2012年全国中考数学分类解析-专题47 圆的有关性质
2012年全国中考数学试题分类解析汇编
专题47：圆的有关性质 一、选择题
1. （2012重庆市4分）已知：如图，OA ，OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 在⊙O 上，则∠ACB 的度数为【 】
A ．45°
B ．35°
C ．25°
D ．20° 【答案】A 。
【考点】圆周角定理。 【分析】∵OA ⊥OB ，∴∠AOB=90°。∴∠ACB=45°。故选A 。
2. （2012海南省3分）如图，点A 、B 、O 是正方形网格上的三个格点，⊙O 的半径为OA ，
点P 是优弧
AmB 上的一点，则tan APB ∠的值是【 】
A ．1 B
． C
． D
【答案】A 。
【考点】圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义。 【分析】如图，连接AO 并延长交⊙O 于点P1，连接AB ，BP1。设网格的边长为a 。 则由直径所对圆周角是直角的性质，得∠ABP1=900。 根据勾股定理，得
。
根据正切函数定义，得
11AB tan AP B=
BP ∠。
根据同弧所对圆周角相等的性质，得∠ABP=∠ABP 。∴1tan APB=tan AP B=1∠∠。故选A 。 3. （2012陕西省3分）如图，在半径为5的圆O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为
P ，且AB=CD=8，则OP 的长为【 】
P 1
A．3 B．4 C．D．2
4
【答案】C。
【考点】垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，
∵AB=CD=8，
∴由垂径定理和全等三角形的性质得，AM=BM=CN=DN=4，OM=ON。
又∵OB=5，∴由勾股定理得：OM3
∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°。
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°。
∴四边形MONP是正方形。∴PM=PN=OM=ON=3。
∴由勾股定理得：OP=C。
4. （2012广东深圳3分）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐
标为(0，3)，M是第三象限内 OB
上一点，∠BM0=120o，则⊙C的半径长为【】
A．6 B．5 C．3 D。
【答案】C。
【考点】坐标与图形性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，含30度角的直角三角形的性质。
【分析】∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°。
∵AB是⊙O的直径，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°－∠BAO=90°－60°=30°，
∵点A的坐标为（0，3），∴OA=3。∴AB=2OA=6，∴⊙C的半径长=AB
2=3。故选C。
5. （2012浙江湖州3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC 的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是【】
A．45°B．85°C．90°D．95°
【答案】B。
【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系圆心角、弧、弦的关系。
【分析】∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°。
∵∠C=50°，∴∠BAC=40°。
∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD=∠DBC=45°。∴∠CAD=∠DBC=45°。
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°。故选B。
6. （2012浙江衢州3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，则sin∠AOB的值是【】
A．B．C．D．
【答案】C。
【考点】圆周角定理，特殊角的三角函数值。
【分析】由点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB=2∠ACB=60°，然后由特殊角的三角函数值得：
sin∠AOB=sin60°=。故选C。
7. （2012浙江台州4分）如图，点A、B、C是⊙O上三点，∠AOC=130°，则∠ABC等于【】
A． 50°B．60°C．65°D．70°
【答案】C。
【考点】圆周角定理。
【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠ABC=1
2∠AOC=65°。故选C。
8. （2012江苏淮安3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝400，则∠B的度数为【】
A 、800
B 、600
C 、500
D 、400 【答案】C 。
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。
【分析】根据直径所对圆周角不直角的性质，由AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上得∠C ＝900；根据三角形内角和定理，由∠A ＝400，得∠B=1800－900－400=500。故选C 。
9. （2012江苏苏州3分）如图，已知BD 是⊙O 直径，点A 、C 在⊙O 上， AB=BC ，∠AOB=60°，
则∠BDC
的度数是【 】
D
C
B
A
O
A.20°
B.25°
C.30°
D. 40° 【答案】C 。
【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系。
【分析】利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BDC 的度数：
∵ AB=BC ，∠AOB=60°，∴∠BDC=12∠AOB=30°。故选C 。
10. （2012江苏泰州3分）如图，△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于D ，∠A=50°，则∠OCD 的度数是【 】
A ．40°
B ．45°
C ．50°
D ．60° 【答案】A 。
【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理。 【分析】连接OB ，
∵∠A 和∠BOC 是弧
BC 所对的圆周角和圆心角，且∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°。
又∵OD ⊥BC ，∴根据垂径定理，∠DOC=1
2∠BOC=50°。
∴∠OCD=1800－900－500=400。故选A 。
11. （2012江苏徐州3分）如图，A 、B 、C 是⊙O 上的点，若∠AOB=700，则∠ACB 的度数为【 】
A ．700
B ．500
C ．400
D ．350 【答案】D 。
