一圆周角定理
配套练习题
一．选择题（共16小题）
1．如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠BOC=76°，则∠BAC的度数是（）A．152°B．76°C．38°D．14°
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°
第1题图第2题图第3题图
3．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°
5．如图，已知在⊙O中，点A，B，C均在圆上，∠AOB=80°，则∠ACB等于（）A．130°B．140°C．145°D．150°
第4题图第5题图第6题图
6．如图，MN是⊙O的直径，∠PBN=50°，则∠MAP等于（）
A．50°B．40°C．30°D．20°
7．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为）A．40°B．50°C．60°D．70°
8．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°
第7题图第8题图第9题图
9．如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠D等于（）A．25°B．30°C．35°D．50°
10．如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）
A．∠4＜∠1＜∠2＜∠3 B．∠4＜∠1=∠3＜∠2
C．∠4＜∠1＜∠3∠2 D．∠4＜∠1＜∠3=∠2
11．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=60°，D是半圆上任意一点，那么∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°
第10题图第11题图第12题图
12．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．50°
13．在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（）A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96°
14．如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD交⊙O于D，则∠ABD 的度数等于（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
15．已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°，则∠CBA的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°
第10题图第11题图第12题图
16．如图，AB是圆的直径，AB⊥CD，∠BAD=30°，则∠AEC的度数等于（）A．30°B．50°C．60°D．70°
二．填空题（共8小题）
17．如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于．
第17题图第18题图第19题图
18．如图，点A、B在⊙O上，∠AOB=100°，点C是劣弧AB上不与A、B重合的任意一点，则∠C=°．
19．在⊙O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，则⊙O的直径为cm．
20．如图，⊙O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是，圆周角是．
第20题图第21题图第22题图
21．如图，等腰△ABC的底边BC的长为4cm，以腰AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，则DE的长为cm．
22．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择种射门方式．
三．解答题（共16小题）
25．28．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．
26．如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是上一点，且∠
BPC=60°．试判断△ABC的形状，并说明你的理由．
27、如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：HD=GD．
28．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证：BD=CD．
29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．
30．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．
（1）求证：AE=CE；．
31．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC 于M．
（1）求证：BE=CM．
（2）求证：AB﹣AC=2BE．
32．如图，OA是⊙0的半径，以OA为直径的⊙C与⊙0的弦AB相交于点D．求证：AD=BD．
33．如图，已知：AB是⊙O的弦，D为⊙O上一点，DC⊥AB于C，DM平分∠CDO．求证：M是弧AB的中点．
34．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．
35．已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE=CF．
36．已知AB为⊙O的直径，弦BE=DE，AD，BE的延长线交于点C，求证：AC=AB．
37．如图，AB是圆O的直径，OC⊥AB，交⊙O于点C，D是弧AC上一点，E是AB上一点，EC⊥CD，交BD于点F．问：AD与BF相等吗？为什么？
38．如图，AB是⊙O的直径，AC、DE是⊙O的两条弦，且DE⊥AB，延长AC、DE相交于点F，求证：∠FCD=∠ACE．
39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE 的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．
40．如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，判断△DBC的形状，并说明理由．
41．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？
42．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，D是弧AC中点，DE⊥AB垂足为E，AC 分别与DE、DB相交于点F、G，则AF与FG是否相等？为什么？
43．如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D，求证：D是AB的中点．
44．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的
边于G，F，E点．
求证：（1）F是BC的中点；
（2）∠A=∠GEF．
45．如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCH=∠DCA，DP⊥AC垂足为P，DH⊥BH垂足为H，求证：CH=CP，AP=BH．
《圆周角定理》参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．（2012?呼伦贝尔）如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠BOC=76°，则∠BAC的度数是（）
A．152°B．76°C．38°D．14°
【解答】解：∵所对的圆心角是∠BOC，圆周角是∠BAC，
又∵∠BOC=76°，
∴∠A=76°×=38°．
故选C．
2．（2015?眉山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【解答】解：∵OA=OC，∠ACO=45°，
∴∠OAC=45°，
∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴∠B=∠AOC=45°．
故选D．
3．（2010秋?海淀区校级期末）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∠1和∠3符合圆周角的定义，
∠2顶点不在圆周上，
∠4的一边不和圆相交，
故图中圆周角有∠1和∠3两个．
