混合物中元素质量分数的求解方法归纳
混合物中元素质量分数的求解方法归纳
Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
混合物中某元素质量分数的求解方法归纳
一、个数比相同法
【例题1】（2009年全国高考卷）现有乙酸和两种链状单烯烃的混合物，若其中氧的质量分数为a，则碳的质量分数是( )。
A. 1/7(1－a)
B. 3/4a
C. 6/7(1－a)
D. 12/13(1－a)
解析：乙酸的化学式为C2H4O2，而单烯烃的通式为C n H2n，从化学式可以发现两者中，C与H之间的数目比为1:2，质量比为6:1，碳氢的质量分数总共为1－a，知碳占6/7(1－a)。
答案：C
1.已知Na2S、Na2SO3、Na2SO4三种物质组成的混合物中，氧元素质量分数为22%，求钠元素的质量分数。
练习1：由FeSO4和
Fe2(SO4)3两种物质组成的混合物中，已知S元素的质量分数为a％，则Fe元素的质量分数为( )。
A．1－a％ B．2a％
C．1－3a％
D．无法确定
练习2：由MgSO4、
Fe2(SO4)3、K2SO4三种物质组成的混合物中，测得其中
S元素的质量分数为a％，则混合物中金属元素的质量分数为( )。
A．1/3(100－a)％
B．1/3(100－3a)％
C．2/3(100－a)％ D．(100－3a)％
二、最简式相同法
【例题3】将20 g C2H2气体通入40 g和60 g的混合液中，其H 元素的质量分数为( )。
A．％ B．％ C．20％ D．无法确定
解析：从C2H2、（C6H6）、和（C8H8）的化学式可知：这三种物质的最简式相同，都是CH，我们知道，最简式相同的物质，无论其以何种比例混合，其混合物中C、H元素的质量比为定值，即C、H元素的质量分数为定值。则有：
ω(H)＝m(H)/m(CH)×100％＝1/(12+1)×100％＝％
答案：A
【例题4】把a L甲醛气体溶于b g乙酸中，再加入c mol果糖，形成混合物W，另把d mL甲酸甲酯与E g葡萄糖均匀混合，形成混合物M，取x g的W和Y mL的M相混合得Q，则Q中碳（C）的质量分数为( )。
A．20％ B．30％ C．40％ D．无法确定
解析：本题给出了多组数据，究其本质，可以发现题中涉及甲醛（CH2O）、乙酸（C2H4O2）、果糖（C6H12O6）、甲酸甲酯（C2H4O2）葡萄糖（C6H12O6）等五种物质，其中乙酸和甲酸甲酯，葡萄糖和果糖分别是同分异构体，实际上这些物质的分子式只有三种，即分别为CH2O、C2H4O2、C6H12O6，其最简式都为CH2O，因此这五种物质无论以何种比例混合，其质量分数为一定值。故：
ω(C)＝m(C)/m(CH2O)×100％＝12/12+2+16)×100％＝40％
答案：C
三、相对分子质量相同法
【例题5】甲苯(C7H8)和甘油（C3H8O3）组成的混合物中，若C元素的质量分数为60％，则H元素的质量分数为( )。
A．50％ B．％ C．％ D．无法计算
解析：从甲苯(C7H8)和甘油（C3H8O3）的化学式中知：每个分子中均含有8个氢原子，且两者相对分子质量均为92，故：ω(H)＝8/92×100％＝％
答案：C
【例题6】(NH4)2S、(NH4)2SO4、 (NH4)2HPO4三种物质混合物中，已知氮元素的质量分数为28%，求混合物中氧元素的质量分数。
解析：(NH4)2S、(NH4)2SO4、(NH4)2HPO4 (HP，32，可以看作是一个S)
原子个数比=2N:8H:S 元素质量比=28:8:32
因此 O%=1-N%-H%-S%=1-28%-8%-32%=32%
【例题7】有一含NaHS、MgS和MgSO4三种物质的混合物，若其中ω(S)为％，则ω(O)为( )。
A．％ B．％ C．％ D．无
法计算
解析：从题中可知：在NaHS中，每个S结合一个H和一个Na，式量为24，与Mg 的相对原子质量相同，都是24，故可把NaH看作Mg，则ω(Mg)＝24/32×％＝％,故：ω(O)＝1－ω(S)－ω(Mg)＝％。
答案：A
四、部分化学式相同法
【例题8】某甲醛（HCHO）溶液中氢元素的质量分数为10％，则碳元素的质量分数是多少
解析：分析甲醛的化学式HCHO，发现其中H、O原子个数比为2 : 1，与构成水分子（H2O）中H、O原子个数比相同，于是可将甲醛的化学式写成C(H2O)，由此可虚拟出HCHO和H2O构成的溶液的化学式为C m(H2O)n。
因为ω(H)＝10％，则ω(H2O)＝ω(H)×18/2＝90％，
故ω(C)＝ω(C)m＝1－ω(H2O)＝1－90％＝10％。
答案：碳元素的质量分数是10％。
【例题9】乙炔、苯和乙醛的混合物，其中C元素的质量分数为72％，则O元素的质量分数为( )。
A．26％ B．％ C．％ D．％
解析：仔细分析其组成可知：乙炔、苯、乙醛的分子式可以写成(CH)2、(CH)6、(CH)2·（H2O），因为C％＝72％，CH中的H％＝1/12×C％＝6％，
故水的百分含量为：ω(H2O)＝1－C％－H％＝1－72％－6％＝22％
因此O％＝22％×16/18＝％
答案：B
：在混合物CO、HCO OH和C2H2O3中，氢元素的质量分数为a，则碳元素的质量分数为（）
分析：在我们找不到C、H、O三种元素的固定的质量比关系时，我们想办法把混合物CO、HCOOH和C2H2O3分成两个固定组成的“成分”，即CO和H2O，所以，混合物CO、HCOOH和C2H2O3可以看成是CO、CO·H2O和2CO·H2O。在H2O中，氢元素与水的质量比为2比18，即1比9，又已经氢元素的质量分数为a，所以H2O的质量分数为9a，则CO的质量分数为1－9a，而碳元素占CO的比例是12比28，即3/7，所以，混合物中碳元素的质量分数为（1－9a）3/7。
五、化合价守恒法
