一类拟线性椭圆型方程很弱解的局部正则性

差分方程模型的理论和方法

差分方程模型的理论和方法 第一节 差分 一、 基本概念 1、差分算子 设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=??+1:为n x 在n 处的向 前差分。 而1--=?n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。 以后我们都是指向前差分。 可见n x ?是n 的函数。从而可以进一步定义n x ?的差分： n n x x 2)(?=?? 称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在n 处的k 阶差分为： ))((1n k n k x x -??=? 2、差分算子 、不变算子、平移算子 记n n n n x Ix x Ex ==+,1，称E 为平移算子，I 为不变算子 。 则有：n n n n x I E Ix Ex x )(-=-=? I E -=?∴ 由上述关系可得： i n k i i k i k n i k i i k i k n k n k x C x E C x I E x +=-=-∑∑-=-=-=?00)1()1()( （1） 这表明n x 在n 处的k 阶差分由n x 在k n n n ++....1,，处的取值所线性决定。 反之， 由 n n n x x x -=?+1 得 n n n x x x ?+=+1： n n n n x x x x +-=?++1222，得：n n n n x x x x 2122?++-=++, 这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算。即一个数列的任意一项都可以用其前面的k 项和包括这项在内的k+1 项增量的增量的增量……..第k 层增量所构成。 …….. ,)1(1 0k n i n k i i k i k n k x x C x ++-=-+-=?∑得： n k i n k i i k i k k n x x C x ?+--=+-=-+∑1 0)1( （2）

