人教版高一数学必修一基本初等函数解析
人教版高一数学必修一
基本初等函数解析 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
基本初等函数
一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念：
①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，
1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；
2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n
②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =；
3）当n 为偶数时，???<-≥==)0()
0(||a a a a a a n 。
（2）．幂的有关概念
①规定：1）∈???=n a a a a n ( N *；2）)0(10≠=a a ； n 个 3）∈=-p a
a p p
(1Q ，4）m a a a n m n m
,0(>=、∈n N *
且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念
①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数
1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；
2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质：
1）真数
N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 3）1log =a a ；4）对数恒等式：N a N a =log 。 ③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N
M
a a a
log log log -=； 3）∈=n M n M a n a (log log R ） ④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=
N m m a a a
N
N m m a 1）1log log =?a b b a ；2）b m
n
b a n a m log log =。 2．指数函数与对数函数 （1）指数函数：
①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞；
3）当10<a 时函数为增函数。 ②函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时，图象向右无限接近x 轴）；
3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的图象关于y 轴对称 ③函数值的变化特征：
10<a
①100<<>y x 时 ，
②10==y x 时 ， ③10> （2）对数函数： ①定义：函数)1 ,0 ( log≠ > =a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为) ,0(+∞；2）函数的值域为R； 3）当1 0< > a时函数为增函数； 4）对数函数x y a log =与指数函数)1 ,0 (≠ > =a a a y x且互为反函数 ②函数图像： 1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限； 2）对数函数都以y轴为渐近线（当1 0< > a时，图象向下无限接近y轴）； 4）对于相同的)1 ,0 (≠ >a a a且，函数x y x y a a1 log log= =与的图象关于x轴对称。 ③函数值的变化特征： （3）幂函数 1）掌握5个幂函数的图像特点 2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1） 1 0< > a ①0 1< >y x时， ②0 1= =y x时， ③0 1 0> < x时. ①0 1> >y x时， ②0 1= =y x时， ③1 0< < x时. 当a>0时过（0，0） 4）幂函数一定不经过第四象限 四．【典例解析】 题型1：指数运算 例1．（1）计算：25.021 21 32 5.032 0625.0])32.0()02.0()008.0()9 4 5()833[(÷?÷+---； （2）化简： 5332 33 23 23323 134 )2(248a a a a a b a a ab b b a a ??? -÷++-- 。 解：（1）原式=4 1 32 21 32 )10000 625(]102450)81000( )949()278[(÷?÷+- 92 2)2917(21]1024251253794[=?+-=÷??+-=； （2）原式= 5 131212 13231312 3131312313 3133131)() (2) 2()2()(])2()[(a a a a a b a b b a a b a a ???-÷ +?+- 23 23 16 1653 13 13 13 13 12)2(a a a a a a b a a b a a =??=? -? -=。 点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。 例2．（1）已知112 2 3x x -+=，求 22332 2 23 x x x x --+-+-的值 解：∵112 2 3x x -+=， ∴112 2 2()9x x -+=， ∴129x x -++=， ∴17x x -+=， ∴12()49x x -+=， ∴2247x x -+=， 又∵331112 2 2 2 ()(1)3(71)18x x x x x x -- -+=+?-+=?-=， ∴ 22332 22 472 3183 3 x x x x -- +--= =-+-。 点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。 题型2：对数运算 （2）.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8 --，则满足()f x ＝27的x 的值是 . 答案 13 例3．计算 （1）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+； （3）1 .0lg 2 1 036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 2 3--+? 解：（1）原式22(lg 2)(1lg 5)lg 2lg 5(lg 2lg 51)lg 22lg 5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=； （2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3( )()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+?+=+?+ 3lg 25lg 35 2lg 36lg 24 = ?=； （3）分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++； 分母=4100 6 lg 26lg 101100036lg )26(lg =-+=?