同济第六版《高等数学》教案WORD版-第12章 微分方程教学文案

M |t =0=M 0.

将方程分离变量得

dt M

dM λ-=. 两边积分, 得

??-=dt M dM )(λ, 即 ln M =-λt +ln C , 也即M =Ce -λt .

由初始条件, 得M 0=Ce 0=C ,

所以铀含量M (t )随时间t 变化的规律M =M 0e -λt .

例3 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系.

解 设降落伞下落速度为v (t ). 降落伞所受外力为F =mg -kv ( k 为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F =ma , 得函数v (t )应满足的方程为

kv mg dt

dv m

-=,

初始条件为

v |t =0=0.

方程分离变量, 得

m

dt kv mg dv =-, 两边积分, 得

??=-m dt kv mg dv , 1

)ln(1

C m t kv mg k +=--, 即 t m k Ce k mg v -+=(k

e C kC 1--=), 将初始条件v |t =0=0代入通解得k

mg C -=, 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e k

mg v --=. 例4 求微分方程221xy y x dx

dy +++=的通解. 解 方程可化为

)1)(1(2y x dx

dy ++=, 分离变量得 dx x dy y )1(112

+=+, 两边积分得

??+=+dx x dy y )1(112, 即C x x y ++=221arctan . 于是原方程的通解为)21tan(2C x x y ++=.

例4 有高为1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面面积为1cm 2. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面高度h 随时间t 变化的规律.

解 由水力学知道, 水从孔口流出的流量Q 可用下列公式计算:

gh S dt

dV Q 262.0==, 其中0. 62为流量系数, S 为孔口横截面面积, g 为重力加速度. 现在孔口横截面面积S =1cm 2, 故

gh dt

dV 262.0=, 或dt gh dV 262.0=. 另一方面, 设在微小时间间隔[t , t +d t ]内, 水面高度由h 降至h +dh (dh <0), 则又可得到 dV =-πr 2dh ,

其中r 是时刻t 的水面半径, 右端置负号是由于dh <0而dV >0的缘故. 又因

222200)100(100h h h r -=--=,

所以 dV =-π(200h -h 2)dh .

通过比较得到

dh h h dt gh )200(262.02--=π,

这就是未知函数h =h (t )应满足的微分方程.

此外, 开始时容器内的水是满的, 所以未知函数h =h (t )还应满足下列初始条件:

h |t =0=100.

将方程dh h h dt gh )200(262.02--=π分离变量后得

dh h h g dt )200(262.02321--

=π. 两端积分, 得

?--=dh h h g t )200(262.023

21π

,

即 C h h g t +--=)523

400(262.02523π, 其中C 是任意常数.

由初始条件得

C g t +?-?-=)100521003

400(262.02523π, 5101514262.0)52000003400000(262.0??=-=

g g C ππ

.

因此 )310107(262.0252335h h g t +-?=π

.

上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h 与时间t 之间的函数关系.

§12. 3 齐次方程

齐次方程:

如果一阶微分方程),(y x f dx

dy =中的函数f (x , y )可写成 x

y 的函数, 即)(),(x y y x f ?=, 则称这方程为齐次方程. 下列方程哪些是齐次方程？

(1)02

2=---'x y y y x 是齐次方程.1)(222-+=?-+=?x y x y dx dy x x y y dx dy . (2)2

211y y x -='-不是齐次方程.2211x y dx dy --=?. (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0是齐次方程. x

y y x dx dy xy y x dx dy +=?+=?22. (4)(2x +y -4)dx +(x +y -1)dy =0不是齐次方程.1

42-+-+-=?y x y x dx dy . (5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy x

y x dx x y y x y

x 是齐次方程. x y x y dx dy x

y x x y y x y x dx dy +=?+=?th 32ch 3ch 3sh 2

齐次方程的解法:

