沪教版九年级上册-解直角三角形(基础)讲义
教学内容------解直角三角形 ★知识要点
1、解直角三角形的依据
在直角三角形ABC 中，如果∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，那么 （1）三边之间的关系为
（勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系为：
2、其他有关公式
直角三角形面积公式： （hc 为c 边上的高）
3、解直角三角形的条件
在除直角C 外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。
4、直角三角形的关键是正确选择关系式 在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？
（1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数 （2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。 （3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。 5、直角三角形时需要注意的几个问题
（1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。 （2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。 （3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算 ★新课学习
引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处.问大树在折断之前高多少米? 显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长
度为222410+＝26 ， 26＋10＝36所以， 大树在折断之前的高为36米.
思考：1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、B ∠这五个元素间有哪些等量关系呢？
3. 已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34，则底角
∠B= ；
4. 如图所示，已知：在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8.求：△ABC 的面积(结果可保
留根号). 解：
例3、 已知直角三角形的斜边与一条直角边的和是16cm ，另一条直角边为8cm ，求它的面
积.
解：
例4、 在△ABC 中，90C ?∠=，60B ?
∠=，33a b +=+，求：a 、b 、c 的值及∠A.
解：
例5、 已知△ABC 中，∠C=90°，若△ABC 的周长为30，它的面积等于30，求三边长. 解：
例6、 如图：△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 点，若∠A=60°，AB-CD=13，求BC 及ABC S ? . 解：
例7、 已知△ABC 中，∠BAC=60°，AB ∶AC=5∶2且103ABC S ?= ，求三边的长. 解：
例8、 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，BD 是中线，已知AB ＝10，3
tan 2
α=
，求∠A 和BC.
解：
例9、 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，AC ＝5，BC ＝12，（1）求AB 的
值；（2）求∠BCD 的值。
解：
例10、 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC 等于AB 边上的中线的3
2
，求sinB 的值。 解：
例11、△ABC中，AB＝AC,延长CA至D点，过D点作DF⊥BC，F为垂足，DF交AB于E，3
sin
5
D=。求sin∠DEA、cosB的值。
解：
例12、如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，D为垂足，且
2
sin
7
DBC
∠=，求：（1）
BC
AC
的值，（2）如果△ABC的周长为18，求△ABC的面积。解：
例13、如图，直线与轴正半轴，轴正半轴相交于A，B两点，已知△AOB面积为12，（1）求值；（2）求∠BAO的正弦值。
解：
★课堂总结
节课我们利用直角三角形的知识将某些一般三角形问题或梯形问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．今后，我们还要善于用数学知识解决实际问题．
★回家测试
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a＝1，c＝4,则sinA的值是（）
A.
15
15 B.
1
3 C.
1
4 D.
15
4
2.已知△ABC中，∠C=90°，tanA·tan 50°＝1，那么∠A的度数是（）
A. 50°
B. 40°
C. (150 )°
D. (1
40 )°
3. 已知∠A+∠B=90°,且cosA=1
5
，则cosB 的值为（ ）
A. 15
B. 45
C. 265
D. 25
4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知a 和A ，则下列关系式中正确的是（ ）
A. c ＝α·sinA
B. c ＝
α sinA C. c ＝α·cosB D. c ＝α
cosA
5. 如果α是锐角，且cosα＝4
5
，那么sinα的值是（ ）
A.
925 B. 45 C. 35 D. 1625
6. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S △ABC 等于（ ）
A. 3
B. 300
C.
50
3
D. 150 7. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=5cm ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，AD ＝103
3
cm,
求∠B ，AB ，BC.