故选B．
4．（2015?珠海）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）
A．25°B．30°C．40°D．50°
【解答】解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，
∴=，
∴∠DOB=2∠C=50°．
故选：D．
5．（1997?陕西）如图，已知在⊙O中，点A，B，C均在圆上，∠AOB=80°，则∠ACB等于（）
A．130°B．140°C．145°D．150°
【解答】解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB
∵∠AOB=80°
∴∠E=∠AOB=40°
∴∠ACB=180°﹣∠E=140°．
故选：B．
6．如图，MN是⊙O的直径，∠PBN=50°，则∠MAP等于（）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【解答】解：连接OP，
可得∠MAP=∠MOP，∠NBP=∠NOP，
∵MN为直径，
∴∠MOP+∠NBP=180°，
∴∠MAP+∠NBP=90°，
∵∠PBN=50°，
∴∠MAP=90°﹣∠PBN=40°．
故选B．
7．（2007?太原）如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC 的度数为（）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【解答】解：∵∠ABD=20°
∴∠C=∠ABD=20°
∵CD是⊙O的直径
∴∠CAD=90°
∴∠ADC=90°﹣20°=70°．
故选D．
8．（2013?苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【解答】解：连结BD，如图，
∵点D是的中点，即弧CD=弧AD，
∴∠ABD=∠CBD，
而∠ABC=50°，
∴∠ABD=×50°=25°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB=90°﹣25°=65°．
故选C．
9．（2009?枣庄）如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠D等于（）
A．25°B．30°C．35°D．50°
【解答】解：∵∠AOC=130°，
∴∠BOC=50°，
∴∠D=∠BOC=25°．故选A．
10．（2013秋?沙洋县校级月考）如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）
A．∠4＜∠1＜∠2＜∠3 B．∠4＜∠1=∠3＜∠2 C．∠4＜∠1＜∠3∠2 D．∠4＜∠1＜∠3=∠2
【解答】解：如图，利用圆周角定理可得：∠1=∠3=∠5=∠6，
根据三角形的外角的性质得：∠5＞∠4，∠2＞∠6，
∴∠4＜∠1=∠3＜∠2，
故选B．
11．（2012秋?天津期末）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=60°，D是半圆上任意一点，那么∠D的度数是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】解：连接BC，
∵AB是半圆的直径
∴∠ACB=90°
∵∠BAC=60°，
∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°，
∴∠D=∠ABC=30°．
故选A．
12．（2009?塘沽区二模）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（）
A．15°B．20°C．25°D．50°
【解答】解：∵OA⊥BC，∠AOC=50°，
∴，
∴∠ADB=∠AOC=25°．
故选C．
13．（2012秋?宜兴市校级期中）在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（）
A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96°
【解答】解：如图，∵∠AOB=84°，
∴∠ACB=∠AOB=×84°=42°，
∴∠ADB=180°﹣∠ACB=138°．
∴弦AB所对的圆周角是：42°或138°．
故选C．
14．（2011?南岸区一模）如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD 交⊙O于D，则∠ABD的度数等于（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【解答】解：连接AD，
∵在⊙O中，AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴=，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°．
故选C．
15．（2015秋?合肥校级期末）已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°，则∠CBA的度数为（）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【解答】解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠CDB=40°，
∴∠CBA=90°﹣∠A=50°．
故选B．
16．（2013?万州区校级模拟）如图，AB是圆的直径，AB⊥CD，∠BAD=30°，则∠AEC的度数等于（）
A．30°B．50°C．60°D．70°
【解答】解：∵∠BAD=30°，
∴=60°，
∵AB是圆的直径，AB⊥CD，
∴==60°，
∴=180°﹣60°=120°，
∴∠AEC==×120°=60°．
故选C．
二．填空题（共8小题）
17．（2016?大冶市模拟）如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD 等于40°．
【解答】解：∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，
∴弧DF=弧DE，且弧的度数是40°，
∴∠DOE=40°，
答案为40°．
18．（2015?历城区二模）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB的度数是65°．
【解答】解：连结BD，如图，
∵点D是的中点，即弧CD=弧AD，
∴∠ABD=∠CBD，
而∠ABC=50°，
∴∠ABD=×50°=25°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB=90°﹣25°=65°．
故答案为65°．
19．（2013秋?滨湖区校级期末）如图，点A、B在⊙O上，∠AOB=100°，点C是劣弧AB 上不与A、B重合的任意一点，则∠C=130°．
【解答】解：在优弧AB上取点D，连结AD、BD，如图，
∴∠D=∠AOB=×100°=50°，
∵∠D+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣50°=130°．
故答案为130．
20．（2008秋?苏州校级期中）球员甲带球冲到A点时，同伴乙已经助攻冲到B点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择第二种种射门方式较为合理．
【解答】解：连接OC．
根据圆周角定理，得∠PCQ=∠B，
根据三角形的外角的性质，得∠PCQ＞∠A，
则∠B＞∠A．
故答案为第二种．
21．（2015?黄岛区校级模拟）在⊙O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，则⊙O的直径为4cm．
【解答】解：连接OA，OB，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2cm，
∴⊙O的直径=4cm．
故答案为：4．
22．（2014春?海盐县校级期末）如图，⊙O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．
【解答】解：连结OA、OB，∠APB和∠AP′B为弦AB所对的圆周角，如图，
∵弦AB等于半径R，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠APB=∠AOB=30°，
∴∠AP′B=180°﹣∠APB=150°，
即这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．
故答案为60°；是30°或150°．
《圆周角定理的证明》优秀教学设计(教案)
