小波变换图像压缩中小波基的选取
小波变换压缩图像中小波基的选择
王磊1，王海南2
(1 、吉林化工学院信息与控制工程学院吉林吉林132022 ；2、武汉中粮食品科技有限公司生产技术部430415)摘要：基于小波变换的图像压缩应用日趋成熟。在基于小波变换的图像压缩技术中，小波基的选择对图像的压缩效果有着很大的影响，文章通过分析不同类型小波的性质，研究了在图像压缩中选择不同小波基对图像的影响。
关键词：小波变换；小波基；图像压缩
中文索书号：TP391
The selection of wavelet bases in image compression using
wavelet transform
12
Lei Wang , Hainan Wang
( 1.School of Information and Control Engineering, Jilin University of Chemical Technology, Jilin 132022, China;
2.Wuhan COFCO Food & Technology Co.,Ltd.Production & Technology Department ，wuhan，430415，China. ) Abstract ：The application of Wavelet-based image compression is becoming more and more perfect as the wavelet theory research proceeds in latest decade. And there is the great influence on the image compression using the different wavelet bases. In this paper, the characteristic of the wavelet transform are studied. It research the influence which produces to the image compression code when use the different wavelet base.
Keywords : Wavelet Transform ; Wavelet Bases ; Image Compression
0. 小波变换近几年来有数学“显微镜”美称的小波变换，以其多尺度时间——频率分辨的能力，一直备受关注。小波变换在图像处理及模式识别中也起着非常重要的作用，其应用范围遍及图像增强、图像压缩、边缘检测、纹理分析和分割等不同领域, 它有以下优点：
(1) 小波变换完善的重建能力保证了信号在分解过程中没有信息丢失和冗余，即小波变换作为一组表示信号分解的基函数是惟一的。
(2) 小波变换把图像分解为逼近图像和细节图像之和，它们分别代表了图像的不同结构，因此原始图像的结构信息和细节信息很容易提取。
(3) 小波变换编码不同于DCT 块编码技术，它不会出现人的视觉非常敏感的方块效应，这是因为小波变换对图像信号进行全局分解，量化失真随机地分布于整幅图像之中，人眼不易察觉。
(4) 二维小波分解为图像的分析提供了方向选择性，非常适合于人眼的视觉系统。
1. 基于小波变化的图像压缩小波变换用于图像压缩的基本思想是：把图像进行多分辨率分解，分解成不同空间、不同频率的子图像, 然后再对子图像系数进行编码。图像的能量主要集中在低频部分，而水平、垂直和对角线部分的能量则较少；水平、垂直和对角线部分表征了原图像在水平、垂直和对角线部分的边缘信息，具有明显的方向特性。低频部分可以称为亮度图像，水平、垂直和对角线部分可以称为细节图像。正是利用图像的这一特性，现阶段常用的压缩方法主要是通过对小波的分解和重构实现的。
一般图像压缩可分为以下几个步骤：
(1) 对图像信号进行小波分解。
(2) 对高频系数进行阈值量化处理。
(3) 对量化后的系数进行小波重构。
2. 小波基的选择
小波变换用于图像数据压缩时，任何实正交的小波对应的滤波器组都可以实现图像的分解与合
成，但是并不是任何分解都能满足所需的要求，同一幅图像，用不同的小波基进行分解所得到的压
缩效果是不一样的。经小波分解后，得到的3个方向上的细节分量具有高度的局部相关性，而整体
相关性被大部分甚至完全解除，所以小波基的选择就非常重要。
在利用小波进行图像压缩的过程中，最重要的就是小波基的选择。不同的小波基具有不同的性
质，能够反映信号的不同特征，所以希望根据不同分析信号的特征来选择一个最好的小波基，用来表达信号特点。同一幅图像，用不同的小波基进行分解所得到的压缩效果是不一样的。希望经小波
分解后，得到的三个方向上的细节分量具有高度的局部相关性，而整体相关性被大部分甚至完全解
