初等数论试卷和答案解析

初等数论考试试卷1

一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A

b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±=

2、如果n 3，n 5，则15（ ）n .

A 整除

B 不整除

C 等于

D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）.

A 有1个

B 有限多

C 无限多

D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A

)(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠

5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A

c

b a ),( B

)

,(b a c C

c

a D

a

b a ),(

6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9

二、填空题(每题3分，共18分)

1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.

2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).

3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).

4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).

5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).

6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.

三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x .

4、求??? ?

?563429,其中563是素数. （8分）

四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)

1、证明对于任意整数n ,数

6233

2n n n +

+是整数.

2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.

3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.

试卷1答案

一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分)

1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.

2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().

3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为(

]

[b a ).

4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).

5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).

6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.

三、计算题(每题8分，共32分) 1、

求[136,221,391]=?（8分）

解 [136,221,391]

=[[136,221],391]

=[391,17221

136?]

=[1768,391]

------------(4分)

= 173911768?

=104?391

=40664. ------------（4分）

2、求解不定方程144219=+y x .（8分） 解：因为（9，21）=3，144

3，所以有解；

----------------------------（2分） 化

简

得

4873=+y x ；

-------------------（1分）

考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， -------------------（2分） 所

以

原

方

程

的

特

解

为

48

,96=-=y x ，

-------------------（1分）

因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。 -------------------（2分）

3、解同余式)45(mod 01512≡+x . （8分）

解 因为(12,45)=3|5,所以同余式有解,而且解的个数为 3. ----------（1分）

又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. ------------（1分）

我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),----------（2分）

即定理4.1中的100=x . ------（1分）

因此同余式的3个解为

)45(mod 10≡x , ---------（1分）

)45(mod 25)45(mod 345

10≡+

≡x , -----------------（1分） )45(mod 40)45(mod 345

210≡?

+≡x .---------（1分）

4、求??? ?

?563429,其中563是素数. （8分） 解 把

??? ??563429看成Jacobi 符号,我们有 ???

??-=??

? ????? ??=??? ??=??? ??=??

?

??-=??

?

??---42967)1(429674292429134429563429563)1(5634298

1

4292

1

563.214292---------------（3分）

??

?

??=??? ??--=??

?

??-=??

?

??-=??? ??--=??? ??-=----27672767)1(67276742967429)1(429672

1

67.21272

1

429.2167----------------------（2分）

1

1311327)1(27132

1

13.2127=???

??=??? ??-=??

?

??=--,-----------------（2分）

即429是563的平方剩余. ---------------（1分）

四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)

1、证明对于任意整数n ,数

62332n n n +

+是整数. (10分)

证明 因为62332n n n ++=)32(62n n n ++=)

2)(1(61

++n n n , ------（3

分）

而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -----（2分） 并

且(2,3)=1,

-----（1分）

所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n ,-----（3分）

即

6233

2n n n ++是整数. -----（1分）

2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分） 证明 因

为

1

33)1(233++=-+n n n n ,

-------------（3分）

所以只需证明1332

++n n T )5(mod .

而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,

所以这只需将n=0,±1,±2代入1332

++n n 分别得值1，7，1，19，7.

对于模5, 1332

++n n 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,

所以1332++n n T

)5(mod ---------（7分）

所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 --------（1分）

3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. （11分） 证明 设

n

是正数,并且

)

4(mod 1-≡n ,

----------（3分） 如果

22y x n +=,

---------（1分）

则因为对于模4,y x ,只与0,1,2,-1等同余,

所以2

2,y x 只能与0,1同余,

所以

)4(m od 2,1,022≡+y x , ---------（4

分）

而

这

与

)

4(mod 1-≡n 的假设不符,

---------（2分） 即

定

理

的

结

论

成

立

.

------（1分）

初等数论考试试卷二

一、单项选择题 1、=),0(b （ ）. A b B

b - C b

D 0

2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D

b a +

3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7

4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A

)(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠

5、不定方程210231525=+y x （ ）.

A 有解

B 无解

C 有正数解

D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ，b a ，则( ). A

b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±=

8、公因数是最大公因数的（ ）.

A 因数

B 倍数

C 相等

D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ).

A -3，-2,-1,0,1,2，3

B -6，-5,-4,-3,-2,-1

C 1,2,3,4,5，6

D 0,1,2,3,4，5，6

11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解.