《圆周角定理的证明》教学设计 一、创设情境，引入新课 师生活动:教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆.并出示海洋馆的横截面示意图，提出问题．学生通过观察分析和理解问题. 设计意图：从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分．引导学生对图形的观察和发现，激发学生的好奇心和求知欲. 二、任务驱动，探究规律 学生动手画圆，在圆上任取一条劣弧，作这条劣弧所对的圆心角和圆周角，然后用量角器测量这些角。回答下列问题： （1）同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？ （2）同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与圆周角∠ADB的大小关系是怎样的？ 师生活动: 学生利用度量工具（量角器或几何画板）动手实验，进行度量，发现结论．教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现． 设计意图:让学生亲自动手，利用度量工具（如量角器、几何画板）进行实验、观察、猜想、分析、验证，得出结论: 同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半． 三、动手操作，验证猜想 拿出课前准备的圆形纸片，在⊙O上任取一个圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O 和∠BAC的顶点A．回答问题： （1）在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？ （2）当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？ （3）另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？ 师生活动：教师演示圆心与圆周角的三种位置关系．学生写出已知、求证，完成证明． 具体做法：1.学生分组讨论三类图形的已知、求证。2.要求其中的四个小组证明第二类图形，另外的四个小组证明第三类图形。3.师生归纳总结出圆周角定理，并且几何符号表示圆周角定理。 设计意图:让学生对所发现的结论进行证明．培养学生严谨的治学态度．问题（1）的设计是让学生通过动手探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题．问题（2）、（3）的提出是让学生学会运用化归思想将问题转化，并启发培养学生创造性的解决问题. 四、巩固练习，学以致用
圆周角定理
学科教师辅导讲义 学员编号：年级：初三课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 授课类型T(同步知识主题) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）授课日期及时段 教学内容 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 基本方法归纳：正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等． 注意问题归纳：这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 基本方法归纳：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． 注意问题归纳：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
圆周角的概念： 【例1】如图，∠BAC是圆周角的是（） 变式：1、如图，图中哪些角是圆周角，哪些不是圆周角？请说明理由。 圆周角定理： 【例2-1】如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D等于（） 【例2-2】已知圆中一条弦的长度等于它的半径，求此弦所对圆周角的度数。 2，则⊙O的半径为（）变式：1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=3
圆周角和圆心角定理
《圆周角和圆心角的关系》第1课时教学设计
教学过程设计说明 [师]前面我们学习了与圆有关的哪种角？它有什么特点？请同学们画一个圆心角． 回顾旧知，导入新课[生]学习了圆心角，它的顶点在圆心．创设问题设置悬念，激发学生学[师]圆心是圆中一个特殊的点，当角的顶点在圆情境习欲望。心时，就有圆心角．这样角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？ [师]同学们请观察下面的图(1)．(出示投影片 )A．13．3在通过射门游戏引入圆周角的概念。 [师]图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？ [生]∠ABC的顶点B在圆上，它的两边分别和圆 有另一个交点．(通过学生观察，类比得到定义)探索新知 圆周角(angle in a circular segment)定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角． [师]请同学们考虑两个问题：认识 概念 顶点在圆上的角是圆周角吗？(1) 圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？(2) 请同学们画图回答上述问题． [师]通过画图，相互交流，讨论认清圆周角概念让学生认识圆周角的两的本质特征，从而总结出圆周角的两个特征：个重要特征。 (1)角的顶点在圆上； (2)两边在圆内的部分是圆的两条弦． 试列举一些反例让学生进行辨析。 )1(出示投影片一试 [师]在图(1)中，当球员在B、D、E处射门时， 他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关 系？ 我们知道，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．那么，在同圆或等圆中，相等的弧所 对的圆周角有什么关系？联想建构[师]请同学们动手画出⊙O中弧AC所对的圆心角和圆周角．观察弧AC所对的圆周角有几个？提出这一问题意在引起 它们的大小有什么关系？你是通过什么方法得到学生思考，为本节活动的？弧AC所对的圆心角和所对的圆周角之间有埋下伏笔。什么关系？ 验[生] 弧AC所对的圆周角有无数个．通过测量的证猜方法得知：弧AC所对的圆周角相等，所对的圆想周角都等于它所对的圆心角的一半． （教师用几何画板展示变化中的圆周角与圆心角的关系） [师]对于有限次的测量得到的结论，必须通过其 论证，怎么证明呢？说说你的想法，并与同伴交流． [生]互相讨论、交流，寻找解题途径． [师生共析]能否考虑从特殊情况入手试一下．(学
圆周角定理及其推论.pdf
通海路中学九年级数学教案课题：圆周角及其推论（1） 教学目标1、掌握圆周角定理，并会熟练运用这些知识进行有关的计算； 2、培养观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力； 3、培养添加辅助线的能力和思维的广阔性 教学重点：圆周角定理及其推论的应用. 教学难点：熟练应用圆周角定理及其推论以及辅助线的添加. 个性设计一、自主学习 1、学习内容:教材p49--52页. 2、自学时间:5--10分钟. 3、自学检测:自学中遇到的问题做标记,完成教材p52页练习. 二、合作交流 1、知识点一：圆周角的定义 定义：顶点在______,并且两边都和圆______的角叫圆周角. 2、知识点二：圆周角定理 圆周角定理: 几何语言: 练习： 1.如图，已知A,B,C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，则∠ACB=_______. 2.如图，点A,B,C在⊙O上，∠ACB=30°，则cos∠ABO的值是_______. 3.如图，A,B,C是半径为6的⊙O上三个点,若∠BAC=45°,则弦BC=_______. 3、知识点三：圆周角定理的推论（1） 在同圆(或等圆)中,同弧或等弧所对的圆周角____,相等的圆周角所对的弧也____练习： 4.如图，A、B、C三点在⊙O上,且△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A、B重合,则∠BPC等于（） A、30° B、60° C、90° D、45° 5.如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B=____． 6.如图,A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD,若∠BAC=25°,则∠ADC=______.