【例题11】某种含有MgBr2和MgO的混合物，经分析测得镁元素的质量分数为％，求溴元素的质量分数。
解析：在任何化合物中，元素的正价总数等于元素的负价总数。同样，可推知在混合物中元素的正价总数等于元素的负价总数，即：镁原子个数×镁元素化合价等于溴原子个数×溴元素的化合价+氧原子个数×氧元素的化合价。
设混合物的质量为100g，其中溴元素的质量为x，则有
24×2＝X/80×1 + (100－－X)×2解得x＝40，
ω(Br)＝40/100×100％＝40％。
答案：混合物中溴元素的质量分数为40％。
练习3：Na2S、NaBr的混合物中，钠的质量分数为37%，求Br的质量分数
分析：（化合价法则法）设混合物的相对质量为100，Br的相对质量为x，则混合物中Na的相对质量为37，硫的相对质量为（100 –x-37），从而得出Na、S、Br三种原子的原子个数分别为：37/23、（100-x-37）/32、x/80；接着，利用化合价法则列出方程----37×1/23+（100-x-37）×（-2）/32+x（-1）×/80=0；最后，解此方程求出x 的值为克，得出混合物中Br的质量分数为%。
六、极端假想法
【例题12】某混合物含有KCl、NaCl、Na2CO3，经分析知含钠为％，含氯％，则混合物中Na2CO3的质量分数为( )。
A．25％ B．50％ C．80％ D．无法确定
解析：本题采用极值法可将三种物质组成的混合物转化为两种物质组成的混合物，从而简化运算。若设混合物的质量为100 g，则混合物中氯元素的质量为 g，假设这 g氯全部来自KCl（即混合物为KCl和Na2CO3），则KCl的质量为 g×＝ g，即Na2CO3的质量为 g。假设这 g氯全部来自NaCl（即混合物为NaCl和Na2CO3），则NaCl的质量为 g×＝ g，则Na2CO3的质量为 g。所以混合物的质量分数介于％～％之间，因此选项B正确。
答案：B
七、特殊值法
【例题13】由Na2CO3和CaCO3组成的混合物，经测定其中碳的质量分数为11. 64％。则下列各项中：①钠元素的质量分数；②钙元素的质量分数；③氧元素的质量分数；④Na2CO3的质量分数；⑤CaCO3的质量分数；⑥Na2CO3和CaCO3的质量比，其中能确定的是( )。
A．都不能确定 B．只有③能确定 C．只有④⑤⑤能确定 D．都能确定
解析：如能由碳元素的质量分数，求出Na2CO3和CaCO3各自的质量分数，那么①②③④⑤⑥均能确定。设混合物的质量为100 g（取特殊值），其中Na2CO3的质量为x，则CaCO3的质量为（100 g－x），根据题意可得等式：
100 g×％＝x×M(C)/M(Na2CO3)×100％+（100 g－x）×M(C)/M(CaCO3)×100％
解得：x＝ g，进而可求出CaCO3的质量，因此④⑤⑥能确定，然后根据Na2CO3和CaCO3各自的质量分别求出混合物中Na、Ca、O元素各自的质量，所以①②③也可以确定。
答案：D
八、合并化学式法
【例题14】某混合物含有的化学式成分中，分子个数组成为：X份CaCO3、Y份CaO、2Y份CaSO4、Z份CaHPO4、Z份CaO2和P份NaCl。已知混合物中氧的质量分数为39％，则混合物中钙的质量分数为多少
解析：将混合物中钙、氧原子数分别合并，有（X+3Y+2Z）份Ca、3（X+3Y+2Z）份O，即钙、氧原子个数比为1 : 3，故其质量比为40 : 48，已知混合物中氧的质量分数为39％，所以钙的质量分数为40×39％/48×100％＝％。
答案：混合物中钙的质量分数为％。
练习．已知FeO、Fe2O3、Fe3O4组成的混合物中，铁与氧的质量比为21：8，则混合物中FeO、Fe2O3、Fe3O4三种物质的质量比可能是（）
A.9：20：5
B. 9：20：33
C. 2： 5：3
D. 5：6：3
分析：由铁与氧的质量比为21：8，可得出混合物中铁与氧的原子个数比为21/56：
8/16=3：4。由于混合物的成分之一Fe3O4中的铁氧原子数比与这一比值一致，因此，混合物中Fe3O4的质量无论多少，都不会影响混合物中铁原子与氧原子的个数比为3：4。通过对FeO、Fe2O3组成特点的分析又可得出，FeO、Fe2O3必须按分子数1：1的比例混合，才能保证混合物中铁原子与氧原子的个数比为3：4。从而得到混合物中三种氧化物的分子个数比为1：1：任意数，三种物质的质量比为：（56+16）：（56×2+16×3）：任意值=9：20：任意值，符合题意的选项为A、B。
九、混合物中某种元素的质量分数可忽略
【例题15】Na2O2和NaOH的混合物，其中Na的质量分数为58%，则混合物中氧元素的质量分数是（）
解析：初看此题，在Na2O2和NaOH的混合物中，钠、氧、氢三种元素之间并没有一定的关系，所以只能老老实实地应用平常的方法去设未知数列方程求解。细细分析，我们知道，在Na2O2和NaOH的混合物中，氢元素所占的质量分数是非常小的，甚至我们可以认为氢元素的质量分数可以忽略不计。所以氧元素的质量分数接近于42%（由100%－58%得到）。
混合物中某元素质量分数的求解方法归纳（详）混合物中某元素质量分数的求解在历年的高考或竞赛中频频出现，命题者为了考查考生分析问题和解决问题的能力，常常将一些重要的信息隐含在题目当中，导致考生不能领会题意，从而造成解题错误或冗繁，甚至认为题目的条件不足而束手无策。现就将混合物中常见的几种隐含信息题做一分析。供同学们复习时参考：
一、个数比相同法
【例题1】（2009年全国高考卷）现有乙酸和两种链状单烯烃的混合物，若其中氧的质量分数为a，则碳的质量分数是( )。
A. 1/7(1－a)
B. 3/4a
C. 6/7(1－a)
D. 12/13(1－a)
解析：乙酸的化学式为C2H4O2，而单烯烃的通式为C n H2n，从化学式可以发现两者中，C与H之间的数目比为1:2，质量比为6:1，碳氢的质量分数总共为1－a，知碳占6/7(1－a)。
