ()()2 2222222220b a k x a kxm a m a b ---+= （2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2 2 2 0a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为2 2 2 b a k -，有可能为零。所以要分情况进行讨论
直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线 考情分析： 本节内容是高中数学的重要内容之一，也是历年高考尝试新题的板块，各种解题方法在这里表现得比较充分，尤其是在近几年高考的新课程卷中.平面向量与解几融合在一起，综合性很强，题目多变，解法灵活多样，能充分体现高考的选拔功能. 1、考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程、直线的位置关系，此类题大都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考. 2、二次曲线的基础知识，直线与二次曲线的普通方程、参数方程，以及普通方程与参数方程的互化，常以选择题、填空题的形式出现属于中档题. 3、有关直线与圆、直线与圆锥曲线的综合题，多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生几何知识与代数知识的综合应用，对学生分析问题、解决问题的能力要求较高. 二、考点整合 1、第一部分内容：直线的倾斜角、斜率，直线的方程，两条直线的位置关系；简单的线性规划及其实际应用；曲线和方程、圆的方程. 2、第二部分内容包括椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质，以及它们与直线的位置关系的判定，弦长的有关计算、证明等，本部分内容为高考命题的热点. 3、椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质. 4、椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线，它们的统一性如下： （1）从方程的形式看：在直角坐标系中，这几种曲线的方程都是二元二次方程，所以它们属于二次曲线； （2）从点的集合（或轨迹）的观点看：它们都是与定点和定直线距离的比是常数e 的集合（或轨迹），这个点是它们的焦点，定直线是它们的准线.只是由于离心率e 取值范围的不同，而分为椭圆（10<
专题直线与圆、圆锥曲线知识点
专题 直线与圆、圆锥曲线 一、直线与方程 1、倾斜角与斜率：1 21 2tan x x y y k --= =α 2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式： 121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线： 222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴???≠=?21 2 121//b b k k l l ； ⑵1l 和2l 相交12k k ?≠；⑶1l 和2l 重合???==?2 12 1b b k k ；⑷12121-=?⊥k k l l . 4、对于直线： 0:, 0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴???≠=?122 11 22121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠?； ⑶1l 和2l 重合?? ?==?1 2211 221C B C B B A B A ；⑷0212121=+?⊥B B A A l l . 5、两点间距离公式： ()()21221221y y x x P P -+-= 6、点到直线距离公式： 2 2 00B A C By Ax d +++= 7、两平行线间的距离公式： 1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2 2 21B A C C d +-= 二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()2 2 2 r b y a x =-+-其中圆心为(,)a b ，半径为r . ⑵一般方程：02 2=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22 D E - - ，半径为r = 2、直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
第12讲 圆与圆锥曲线综合
第12讲 圆与圆锥曲线综合 【教学目标】 知识与技能 （1）能解决圆与圆锥曲线综合出现等有关问题； （2）促进学生形成系统化、结构化的知识结构。 过程与方法 （1）综合运用方程思想、函数思想、数形结合、等价转换等方法解决相关问题； （2）通过教学过程中的分析和解题后的反思，培养学生自觉领悟，自觉分析的意识。 情感态度与价值观 （1）培养学生坚忍不拔、勇于探究的意志品质。 （2）通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。 教学重点： 圆和圆锥曲线的综合问题 教学难点： 圆和圆锥曲线的综合问题 考点链接：能够对圆锥曲线的问题进行探究、分析 [典型例题] 例1 若已知曲线C 1方程为)0,0(18 2 2 ≥≥=-y x y x ，圆2C 的方程为（x-3）2+y 2=1，斜率 为k （k ＞0）直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于点B ，3=AB ，则直线AB 的斜率为（ ） A ．1 B ． 21 C ．3 3 D ．3 例2 若椭圆的一个焦点与圆x 2+y 2-2x=0的圆心重合，且经过），（05，则椭圆的标准方程__________________． 例3 已知椭圆E ：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）过点P （3，1），其左、右焦点分别为F 1，F 2， 且621-=?F F ． （1）求椭圆E 的方程； （2）若M ，N 是直线x=5上的两个动点，且F 1M ⊥F 2N ，圆C 是以MN 为直径的圆，其面积为S ，求S 的最小值以及当S 取最小值时圆C 的方程．
1直线与圆锥曲线位置关系-学生
1(2015·山东，20，13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭 圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3 2，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆 心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程； (2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2 4b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线 PO 交椭圆E 于点Q . ①求|OQ ||OP | 的值； ②求△ABQ 面积的最大值．
(2014·课标Ⅰ，20，12分)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2 a 2＋ y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程； (2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 2(2016·课标Ⅱ，20，12分)平面直角坐标系xOy 中，过椭
圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程； (2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． (2016·课标Ⅰ，10)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点 为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 2 27＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 2 9 ＝1
2021新高考数学二轮总复习专题突破练25直线与圆及圆锥曲线含解析
专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线 1.(2020全国Ⅱ,理19)已知椭圆C 1: x 2a + y 2b =1(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合,C 1的中心 与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ,B 两点,交C 2于C ,D 两点,且|CD|=4 3|AB|. (1)求C 1的离心率; (2)设M 是C 1与C 2的公共点.若|MF|=5,求C 1与C 2的标准方程. 2. 已知圆O :x 2+y 2=4,点A (√3,0),以线段AB 为直径的圆内切于圆O ,记点B 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程; (2)直线AB 交圆O 于C ,D 两点,当B 为CD 的中点时,求直线AB 的方程. 3.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3 2的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP ????? =3PB ????? ,求|AB|.
4.(2020山东威海一模,20)已知椭圆x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(-1,3 2 )是椭圆上 一点,|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项. (1)求椭圆的标准方程; (2)若A为椭圆的右顶点,直线AP与y轴交于点H,过点H的另一条直线与椭圆交于M,N两点,且S△HMA =6S△PHN,求直线MN的方程. 5.(2020重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆C:x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,P(1,√2 2 ) 为椭圆上一点,且|PF1|=3√2 2 . (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线l:x=-2,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l、直线AB于M,N两点,当∠MAN最小时,求直线AB的方程.
【优秀教案】高中数学第二册上 第八章 圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质
课题：8．4双曲线的简单几何性质 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质 2．掌握标准方程中c b ,的几何意义 a, 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题 教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程 教学难点：渐近线几何意义的证明 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利 它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分
坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学 运动变化和对立统一的思 想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学 利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点 本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别 对圆锥 曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题 讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来 以1=±b y a x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-22 22b y a x 对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度 同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的 教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律
圆锥曲线与直线(一)
《圆锥曲线与直线》学案（一） 学习目标：1．能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为方程组解的问题； 2．能够运用数形结合的方法，迅速判断某些直线与圆锥曲线的公共点个数. 问题导学： 1．回忆在直线和圆的位置关系中，怎样判断有几个公共点． ２．你能否用作图的方法粗略地探究直线与椭圆、双曲线有几种位置关系，分别有几个公共点， ３．怎样能准确地判断我们的探究结果是否正确？ ４．你能同样画出直线与双曲线的各种位置关系吗？分别有几个公共点？并试着举出实例证明自己的观点。 问题探究： 以上各种情况中的公共点能否说成是交点，为什么？ 课堂训练： 1．判断直线01=+-y x 与椭圆116252 2=+y x 、双曲线122=-y x 、抛物线x y 42=公共点的个数，并说出位置关系。 2．过点P(1,1)与双曲线11692 2=-y x 只有一个交点的直线共有几条？ <变式>：若将点P(1,1)改为 （1）A(3,4) （2）B(3,0) （3）C(4,0) （4）D(0,0). 3．
3.（04全国）设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 4．（04全国）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有 条 5．过点)2,0(M 与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线的方程是 6．直线1-=kx y 与双曲线122=-y x 只有一个公共点，则k 的取值是 7．直线1+=kx y 与椭圆13 42 2=+y x 的交点个数是 ><变式：若直线1+=kx y 与椭圆1252 2=+m y x 恒有公共点，则m 的范围是 8．直线3-=x y 与曲线14 92=-x x y 的交点个数为 ><变式：若方程24x -=2+kx 恰好有两个实数根，则实数k 的取值范围是 9．已知双曲线以两条坐标轴为对称轴,且与x 2+y 2=17圆相交于A(4,-1),若圆在点A 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求双曲线的方程． 10．已知抛物线)0(22>=p px y ，过动点)0,(a M ，且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点，p AB 2≤， （1） 求a 的取值范围。 （2） 若线段AB 的中垂线交x 轴于点N ，求三角形ABC 面积的最大值。 自主小结：