-+； ∴原式= 4 3 。 点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧 例4．设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c += （1）求证：22log (1)log (1)1b c a c a b +-+ ++=； （2）若4log (1)1b c a ++=，82 log ()3 a b c +-=，求a 、b 、c 的值。 证明：（1）左边222log log log ()a b c a b c a b c a b c a b a b +++-+++-=+=? 2222222 2222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab +-++-+-=====； 解：（2）由4log (1)1b c a ++ =得14b c a ++=， ∴30a b c -++=……………① 由82 log ()3 a b c +-=得2 384a b c +-==………… ……………② 由①+②得2b a -=……………………………………③ 由①得3c a b =-，代入222a b c +=得2(43)0a a b -=， ∵0a >， ∴430a b -=………………………………④ 由③、④解得6a =，8b =，从而10c =。 点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。 题型3：指数、对数方程 例5．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中) 已知定义域为R 的函数a b x f x x ++-=+122)(是奇函数. （1）求a,b 的值； （2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围. 解 （1） 因为)(x f 是R 上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=b a b f 解得即 从而有.212)(1a x f x x ++-=+ 又由a a f f ++--=++---=11 2 141 2)1()1(知，解得2=a （2）解法一：由（1）知,121 212 212)(1 ++-=++-=+x x x x f 由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式 0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<- 因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.2222k t t t +->- 即对一切,0232>--∈k t t R t 有从而3 1 ,0124-<<+=?k k 解得 解法二：由（1）知,2 21 2)(1 ++-=+x x x f 又由题设条件得 02 21 2221 21 221 2222 22 <++-+ ++-+--+--k t k t t t t t 即0)12)(22()12)(22(2 222212212<+-+++-+-+--+-k t t t t t k t 整理得12232 >--k t t ，因底数2>1，故0232>--k t t 上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.3 1 ,0124-<<+=?k k 解得 例6．（2008广东 理7） 设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ B ） A ．3a >- B ．3a <- C ．1 3 a >- D ．1 3 a <- 【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即 '()30ax f x ae =+=有正根。当有'()30ax f x ae =+=成立时,显然有0a <,此时 13 ln()x a a = -，由0x >我们马上就能得到参数a 的范围为3a <-. 点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。 题型4：指数函数的概念与性质 例7．设12 32,2()((2))log (1) 2. x e x f x f f x x -??=?-≥??＜， 则的值为，（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：C ；1)12(log )2(23=-=f ，e e f f 2 2))2((10= =-。 点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值 例8．已知 )1,0()(log 1 ≠>+=-a a x x x f a 且试求函数f (x )的单调区间。 解：令t x a =log ，则x =t a ，t ∈R 。 所以t a a t f -+'=)(即x x a a x f -+=)(，（x ∈R ）。 因为f (－x )=f (x )，所以f (x )为偶函数，故只需讨论f (x )在[0，+∞）上的单 调性。 任取1x ，2x ，且使210x x ≤≤，则 )()(12x f x f - )()(1122x x x x a a a a --+-+= 212121)1)((x x x x x x a a a a ++--= （1）当a >1时，由210x x ≤≤，有210x x a a <<，121>+x x a ，所以0)()(12>-x f x f ，即f (x )在[0，+∞]上单调递增。 （2）当0 x a ，所以0)()(12>-x f x f ，即f (x )在[0，+∞]上单调递增。 综合所述，[0，+∞]是f (x )的单调增区间，（－∞，0）是f (x )的单调区间。 点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分10,1<<>a a 两种情况来处理。 题型5：指数函数的图像与应用 例9．若函数m y x +=-|1|)2 1 (的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 （ ） A ．m ≤－1 B ．－1≤m<0 C ．m ≥1 D ．0 解：?? ?? ?<≥==---) 1(2)1() 21()21(11 |1|x x y x x x ， 画图象可知－1≤m<0。 答案为B 。 点评：本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征，解题的出发点仍然是 1,0,1<>a a 两种情况下函数x a y =的图像特征。 例10．设函数x x f x f x x 22)(,2)(|1||1|≥=--+求使的取值范围。 解：由于2x y =是增函数，()22f x ≥等价于3 |1||1|2 x x +--≥ ① 1)当1x ≥时，|1||1|2x x +--=，∴①式恒成立； 2)当11x -<<时，|1||1|2x x x +--=，①式化为322x ≥，即3 14 x ≤<； 3)当1x ≤-时，|1||1|2x x +--=-，①式无解； 综上x 的取值范围是3,4?? +∞???? 。 