答案：C
【例题2】由Na2S、Na2SO3、Na2SO4三种物质组成的混合物中，已知S元素的质量分数为％，则O元素的质量分数为( )。
A．％ B．％ C．％ D．无法确定
解析：观察这三种物质的化学式不难发现，不管这三种物质按什么样的比例混合，其Na : S（原子个数比）＝2 : 1是个定值，那么Na : S（质量比）＝23 : 16也是个定值，因为ω(S)＝％，所以ω(Na)＝23/16×％＝％，故
ω(O)＝1－ω(S)－ω(Na)＝1－％－％＝％
答案：B
变式：已知Na2S、Na2SO3、Na2SO4三种物质组成的混合物中，氧元素质量分数为22%，求钠元素的质量分数。
分析：这三种物质组成有一个特点，即每一种的钠原子与硫原子的个数比都是2: 1，也即每一种物质中钠元素与硫元素的质量比都是：Na : S（质量比）＝23 : 16。因为有这个特点，所以无论三种物质以什么样的比例混合，混合物中钠元素与硫元素的质量比永远是23 : 16。则钠元素的质量分数：[23/（23+16）] ×78% = 46%。
【例题3】在苯和苯酚组成的混合物中，碳元素的质量分数为90％，则混合物中氧元素的质量分数为( )。
A．％ B．5％ C．％ D．％
解析：苯、苯酚的分子式分别为：C6H6、C6H6O，观察分析知不论C6H6和C6H6O按何种物质的量比混合，碳元素和氢元素的质量比都是12 : 1，因此有：H％＝1/12C％＝90/12％＝％O％＝1－90％－％＝％
答案：A
【例题4】由FeSO4和Fe2(SO4)3两种物质组成的混合物中，已知S元素的质量分数为a％，则Fe元素的质量分数为( )。
A．1－a％ B．2a％ C．1－3a％ D．无法确定
解析：由化学式分析知：S : O（原子个数比）＝1 : 4，则S : O（质量比）＝1 : 2，因为ω(S)＝a％，则ω(O)＝2a％，故
ω(F e)＝1－ω(S)－ω(O)＝1－a％－2a％＝1－3a％
答案：C
【例题5】由MgSO4、Fe2(SO4)3、K2SO4三种物质组成的混合物中，测得其中S元素的质量分数为a％，则混合物中金属元素的质量分数为( )。
A．1/3(100－a)％ B．1/3(100－3a)％ C．2/3(100－a)％ D．(100－3a)％
解析：观察这三种物质的化学式不难发现，不管这三种物质按什么样的比例混合，硫原子与氧原子的个数比总是1 : 4，即S : O（原子个数比）＝1 : 4，则S : O（质量比）＝1 : 2，因为ω(S)＝a％，则ω(O)＝2a％，所以混合物中金属元素（Mg、Fe、K）的质量分数为：1－a％－2a％＝1－3a％＝(100－3a)％
答案：D
二、最简式相同法
【例题6】将20 g C2H2气体通入40 g和60 g的混合液中，其H 元素的质量分数为( )。
A．％ B．％ C．20％ D．无法确定
解析：从C2H2、（C6H6）、和（C8H8）的化学式可知：这三种物质的最简式相同，都是CH，我们知道，最简式相同的物质，无论其以何种比例混合，其混合物中C、H元素的质量比为定值，即C、H元素的质量分数为定值。则有：ω(H)＝m(H)/m(CH)×100％＝1/(12+1)×100％＝％
答案：A
【例题7】把a L甲醛气体溶于b g乙酸中，再加入c mol果糖，形成混合物W，另把d mL甲酸甲酯与E g葡萄糖均匀混合，形成混合物M，取x g的W和Y mL的M相混合得Q，则Q中碳（C）的质量分数为( )。
A．20％ B．30％ C．40％ D．无法确定
解析：本题给出了多组数据，究其本质，可以发现题中涉及甲醛（CH2O）、乙酸（C2H4O2）、果糖（C6H12O6）、甲酸甲酯（C2H4O2）葡萄糖（C6H12O6）等五种物质，
其中乙酸和甲酸甲酯，葡萄糖和果糖分别是同分异构体，实际上这些物质的分子式只有三种，即分别为CH2O、C2H4O2、C6H12O6，其最简式都为CH2O，因此这五种物质无论以何种比例混合，其质量分数为一定值。故：
ω(C)＝m(C)/m(CH2O)×100％＝12/12+2+16)×100％＝40％
答案：C
三、相对分子质量相同法
【例题8】甲苯(C7H8)和甘油（C3H8O3）组成的混合物中，若C元素的质量分数为60％，则H元素的质量分数为( )。
A．50％ B．％ C．％ D．无法计算
解析：从甲苯(C7H8)和甘油（C3H8O3）的化学式中知：每个分子中均含有8个氢原子，且两者相对分子质量均为92，故：ω(H)＝8/92×100％＝％
答案：C
【例题9】(NH4)2S、(NH4)2SO4、 (NH4)2HPO4三种物质混合物中，已知氮元素的质量分数为28%，求混合物中氧元素的质量分数。
解析：(NH4)2S、(NH4)2SO4、(NH4)2HPO4 (HP，32，可以看作是一个S)
原子个数比=2N:8H:S 元素质量比=28:8:32
因此 O%=1-N%-H%-S%=1-28%-8%-32%=32%
变式：已知：(NH4)2SO4和(NH4)2HPO4的混合物中，N元素的质量分数为％，则O元素的质量分数为( )。
A．％ B．％ C．81％ D．无法计算
解析：从(NH4)2SO4和(NH4)2HPO4的化学式中知：每个分子中均含有2个氮原子，且二者的相对分子质量均为132，故：ω(O)＝4×16/132×100％＝％
答案：B
【例题10】有一含NaHS、MgS和MgSO4三种物质的混合物，若其中ω(S)为％，则ω(O)为( )。
A．％ B．％ C．％ D．无法计算
解析：从题中可知：在NaHS中，每个S结合一个H和一个Na，式量为24，与Mg 的相对原子质量相同，都是24，故可把NaH看作Mg，则ω(Mg)＝24/32×％＝％,故：ω(O)＝1－ω(S)－ω(Mg)＝％.
