图形在坐标中的平移知识讲解

图形在坐标中的平移知识讲解

(总5页)

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除

图形在坐标中的平移（提高）知识讲解

【学习目标】

1. 能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换.

2. 运用点的坐标的变化规律来进行简单的平移作图.

【要点梳理】

要点一、点在用坐标中的平移

在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．

要点诠释：

（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；

（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；

（3）在坐标系内，平移点的坐标规律：沿x轴方向平移纵坐标不变,沿y轴方向平移横坐标不变．

要点二、图形在坐标中的平移

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．

要点诠释：

（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．

（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.

【典型例题】

类型一、点在用坐标中的平移

1．（2016•藁城区校级模拟）在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′，若点A′位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（）

A．m＜0，n＞0 B．m＜1，n＞﹣2 C．m＜0，n＜﹣2 D．m＜﹣2，m＞﹣4

【思路点拨】根据点的平移规律可得向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到（m﹣1+3，n+2+2），再根据第二象限内点的坐标符号可得．

【答案与解析】

解：点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点A′（m+2，

n+4），

∵点A′位于第二象限，

∴，解得：m＜﹣2，n＞﹣4，故选D．

【总结升华】此题主要考查了点的坐标平移规律，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．

2. 如果将点P（3，4）沿x轴方向平移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位后的坐标是_______．

【答案】（1,1）或（5，1）

【解析】

解：直接利用平移中点的变化规律求解即可．由点P的平移规律可知，此题规律是（x-2，y-3），或（x+2,y-3）

照此规律计算可知平移后的点的坐标是（1，1）或（5,1）．

故答案填：（1，1）或（5,1）．

【总结升华】本题考查图形的平移变换．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．

平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

举一反三：

【变式】将点M向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到M′（-2，-3），则点M的坐标是_______．

【答案】（1，-1）．

类型二、图形在坐标中的平移

3.（2014•钦州）如图，△A′B′C′是△ABC经过某种变换后得到的图形，如果△ABC中有一点P的坐标为（a，2），那么变换后它的对应点Q的坐标为．

【思路点拨】根据对应点A、A′的坐标确定出平移规律为向右5个单位，向下4个单位，然后写出点Q的坐标即可．

【答案】（a+5，﹣2）．

【解析】解：由图可知，A（﹣4，3），A′（1，﹣1），

所以，平移规律为向右5个单位，向下4个单位，

∵P（a，2），

∴对应点Q的坐标为（a+5，﹣2）．

故答案为：（a+5，﹣2）．

【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，观察图形得到变化规律是解题的关键．

举一反三：

【变式】（2015•济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的对应点A1的坐标为（）

A.（4，3）

B.（2，4）

C.（3，1）

D.（2，5）

【答案】D．

解：由坐标系可得A（﹣2，6），将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，点A的对应点A1的坐标为（﹣2+4，6﹣1），

即（2，5），故选：D．

类型三、综合应用

【高清课堂：第一讲平面直角坐标系2 369935练习3】

4.在A市北300km处有B市，以A市为原点，东西方向的直线为x轴，南北方向的直线为y轴，并以50km为1个单位建立平面直角坐标系．根据气象台预报，今年7号台风中心位置现在C(10，6)处，并以40千米/时的速度自东向西移动，台风影响范围半径为200km，问经几小时后，B市将受到台风影响并画出示意图．

【思路点拨】当台风中心移动到距B点200千米时，B市将受到台风影响，从而求出台风中心的移动距离，除以速度，即可求出所需时间．

【答案与解析】

解：∵台风影响范围半径为200km，

∴当台风中心移动到点（4，6）时，B市将受到台风的影响．

所用的时间为：50×（10-4）÷40=（小时）．

所以经过小时后，B市将受到台风的影响．

（注：图中的单位1表示50km）

【总结升华】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．

举一反三：

【变式】一长方形住宅小区长400m，宽300m，以长方形的对角线的交点为原点，过原点和较长边平行的直线为x轴，和较短边平行的直线为y轴，并取

50m为1个单位．住宅小区内和附近有5处违章建筑，它们分别是A(3，3．5)，B(－2，2)，C(0，3．5)，D(－3，2)，E(－4，4)．在坐标系中标出这些违章建筑位置，并说明哪些在小区内，哪些不在小区内．

【答案】解：如图，

在小区内的违章建筑有B、D；不在小区内的违章建筑有A、E、C.

坐标系与形的平移

坐标系与形的平移 平移是几何学中常见的变换方式之一，它可以描述一个图形在平面 上沿着一定方向移动的过程。与之密切相关的是坐标系，它是描述平 面上点位置的一种方式。本文将重点讨论坐标系与形的平移之间的关系，以及如何进行平移操作。 一、坐标系的概念与表示方法 在平面几何中，为了确切描述点的位置，我们需要引入坐标系。坐 标系由两条相互垂直的线，即x轴和y轴组成。通过设定原点和单位 长度，我们可以根据点在x轴和y轴上的位置来确定其坐标。以直角 坐标系为例，点的坐标通常表示为(x, y)的形式。 二、形的平移 形的平移是指图形按照一定距离和方向在平面上移动，保持图形内 部结构不变的过程。平移的关键是平移向量，它描述了平移的方向和 距离。设平移向量为(a, b)，若点P(x, y)平移后的位置为P'(x', y')，则有：x' = x + a y' = y + b 三、平移的性质 1. 平移不改变图形的大小、形状和内部角度。 2. 平移前后的图形对应点之间的距离不变。