解：
8. 根据下列条件解直角三角形。在Rt △ABC 中。
（1）?=∠=45,20A c （2）?=∠=30,36B a 解：
(完整版)最新沪教牛津版九年级下册课文与翻译
Unit1 Great explorations The voyages of Zheng He Zheng He was a famous Chinese explorer. In 1405, he set off from China on the first of seven great voyages. This was nearly a century before Christopher Columbus first set sail on his journey of discovery to America. His travels were so important that they are still studied today. Zheng He was born in Yunnan in 1371. He rose to become a trusted official of the Yongle Emperor of the Ming Dynasty. The emperor ordered Zheng He to visit and explore the lands outside China. His task was to develop relations and set up trade routes with foreign countries. In a few years, he built a great fleet of ships, the biggest in the world at that time. The ships were known as treasure ships. They were big enough to carry 25,000 people as well as very large quantities of goods. From 1405 to 1433, Zheng He went on seven trips and visited South-East Asia, the Middle East and even the east coast of Africa. It seemed that nowhere was too far for him to visit. These voyages allowed China to trade valuable goods like gold, silver and silk. At the end of each voyage, Zheng He returned with many things that were seen in China for the first time, such as a giraffe from Africa. Besides developing trade, the voyages also encouraged the exchange of cultures and technologies. They helped the development of those countries and regions. Zheng He died in 1433 during his last voyage. However, his voyages were such a huge achievement that people still remember him as a pioneer in opening up cultural contacts between different peoples around the world. 郑和是一位著名的中国探险家。1405年，他从中国出发，开始了七次伟大航行中的第一次。这是在克里斯托弗.哥伦布第一次起航发现美洲之旅的近一个世纪以前。他的旅行如此重要以至于今天仍被人们研究。 郑和1371年出生在云南。他升为明朝永乐皇帝一名值得信赖的官员。皇帝命令郑和访问并探索中国以外的土地。他的任务是加强与外国的关系，并与之建立贸易路线。在几年的时间里，他建立了一支巨大的船队---当时世界上最大的（船队）。那些船被称作宝船。它们足够大，能承载25000人以及大量的货物。 从1405年到1433年，郑和七次旅行，访问了东南亚、中东地区，甚至非洲东海岸。似乎对他来说没有什么地方是遥不可及的。这些旅行允许中国交换一些贵重物品，如金、银和丝绸。每次航线结束，郑和带回了许多在中国第一次见到的东西，比如一只非洲长颈鹿。除了增强贸易之外，航行也促成了文化与科技的交流。它们帮助了那些国家和地区的发展。 1433年，郑和在他最后一次航行中去世。然而，他的航行是一项如此巨大的成就，以至于人们仍将他作为开辟世界各地不同民族间文化联系的先驱而铭记。
沪教牛津版九年级英语上册单词表
沪教牛津版九年级英语上册单词表 Unit 1 金的，金色的确定的，肯定的 王冠，皇冠监狱，牢狱 奥林匹克运动会拳击（运动） 同意，应允赛马（运动） 证实摔跤运动 罐（用手或器具）击，打不能肯定，对...无把握勇敢的，无畏的 真的，正宗的标点符号 真相，实情准确无误的，正确的 好像，似乎错误 解决，处理 装满，注满（对某人或事物）满意的碗，盆用...把...装满 取代，替代溢出 较少的，更少的把...关进监狱 金属确保，设法保证
聪明人，富有才智的人宇宙 天文学家哲学家 天才服从，遵守 认为，觉得减少，缩小 理解力，判断力精确地，准确地 幽默（故事、戏剧等中的）情节 邀请 学说，论，说幽默感 （综合性）大学使...失望 乐事，快事单凭记忆，能背诵 避免，避开坐下 讲座，演讲轻而易举 在今晚，在今夜参加，加入 观众，听众丝毫不知道 信任，信赖倒霉，处于困境 座位跟某人开玩笑，捉弄某人鼓掌，喝彩转折点 苍白的一系列 成就，成绩
一顿饭过时的 把自己的想法（或经历、 （用熨斗）熨，烫平 感情）告诉（某人） 决定，抉择公开活动 个人财产，私人物品（根据所知）认为 要求，指望（用于否定词组后）也不在国外，到国外关系，联系 商务，公事邀请 个人的，私人的需付费，价钱为 安排、确定、决定类型，种类 女儿 介意帮着做 流行的，时髦的出差 流行款式，时兴式样对...没有兴趣