【考点】圆周角定理。
【分析】根据同（等）弧所对圆周有是圆心角一半的性质直接得出结果：
∠ACB=12∠AOB=1
2×700=350。故选D 。
12. （2012湖北恩施3分）如图，两个同心圆的半径分别为4cm 和5cm ，大圆的一条弦AB 与小圆相切，则弦AB 的长为【 】
A ．3cm
B ．4cm
C ．6cm
D ．8cm 【答案】C 。
【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理。
【分析】如图，连接OC ，AO ，
∵大圆的一条弦AB 与小圆相切，∴OC ⊥AB 。∴AC=BC=1
2AB
∵OA=5cm ，OC=4cm ，
∴在Rt △AOC 中，AC 3=。
∴AB=2AC=6（cm ）。故选C 。
13. （2012湖北黄冈3分）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD=12，则⊙O 的直径为【 】
A. 8
B. 10
C.16
D.20
【答案】D ．
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】连接OC ，根据题意，CE=1
2CD=6，BE=2．
在Rt △OEC 中，设OC=x ，则OE=x-2，∴（x-2）2+62=x2，解得：x=10。 ∴直径AB=20。故选D ．
14. （2012湖北随州4分）如图，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC=350，则么∠ADC=【 】 A.350 B.550 C.700 D.1100
【答案】B 。
【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系。 【分析】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。 ∵∠BAC=35°，∴∠B=90°－∠BAC=90°－35°=55°（直角三角形两锐角互余）
∵∠B 与∠ADC 是 AC 所对的圆周角，
∴∠ADC=∠B=55°（同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）。故选B 。 15. （2012湖北襄阳3分）△ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC 的度数是【 】 A ．80° B ．160° C ．100° D ．80°或100° 【答案】D 。
【考点】圆周角定理。1028458
【分析】根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC 的度数，又由圆的内接四边四边形性质，即可求得∠AB′C 的度数：
如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=12∠AOC=12×160°=80°。
∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°。 ∴∠ABC 的度数是：80°或100°。故选D 。
16. 10. （2012湖北鄂州3分）如下图OA=OB=OC 且∠ACB=30°，则∠AOB 的大小是【 】
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
【答案】C 。
【考点】圆周角定理。 【分析】∵OA=OB=OC ，∴A 、B 、C 在以O 为圆心OA 为半径的圆上。 作⊙O 。
∵ ∠ACB 和∠AOB 是同弧 AB 所对的圆周角和圆心角，且∠ACB=30°，
∴根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质，得∠AOB=60°。故选C 。
17. （2012湖南湘潭3分）如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，若∠ABC=40°，则∠BOD=【 】
A ．20°
B ．40°
C ．50°
D ．80° 【答案】D 。
【考点】圆周角定理，平行线的性质。 【分析】∵弦AB ∥CD ，∴∠ABC=∠BCD （两直线平行，内错角相等） 又∵∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠ABC=2×40°=80°（同圆所对圆周角是圆心角的一半）。故选D 。
18. （2012四川内江3分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥A ，∠CDB=300，CD=阴影部分图形的面积为【 】
A.4π
B.2π
C.π
D.23π
【答案】D 。
【考点】垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积公式。 【分析】连接OD 。
∵CD ⊥AB ，CD=CE=DE=1
CD 2=。
∴OCE CDE S S ??=。∴阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积。 又∵∠CDB=30°，∠COB=∠BOD ，∴∠BOD=60°（圆周角定理）。 ∴OC=2。
∴
2OBD 602 2S 3603ππ?==
扇形，即阴影部分的面积为23π。故选D 。
19. （2012四川达州3分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连结OB 、OC ，若OB=BC ，则∠BAC
等于【 】
A 、60°
B 、45°
C 、30°
D 、20° 【答案】C 。
【考点】圆周角定理，等边三角形的判定和性质。 【分析】∵OB=BC=OC ，∴△OBC 是等边三角形。∴∠BOC=60°。
∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠BAC=12∠BOC=30°。故选C 。
20. （2012四川德阳3分）已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，∠ABC=30°，那么∠BAD=【 】
A.45°
B. 60°
C.90°
D. 30° 【答案】D 。
【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质。 【分析】∵∠ADC 与∠ABC 所对的弧相同，∴∠ADC=∠ABC=30°。 ∵OA=OD ，∴∠BAD =∠ADC 30°，故选D 。
21. （2012四川泸州2分）如图，在△ABC 中，AB 为⊙O 的直径，∠B = 60°，∠BOD = 100°，则∠C 的
度数为【 】
A 、50°
B 、60°
C 、70°
D 、80° 【答案】C 。
【考点】圆周角定理，三角形的内角和定理。
【分析】∵∠BOD＝100°，∴∠A＝1
2∠BOD＝50°。
∵∠B＝60°，∴∠C=180°－∠A－∠B=70°。故选C。
22. （2012贵州黔东南4分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD 的度数为【】
A．35°B．45°C．55°D．75°
【答案】A。
【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角关系。
【分析】连接AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.