答案：A
四、部分化学式相同法
【例题11】某甲醛（HCHO）溶液中氢元素的质量分数为10％，则碳元素的质量分数是多少
解析：分析甲醛的化学式HCHO，发现其中H、O原子个数比为2 : 1，与构成水分子（H2O）中H、O原子个数比相同，于是可将甲醛的化学式写成C(H2O)，由此可虚拟出HCHO和H2O构成的溶液的化学式为C m(H2O)n。
因为ω(H)＝10％，则ω(H2O)＝ω(H)×18/2＝90％，
故ω(C)＝ω(C)m＝1－ω(H2O)＝1－90％＝10％。
答案：碳元素的质量分数是10％。
【例题12】乙炔、苯和乙醛的混合物，其中C元素的质量分数为72％，则O元素的质量分数为( )。
A．26％ B．％ C．％ D．％
解析：仔细分析其组成可知：乙炔、苯、乙醛的分子式可以写成(CH)2、(CH)6、(CH)2·（H2O），因为C％＝72％，CH中的H％＝1/12×C％＝6％，
故水的百分含量为：ω(H2O)＝1－C％－H％＝1－72％－6％＝22％
因此O％＝22％×16/18＝％
答案：B
【例题13】甲醛、乙醛、乙酸和α－羟基丙酸组成的混合物中，测知H元素的质量分数为9％，则其中O元素的质量分数为( )。
A．16％ B．37％ C．48％ D．无法计算
解析：从题中看似乎缺少条件，易选D。但仔细分析其组成可分别变形为(CH2)O、(CH2)2O、(CH2)2O2和(CH2)3O3，由此发现每种物质均可写成由CH2和O两部分组成，在CH2中H元素含量为：2m(H)/m(CH2)＝2/14＝1/7，所以，CH2在整个混合物中的含量是H元素的7倍，即：ω(CH2)＝7ω(H)＝7×9％＝63％，ω(O)＝1－ω(CH2)＝1－63％＝37％.
答案：B
【例题14】甲醛与乙烯、庚烯的混合物中O元素的质量分数为X％，则C的质量分数为( )。
A．6/7(1－X％) B．1/7(1－X) C．3X/7 D．无法计算
解析：从题中看似乎缺少条件，易选D。但仔细分析其组成可分别变形。甲醛为(CH2)O，乙烯为(CH2)2、庚烯为(CH2)7。由此发现该混合物由CH2和O两部分组成，在CH2中H元素与C元素的质量比为：m(H)/m(C)＝1×2/12＝1/6，所以，在整个混合物中的C元素的含量是H元素含量的6倍，即：ω(C)＝6ω(H)，因为ω(C) + ω(H) +ω(O)＝1，故有
ω(C) + 1/6ω(C) + X％＝1，得：ω(C)＝6/7(1－X％)
答案：A
五、化合价守恒法
【例题15】某种含有MgBr2和MgO的混合物，经分析测得镁元素的质量分数为％，求溴元素的质量分数。
解析：在任何化合物中，元素的正价总数等于元素的负价总数。同样，可推知在混合物中元素的正价总数等于元素的负价总数，即：镁原子个数×镁元素化合价等于溴原子个数×溴元素的化合价+氧原子个数×氧元素的化合价。
设混合物的质量为100g，其中溴元素的质量为x，则有
24×2＝X/80×1 + (100－－X)×2解得x＝40，
ω(Br)＝40/100×100％＝40％。
答案：混合物中溴元素的质量分数为40％。
六、极端假想法
【例题16】某混合物含有KCl、NaCl、Na2CO3，经分析知含钠为％，含氯％，则混合物中Na2CO3的质量分数为( )。
A．25％ B．50％ C．80％ D．无法确定
解析：本题采用极值法可将三种物质组成的混合物转化为两种物质组成的混合物，从而简化运算。若设混合物的质量为100 g，则混合物中氯元素的质量为 g，假设这 g氯全部来自KCl（即混合物为KCl和Na2CO3），则KCl的质量为 g×＝ g，即Na2CO3的质量为 g。假设这 g氯全部来自NaCl（即混合物为NaCl和Na2CO3），则NaCl的质量为 g×＝ g，则Na2CO3的质量为 g。所以混合物的质量分数介于％～％之间，因此选项B正确。
答案：B
七、特殊值法
【例题17】由Na2CO3和CaCO3组成的混合物，经测定其中碳的质量分数为11. 64％。则下列各项中：①钠元素的质量分数；②钙元素的质量分数；③氧元素的质量分
六年级分数巧算裂项拆分
思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。 分数裂项求和方法总结 （一）用裂项法求 1一型分数求和分析：因为n(n 1) 1 n(n 1) n(n 1) （n为自然数）所以有裂项公式: n（n 1） 【例1】 求丄 10 11 11 12 1的和。 59 60 【例2】 咕右）'11 1 1 10 60 1 12 用裂项法求 1 1 k(n 计算 n(n k) 1 1 - [2 5 1 15 n(n 1) 59 60) 型分数求和: k) n n(n k)] 分析： n（n k） 型。 （n,k 均为自然 数） 因为 n(n k) 所以n(n k)k( ； n k 9 11 11 13 13 15 7) 1 1) 丄(1 2 7 1 (1 9) 1(1 却 2、11 1 1 1 1 1 , 1 1、1(丄丄 2(13 15 1 13) 1 用裂项法求 9 11 11 13 型分数求和: n（n k） n n k n(n k) n(n k) n(n k) 13 分析：型（n,k均为自然数）n（n k） k 所以一- n(n k) n n k
(1 1 3 97 99 3200 9603 自然数） n(n k)( n 2k)( n 3k) 3k (n(n k^(n 2k) 1139 20520 I (n k)(n 2k)(n 3k) 【例3】 的和 97 99 98 99 (四) 1 3) (3 5 1 1 )( 5 1 7) 1 1 1 99 用裂项法求 型分数求和: n （n k ）（n 2k ） 分析: 2k n(n k)(n 2k) 【例4】 计算： 4 4 4 4 1 3 5 3 5 7 93 95 97 95 97 99 (1I II 3 15) (315 517)…( 1 1 )( 1 1 ) 3 93 95 95 9/ V 95 97 97 99, 1 1 （n,k 均为自然数） 【例5】 1 1 计算：1 2 3 4 2 3 4 5 1 17 18 19 20 3[(1 1 1 3[1 2 3 （丘 18 19 20] 1 17 18 19 1 18 19 20 )] （六）用裂项法求 3k n(n k)(n 2k)(n 3k) 型分数求和：分析: 3k n(n k)(n 2k)( n 3k) (n,k 2k n(n k)(n 2k) 1 1 n(n k) (n k)( n 2k) (五) 用裂项法求 型分数求和分析: n(n k)(n 2k)(n 3k) (n,k 均为 n(n k)(n 2k)(n 3k)
最新分数裂项法解分数计算
分数裂项计算 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 【例 1】 111111223344556 ++++=????? 。
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结 （一） 用裂项法求1(1) n n +型分数求和 分析：因为111n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111(1)1 n n n n =-++ （二） 用裂项法求 1()n n k +型分数求和 分析：1() n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为11111()[]()()() n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++ （三） 用裂项法求() k n n k +型分数求和 分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝() k n n k + 所以 () k n n k +＝11n n k -+