3. 平移具有可逆性，即一个图形经过平移后，可以再次回到原来的 位置。 四、常见平移方式 1. 水平平移：在直角坐标系中，若平移向量为(a, 0)，表示图形在x 轴方向上移动a个单位长度。 2. 垂直平移：在直角坐标系中，若平移向量为(0, b)，表示图形在y 轴方向上移动b个单位长度。 3. 斜线平移：在直角坐标系中，若平移向量为(a, b)，表示图形在斜 线方向上同时按照a和b的距离进行平移。 五、平移操作的步骤 进行图形平移操作时，可以按照以下步骤进行： 1. 确定平移向量，即平移的方向和距离。 2. 对于图形中的每个点，根据平移向量的坐标变换公式计算新位置。 3. 连接新位置的点，得到平移后的新图形。 六、应用举例 下面通过一个具体的例子来说明坐标系与形的平移的关系。 假设有一个正方形，其顶点坐标依次为A(1, 1)，B(1, 3)，C(3, 3)， D(3, 1)。现在我们希望将该正方形沿x轴方向平移4个单位长度，即(a, 0) = (4, 0)。

坐标平面内图形的轴对称和平移(基础) 知识讲解

坐标平面内图形的轴对称和平移（基础） 【学习目标】 1.能在同一直角坐标系中，感受图形经轴对称后点的坐标的变化. 2.掌握左右、上下平移点的坐标规律. 【要点梳理】 要点一、关于坐标轴对称点的坐标特征 1.关于坐标轴对称的点的坐标特征 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)． 2.象限的角平分线上点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)． 3.平行于坐标轴的直线上的点 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y轴的直线上的点的横坐标相同. 要点二、用坐标表示平移 1.点的平移： 在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)． 要点诠释： （1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减； （2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减； （3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移： 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 要点诠释： （1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决． （2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化. 【典型例题】 类型一、用坐标表示轴对称 1．已知点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），则b a的值为_______. 【思路点拨】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a＋b ＝－3，1－b＝－1，再解方程可得a、b的值，进而算出b a的值． 【答案】25 【解析】

图形在坐标中的平移(基础)知识讲解

图形在坐标中的平移（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换. 2. 运用点的坐标的变化规律来进行简单的平移作图. 【要点梳理】 要点一、点在坐标中的平移 在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)． 要点诠释： （1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减； （2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减； （3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．要点二、图形在坐标中的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 要点诠释： （1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决． （2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化. 【典型例题】 类型一、点在坐标中的平移 1．写出下列各点平移后的点的坐标： （1）将A（-3，2）向右平移3个单位； （2）将B（1，-2）向左平移3个单位； （3）将C（4，7）向上平移2个单位； （4）将D（-1，2）向下平移1个单位． （5）将E（2，-3）先向右平移1个单位，再向下平移1个单位． 【思路点拨】根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．即可得出平移后点的坐标． 【答案与解析】 解：由题意可得： （1）平移后点的坐标为：（0，2）； （2）平移后点的坐标为：（-2，-2）； （3）平移后点的坐标为：（4，9）； （4）平移后点的坐标为：（-1，1）； （6）平移后点的坐标为：（3，-4）． 【总结升华】本题考查了点的平移及平移特征，掌握平移中点的变化规律是关键．

坐标轴平移公式口诀讲解

坐标轴平移公式口诀讲解 在数学中，坐标轴平移是一种常见的操作。通过平移，我们可以将一个点或者一组点沿着坐标轴的方向进行移动，从而改变它们的位置。为了方便计算和描述，数学家们总结出了一套简洁的坐标轴平移公式口诀，下面我们就来详细讲解一下。 我们需要了解一些基本概念。在二维坐标系中，我们用x轴和y轴来表示平面上的点。每个点都可以表示为一个有序对(x, y)，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。而坐标轴平移就是将点沿着x轴或y轴的方向进行移动，改变它们的位置。 接下来，让我们来介绍一下坐标轴平移的具体公式口诀。 1. 沿x轴正方向平移a个单位： 对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x+a, y)。 2. 沿x轴负方向平移a个单位： 对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x-a, y)。 3. 沿y轴正方向平移b个单位： 对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x, y+b)。 4. 沿y轴负方向平移b个单位： 对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x, y-b)。

通过上面的四条公式，我们可以实现在二维坐标系中沿着x轴和y 轴进行平移。这些公式口诀非常简洁明了，方便我们进行计算和描述。 除了以上的基本平移方式，我们还可以进行组合和连续的平移操作。下面我们分别来介绍一下。 1. 组合平移： 如果我们需要先沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移b个单位，可以使用以下公式口诀： 对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x+a, y+b)。 这样就实现了在二维平面上的组合平移。 2. 连续平移： 如果我们需要对同一个点进行多次平移操作，可以使用以下公式口诀： 对于点(x, y)，先沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移b个单位，平移后的点坐标为(x+a, y+b)。 这样就实现了在二维平面上的连续平移。 通过上面的介绍，我们可以看到坐标轴平移公式口诀非常简单易懂，方便我们进行计算和描述。在实际应用中，我们可以通过这些公式来解决一些平移相关的问题，比如求解平面上两点之间的距离、求解平面上某点的对称点等等。