在线的粗心造成的 模特儿评论 规定饮食（为健康或减肥 等目的） 要求，请求 虽然，尽管有礼貌的 很坏的，极讨厌的没有一个，毫无惭愧，羞愧考试 情况，状况 （儿童）牙箍节食 厌恶，憎恶嘲笑，讥笑 优势对...感到羞愧窘迫的，尴尬的让某人受不了建议，提议搞得一塌糊涂很生气，气愤格格不入 杂乱，不整洁与某人无关 使恼怒的，使生气的收到某人的信件（或电子邮件、电话等） 不及格
青岛版九年级数学上册《解直角三角形》教案
《解直角三角形》教案 课题解直角三角形 备课人课型新授课课时 2 教学目标知识 与能 力 会通过添加辅助线，把解非直角三角形的问题转化为解直角三角形的问题。 过程 与方 法 通过解直角三角形提高学生的分析问题和解决问题的能力 情感 态度 价值 观 感受数形结合在解题中的作用 课标要求能用锐角三角函数解直角三角形重点辅助线的做法 难点做辅助线 教法自主探究合作交 流教具学 具 三角板 教学程序教师活动学生活动
激情导入 认定目标 1.在直角三角形中，由已知的———————————————————，求出另 一些————的过程，叫做解直角三角形. 2.直角三角形中元素之间的关系 （1）.两锐角之间的关系 （2）.三边之间的关系 （3）.边角之间的关系 3.如果知道直角三角形的几个元素就可以求 其他的元素？有几种情况？ 出示学习目标 自学导航 1、求下列各直角三角形中字母的值 学生回顾 口答 一生口述目标，其余 生静听、领会 快速利用解直角三 角形的方法解决1题（第5题）
自主探究 激 2、例1在△ABC中,已知∠A﹦60°, ∠B﹦45°,AC﹦20厘米,求AB 的长 思考（1）、?ABC不是直角三角形怎么办？ （2）、如果转化成直角三角形过那个顶点做垂 线可以解决问题？ 3、例2、△ABC中，∠A=30°，∠ ABC=135°，BC=2，求AC的长？ 思考（1）、?ABC如何在不改变已知角的情况 下转化成直角三角形？ 指导生互动交流，解决生自学中的困惑问题 点评：1、把解非直角三角形的问题转化为解 直角三角形时添加辅助线一般保持原量不变。 1、自学导航2题 思考 探究2、3中如何解 决 试写出解答过程 标出困惑之处 组内交流自学导航 中的困惑问题，全组达成 一致意见。 有困惑的组由科代 表提出本组困惑问题，寻 求其他组帮助，各组选派 代表说明如何把解非直 角三角形的问题转化为 解直角三角形、添加辅助 线的依据是什么？ 师生互动 1题3号生板演完成 2题2号生板演完成 1号生点评、互改 各组针对出现问题
人教版 数学 九年级 下册 第28章 28.2 解直角三角形 教案
28．2．1 解直角三角形 1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点) 2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点) 一、情境导入 世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数． 在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究 探究点一：解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、 ∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形． (1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长； (2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c ，即c ＝a cos B ＝36 3 2＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝a b ＝33 ，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝12 2. 方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题
鲁教版初中数学知识梳理几何
初中数学---（几何部分） 几何基础概念（8册上） 定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的语句叫做定义。 命题：判断一件事情的句子叫做命题。（命题就是具有真假意义的一句话）命题通常由条件 和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断的事项，命题写成“如果……那么……”的形式。 正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题。 证明：判断一个命题的推理的过程叫做证明。 公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。 定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理。证明一个命题的正确性，要按“已知”，“求证”， “证明”的顺序和格式书写。 一、直线 直线的性质：直线没有粗细、向两方无限伸展。 两条直线的位置关系：1、相交，2、平行（重合看做是平行的特例）。 1、两条相交直线 （1）斜交。直线AB 和直线CD 相交于点O 。如图∠1和∠2,叫做是对顶角。它们有公共顶点O ，且他们的两边是互为反向延长线。同样∠3和∠4是对顶角。 定理：对顶角相等。 ∠1和∠4，∠1和∠3, ∠2和∠4，∠2和∠3是互为补角。即∠1+∠4=180o （2）垂直。直线AB 和直线EF 相交于O 点，其中∠AOF=90o，则称直线AB 和直线EF 互相垂直。由此∠AOE 、∠EOB 、∠BOF 都是90o。 ∠1+∠2=∠BOF=90o，称∠1和∠2是互为余角。 定理：同角或等角的余角相等。同角或等角的补角相等。 （3）作图 ①已知线段AB ，O 是线段AB 上中点，过O 点作线段CD ，使得CD ⊥AB 。 ②已知直线AB ，P 是直线AB 外一点。过P 作直线AB 的垂线 ③作已知∠AOB 的平分线 ⑤已知∠AOB ，作∠A ′O ′B ′，使得∠A ′O ′B ′=∠AOB 。 作法：略（六册下，P53） 2、两条直线平行 （1）有关概念：同位角、内错角、同旁内角。 如图，直线AB 和直线CD 被直线L 所截，同位角有：∠1和∠2，∠3和∠4，∠5和∠6， B