【精品】高二数学上 第八章 圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质教案
8．4双曲线的简单几何性质 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质 2．掌握标准方程中c b ,的几何意义 a, 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题 教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程 教学难点：渐近线几何意义的证明 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来 它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分
坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学 运动变化和对立统一的思 想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学 利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点 本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别 对圆锥 曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题 讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来 以1=±b y a x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-2222 b y a x 对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度 同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的 教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律
直线与圆锥曲线的位置关系一教学设计
北京市北纬路中学徐学军 《直线与圆锥曲线的位置关系（一）》教学设计 一、教材分析及学生情况分析 本节课是平面解析几何的核心内容之一。在此之前，学生已学习了直线的基本知识，圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，直线与圆的位置关系及判定，这为本节课的学习起着铺垫作用。本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》的第一节课，着重是教会学生如何判断直线与椭圆的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。所以是承上启下的一节课。这节课还是培养学生数学能力的良好题材，所以说是解析几何的核心内容之一。 数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。因此本节课在教学中力图让学生动手操作，自主探究、发现共性、类比归纳、总结解题规律。 学生情况分析：对于直线和圆，学生已经非常熟悉，并且知道直线与圆有三种位置关系：相离，相切和相交，会从代数、几何两个方面进行判断。本节课，学生将类比挖掘直线与椭圆圆的位置关系，学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础。本班为理科班，学生整体思维能力较强，勤于动脑，喜欢想问题，但不愿动手实践，特别是进行相关计算，另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识及反思总结等方面有待加强。 二、教学目标 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知心理特征和实际，制定如下教学目标： 知识与技能：①理解直线与椭圆的位置关系； ②会进行位置关系的判断，计算弦长。 过程与方法：根据本节课的内容和学生的实际水平，通过回忆画图让学生理解直线与椭圆的位置关系；观察类比直线与圆的位置关系的判定，归纳总结出直线与椭圆的位置关系的判定，掌握代数方法， 学会解决相关的问题。 情感、态度、价值观：使得学生在学习知识的同时，培养学生自主探究和数形结合解决问题的能力。 三、教学重点、难点、关键 本着课程标准，在吃透教材基础上，我觉得这节课是解决直线与圆锥曲线综合问题的基础。对解决综合问题，我觉得只有先定性分析画出图形并观察图形，以形助数，才能定量分析解决综合问题。如：解决圆锥
【淘宝店铺：日出书屋】2021高考数学一轮习题：专题8 第73练 直线与圆锥曲线小题综合练
1．已知对任意k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,5) C ．[1,5)∪(5，＋∞) D ．[1,5) 2．(2020·青岛模拟)直线l ：x －2y －5＝0过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( ) A.x 220－y 25 ＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24 ＝1 3．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )
A ．3 2 B ．2 3 C.303 D.32 6 4．(2019·兰州期末)设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →·OB →等于( ) A.34 B. －34 C ．3 D ．－3 5．(2019·石家庄质检)双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为60°的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是( ) A. 3 B ．2＋ 3 C ．2 D.2＋1 6．(2020·宜昌调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)上存在A ，B 两点恰好关于直线l ：x －y －1＝0对称，且直线AB 与直线l 的交点的横坐标为2，则椭圆C 的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.12 7．(多选)我们把离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)称为黄金双曲线．给出以下几个说法中正确的是( ) A ．双曲线x 2－2y 2 5＋1＝1是黄金双曲线 B ．若b 2＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线 C ．若F 1，F 2为左右焦点，A 1，A 2为左右顶点，B 1(0，b )，B 2(0，－b )且∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线 D ．若MN 经过右焦点F 2且MN ⊥F 1F 2，∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线 8．(多选)已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，则下列四个命题中正确的是( ) A ．直线P B 1与PB 2的斜率之积为定值－a 2 b 2 B.PB 1→·PB 2→>0 C ．△PB 1B 2的外接圆半径的最大值为a 2＋b 2 2a D ．直线PB 1与QB 2的交点M 的轨迹为双曲线 9．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，若原点O 与线段MN 的中点P 连线的斜率为22，则m n 的值是____________．