在齐次方程

)(x y dx dy ?=中, 令x

y u =, 即y =ux , 有

)(u dx du x

u ?=+, 分离变量, 得

x

dx u u du =-)(?. 两端积分, 得

??=-x dx u u du )(?. 求出积分后, 再用

x

y 代替u , 便得所给齐次方程的通解. 例1 解方程dx dy xy dx dy x y =+22. 解 原方程可写成

1)(222

-=-=x y x y x xy y dx dy , 因此原方程是齐次方程. 令

u x y =, 则 y =ux ,

dx

du x u dx dy +=, 于是原方程变为

1

2-=+u u dx du x u , 即 1-=u u dx du x . 分离变量, 得

x

dx du u =-)1

1(. 两边积分, 得u -ln|u |+C =ln|x |,

或写成ln|xu |=u +C . 以x

y 代上式中的u , 便得所给方程的通解

C x

y y +=||ln . 例2 有旋转曲面形状的凹镜, 假设由旋转轴上一点O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行. 求这旋转曲面的方程.

解 设此凹镜是由xOy 面上曲线L : y =y (x )(y >0)绕x 轴旋转而成, 光源在原点. 在L 上任取一点M (x , y ), 作L 的切线交x 轴于A . 点O 发出的光线经点M 反射后是一条平行于x 轴射线. 由光学及几何原理可以证明OA =OM ,

因为 x y y OP PM OP AP OA -'=

-=-=αcot , 而 22y x OM +=. 于是得微分方程22y x x y y +=-'

, 整理得1)(2++=y

x y x dy dx . 这是齐次方程. 问题归结为解齐次方程

1)(2++=y x y x dy dx . 令

v y x =, 即x =yv , 得12++=+v v dy dv y v , 即 12+=v dy

dv y , 分离变量, 得

y dy v dv =+12, 两边积分, 得 C y v v ln ln )1ln(2-=++, C y v v =++?12, 1)(22+=-?v v C

y , 1222=-C

yv C y , 以yv =x 代入上式, 得)2

(22C x C y +=. 这是以x 轴为轴、焦点在原点的抛物线, 它绕x 轴旋转所得旋转曲面的方程为

)2

(222C x C z y +

=+.

这就是所求的旋转曲面方程.

例3 设河边点O 的正对岸为点A , 河宽OA =h , 两岸为平行直线, 水流速度为a , 有一鸭子从点A 游向点O , 设鸭子的游速为b (b >a ), 且鸭子游动方向始终朝着点 O . 求鸭子游过的迹线的方程.

例3 设一条河的两岸为平行直线, 水流速度为a , 有一鸭子从岸边点A 游向正对岸点O , 设鸭子的游速为b (b >a ), 且鸭子游动方向始终朝着点O , 已知OA =h , 求鸭子游过的迹线的方程. 解 取O 为坐标原点, 河岸朝顺水方向为x 轴, y 轴指向对岸. 设在时刻t 鸭子位于点P (x , y ), 则鸭子运动速度

) ,() ,(dt

dy dt dx v v y x ==v , 故有y x v v dy dx =. 另一方面, ) ,(

)0 ,(2222y x y y x x b a +-+-+=+=b a v , ) ,(2222y x by y x bx a +-+-=v . 因此y x y x b a v v dy dx y x ++-==1)(2, 即y

x y x b a dy dx ++-=1)(2. 问题归结为解齐次方程

y x y x b a dy dx ++-=1)(2. 令

u y x =, 即x =yu , 得 12+-=u b

a dy du y , 分离变量, 得dy by

a u du -=+12, 两边积分, 得 )ln (ln arsh C y a

b

u +-=, 将y

x u =代入上式并整理, 得])()[(2111b a b a Cy Cy C x +--=. 以x |y =h =0代入上式, 得h

C 1=, 故鸭子游过的轨迹方程为

])()[(211b a b a h

y h y h x +--=, 0≤y ≤h . 将y x u =代入)ln (ln arsh C y a

b u +-=后的整理过程: )ln (ln arsh C y a

b y x +-= a b Cy y x -=?)ln(sh ])()[(21a b

a b Cy Cy y x -=?- ])()[(2

a b a b Cy Cy y x -=?-])()[(2111a b a b Cy Cy C x +--=?.