沪教牛津版九年级上下英语单词表
Unit 11[?v???d?]voyage n.航行2[?rep??t??n]repetition n.重复3[??mer?k?n]American adj.美洲的4[?k?nt?n?nt]continent n.大陆5[ru:t]*route n.路线 6[d??sk?v?ri]discovery n.发现 7[ra?z]rise v.(rose ，risen)变得更加成功(或重要、强大 等） 8[??f??l]official n.官员9[d??vel?p]develop v.增强；加强10[r??le??n]relation n.关系；交往11[tre?d]trade n.贸易12[?f?r?n]foreign adj.外国的 13[fli:t]*fleet n.（统一调度的）船队；机群14['?fr?k?]Africa n.非洲 15[?n??we?(r)]nowhere adv.无处；哪里都不16[s?lk]silk n.丝织物；丝绸17[d???r ɑ:f]giraffe n.长颈鹿 18[b??sa?dz]besides prep.除……之外（还）19[d??vel?pm?nt]development n.发展；壮大20[?ri:d??n]*region n.地区21[?pa???n??(r)]pioneer n.先锋；先驱22people people n.民族；种族23[wel θ］wealth n.财富 24[spred]spread v."(spread,spread)传播＂ 25[??up?n ?p]open up 开辟26[ɡ?u ?n ? trip]go on a trip 去旅行27[set ?p]set up 建立；设立28[set seil]set sail 起航29[n??n][?z](be)known as 被称为30[?z wel ?z]as well as 也；还31[li:d tu:] lead to 导致 沪教牛津版九年级英语下册单词表
青岛版九年级解直角三角形测试题
初中数学解直角三角形测试题 一. 选择题：（每小题2分，共20分） 1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ） A. 43 B. 34 C. 53 D. 35 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 21 B. 33 C. 1 D. 3. 在△ABC 中，若22cos = A ，3tan = B ，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（ ） A.EG EF G =sin B. EF EH G =sin C. FG GH G =sin D. FG FH G =sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ） A. sin65°
数学人教版九年级下册《解直角三角形》教材分析
教材分析 饶河二中薛怀杰 本节内容是在学生学习了直角三角形三边的关系以及锐角三角函数的基础上进行的。本节知识既是前面所学知识的运用，又是高中继续学习三角函数和解斜三角形的严重知识储备，在整个数学教学体系中起着承上启下的作用。另外由于解直角三角形在实际生活中的应用比较广博，同时蕴含着建模、转化、化归的数学思想方法，所以学习本节知识对学生而言具有严重的意义。 直角三角形全等的判定定理是解直角三角形的理论依据，它对全面、深入地理解解直角三角形有着极其严重的作用。由直角三角形的判定定理可知：对于直角三角形，如果已知除直角外的两个元素分别相等（其中至少有一个是边），那么这两个三角形全等。从而一个直角三角形的大小由三边和两个锐角中的两个元素（其中至少有一个是边）唯一确定，因此从理论上说我们就可以利用一边和另一个元素求其余元素。有了锐角三角函数知识，并结合直角三角形的两个锐角互余及勾股定理，就可以进一步地由这两个元素的大小求出其他元素的大小，这就是解直角三角形。可见解直角三角形与直角三角形全等的判定定理、勾股定理等已学知识有着密切的联系。从联系的角度看待数学知识，加强数学知识之间的联系，对于养成优良的学习习惯，感悟数学学习、研究方法，培养分析和解决问题的能力，积累数学活动经验有着严重作用。本节课要通过加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移。 教材中首先通过确定比萨斜塔倾斜程度问题引出解直角三角形的概念，接着通过一个“探究”栏目提出问题：在直角三角形中，除直角以外的五个元素之间有哪些关系？知道五个元素中的几个，就可以求其他元素了？将这个栏目中真正需要探究的第二个问题的思考过程完全留给学生，而直接给出结论：利用边、角之间的相互关系，知道三边和两个锐角中的两个元素（其中至少有一个是边），就可以求出其余的元素（俗称“知二求三”）；进而给出“知二求三”解直角三角形的例题示范；并安排相当数量的练习题，使学生对“知二求三”的可行性以及详尽求解方法有充分体验，获得较多的感性认识，让学生进一步感受到了数形结合的思想方法。
青岛版九年级数学上册《解直角三角形的应用》教案
《解直角三角形的应用》教案 教学目标 1．使学生了解仰角、俯角、方位角、坡角的概念． 2．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． 3．巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题． 学习重点 将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 教学难点 学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型． 教学过程 一、寻疑之自主学习 1．仰角：如图1，从低处观察高处时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角． 2．俯角：如图1，从高处观察低处时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角． 3．方向角：如图2，点A位于点O的北偏西30°方向；点B位于点O的南偏东60°方向． 图1 图2 4．坡角：如图，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 5．坡度：如图，坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，即i＝tanα ＝h l．
