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数学必修二第二章经典测试题(含答案)

必修二第二章综合检测题

一、选择题

1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( )

A．相交B．平行 C．异面 D．平行或异面

2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

3．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )

A．平行B．相交C．垂直D．异面

4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( )

A．30°B．45°C．60°D．90°

5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( ) A．a?α，b?αB．a?α，b∥α

C．a⊥α，b⊥αD．a?α，b⊥α

6．下面四个命题：其中真命题的个数为( )

①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；

②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；

③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；

④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.

A．4 B．3 C．2 D．1

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论：

①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.

其中一定正确的有( )

A．①②B．②③C．②④D．①④

8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )

A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b

B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b

C．若a?α，b?β，a∥b，则α∥β

D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b

9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，n∥β，则下列四种位置关系中，

不一定成立的是( )

A ．A

B ∥m B ．A

C ⊥m C ．AB ∥β

D ．AC ⊥β

10．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，那么直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )

A ．－45

B .35 D ．－35

11．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的余弦值为( )

C ．0

D ．－1

12．如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ，则PB 与AC 所成的角是( )

A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30° 二、填空题

三、13．下列图形可用符号表示为________．

【

14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角C 1－AB －C 的平面角等于________．

15．设平面α∥平面β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________.

16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：

①AC ⊥BD ；

②△ACD 是等边三角形；

③AB 与平面BCD 成60°的角；

④AB与CD所成的角是60°.

其中正确结论的序号是________．

三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．

求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；

(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1

？

18．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．

(1)证明：CD⊥平面PAE；

(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．

19．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．

：

(1)证明：AM⊥PM；

(2)求二面角P－AM－D的大小．

}

20．如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；

(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D DC1的值．

21．如图，△ABC中，AC＝BC＝

AB，ABED是边长为1的正方形，平

面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．

《

(1)求证：GF∥底面ABC；

(2)求证：AC⊥平面EBC；

(3)求几何体ADEBC的体积V.

{

22．如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB ＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．

(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面

CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．：

必修二第二章综合检测题

1 D

2 C AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：

}

第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1

与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1，

第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．

3 C 当直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；当l?α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；当l∥α时，在α内不存在直线与l相交．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．

4 D 由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.

5 B 对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a?α，b∥α，B正确；对于选项C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a?α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．

6 D 异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．

）

7 D 如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF?平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF?平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．

8 D

选项A 中，a ，b 还可能相交或异面，所以A 是假命题；选项B 中，a ，b 还可能相交或异面，所以B 是假命题；选项C 中，α，β还可能相交，所以C 是假命题；选项D 中，由于a ⊥α，α⊥β，则a ∥β或a ?β，则β内存在直线l ∥a ，又b ⊥β，则b ⊥l ，所以a ⊥b .

9 C

如图所示：

AB ∥l ∥m ；AC ⊥l ，m ∥l ?AC ⊥m ；AB ∥l ?AB ∥β.

10、35

11 C 取BC 中点E ，连AE 、DE ，可证BC ⊥AE ，BC ⊥DE ，∴∠AED 为二面角A －BC －D 的平面角

又AE ＝ED ＝2，AD ＝2，∴∠AED ＝90°，故选C.

12 B 将其还原成正方体ABCD －PQRS ，显见PB ∥SC ，△ACS 为正三角形，∴∠ACS ＝60°.

13 α∩β＝AB 14 45°

如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，由于BC ⊥AB ，BC 1⊥AB ，则∠C 1BC 是二面角C 1－AB －C 的平面角．又△BCC 1是等腰直角三角形，则∠C 1BC ＝45°.

15、9

如下图所示，连接AC，BD，

则直线AB，CD确定一个平面ACBD.

∵α∥β，∴AC∥BD，

则AS

＝

，∴

＝

，解得SD＝9.

16 ①②④

如图所示，①取BD中点，E连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC?平面AEC，故AC⊥BD，故①正确．

《

②设正方形的边长为a，则AE＝CE＝

2 a.

由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，

∴△ACD是等边三角形，故②正确．

③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确．

④分别取BC，AC的中点为M，N，连接ME，NE，MN.

则MN∥AB，且MN＝1

AB＝

a，ME∥CD，且ME＝

CD＝

a，

∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角．&

在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝2

a ，AC ＝a ，

∴NE ＝12AC ＝1

a .∴△MEN 是正三角形，∴∠EMN ＝60°，故④正确．

17 (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，

∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点，∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F . 又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF . (2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1 ∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1?平面AB 1F 1

∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.

【

(1)如图所示，连接AC ，由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，得AC ＝5.

又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE .

∵PA ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ，所以PA ⊥CD .

而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE . (2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于F ，G ，连接PF . 由(1)CD ⊥平面PAE 知，BG ⊥平面PAE .于是∠BPF 为直线PB 与平面PAE 所成的角，且BG ⊥AE .

由PA ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． |

AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，由题意，知∠PBA ＝∠BPF ，

因为sin ∠PBA ＝PA PB ，sin ∠BPF ＝BF

，所以PA ＝BF .

由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形，故GD ＝BC ＝3.于是AG ＝2.

在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以

BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855.于是PA ＝BF ＝85

又梯形ABCD 的面积为S ＝1

×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －

ABCD 的体积为

V ＝13×S ×PA ＝13×16×855＝128515

. 19[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，

]

∵△PCD 为正三角形，

∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝ 3. ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，

∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ?平面ABCD ，∴PE ⊥AM . ∵四边形ABCD 是矩形，

∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3 ∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .

又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM . |

(2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ，

∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角．

∴tan ∠PME ＝PE EM ＝3

＝1，∴∠PME ＝45°.

∴二面角P －AM －D 的大小为45°

(1)因为侧面BCC 1B 1是菱形，所以B 1C ⊥BC 1，又已知B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B ，

所以B 1C ⊥平面A 1BC 1，又B 1C ?平面AB 1C

—

所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1 .

(2)设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面 B 1CD 的交线．

因为A 1B ∥平面B 1CD ，A 1B ?平面A 1BC 1，平面A 1BC 1∩平面B 1CD ＝DE ，所以A 1B ∥DE .

又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点．即A 1D DC 1＝1. 21[解] (1)证明：连接AE ，如下图所示．

∵ADEB 为正方形 ∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点，

又G 是EC 的中点 ∴GF ∥AC ，又AC ?平面ABC ，GF ?平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .

(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，

又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ?平面ABED ，

∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC .

又∵AC ＝BC ＝2

AB ，∴CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC ⊥BC .

又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE .

(3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝2

，

∴CH ⊥AB ，且CH ＝1

，又平面ABED ⊥平面ABC

∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝1

22[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC .

又∵C 1C ⊥AC .∴AC ⊥平面BCC 1B 1 ∵BC 1?平面BCC 1B ，∴AC ⊥BC 1.

(2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，又四边形BCC 1B 1为正方形．

∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE ∥AC 1. ∵DE ?平面CDB 1，AC 1?平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1. (3)解：∵DE ∥AC 1，

∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角．

在△CED 中，ED ＝12AC 1＝5

，

CD ＝12AB ＝52，CE ＝1

CB 1＝22，

∴cos ∠CED ＝252

＝22

∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为22