（四） 用裂项法求2()(2) k n n k n k ++型分数求和 分析： 2()(2) k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++ （五） 用裂项法求1()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和 分析：1()(2)(3) n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ （六） 用裂项法求 3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和 分析：3()(2)(3) k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 311()(2)(3)()(2)()(2)(3) k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 记忆方法： 1.看分数分子是否为1； 2.是1时，裂项之后需要整体×首尾之差分之一； 3.不是1时不用再乘； 4.裂项时首尾各领一队分之一相减。
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结 （一） 用裂项法求 1 (1) n n +型分数求和 分析：因为 111n n -+＝11 (1)(1)(1) n n n n n n n n +-= +++（n 为自然数） 所以有裂项公式： 111 (1)1 n n n n =- ++ 【例1】 求 111 ......101111125960+++???的和。 111111111 ()()......()101111125960106012 =-+-++-= -= （二） 用裂项法求 1 () n n k +型分数求和 分析： 1 () n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为 11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 。所以1111()()n n k k n n k =-++ 【例2】 计算11111577991111131315++++ ????? 111111*********()()()()()25727929112111321315= -+-+-+-+- 111111********* [()()()()()][]2577991111131315251515 =-+-+-+-+-=-= （三） 用裂项法求 () k n n k +型分数求和 分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例3】 求 2222 (1335579799) ++++????的和 1111111198 (1)()()......( )13355797999999 =-+-+-++-=-= （四） 用裂项法求 2()(2) k n n k n k ++型分数求和 分析： 2()(2)k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 则 211 ()(2) ()()(2) k n n k n k n n k n k n k = - +++++ 【例4】 计算： 4444 (135357939597959799) ++++???????? 11111111()()......()()133535579395959795979799 1132001397999603 =-+-++-+-????????=-= ?? （五） 用裂项法求 1 ()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和 分析： 1 ()(2)(3) n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111 ()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 【例5】 计算：111 ......1234234517181920+++ ????????? 1111111 [()()......()] 3123234 2343451718191819201111139[]312318192020520 =-+-++-????????????=--=???? （六） 用裂项法求 3()(2)(3) k n n k n k n k +++型分数求和 分析： 3()(2)(3) k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）
解分数方程方法总结
解分数方程 方程:含有未知数的等式叫方程。 方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 解方程:求方程解的过程叫做解方程。 解方程的依据:1、等式的性质 （1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘以或除以同一个数，等式仍然成立； 2、加减乘除法的变形 加法:加数1 + 加数2 = 和加数1 = 和—加数2 加数2 = 和—加数1 减法:被减数—减数 = 差被减数 = 差 + 减数 减数 =被减数—差乘法:乘数1 ×乘数2 = 积乘数1 = 积÷乘数2 乘数2 = 积÷乘数1 除法:被除数÷除数= 商被除数= 商×除数 除数= 被除数÷商 解方程的步骤:1、去括号。（没有括号时，先算乘、除，再算加、减） 2、去分母。 3、移项。 4、合并同类项。 5、系数化为1。 1、去括号（先去小括号，再去大括号）注意乘法分配律的应用加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：（a+b）×c=a×c＋b×c 减法的性质：a－b－c=a－(b＋c) 除法的性质：a÷b÷c=a÷(b×c)
（注意:去括号时，括号前面是减号的，去掉括号，括号里的每一项 要变号，也就是括号里的加号要变减号，减号要变成加号。这是运用 了减法的性质） 例如： 30x-10(10-x)=100 解：30x-(10×10-10×x )=100——（乘法分配律） 30x-(100-10x)=100 30x-100+10x=100——（去括号，括号前是减 号，去掉括号，括号里的每一项要变号，加号变减号，减号变加号） 40x-100=100——（合并同类项） 40x=100+100——（移项，变号） 40x=200——（合并同类项） X=5——（系数化为1） 2、去分母:找分母的最小公倍数，等式两边各项都要乘以分母最小公 倍数（去分母的目的是，把分数方程化成整数方程） 例如：12235-+=-x x 3、移项:“带着符号搬家”从等式左边移到等式的右边，加号变减号， 减号变加号。（ 移项的目的是，把未知项移到和自然数分别放在等式 的两边） （加号一边省略不写例：2X-3=11 其中2X 前面的加号就省略了，3 前面是减号，移到等式右边要变成加号） 例如：4x-10=10 解：4x=10+10——（-10从等式左边移到等式右边变成+10） 4x=20
分数拆分(裂项法)
2008年10月4日 六年级 基本公式：()111n n+1n n 1-+＝； 推广形式：()111n n+d d n n d ??-??+?? 1＝ 例1、计算：11111122334989999100+++++?????=（1－21）＋（21－31）＋（31－4 1）＋……＋（991－100 1）=1－1001=10099。 例2、计算：1111112612203042+++++=7 6； 例3、计算：1111111357911104088154238340+++++=20 336； 例4、计算：=?+++?++?++?+200120002001200043433232212122222222 200120004000 注意：拆分未必拆成两个分数之差，有的时候，需要拆成两个分数之和；可以利用公式： 11m+n m n mn +＝ 例5、计算：1111(1)(1)(1(1)2233441010 -?-?-??-???? (1120) 提示：1n n 1(n 1)(n 1)1n n n n n n ?--+- ==???。 解：原式＝1324359112233441010????????????……＝111210?＝1120 例6、计算：60 59605859586035343602423260131211+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ = 解答：因为()2 1211121-=-??=-+++n n n n n n n n ，所以 ()886 59212 112 592221160 59605859586035343602423260131211=+++?+=++++=+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ 【课堂练习】 1. 计算：111116425672-+++=9 8；