圆周角定理教学设计
圆周角定理教学设计 教学目标： 知识目标：理解圆周角的概念；掌握圆周角的定理的内容及证明方法； 情感态度价值观：树立学习的自信 教学重点：圆周角的概念和圆周角定理 教学难点：圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学 思想． 教学流程 一复习：1什么是圆心角？你能画一个圆心角吗？ 2类比圆心角的定义你知道什么是圆周角吗？ 二、新课讲解 1圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 练习:判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由． 归纳：一个角是圆周角的条件：①顶点在圆周上②两边都和圆相交的角缺一不可。 2、问题1：圆周角的度数与什么有关系？你能画出同一个弧AB所对的圆周角吗？学生展示：引导学生圆周角的三种情况：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部．问题2；圆心角鱼圆周角有什么数量关系呢?学生猜测，教师用课件验证。（1）当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相应的圆心角的关系：观察得知圆心在圆周角上时，圆周角是圆心角的一半 （2）其它情况，圆周角与相应圆心角的关系： 当圆心在圆周角外部时（或在圆周角内部时）引导学生作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况，从而运用前面的结论，得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论. 证明：作出过O的直径（自己完成） 可以发现同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对等于它所对圆心角的一半.
练习：已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？ 三：总结知识上：（1）圆周角定义及其两个特征；（2）圆周角定理的内容． 思想方法：分类方法和“化归”思想．分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题． 四、作业：小卷
圆周角定理
第二十四章圆 24.1.4圆周角 阜康市二中鲁斌 一、教材内容：人教版九年级上册第二十四章圆第四课时垂直于圆周角教学设计 二、教材分析： 《圆周角》是人教版九年级上册数学教材《圆》这一章中的重要一节，它是引入圆心角之后又学习的另一个与圆有关的重要的角，圆周角及圆周角定理是这一章的基本概念和定理，学生掌握的熟练程度直接影响着学生后续知识的学习。因此让学生多角度、多层次地理解并三、教学目标： 1. 理解圆周角的概念.探索并证明圆周角定理并能应用圆周角定理，解决简单问题。 2. 在探索圆周角的过程中，培养动手操作、自主探索与合作交流的能力，体会分情况逐一证明的必要性。 3. 在互相交流的过程中，培养解决数学问题的能力，激发学习数学的兴趣. 四、教学重点难点 重点：探索同弧所对的圆周角与圆心角度数的关系. 难点：应用圆周角定理解决简单问题 五、学情分析： 在此之前，学生已经掌握了圆心角的定义，对圆心角、弧、弦的关系有了认识，因此在学习圆周角的定义时，学生会对圆内的又一类角很有兴致，同时圆周角的定义是类比圆心角得到的，让学生体会类比思想的重要性，而圆周角定理的证明用到了完全归纳法，分为三种情况证明，对于学生有些难度。 六、教学过程： （一）、创设情境引入新知出示多媒体课件： 足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行 无人防守的射门训练，甲、乙两名运动员分别在C、 D两处，他们都说在自己所在位置对球门AB的张 角大，你认为他们谁说的对？
（甲对球门AB的张角为∠C 乙对球门AB的张角为∠D） 问题∠C、∠D两个角还是我们学过的圆心角吗？(像∠C、∠D这样的角我们叫它圆周角。) 他们有什么共同特点？ (①角的顶点在圆上②角的两边都与圆相交). 设计意图:联系生活中的实际创设具有一定挑战性的问题情境，导入新课.激发学生的探索激情和求知欲望,把学生的注意力尽快地集中到本节课的学习中 问题你能类比圆心角的定义给圆周角下个定义吗? 圆周角定义: 顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫圆周角 特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交 设计意图：让学生给圆周角下定义，提高学生的概括能力. 练习1：如图，判断下列各图形中所画出的角是否为圆周角并说明理由。 小结： 判断要点：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交 问题如图，任取一段，那么它所对的圆心角有几个？那弧AB所对 的圆周角有多少个呢？ 一条弧所对的圆心角只有一个，一条弧所对的圆周角有无数个。 （任取优弧上一点，连接的两个端点即为所对的一个圆周角） （二）那么今天我们就来研究一下，所对的圆周角与它所对的圆心角 之间的关系.