直线与圆锥曲线题型总结
直线与圆锥曲线题型总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
直线和圆锥曲线基本题型 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 :14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范 围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆 22 :14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线:1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m +=始 终有交点，则 14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 题型二：弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =?消y 整理，得 2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即21 04 k << ② 由韦达定理，得：212221 ,k x x k -+=-121x x =。则线段 AB 的中点为 22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得021122 x k = -，则211( ,0)22 E k -
直线与圆锥曲线
例1、如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4 π的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物 线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积. 〖解析〗由题意，可设l 的方程为y =x +m ,－5＜m ＜0, 由方程组? ??=+=x y m x y 42,消去y , 得x 2+(2m －4)x +m 2=0 ① ∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ， ∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0) , 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4 ) 1(2m -, 点A 到直线l 的距离为d =2 5m +. ∴S △=2(5+m ) m -1,从而S △2 =4(1－m )(5+m )2 =2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(3 5522m m m ++++-)3=128. ∴S △≤8 2 ,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号. 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为8 2 . 〖总结与提高〗直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题.本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法” 知识依托：弦长公式、三
角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想
. 错解分析：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m的取值范围.不等式法求最值忽略了适用的条件. 技巧与方法：涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算. 例2、已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点. (2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在. 〖解析〗(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点. 当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 ① (ⅰ)当2－k2=0,即k=±2时，方程①有一个根，l与C有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±2时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k) 3时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点. ①当Δ=0,即3－2k=0,k= 2 3,又k≠±2, ②当Δ＞0,即k＜ 2 3时，方程①有两不等实根，l与C有两故当k＜－2或－2＜k＜2或2＜k＜ 2 个交点. 3时，方程①无解，l与C无交点. ③当Δ＜0，即k＞ 2 3，或k不存在时，l与C只有一个交点； 综上知：当k=±2,或k= 2
专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线
专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线 1.(2020全国Ⅱ,理 19)已知椭圆C 1:x 2 a 2 + y 2b 2=1(a>b>0)的右焦点 F 与抛物线C 2的焦点重合,C 1的中心 与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ,B 两点,交C 2于C ,D 两点,且|CD|=43 |AB|. (1)求C 1的离心率; (2)设M 是C 1与C 2的公共点.若|MF|=5,求C 1与C 2的标准方程. 2. 已知圆O :x 2+y 2=4,点A (√3,0),以线段AB 为直径的圆内切于圆O ,记点B 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程; (2)直线AB 交圆O 于C ,D 两点,当B 为CD 的中点时,求直线AB 的方程. 3.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3 2的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP ????? =3PB ????? ,求|AB|. 4.(2020山东威海一模,20)已知椭圆x 2 a 2 + y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P (-1,3 2)是椭圆上 一点,|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项. (1)求椭圆的标准方程; (2)若A 为椭圆的右顶点,直线AP 与y 轴交于点H ,过点H 的另一条直线与椭圆交于M ,N 两点,且S △ HMA =6S △PHN ,求直线 MN 的方程. 5.(2020重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆C :x 2 a 2+y 2b 2=1(a>b>0),F 1,F 2为椭圆的左、右焦点,P (1, √2 2 ) 为椭圆上一点,且|PF 1|=3√2 2 . (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线l :x=-2,过点F 2的直线交椭圆于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M ,N 两点,当∠MAN 最小时,求直线AB 的方程.