A [12，15]不整除7

B （12，15）不整除7

C 7不整除（12，15）

D 7不整除[12，15] 12、同余式)593(mod 4382≡x （ ）.

A 有解

B 无解

C 无法确定

D 有无限个解

二、填空题

1、有理数b

a ，1),(,0=

b a b a ，能写成循环小数的条件是（ ）.

2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ).

3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).

4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数.

5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab .

6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除.

7、+=][x x （ ）.

8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数. 10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).

11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( ). 12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).

三、计算题

1、求24871与3468的最小公倍数?

2、求解不定方程2537107=+y x .（8分）

3、求??

?

??563429,其中563是素数. （8分） 4、解同余式)321(mod 75111≡x .（8分） 5、求[525,231]=? 6、求解不定方程18116=-y x .

7、判断同余式)1847(mod 3652≡x 是否有解？ 8、求11的平方剩余与平方非剩余.

四、证明题

1、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）

2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）

3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平

方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）

4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.

5、如果b a,是两个整数,0 b,则存在唯一的整数对r q,,使得r

=,其中

a+

bq

0.

≤

r

b

初等数论练习题及答案

初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。

初等数论结课论文

初等数论结课论文 一．课程感悟 初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支，它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。 换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。 这学期我在初等数论的学习中，从学习方法和解题思路上明显感觉出有别于之前学的的数学分析和高等代数等数学课程，那种学习中学数学的熟悉感觉又回来了。可能在难度上这门课程并不逊色于其他，但是对于我却更容易接受这门课程的内容。 二．连分数的学习 1．连分数的定义 若 为整数 ， ，… 皆为正整数，则 叫简单连分数。 2.要把一个分数写成连分数，只要不断的把分子分母同除以分子，将分子化为1,。如： 121211121251211213725219937+++=++=+==[0;2,1,2,12] 当然，连分数也可写成分数，如 30433013113421 14 131211=+=++=+++ 3.早在公元前三世纪，欧几里德就发现了一个较优的求连分数算法——辗转相除法，实际上就是中学求最大公约数的辗转相除法。 例如：用辗转相除法求942和1350的最大公约数。 012341111a a a a a +++++ 0a 1a 2a

13504081942942 9421262408408 408303126126 126643030 30506=+=+=+=+=+ 135011194221 31 450=++ +++代入得： 4.连分数的应用。 例如：求斐波那契数列前项与后项之比的极限（黄金比） 512211125125151115121211 1115112 -====++--++-+= ++-+（）

4月浙江自考初等数论试题及答案解析试卷及答案解析真题

1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．20被-30除的余数是（ ） A ．-20 B ．-10 C ．10 D ．20 2．176至545的正整数中，13的倍数的个数是（ ） A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 3．200!中末尾相继的0的个数是（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 4．从以下满足规定要求的整数中，能选取出模20的简化剩余系的是（ ） A ．2的倍数 B ．3的倍数 C ．4的倍数 D ．5的倍数 5．设n 是正整数，下列选项为既约分数的是（ ） A ． 3144 21++n n B ． 121 -+n n C ．2 512+-n n D ．1 31++n n 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1．d(120)=___________。 2．314162被163除的余数是___________。 3．欧拉定理是___________。 4．同余方程3x ≡5(mod13)的解是___________。 5．不定方程10x-8y=12的通解是___________。

2 6．ο ___________)1847 365 ( = 7．［-π］＝___________。 8．为使n-1与3n 的最大公因数达到最大的可能值，则整数n 应满足条件___________。 9．如果一个正整数具有21个正因数，问这个正整数最小是___________。 10．同余方程x 3+x 2-x-1≡0(mod 3)的解是___________。 三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 1．解同余方程组 ???? ?? ?≡≡≡≡) 9(mod 4)7(mod 32)4(mod 23) 25(mod 1x x x x 2．解不定方程15x+10y+6z=19。 3．试求出所有正整数n ，使得2n -1能被7整除。 4．判断同余方程 x 2≡-1457(mod 2389) 是否有解？ 四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 1．证明形如4n+3的素数有无穷多个。 2．证明不定方程 x 2+y 2+z 2=x 2y 2 没有正整数解。

初等数论试卷和答案

初等数论试卷和答案 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.

三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]= 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求 ??? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共 32分) 1、证明对于任意整数n ,数6233 2n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. 试卷1答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.