圆周角的概念及定理
教学时间课题24.1.4 圆周角课型新授课 教学目标知识和能力 1.了解圆周角与圆心角的关系. 2.探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征. 3.能运用圆周角的性质解决问题. 过程和方法 1.通过观察、比较，分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力. 2.通过观察图形，提高学生的识图能力. 3.通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力. 4.学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想解决问题. 情感态度 价值观引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心. 教学重点探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征. 教学难点发现并论证圆周角定理. 教学准备教师多媒体课件 问题与情境师生行为设计意图 [活动1 ] 演示课件或图片： 问题1 如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角( 和)有什么关系? 问题2 如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角( 和)和同学乙的视角相同吗? 教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆. 教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物. 教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题. 教师结合示意图，给出圆周角的定义.利用几何画板演示，让学生辨析圆周角，并引导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧( )所对的圆心角( )与圆周角( )、同弧所对的圆周角( 、、等)之间的大小关系.教师引导学生进行探究. 教师关注： 1.问题的提出是否引起了学生的兴趣; 2.学生是否理解了示意图; 3.学生是否理解了圆周角的定义; 4.学生是否清楚了要研究的数学问题. 从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学. 将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法. 引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心. [活动2] 问题1同弧(弧AB)所对的圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的?
圆周角定理及推论
1 / 6 24.1.4圆周角 第1课时圆周角定理及推论 教学内容 1．圆周角的概念． 2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半． 推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用． 教学目标 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证
明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键 2 / 6 1．重点： 圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点： 运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键： 探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评： （1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角． （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有 一组量相等，?那么它们所对的其余各组量都分别相等． 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知
问题： 如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设 E、F是球门，?设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的 3 / 6 A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠ EAF、∠ EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，?并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．” （1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示
圆周角概念及圆周角定理
圆周角概念及圆周角定理 内容：1、圆周角的概念 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等 于这条弦所对的圆心角的一半 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直 径及其它们的应用 问题：1、什么叫圆心角 2、圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 圆心在其他位置（圆周角）？ 问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在EF所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点。通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题 （1）一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ （2）同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ （3）同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ 结论：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半
证明： 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 进一步我们还可以得到下面的推导：半圆或直径所对的圆周角是直角 90°的圆周角所对的弦是直径 例1、下列说法正确的是（） A、顶点在圆上的角是圆周角 B、两边都和圆相交的角是圆周角 C、90°的圆周角所对的弦一定是直径 D、圆心角是圆周角的2倍 例2、如图1，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC交于点D，如果∠BAC=? 30，OD=5cm，那么AB= ． · ·O O' C B A D 图1
例3、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？ 例4、如图，已知⊙O中，AB是直径，弧CB=弧CF，弦CD⊥AB于D，交BF于E，求证：BE=EC。 课堂练习 1．圆周角有两个特征①，②，二者缺一不可．