专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线
专题突破练25直线与圆及圆锥曲线 1.(2020全国Ⅱ,理19)已知椭圆C1:x 2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心 与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=4 3 |AB|. (1)求C1的离心率; (2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程. 2. 已知圆O:x2+y2=4,点A(√3,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程; (2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.
3.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3 2 的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP ????? =3PB ????? ,求|AB|. 4.(2020山东威海一模,20)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F 1,F 2,点P (-1,3 2)是椭圆上 一点,|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项. (1)求椭圆的标准方程; (2)若A 为椭圆的右顶点,直线AP 与y 轴交于点H ,过点H 的另一条直线与椭圆交于M ,N 两点,且S △ HMA =6S △PHN ,求直线 MN 的方程. 5.(2020重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆C :x 2a 2+ y 2b 2=1(a>b>0),F 1,F 2为椭圆的左、右焦点,P (1, √2 2 ) 为椭圆上一点,且|PF 1|=3√2 . (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线l :x=-2,过点F 2的直线交椭圆于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M ,N 两点,当∠MAN 最小时,求直线AB 的方程.
最新08--第八章圆锥曲线方程
08--第八章圆锥曲线 方程
第八章圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是： （1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用. （2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体现了对各种能力的综合要求． （3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力． ●试题类编 一、选择题 1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+b y2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（） ?Skip Record If...? 2.（2003京春理，7）椭圆?Skip Record If...?（?Skip Record If...?为参数）的焦点坐标为（） A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0） 3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点．如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是（） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.（2002全国文，7）椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是（0，2），那么k等于（）
A.－1 B.1 C.?Skip Record If...? D. －?Skip Record If...? 5.（2002全国文，11）设θ∈（0，?Skip Record If...?），则二次曲线x2cotθ－y2tanθ＝1的离心率的取值范围为（） A.（0，?Skip Record If...?） B. （?Skip Record If...?） C.（?Skip Record If...?） D.（?Skip Record If...?，＋∞） 6.（2002北京文，10）已知椭圆?Skip Record If...?和双曲线?Skip Record If...?＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（） A.x＝±?Skip Record If...? B.y＝± ?Skip Record If...? C.x＝±?Skip Record If...? D.y＝± ?Skip Record If...? 7.（2002天津理，1）曲线?Skip Record If...?（θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（） A.?Skip Record If...? B.?Skip Record If...? C.1 D.?Skip Record If...? 8.（2002全国理，6）点P（1，0）到曲线?Skip Record If...?（其中参数t∈R）上的点的最短距离为（） A.0 B.1 C.?Skip Record If...? D.2 9.（2001全国，7）若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（３，0），则其离心率为（） A.?Skip Record If...? B.?Skip Record If...? C.?Skip Record If...? D.?Skip Record If...?