二、解惑之例题解析 例1如图2-14（课本第54页），一架飞机执行海上搜救任务，在空中A处发现海面上有一目标B，仪器显示这时飞机的高度为1.5km，飞机距目标4.5km.求飞机在A处观测目标B的俯角（精确到1'）. 例2 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350 km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到0.1km） O Q F P α
解：在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形． 6400cos 0.956400350 OQ OF ==≈+α 18α∴≈ ∴ PQ 的长为 186400 3.146402009.6180 π≈××= 答： 当飞船在P 点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P 点约2009.6km 解析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点． 例3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m ） 解析： Rt △ABC 中，α =30°，AD ＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD ；类似地可以求出CD ，进而求出BC ． 解：如图，α= 30°，β= 60°， AD ＝120． tan ,tan BD CD AD AD αβ== tan 120tan 30BD AD α∴=?=? 120== tan 120tan 60CD AD β=?= ? 120=?= BC BD CD ∴=+=+ 277.1=≈ A B C D α β
(人教版初中数学)解直角三角形题目
姓名： 学号： 成绩： 敬业中学初三上期单元检测题（二） （解直角三角形 A 卷） 满分：100分；考试时间：90分钟 一、填空题：（每空1分,共20分） 1、旗杆的上一段BC 被风吹断,顶端着地与地面成300角,顶端着地处B 与旗杆底端相距4米,则原旗杆高为_________米. 2、在Rt △ABC 中,∠ACB ＝900,CD ⊥AB 于D,BC ＝7,BD ＝5,则sinB ＝ ,cosA ＝ ,sinA ＝ ,tanA ＝ ,cotA ＝ . 3、在△ABC 中,∠ACB ＝900,CD ⊥AB 于D,若AC ＝4,BD ＝5 9 ,则sinA ＝ ,tanB ＝ . 4、若α为锐角,cot α＝ 21 ,则sin α＝ ,cos α＝ . 5、查正弦表得8474sin 0'＝0.9650,则2115cos 0'＝ ；若2'对应的修正值为0.0002,则0115cos 0 '＝ ；若3'对应的修 正值为0.0004,且cosA ＝0.9646,则A ＝ . 6、计算：（1）0 2 2 56cos 34cos 1--＝ ； （2）0 69sin 21cos 69cos 21sin +＝ . 7、计算：30 031 0)30cot 3 1()30tan 3(?＝ . 8、当x ＝ 时,x x x x cos sin cos sin -+无意义.（00＜x ＜900） 9、在△ABC 中,∠C ＝900,若sinA ＞cosA,则∠A 的取值范围是 . 10、已知△ABC 中,AB ＝24,∠B ＝450,∠C ＝600,AH ⊥BC 于H,则AH ＝ ；CH ＝ . 二、选择题：（每小题2分,共20分） 11、已知cotA ＝3,求锐角A （ ） A 、320 B 、300 C 、600 D 、500 12、在Rt △ABC 中,如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的5 1 ,那么锐角A 的各个三角函数值（ ） A 、都缩小 5 1 B 、都不变 C 、都扩大5倍 D 、无法确定 13、若α是锐角,且054sin cos 0 =-α,则α为（ ） A 、540 B 、360 C 、300 D 、600 14、在△ABC 中,∠C ＝900,CD 是AB 边上的高,则CD ∶CB 等于（ ） A 、sinA B 、cosA C 、tanA D 、cotA 15、在△ABC 中,∠C ＝900,CD ⊥AB 于D,∠ACD ＝α,若tan α＝2 3 ,则sinB ＝（ ） A 、553 B 、552 C 、13133 D 、13132 16、A 、B 、C 是△ABC 的三个内角,则2sin B A +等于（ ） A 、2 cos C B 、2sin C C 、C cos D 、2cos B A + 17、若00＜∠A ＜900,且5)90cot(0 =-A ,则A cot 的值为（ ） A 、5 B 、51 C 、34 D 、4 3 18、化简250tan 50cot 0202-+的结果是（ ） A 、0050tan 50cot - B 、0050cot 50tan - C 、250tan 50cot 0 0-- D 、0 050cot 50tan + 19、在Rt △ABC 中,∠C ＝900,3 2 cos =B ,则a ∶b ∶c 为（ ）A 、2∶5∶3 B 、2∶5∶3 C 、2∶3∶13 D 、1∶2∶3 20、在△ABC 中,若AB ＝AC,则sinB 等于（ ） A 、2sin A B 、2 cos A C 、A sin D 、A cos 三、计算下列各题：（每小题5分,共10分） 21、 00 00245tan 45cos 230cos 60tan 45sin +?+ 22、1000100 00 202)25tan 2() 65tan 2 1 (30cot 230tan ?-+- 四、解答下列各题：（每小题8分,共40分） 23、已知如图：AB ∥DC,∠D ＝900,BC ＝10,AB ＝4,C tan ＝ 3 1 ,求梯形ABCD 的面积. D C B A