二四阶拟线性椭圆方程组的弱解存在性

摘要利用变分方法，讨论了二四阶拟线性椭圆方程组对更一般的f、g在较弱的条件下获得弱解的存在性。 关键词拟线性椭圆方程组变分法弱解 Existence of the Weak Solution for Second and Fourth-Order Quasilinear Elliptic Equations／／ＤｉＦａｎｇ AbstractＵｓｉｎｇｔｈｅｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｄｉｓｃｕｓｓｅｄｔｈｅｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｓｅｃｏｎｄａｎｄｆｏｕｒｔｈ－ｏｒｄｅｒｑｕａｓｉｌｉｎｅａｒｅｌｌｉｐｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓｔｏｍｏｒｅｇｅｎｅｒａｌｆ，ｇｕｎｄｅｒｔｈｅｗｅａｋｅｒｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Key wordsｔｈｅｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄ；ｃａｌｃｕｌｕｓｏｆｖａｒｉａｔｉｏｎｓ；ｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎ Author＇s addressＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＲｅｓｅａｒｃｈＣｅｎｔｅｒ，ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳａｎ－Ｊｉａｎｇ，２１００１２，Ｎａｎｊｉｎｇ，Ｊｉａｎｇｓｕ，Ｃｈｉｎａ １引言 设Ω为Ｒｎ的有界开子集，本文考虑二四阶拟线性椭圆方程组问题。 －ｄｉｖ（ｇ １ （｜荦ｕ｜２）荦ｕ）＝ｆ（ｘ，ｕ，ｖ）在Ω中 △（ｇ ２ （（△ｕ）２）△ｕ）＝ｇ（ｘ，ｕ，ｖ）在Ω中 ｕ｜ 坠Ω＝ｖ｜ 坠Ω ＝△ｖ｜ 坠Ω ＝ 荦荦荦荦荦荦荦荦荦 荦荦荦荦０ （１．１） 本文的目的是用变分方法，研究二四阶拟线性椭圆方程组问题（１．１）对更一般的函数ｆ、ｇ，在较弱的条件下获得弱解的存在性。 ２基本引理 设Ω奂Ｒｎ为有界开子集。又设Ｈ：Ω×Ｒ→Ｒ为ｃ１类的，（Ｈｕ，Ｈｖ）＝（ｆ，ｇ）且ｆ，ｇ：Ω×Ｒ→Ｒ为Ｃａｒａｔｈｅｏｄｏｒｙ函数，且满足下列条件： （ｉ）存在ａ，ｂ≥０和ｆ１，ｇ１缀Ｌｑ（Ω）使 ｜ｆ（ｘ，ｓ，ｔ）｜≤ａ（｜ｓ｜２＋｜ｔ｜２）ｒ／２＋ｆ１（ｘ），｜ｇ（ｘ，ｓ，ｔ）｜≤ｂ（｜ｓ｜２＋｜ｔ｜２）ｒ／２＋ｇ１（ｘ），ａ．ｅ．ｘ缀Ω，坌ｓ缀Ｒ，这里１≤ｒ＜（ｎ＋２）／（ｎ－２）（ｎ≥３），ｐ＝ｒ＋１和１／ｐ＋１／ｑ＝１。 （ｉｉ）存在λ缀Ｌ∞（Ω）使 ｌｉｍｓｕｐ｜μ｜→∞２Ｆ（ｘ，ｕ，ｖ） ｕ＋｜ｖ｜ ≤λ（ｘ）， ａ．ｅ．ｘ缀Ω，这里Ｆ（ｘ，ｕ）＝ ｕ ０ 乙ｆ（ｘ，ｓ）ｄｓ 设ｇ１，ｇ２缀Ｃ（Ｒ，Ｒ），为连续的非减函数。又设ｇ１和ｇ２满足下列条件： （ｉｉｉ）存在α１，α２，β１和β２缀Ｒ使 ０＜α１≤ｇ１（ｔ）≤β１，０＜α２≤ｇ２（ｔ）≤β２ 在上述条件下，通过方法我们给出问题（１．１）的弱解的存在性定理。 给定的开集Ω奂Ｒｎ。设Ｖ表示Ｈｉｌｂｅｒｔ空间Ｈ１ ０ （Ω）×Ｈ（Ω） ∩Ｈ１ ０ （Ω），Ｖ上的范数定义为 ｜｜（ｕ，ｖ）｜｜２＝ Ω 乙｜荦ｕ｜２＋（△ｖ）２ 乙乙ｄｘ（２．１） 设λｋ（ｋ＝１，２，…）表示为特征值问题 △ｕ＋λｕ＝０在Ω中， ｕ｜ 坠Ω ＝ 乙 ０ （２．２）的特征值，准ｋ（ｋ＝１，２，…）为相应的特征函数（关于Ｌ２（Ｄ）的内积适当规范化）。其中每一特征值λｋ依重数重复计数，且０＜λ１＜λ２≤λ３≤…，λｋ→∞，φ１（ｘ）＞０，ｘ缀Ω。 △２ｕ＝μｕ在Ω中， ｕ｜ 坠Ω ＝△ｕ｜ 坠Ω ＝ 乙 ０ （２．３） 有无穷多特征值μ ｋ ＝λ２ ｋ ，ｋ＝１，２，…， 对应特征函数准ｋ（ｘ）． ｛准ｋ｝构成Ｖ的一组正交基，因此，Ｖ的元素（ｕ，ｖ）能表成 ｕ＝ ∞ ｋ＝１ Σａｋ准ｋ，ｖ＝∞ ｋ＝１ Σｂｋφｋ，∞ ｋ＝１ Σａ２ｋ＜∞，∞ ｋ＝１ Σｂ２ｋ＜∞，（２．４）用Ｖ＇表示Ｖ的对偶空间，＜，＞表示Ｖ＇与Ｖ之间的对偶积。 定义映像Ｂｇ：Ｖ→Ｖ＇为 ＜Ｂ ｇ （ｕ，ｖ），（准，ψ）＞＝ Ω 乙［ｇ１（｜荦ｕ｜２）荦ｕ荦准＋ｇ２（（△ｖ）２）△ｕ△ψ］ｄｘ（２．５）坌（ｕ，ｖ），（准，ψ）缀Ｖ． 定义２．１．称ｕ缀Ｖ为问题（１．１）的弱正解，如果下列等式成立 ＜Ｂ ｇ （ｕ，ｖ），（准，ψ）＞＝ Ω 乙［ｆ（ｘ，ｕ，ｖ）准＋ｇ（ｘ，ｕ，ｖ）ψ］ｄｘ（２．６）坌（准，ψ）缀Ｖ． 下面是本文得到的主要结果： 定理２．１．设α１≤α２，又设（ｉ），（ｉｉ）和（ｉｉｉ）成立．假定在Ω上λ（ｘ）≤α１λ１（１＋λ１），在Ω的正测子集上λ（ｘ）＜α１λ１（１＋λ１）．则问题（１．１）至少有一个弱解。 定理２．２，设α１≥α２又设（ｉ），（ｉｉ）和（ｉｉｉ）成立．假定在Ω上λ（ｘ）≤α２λ１（１＋λ１），在Ω的正测子集上λ（ｘ）＜α２λ１（１＋λ１）．则问题（１．１）至少有一个弱解。 ３定理的证明 设Ω奂Ｒｎ为有界开子集，设Ｖ＝Ｈ１ ０ （Ω）×Ｈ（Ω）∩Ｈ１ ０ （Ω）。 中图分类号：Ｏ１３文献标识码：Ａ文章编号：１６７２－７８９４（２０１２）３３－０１００－０２１００