圆周角定理及推论
24.1.4 圆周角 第1课时圆周角定理及推论 教学内容 1．圆周角的概念． 2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用． 教学目标 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题． 重难点、关键 1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角． （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，?那么它们所对的其余各组量都分别相等． 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题． 二、探索新知 问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，?设球员们只能在所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．
3.4.1圆周角定理及其推论1
4圆周角和圆心角的关系 第1课时圆周角定理及其推论1 关键问答 ①圆周角和圆心角的顶点位置有何区别？同一段弧所对的圆心角和圆周角又有什么关系？ ①一条弧所对的圆周角有多少个？这些圆周角的大小有怎样的关系？ 1．①如图3－4－1，A，B，C是①O上的三点，且①ABC＝70°，则①AOC的度数是() 图3－4－1 A．35° B．140° C．70° D．70°或140° 2．①如图3－4－2，点A，B，C，D都在①O上，AC，BD相交于点E，则①ABD与下列哪个角相等() 图3－4－2 A．①ACD B．①ADB C．①AED D．①ACB 3．2019·哈尔滨如图3－4－3，①O中，弦AB，CD相交于点P，①A＝42°，①APD＝77°，则①B的度数是()
图3－4－3 A．43° B．35° C．34° D．44° 命题点1利用圆周角定理进行计算或证明[热度：96%] 4.①如图3－4－4，在①O中，O为圆心，点A，B，C在圆上，若OA＝AB，则①ACB的度数为() 图3－4－4 A．15° B．30° C．45° D．60° 方法点拨 ①解决圆中与圆周角有关的问题，常找出同弧所对的圆心角，通过圆心角和圆周角的关系找到解题的途径． 5．①如图3－4－5，①AOB＝100°，点C在①O上，且点C不与点A，B重合，则①ACB的度数为() 图3－4－5 A．50° B．80°或50° C．130° D．50°或130° 易错警示 ①点C的位置固定吗？有几种不同的情况？ 6．2019·菏泽如图3－4－6，在①O中，OC①AB，①ADC＝32°，
则①OBA 的度数是( ) 图3－4－6 A ．64° B ．58° C ．32° D ．26° 7.如图3－4－7，①O 的半径为6，点A ，B ，C 在①O 上，且①ACB ＝45°，则弦AB 的长是________． 图3－4－7 命题点 2 利用圆周角定理的推论1进行计算或证明 [热度：96%] 8．2019·北京如图3－4－8，点A ，B ，C ，D 在①O 上，BC ︵＝CD ︵， ∠CAD ＝30°，①ACD ＝50°，则①ADB ＝________． 图3－4－8 9.①已知：如图3－4－9，CA ＝CB ＝CD ，过A ，C ，D 三点的①O 交AB 于点F . 图3－4－9 求证：CF 平分①BCD . 解题突破 ①连接AD ，你能得到哪些角相等？ 10.①如图3－4－10所示，AB 是①O 的一条弦，OD①AB ，垂足
一圆周角定理
配套练习题 一．选择题（共16小题） 1．如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠BOC=76°，则∠BAC的度数是（）A．152°B．76°C．38°D．14° 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45° 第1题图第2题图第3题图 3．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50° 5．如图，已知在⊙O中，点A，B，C均在圆上，∠AOB=80°，则∠ACB等于（）A．130°B．140°C．145°D．150° 第4题图第5题图第6题图 6．如图，MN是⊙O的直径，∠PBN=50°，则∠MAP等于（） A．50°B．40°C．30°D．20° 7．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为）A．40°B．50°C．60°D．70° 8．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）A．55°B．60°C．65°D．70° 第7题图第8题图第9题图
9．如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠D等于（）A．25°B．30°C．35°D．50° 10．如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（） A．∠4＜∠1＜∠2＜∠3 B．∠4＜∠1=∠3＜∠2 C．∠4＜∠1＜∠3∠2 D．∠4＜∠1＜∠3=∠2 11．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=60°，D是半圆上任意一点，那么∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90° 第10题图第11题图第12题图 12．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．50° 13．在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（）A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96° 14．如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD交⊙O于D，则∠ABD 的度数等于（） A．90°B．60°C．45°D．30° 15．已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°，则∠CBA的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30° 第10题图第11题图第12题图 16．如图，AB是圆的直径，AB⊥CD，∠BAD=30°，则∠AEC的度数等于（）A．30°B．50°C．60°D．70° 二．填空题（共8小题） 17．如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于．
圆周角概念及定理
圆周角及其定理 教学目标 1、理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并会运用它进行论证和计算. 2、经历圆周角定理的证明，使学生了解分类证明命题的思想和方法，体会类比、分类的教学方法. 3、通过学生主动探索圆周角定理及其推论，合作交流的学习过程，学习成长的快乐及数学的应用价值. 教学重点难点 教学重点：圆周角的概念、圆周角定理及其应用. 教学难点：圆周角定理的分类证明. 教学过程 一、情境导入 足球场上的数学在足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻,当他冲到A点时，同伴乙已经冲到B点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.问哪一种射门方式进球的可能性大？(提示：仅从射门角度考虑，射门角度越大越好.)