分数裂项求和
学生曹一诺学校年级六年级科目数学 教师陈作谦日期16年4月24日时段15:00-17:00 次数第一次课题 分数裂项求和 教学重点难点重点：清楚掌握几种简单的裂项求和的方法及其解答过程。难点：能判断所处题目的特点，并用其对应的方法进行解答。 教学步骤及教学内容一、作业检查： 平时成绩中上，卓师的小升初模拟试题测试结果，数学为46分二、课前热身： 与学生探讨小升初的意义，互动中令学生明白考试的应对方式。 三、内容讲解： 先做几个题目： （1）+ ? + ? + ?7 5 2 5 3 2 3 1 2……+ 11 9 2 ? ， （2）求 2222 ...... 1335579799 ++++ ???? 的和 这种题目就是分数裂项求和的运用。 分数裂项求和，分成减法裂项和加法裂项： 减法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的差；加法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的和。 （1）+ ? + ? + ?7 5 2 5 3 2 3 1 2……+ 11 9 2 ? ，
解：原式= +?+?+?7 55 -7533-5311-3……+11 99-11? =( + ??+??+??)7 55-757()533-535()311-313 ……+( 11911 ?-11 99?) )11 191()7151()5131()3111(-+??+-+-+-= 11 191715151313111-+??+-+-+-= 11 111-= 11 10= （2）求 2222 (1335579799) ++++????的和 解：原式=+?+?+?7 55-75 33-53 11-3……+99 9797-99? 1111111 (1)()()......() 3355797991 1999899 =-+-+-++-=-= 再看一道例题： 例1：计算：72 17561542133011209127651-+-+-+ - 解：原式=98988787767665655454434332321?+-?++?+-?++?+-?++?+- ）（）（）（）（）（）（）（9 1818171716161515141413131211+-+++-+++-+++-= 9 18 18 17 17 16 16 15 15 14 14 13 13 12 11--++--++--++--= 9 11-=
分数乘法与分数裂项法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 分数乘法与分数裂项法 分数乘法与分数裂项法【专题解析】我们知道，分数乘法的运算是这样的：分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母（当然能约分的最好先约分在计算）。 分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。 1、运用运算定律：这里主要指乘法分配律的应用。 对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。 2、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为 1。 进行分数的乘法运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。 需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。 【典型例题】——乘法分配律的妙用 44 例 1．计算：（1）×37 4567 2003 44 44 44 分析与解：观察这两道题的数字特点，第（1）题中的与 1 只相差 1 个分数单位，如果把写成（1－） 45 45 45 67 的差与 37 相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。 同样，第（2）题中可以把整数 2004 写成（2003+1）的和与 2003（2）2004× 相乘，再运用乘法分配律计算比较简便。 1/ 10
【举一反三】43 56 56 ×37 （2）×37 （3）×56 44 57 57 17 1 4 1 例 2．计算：（1）72 × （2）73 × 17 24 15 8 4 4 1 分析与解：（1）72 把改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 （2）73 把 17 17 15 16 改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 15计算：（1）【举一反三】4 7 计算：（1）20 × 7 10（2）166 13 × 13 32（3）573 1 × 13 8（4）641 1 × 17 9【小试牛刀】
解分数系数方程
解分数系数方程 教学目的:通过将分数系数方程转化为整数系数方程来实现分数 系数方程的求解(化归思想),然后学会将这种方法运用到应用题中. 教学重点:熟悉整系数方程的解方程基本步骤和注意事项,和分 数系数方程转化成整系数方程的方法(“去”分母的过程)注意: 这里的去加引号就是因为不是直接去掉,而是用约分的方法把它 约去. 教学难点:学生们对去分母不是很理解,过程不是很熟悉,对 “项”的概念,对“合并同类项”的了解不是很深刻. 基础复习过程: T 同学们,咱们已经学过方程了,那什么是方程呀? S 等式,有未知数 T 很好,首先方程是个什么?对,是个等式,然后呢?不是一般的 等式,里面含有什么?含有什么? 对,有未知数.所以方程就是 含有未知数的等式. T 老师板书一个方程 6x+3=15那方程既然给出来了,我们是 不是通过一定顺序来求解这个未知数呀?很好.那大家回忆一 下,你是怎么求解方程的呢? 来，这位同学你说一下，拿到这个方程，你第一步做什么了？ S 把3挪过去 T 很好，然后呢？ S 然后6x=15-3 6x=12 x=2 T 非常棒，一个小印章，这位同学给我们展示了咱们求解方程 的一般方法的中几个很重要的步骤。大家看黑板，老师总结 一下，首先他做什么了呀？对，移项，把等号左边的留下了都
是含有未知数的式子，右边呢，都是不含有未知数的式子。对不对？好，有谁知道咱们能这样做的根据是什么？ S …… T 是不是等式的其中一条性质呀？等式……两边……同时加上或者减去同一个数或者同一个式子，等式仍然成立。对不对？对不对？ S 对，是 T 很好，那第二步呢，他做什么了？是不是把未知数x的系数化成1了？他怎么化成1的？对，把前面的系数除过去！这又是根据什么？想想等式的另外一个性质 S 同时除以或者乘以一个相同的数或者式子，等式仍然 成立 T 非常棒，你们都很厉害。做到这里，做完了么？宝贝们？是不是咱们还得把结果带进原方程中进行下检验啊？确保我们忙活半天是正确的啊？很好 T 刚才老师写的方程形式比较简单，相信大家一眼就能 看出来结果。如果遇到复杂的整系数方程，我们的解答 步骤是： 首先，移项，目的是什么！是让等号一边都是含有未知数的项，另外一边呢？都是不含有未知数的 然后呢，开始合并同类项。有的同学可能对这个概念不是很明白，老师简单的说一下。什么是同类？咱们俩是不是同类？是吧，都是人。你说篮球和足球是不是同类？是吧，都是球。方程里的同类项就是指含有的未知数一样，只是系数有所区别的项。比如4x和9x 你们说是不是同类？ 是吧都含有x，那4x和4y是不是同类？不是吧，因为 他们压根儿含有的什么？ S 未知数 T 不同是不是？一个是含有未知数x的项，一个是含有未知数y的项。然后那些不含有未知数的项，我们叫他们