差分方程的解法

第三节 差分方程常用解法与性质分析 1、常系数线性差分方程的解 方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （ 8） 其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。 又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （9） 为方程（8）对应的齐次方程。 如果（9）有形如 n n x λ=的解，带入方程中可得： 0 ...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （10） 称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。 显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。 基本结果如下： （1） 若（10）有k 个不同的实根，则（9）有通解： n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211， （2） 若（10）有m 重根λ，则通解中有构成项： n m m n c n c c λ )...(121----+++

（3）若（10）有一对单复根 βαλi ±=，令：?ρλi e ±=， αβ?βαρarctan ,22=+=，则（9）的通解中有构成项： n c n c n n ?ρ?ρsin cos 21--+ （4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（9）的通项中有成 项： n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ?ρ?ρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++ 综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：-n x 如果能得到方程（8）的一个特解：*n x ，则（8）必有通解： =n x -n x +* n x （11） （1） 的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的多项式，则当b 不是特征 根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为m 次多项式；如 果b 是r 重根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（8）中确定出系 数即可。

椭圆型方程的有限元法

两点边值问题有限元法（必做） 从Galerkin 原理出发用线性元解两点边值问题： "2,01(0)(1)0u u x x u u ?-+=<

非线性发展方程及其应用

非线性发展方程及其应用 成果简介 本项目是非线性科学中的一个重要的研究方向，共研究的对象是来源于化学反应、微电子学、生物学等领域中用非线性偏微方程描述的动力学模型。因此，它具有交叉学科的特征。所获得的成果不仅为有关学科提供了定量分析的理论依据，而且也能为研究非线性偏微分方程带来新的研究思路和新的研究课题。 1．首次借助于构造适当的上、下控制函数、利用有界边值问题逼近方法，解决了Belensov-Zhabotinskii化学反应模型波前解的存在性，并给出子最小波速的值；同时还给出了一种求解显示行波解的方法。 2．利用摄动初值问题逼近、相空间的打靶法与变分思想，解决了退化的反应扩散方程行波解的存在性，并给出了最小波速的变分刻划和估计； 3．对带有非线性非局部项和非线性边界条件的抛物型方程和方程组的研究，主要利用上、下解方法。但是，上、下解的构造却有很大的灵活性和很高的技巧。我们首次借助于研究非负矩阵的性质，得到了方程组整体解存在的充分必要条件；首次通过构造在有限时刻爆破的精细上解和解的逐次延拓方法研究了解的整体存在性。同时，我们发表在美国数学会会刊上的一篇论文，还否定了Wolainskii于93年发表在SIAM J. Math. Anal.上的一个工作。发表在JMAA上的两篇论文，成功地解决了在边界上带有非线性强迫外力的非线性对流扩散问题。 4．反应扩散方程研究领域的一个基本问题是：扩散是否会引起爆破？多数人认为扩散不会引起爆破且是一个显而易见的问题，不须证明。但是数学结果

总是要证明的，有一部分人就致力于证明，给出了该结论成立的各式各样的充分条件。我们于96年发表在JMAA上的一篇论文给出了一个反例，说明扩散会引起爆破，彻底澄清了这个问题。 5．当反应扩散方程中反应项较扩散项占优时，利用经典有限元、有限差分或有限箱法离散时，解会出现数值振荡，常用的抑制振荡的方法有：S-G方法，SUPG方法等，但都存在局限性。我们从变分原理出发要求振荡最小，建立了新的离散数值理论； 6．半导体器件的漂移扩散模型是一个特殊形式，由非线性抛物型与椭圆型方程耦合起来的，反应扩散方程组，带有混合形式边界条件，特别是载流子又有不同的产生一复合过程，再加上热效应和磁场影响，难度大。我们建立了基于紧致性原理的正则化的统一框架。 该成果获江苏省科技进步二等奖。 非线性统计模型与非线性诊断方法 成果简介 本系统地研究了近代非线性回归模型的几何理论和渐近推断理论，把微分几何方法应用于非线性回归分析；系统地研究了具有广泛应用价值的指数族非线性模型，建立了该模型的几何结构，在此基础上，研究了这些模型基于统计曲率的渐近推断理论以及统计诊断的非线性方法；这些研究填补了国内空白，在国内外都有一定影响。近10年来共获得 3 项国家自然科学基金，1项 95 重点基金，2 项江苏省自然科学基金；出版专著2本，发表论文50多篇,其中国外14 篇，