点评：处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不 等式转化为普通不等式问题（一元一次、一元二次不等式）来处理 题型6：对数函数的概念与性质 例11．（1）函数2log 2-=x y 的定义域是（ ） A ．),3(+∞ B ．),3[+∞ C ．),4(+∞ D ．),4[+∞ （2）（2006湖北）设f(x)＝x x -+22lg ，则)2 ()2(x f x f +的定义域为（ ） A ．），（），（－4004 B ．(－4,－1) (1，4) C ．(－2,－1) (1，2) D ．(－4,－2) (2，4) 解：（1）D （2）B 。 点评：求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围，在对数函数中只有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。 例12．（2009广东三校一模）设函数()()()x x x f +-+=1ln 212 . (1)求()x f 的单调区间; (2)若当?? ? ???--∈1,11e e x 时,(其中 718.2=e )不等式()m x f <恒成立,求实数m 的取值范围; (3)试讨论关于x 的方程:()a x x x f ++=2在区间[]2,0上的根的个数. 解 （1）函数的定义域为(),,1+∞-()()()1221112++=?? ???? +-+='x x x x x x f . 1分 由()0>'x f 得0>x ; 2分 由()0<'x f 得01<<-x , 3分 则增区间为()+∞,0,减区间为()0,1-. 4分 (2)令()(),0122=++='x x x x f 得0=x ,由(1)知()x f 在?? ? ???-0,11e 上递减,在[]1,0-e 上递增, 6分 由,21 112+=?? ? ??-e e f ()212-=-e e f ,且21222+>-e e , 8 分 ?? ? ???--∈∴1,11e e x 时,()x f 的最大值为22-e ,故22->e m 时,不等式()m x f <恒成立. 9分 (3)方程(),2a x x x f ++=即()a x x =+-+1ln 21.记()()x x x g +-+=1ln 21,则 ()1 1 121+-= +- ='x x x x g .由()0>'x g 得1>x ;由()0<'x g 得11<<-x . 所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增. 而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分 所以，当a ＞1时，方程无解； 当3-2ln3＜a ≤1时，方程有一个解， 当2-2ln2＜a ≤a ≤3-2ln3时，方程有两个解； 当a=2-2ln2时，方程有一个解； 当a ＜2-2ln2时，方程无解. 13分 字上所述，a )2ln 22,(),1(--∞+∞∈ 时，方程无解； ]1,3ln 23(-∈a 或 a=2-2ln2时，方程有唯一解； ]3ln 23,2ln 22(--∈a 时，方程有两个不等的解. 14分 例13．当a >1时，函数y =log a x 和y =(1－a )x 的图象只可能是( ) 解：当a >1时，函数y =log a x 的图象只能在A 和C 中选， 又a >1时，y =(1－a )x 为减函数。 答案：B 点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性 例14．设A 、B 是函数y = log 2x 图象上两点, 其横坐标分别为a 和a +4, 直线l : x =a +2与函数y = log 2x 图象交于点C , 与直线AB 交于点D 。 （1）求点D 的坐标； （2）当△ABC 的面积大于1时, 求实数a 的取值范围 解：（1）易知D 为线段AB 的中点, 因A (a , log 2a ), B (a +4, log 2(a +4))， 所以由中点公式得D (a +2, log 2)4(+a a )。 （2）S △ABC =S 梯形AA ′CC ′+S 梯形CC ′B ′B - S 梯形AA ′B ′B =…= log 2)4()2(2 ++a a a , 其中A ′,B ′,C ′为A ,B ,C 在x 轴上的射影。 由S △ABC = log 2) 4()2(2 ++a a a >1, 得0< a <22－2。 点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。 题型8：指数函数、对数函数综合问题 例15．在xOy 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…，对每个自然数n 点P n 位于函数y =2000( 10 a )x (0 (1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式； (2)若对于每个自然数n ，以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围； (3)设C n =lg(b n )(n ∈N *),若a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C n }前多少项的和最大试说明理由 解：(1)由题意知：a n =n +21,∴b n =2000(10 a )2 1 +n 。 (2)∵函数y =2000( 10 a )x 则以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n ， 即(10a )2+(10 a )－1>0， 解得a <－5(1+2)或a >5(5－1)。 ∴5(5－1) ∴b n =2000(10 7)21 + n 。数列{b n }是一个递减的正数数列， 对每个自然数n ≥2,B n =b n B n －1。 于是当b n ≥1时，B n 因此数列{B n }的最大项的项数n 满足不等式b n ≥1且b n +1<1， 由b n =2000(10 7)21 + n ≥1得：n ≤20。 ∴n =20。 点评：本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。 例16．已知函数1,0)((log )(≠>-=a a x ax x f a 为常数） （1）求函数f (x )的定义域； （2）若a =2，试根据单调性定义确定函数f (x )的单调性 （3）若函数y =f (x )是增函数，求a 的取值范围。 解：（1）由ax x x ax <>-得0 ∵a ＞0，x ≥0 2 2 2 1 0a x x a x x > ??? ?<≥∴ ∴f (x )的定义域是),1 ( 2+∞∈a x 。 （2）若a =2，则)2(log )(2x x x f -= 设4 1 21> >x x ， 则 0]1)(2)[()()(2)2()2(212121212211>-+-=---=---x x x x x x x x x x x x )()(21x f x f >∴ 故f (x )为增函数。 （3）设11212 21>>> >x a x a a x x 则 0]1)()[()()()()(212121212211>-+-=---=---∴x x a x x x x x x a x ax x ax 2211x ax x ax ->-∴ ① ∵f (x )是增函数， ∴f (x 1)＞f (x 2) 即)(log )(log 2211x ax x ax a a ->- ② 联立①、②知a ＞1， ∴a ∈(1，+∞)。 