【压轴题】数学高考一模试题(带答案)
【压轴题】数学高考一模试题(带答案)
一、选择题
1．若复数2
1i
z =-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i
B ．1?i
C ．?1+i
D ．?1?i
2．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
由2
222
()110(40302030),7.8()()()()60506050
n ad bc K K a b c d a c b d -??-?=
=≈++++???算得 附表：
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
3．在复平面内，O 为原点，向量OA 对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB 对应的复数为( ) A ．2i -+
B ．2i --
C ．12i +
D ．12i -+
4．设双曲线22
22:1x y C a b
-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别
交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ?=，22MF NF =，则双曲线C 的离心率为( ).
A
B
C
D ．6
5．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量α在基底p =(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m =(-1,1),
n =(1,2)下的坐标为( )
A ．(2,0)
B ．(0,-2)
C ．(-2,0)
D ．(0,2)
6．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①()f x =
与()f x =()f x y ==()f x x =与
()g x =
③()0
f x x =与()01
g x x
=
；④()221f x x x =--与()2
21g t t t =--． A ．① ② B ．① ③
C ．③ ④
D ．① ④
7．已知,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m α，m n ⊥，则n α⊥； ②若m α⊥，n α，则m n ⊥；
③若,m n 是异面直线，m α?，m β，n β?，n α，则αβ∥； ④若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面. 其中为真命题的是（ ） A ．②③④
B ．①②③
C ．①③④
D ．①②④
8．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ）
A ．
14
B ．
12
C D
9．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +> C ．()()2
2
112
a b -+-<
D ．228a b +>
10．设F 为双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径
的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为
A B
C ．2
D
11．已知tan 212πα??
+=- ??
?，则tan 3πα?
?+= ???
（ ） A ．1
3-
B ．
13
C ．-3
D ．3
12．已知P 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上一点，12F F ，
为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．4
3
y x =±
B ．34
y
x C ．35
y x =±
D ．53
y x =±
二、填空题
13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．
14．若三点1
(2,3),(3,2),(
,)2
A B C m --共线，则m 的值为 ． 15．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 16．复数()1i i +的实部为 ．
17．已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________. 18．已知样本数据
，
，
，
的均值
，则样本数据
，
，
，
的均值为 ．
19．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线2
2(0)y px p =>，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两
次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．
20．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ .
三、解答题
21．设函数()15,f x x x x R =++-∈. （1）求不等式()10f x ≤的解集；
（2）如果关于x 的不等式2()(7)f x a x ≥--在R 上恒成立，求实数a 的取值范围. 22．已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是0,5，且()f x 在区间[]
1,4-上的最大值是12.
（1）求()f x 的解析式；
（2）设函数()f x 在[]
,1x t t ∈+上的最小值为g t ，求g t 的表达式. 23．已知函数()2f x m x =
--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]1,1- （1）求m 的值； （2）若,,a b c ∈R ，且
111
23m a b c
++=，求证239a b c ++≥ 24．如图：在ABC ?中，10a =，4c =，5cos 5
C =-
.
（1）求角A ；
（2）设D 为AB 的中点，求中线CD 的长. 25．已知0,0a b >>. (1)211ab a b
≥
+ ； (2)若a b >，且2ab =，求证：22
4a b a b
+≥-．
26．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 2
2:12
x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，
点P 满足2NP NM =
.
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ?=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
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一、选择题 1．B
解析：B 【解析】 试题分析：22(1i)1i,1i 1i (1i)(1i)
z z +=
==+∴=---+，选B. 【考点】复数的运算，复数的概念
【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
由27.8 6.635K ≈>，而(
)
2
6.6350.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
首先根据向量OA 对应的复数为12i -+，得到点A 的坐标，结合点A 与点B 关于直线
y x =-对称得到点B 的坐标，从而求得向量OB 对应的复数，得到结果.
【详解】
复数12i -+对应的点为(1,2)A -， 点A 关于直线y x =-的对称点为(2,1)B -， 所以向量OB 对应的复数为2i -+． 故选A ． 【点睛】
该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
本道题设2MF x =,利用双曲线性质,计算x ，结合余弦定理，计算离心率，即可． 【详解】
结合题意可知,设22,,,MF x NF x MN ===则
则结合双曲线的性质可得,21122,2MF MF a MF MN NF a -=+-=
代入,解得x =,所以122,NF a NF =+=,01245F
NF ∠=
对三角形12F NF 运用余弦定理,得到
(
)(
)
()()()
2
2
2
02222cos45a c a ++-=+?,解得c
e a
=
= 故选B. 【点睛】
本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x ，即可，难度偏难．
5．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
由已知α=-2p +2q =(-2,2)+(4,2)=(2,4), 设α=λm +μn =λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ), 则由224λμλμ-+=??