§12.4 线性微分方程

一、 线性方程

线性方程:

方程)()(x Q y x P dx

dy =+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dx

dy =+的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程？ (1)y dx dy x =-)

2(?021=--y x dx dy 是齐次线性方程. (2) 3x 2+5x -5y '=0?y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程.

(3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程.

(4)y x dx

dy +=10, 不是线性方程. (5)0)1(32=++x dx dy y ?0)1(23=+-y x dx dy 或3

2)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 齐次线性方程的解法:

齐次线性方程

0)(=+y x P dx

dy 是变量可分离方程. 分离变量后得

dx x P y

dy )(-=, 两边积分, 得

1)(||ln C dx x P y +-=?

,

或 )( 1)(C dx x P e C Ce y ±=?=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）.

例1 求方程y dx

dy x =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得

2

-=x dx y dy , 两边积分得

ln|y |=ln|x -2|+lnC ,

方程的通解为

y =C (x -2).

非齐次线性方程的解法:

将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把

?=-dx x P e x u y )()(

设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得

)()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =?+?-?'---,

化简得 ?='dx x P e x Q x u )()()(,

C dx e x Q x u dx x P +?=?)()()(,

于是非齐次线性方程的通解为

])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +??=?

-, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ?

??+?=--)()()()(.

非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.

例2 求方程25)1(1

2+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程.

先求对应的齐次线性方程

012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得

1

2+=x dx y dy , 两边积分得

ln y =2ln (x +1)+ln C ,

齐次线性方程的通解为

y =C (x +1)2.

用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ?(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得

2522

)1()1(12)1(2)1(+=+?+-+?++?'x x u x x u x u 21

)1(+='x u ,

两边积分, 得

C x u ++=23

)1(3

2. 再把上式代入y =u (x +1)2中, 即得所求方程的通解为 ])1(32[)1(23

2C x x y +++=. 解: 这里1

2)(+-=x x P , 25

)1()(+=x x Q . 因为 )1ln(2)1

2()(+-=+-=??x dx x dx x P , 2)1ln(2)()1(+==?+-x e e x dx x P ,

2321225)()1(32)1()1()1()(+=+=++=????-x dx x dx x x dx e x Q dx x P , 所以通解为

])1(32[)1(])([23

2)()(C x x C dx e x Q e y dx x P dx x P +++=+??=?-. 例3 有一个电路如图所示, 其中电源电动势为E =E m sin ωt (E m 、ω都是常数), 电阻R 和电感L 都是常量. 求电流i (t ).

解 由电学知道, 当电流变化时, L 上有感应电动势dt di L

-. 由回路电压定律得出 0=--iR dt di L

E , 即 L

E i L R dt di =+. 把E =E m sin ω t 代入上式, 得

t L E i L R dt di m sin ω=+. 初始条件为

i |t =0=0.

方程

t L

E i L R dt di m sin ω=+为非齐次线性方程, 其中 L R t P =)(, t L E t Q m sin )(ω=. 由通解公式, 得

])([)()()(C dt e t Q e t i dt t P dt t P +??=?-) sin (C dt e t L E e dt L R

m dt L R +??=?-ω )sin (C dt te e L

E t L R t L R

m +=?-ω t L R m Ce t L t R L

R E -+-+=) cos sin (222ωωωω. 其中C 为任意常数.

将初始条件i |t =0=0代入通解, 得222 L

R LE C m ωω+=

, 因此, 所求函数i (t )为

) cos sin ( )(222222t L t R L R E e L R LE t i m t L R m ωωωωωω-+++=-. 二、伯努利方程

伯努利方程: 方程

n y x Q y x P dx

dy )()(=+ (n ≠0, 1) 叫做伯努利方程.