除。所以对小波基的选取应考虑以下因素：
(1) 小波基的平滑性和图像数据压缩效果的关系。小波变换要求滤波器具有正则性，而正则性
就是函数光滑程度的一种描述，一般情况下，平滑性越强，数据压缩效果越好［1］。在实际应用中
由图可以看出Haar小波基是不连续的，所以在对一般图像处理中可能会在恢复图像中出现方块效应，如图2即是通过haar小波进行压缩后的图像，其带有明显的方块效应。而这是图像处理中
的显著缺点。而采用其它平滑的小波基则会消除方块效应。所以在实际应用中，一般要选择具有平滑特性的小波基。一致认为Daubechies小波db2具有良好的平滑性［2］。图3为对tire用db2进行
压缩的实验结果，可以看到的是虽然图像进行了压缩，但其视觉质量几乎没有任何变化。
图3 db2小波压缩图像
(2) 待处理图像与小波基的相似性。所谓的相似性是指待处理图像与小波在频率上具有一致性，
如果待处理图像的信息多集中在低频部分，那么就要选择低频成分较多小波基。如果待处理图像的
信息多集中在高频部分，那么就要选择高频成分较多小波基。图4是分别对不同的小波函数进行频
谱分析。通过分析比较可以知道Harr小波的高频成分较其它小波多很多。所以在图像处理时，根
据图像的压缩效果来看，高频成分较多的指纹图像用Haar小波压缩的效果会更好。此时图像信息
的冗余度被尽可能减小，从而在压缩质量被保证的前提下，压缩比更大。图5为利用Haar小波对
原始倍号
h日可压缩图像图2 haar小波压缩图像
原始信号50
100
15D
200
50 100 150 200(±2压缩图像
50
100
150
200
50 1 00 150 200 5 10 15 20 25
20 40 60
图4小波频谱分析
由实验结果可以看出，对含有高频成分很多的图像 （如指纹图像），小波包的分解细节信息的特
点尤其能够发挥其优势。此时图像信息的冗余度被尽可能减小，
从而在压缩质量被保证的前提下（压 缩后图像剩余能量百分比为 99.95%），压缩比更大（压缩率高达 41.28%）。所以haar 小波在对指纹 图像进行压缩处理时有着无可比拟的优势。
（3）小波变换的分解层数与图像数据压缩的关系。由于小波及小波包技术可以将信号或图像分 层次按小波基展开［3］，所以可以根据图像信号的性质以及事先给定的图像处理选择适当的小波基。
图6是对woman 图像分别适用bior3.7小波和haar 小波进行2层压缩的实验结果。
图6小波分层压缩
压缩比为：1/3。而haar 小波的压缩质量却优于 bior3.7小波。但是在对图像进行第二层压缩时
haar 小波的压缩比为：1/16。Bior3.7的压缩比为：1/14。此时虽然haar 小波的压缩比优于
bior3.7小波。
但是其压缩质量却不如 bior3.7小波。所以小波基的选取是小波变换压缩图像中最重要的环节之一。 3. 本章小结
图像压缩效果受小波基的影响很大，目前图像压缩中使用比较多的是由 Daubechies 构造的的 规范正交小波基，另外我们在利用小波变化进行图像压缩还应该考虑待压缩图像的特点是否与所选
小波基具有相似结构以及进行适当的层数分解，综合考虑选择压缩效果最佳的小波基。
参考文献
由实验结果的观察和比较，在对图像进行第一层压缩时
haar 小波的压缩比为: 1/4。Bior3.7 的
图5 haar 小波的指纹压缩 底始信号
射
1001S0200250
50
100 150
200 26
0 第一次压堀图像 — 20 * 40 ■ 60 00 100 12D 第二咬bi”压缩图像 20
40 E0 20 40 ￡0 J J & 原始信孕 策一祝旳郡圧缩图像 第二杭卜曲「压缩图
像
[1] 付刚，董晓刚?二维小波在图像压缩方面的应用[J] ?长春工业大学学报，2005, 26(3)
[2] 刘晶，奚晓梁.基于小波包的图像压缩处理[J] ?海军航空工程学院，2006, 21(1)
[3] 冯伟光，沈小艳.小波变换在图像压缩中的应用[J].大连海事大学学报，2003, 31(3)
小波变换的图像压缩
研究基于小波变换的图像压缩 摘要 图像压缩的关键技术是图像数据转换,转换后的数据进行数据量化和数据熵编码。基于小波变换的图像压缩是一种常见的图像压缩方法,本篇论文使用小波变换、多分辨率分析及不同规模的量化和编码实现图像压缩。在相同的条件下,本文采用两种不同的方法,第一种方法保留低频和放弃高频,第二种方法是阈值方法来实现图像压缩。 关键词：关键词——小波变换；小波图像系数；量化；编码 1.引言 图像压缩是指损失一部分比特率的技术或无损还原原始图像信息。在信息理论中,它的有效性，源编码的问题,即通过移除冗余即不必要的信息来实现这一目标。压缩的图像信息有两个方法，模拟和数字,因为数字压缩方法有大幅减少比特数量的优势,绝大多数的系统使用数字压缩方法。