图形在直角坐标系中平移

图形在直角坐标系中平移 平移是图形变换的一种，在日常生活中有着广泛的运用，不仅如此，图形还可以在平面直角坐标系中任意变换，下面以图形在直角坐标系中平移，举例说明. 一、点平移 例1将点(1，2)向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到对应点的坐标是＿＿＿. 解析向左平移1个单位，横坐标减1单位，向下平移2个单位，纵坐标减2单位，于是点(1，2)则变为(0，0). 二、线段的平移 例2如图，在平面直角坐标系中，线段A1B1是由线段AB平移得到的，已知A，B两点的坐标分别为A(－2，3)，B(－3，1)，若A1的坐标为(3，4)，则B1的坐标为＿＿＿. 解析比较点A(－2，3)与A1(3，4)，我们可以发现横坐标增加了5，即表明点A向右平移了5个单位，纵坐标增加了1，即表明点B向上平移了1个单位，由此，根据线段的平移原理知道，线段A1B1是由线段AB向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到的，所以点B1的坐标为(－3+5，1+1)，即B1(2，2). 三、图形的一次平移 例3已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC向右平移6个单位，则平移后A点的坐标是（） A.(－2，1) B.(2，1) C.(2，－1) D.(－2，－1)

解析 △ABC 经过向右平移6个单位长度，则点A (－4，1)同样向右平移6个单位长度，所以平移后A 点的坐标是(2，1).所以应选B . 四、图形的多次平移 例4（青岛市）如图，把图①中的△ABC 经过一定的变换得到图②中的△A ′B ′C ′，如果图①中△ABC 上点P 的坐标为(a ，b )，那么这个点在图②中的对应点P ′的坐标为（ ） A.(a －2 ，b +3) 解析 观察图形可知，△ABC 经过向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到△A ′B ′C ′，所以点P ′的坐标为(a +2，b +3).所以应选D . 下面几道题目供同学们自己练习： 1.在直角坐标系中，将点P (3，6)向左平移4个单位长度，再向下平移8个单位长度后，得到的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.如图，已知△ABC 的顶点B 的坐标是(2，1)，将△ABC 向左平移两个单位后，点B 平移到B 1，则点B 1的坐标是（ ） A.(4，1) B.(0，1) C.(－1，1) D.(1，0) 3.如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（ ）

图形在坐标系中的平移重难点题型

图形在坐标系中的平移-重难点题型 【北师大版】 【知识点1 点在坐标系中的平移】 平面直角坐标内点的平移规律，设a >0，b >0 （1）一次平移：P （x ，y ） P '（x ＋a ，y ） P （x ，y ） P '（x ，y －b ） （2）二次平移： 【题型1 点在坐标系中的平移】 【例1】（2021春•开福区校级期中）在平面直角坐标系中，将点A （x ，y ）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B （﹣3，2）重合，则点A 的坐标是（ ） A ．（2，5） B ．（0，﹣3） C ．（﹣2，5） D ．（5，﹣3） 【变式1-1】（2021春•重庆期中）在平面直角坐标系中，点A （m ，n ）经过平移后得到的对应点A ′（m +3，n ﹣4）在第二象限，则点A 所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【变式1-2】（2021春•江夏区期末）已知△ABC 内任意一点P （a ，b ）经过平移后对应点P 1（a +2，b ﹣6），如果点A 在经过此次平移后对应点A 1（4，﹣3），则A 点坐标为（ ） A ．（6，﹣1） B ．（2，﹣6） C ．（﹣9，6） D ．（2，3） 【变式1-3】（2021春•新罗区期末）在平面直角坐标系中，将A （n 2，1）沿着x 的正方向向右平移3+n 2个单位后得到B 点．有四个点M （﹣2n 2，1）、N （3n 2，1）、P （n 2，n 2+4）、Q （n 2+1，1），一定在线段AB 上的是（ ） A ．点M B ．点Q C ．点P D ．点N 【知识点2 图形在坐标系中的平移】 P （x ，y ） P （x － a ，y ＋b ） 向左平移a 个单位 再向上平移b 个单 向下平移b 个单位 向右平移a 个单位

解析几何中的坐标轴旋转与平移操作

解析几何中的坐标轴旋转与平移操作 在解析几何中，坐标轴旋转与平移操作是非常常见且重要的操作。通过对坐标轴进行旋转和平移，我们可以方便地研究图形的性质和变化，从而解决许多几何问题。本文将对坐标轴的旋转和平移进行详细解析，帮助读者更好地理解和应用这些操作。 一、坐标轴的旋转操作 坐标轴的旋转操作是指将坐标轴按照一定的角度旋转，从而改变坐标系的方向和位置。通过旋转操作，我们可以将几何问题转化为更简单的形式，使得计算和分析更加方便。 1. 二维平面坐标轴的旋转 在二维平面中，我们通常使用x轴和y轴构成的直角坐标系来描述点的位置。当我们需要对坐标轴进行旋转时，可以按照以下步骤进行操作： （1）确定旋转中心：旋转中心是指坐标轴旋转的中心点，可以是原点或者其他点。 （2）确定旋转角度：旋转角度决定了坐标轴旋转的程度，可以是正数表示逆时针旋转，负数表示顺时针旋转。 （3）应用旋转矩阵：根据旋转中心和旋转角度，应用旋转矩阵对坐标轴进行旋转。旋转矩阵的具体形式如下： | cosθ -sinθ | | sinθ cosθ | 其中，θ表示旋转角度。 2. 三维空间坐标轴的旋转