设计意图：让学生感受到生活之中的数学问题，激发学习兴趣. 二、自我探究 1、圆周角的概念 观察图形∠APB 的顶点P 从圆心O 移动到圆周上（电脑动画）. 教师指出∠APB 是圆周角.由圆心角顺利迁移到圆周角. 学生对比圆心角的定义，尝试给出圆周角的定义： 辨析概念 判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由. 思考特征 圆周角具有什么特征？ 明确结论：①顶点在圆上；②两边都和圆相交. 设计意图： 让学生能形象地感知圆周角，理解圆周角概念。 2、合作交流，动手操作 A B C D
学生先动手画圆周角，再相互交流、比较，探究圆心与圆周角的位置关系，并请学生代表上讲台用投影展示交流成果.教师再利用电脑，动画展示圆心与圆周角可能具有的不同的位置关系，并由学生归纳出圆心与圆周角具有三种不同的位置关系： ①圆心在圆周角的一边上； ②圆心在圆周角的内部； ③圆心在圆周角的外部. 设计意图：学生动手画圆周角，进一步熟悉圆周角，另一方面，预先探究出圆心与圆周角的三种位置关系，将难点分散，为后面证明圆周角定理作铺垫，降低证明难度. 探究问题同弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？ 试验操作 当圆心角分别是锐角（450）、钝角（1100）和平角（1800）时，动手测量出弧BC所对的圆周角∠BAC和∠BDC的度数，比较它们的大小，然后在优弧BAC上任意取一点E，测量∠BEC的度数，探究同弧所对的圆周角与圆心角的关系. 猜想结论同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理
圆周角定理 圆周角定理： 1.同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。 2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 3.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆 叫做多边形的外接圆。 中文名 圆周角定理 应用学科 数学 目录 1圆周角 ?定义 ?性质 2圆周角定理 ?定义 ?推论一： ?推论二： ?推论三： 3证明 1圆周角
定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 圆周角图 性质 (1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； (2)圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半； (3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 2圆周角定理 定义 圆周角定理：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。 推论一： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论二： 半圆（直径）所对的圆周角是直角。
推论三： 90°的圆周角所对的弦是直径。 注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一个是优弧所对的角，一个是劣弧所对的角。 3证明 已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：2∠BOC=∠BAC. 证明： 情况1： 如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时： 图1 ∵OA、OC是半径 解：∴OA=OC ∴∠BAC=∠ACO（等边对等角） ∵∠BOC是△AOC的外角 ∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC 情况2：
如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时： 连接AO，并延长AO交⊙O于D 图2 ∵OA、OB、OC是半径 解：∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角） ∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角 ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 情况3： 如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：
圆周角定理及其推论
圆周角定理及其推论 知识技能 1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用； 2、准确地运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算。 数学思考 1．通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系发展学生合情推理和演绎推理的能力。 2．通过观察图形，提高学生的识图的能力 3．通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力。 解决问题 1．在探索圆周角定理的过程中，学会运用分类讨论的数学思想转化的数学思想解决问题。 2．渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法． 情感态度 引导学生对图形的观察，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。 教学重点 圆周角的概念和圆周角定理及其推论的应用． 教学难点 1．认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。 2．推论的灵活应用以及辅助线的添加 一教学过程 活动1 问题 如图，同学甲站在圆心O 位置，同学乙站在靠墙的位置C, 同学丙丁站在其他靠墙的位置D、E。得到的视角分别是∠AOB,∠ACB ，∠ADB，∠AEB 这些视角中哪些是圆心角？其他各角具备什么共同特征？从而引出圆周角定义，并会判断。 （教师演示课件或图片，展示一个圆柱形的海洋馆，接着出示海洋馆横截面示意图。 教师结合示意图和圆心角的定义，引导学生得出圆周角的定义，由学生口述，教师板书) 圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角。 强调：定义中的两个条件缺一不可。利用几何画板演示，让学生辨析圆周角。接下来给学生一组辨析题： 练习1：判别图7-29中各圆形中的角是不是圆周角，并说明理由． 活动2：探究圆周角定理，并证明圆周角定理。
圆周角及其推论
圆周角及推论 【学习目标】 1．学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆周角定理及推论． 2．掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能用分类讨论的思想证明圆周角定理． 3．会用圆周角定理及推论进行证明和计算． 【学习重点】 圆周角的定理及应用． 【学习难点】 运用分类讨论的数学思想证明圆周角定理． 情景导入 生成问题 旧知回顾：(1)圆心角指顶点在圆心的角． (2)如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦： ①如果AB ＝CD ，那么AB ︵＝CD ︵，∠AOB ＝∠COD ； ②如果AB ︵＝CD ︵，那么AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ； ③如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB ＝CD ，AB ︵＝CD ︵． 自学互研 生成能力 知识模块一 圆周角的定义【自主探究】 阅读教材P 85探究上面内容，重点理解圆周角定义，回答下列问题： 1．圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角 ．2．如图，下列图形中是圆周角的是(C ) 3．如图，AD ︵所对的圆心角是∠AOD ，所对的圆周角有∠B 和∠C ． 结论：一条弧对着一个圆心角，对着无数个圆周角． 知识模块二 圆周角定理 【自主探究】