青岛版九年级上册数学《解直角三角形》
《解直角三角形》（第1课时）教案 探究版 教学目标 知识与技能 1．掌握直角三角形中角与角（两锐角互余）、边与边（勾股定理）、角与边（锐角三角比）之间的关系． 2．已知直角三角形的两个元素（至少一个是边），会解直角三角形． 过程与方法 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 情感与态度 渗透数形结合的数学思想，培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯． 教学重点 直角三角形的解法． 教学难点 锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用． 教学过程 一、情景导入 教师用多媒体出示： 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°， C B A （1）若AC =h ，BC =l ，你能求出AB 及∠B 吗？ （2）若AC =h ，∠B =α，你能求出AB 及BC 吗？ 师生活动：师出示问题后，让学生分组讨论尝试求解． 师在学生充分讨论后，给出结论： （1）AB sin ∠B =AC AB =再利用计算器即可求出∠B ； （2）AB = sin sin AC h αα=，BC =tan tan AC h αα = ．
设计意图：通过具体的问题，引发学生解直角三角形的思考，为引出本节课的内容做好铺垫． 二、探究新知 观察与思考 （1）在Rt △ABC 中（如图所示），∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ．除直角C 已知外，你会用含有这些字母的等式把其他5个元素之间的关系表示出来吗？与同学交流． c a C B A 师生活动：教师引导学生观察示意图，启发学生利用三角比的知识把除∠C 之外的5个元素之间的关系表示出来．最后把学生说出的等式按“角”、“边”、“角与边”加以分类，并进行总结． 师总结如下： ①角之间的关系：∠A +∠B =90°； ②边之间的关系：222a b c +=； ③角与边之间的关系：sin A = a c ，cos A = b c ，tan A =a b ． （2）观察上面的三组等式，你发现在直角三角形中，除直角以外，至少知道几个元素就可以求出其他的未知元素？ 师生活动：教师应引导学生通过思考和交流，理解在直角三角形中，除直角外知道其中的两个元素（至少一个是边），就可以求出其他三个未知元素，由此引出解直角三角形的概念． 在讲解“除直角外知道其中的两个元素（至少一个是边），就可以求出其他三个未知元素”时师可让学生仔细观察②③两组等式，并重点讲解： （1）在②③两组等式中，每个等式中都含有三个量．如果已知其中的两个量，则第三个量可由相应的等式求出，其中②中，三个量都是边，③中的三个量有一个是角，另外两个是边，因而在已知的两个元素中，至少有一个元素是边．“至少有一个”的含义是或者其中一个元素是边，或者两个元素都是边，因此，解直角三角形问题可分为两类：已知两边（两
解直角三角形及应用练习题
1． 一人乘雪橇沿坡度为１:3的斜坡滑下，滑下距离Ｓ（米）与时间 t （秒）之间的关系为Ｓ＝2 210t t +,若滑动时间为4秒，则他下降的 垂直高度为 2.如图甲、乙两楼之间的距离为40米，小华从甲楼顶测乙楼顶部 仰角为α，观测乙楼的底部俯角为β，试用含α、β的 三角函数式子表示乙楼的高=h 米. 3.如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B ，取∠ABD =145°，BD =500米，∠D =55°，要使A ，C ， E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55°米 B ．500cos55°米 C ．500tan55°米 D ．500tan35°米 4.如图，CD 是平面镜，光线从A 出发经CD 上点E 反射后照射到B 点.若入射角为α， AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC=3，BD=6，CD=11求tan 5.如图,为住宅区内的两幢楼，它们的高AB =CD =30m ，两楼间的距离AC =24m ，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？ 6.如图，为测得峰顶A 到河面B 的高度h ，当游船行至C 处时测得峰顶A 的仰角为α，前进m 米至D 处时测得峰顶A 的仰角为β(此时C 、D 、B 三点在同一直线上). (1)用含α、β和m 的式子表示h ； (2)当α=45°，β=60°，m=50米时，求h 的值. （精确到0.1m ≈1.41 1.73）
1.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点， 则sin A的值为 2．如图，△ABC是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图，为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB、BC、CA跑步（小路的宽度不计）.观测得点B在点A的南偏东30°方向上，点C在点A的南偏东60°的方向上，点B在点C的北偏西75°方向上，AC 间距离为400米.问小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（参考数据： ≈≈） 1.414 1.732
新人教版九年级下解直角三角形全章教案