在三维空间中，我们通常使用x轴、y轴和z轴构成的直角坐标系来描述点的位置。当我们需要对坐标轴进行旋转时，可以按照以下步骤进行操作：（1）确定旋转中心：旋转中心是指坐标轴旋转的中心点，可以是原点或者其他点。 （2）确定旋转轴：旋转轴是指坐标轴旋转的轴线，可以是x轴、y轴、z轴或者其他直线。 （3）确定旋转角度：旋转角度决定了坐标轴旋转的程度，可以是正数表示逆时针旋转，负数表示顺时针旋转。 （4）应用旋转矩阵：根据旋转中心、旋转轴和旋转角度，应用旋转矩阵对坐标轴进行旋转。旋转矩阵的具体形式与二维平面类似，根据旋转轴的不同而有所区别。 二、坐标轴的平移操作 坐标轴的平移操作是指将坐标轴沿着某个方向进行平移，从而改变坐标系的位置。通过平移操作，我们可以将几何问题转化为更方便计算和分析的形式。 1. 二维平面坐标轴的平移 在二维平面中，我们可以将x轴和y轴进行平移，使得坐标轴的原点移动到其他位置。平移操作可以按照以下步骤进行： （1）确定平移向量：平移向量是指坐标轴平移的方向和距离，可以用一个二维向量表示。 （2）应用平移向量：根据平移向量的值，将x轴和y轴分别平移，从而改变坐标轴的位置。 2. 三维空间坐标轴的平移

平移、旋转与平面直角坐标系

平移与旋转 一、知识点 1、平移 1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 2）性质：①对应点所连的线段平行且相等。 ②对应线段平行且相等，对应角相等。 ③平移不改变图形的形状和大小。 决定平移的三大要素：原始位置、平移方向与平移距离。 2、旋转 1）定义：在平面内，将一个图形围绕某个点顺时针或逆时针移动一定的角度，这样的图形 运动称为旋转。 2）性质：①经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度。任意 一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转角彼此相等。 ②对应点到旋转中心的距离相等。 ③旋转不改变图形的形状和大小。 决定旋转的三大要素：原始位置、旋转中心与旋转角。 3、作图 一般作图题，在分析如何求作时，都要先假设已经把所求作的图形作出来，然后再根据性质，确定如何操作。 决定平移作图的三大要素：原始位置、平移方向与移动距离。 决定旋转作图的三大要素：原始位置、旋转中心与旋转角。 练习： 1、下列每组大写字母中，旋转180°和原来形状一样的是（ b ） A 、H I O E B 、H I O N C 、H I O U D 、H I O B 2、在括号内填上图形从甲到乙的变换关系： 3、钟表的秒针匀速旋转一周需要60秒．20秒内，分针旋转的角度是 2 。 4、下列图形中，不能由图形M 经过一次平移或旋转得到的是 c 。 （ ） 甲 乙 甲 乙 乙 甲 （ ） （ ） A B C D M

5、如图，当半径为30cm 的转动轮转过120︒角时，传送带上的 物体A 平移的距离为 cm 。 平面直角坐标系 一、知识点 1、有序数对 定义：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有 顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b ）。 2、平面直角坐标系 ①定义：平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴称为 x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y 轴或纵轴，习惯上取向上为 正方向。 理解：由数轴的表示引入，到两个数轴和有序数对。 ②三要素：正方向，两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点，单位长度。 ③点的坐标：我们用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标。表示方法为（a ，b ）。a 是点对应横轴上的数值，b 是点在纵轴上对应的数值。 ④象限：建立平面直角坐标系后，平面被坐标轴分成四部分，分别叫第一象限，第二象限， 第三象限和第四象限。 注意：坐标轴上的点不属于任何象限。 3、平面直角坐标系的应用 1）实际问题中如何建立平面直角坐标系：①选择坐标原点 ②确定正方向 ③明确单位长度 2）平面直角坐标系中图形变化与坐标的关系：①平移 ②放大 ③翻转（180°） 练习： 1、在平面直角坐标系中，点（2-，4）所在的象限是（ b ） Ａ、第一象限 Ｂ、第二象限 Ｃ、第三象限 Ｄ、第四象限 2、点P （ ）一定（ d ） A 、在第一，三象限 B 、在第一，四象限 C 、在x 轴的下方 D 、不在x 轴的下方 3、下列说法错误的是（ c ） Ａ、平行于x 轴的直线上的所有点的纵坐标相同 Ｂ、平行于y 轴的直线上的所有点的横坐标相同 Ｃ、若点P （a ，b ）在x 轴上，则0a = Ｄ、（3-，4）与（4，3-）表示两个不同的点 1,-y x