点评：该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可 题型9：课标创新题 例17．对于在区间[]n m ,上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对任意的 ∈x []n m ,，均有1)()(≤-x g x f ，则称f (x )与g (x )在[]n m ,上是接近的，否则称 f (x )与 g (x )在[]n m ,上是非接近的，现有两个函数)3(log )(1a x x f a -=与 )1,0(1 log )(2≠>-=a a a x x f a ，给定区间[]3,2++a a 。 （1）若)(1x f 与)(2x f 在给定区间[]3,2++a a 上都有意义，求a 的取值范围； （2）讨论)(1x f 与)(2x f 在给定区间[]3,2++a a 上是否是接近的。 解：（1）两个函数)3(log )(1a x x f a -=与)1,0(1 log )(2≠>-=a a a x x f a 在给定区间[]3,2++a a 有意义，因为函数a x y 3-=给定区间[]3,2++a a 上单调递增，函数在a x y -= 1 给定区间[]3,2++a a 上恒为正数， 故有意义当且仅当1003)2(1 0< ??>-+≠>a a a a a ； （2）构造函数)3)((log )()()(21a x a x x f x f x F a --=-=， 对于函数)3)((a x a x t --=来讲， 显然其在]2,(a -∞上单调递减，在),2[+∞a 上单调递增。 且t y a log =在其定义域内一定是减函数 由于10< 所以原函数在区间]3,2[++a a 内单调递减，只需保证 ? ? ?≤-=+≤-=+1|)23(3log ||)3(|1 |)1(4log ||)2(|a a F a a F a a ?????? ?≤-≤-≤?a a a a a 1)23(31)1(4 当12 57 90-≤ 579-> a 时，)(1x f 与)(2x f 在区间[]3,2++a a 上是非接近的 点评：该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可。 例18．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值。 解：令 log x t y =， ∵1x >，1y >，∴0t >。 由2log 2log 30x y y x -+=得2 230t t -+=，∴22320t t +-=， ∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1 log 2 x y =，∴1 2y x =， ∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--， ∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-。 点评：对数函数结合不等式知识处理最值问题，这是出题的一个亮点。同时考 察了学生的变形能力。 例19.（2009陕西卷文）设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ?? ?的值为 A. 1n B.11n + C. 1n n + 答案 B 解析 对1*'()(1)n n y x n N y n x +=∈=+求导得,令1x =得在点（1，1）处的切线的斜率1k n =+,在点 （1，1）处的切线方程为1(1)(1)(1)n n y k x n x -=-=+-,不妨设 0y =, 1 n n n x +=则1212311 (23411) n n n x x x n n n -?? ?=?????= ++, 故选 B. 五．【思维总结】 1．b N N a a N a b n ===log ,,（其中1,0,0≠>>a a N ）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底； 2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验； 3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识； 4．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析； 5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类； 6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力 《基本初等函数》检测题 一．选择题．（每小题5分，共50分） 1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( ) A ．()m n m n a a += B ．1 1m m a a = C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D 43 () mn = 2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( ) A ．(1,2) B ．(2,2) C ．(2,3) D ．2(,2)3 3．已知幂函数()y f x =的图象过点(2, 2 ，则(4)f 的值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．1 2 D ．8 4．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是 （ ） A ． 12 2lg x x x >> B ． 12 2lg x x x >> C ．12 2lg x x x >> D ．12lg 2x x x >> 5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ） A ． (3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ． (,2)(5,)-∞+∞ 6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年 后的价格与原来价格比较，变化的情况是 （ ） A ．减少1.99% B ．增加1.99% C ．减少4% D ．不增不减 7．若1005,102a b ==，则2a b += （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8． 函数()lg(101)2 x x f x =+-是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇且偶函数 D ．非奇非偶函数 9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是 （ ） A ．(1,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,0)-∞ 10．若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞ 二．填空题．(每小题5分，共25分) 11．计算：459log 27log 8log 625??= ． 12．已知函数3log (0)()2(0) x x x >f x x ?