下列方程是什么类型方程？

(1)

4)21(3

131y x y dx dy -=+, 是伯努利方程. (2)5xy y dx dy +=, ?5xy y dx

dy =-, 是伯努利方程. (3)x y y x y +=', ?11-=-'xy y x y , 是伯努利方程. (4)x xy dx

dy 42=-, 是线性方程, 不是伯努利方程. 伯努利方程的解法: 以y n 除方程的两边, 得 )()(1x Q y x P dx dy y n n

=+-- 令z =y 1-n , 得线性方程

)()1()()1(x Q n z x P n dx

dz -=-+. 例4 求方程

2)(ln y x a x y dx dy -+的通解. 解 以y 2除方程的两端, 得

x a y x

dx dy y ln 112

=+--, 即 x a y x dx y d ln 1)(11=+---, 令z =y -1, 则上述方程成为

x a z x

dx dz ln 1-=-. 这是一个线性方程, 它的通解为 ])(ln 2[2x a

C x z -=.

以y -1代z , 得所求方程的通解为

1])(ln 2

[2=-x a C yx .

经过变量代换, 某些方程可以化为变量可分离的方程, 或化为已知其求解方法的方程. 例5 解方程y

x dx dy +=1. 解 若把所给方程变形为

y x dy

dx +=, 即为一阶线性方程, 则按一阶线性方程的解法可求得通解. 但这里用变量代换来解所给方程. 令x +y =u , 则原方程化为

u dx du 11=-, 即u

u dx du 1+=. 分离变量, 得

dx du u u =+1, 两端积分得

u -ln|u +1|=x -ln|C |.

以u =x +y 代入上式, 得

y -ln|x +y +1|=-ln|C |, 或x =Ce y -y -1.

§12. 5 全微分方程

全微分方程: 一个一阶微分方程写成

P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0

形式后, 如果它的左端恰好是某一个函数u =u (x , y )的全微分:

du (x , y )=P (x , y )dx +Q (x , y )dy ,

那么方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0就叫做全微分方程. 这里

),(y x P x

u =??, ),(y x Q y u =??, 而方程可写为

du (x , y )=0.

全微分方程的判定: 若P (x , y )、Q (x , y )在单连通域G 内具有一阶连续偏导数, 且

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

同济大学高等数学教学大纲

《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。

7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。

高数下册复习资料(同济第六版)

第八章 向量与解析几何 向量代数 定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示 向量 有大小、有方向. 记作a 或AB u u u r a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++= ,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===r r r 模 向量a 的模记作a a 222x y z a a a =++ 和差 c a b =+ c a b =－ =+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b 单位向量 0a ≠，则a a e a = a e 2 2 2 (,,)= ++x y z x y z a a a a a a 方向余弦 设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos cos y x z a a a a a a αβγ===r r r ，cos ，cos cos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积） θcos b a b a =?， θ为向量a 与b 的夹 角 z z y y x x b a b a b a ++=?b a 叉乘（向量积） b a c ?= θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直 z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 定理与公式 垂直 0a b a b ⊥??= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥?++= 平行 //0a b a b ??= //y z x x y z a a a a b b b b ?== 交角余弦 两向量夹角余弦b a b a ?=θcos 222222 cos x x y y z z x y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++= ++?++ 投影 向量a 在非零向量b 上的投影 cos()b a b prj a a a b b ∧?== 2 2 2 x x y y z z b x y z a b a b a b prj a b b b ++= ++ 平面 直线 法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M 方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M 方程名称 方程形式及特征 方程名称 方程形式及特征 一般式 0=+++D Cz By Ax 一般式 ?? ?=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A

同济高数上册公式大全

第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次

) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) ()(lim x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当) ()(lim x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)() (lim 0x F x f x x ''→；当 ) ()(lim x F x f x x ''→为无穷大时，)() (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； )() (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→) ()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→