初一数学：图形平移及点的坐标变化汇总

中国专注k12在线教育的优质内容提供商 https://www.wendangku.net/doc/a719182652.html, 一、点的平移与点的坐标的变化 在平面直角坐标系内，将点()y x ,向右（或向左）平移a 个单位长度，可以得到对应点 ()y a x ,+（或()y a x ,-） ；将点()y x ,向上（或向下）平移a 个单位长度，可以得到对应点()a y x +,（或()a y x -,）。反之，亦成立。 二、图形的平移与点的坐标的变化 在平面直角坐标系内，如果一个图形的各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它的各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度。反之，亦成立。 平移中点的坐标的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减。反之，亦成立。根据此规律，可以求出平移后的点的坐标。 图形的平移只改变图形的位置（图形上所有点的坐标都要发生相应的变化），不改变图形的形状和大小。 例题1 在平面直角坐标系中，将点P （－2，1）向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P′的坐标是（ ） A. （2，4） B. （1，5） C. （1，－3） D. （－5，5） 解析：根据向右平移，横坐标加，向上平移，纵坐标加，求出点P′的坐标即可得解。 ∵点P （－2，0）向右平移3个单位长度， ∴点P′的横坐标为－2＋3＝1， ∵向上平移4个单位长度， ∴点P′的纵坐标为1＋4＝5， ∴点P′的坐标为（1，5）。 故选B 。 答案：B 点拨：本题考查了坐标与图形变化－平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键。 例题2 在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是A （－3，－2），B （1，2），将线段AB 平移后得到线段A′B′，若点A′坐标为（－2，2），则点B′的坐标为（ ） A. （2，6） B. （3，5） C. （6，2） D. （5，3）

有关点坐标平移知识点

点坐标平移是数学中的一个重要概念，它在计算机图形学、几何学和物理学等领域中被广泛应用。本文将以“点坐标平移”为主题，介绍点坐标平移的基本概念、计算 方法以及实际应用。 1. 什么是点坐标平移？ 在数学中，点坐标平移是指将一个点沿着指定的方向和距离进行移动。平移可以是向上、向下、向左或向右的移动，也可以是斜线方向的移动。点的平移通常是通过改变其坐标值来实现。 2. 点坐标平移的计算方法 点坐标平移的计算方法取决于平移的方向和距离。下面将介绍两种常见的点坐标平移计算方法。 2.1. 水平和垂直平移 当进行水平和垂直平移时，可以通过简单地在原始点的x和y坐标上加上平移的距离来实现。例如，将点P(x, y)沿水平方向平移d个单位，新的点的坐标将是P’(x+d, y)。同样，如果是垂直方向平移，新点的坐标将是P’(x, y+d)。 2.2. 斜线方向的平移 当进行斜线方向的平移时，可以通过使用三角函数来计算新点的坐标。假设点P(x, y)需要沿着一个角度为θ的方向平移d个单位，新点的x坐标可以通过公式x’ = x + d cos(θ)计算，而新点的y坐标可以通过公式y’ = y + d sin(θ)计算。这样，就可以得到平移后的新点的坐标。 3. 点坐标平移的实际应用 点坐标平移在许多领域中都有实际的应用。下面将介绍几个常见的应用情景。 3.1. 计算机图形学 在计算机图形学中，点坐标平移被广泛用于图像的变换和动画效果的实现。通过对图像中的点进行平移操作，可以实现图像的移动、旋转、缩放等效果，从而使图像具有更丰富的交互性和视觉效果。 3.2. 机器人路径规划 在机器人路径规划中，点坐标平移被用于计算机器人的运动轨迹。通过将机器人当前位置的点坐标进行平移，可以确定机器人下一步的移动位置，从而实现路径规划和避障等功能。

坐标与图形变化之平移(解析版)

专题27 坐标与图形变化之平移 1．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 顶点坐标分别是()3,5，()0,3B ，()2,0C ． (1)把ABC 平移，使得点A 平移到点O ，在所给的平面直角坐标系中作出OB C ''△． (2)求出点B ′的坐标和平移的距离． 【答案】(1)见解析 (2)()3,2B '--，34 【分析】（1）根据题意由()A 3,5平移到()0,0O 得知△ABC 向左平移3个单位，再向下平移5个单位，将,B C 按照此平移方式进行平移即可求解． （2）根据平移方式或坐标系写出点的坐标，根据勾股定理求得平移距离． （1） 解：如图为所作的OB C ''△；

（2） 由()A 3,5平移到()0,0O 得知△ABC 向左平移3个单位，再向下平移5个单位， 所以()3,2B '--； 平移距离为223534+=． 【点睛】本题考查了平移作图，勾股定理求两点距离，掌握平移的性质以及勾股定理是解题的关键． 2．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC 的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)画出△ABC 关于x 轴的对称图形111A B C ∆； (2)将111A B C ∆向右平移4个单位长度得到222A B C ∆，请直接写出222A B C ∆各点坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)()21,4A -，()21,1B --，()23,2C - 【分析】（1）利用关于x 轴对称点的性质得出对应点。在顺次连接起来即可； （2）利用平移的性质得到对应点位置，从而可以写出相应点的坐标．