分数拆项与裂项
分数的速算与巧算 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数
分数裂项求和标准个性化教案
分数裂项求和标准个性 化教案 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
变形裂项：先变形为直接裂项。 【典型例题】 例1 计算： 观察：直接裂项2 11121121-=?= 31 2132161-=?= 41 31431121-=?= ............. = 201 ( )()=?1（ ）-（ ） ( )()=?= 1 301（ ）-（ ） 解：原式 = 651 541431321211?+ ?+?+?+? = 1-61 5151414131312121-+-+-+-+ = 1-61 = 65 例2 计算：7217 561542133011209127651-+-+-+- 观察：直接裂项3121323265+=?+= 41 314343127+=?+= 920= =?+545451 41+ ............... ()() 115630+==?（ ）+（ ） ()( ) 136742+==?（ ）+（ ） 解：原式） （）（）（）（）（）（）（9 18 18 17 17 16 16 15 151414131312 11+-+++-+++-+++-= 例3.+?+?+?7 52532312……+ 1192 ? 变形裂项： .............. 解：原式)11 1 91()7 15 1()5 13 13 1 11-++-+-+-= （）（ 例4 1111111 248163264128 +++ +++ 观察前一个数是后一个数的2倍，“补一退一”
解：原式128 1 12811281641321161814121 - +++++++=）（ 例5 1 101 1811611411212 2222-+-+-+-+- 由)()(2 2 b a b a b a +?-=-知，可以将原式变形为： 解：原式11 91 971751531311?+ ?+?+?+?= 牛刀小试： 【我能行】 1． +?+?+?1999 19981199819971199719961……+ 200220011 ?+20021 2．521?+851?+1181?+……+29 261? 分数裂项求和方法总结 （一） 用裂项法求 1 (1)n n +型分数求和 分析：因为11 1n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111 (1)1 n n n n =-++ 【例1】 求111 (101111125960) +++ ???的和。 （二） 用裂项法求1 () n n k +型分数求和 分析：1 ()n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为11111 ()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111 () ()n n k k n n k =-++ 【例2】 计算11111577991111131315++++ ????? （三） 用裂项法求 () k n n k +型分数求和 分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11 n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k +
六年级分数-裂项法
知识要点和基本方法 1.2分数计算(裂项法) 分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。 分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快 速、准确，关键是掌握运算技巧。对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运 算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力, 都有很大的帮助。 公式: (1)平方差公式：a2 b2(a b) (a b) (2)等差数列求和公式: a i a2 a3 a n 1 a n 1 a1 2 a n n (3)分数的拆分公式: n(n 1) 1 n(n d) 裂项 法： 例1. 计算: 例2. 计算: 10X 11 1 2 3 _1 +11X 12 1 ..... +—— 3 4 99 1 +……+59X 60 1 100 例7. 例8. 例3. 1111 计算：2 + 6 + / + 20 1 1 + — + — +30 +42 例9. 例4. 计算: —1——+ -—— 10X 11 11X 12 1 +……+19X 20 例10. 例5. 1 1 计算2X 3 + 3X4 + 1 1 +6X7 +7X8 例11. 1 1 1 1 1 1 1 6 + ' —+— +— + 12 + 20 + 30 + 矗+56 + 72 1 1 1 1 1 1 + —+ + —- + —+ 3 15 35 63 99 143 1 1 1 1 1 4 4 7 7 10 10 13 13 2 2 2 2 2 3 15 35 63 99 1 丄丄丄 1 1 8 24 48 80 120 168 计算: 1 计算: 计算: 计算: 计算: 16 例6. 计算: 例12. 计算: 例13. 计算: 112 11 +丄+土+丄+丄+ 1 2 2 1 + — + 1 2 2 3 1 ----------- F 1 2 3 2 3 2 1 + Y +仝+丄 3 3 3 3 1 例14. 计算: 2X( 1 —丄)X 2丿 20052-------------- +……+ 12 3 4 「-亠) 20042 100 +……+ + 100 100 1 旦+……+ 100 1 100 X( 1 2 3 2005 1 1 1 —2) X ......... X( 1 ---------- ) 2003222
小学奥数分数求和专题总结
分数求和 分数求和的常用方法： 1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。 2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。 3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。 4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。 5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。 典型例题 一、公式法： 计算： 20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008 2007 分析：这道题中相邻两个加数之间相差20081，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2来计算。 20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008 2007 =（20081＋2008 2007）×2007÷2 =2 11003 二、图解法： 计算：21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 分析：解法一，先画出线段图： 从图中可以看出：21 ＋41＋81＋161＋321＋641=1－641=64 63 解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因此，只要添上一个加数641，就能凑成32 1，依次向前类推，可以求出算式之和。 21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 =21 ＋41＋81＋161＋321＋（641＋641）－64 1 =21 ＋41＋81＋161＋（321+32 1）－641