+=?解得0
2λμ=??=?
∴α=0m +2n ,∴α在基底m , n 下的坐标为(0,2).
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可. 【详解】
①中()f x =
的定义域为(),0∞-，()f x =(),0∞-，但
()
f x ==-与()f x =
②中()f x x =与()g x =
R ，但()g x x ==与()f x x =对应关系不
一致，所以②不是同一函数； ③中()0
f x x =与()01
g x x =
定义域都是{}|0x x ≠，且()0
1f x x ==，()0
11g x x
==对应关系一致，所以③是同一函数；
④中()2
21f x x x =--与()2
21g t t t =--定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.
故选C 【点睛】
本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.
7．A
解析：A
【分析】
根据空间中点、线、面位置关系，逐项判断即可. 【详解】
①若m α，m n ⊥，则n 与α位置关系不确定；
②若n α，则α存在直线l 与n 平行，因为m α⊥，所以m l ⊥，则m n ⊥； ③当m α?，m β，n β?，n α时，平面α，β平行； ④逆否命题为：若m 与n 垂直于同一平面，则,m n 平行，为真命题. 综上，为真命题的是②③④. 故选A 【点睛】
本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记线面关系、面面关系，即可求解，属于常考题型.
8．C
解析：C 【解析】
由题得(1)11112222i i i i z i z i -+=
===+∴==
+故选C. 9．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132?=，
33log log 222+>，即可判断出结果．
【详解】 ∵236a b ==；
∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；
∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；
()()
()()23222
2
3211log log 2log 323log 22a b =>?-+-+=，故C 错误；
∵()()()2
2
232223log log 2log 2323log 2a b =+++++
232l 23og log 82>+=?，故D 正确
故C ． 【点睛】
本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a b +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题
解析：A 【解析】 【分析】
准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】
设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又
||PQ OF c ==，||,2
c
PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，
A ∴为圆心||2
c
OA =．
,22c c P ??
∴ ???
，又P 点在圆222x y a +=上，
22244c c a ∴+=，即2222
2,22c c a e a
=∴==． 2e ∴=，故选A ．
【点睛】
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
由题意可知3124tan tan πππαα?
?
?
?+
=++ ? ??
??
?，由题意结合两角和的正切公式可得
3tan πα?
?+ ??
?的值.
【详解】
3124tan tan πππαα????+=++ ? ????? 112431124tan tan
tan tan ππαππα?
?++ ???==-??-+ ??
?，故选A .
【点睛】
本题主要考查两角和的正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
依据题意作出图象，由双曲线定义可得1122PF F F c ==，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，可得2MF b =，对2OF M ∠在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得2b a c =+，联立222c a b =+，即可求得4
3
b a =，问题得解． 【详解】
依据题意作出图象，如下：
则1122PF F F c ==，OM a =， 又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切， 所以2OM PF ⊥, 所以222MF c a b =
-=
由双曲线定义可得：
212
PF PF a
-=，所以
222
PF c a
=+，
所以()()()
()
222
2
2222
cos
2222
c a c c
b
OF M
c c a c
++-
∠==
??+
整理得：2b a c
=+，即：2b a c
-=
将2
c b a
=-代入222
c a b
=+，整理得：
4
3
b
a
=，
所以C的渐近线方程为
4
3
b
y x x
a
=±=±
故选A
【点睛】
本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题．
二、填空题
13．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x若x满足|x|≤m的概率为若m对于3概率大于若m小于3概率小于所以
m=3故答案为3
解析：3
【解析】
【分析】
【详解】
如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，若m对于3概率大于，若m小于3，概率小于，所以m=3．
故答案为3．
14．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线
解析：
1
2
【解析】
试题分析：依题意有
AB AC
k k
=，即
53
1
52
2
m
--
=
+
，解得
1
2
m=.
考点：三点共线．
15．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体
数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni
解析：18 【解析】
应从丙种型号的产品中抽取300
60181000
?
=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝
n ∶N ．
16．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部 解析：1-
【解析】
复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-. 考点：复数的乘法运算、实部.