最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案6-3

同济大学第六版高等数学上下册课后习题 答案6-3

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 习题6-3 1. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F (单位: N )与伸长量s (单位: cm)成正比, 即F =ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm , 计算所作的功. 解 将弹簧一端固定于A , 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW =ksds , 所求功为 18216026 0===?s k ksds W k(牛?厘米). 2. 直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？ 解 由玻-马定律知: ππ80000)8010(102=??==k PV . 设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2, 则 ππ80000)]80)(10[()(2=-?x x P , π -=80800)(x P . 功元素为dx x P dW )()10(2?=π, 所求功为 2ln 8008018000080800)10(400400 2 πππππ=-=-??=??dx dx W (J). 3. (1)证明: 把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 h R mgRh W +=, 其中g 是地面上的重力加速度, R 是地球的半径; (2)一颗人造地球卫星的质量为173kg , 在高于地面630km 处进入轨道. 问把这颗卫星从地面送到630的高空处, 克服地球引力要作多少功？已知g =9.8m/s 2, 地球半径R =6370km . 证明 (1)取地球中心为坐标原点, 把质量为m 的物体升高的功元素为 dy y kMm dW 2=, 所求的功为 ) (2h R R mMh k dy y kMm W h R R +?==?+. (2)533324111075.910 )6306370(106370106301098.51731067.6?=?+???????=-W (kJ). 4. 一物体按规律3ct x =作直线运动, 媒质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x =0移至x =a 时, 克服媒质阻力所作的功. 解 因为3ct x =, 所以 23)(cx t x v ='=, 阻力4 229t kc kv f -=-=. 而32)(c x t =, 所以 3432342 9)(9)(x kc c x kc x f -=-=.

高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (

A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n "

9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限

第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

高数课本_同济六版

第一章函数与极限（考研必考章节，其中求极限是本章最重 要的内容，要掌握求极限的集中方法） 第一节映射与函数（一般章节） 一、集合（不用看）二、映射（不用看)三、函数(了解） 注：P1--5 集合部分只需简单了解 P5--7不用看 P7--17 重点看一下函数的四大性态：单调、奇偶、周期、有界 P17--20 不用看 P21 习题1.1 1、2、3大题均不用做 4大题只需做（3）（5）（7）（8） 5--9 均做 10大题只需做（4）（5）（6） 11大题只需做（3）（4）（5） 12大题只需做（2）（4）（6） 13做14不用做15、16重点做 17--20应用题均不用做 第二节数列的极限（一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求，可不看） 一、数列极限的定义（了解）二、收敛极限的性质（了解） P26--28 例1、2、3均不用证 p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解 P30 定理4不用看 P30--31 习题1-2 1大题只需做（4）（6）（8） 2--6均不用做 第三节（一般章节）（标题不再写了对应同济六版教材标题） 一、（了解）二、（了解） P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可 P35 例6 要会做例7 不用做 P36--37 定理2、3证明不用看定理3’4”完全不用看 p37习题1--3 1--4 均做5--12 均不用做 第四节（重要） 一、无穷小（重要）二、无穷大（了解）

p40 例2不用做 p41 定理2不用证 p42习题1--4 1做 2--5 不全做 6 做 7--8 不用做 第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在) p43 定理1、2的证明要理解 p44推论1、2、3的证明不用看 p48 定理6的证明不用看 p49 习题1--5 1题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14) 2、3要做4、5重点做6不做 第六节极限存在准则(重要) 两个重要极限(重要两个重要极限要会证明 p50 准则1的证明要理解 p51 重要极限一定要会独立证明(经典重要极限) p53另一个重要极限的证明可以不用看 p55--56柯西极限存在准则不用看 p56习题1--7 1大题只做(1)(4)(6) 2全做3不用做4全做，其中(2)(3)(5)重点做 第七节(重要） p58--59 定理1、2的证明要理解 p59 习题1--7 全做 第八节（基本必考小题） p60--64 要重点看第八节基本必出考题 p64 习题1--8 1、2、3、4、5要做其中4、5要重点做 6--8不用做