=?≤?， ， ,则1[()]3 f f = ． 13． 若 3())2 f x a x bx =++，且 (2)5 f =，则 (2)f -= ． 3. 函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型 如： ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； 常针对根号，举例： 令 ，原式转化为： ，再利用配方法。 ⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： )0(>+ =k x k x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 二．函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 高一函数复习 一、函数的概念与表示 1、映射 映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。 注意点：（1）对映射定义的理解； （2）判断一个对应是映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f . 给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a 的象记为f (a ). 【例题1】设集合A ＝｛x ｜0 ≤ x ≤ 6｝，B ＝｛y ｜0 ≤ y ≤ 2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是 （ ）. A . f ：x →y ＝ 12x B . f ：x →y ＝1 3 x C . f ：x →y ＝14x D . f ：x →y ＝16x 【变式练习1】若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有 （ ） （1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一； （2）A 中的多个元素可以在B 中有相同的像； （3）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像； （4）像的集合就是集合B . A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、函数 构成函数概念的三要素：①定义域；②对应法则；③值域 两个函数是同一个函数的条件：当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时. 【例题1】下列各对函数中，相同的是（ ） A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2== B 、)1lg()1lg()(,1 1 lg )(--+=-+=x x x g x x x f C 、 v v v g u u u f -+= -+= 11)(,11)( D 、f （x ）=x ，2)(x x f = 【例题2】}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集 合N 的函数关系的有 （ ） A 、 0个 B 、 1个 C 、 2个 D 、3个 【变式练习】 1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A . 1,x y y x == B . 211,1y x x y x =-+=- C . 33,y x y x == D . 2||,()y x y x == 2．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ） 3．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ） 【巩固练习】 x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y 3 O O O O 一、配方法 例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322 ?-=+的最大值和最小值． 解析：34)3 22(32 + --=x y ，当01≤≤-x 时，122 1≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，3 4max = y ． 二、判别式法 对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值． 例２：已知012442 2 =-++-x x xy y ，求y 的最值． 解析：由已知，变形得0)1()12(242 2 =-+--y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)1(16)12(422≥---y y 故 4 5 ≤ y ． 因此 4 5 max = y ，无最小值． 例3：若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则m ax x = min y = 解析：由已知，变形得：0)()12(2 2 =++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤ x ．即 8 1max =x ． 同理，0)()12(2 2 =-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8 1 min -=y ． 注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法 例4：已知函数1 1 34522+++=x x x y ，求y 的最值． 解析：函数式变形为：0)1(34)5(2 =-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ， 0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ． 因此 7max =y ，1min -=y ． 幂函数 【知识梳理】 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数． 2．常见幂函数的图象与性质 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】(1)下列函数：①y＝x3；②y＝ 1 2 x ?? ? ?? ；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2； ⑥y＝x；⑦y＝a x(a>1)．其中幂函数的个数为() A．1B．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝( ) 22 23 1m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y ＝() 2 223 1m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x － 3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x － 3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α (α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件． 