17．【解析】【分析】利用通项公式即可得出【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：Tr+1（3x ）r ＝3rxr ∵含有x2的系数是54∴r ＝2∴54可得6∴6n ∈N*解得n ＝4故答案为4【点睛】本题考 解析：4
【解析】 【分析】
利用通项公式即可得出． 【详解】
解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1r n
=（3x ）r ＝3r
r n
x r ．
∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2． ∴223
n
=54，可得
2n
=6，∴
()12
n n -=6，n ∈N *．
解得n ＝4． 故答案为4． 【点睛】
本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．11【解析】因为样本数据x1x2???xn 的均值x=5所以样本数据
2x1+12x2+1???2xn+1的均值为2x+1=2×5+1=11所以答案应填：11考点：均值的性质 解析：
【解析】 因为样本数据
，
，
，
的均值
，所以样本数据，
，
，
的均值为
，所以答案应填：
．
考点：均值的性质．
19．【解析】【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点设出直线的方程联立直线与抛物线方程表示出弦长再根据两平行线间的最小距离时最短进而可得出结果【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点当直线斜率存在时 解析：24y x =
【解析】 【分析】
先由题意得到PQ 必过抛物线的焦点，设出直线PQ 的方程，联立直线PQ 与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，PQ 最短，进而可得出结果. 【详解】
由抛物线的光学性质可得：PQ 必过抛物线的焦点(,0)2
p
F ， 当直线PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为()2
p
y k x =-
，1122(,),(,)P x y Q x y ， 由2()22p y k x y px ?
=-???=?得：222()24p k x px px -+=，整理得
2222244)0(8k x k p p x k p -++=，
所以2122
2k p p x x k ++=，2
124p x x =，
所以2122
22
2k PQ x x p p p k
+=++=>； 当直线PQ 斜率不存在时，易得2PQ p =； 综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为4，PQ 最小时，两平行线间的距离最小；
因此min 24PQ p ==，所求方程为2
4y x =.
故答案为2
4y x = 【点睛】
本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.
20．【解析】【分析】【详解】∵平面向量与的夹角为∴∴故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)常用来求向量的模
解析：【解析】 【分析】 【详解】
∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b ==，
∴021cos601a b ?=??=.
∴2222(2)4(2
)444a b a b a a b b +=
+=+?+=++=故答案为
点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2) a a a =? 常用来求向量的模．
三、解答题
21．（1）{}|37x x -≤≤；（2）(],9-∞. 【解析】 【分析】
（1）分别在1x ≤-、15x -<<、5x ≥三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将不等式变为()()2
7a f x x ≤+-，令()()()2
7g x f x x =+-，可得到分段函数()g x 的解析式，分别在每一段上求解出()g x 的最小值，从而得到()g x 在R 上的最小值，进而利用()min a g x ≤得到结果. 【详解】
（1）当1x ≤-时，()154210f x x x x =--+-=-≤，解得：31x -≤≤- 当15x -<<时，()15610f x x x =++-=≤，恒成立 当5x ≥时，()152410f x x x x =++-=-≤，解得：57x ≤≤ 综上所述，不等式()10f x ≤的解集为：{}
37x x -≤≤ （2）由()()2
7f x a x ≥--得：()()27a f x x ≤+-
由（1）知：()42,1
6,1524,5x x f x x x x -≤-??
=-<
令()()()
22
221653,171455,151245,5x x x g x f x x x x x x x x ?-+≤-?
=+-=-+-<
当1x ≤-时，()()min 170g x g =-= 当15x -<<时，()()510g x g >= 当5x ≥时，()()min 69g x g == 综上所述，当x ∈R 时，()min 9g x =
()a g x ≤恒成立 ()min a g x ∴≤ (],9a ∴∈-∞
【点睛】
本题考查分类讨论求解绝对值不等式、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；求解本题恒成立问题的关键是能够通过分离变量构造出新的函数，将问题转化为变量与函数最值之间的比较，进而通过分类讨论得到函数的解析式，分段求解出函数的最值.
22．（1）2
()210f x x x =-（2）2
2
3268,,22535(),,22
25210,,2t t t g t t t t t ?--≤??
?=-
<
【解析】
(1)因为()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是0,5，所以可设
()(5)(0).f x ax x a =->,然后因为-1比5离对称轴的距离远，所以最大值为(-1)=6a,求出a
值，从而求出f(x)的解析式.
（II ）本小题属于二次函数轴定区间动的问题，分三种情况讨论分别求其最小值即可. 解：（1）
()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5),
∴可设()(5)(0).f x ax x a =->
()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -=
由已知，得612,a =2,a ∴=
2()2(5)210().f x x x x x x R ∴=-=-∈
（2）由（1）知2
2
525()2102.22f x x x x ??∴=-=-- ??
?，开口向上，对称轴为52x =
①当512t +≤
，即3
2
t ≤时，()f x 在[],1t t +上是单调递减， ()()()2
221101268g t t t t t ∴=+-+=--
②当5
2
t ≥
时，()f x 在[],1t t +上是单调递减 ()22210210g t t t t t ∴=-=-
③当512t t ≤
≤+，即35
22
t ≤≤时，()f x 在对称轴处取得最小值 ()52522g t f ??