（1） 解：如图所示： ∴111A B C ∆即为所求； （2） 解：如图所示： ∴222A B C ∆即为平移后三角形，对应顶点坐标为()21,4A -，()21,1B --，()23,2C -． 【点睛】本题考查利用轴对称及平移的性质作图，根据轴对称与平移性质，准确找到对应点位置是解决问题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标分别为()4,3A ，()2,1B ，()3,0C ．将ABC 向左平移3个单位长度得到A B C '''． (1)作出A B C '''． (2)写出点A '，B '，C '的坐标．

图形在坐标系中的平移

图形在坐标系中的平移 第一篇：图形在坐标系中的平移 12.2图形在坐标系中的平移 教学目标 1．知识与技能 在同一坐标中，感受图形上的点的坐标与图形变化之间的关系。2．过程与方法 经历图形在坐标系中的平移过程，发展学生形象思维能力和树形结合意识。3.情感、态度与价值观 调动学生学习主动性，培养合作探究的意识，体会坐标系中的图形平移的实际应用价值。 重、难点与关键1.重点：探究点或图形的平移引起的坐标变化的规律另一个是研究图形上的点的坐标的某种变化引起的图形的平移变换。 2.难点：对图形的坐标中的平移变化的理解。 3.关键：注意留给学生足够的时间，使学生充分的活动起来，通过探究发现并总结规律，对于规律 一、创设情境 1.复习回顾。 探究：根据下面条件画一副示意图，标出学校和小强家、小敏家、小刚家的位置。 小刚家：出校门向东走150m，再向北走200m.。 小强家：出校门向西走200m，再向北350m，最后向东走50m。 小敏家：出校门向南走100m，再向东走300m，最后向南走75m.选取直角坐标系的方法很多，在让在学生充分交流的基础是上，引导学生选择最优方案，那就是：选学校所在位置为原点，分别一正东，正北方向为X轴、Y轴正方向建立直角坐标系，并取比例尺1：1000（图中1cm相当于实际中10000cm即100m）。依题目所给的已知条件，取得小刚家的位置是（150，200），类似地，小强和小敏家的位置分别是（－150，350）和（300，－175）。

2，教师归纳。 利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：⑴建立直角坐标系,选择一个适当的参照原点确定X轴,Y轴的正方向.⑵依据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度.⑶在坐标平面的内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称.二、问题牵引，引入研究 1.思考问题 如课本12—14,△ABC在坐标平面上平移后得到新图形∆A1B1C1，（1）移动的方向怎样？ （2）写出△ABC与∆A1B1C1各点的坐标，比较对应点坐标，看有怎样的变化？（3）如果△ABC与向下平移2个单位，得到∆A2B2C2写出这时各顶点坐标，比较两者对应点坐标，看有怎样的变化？观察比较：对应点的纵坐标都不变,横坐标移动后改变了，即：将横坐标都减去5可得到移动后的点的坐标。 请同学们解答完第（3）个问题后，将图形向上平移2个单位再探究一下。 2.平移规律 描述平移的一个方法是用图形上任一点的坐标（x,y）的变化来表示。（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：（x,y）→(x±a,y)(a>0)(2)在坐标系内, 上下平移的点的坐标规律：（x ,y）→(x.,y±b)(b>0)(3)在坐标系内，上下、左右平移的坐标规律：（x,y）→(x±a,y±b) 三例题 例.如图12—15将∆ABC先向右平移6个单位，在向下平移2个单位，得到∆A1B1C1，写出各顶点变动前后的坐标。 得到结论有：A(-2,6)→(4,6)→A1(4,4)B(-4,4)→(2,4)→B1(2,2) C(1,1)→(7,1)→C1(7,-1) 四、随堂练习，加深理解课本P13练习题第1,2,3题 五、课堂总结反思： 1本节课学习了哪些内容？ 2把平面直角坐标系中的一个图形，按下面的要求平移，那么图形

北师大版八年级数学上册 知识点4 坐标与图形的变化(含解析)

知识点4 坐标与图形的变化 知识链接 1、坐标与图形变化－－－对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，－y）． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（－x，y）． （3）关于直线对称 ①关于直线x=m对称，P（a，b）⇒P（2m－a，b） ②关于直线y=n对称，P（a，b）⇒P（a，2n－b） 2、坐标与图形变化－－－平移 （1）平移变换与坐标变化 向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） 向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x－a，y） 向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） 向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y－b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 3 坐标与图形变化－－－旋转 （1）关于原点对称的点的坐标．即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（－x，－y）．（2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 同步练习

1．（2014•大连）在平面直角坐标系中，将点（2，3）向上平移1个单位，所得到的点的坐标是（） A．（1，3）B．（2，2）C．（2，4）D．（3，3） 考点：坐标与图形变化－平移． 分析：根据向上平移，横坐标不变，纵坐标加解答． 解答：∵点（2，3）向上平移1个单位， ∴所得到的点的坐标是（2，4）． 故选：C． 2．（2014•呼伦贝尔）将点A（－2，－3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 考点：坐标与图形变化－平移． 分析：先利用平移中点的变化规律(横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减) ，,求出点B的坐标，再根据各象限内点的坐标特点即可判断点B所处的象限． 解答：点A（－2，－3）向右平移3个单位长度，得到点B的坐标为为（1，－3），故点在第四象限． 故选D． 3．（2014•牡丹江）如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（） A．（－x，y－2）B．（－x，y+2）C．（－x+2，－y）D．（－x+2，y+2） 考点：坐标与图形变化－平移．