差分方程的解法

1、常系数线性差分方程的解 方程 a 0x n k a 1x n k 1 ... a k x n b(n) 其中 a 0 , a 1,..., a k 为常数，称方程（ 8）为常系数线性方程。 又称方程 a 0x n k a 1x n k 1 ... a k x n 为方程（ 8）对应的齐次方程。 第三节 差分方程常用解法与性质分析 9） n 如果（ 9）有形如 x n 的解， 带入方程中可得： k k 1 a 0 a 1 ... a k 1 a k 0 10) 称方程（ 10）为方程（ 8）、 9）的特征方程。

n n n c 1 1 c 2 2 ... c k k ， 若（10） 有 m 重根 ，则通解中有构成项： (c 1 m 1 n c 2 n ... c m n ) 显然， 如果能求出（ 10）的根，则可以得到（ 9）的解。 基本结果如下： 1） 若（10） 有 k 个不同的实根，则（ 9）有通解：

（3）若（10）有一对单复根 综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：X n 如果能得到方程（8）的一个特解：X n ，则（8）必有通解: * X n X n + 焉 （11） （1）的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果b （n ）bk m （n ）, pMn ）为门的多项式，则当b 不是特征 根 时，可设成形如 bq m （n ） 形式的特解，其中 q m （n ） 为m 次多项式；如 果b 是 r 重根时，可设特解：b n n r q m （n ） ，将其代入（8）中确定出系 数即可。 arcta n — ，则(9) 的通解中有构成项: C l n . cos n C 2 sin （4）若有 m 重复根: i e ，则 （9）的通项中有成 项: cos n (C m 1 C m 2 n m 1 、 n ? c 2m n ) sin n

椭圆方程数值解

j. 椭圆方程数值解法 本章考虑椭圆微分方程数值解法。首先以二维二阶椭圆方程为例，给出矩形网和三角网上的差分法。然后以一维二阶椭圆方程为例，简要描述有限元法的基本思想。 J.1 矩形网上差分方程 考虑二维区域（区域=连通的开集）G 上的二阶椭圆型偏微分方程第一边值问题 （j.1） ()()() ,,,xx yy x y u u Cu Du Eu F x y u x y x y αΓ?--+++=∈?? =??G 其中C ,E D ,是常数；0≥E ；()()G C 0,∈=y x F F ；(,)x y α是给定的光滑函数； Γ是G 的边界；G =ΓG 。假设（J.1）存在光滑的唯一解。 考虑一种简单情形，即求解区域G 是矩形区域，并且其四个边与相应坐标轴平行。令1h 和2h 分别为x 和y 方向的步长，用平行于坐标轴的直线段分割区域 G ，构造矩形网格： h G 为网格内点节点集合，h Γ为网格边界节点集合，=h G h G h Γ。 对于内点()j i y x ,h G ∈，用如下的差分方程逼近微分方程（J.1）： (J.2) 1,1,,1,1 1,1,,1,1 2 2 212 1 2 2222i j ij i j i j ij i j i j i j i j i j ij ij u u u u u u u u u u C D Eu F h h h h +++-+-+--+-+--- - +++=其中),(j i ij y x F F =。（J.2）通常称为五点差分格式。 方程（J.2）可以整理改写为 （J.3） j i a ,1-j i u ,1-+j i a ,1+j i u ,1++1,-j i a 1,-j i u +1,+j i a 1,+j i u +j i a ,j i u ,ij F = 对每一内点()j i y x ,都可以列出这样一个方程。方程中遇到边界点时，注意到边界点上函数值u 已知，将相应的项挪到右端去。最后得到以u 的内点近似值为未知数的线性方程组。这个方程组是稀疏的，并且当1h 和2h 足够小时是对角占优的。