【对点训练】 函数f(x)＝( ) 22 3 1m m m m x +---是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的 解析式． 解：根据幂函数的定义得 m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，f(x)＝x 3在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－1时，f(x)＝x －3 在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求． 故f(x)＝x 3. 题型二、幂函数的图象 【例2】 (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x α 在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，1 2，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4 的α的值依次为( ) A ．－2，－12，1 2 ，2 B ．2，12，－1 2 ，－2 必修一第一章 集合与函数概念 二、函数 知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域 ②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域. 2》区间和无穷大 ①设a 、b 是两个实数，且a=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数. 典例分析 题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ） A 、x y x f 21)(= → B 、x y x f 31 )(=→ C 、 x y x f 32 )(=→ D 、x y x f =→)( 例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数： ① }{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方； ③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。 是函数的是_________________。 题型2：区间的表示 例1：用区间表示下列集合 （1） }{1≥x x =_____________。 （2）}{42≤ O O O O （1） （2） （3） （4） 时间 时间 时间 时间 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题 第一部分 函数及其表示 知识点一：函数的基本概念 1、函数的概念： 一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作： A x x f y ∈=，)(。 x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，y 叫函数值，y 的取值范围叫函数的值域。 说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系 ②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。 ③认真理解)(x f y =的含义：)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格； 2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则 3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间 4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等 5、分段函数： 说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。 ②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。 6、函数图像 练习 1.下列图象中表示函数图象的是 （ ） （A ） (B) (C ) (D) 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．x x y y ==,1 B ．1,112 -=+?-=x y x x y C ．3 3 ,x y x y = = D ． 2 )(|,|x y x y == 3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） 4.下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：2 2x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数，其表达式为()f x ＝____ ____ 6.设函数? ??<+≥-=10110 2)(2x x x x x f ，则)9(f = ，)15(f = 7.设函数?? ?<-≥-=5 35 2)(2 x x x x x f ，若)(x f =13，则x= 。 8.函数()1,3,x f x x +?=?-+? 1, 1,x x ≤>则()()4f f = ． 9.下列各组函数是同一函数的有 ①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =； ③0 ()f x x =与0 1()g x x = ；④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 10.作出函数(]6,3,762 ∈+-=x x x y 的图象 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 高中数学函数最值问题的常见求解方法 一、配方法 例１.当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322?-=+的最大值和最小值． 解析：3 4)322(32 + - -=x y ，当01≤≤-x 时， 12 2 1≤≤x ．可得1min =y ，3 4max = y ． 二、判别式法:若能将问题转化为一元二次方程有无实根的问题，则常利用判别式求得函数的最值． 例2.若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则max x = ， min y = . 解析：由已知，变形得：0)()12(22=++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(2 2≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 8 1≤ x ．即 8 1max = x ． 同理，0)()12(22=-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(2 2 ≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 8 1- ≥y ．