∵∠ABD=55°，∴∠A=90°﹣∠ABD=35°。
∴∠BCD=∠A=35°。故选A。
23. （2012贵州黔南4分）如图，在⊙O中，∠ABC=500，则∠CAO等于【】
A．300 B．400 C．500 D．600
【答案】B。
【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。
【分析】∵∠ABC和∠AOC是弧 AC
所对的圆周角和圆心角，
∴∠AOC=2∠ABC=1000（同圆或等圆中同弧所对圆周角是圆心角的一半）。∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）。
∴根据三角形内角和定理，得∠CAO=
180AOC
=40
2
-∠
。故选B。
24. （2012贵州黔西南4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为【】
（A）40°（B）30°（C）50°（D）60°
【答案】C。
【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理；三角形内角和定理．
【分析】∵OA=OB，∠ABO＝40°，∴∠BAO=∠ABO=40°（等边对等角）。
∴∠AOB=100°（三角形内角和定理）。
∴∠ACB=50°（同弧所对圆周角是圆心角的一半）。故选C。
25. （2012山东泰安3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是【】
A．CM=DM B．
CB=DB C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD
【答案】D。
【考点】垂径定理，弦、弧和圆心角的关系，全等三角形的判定和性质。【分析】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；
∵B为 CD
的中点，即
CB=DB，选项B成立；
在△ACM和△ADM中，∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM，
∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立。
而OM与MD不一定相等，选项D不成立。
故选D。
26. （2012山东枣庄3分）如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A 优弧上一点，则cos∠OBC 的值为【】
A．1
2B
．C．
3
5D．
4
5
【答案】B。
【考点】同弧所对圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质，300角的三角函数值。【分析】连接AO，CO，由已知⊙A的直径为10，点C(0，5)，知道△OAC是等边三角形，所以∠CAO=600，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半知∠OBC =300，因此∠OBC
的余弦值为。故选B。
27. （2012山东淄博4分）如图，⊙O的半径为2，弦
AB=，点C在弦AB上，
AC B
1
4
A
=
，
则OC的长为【】
(C)
(D)
【答案】D。
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】如图，过点O作OD⊥AB于点D，则AD=BD。
∵
AB=，
1
AC AB
4
=
，∴
CD=。
又∵⊙O的半径为2，即OB=2
，∴
OD1
==
。
∴
OC=
。故选D。
28. （2012广西河池3分）如图，已知AB为⊙O的直径，∠CAB=300，则∠D的度数为
【】
A．30° B．45°C．60° D．80°
【答案】C。
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。
【分析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°。
∵∠CAB=30°，∴∠B=90°－∠CAB=60°。∴∠D=∠B=60°。故选C。
29. （2012云南省3分）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC.若∠BAD=600，则∠BCD 的度数为【
】
A. 40?
B. 50?
C. 60?
D. 70?
【答案】C。
【考点】圆周角定理。
【分析】∵∠BAD和∠BCD都是⊙O的
BD所对的圆周角，
∴根据同弧或等弧所对的圆周角相等的性质，得∠BCD＝∠BAD=600。故选C。30. （2012河北省2分）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是【】
A．AE＞BE B．
AD BC
=C．∠D=
1
2∠AEC D．△ADE∽△CBE
【答案】D。
【考点】垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】∵CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，
∴根据垂径定理，得AE=BE。故选项A错误。
如图，连接AC，则根据同弧所对的圆周角相等的性质，得∠D=∠B，
∴BC=AC。
根据垂径定理，只有在AB是直径时才有AC=AD，而AB不是直径，∴AD≠AC。
∴
AD AC
≠。
∴
AD BC
≠。故选项B错误。
如图，连接AO，则根据同弧所对的圆周角是圆心角一半的性质，得∠D=1
2∠AOC。
∵∠AEC是△AOE的外角，∴∠AEC＞∠AOC。∴∠D＜1
2∠AEC。故选项C错误。
∵根据同弧所对的圆周角相等的性质，得∠D=∠B，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE∽△CBE。故选项D正确。
故选D。
31. （2012黑龙江大庆3分）如图所示，已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC=【】
A.90°
B.180°
C.270°
D.360°
【答案】B。
【考点】圆周角定理。
【分析】∵∠ADC，∠AEB，∠BAC所对圆弧正好是一个圆周，
∴∠ADC+∠AEB+∠BAC=180°。故选B。
32. （2012黑龙江哈尔滨3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=600，0P⊥AC于点P，
则⊙O的半径为【】．
(C)8 (D)12
【答案】A。
【考点】圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。
【分析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为 AC
，且∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°（在同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半）。
又OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°（等边对等角和三角形内角和定理）。
∵OP⊥AC，∴∠AOP=90°（垂直定义）。
在Rt△AOP中，，∠OAC=30°，
∴30度角所对的边是斜边的一半）。
∴⊙O的半径A。
二、填空题
1. （2012天津市3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，若∠CAB=550，则∠ADC的大小为▲ （度）．
【答案】35。
【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系。
【分析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=55°，∴∠B=90°－∠CAB=35°。∴∠ADC=∠B=35°。
2. （2012安徽省5分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= ▲ °.