数学与应用数学毕业论文(剁树枝问题,组合数学、初等数论方向)

摘要 有一根正整数单位长树枝，要剁成一定长的短树枝，在剁的过程中可以重叠，问如何剁次数最少？这样的问题被称为剁树枝问题。剁树枝问题是许多实际问题的一个模型，有着广泛的应用。本课题的任务是提供一般的方法使剁的次数最少。采用例举、分析、归纳、证明的流程，给出了剁树枝问题最少次数的递推关系和具体表达式，并对其进行了证明。 关键词初等数论；组合数学；递归；数学归纳法 Abstract Suppose there is a positive integer units long branches, to chop them into a certain length of short branches. During the cutting process overlap is allowed, then how many times is needed at least? This problem is known as cutting the tree problem. The cutting branches-problem is a model for many practical problems, with a wide range of applications. Based on the idea of dynamic programming, the recursion formula of the least number of movements necessary for this problem is presented. The direct formula of the least number of movements necessary for this problem is given and proved by triple mathematical induction and pure combinatorics. Key words number theory；combinatorial mathematics；recursive; mathematical

初等数论试卷模拟试题和答案

初等数论试卷一 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-= -=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112 2 11mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10;

初等数论试题

2 010年7月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.-30被-9除的余数是() A.-3 C.3 2.下列给出的数中是合数的是() A.1063 C.1093 1000 3.400 xx5的幂指数是() B.-6 D.6 B.1073 D.1103

A.1 C.3B.2 D.4 4.不能表示为5x+7y（x,y是非负整数）的最大整数是() A.23 C.25B.24 D.26 5.下列给出的素数模数中，3是平方非剩余的是() A.37 C.53 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.60480的标准分解式为___. 2.μ (50400)=___. 3.π( 55.5)＝___. 4.对任意的正整数n，最大公因数(12n+1,30n+3)=___. 5.若(n)=4，则n=___. 6.同余方程6x≡7(mod 23)的解是___. 7.不定方程6x+9y=30的通解是___.

8.写出模10的一个最小的非负简化剩余系，并要求每项都是7的倍数，则此简化剩余系为 B.47 D.59 ___. 9.326 被50除的余数是___. 10.xxM 23是___（填素数或合数）. 三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 1.已知两正整数中，每一个除以它们的最大公约数所得的商之和等于18，它们的最小公倍数等于975，求这两个数。 2.有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人。 已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人？ 3.求正整数x，使x2-1216是完全平方数。 4.已知563是素数，判断不定方程x2+563y=429是否有整数解。 四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 1.证明当n为整数时，504|n9-n3。 2.设(a,m)=1，若x通过模m的完全剩余系，则ax+b也通过模m的完全剩余系.

最新初等数论试卷,最全面的答案,包括截图

初等数论考试试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗？】 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-= -=±± 4．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ 6．模10的一个简化剩余系是( D )

HPM的初等数论绪论课教学设计论文

HPM的初等数论绪论课教学设计论文HPM的初等数论绪论课教学设计论文 关键词：ＨＰＭ；数学史；初等数论；数学教学 一、引言 初等数论以整除为基础，研究整数性质和方程（组）整数解，是近代数学中最典型、最基本的概念、思想、方法和技巧。初等数论课程是我校小学教育（理科方向）和数学教育专业的专业必修课，学生通过本课程中基础知识的学习，掌握初等数论的基础内容，即算术基本理论和最大公约数理论；掌握初等数论的核心，即同余理论的基本知识；并能运用整除理论和同余理论来求解几类最基本的不定方程；掌握连分数等有关概念和性质及其应用；通过观察、实验、猜测、分析、计算、推理等学习活动，发展学生的演绎推理能力，体会数学的基本思想和思维方式；了解初等数论的价值，为学生以后继续学习数论或从事教学工作打下基础。然而，初等数论教材重在阐述数论理论知识的结果，忽视介绍知识的背景、发生与形成过程，某种意义上影响了该课程的教学质量。针对初等数论课程的性质，在绪论课中结合数学史知识，在ＨＰＭ的视角下进行绪论课的教学设计，ＨＰＭ视角下的绪论课教学的目的在于将初等数学与数学史等其他知识衔接起来，尽量消除数学教学的枯燥性，提高学生学习的积极性，让学生体验初等数论的价值，进而增强学生的使命感和目标感，吸引更多的学生热爱数学，变被动学习为主动学习。ＨＰＭ指的是数学史与数学教育的关系，其研究的最终目标是提高数学教育水平，具体方法是通过在数学教学中恰当地运用数学史。 二、初等数论的主要内容 １、整除理论：整除理论是数论中最重要的基本内容。本章首先简要介绍自然数与数学归纳法，然后引进整除的概念，利用带余除