直线与圆锥曲线的位置关系专题
直线与圆锥曲线的位置关系 规范答题示专题 典例 (12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋ y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为 32 ， 且点? ???? 3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程； (2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2 4b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . ①求|OQ ||OP | 的值；②求△ABQ 面积的最大值． 审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→得到a ，b 的关系式――――――――――→已知离心率e ＝ 3 2 a 2＝ b 2＋ c 2 基本量法求得椭圆C 的方程 (2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P ，Q 共线设坐标代入方程―→求出|OQ | |OP | ②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 的方程联立――→通法 研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→用m ，k 表示S △OAB ―→ 求S △OAB 的最值 ―――――――――――→利用①得 S △ABQ 和S △OAB 的关系 得S △ABQ 的最大值
(2)由(1)知椭圆E 的方程为 x 216＋y 2 4 ＝1. ①设P (x 0，y 0)，|OQ | |OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)． 因为x 20 4 ＋y 20＝1， 又－λx 02 16 ＋ －λy 0 2 4 ＝1，即λ24? ?? ??x 20 4 ＋y 20 ＝1， 所以λ＝2，即|OQ | |OP |＝2.5分 ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2，(*) 则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝ 4 16k 2＋4－m 21＋4k 2 . 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝ 2 16k 2＋4－m 2|m | 1＋4k 2 ＝ 216k 2＋4－m 2 m 2 1＋4k 2 ＝2 ? ?? ??4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2.8分 设 m 2 1＋4k 2 ＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**)
2020高考数学二轮复习专题突破练24直线与圆及圆锥曲线理
专题突破练24直线与圆及圆锥曲线 1.(节选)已知圆M:x2+y2=r2(r>0)与直线l1:x-√3y+4=0相切,设点A为圆上一动点,AB⊥x轴于B,且动点N满足AA ????????? ,设动点N的轨迹为曲线C. ????????? =2AA (1)求曲线C的方程; (2)略. 2.(2019甘肃武威第十八中学高三上学期期末考试)已知圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0. (1)求证:圆C1和圆C2相交; (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
3.已知圆O:x2+y2=4,点A(√3,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程; (2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程. 的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P. 4.(2019全国卷1,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为3 2 (1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程; ????????? ,求|AB|. (2)若AA ????????? =3AA
5.(2019湖南长沙第一中学高三下学期高考一模)已知椭圆A2 A2+A2 A2 =1(a>b>0)的离心率e=1 2 ,过焦点且垂直于x轴的直 线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆的方程; (2)已知P为直角坐标平面内一定点,动直线l:y=1 2 x+t与椭圆交于A,B两点,当直线PA与直线PB的斜率均存在时,若直线PA与PB的斜率之和为与t无关的常数,求出所有满足条件的定点P的坐标. 6.(2019天津第一中学高三下学期第五次月考)已知椭圆C1:A2 A2+A2 A2 =1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,F2的坐标满足圆 Q方程(x-√2)2+(y-1)2=1,且圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a. (1)求椭圆C1的方程; (2)过点P(0,1)的直线l1:y=kx+1交椭圆C1于A,B两点,过P与l1垂直的直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD中点, 若△MAB的面积为6√2 5 ,求k的值.
文科数学备考典型题解第八章圆锥曲线的方程
第八章 圆锥曲线的方程 1、已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形， 若双曲线恰好平分正三角形的另两边，则双曲线的离心率是 （ ） A 、324+ B 、13- C 、 2 1 3+ D 、13+ 1、D 【思路分析】法一：F 2 (c , 0)，M (0 ,3c) 依MF 2中点N (2c 3,2c )在双曲线上，得22 22b 4c 3a 4c -=1 即) a c (4c 3a 4c 22222--=1)1e (4e 34e 222--?=1. 注意到e >1，解得e =3+1. 法二：连NF 1，则| NF 1| =3c ，| NF 2| = c. 根据双曲线的第一定义，有| NF 1| - | NF 2| = 2a. 即3c – c = 2a ∴e = a c =3+1. 2．下列命题中假命题是（ ） A ．离心率为2的双曲线的两渐近线互相垂直 B ．过点（1，1）且与直线x －2y+3=0垂直的直线方程是2x + y －3=0 C ．抛物线y 2 = 2x 的焦点到准线的距离为1 D ．223x +225 y =1的两条准线之间的距离为425 2．解答：A ：e = 2，a = b ，渐近线y = ±x 互相垂直，真命题。 B ：设所求直线斜率为k ，则k=－2，由点斜式得方程 为2x+y －3＝0 也为真命题 C ：焦点F （ 21，0）准线x = －2 1 d = 1真命题 D ： a = 5 ，b = 3 ，c = 4 ，d = 2·2 25c a 2= 假命题，选D 评析：考察圆锥曲线的基本知识，考察熟练程度。 3.双曲线)0,(122 22>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为该双曲线在第一象限的 点，△PF 1F 2面积为1，且,2tan ,2 1 tan 1221-=∠= ∠F PF F PF 则该双曲线的方程为 A ．135 1222 =-y x B ．1312 522 =-y x
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