即 8 1min - =y ． 例3.在2 0π ≤ ≤x 条件下，求2 ) sin 1()sin 1(sin x x x y +-= 的最大值． 解：设x t sin =，因0(∈x ，)2 π，故 10≤≤t ，则2 ) 1()1(t t t y +-= ，即 0)12()1(2 =+-++y t y t y 因为 10≤≤t ，故01≠+y ，于是0)1(4)12(2 ≥+--=?y y y 即 8 1≤ y 。 将8 1= y 代入方程得 0[3 1∈= t ，]1，所以8 1max = y . 注意：因0≥?仅为方程0)12()1(2 =+-++y t y t y 有实根0[∈t ，]1的必要条件，因此，必须 将8 1= y 代入方程中检验，看等号是否可取． 练习：已知函数)(1 2 R x x b ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a ,.（答案： 3=b ，4±=a ） 三、换元法 (一)局部换元法 例4.求函数x x y 21-+=的最值． 解析：设x t 21-= (0≥t )，则由原式得11)1(2 12 ≤+-- =t y 当且仅当1=t 即0=x 时取 等号．故1max =y ，无最小值． 例5.已知20≤ ≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值． 解析：2)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin 则 22≤ ≤- t 且2 1cos sin 2 -= t x x ，于是]1)[(2 12 2-++= a a t y 当2= t 时，21 22 max + + =a a y ；当a t -=时，)1(2 1 2 min -= a y ． 注意：若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +，可考虑用换元法解． (二)三角代换法(有时也称参数方程法) 例6.已知x 、y R ∈，4122≤+≤y x ．求22y xy x u ++=的最值． 解析：设θcos t x =，θsin t y =，(t 为参数),因 4122≤+≤y x ，故 412≤≤t )2sin 2 11()sin sin cos (cos 2 2 2 2 θθθθθ+ =++=∴t t u 故当42=t 且12sin =θ时，6max =u ；当12=t 且12sin -=θ时，2 1max =u ． 练习1：实数x 、y 适合：545422=+-y xy x ，设22y x S +=，则 max 1S +min 1S =____。 练习2：已知x 、y R ∈且x y x 6232 2=+，求y x +的最值． 解析：化x y x 6232 2=+为123)1(2 2 =+-y x ，得参数方程为?? ? ??=+=θθsin 26 cos 1y x )sin(2 101sin 26cos 1?θθθ++ =+ +=+∴y x ， 故 2 101)(max +=+y x ，2 101)(min - =+y x ． (三)均值换元法 例7.已知1=+b a ，求证：4 4b a +的最小值为 8 1． 解析：由于本题中a 、b 的取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为１，我们可 数学1（必修）第二章 基本初等函数（1） [基础训练A 组] 一、选择题 1 下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ） A 2 x y = B x x y 2 = C )10(log ≠>=a a a y x a 且 D x a a y log = 2 下列函数中是奇函数的有几个（ ） ①11x x a y a +=- ②2lg(1) 33 x y x -=+- ③x y x = ④1log 1a x y x +=- A 1 B 2 C 3 D 4 3 函数y x =3与y x =--3的图象关于下列那种图形对称( ) A x 轴 B y 轴 C 直线y x = D 原点中心对称 4 已知1 3x x -+=，则332 2 x x - +值为（ ） A B C D - 5 函数y = ） A [1,)+∞ B 2(,)3+∞ C 2[,1]3 D 2(,1]3 6 三个数6 0.70.70.76log 6， ，的大小关系为（ ） A 60.70.70.7log 66<< B 60.7 0.70.76log 6<< C 0.7 60.7log 66 0.7<< D 60.70.7log 60.76<< 7 若f x x (ln )=+34，则f x ()的表达式为（ ） A 3ln x B 3ln 4x + C 3x e D 34x e + 二、填空题 1 985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 2 化简11 410 104 848++的值等于__________ 3 计算：(log )log log 22 22 54541 5 -++= 4 已知x y x y 224250+--+=，则log ()x x y 的值是_____________ 5 方程 33131=++-x x 的解是_____________ 6 函数121 8 x y -=的定义域是______；值域是______ 7 判断函数2lg(y x x =的奇偶性 三、解答题 1 已知),0(56>-=a a x 求x x x x a a a a ----33的值 2 计算100011 3 43460022 ++ -++-lg .lg lg lg lg .的值 3 已知函数2 11()log 1x f x x x += --,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性 4 （1）求函数 2()log x f x -=的定义域 （2）求函数)5,0[,)3 1(42∈=-x y x x 的值域 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 新人教版高一数学函数与方程知识要点 新人教版高一数学函数与方程知识要点 一、方程的根与函数的零点 教材内容分析新课程标准的要求是,结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系。 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即： 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法： 求函数的零点： 1(代数法)求方程的实数根; 2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点： 1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点. 二、用二分法求方程的近似解 用二分法求方程的近似解的方法,二分法,又称分半法,是一种方程式根的近似值求法。 1.二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 ___________________________________________________________ _____________. 