法和辗转相除法这两个工具，建立最大公约数与最小公倍数的理论，进一步研究素数的基本性质和极具重要性的算术基本定理。这一理 论的主要成果有：算术基本定理、数的十进制、高斯函数、费马数、梅森数、完全数等。２、同余理论：同余是初等数论的又一基本概念。同余概念的引入，使许多数论问题的讨论得到简化，极大地丰 富了数论内容，因而同余在数论中占有极为重要的地位、涉及内容 有同余及其基本性质，剩余类与剩余系，欧拉定理和费马定理及其 在循环小数和公开密钥问题上的应用。３、不定方程：不定方程是 数论中的一个古老分支，它有悠久的历史与丰富的内容、古希腊数 学家丢番图于３世纪初就研究过这样的方程，所以不定方程又称丢 番图方程、但实际上，我国对不定方程的研究从勾股方程的商高定 理和费马大定理等低次代数曲线对应的不定方程已经延续了数千年。４、连分数理论：引入了连分数概念和算法等等。特别是研究了整 数平方根的连分数展开。主要成果：循环连分数展开、最佳逼近问 题等。 三、初等数论的发展简史 对数的崇拜和好奇是促使人们去研究数的原始推动力，这样一门以整数的结构和性质为研究对象的学科也就诞生了，这就是数论。 目前大多数人大致赞同数论的研究在内容上是从数的可约性开始的。若“可约”，则它是一个整除性问题；若“不可约”，则为余数问题。因此，整除理论被称为是数论中最古老的内容。早在两千多年 前的古希腊欧几里德的《几何原本》中论述了数论的知识，例如欧 几里得证明了质数个数是无限的，提出了求最大公约数的方法（即 所谓欧几里得算法）。我国古代在数论方面取得过辉煌的成就，现 在一般数论书中被称为“中国剩余定理”的孙子定理就起源于我国 古代《孙子算经》（约公元４００年）中的下卷第２６题。初等数 论从早期发展起来后的近两千年时间里，发展几乎停滞不前，直到 １５世纪，费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等作了初等数论 的研究工作，特别是德国数学家高斯在前人研究的基础上，发表了 著作《算术探究》，在研究整数性质过程中引进并推广了统一的符号，提出了同余理论，发现了二次互反律，开始了现代数论的新纪元。自二十世纪以来，由于现代信息技术的发展以及抽象数学和高

(完整word版)初等数论练习题一(含答案)

《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式)593(mod 4382≡x （ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ，0,(,)1a b a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数. 5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、+=][x x （ ）. 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.

初等数论试卷

初等数论试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,, ,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-=-=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( D ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;

初等数论作业(3)答案

第三次作业答案： 一、选择题 1、整数5874192能被( B )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 2、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 3、模5的最小非负完全剩余系是( D ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ） A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 二、解同余式（组） （1）)132(mod 2145≡x . 解 因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )44(mod 715≡x . 我们再解不定方程 74415=-y x , 得到一解(21,7). 于是定理4.1中的210=x . 因此同余式的3个解为 )132(mod 21≡x , )132(mod 65)132(mod 3 13221≡+ ≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡?+≡x . （2）)45(mod 01512≡+x 解 因为(12,45)=3|15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的100=x . 因此同余式的3个解为 )45(mod 10≡x ,

)45(mod 25)45(mod 3 4510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 3 45210≡?+≡x . （3）)321 (m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod 2537≡x . 我们再解不定方程 2510737=+y x , 得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的80-=x . 因此同余式的3个解为 )321(mod 8-≡x , )321(mod 99)321(mod 3 3218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 3 32128≡?+-≡x . （4）?? ???≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x . 解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式 )7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x , 得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为 ). 494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=?-?+?-?+??≡x （5）???????≡≡≡≡) 9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)

初等数论第2版习题答案

第一章 §1 1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r by ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间