11.2图形在坐标系中的平移（教案）

沪科版数学八年级上册11.2图形在坐标系中的平移教学设计 课题11.2图形在坐标系中的平移单元第十一单 元 学科数学年级八年级 上 教材分析图形在坐标系中的平移作为沪科版八年级上册第十一单元第二课时内容，该课时主要讲了坐标系中的图形的平移等方面的重要内容,该课时有利于发展学生形象思维能力和树形结合意识 学情分析学习直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律,有利于让学生体会坐标系中的图形平移的实际应用价值。 学习目标1.能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化 规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质 2.经历图形在坐标系中的平移过程，发展学生形象思维能力和树形结合意识 3.调动学生学习主动性，培养合作探究的意识，体会坐标系中的图形平移的实际应用价值。 重点探究点或图形的平移与坐标变化的规律 难点对图形的坐标中的平移变化的理解 教学过程 教学环节教师活动学生活动设计意图 导入新课问题：你会下象棋吗? 如果下一步想“马走日” “象走田”应该走到哪里呢？你知道吗？除了象棋 的走法，你能将象棋的走法与坐标系联系起来么？教师引入象棋 这一话题，通 过象棋的走法 引导学生思 考。 由象棋的走法 引导学生思考， 逐步进入新课坐 标平面内的移动 知识的讲解。 讲授新课一、温故知新 思考思考，并和同学交流一下，什么叫做平移？ 在平面内，把一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫做平移. 平移的方向和距离是平移的两个要素。 通过观察，你能得出平移都有哪些性质吗？ 平移的性质： 1.新图形与原图形形状和大小不变，但位置改教师组织学生 讨论，引导学 生回忆平移的 相关知识，勾 起学生的兴趣 和思考。 教师通过引导学 生回忆平移的相 关知识，勾起学 生的兴趣和思 考。熟练平移的 概念和性质。

直角坐标系中图形的平移与坐标的变化

有趣的轮回——发现平移 操作三角形内任意取一点M，先沿着平行于某条边的直线运动，碰到三角 形的边界时则沿着平行于另一条边的直线“返回”，如此继续，你一定会发现一 个奇妙的现象。 发现下面是一个具体的示意图：先从M点出发， 行于AB的直线运动到AC边上的E点，又沿着平行于BC 的直线运动到AB边上的F点，……，依次到达G，H，K， 可以发现从K返回后必然经过M点，也就是说，点M最后回到了原来的出发点， 下面的运动将是一个新的循环。 探源你能借助平移解释其中的原因吗？ 图中点的运动固然可以看成平移，每次转折后它的运动方向都发生了变化， 因此，可以研究方向的变化。可以发现，三次碰“壁”，方向又相同了，可未必 回到原来的位置；图中，6次碰“壁”后好像回到了原来的位置，那么，一般情 况下6次碰“壁”后是否都回到原来的位置呢？上图中，哪些图形是全等的，这 些图形是否可以看成平移而相互得到？ 可以发现，△BGF≌△DCE，△BGF可以看成△DCE向左平移而得到的； △BGF≌△KHA，△KHA可以由△BGF平移而得到。这样△KHA≌△DCE， △KHA可以由△DCE平移而得到，平移方向为CA，根据性质：平移前后图形 中每一对对应点的连线都平行且相等，可知KD∥AC，又因为MD∥AC，所以 K，M，D三点共线，经过6次碰壁后回到了原来的位置。 延伸 1．是否有的情况下3次碰壁就回到原来的位置呢？试研究这种情况下，出发点M所满足的条件。 2．上图中，6次碰壁所形成的轨迹中，在三角形ABC的中间形成一个小三角形，是否可能将这个小三角形收缩为一个点，也就是说图中EF，GH，KD 共 点呢？如果可能，试研究这种情况下，出发点M所满足的条件。

2022版八年级上112《图形在坐标系中的平移》教案

11.2图形在坐标系中的平移 学习目标： 1、能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点 的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换。 2、运用点的坐标的变化规律来进行简单的平移作图 3、经历观察、分析、抽象、归纳等过程，经历与他人合作交流的过程，进一步开展数形结合思想与空间观念. 重点：认识直角坐标系，感受点在坐标系中的平移过成及其应用。 难点：根据图形的平移过程，探索、归纳出坐标的变化规律. 一、学前准备： 1、复习数轴的概念及其画法. 2、如图数轴上点A的坐标是，点A向右平移两个单位后的坐标是 .点B的坐标是，点B向左平移3个单位后的坐标是. 从数轴上的点的坐标平移你发现了什么？说出来让大家分享你的重大发现. . 二、探究活动： 1、下面平面直角坐标系中点A的坐标是〔，〕，点A向右平移4个单位后坐标是〔，〕；点A向左平移2个单位后的坐标是〔，〕；你能写出点A向右平移25个单位后的坐标是〔，〕吗？你发现点A平移前后横坐标、纵坐标有什么变化？能找出其中的规律吗？把你的重大发现写在横线上，与大家一起分享. 2、仿照你刚刚的重大发现，点B上下平移时，横坐标、纵坐标有什么变化？把你的想 法写出来 3、我想把点A移到点B处，你帮我移动吗？说说你是如何移动的、有多少种方法？你最喜欢哪种方法？ 三、走进核心地带 1、在图中标出△ABC各顶点的 坐标. 2、△ABC向右平移个 单位得到△A1B1C1的，在 图中标出△A1B1C1各点的 坐标，观察各点坐标都发生 怎样的变化？ 3、智慧大提速：△ABC是 怎样平移到△A2B2C2的？ 看出门道了吗？ 说出来大家听听