【答案】60。
【考点】圆周角定理，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质。
【分析】∵∠AOC和∠D分别是弧 ABC
所对的圆心角和圆周角，
∴根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得∠AOC=2∠D。
又∵四边形OABC是平行四边形，∴∠B=∠AOC。
又∵圆内接四边形对角互补，即∠B+∠D=180°，∴∠D=60°。
连接OD，
则OA=OD，OD=OC，∠OAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC，
∴∠OAD＋∠OCD=∠ODA＋∠ODC=∠D= 60°。
3. （2012广东省4分）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC的度数是▲ ．
【答案】50°。
【考点】圆周角定理。
【分析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对弧 AC
，
∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠AOC=2∠ABC，
又∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°。
4. （2012广东汕头4分）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC的度数是▲ ．
【答案】50°。
【考点】圆周角定理。
【分析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对弧 AC
，
∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠AOC=2∠ABC，
又∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°。
5. （2012广东湛江4分）如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点B，交⊙O于点C，AB=24，则CD的长是▲ ．
【答案】8。
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】连接OA，
∵OC⊥AB，AB=24，∴AD=1
2AB=12，
在Rt△AOD中，∵OA=13，AD=12，
∴5
=。
∴CD=OC﹣OD=13﹣5=8。
6. （2012广东珠海4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么sin∠OCE=▲ ．
【答案】
5 13。
【考点】垂径定理，勾股定理，锐角三角函数的定义。
【分析】如图，设AB与CD相交于点E，则根据直径AB=26，得出半径OC=13；由CD=24，CD⊥AB，根据垂径定理得出CE=12；在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OE=5；再根据正弦函数的定义，求出sin∠OCE的度数：
OE 5
sin OCE =
OC 13∠=
。
7. （2012浙江嘉兴、舟山5分）如图，在⊙O 中，直径AB 丄弦CD 于点M ，AM=18，BM=8，则CD 的长为 ▲ ．
【答案】24。
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】连接OC ，∵AM=18，BM=8，∴AB=26，OC=OB=13。∴OM=13﹣8=5。
在Rt △OCM 中，CM 12=。
∵直径AB 丄弦CD ，∴CD=2CM=2×12=24。
8. （2012浙江衢州4分）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为 ▲ mm ．
【答案】8。
【考点】垂径定理的应用，勾股定理。 【分析】连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则AB=2AD ， ∵钢珠的直径是10mm ，∴钢珠的半径是5mm 。
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，∴OD=3mm 。
在Rt △AOD 中，∵
AD 4mm ， ∴AB=2AD=2×4=8mm 。
9. （2012浙江台州5分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 ▲ 厘米．
【答案】10。
【考点】垂径定理，勾股定理，矩形的性质，解方程组。
【分析】如图，过球心O 作IG ⊥BC ，分别交BC 、AD 、劣弧
EF 于点G 、H 、
I ，连接OF 。设OH=x ，HI=y ，则依题意，根据垂径定理、勾股定理和矩形的性质，得
()2
22x +8=x+y 2x+y=16?????，解得x=6y=4??
?。∴球的半径为x ＋y=10（厘米）。
10. （2012江苏南通3分）如图，在⊙O 中，∠AOB ＝46o，则∠ACB ＝ ▲ o．
【答案】23°。
【考点】圆周角定理。
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半的性质，
∵∠AOB 和∠ACB 是同⊙O 中同弧
AB 所对的圆周角和圆心角，且∠AOB ＝46o，∴
∠ACB=12∠AOB=12×46°=23°。
11. （2012江苏徐州2分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，AC=8，BC=6，则sin ∠ABD= ▲ 。
【答案】4
5。
【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，勾股定理，锐角三角函数定义。 【分析】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=900。 又∵CD ⊥AB ，∠ACD=∠ABC 。 又∵∠ABD 和∠ACD 是同弧所对的圆周角，∴∠ABD=∠ACD 。∴∠ABD=∠ABC 。
又∵AC=8，BC=6，∴由勾股定理得AB=10。∴sin ∠ABD=sin ∠ABC=
AC 84
AB 105==。 12. （2012福建南平3分）如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D 在⊙O
上，∠ADC=68°，则∠BAC= ▲
【答案】22°。
【考点】圆周角定理。
【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B 的度数，又由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，继而求得答案： ∵∠ABC 与∠ADC 是 AC 对的圆周角，∴∠ABC=∠ADC=68°。 ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°。∴∠BAC=90°－∠ABC=90°－68°=22°。
13. （2012湖北荆门3分） 如图，在直角坐标系中，四边形OABC 是直角梯形，BC ∥OA ，⊙P 分别与OA 、OC 、BC 相切于点E 、D 、B ，与AB 交于点F ．已知A （2，0），B （1，2），则tan ∠FDE= ▲ ．
【答案】12。
【考点】切线的性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理。 【分析】连接PB 、PE ．
∵⊙P 分别与OA 、BC 相切于点E 、B ，∴PB ⊥BC ，PE ⊥OA 。 ∵BC ∥OA ，∴B 、P 、E 在一条直线上。
∵A （2，0），B （1，2），∴AE=1，BE=2。∴
AE 1
tan ABE BE 2∠=
=
。
∵∠EDF=∠ABE ，∴tan ∠FDE=1
2。
14. （2012湖北咸宁3分）如图，量角器的直径与直角三角板ABC 的斜边AB 重合，其中量角器0刻度
线的端点N 与点A 重合，射线CP 从CA 处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP 与量角器的半
圆弧交于点E ，第35秒时，点E 在量角器上对应的读数是 ▲ 度．
【答案】140。
【考点】圆周角定理。
【分析】连接OE，
∵∠ACB=90°，∴点C在以AB为直径的圆上，即点C在⊙O上。
∴∠EOA=2∠ECA。
∵∠ECA=2×35°=70°，
∴∠AOE=2∠ECA=2×70°=140°，即点E在量角器上对应的读数是140°。
15. （2012湖南益阳4分）如图，点A、B、C在圆O上，∠A=60°，则∠BOC=▲ 度．
【答案】120。
【考点】圆周角定理。
【分析】∵∠BAC和∠BOC是同弧所对的圆周角和圆心角，