第一课时 教学内容 锐角三角函数 （一）教学三维目标 一.知识目标 初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。 （二）.教材分析： 1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念 2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA 、cosA 、tanA 表示正弦，余弦，正切 （三）教学程序 一．探究活动 1 ．课本引入问题，再结合特殊角30°、 45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。 2．归纳三角函数定义。 siaA=斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边 的对边 A A ∠∠ 3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的siaA,cosA,tanA 的值。 4.学生练习P21练习1，2，3 二．探究活动二 1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60° 归纳结果 2. 求下列各式的值 （1）sia 30°+cos30° B A C
（2）2sia 45°- 2 1 cos30° (3)0 045 30cos sia +ta60°-tan30° 三．拓展提高 1. P82例4.（略） 2. 如图，在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB= 3 ,AC=23,求AB 四．小结 五．作业 课本p86 2,3,6,7,8,10 第二课时 教学内容 解直角三角形应用（一） 一．教学三维目标 (一)知识目标 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法． 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边． 三、教学过程 (一)知识回顾 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA b a (2)三边之间关系
青岛版初二数学解直角三角形测试题[1]
解直角三角形 一、选择题（3×10=30） 1、在R t △ABC 中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值是（ ） A 、14 C 、1 3 D 2、在△ABC 中，∠C=900,如果tanA= 5 12 ,那么sinB 的值的等于（ ） A 、513 B 、1213 C 、512 D 、125 3.（2010年日照市）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA =5 1 ，则AD 的长为 （A ） 2 （B ）3 （C ）2 （D ）1 4.小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m ，则他升高了（ ） A ．5200m B ．500m C ．3500m D ．1000m 5.边长为a 的等边三角形的面积为________ A.22 3a B.2 43a C. a 43 D.23a 6、AE 、CF 是△ABC 的两条高，如果AE ：CF=3：2，则sinA ：sinC 等于（ ） A 、3：2 B 、2：3 C 、9:4 D 、4：9 7、如图，在△ABC 中，∠C=900，∠B=500 ,AB=10,则BC=的长为 ( ) A 、10tan500 B 、10cos500 C 、10sin500 D 、 10 cos50 8、王英同学从A 地沿北偏西0 60方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地（ ） A 、、100m C 、150m D 、m 9（ ） A 、1-3 B 1 C 、3 -1 D 、 10、一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西400 的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（ ） A 、30海里 B 、40海里 C 、50海里 D 、60、海里 二、填空题（2×6=12） 11、计算：2sin600 = 。12、某坡面的坡角为600 ，则它的坡度是 。 C B A 100m 200m C A B 南 东 北 西
九年级数学上册 第一章解直角三角形单元测试(无答案) 鲁教版
解直角三角形单元检测题 （时间45分钟,总分100分，） 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝3 1 ，则sin B ＝( ) A ． 10 10 B ． 3 2 C ． 4 3 D ． 10 10 3 2、在正方形网格中,△ABC 的位置如图1所示,则cos ∠B 的值为（ ） A. 2 1 B. 22 C. 23 D. 33 3、在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sinB 的值是（ ）C （A ） 2 3 （B ） 3 2 （C ） 3 4 （D ） 4 3 4、小明从A 处出发沿北偏东60°向行走至B 处，又沿北偏西20°方向行走至 C 处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（ ） A 、右转80° B 、左转80°C 、右转100° D 、左转100° 5、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图3那样 折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE 的值是（ ） A ． 247 B ． 73 C ． 724 D ． 13 6 8 C E A B D 图3 A B C 图1 C A B D （图2）
二、填空题（每小题5分，共25分） 6、计算：2sin450 +2 cos600 +4 tan450 =_____. 7、已知ABC ?中，AC =4，BC =3，AB =5，则sin A =_____. 8、如图4，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是 9、如图5，在Rt△ABC 中，∠CAB=90°，AD 是∠CAB 的平分线， tanB=2 1 ，则CD∶DB= . 图5 10、图1是一张Rt △ABC 纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形（图2），那么在Rt △ABC 中，sin B ∠的值是 . 三、解答题（第11、12、13题各8分，第14、15题各题13分，共50分） 11、在Rt △ABC 中，∠C=900 ，，∠B=600 ，AB=4, 解这个直角三角形. 12、如图，小明用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为4米，DE 为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米） 图4 （图1） （图2） A B C