∴==- ???
23．（1）1；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）由条件可得()
2f x m x +=-，故有0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]
-，，进而可得结果；（2）根据()111232323a b c a b c a b c ??++=++++ ???
利用基本不等式即可得结果. 【详解】
（1）函数()2f x m x =--，m R ∈，故()
2f x m x +=-，由题意可得0m x -≥的解集为[11]
-，，即x m ≤的解集为[11]-，，故1m =． （2）由a ，b ，R c ∈，且1
11
123m a b c
++==， ∴()11
1232323a b c a b c a b c ??++=++++
???
23321112233b c a c a b a a b b c c =++++++++ 233233692233b c a c a b a a b b c c =+
+++++≥+=， 当且仅当2332 12233b c a c a b a
a b b c c
=
=====时，等号成立． 所以239a b c ++≥. 【点睛】
本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题．
24．（1）4
A π
=；（2
【解析】 【分析】
（1）通过cos C 求出sin C 的值，利用正弦定理求出sin A 即可得角A ；（2）根据
()sin sin B A C =+求出sin B 的值，由正弦定理求出边b ，最后在ACD ?中由余弦定理
即可得结果. 【详解】
（1）∵cos C =，∴sin C ===
.
由正弦定理sin sin a c A C
==
.
得sin A =cos 0C =<，∴C 为钝角，A 为锐角， 故4
A π
=
.
（2）∵()B A C π=-+，
∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=
+252510
??=
?-+?= ? ???. 由正弦定理得sin sin b a B A
=
102
=
得b = 在ACD ?中由余弦定理得：
2222cos CD AD AC AD AC A =+-?
?242222
=+-?
=
，∴CD =. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数知识的运用，属于中档题.
25．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
(1) 已知0,0a b >>直接对
11
a b
+使用均值不等式； (2)不等式分母为-a b ，通过降次构造-a b ，再使用均值不等式． 【详解】
证明：
(1)2 “”
11a b a b ≤===+时取； (2)()()()
2
2
22
244 4a b ab a b a b a b a b a b a b a b
-+-++===-+≥=----
，当
且仅当11a b ==
-+
或11a b ==-- 【点睛】
“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式． 26．（1）2
2
2x y +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证0OQ PF ?=，先设 P （m ，n ），则需证
330+-=m tn ，即根据条件1OP PQ ?=可得2231--+-=m m tn n ，而222m n +=，
代入即得330+-=m tn .
试题解析：解：（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），
00NP (x ,),MN 0,x y y =-=（）
由NP 2NM =
得0002
x y y ==
，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22
x 122
y +=.
因此点P 的轨迹为2
2
2x y +=.
由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则
OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---?=+-，，，，，
OP m n PQ 3m t n ==---，，（，）
. 由OP PQ 1?=得-3m-2m +tn-2n =1，又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0. 所以OQ PF 0?=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.
点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
高考数学压轴题含答案
高考数学压轴题含答案 RUSER redacted on the night of December 17,2020
【例 1】已知12,F F 为椭圆 2 2 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为B A ,，若1ABF ?为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） 1 1 C. 1 2 【课堂笔记】 【规律总结】 ............................................................................................................................................................................................................ 【例2】已知函数 x x x x ax x f ln ln )(2 -- +=有三个不同的零点321,,x x x （其中321x x x <<），则 211)ln 1(x x -)ln 1)(ln 1(3 322 x x x x --的值为 （ ） A ．a -1 B ．1-a C ．1- D ．1 【课堂笔记】 【规律总结】 【例3】已知函数()2h x x ax b =++在 ()0,1上有两个不同的零点，记 {}()( )min ,m m n m n n m n ≤??=?>??，则 ()(){}min 0,1h h 的取值范围 为 . 【课堂笔记】 【规律总结】 ........................................................................................................................................................................................................... 【例4】下表是一个由2n 个正数组成的数 表，用ij a 表示第i 行第j 个数(),,i j N ∈已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等.已知 113161351,9,48.a a a a =+== （1）求1n a 和4n a ； （2）设 ()() ()() 4144121n n n n n n a b a n N a a += +-∈--，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【例5】在平面直角坐标系中动点() ,P x y 到圆()2 2 :11F x y +-=的圆心F 的距离比 它到直线2y =-的距离小1. （1）求动点P 的轨迹方程；
高考数学中的放缩技巧
高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i
[数学]数学高考压轴题大全
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；
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