高数A(上)总复习(同济六版)-cxz

《高等数学》上册期末总复习 1、 极限求法： 1、 四则运算法则：极限存在才可拆开求【约分、通分、有 理化】 2、 复合运算法则（变量替换法）；一般是尽可能将变化过 程变换为： 3、 初等函数的连续性（代入法）： ； 4、 两个重要极限：构造法 1），【构造式：】 2）（或）；【构造式：】 5、 无穷小的性质：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小； 6、 存在准则：1）夹逼准则、2）单调有界准则； 7、 等价无穷小：只适用于积商式，不适用于和差式【待等 价的函数应与剩余部分之间是积商关系】 当时，,(为常数)) 8、 洛必达法则：未定式或：直接利用法则；：取倒数；： 通分；：取对数. 9、 泰勒公式(麦克劳林公式)：只能用于解决型；其它情况 必须通过换元变为型. 10、 导数或定积分定义*: 未定式：等价无穷小洛必达法则泰勒公式 1）【导数定义】设在点处可导，则 . 2）【定积分定义】设在上可积，则； 2、 函数的连续性 1、 函数在点处连续； 2、 间断点：1）第一类间断点：可去，跳跃；2）第二类间 断点：无穷，振荡. 3、 连续函数的运算性质：连续函数的加减乘除仍为连续函 数；连续函数的复合仍为连续函数 4、 初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内处处 连续

5、 闭区间上连续函数的性质：1）有界性；2）最大值最小 值定理；3）零点定理【闭上连续两端异号零点在开内】； 4）介值定理及其推论. 3、 导数与微分 分段点处连续性判断或求导必须用定义。开区间内才可以用导数公式。 1、 定义： 1）； 2）； 特别注意此处记号的书写 3）； 4） 2、 求导法则：【必须牢记14个基本导数公式】 1） 显函数： ①、四则运算法则： ； ②、复合函数的求导法则：设都可导，则的导数为 ，或 ③、对数求导法则（特别适用于幂指函数）：，（化简）， 2） 参数方程：，，，以此类推. 3） 隐函数：（方程两边同时对自变量求导） 3、 高阶导数：等；莱布尼兹公式 4、 微分： 5、 关系：可微与可导等价；可导必连续，反之未必. 6、 抽象函数的求导：注意、之别 4、 导数的应用 1、 曲线的切线与法线方程：，，； 2、 微分中值定理：首先必须验证定理的条件是否满足，然后 根据定理下结论！ 1）罗尔定理：；【依结论构造辅助函数】 2）拉格朗日中值定理：；【同一函数在两点上相减都可能用到 此定理】 3）柯西中值定理：； 4）泰勒中值定理： 3、 泰勒公式：熟悉5个常见带Peano型余项的麦克劳林公式 4、 函数的单调性【一阶导符号判定】、极值、最值及其函数图 形的凹凸性【二阶导符号判定】、拐点和渐近线

同济第六版高数课后习题1

习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ?B =[-10, -5), A \B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明(2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒 等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)?g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ? x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射. 对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f (A ))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A . 证明 (1)因为x ∈A ? f (x )=y ∈f (A ) ? f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))?A . (2)由(1)知f -1(f (A ))?A . 另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))?存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ?f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))?A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1) 23+=x y ; 解 由3x +2≥0得32- >x . 函数的定义域为) ,3 2[∞+-.

(完整版)同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第11章 无穷级数

第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函 数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数；

大一同济上册高数(一些重要公式及知识点)

同济上册高数总结 微分公式与积分公式 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

高数同济7版教案第一章函数与极限

广西民族师范学院 数计系《高等数学》课程教案 课程代码：061041210 总学时/周学时：_________ 51/3 开课时间：2015年9月16日第3周至第18周授课年级、专业、班级：制药本152班 使用教材：高等数学同济大学第7版 教研室：数学与应用数学教研室 授课教师: 、课程教学计划表 、教案正文 第一章函数与极限

（一）教学目的： 1. 理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2?了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3?理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4?掌握基本初等函数的性质及其图形。 5?理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6?掌握极限的性质及四则运算法则。 7?了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8?理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9?理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质 (有界性、最大值和最小值定理、介值定理) ，并会应用这些性质。 (二)重点、难点 1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。 2 ．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。 三)教学方法、手段： 教师讲授，提问式教学，多媒体教学 第一节映射与函数 一、映射 1. 映射概念 定义4.设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素X,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X Y.