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°。
17. （2012湖南株洲3分）已知：如图，在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，则∠AOB=▲ ．
【答案】90°。
【考点】圆周角定理。
【分析】由在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB的度数：
∵在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°。
18. （2012四川成都4分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若
AB=，0C=1，则
半径OB的长为▲ ．
【答案】2。
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，
AB=，∴BC=1 2
∵OC=1，∴在Rt△OBC
中，
OB2
=
。
19. （2012四川广元3分）在同一平面上，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，
则⊙O的半径为▲ cm
【答案】2。
【考点】点与圆的位置关系。
【分析】当点P在圆外时，直径=6 cm－2 cm =4cm，因而半径是2cm。
20. （2012辽宁鞍山3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，
sinA=1
2，则∠D的度数是
▲ ．
【答案】30°。
【考点】圆周角定理，特殊角的三角函数值，直角三角形两锐角的关系，等边三角形的判定和性质，对顶角的性质。1367104
【分析】∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
又∵sinA=1
2，∴∠CAB=30°。∴∠ABC=60°（直角三角形的两个锐角互余）。
又∵点O是AB的中点，∴OC=OB。∴△OCB是等边三角形。∴∠COB=60°。
中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析
中考数学综合专题训练【几何综合题】（几何）精品解析 在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。 在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。 一.考试说明要求 图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。 图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。 图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二.基本图形及辅助线 解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例： 1、与相似及圆有关的基本图形
中考数学真题试题(含解析)
中考数学试卷// 一、单项选择题（本大题共12小题；每小题3分，共36分；在每小题提供的四个选项中，只有一个是正确的） 1．（3分）（2015?崇左）一个物体作左右方向的运动，规定向右运动4m记作+4m，那么向左运动4m记作（） 1.A【解析】根据用正负数表示两种具有相反意义的量的方法，可得：向右运动记作+4m，，则向左运动4m，记为-4m． 备考指导：此题主要考查了用正负数表示两种具有相反意义的量，解答此题的关键是要明确：具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．2．（3分）（2015?崇左）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（） ．．．． 2.C【解析】
点评：常用的判断两角关系的方法根据：平行线性质、对顶角、互余互补及其性质，三角形外角性质等. 3．（3分）（2015?崇左）下列各组中，不是同类项的是（） a 3. D【解析】数字都是同类项，故A不符合题意；D选项中两单项式所含字母相同，但相同字母系数不同，故不是同类项,故D符合题意. 备考指导：解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，相同字母的指数相同．
4．（3分）（2015?崇左）下列计算正确的是（ ） 3+=3 4. C 【解析】 点评：①有理数减法要转化为加法来计算，遵循先定和的符号再确定和的绝对值的运算顺序；②只有同类二次根式才能合并；③常用的幂的运算①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即=?n m a a n m a +（m 、n 为整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即=÷n m a a n m a -（a≠0，m 、n 为整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即=n m a )(mn a （m 、n 为整数）；④积的乘方法则：把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘。即=n ab )(n n b a （n 为整数）. 5．（3分）（2015?崇左）如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相对面上的字是（ ）
中考数学知识点总结
中考数学知识点总结 一、常用数学公式 公式分类公式表达式 乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 二、基本方法 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理
中考数学试题分类
中考数学试题分类 荟萃之基本 图形 1?如图1,已知△ ABC的周长为m，分别连接的中点 A, B" Ci得厶ABiCi，再连接AiB，B1C1, GA,的中点 A2，B2, C2 得厶A Q B2C2，再连接A2B2, B2C2, C2A2 的中点 A B3，C3得厶A3B3C3L L，这样延续下去，最后得△ A n B n C n. 设^ A1B1C1的周长为11, △ A Q B2C2的周长为12 , △ A3 B3C3的周长为l3 L l n , B
X 则I n _____________________ . (06广东梅州) 2.如图 2，已知直线 AB // CD , / ABE 60o , / CDE 20o , 度.(06广东湛江) ②OB = OC ;③/ ABE = Z ACD ; @ BE = CD 。 (1) 请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确 . 命题的条件是 —和—，命题的结论是 —和—(均填序号)。 (2) 证明你写出的命题。 已知： 求证： 证明： (06广东佛山) B 9. 已知：Rt A OAB 在直角坐标系中的位置如图所示， P(3， 4)为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段 PC 把Rt A OAB 分割成两部分。 问：点C 在什么位置时，分割得到的三角形与 Rt A OAB 相似？(注：在图 3.如图，若△ OAD^A OBC 且/ 0=65。，/ C=20°， 则/ OAD= . (06 珠海) 4.如图 4，已知 AD AE , AB AC . (1)求证：/ B / C ; (2)若/ A 50°，问△ ADC 经过怎样的变换能与 (06广东肇庆) 5.在△ ABC 中， 1 CF -BC . 2 (1) 求证： (2) 求证： AB AC ，点D ，E 分别是 DE BE AB, AC 的中点 F 是BC 延长线上的一点，且 图5 CF ; EF . (06广东肇庆) AB// CD,若/ 2=135 °，则么/ l 的度数是() (B)45 ° (C)60 ° (D)75 ° 6. 如图1， (A)30 ° 7. 已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是 (A)l ，2，3 (B)2 ，5，8 (C)3 ，4，5 (D)4 ，5，10 .(06 广州) .(06广州) 8..如图，D 、E 分别为△ ABC 的边AB 、AC 上的点, BE 与CD 相交于O 点。现有四个条件：① AB = AC ;
(完整版)中考数学动点问题专题讲解
动点及动图形的专题复习教案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.