初等数论试卷

一、判断题（对的写A ，错的写B ，3'1030?=） 1.12,,,k a a a 两两互素可以推出12,,,k a a a 互素，反之亦真。 （ ） 2.设10n n N a a a -=是整数N 的十进制表示，则0 1111(1)n i i i N a =?-∑。 （ ） 3.设,,a b m 是整数，(,)1a m =，若x 通过模m 的简化剩余系，则ax b +也通过模m 的简化剩余系。 （ ） 4.对于正整数k ，Euler 函数()k ?的值等于模k 简化剩余系中元素的个数。 （ ） 5.形如65n +的素数有无穷多个。 （ ） 6.32514805112133=????是51480的标准分解式。 （ ） 7. 已知(,,)x y z 是不定方程222x y z +=满足(,)1x y =的正整数解，则,x y 有不同的奇偶性。 （ ） 8.同余方程322310(mod5)x x x -+-≡的解数小于3。 （ ） 9. 3,5,9(mod14)x ≡是模14的全部原根。 （ ） 10.设,x y 是任意实数，则[][][]x y x y +=+。 （ ） 二、填空（3'1030?=） 1.159313被7除的余数是 。 2.使12347！被35k 整除的最大的k = 。 3.用(,)a b ，[,]a b 分别表示整数,a b 的最大公约数和最小公倍数，则[,](,)a b a b ＝ 。 4.设n 是正整数，12,,,k p p p 是它的全部素因数，则 ()n ?＝ 。 5.同余方程2 1(mod61)x ≡-的解数是 。 6.设,a b 是整数，0(mod )a m ≠，则同余方程(mod )ax b m ≡有解的充要条件是 。若有解，则恰有 个解，mod m 。 7.模11的所有二次剩余是 。

初等数论试卷和答案

初等数论试卷和答案

初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).

试卷1答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136,221,391]=?（8分） 解 [136,221,391] =[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] ------------(4分) = 17391 1768?

初等数论在数学中的应用

给学弟学妹的建议 我是大四的学生，大学生活即将结束，在快要离别之际，我想给亲爱的学弟学妹们一点建议。 在学习方面的建议。 1，阅读几位与自己人生发展目标相近的名人传记 2，听几场优秀大学生报告会 3，每学期制定一个详细的学习计划，让自己每天进步一点点 4，放弃考前通宵达旦的突击来蒙混过关，平时学习才最重要 5，兴趣是最好的老师，认真辅修或选修专业课以外的课程，也许你会发现这些知识比主修课更实用 6，去去英语角，不会说总会听吧，这是提高你口语的有效途径 7，千万别挂科，更不要考试作弊，一旦捉住你将终生遗憾 8，学习，永远别忘记学习。不管别人怎么说大学是个提高综合能力的地方云云，如果你学习失败了，你就什么也不是了——不排除意外，但你会是那个意外吗？ 9，毕业设计和毕业论文可能是你求学生涯的最后一次作业，务必认真完成10，要不停地向校友和学长取经：请教为人处事之道和学习生活的经验之谈 11，电脑不是整天用来上网娱乐的，认真学学WORD、EXEEL、PHOTOSHOP、POWERPOINT等实用工程 12，证书不是万能的，但TOEFL、GRE、G—、MAT、LELTS证书和计算机等级证书将会成为你选择的加速器 13，永远别把英语忘掉，英语四六级越往后越难考，否则你将会承受越来越多的压力 14，立身以立学为先，立学以读书为本。书是个人终极意义的归宿，多去看看书，别让图书馆成为你眼前的摆设 15，一分耕耘，一分收获，永远别忽视学习，在别人放弃的时候再坚持30min.你或许会得到精神和物质上的双重收获 16，再熟悉一下Albert Einstein的成功秘诀：成功=艰苦劳动+正确方法+少

自考初等数论试题及答案

初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求? ?? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)