2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： (1)确定区间[a，b]，验证____________，给定精确度ε; (2)求区间(a，b)的中点____; (3)计算f(c); ①若f(c)=0，则________________; ②若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈________); ③若f(c)·f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈________). (4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)～(4). 第1课 二次函数在闭区间上的最值 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，求)(x f 在][n m x ，∈上的最大值与最小值。 分析：将)(x f 配方，得顶点为???? ? ?--a b ac a b 4422，、对称轴为a b x 2-= 当0>a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上)(x f 的最值： （1）当[]n m a b ，∈-2时，)(x f 的最小值是 a b ac a b f 4422 -= ?? ? ??-， )(x f 的最大值是)()(n f m f 、中的较大者。 （2）当),(2m a b -∞∈- 时，)(x f 在[]n m ，上是增函数则)(x f 的最小值是)(m f ，最大值是)(n f （3）当),(2+∞∈-n a b 时，)(x f 在[]n m ，上是减函数则)(x f 的最大值是)(m f ，最小值是)(n f 当0 高一数学必修一函数必背知识点整理 高一数学必修一函数必背知识点 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+ba>0,a、b属于Q a^a^b=a^aba>0,a、b属于Q ab^a=a^a*b^aa>0,a、b属于Q 指数函数对称规律： 1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称 2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称 3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称 幂函数y=x^aa属于R 1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数. 2、幂函数性质归纳. 1所有的幂函数在0，+∞都有定义并且图象都过点1，1; 2时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸; 3时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法： 1 代数法求方程的实数根; 2 几何法对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点： 二次函数. 1△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2△=0，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点. 感谢您的阅读，祝您生活愉快。 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= 第八课时 函数的最值 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．了解函数的最大值与最小值概念； 2．理解函数的最大值和最小值的几何意义； 3．能求一些常见函数的最值和值域． 自学评价 1．函数最值的定义： 一般地，设函数()y f x =的定义域为A ． 若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≤恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =； 若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≥恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =； 2．单调性与最值： 设函数()y f x =的定义域为[],a b ， 若()y f x =是增函数，则max y = ()f a ，min y = ()f b ； 若()y f x =是减函数，则max y = ()f b ，min y = ()f a ． 【精典范例】 一．根据函数图像写单调区间和最值： 例1：如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间． 【解】 由图可以知道： 当 1.5x =-时，该函数取得最小值2-； 当3x =时，函数取得最大值为3； 函数的单调递增区间有２个：( 1.5,3)-和(5,6)； 该函数的单调递减区间有三个：(4, 1.5)--、(4,5)和(6,7) 二．求函数最值： 例2：求下列函数的最小值： （1）22y x x =-； （2）1()f x x = ，[]1,3x ∈． 【解】 （１）222(1)1y x x x =-=-- ∴当1x =时，min 1y =-； []1,3x ∈上是单调减函数，所以当3x =时函数1()f x x =取得1. 函数()4(0)f x x mx m =-+>在(,0]-∞上的最小值（A ） ()A 4 ()B 4- ()C 与m 的取值有关 ()D 不存在 2. 函数()f x =的最小值是 ０ ，最大值是 32 ． 3. 求下列函数的最值： 必修1 第二章 基本初等函数(1) 一、选择题: 1.333 4 )2 1 ()21()2()2(---+-+----的值 （ ） A 4 3 7 B 8 C －24 D －8 2.函数x y 24-=的定义域为 （ ） A ),2(+∞ B (]2,∞- C (]2,0 D [)+∞,1 3.下列函数中，在),(+∞-∞上单调递增的是 （ ） A ||x y = B x y 2log = C 31 x y = D x y 5.0= 4.函数x x f 4log )(=与x x f 4)(=的图象 （ ） A 关于x 轴对称 B 关于y 轴对称 C 关于原点对称 D 关于直线x y =对称 5.已知2log 3=a ，那么6log 28log 33-用a 表示为 （ ） A 2-a B 25-a C 2)(3a a a +- D 132 --a a 6.已知10< f (3 1)>f (41) B. f (41)>f (3 1 )>f (2) C. f (2)> f ( 41)>f (31) D. f (3 1 )>f (41)>f (2) 11.若f (x )是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数,且f （lg x ）>f (1),则x 的取值范围是（ ） A. ( 110，1) B. (0，1 10 )(1，+∞) C. ( 1 10 ，10) D. (0，1)(10，+∞) x y O x y O x y O x y O高中数学必修1第二章基本初等函数测试题含答案人教版
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