…… = 21 ×2－64 1 =6463 解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大2倍，然后两式相减，消去一部分。 设x= 21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 ① 那么，2x=（21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1）×2 =1+21 ＋41＋81＋161＋321 ② 用②－①得 2x －x=1+ 21 ＋41＋81＋161＋321－（21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1） x=64 63 所以，21 ＋41＋81＋161＋321＋641=6463 三、裂项法 1、计算：21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋110 1 分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。 再变数型：因为 21=211?=1－21，61=321?=21－31，121=431?=31－4 1，……，1101=11101?=101-111。这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来方便。 21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋110 1 =1－21＋21－31＋31－41＋……＋91－101＋101-11 1 =1－11 1 =11 10 2、计算：511?＋951?＋13 91?＋……＋33291?＋37331?
分数裂项法解分数计算
分数裂项计算 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2) n n n ?+?+，1(1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 【例 1】 111111223344556 ++++=????? 。 【巩固】 111 (101111125960) +++??? 【巩固】 2222109985443 ++++=????L 【例 2】 111111212312100 ++++++++++L L L 【例 3】 111113355799101 ++++=????L 【巩固】 计算：1111251335572325???++++= ??????? L 【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008 +++++?????L 【巩固】 计算：3245671255771111161622222929 ++++++=?????? 【例 4】 计算：11111111()1288244880120168224288 +++++++?= 【巩固】 11111111612203042567290 +++++++=_______ 【巩固】 11111113610152128 ++++++= 【巩固】 计算：1111111112612203042567290 --------＝ 【巩固】 11111104088154238 ++++= 。 【例 5】 计算：1111135357579200120032005 ++++????????L 【例 6】 7 4.50.161111181315356313 3.75 3.23 ?+???+++= ??? -?& 【例 7】 计算：11111123420261220420 +++++L 【巩固】 计算：11111200820092010201120121854108180270 ++++= 。 【巩固】 计算：1122426153577 ++++= ____。 【巩固】 计算：1111111315356399143195 ++++++ 【巩固】 计算：15111929970198992612203097029900+++++++=L ．
分数裂项求和标准个性化教案
分数裂项求和标准个性化 教案 This manuscript was revised on November 28, 2020
两数之差。 直接裂项 加法裂项：分母分成两数之积，分子为两数之和。 变形裂项：先变形为直接裂项。 【典型例题】 例1 计算： 观察：直接裂项2 11121121-=?= 312132161-=?= 4131431121-=?= ............. =201()()=?1 （ ）-（ ） ( )()=?= 1 301（ ）-（ ） 解：原式 = 651 541431321211?+ ?+?+?+? = 1-61 5151414131312121-+-+-+-+ = 1-61 = 6 5 例2 计算：72 17561542133011209127651-+-+-+- 观察：直接裂项3121323265+=?+= 4 1314343127+=?+= 920==?+54545141+ ............... ()() 1156 30+==?（ ）+（ ） ( )( ) 1367 42 += =?（ ）+（ ） 解：原式）（）（）（）（）（）（）（9 18 18 17 17 16 16 15 15 14 14 13 13 12 11+-+++-+++-+++-= 例3. +?+?+?7 52532312 (1192) 变形裂项： ..............
解：原式)11 1 91 ()715 1()5 13 13 111- ++-+-+-= （）（ 例4 1111111 248163264128 +++ +++ 观察前一个数是后一个数的2倍，“补一退一” 解：原式128 1 1281128164132116181 4 12 1- +++++ ++=）（ 例5 1 101 18116114112122222-+ -+-+-+- 由)()(22b a b a b a +?-=-知，可以将原式变形为： 解：原式11 91 971751531311?+ ?+?+?+?= 牛刀小试： 【我能行】 1． +?+?+?1999 19981199819971199719961……+ 200220011 ?+20021 2．521?+851?+1181?+……+29 261? 分数裂项求和方法总结 （一） 用裂项法求 1 (1)n n +型分数求和 分析：因为11 1n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111 (1)1 n n n n =-++ 【例1】 求111 (101111125960) +++ ???的和。 （二） 用裂项法求1 () n n k +型分数求和 分析：1 ()n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为11111 ()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111 () ()n n k k n n k =-++ 【例2】 计算11111577991111131315++++ ?????
20180420五年级奥数分数的速算与巧算
五年级奥数 分数的速算与巧算（一） 一、知识要点 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 5、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 （三）、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1(1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+