2018-2019学年沪教牛津版初中英语初三9年级上英语单词(含音标)
沪教牛津版九年级（初三）英语上册语音过关 Unit1 Wise men in history 词汇学习 四会 要求： 理解并重复运用是成功记忆之 母 ○ 熟练直至一看词形便能立刻反射出声音 ○ 最初新词可通过音标或老师或设备领读模仿 及 ② 懂 意思：知道 中文意思 词性 ○ ③ 能 拼写： 注意单词中有哪些 元音字母 或元音字母组合 ， 结合自然拼音法 知道对应的字母 或组合 发什么音 ④ 活 运用： 结合课本原句或文段去记它的中文意思和用法 积累新词汇在练习题中的句子 （平时尽力去尝试运用新学的词汇，定期回顾朗读所做的练习、课文、记笔记） 词 形 （字母 &组合） 词 形 1 golden 2 *crown 3 olympics 4 agreement 5 confirmation 6 pot 7 doubt 8 real 9 truth 0 seem 1 solve 2 fill 3 bowl 4 *displace 5 less 6 metal 7 certain 8 prison 9 boxing 0 racing 1 *wrestling 2 hit (hit, hit) 3 brave 4 *punctuation 5 correct 6 mistake 词性 读 音 （句） ( 读准音) 词性 音 标 adj. ['g ?? ld( ?)n] n. [kr a? n] n. [?? 'l ?mp ?ks] n. [?'gri?m(? )nt] n. [k ?nf ?'m e??(?)n] n. [p ?t] v. [d a? t] adj. [ri?l] n. [tr u?θ] v [si?m] v. [s ?lv] v. [f ?l] n. [b ?? l] v. [d ?s'pl e?s] det [les] n. ['met( ?)l] adj ['s ??t(?)n; -t ?n] n. ['pr ?z(? )n] n. ['b ? ks ??] n. ['r e?s??] n. ['resl ??] v. [h ?t] adj. [bre ?v] n. [p ??(k) t?? 'e??(? )n; adj. [k ?'rekt] n. [m ?'st e ?k] 中文 意思 基本用法 课本原句 （组词造句） （文 句） （巩固记忆 ） （巩固记忆 ） （巩固记忆 ） 中 文 意 思 遮掩默写 3次 遮掩默写 2次 遮掩默写 1次 金的；金色的 王冠；皇冠 奥运会 同意；应允 证实 罐 不能肯定；对??无把握 真的；正宗的 真相；实情 好像；似乎 解决；处理 装满；注满 碗；盆 取代；替代 较少的；更少的 金属 确定的；肯定的 监狱；牢狱 拳击（运动） 赛马（运动） 摔跤运动 （用手或器具 ）击；打 勇敢的；无畏的 标点符号 准确无误的；正确的 错误 短语固搭 1 (be) happy with 对某人或事物）满意的
解直角三角形试题与答案
学 号 密 封 教师填写 内容 考试类型 考试【 】 考查【 】 命题人 绝密★启用前 解直角三角形 测试时间:30分钟 一、选择题 1.在△ABC 中,∠C=90°,AB=10,cos A=45 ,则BC 的长为( ) A.6 B.7.5 C.8 D.12.5 2.如下图,在△ABC 中,AD ⊥BC,垂足为点D,若AC=6√2,∠C=45°,tan ∠ABC=3,则BD 等于( ) A.2 B.3 C.3√2 D.2√3 3.如下图所示,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D,CE ⊥AB 于E,且BE=2AE,已知AD=3√3,tan ∠BCE=√3 3 ,那么CE 等于( ) A.2√3 B.3√3-2 C.5√2 D.4√3 二、填空题 4.小明用一块含30°角的直角三角板在已知线段AB 上作出△ABC,如下图(1)(2)所示.若AB=6,则△ABC 的面积为 . 5.如下图,在四边形ABCD 中,AB=2,BC=CD=2√3,∠B=90°,∠C=120°,则线段AD 的长为 . 三、解答题 6.在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c.若a=2,sin A=13 ,求b 和c. 7.在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c,根据下列条件:c=8√3,∠A=60°,求出直角三角形的其他元素. 8.如下图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,AE 是BC 边上的中线,∠C=45°,sin B=1 3,AD=1. (1)求BC 的长; (2)求tan ∠DAE 的值. 9.阅读下面材料: 小红遇到这样一个问题:如下图(1),在四边形ABCD 中,∠A=∠C=90°,∠D=60°,AB=4√3,BC=√3,求AD 的长.小红发现,延长AB 与DC 相交于点E,如下图(2),通过构造Rt △ADE,经过推理和计算能够使问题得到解决,过程如下: 在△ADE 中,∠A=90°,∠D=60°,∴∠E=30°. 在Rt △BEC 中,∠BCE=90°,∠E=30°,BC=√3, ∴BE=2BC=2√3, ∴AE=AB+BE=4√3+2√3=6√3. 在Rt △ADE 中,∠A=90°,∠E=30°,AE=6√3, ∴AD=AE·tan E=6√3×√3 3=6. 参考小红思考问题的方法,解决问题:如下图(3),在四边形ABCD 中,tan A=12 ,∠B=∠C=135°,AB=9,CD=3,求BC 和AD 的长.
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