11.2图形在坐标系中的平移

11.2图形在坐标系中的平移 一、内容及内容解析 本节内容为沪科版八年级上册《图形在坐标系中的平移》P12~P13页的相关内容。让学生观察三角形在坐标系中的平移，发现图形在坐标系中经过平移变换，对应点的坐标之间的规律，然后通过举例应用并巩固这个规律。 二、教学目标 1、研究在同一个坐标系中，图形的平移与点的坐标变化之间的关系，发展学生的数形结合思想和意识。 2、经历图形的平移过程，探究图形的平移与点的坐标变化之间的关系。 3、让学生体验探究图形的平移与坐标变化之间的关系，感受数学与图形的平移、物体的运动等有实际意义的事情之间的关联，体会数学在现实生活中的用途。 三、教学重难点 重点：经历图形平移与坐标变化的过程，掌握图形平移的规律。 难点：归纳出图形平移与坐标变化之间的关系，灵活运用平移规律。 四、教学过程设计 （一）新课引入 多媒体展示一组有关平移的图片 提问：这些现象都作怎样的运动？生：平移 师：那么什么是平移呢？（再观察平移图片，师生共同归纳出平移的概念）（二）讲授新课 1、平移的概念 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称作平移。 （让学生齐声读两遍，并当堂背诵） 2、平移的认识 多媒体展示一个平移的具体事例 （让学生自己归纳平移的规律，然后师生再共同归纳。） （1）、图形的平移是由( )和( )决定的。 （2）、平移不改变图形的( )与( )，它只改变图形在平面中的( )。（3）、平移过程中图形上每一点都沿( )的方向移动了( )的距离。 3、点在坐标系中的平移 （1）仔细观察，点A向右平移5个单位，你发现了什么？向左平移5个单位，你发现了什么？

高中数学坐标变换与图形平移技巧

高中数学坐标变换与图形平移技巧 在高中数学中，坐标变换与图形平移是一个非常重要的概念和技巧。通过坐标 变换，我们可以将一个图形在平面上进行平移、旋转、缩放等操作，从而得到新的图形。这不仅有助于我们更好地理解几何形状的性质，还可以帮助我们解决一些与图形相关的数学问题。 一、平面上的点与坐标 首先，让我们回顾一下平面直角坐标系。在二维平面上，每个点都可以用一个 有序数对 (x, y) 来表示，其中 x 表示点在 x 轴上的位置，y 表示点在 y 轴上的位置。这个有序数对就是点的坐标。 以点 A(x1, y1) 和点 B(x2, y2) 为例，我们可以通过坐标变换来计算两点之间的 距离。根据勾股定理，两点间的距离可以用以下公式表示： d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²] 这个公式在解决几何问题时非常有用，例如求两点间的距离、证明三角形是否 为等边三角形等。 二、图形的平移 图形的平移是指将整个图形沿着某个方向移动一定的距离，而不改变图形的形 状和大小。平移可以用坐标变换来实现。 以平移一个点为例，如果我们要将点 A(x, y) 沿着 x 轴正方向平移 a 个单位，y 轴正方向平移 b 个单位，那么平移后的点 A' 的坐标为 (x+a, y+b)。 同样地，如果我们要平移一个图形，只需要将图形中的每个点都进行相同的平 移操作即可。例如，如果我们要将一个三角形 ABC 沿着 x 轴正方向平移 a 个单位，

y 轴正方向平移 b 个单位，那么平移后的三角形 A'B'C' 的顶点坐标分别为 A'(x1+a, y1+b)，B'(x2+a, y2+b)，C'(x3+a, y3+b)。 通过图形的平移，我们可以解决一些与图形位置相关的问题，例如判断两个图形是否重合、证明两个图形是否全等等。 三、图形的旋转 除了平移，我们还可以通过坐标变换实现图形的旋转。图形的旋转是指将整个图形围绕一个中心点旋转一定的角度，而不改变图形的形状和大小。 以旋转一个点为例，如果我们要将点 A(x, y) 绕原点逆时针旋转θ 度，那么旋转后的点 A' 的坐标可以通过以下公式计算： x' = x * cosθ - y * sinθ y' = x * sinθ + y * cosθ 同样地，如果我们要旋转一个图形，只需要将图形中的每个点都进行相同的旋转操作即可。例如，如果我们要将一个三角形 ABC 绕原点逆时针旋转θ 度，那么旋转后的三角形 A'B'C' 的顶点坐标可以通过以下公式计算： x' = x * cosθ - y * sinθ y' = x * sinθ + y * cosθ 通过图形的旋转，我们可以解决一些与图形方向相关的问题，例如证明两个图形是否对称、计算图形的面积等。 四、图形的缩放 除了平移和旋转，我们还可以通过坐标变换实现图形的缩放。图形的缩放是指将整个图形沿着某个中心点放大或缩小一定的比例，而不改变图形的形状。