认真看P85“探究”～P86推论上面内容，根据课本回答下列问题： 1．圆周角定理的证明共分了哪几种情况？ 图1图2图3 答：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部． 2．如图1，∠A与∠BOC的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A＝1 2 ∠BOC．理由如下： OA＝OC?∠A＝∠ACO ∠BOC＝∠A＋∠ACO ?∠A＝ 1 2 ∠BOC 3.如图2，∠A与∠BOC的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A＝1 2 ∠BOC，理由略． 4．如图3，∠A与∠BOC的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A＝1 2 ∠BOC，理由略． 范例：如图所示，AB是⊙O的直径，AB＝10cm，∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，求AC、BC的长．解：∵∠ADE＝60°，DC平分∠ADE， ∴∠ADC＝1 2 ∠ADE＝30°. ∴∠ABC＝∠ADC＝30°.又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC＝1 2 AB＝5cm， BC＝AB2－AC2＝102－52＝53(cm)． 交流展示生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一理解圆周角的概念，能够在图形中正确识别圆周角 知识模块二掌握圆周角定理，并会运用定理进行简单的计算与证明 当堂检测达成目标 【当堂检测】
圆周角的定理及其推论
《圆周角》第一课时教学设计 一、教材分析 圆周角定理及其推论是推导弦切角定理，圆幂定理，圆内接四边形的性质定理的重要理论依据，而且在推证角相等、弦相等、弧相等、相似三角形的判定等方面都着广泛的应用。它的产生、论证还蕴含着深刻的数学思想方法(分类讨论、转化化归)。本节教学共分三课时，这是第一课时。 二、教学目标 （1）知识技能目标 理解圆周角的概念，掌握圆周角的定理；准确地运用圆周角定理进行简单的证明计算。 （2）教学思考目标 通过定理的发现，体验观察、分析、归纳、猜想的思维方法；通过定理的证明，了解分情况证明数学命题的思想和方法。 （3）情感态度目标 通过对定理的发现和证明，经历探索过程，体验发现乐趣。 三、重、难、疑点及解决办法 （1）重点：圆周角的概念和圆周角定理。 （2）难点：认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性。 （3）疑点：学生对圆周角概念理解的偏差。 （4）解决办法：通过电脑演示和学生动手画图体会理解。 四、教具学具准备 计算机、实物投影仪、课件、圆规、三角板 五、教学过程 (一)类比引入 1、请同学们观察，图1中的角叫做什么角? 这个角的度数与它所对弧的度数有何关系? O B C 1 B C C 2
2、（如图2）请同学们操作计算机，拖动圆心c 1，观察点c 1 与圆的位置关系，概括角的 类型。 （点拨）当角的顶点在圆内时，如∠AC 1 B叫圆内角， 当角的顶点在圆外时，如∠AC 2 B叫做圆外角， 当角的顶点在圆周上时，如∠ACB，我们叫它圆周角。 评：1、复习提问为用类比法学习圆周角概念做好铺垫。 2、学生在计算机上利用几何画板操作、观察，培养了学生动手、动脑习惯，渗透了分类讨论思想。 （引出课题) (二)圆周角的定义 3、对于圆周角的定义，教师不要急于给出，先请同学们给它下定义。 (部分同学可能回答：顶点在圆周上的角叫做圆周角。) “只要顶点在圆周上，这个角就是圆周角吗?”教师一边引导，一边请学生在机器上操作、观察圆周角两边的运动情况，辨认这些角是否是圆周角。 （学生通过实践、观察、交流，最终得出圆周角必须具备的两个条件：①顶点在圆周上； ②两边都与圆相交。并能形成正确定义：顶点在圆周上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。） 评：1、对定义的引入，先关注学生的元认知，再引导学生操作计算机，动手实践，使新旧认知产生冲突，激发了学生求知欲。 2、以上引入圆周角概念的过程，起到了活化知识目的，突出知识的形成过程，让学生在动态中整体把握圆周角的概念，并为后续“弦切角”的“生成”埋下伏笔。 4、教师再进一步提问：圆心角定义中为什么没有特别指出“两边都与圆相交”呢？ 评：提问的目的是消除类比中负迁移的影响。类比是一种重要的数学方法，它有助于启
圆(圆周角定理)
圆（圆周角定理） 一．选择题（共30小题） 1．（2012?云南）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC．若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（） A．40°B．50°C．60°D．70° 2．（2012?重庆）已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（） A．45°B．35°C．25°D．20° 3．（2012?襄阳）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（） A．80°B．160°C．100°D．80°或100°4．（2012?湘潭）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（） A．20°B．40°C．50°D．80°5．（2012?泰州）如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是（） A．40°B．45°C．50°D．60°6．（2012?台州）如图，点A、B、C是⊙O上三点，∠AOC=130°，则∠ABC等于（）
A．50°B．60°C．65°D．70°7．（2012?随州）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=（） A．35°B．55°C．70°D．110°8．（2012?苏州）如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，=，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（） A．20°B．25°C．30°D．40°9．（2012?衢州）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，则sin∠AOB的值是（） A．B．C．D．10．（2012?黔南州）如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠CAO等于（） A．30°B．40°C．50°D．60°11．（2012?黔东南州）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（） A．35°B．45°C．55°D．75°