中考数学几何知识点总结(专题汇总)
2019中考数学几何知识点总结(专题汇总) 1 同角或等角的余角相等 2 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3 过两点有且只有一条直线 4 两点之间线段最短 5 同角或等角的补角相等 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的
和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于
全国各地中考数学试题分类汇编 网格专题
2011年全国各地中考数学试卷试题分类汇编网格专题 一、选择题 1．（2011年浙江省杭州市中考数学模拟22)如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ∠ABC 等于（ ） A 、 55 B 、552 C 、5 D 、3 2 答案：B 2.（2011年北京四中模拟28）下列位于方格纸中的两个三角形，既不成轴对称又不成中心对称的是（ ） （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 答案：A 3.(2011山西阳泉盂县月考)如图△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC 等于（ ） A 、5 B 、 552 C 、 55 D 、3 2 答案：C 4.(2011北京四中模拟)如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、K 都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、K 四点中的 ( ) A ．F B ．G C ．H D ． K （第1题）
答案：C 5．（2011年浙江省杭州市中考数学模拟22)如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（） A、 5 5 B、 5 5 2 C、5 D、 3 2 答案：B 6.（2011年北京四中模拟28）下列位于方格纸中的两个三角形，既不成轴对称又不成中心对称的是（） （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ） 答案：A 7. （2011浙江慈吉模拟）如图所示网格中, 已知②号三角形是由①号三角形经旋转变化得到的, 其旋转中心是下列各点中的（） A. P B. Q C. R D. S 答案：C 8. （安徽芜湖2011模拟）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中 建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（－2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A.（－1，2）B. （1，－1）C. （－1，1）D. （2，1）. 答案: C （第5题）
中考数学专题训练：类比探究类问题解析版
类比探究类问题解析版 1、如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动 点，连结EM并延长交线段CD的延长线于点F． (1) 如图1，求证：AE=DF； (2) 如图2，若AB=2，过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明 理由； 2，过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G． (3) 如图3，若AB=3 ① 直接写出线段AE长度的取值范围； ② 判断△GEF的形状，并说明理由． 【答案】解：（1）在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM＝900，∠AME=∠FMD。 ∵AM=DM，∴△AEM≌△DFM（ASA）。∴AE=DF。 （2）△GEF是等腰直角三角形。理由如下： 过点G作GH⊥AD于H， ∵∠A=∠B=∠AHG=90°， ∴四边形ABGH是矩形。∴GH=AB=2。 ∵MG⊥EF，∴∠GME=90°。 ∴∠AME＋∠GMH=90°。 ∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。 又∵AD=4，M是AD的中点，∴AM=2。∴AN=HG。 ∴△AEM≌△HMG（AAS）。∴ME=MG。∴∠EGM=45°。 由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF。 又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴∠EGF=2∠EGM =90°。 ∴△GEF是等腰直角三角形。
（3）①23 3 ＜AE≤23。 ②△GEF是等边三角形。理由如下： 过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H， ∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形。 ∴GH=AB=23。 ∵MG⊥EF，∴∠GME=90°。∴∠AME＋∠GMH=90°。∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。 又∵∠A=∠GHM=90°，∴△AEM∽△HMG。∴MG GH EM AM =。 在Rt△GME中，∴tan∠MEG=MG GH23 3 EM AM2 ===。∴∠MEG=600。 由（1）得△AEM≌△DFM．∴ME=MF。 又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴△GEF是等边三角形。 2、（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF； （2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积． 【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF， ∴△CBE≌△CDF（SAS）。∴CE＝CF。 （2）证明：如图，延长AD至F，使DF=BE．连接CF。 由（1）知△CBE≌△CDF，
初三数学圆知识点复习专题经典
《圆》 一、圆的概念 概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +； 外切（图2）?有一个交点?d R r =+； 相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+； 内切（图4）?有一个交点?d R r =-； 内含（图5）?无交点?d R r <-； A
r R d 图3 r R d 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例题1、 基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大 深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. r R d 图4 r R d 图5 r R d O E D C A O C D A B
最新全国各地中考数学试题分类解析(1)
全国各地中考数学试题分类解析 第一篇 基础知识篇 第一单元 实数 考点1 实数分类 [考题精选]例1、（2000年哈尔滨市中考题）在实数80108.0,71,3, 13.,2..πo 中，无理数的个数为（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 例2、（2000年四川省中考题）在实数16,,14.3,4,5,2o --中，无理数共有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 考点2 倒数、相反数 [考题精选]例1、（2000年广西壮族自治区中考题）如果211,21-=+ =b a ，那么a 与b （ ） A 、互为倒数 B 、互为相反数 C 、互为有理化因式 D 、相等 例2、（2000年陕西省汉中市中考题）一个数的相反数的倒数是,2 12-则这个数是（ ） A 、-2/5 B 、5/2 C 、2/5 D 、-5/2 考点3 绝对值 [考题精选]例1、（2000年宿迁市中考题）若a ≤0，则a+|a|= 例2、（2000年河北省中考题）已知：|x|=3 , |y|=2 ,且xy<0，则x+y 的值等于 例3、（2000年潜江市中考题）已知|a+b|+|a-b|-2b=0，在数轴给出关于的四种位置 关系，则可能成立的有（ ） A 、1种 B 、2种 C 、3种 D 、4种 例4、（1999年十堰市中考题）对于负实数a ，下列各式成立的是（ ） A 、|a-(-a)|=2a B 、|a-(-a)|= -2a C 、|a-(-a)|=0 D 、|a-(-a)|= ±a 考点4 平方根与算术平方根 [考题精选]例1、（2000年荆门市中考题）(-6)2的算术平方根是 例2、（2000年孝感市中考题）16的平方根是（ ） A 、2 B 、±2 C 、4 D 、±4 考点5 近似数与不效数字 [考题精选]例1、（2000年河南省中考题）用四舍五入法，对200626取近似值，保留四个有效数字， 200626≈ 例2、（1997年四川省中考题）近似数0.03020的有效数字的个数的精确试分别是
中考数学综合题专题复习【相似】专题解析