第四章 差分方程方法

第四章 差分方程方法 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 下面就不同类型的差分方程进行讨论。所谓的差分方程是指：对于一个数列{}n x ，把数列中的前1+n 项()n i x i ,2,1,0=关联起来所得到的方程。 4．1常系数线性差分方程 4.1.1 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=+?+++---k n k n n n x a x a x a x (4.1) 其中k 为差分方程的阶数，()k i a i ,,2,1 =为差分方程的系数，且()n k a k ≤≠0。对应的代数方程 02211=++++--k k k k a a a λλλ （4.2） 称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。 1. 特征根为单根 设差分方程（4.1）有k 个单特征根 k λλλλ,,,,321 ，则差分方程（4.1）的通解为 n k k n n n c c c x λλλ+++= 2211， 其中k c c c ,,,21 为任意常数，且当给定初始条件 ()0i i x x = ()k i ,,2,1 = (4.3) 时，可以惟一确定一个特解。 2. 特征根为重根 设差分方程（4.1）有l 个相异的特征根()k l l ≤≤1,,,,321λλλλ ，重数分别为 l m m m ,,,21 且k m l i i =∑=1 则差分方程（4.1）的通解为

差分方程的解法

差分方程常用解法 1、 常系数线性差分方程的解 方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （1） 其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（1）为常系数线性方程。 又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （2） 为方程（1）对应的齐次方程。 如果（2）有形如n n x λ=的解，代入方程中可得： 0...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （3） 称方程（3）为方程（1）、（2）的特征方程。 显然，如果能求出方程（3）的根，则可以得到方程（2）的解。 基本结果如下： （1） 若（3）有k 个不同的实根，则（2）有通解： n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211， （2） 若（3）有m 重根λ(即m 个根均为λ)，则通解中有构成项： n m m n c n c c λ)...(121----+++

（3）若（3）有一对单复根 βαλi ±=，令：?ρλi e ±=， αβ ?βαρarctan ,22=+=，则（2）的通解中有构成项： n c n c n n ?ρ?ρsin cos 21- -+ （4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（2）的通项中有构 成项: n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ?ρ?ρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++ 综上所述，由于方程（3）恰有k 个根，从而构成方程（2）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：-n x 如果能得到方程（1）的一个特解：*n x ，则（1）必有通解： =n x -n x +* n x （4） 方程（4） 的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的m 次多项式，则当b 不是特征根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为n 的m 次多 项式；如果b 是r 重特征根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（1） 中确定出系数即可。

椭圆型偏微分方程边值问题的一种数值解

椭圆型偏微分方程边值问题的一种数值解 为了解不规则区域上的椭圆型偏微分方程边值问题, 首先要对区域进行剖分，这样做使得在整个解题过程中进行了两次边值问题的求解。在学习中得到启发看到了一个方法，它将区域剖分的问题及求解的问题结合起来进行, 使整个求解过程得到简化这个方法求得的是未知函数的一组等值线,这在某些物理问题中是方便的。 （1） 其中Ω是区域；Γ1、Γ2、Γ3、Γ4Ω的边界。且Γ1、Γ3相对，Γ2、Γ4相对。公式的系数分别是Ω上的连续函数。φ1φ2是单调函数但可以不连续。u 0，u n 是常数。又设d>0,c<=0,u n >u 0.特殊的，Γ1、Γ2、Γ3、Γ4中至多有两个可以退化为一点。为了求解上式，引入辅助问题 （2） 00:;m m v v v v <其中、是常数且 34??、是单调函数, 也可以不连续，034m v v ??、、、可按解题方便 来选取作变换 (3) 变换（3）区域Ω变为Ω`由椭圆型方程的性质可见(3)是可逆的。设（3）的逆变换 是

（4） 变换（3）将（1）（2）中的方程变为 （5） （6）其中： ，易见仍有即式（3）和（6）是 一个拟线性椭圆型方程组。设曲线的几何方程分别是 解下面四组联立方程 并分别记它们的解为 于是（3）将（1）（2）、中的边界条件变为 （7）现将方程（5）（6）加上边界条件（7）称为问题（1`）向题(1`), 虽然方程复杂, 但定解区域是矩形,用差分法离散, 迭代法求解是很方便的。(1`) 的解形如(4).将u 视为常数, v是参数, (4)就是u的等值线的参数方程。

参考文献 1、刘家琦。应用求解拉普拉斯方程的边值问题建立有限元网格。计算数学 1988，5（1）：1~9 2、李子才。具有奇点的Laplace方程边值问题的原始能量有限元结合法。计算数学，1980，2（4）：319~328