初等数论试卷

一、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.μ(2002)=_________； d(2002)=_________. 2.自然数225，226，…，240中的素数是_________. 3.n+2,2n+3,3n+1中必定互素的一组数是_________. 4.模7的绝对值最小简化剩余系是_________. 5.同余方程16x ≡6(mod 46)的解是_________. 6.不定方程3x+4y=5的通解是_________. 7.17|(2002n -1)，则正整数n 的最小值是_________. 8.满足?(n) =20的n 有多个，其中两个是_________. 9.弗罗贝纽斯(Frobenius)问题可表述为_________. 10.?? ? ??17954 =_________. 二、计算题(本大题共3小题，第1，2小题各7分，第3小题9分，共23分) 1.判断下面同余方程组是否有解，如有解则求出其解： ?? ???≡≡≡9).5(mod x 20),7(mod x 15),2(mod x 2.试求不定方程y 2+x=x 2 +y-22的所有正整数解. 3.判断同余方程x 2≡62(mod 113)是否有解，如有解，则使用高斯(Gauss)逐步淘汰法求其解. 三、论证题(本大题共4小题，第1，2小题各8分，第3小题10分，第4题11分，共37 分) 1.试证一个正整数的平方，必与该正整数的各位数码字的和的平方，关于模9同余。 2.设(a,m)=1,x 通过模m 的一个简化剩余系，试证ax 也通过模m 的简化剩余系. 3.设F n =n 22+1，试证(F n ,F n+1)=1. 4.试证在两继自然数的平方之间，不存在四个自然数a

数学归纳法以及其在初等数论中的应用

LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 2013届本科毕业论文 数学归纳法及其在初等数论中的应用 院（系）名称数学科学学院 专业名称数学与应用数学 学生姓名孙xx 学号110412016 指导教师xx 讲师 完成时间2013.5

数学归纳法及其在初等数论的应用 孙xx 数学科学学院 数学与应用数学 学号：110412016 指导教师：xx 摘 要：数学归纳法是一种非常重要的数学证明方法,典型的用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他形式在一个无穷数列是成立的.本文通过直接证法引入数学归纳法,并介绍了数学归纳法的两个基本步骤及原理.初等数论研究的是关于整数的问题,故应用数学归纳法证明初等数论中的有关的命题是重要的途径. 关键词：数学归纳法;初等数论;不定方程;整除;同余 1 引论 1.1 直接证法 众所周知,数学上的许多命题都与自然数有关.这里所指的n ,往往是指任意的一个自然数.因此,这样的一个命题实际上也就是一个整列命题.要证明这样一整列命题成立,当然可以有多种不同的方法. 其中常用的方法是置n 的任何具体值而不顾,而把它看成是一个任意的自然数,也就是说,假定它只是任何自然数都具备的共同性质,并且在这样的基础上进行推导、运算.如果我们在推导运算中没有遇到什么难以克服的困难,那么我们就有可能用这种方法来完成命题的证明了.这种方法就是习惯上所说的直接证法.如下例： 例1 已知）（2;,,2,1≥???=∈n n i R x i ,满足 121=+++n x x x ,021=+++n x x x . 证明

初等数论论文

初等数论数学思想对高中数学竞赛的指导 学号： 班级： 姓名： 摘要：初等数论是研究数的规律，及整数性质的数学分支，它是数论的一个最古老的分支。 在高中数学中引入初等数论，有利于拓展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值，应用价值，文化价值的认识。初等数论中的数学思想对高中数学竞赛也具有很强的指导作用。 关键词：初等数论 数学竞赛 数学思想 应用 数论，这门古老而又常新的学科既是典型的纯粹数学，又是日益得到广泛应用的新“应用数学”. 在数论中，初等数论是以整除理论为基础，研究整数性质和方程（组）整数解的一门数学学科，是一门古老的数学分支.它展示着近代数学中最典型、最基本的概念、思想、方法和技巧.目前，初等数论在计算机科学、代数编码、密码学、组合数学、计算方法等领域内得到了广泛的应用，成为计算机科学等相关专业不可缺少的数学基础. 数论的魅力在于它可以适合小孩到老人，只要有算术基础的人均可以研究数论.初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，其中蕴含了丰富的数学思想方法 1 转化思想方法 转化是一种常用的数学思想方法.转化是指问题之间的相互转化，或者将问题的一种形式转化为另一种形式，或者把复杂问题转化成较简单问题、将陌生问题转化为已解决或熟悉的问题[1].通过恰当的化归转化不仅能够顺利地解决原问题，而且有助于培养学生科学的思维习惯. 整除是数论中的基本概念，此问题是数论中比较简单的一种类型.有时我们需要判断几个分式的和是一个整数，这样直接求其是整数比较困难，因而常常化为整除问题解决. 例2（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程 ?? ?=+=+23 44 bc ac bc ab 的正整数()c b a ,,的组数是（） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3 ()E 4 解（质因数分解法）由方程23=+bc ac 得 ()23123?==+c b a . a , b , c 为整数，1=c 且23=+b a .将c 和b a -=23代入方程44=+bc ab