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣ x﹣1交于点C． （1）求抛物线解析式及对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得 解得 ∴抛物线解析式为：y= x2?x?1 ∴抛物线对称轴为直线x=- ＝1 （2）解：存在 使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小 ∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点． 设过点C′、O直线解析式为：y=kx
∴k=- ∴y=- x 则P点坐标为（1，- ） （3）解：当△AOC∽△MNC时， 如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E ∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90° ∴∠CDN=∠CAO 由相似，∠CAO=∠CMN ∴∠CDN=∠CMN ∵MN⊥AC ∴M、D关于AN对称，则N为DM中点 设点N坐标为（a，- a-1） 由△EDN∽△OAC ∴ED=2a ∴点D坐标为（0，- a?1） ∵N为DM中点 ∴点M坐标为（2a，a?1） 把M代入y= x2?x?1，解得 a=4 则N点坐标为（4，-3） 当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM ∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N
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第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= - b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性： -a （a <0） a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法 把一个数写做n a 10?±的形式，其中101<≤a ，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。 考点五、实数大小的比较 1、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
中考数学方案设计试题分类汇编
中考数学方案设计试题分类汇编 一、图案设计 1、（xx 四川乐山）认真观察图（10.1）的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题： （1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征． 特征1：_________________________________________________； 特征2：_________________________________________________． （2）请在图（10.2）中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征 解：（ 1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积；等 ··························································································· 6分 （2）满足条件的图形有很多，只要画正确一个，都可以得满分． ······················· 9分 2、（xx 福建福州）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案． 提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种． 解：以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一．（满分8分） 3、（xx 哈尔滨）现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合（如图1、图2、 图（10.1） 图（10.2） ① ② ③ ④ ⑤
中考数学《压轴题》专题训练含答案解析
压轴题 1、已知,在平行四边形O ＡＢC 中,O Ａ=５，AB ＝4，∠OCA=90°,动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Ｑ从A 点出发沿射线ＡB 方向以每秒1个单位的速度移动.设移动的时间为ｔ秒. (１）求直线AC 的解析式; (2)试求出当t 为何值时,△O ＡC 与△PAQ 相似; （3)若⊙P 的半径为 58，⊙Q 的半径为2 3 ；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、B Ｃ的位置关系,并求出Q 点坐标。 解:(１）42033 y x =- + （２)①当0≤ｔ≤2．5时,Ｐ在O Ａ上，若∠OAQ ＝9０°时， 故此时△OA Ｃ与△PAQ 不可能相似. 当ｔ>2．5时,①若∠APQ=90°，则△A ＰQ ∽△ＯCA ， ∵t>2．5,∴ 符合条件. ②若∠A ＱP=９0°，则△APQ ∽△∠OA Ｃ， ∵t>2.5，∴ 符合条件.
综上可知,当 时，△O ＡC 与△APQ 相似． （３)⊙Q 与直线ＡＣ、B Ｃ均相切，Q 点坐标为（ 10 9 ,5 31） 。 ２、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为ｘ轴,ＯC 所在的直线为ｙ轴，建立平面直角坐标系.已知OA ＝3,ＯC =2，点E 是AB 的中点，在ＯA 上取一点D ，将△BD Ａ沿ＢD 翻折,使点A 落在BC 边上的点F 处． (1)直接写出点E 、F 的坐标； (2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式; (3)在x 轴、ｙ轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形ＭNF Ｅ的周长最小？如果存在，求出周长的最小值;如果不存在，请说明理由. 解：（1)(31)E ，;(12)F ，.(２）在Rt EBF △中,90B ∠=, 2222125EF EB BF ∴=+=+=. 设点P 的坐标为(0)n ，,其中0n >， 顶点(1 2)F ，， ∴设抛物线解析式为2 (1)2(0)y a x a =-+≠. ①如图①，当EF PF =时，22 EF PF =,2 2 1(2)5n ∴+-=. 解得10n =（舍去）;24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+.解得2a =. ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+ （第2题）
中考数学知识点总结(完整版)
中考数学总复习资料 代数部分 第一章：实数 基础知识点： 一、实数的分类： ?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成 q p 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数?a+b=0 2、倒数： （1）实数a （a ≠0）的倒数是a 1；（2）a 和b 互为倒数?1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值： （1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：
?????-==0,0, 00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 （3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 4、n 次方根 （1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。 （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。 （4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 三、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。 四、实数大小的比较 1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。 2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。 五、实数的运算 1、加法： （1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。 2、减法： 减去一个数等于加上这个数的相反数。 3、乘法： （1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。
全国中考数学试题分类汇编
A B C D P E 2015年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 2 4 1x +1，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标； (2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时. ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值. (1)M(0,2)(2)1AC:y= 21x+1.PQ // MC.t x x --+0 14 12 =21 2. 如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点 A 、D ），连结PC ， 过点P 作PE ⊥PC 交A B 于E （1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围． （3）存在，理由如下： 如图2，假设存在这样的点Q ，使得QC ⊥QE. 由（1）得：△PAE ∽△CDP ， ∴ ， ∴ ，
∵QC ⊥QE ，∠D ＝90 ° ， ∴∠AQE ＋∠DQC ＝90 ° ,∠DQC ＋∠DCQ ＝90°， ∴∠AQE=∠DCQ. 又∵∠A=∠D=90°， ∴△QAE ∽△CDQ ， ∴ ， ∴ ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵AP≠AQ ，∴AP ＋AQ ＝3.又∵AP≠AQ ，∴AP≠ ，即P 不能是AD 的中点， ∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在， 综上所述， 的取值范围8 7 ≤ ＜2； 3.如图，已知抛物线y ＝－1 2 x 2＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． (1)令x=0,得y=4 即点B 的坐标为(0,4) 令y=0,得(-1/2)x2+x+4=0 则x2-2x-8=0 ∴x=-2或x=4 ∴点A 的坐标为(4,0) 直线AB 的解析式为 (y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4 (2)由(1),知直线AB 的解析式为y=-x+4
中考数学综合题专题复习【圆】专题解析
中考数学综合题专题复习【圆】专题解析 一．教学内容: １．圆的内容包括:圆的有关概念和基本性质,直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。 2. 主要定理: (1)垂径定理及其推论。 (２）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。 (3)圆周角定理、弦切角定理及其推论。 （4)圆内接四边形的性质定理及其推论。 （5）切线的性质及判定。 （6)切线长定理。 (7)相交弦、切割线、割线定理。 (8)两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。 (9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。 （10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。 (11)正n边形的有关计算。 二. 中考聚焦: 圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表： 圆的知识在中考中所占的比例大,题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题,中考的压轴题都综合了圆的知识。 三. 知识框图： 圆 圆的有关性质 直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆 ? ? ? ? ? ? ?
圆的有关性质 圆的定义 点和圆的位置关系（这是重点） 不在同一直线上的三点确定一个圆 圆的有关性质 轴对称性—垂径定理（这是重点） 旋转不变性 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 圆心角定理 圆周角定理（这是重点） 圆内接四边形（这是重点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 直线和圆的位置关系 相离 相交 相切 切线的性质（这是重点） 切线的判定（这是重点） 弦切角（这是重点） 和圆有关的比例线段（这是重点难点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圆和圆的位置关系 外离 内含 相交 相切 内切（这是重点） 外切（这是重点）两圆的公切线 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正多边形和圆 正多边形和圆 正多边形定义 正多边形和圆 正多边形的判定及性质 正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算 圆周长、弧长（这是重点） 圆、扇形、弓形面积（这是重点） 圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【典型例题】 【例1】. 爆破时,导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点１２０m以外的安全区域。这个导火索的长度为１8cm,那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全? 分析:爆破时的安全区域是以爆破点为圆心,以1２０m为半径的圆的外部，如图所示:
2018年中考数学真题(附答案解析)
2018年初中毕业生升学考试数学真题 一、 选择题 (本大题12个小题，每小题4分，共48分。) 1.2的相反数是（ ） A .2- B .12 - C . 1 2 D .2 2．下列图形中一定是轴对称图形的是 A. B. C. D. 3.为调查某大型企业员工对企业的满意程度，以下样本最具代表性的是（ ） A.企业男员工 B.企业年满50岁及以上的员工 C.用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工 D.企业新进员工 4.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ ） A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 5.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm ，6cm 和9cm ，另一个三角形的最短边长为2.5cm ，则它的最长边为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 4.5cm D. 5cm 6.下列命题正确的是 A.平行四边形的对角线互相垂直平分 B.矩形的对角线互相垂直平分 C.菱形的对角线互相平分且相等 D.正方形的对角线互相垂直平分 7.估计() 1 230246 -? 的值应在（ ） A. 1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 8.按如图所示的运算程序,能使输出的结果为12的是（ ） 40° 直角三角形 四边形 平行四边形 矩形
A.3,3==y x B.2,4-=-=y x C.4,2==y x D.2,4==y x 9．如图，已知AB 是O e 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O e 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ，若O e 的半径为4，6BC =，则PA 的长为（ ） A ．4 B ．23 C ．3 D ．2.5 10．如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E 点处测得旗杆顶端的仰角58AED ∠=?，升旗台底部到教学楼底部的距离7DE =米，升旗台坡面CD 的坡度1:0.75i =，坡长2CD =米，若旗杆底部到坡面CD 的水平距离1BC =米，则旗杆AB 的高度约为（ ） （参考数据：sin580.85?≈，cos580.53?≈，tan58 1.6?≈） A ．12.6米 B ．13.1米 C ．14.7米 D ．16.3米 11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A ，B 在反比例函数k y x =（0k >，0x >）
中考数学知识点总结完整版
第一讲 数与式 第1课时 实数的有关概念 考点一、实数的概念及分类 （3分） 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数（π）、开方开不尽的数 负无理数 凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分） 2、数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3、相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4、绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 绝对值的问题经常分类讨论； 5、倒数 若ab =1? a 、b 互为倒数；若ab =-1?a 、b 互为负倒数。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。11a a -= 考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分） 6、平方根 ①如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ± ”。 ②算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平a ，2a =；注意a 的双重非负性：0≥a a ≥0 7、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、近似数 （3—6分）
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