信号分析及处理的常用方法是傅里叶变换(FT),而且最广泛的分析工具应用于图像处理,但由于傅里叶变换不能满足局部的时间域和频率域的特点,小波变换具有傅立叶变换没有的两个特征,同时小波变换系数相同的空间位置描述在不同的尺度上有相似性,使得小波变换能进行量化编码。近年来,使用基于小波变换的图像压缩已取得了很大的进步,也变换算法充分利用小波系数的特性。 2.图像压缩编码的基本原理 图像编码研究侧重于如何压缩图像数据信息,允许一定程度的失真条件下的还原图像(包括主观视觉效果),称为图像压缩编码。然后使图像信号的信号源通过系统PCM编码器由线性PCM编码,压缩编码器压缩图像数据,然后摆脱码字的冗余数据。图像压缩编码的基本原理是图1。
图1 图像压缩编码的基本框图 因此,图像编码是使用统计特性的固有效果和视觉特征,从原始图像中提取有效信息，信息压缩编码和删除一些无用的冗余信息,从而允许高效传输的数字图像或数字存储。图像恢复时,恢复图像的不完全与原始图像相同,保留有效信息的图像。 3.小波分析的基本理论 小波变换具有良好的定位时间和频域的特征,充分利用非均匀分布的分辨率,对于高频信号,使用时域的小时间窗口,进行低频信号分析,使用一个大的时间窗口。这正值一个时频分布特征,高频信号持续很长时间，不易衰减,低频信号持续很长时间,正好适合图像处理。 4. 基于小波的图像压缩变换 小波变换用于图像压缩的基本思想,小波变换用于图像压缩:首先选择小波对原始图像进行小波变换,得到了一系列小波系数,然后对这些系数量化和编码。使用某些特征相同的相邻元素之间的子频带的小波系数和量化小波系数实现图像数据压缩的目的。二维图像信号多分辨率分析和Matlab算法是关键,需要引入二维多分辨率分析和Matlab算法。二维可分离的多分辨率分析和Matlab算法可以很容易地由一维离散小波变换得到。图3 Matlab分别为二维分解图和重建算法图。 图2二维Matlab分解图
傅里叶变换图像压缩
傅里叶变换图像压缩
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
ＤSP实验进度汇报 组员：汪张扬、任艳波、陈雪松、谢聪、沈旭 任务分配：汪张扬由于考Ｇ,上周没有任务,沈旭负责自制二值图像的处理，陈雪松和谢聪负责其他图片的处理,任艳波负责搜集图像压缩评价的相关材料 以下为简要概括: 读入图像进行傅里叶变换和压缩 原始程序： a=imreａd(＇d:\１.jpｇ');b=figｕre;ｉｍshow（ａ);tiｔle（'原始图像'); F=fft2(ａ）; F_mｍ＝abs(Ｆ);fiｇｕrｅ；imshow(F）;tｉtle('原始幅度谱'）； Fshift＝fftｓｈiｆt（F）； Ｆ_m=abs(Fshiｆt);ｆｉguｒe;ｉｍshow(F_ｍ);ｔitle('幅度谱'); F_p＝ａnｇle(Fｓhｉfｔ);ｆｉguｒe;imshow（Ｆ_p）;title(＇相位谱＇）； Ｔ=＠fft2; B1=blkproc（a,[8 ８]，Ｔ);%将图像分块为８×8矩阵进行处理 fｉguｒe; imshｏw(ａ); ｔiｔle(＇原始图像')； mask=[１０0 ００0 00 0 10 0 0 0 0 0 ０0 1 ００0 0 ０ ０0 0 1 ００0 0 ００0 0 ０００0 0 0０0 0 1 0 0 0 0 0 000 1 0 ０0 0 0 ０0 ０1];％与该矩阵相乘去掉中间行,即高频部分 B2＝ｂlkproc(B1,[88］,'P1*x',mask)； fun=@ｉfft２； F3=blkproc(Ｂ2,[88],fun)； F＝mａt2graｙ(F３); fｉgure; iｍshow(F); ｔitｌe('压缩87．５%的图像'); 刚开始的原始图像:
傅里叶变换_百度文库.
傅里叶变换,拉普拉斯变换和Z 变换的意义来源:于理扬的日志 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中, 傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域, 傅里叶变换具有多种不同的变体形式, 如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法,一种工具,一种看待问题的角度。理解的关键是:一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加, 从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号,将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的,不知不觉中,其实是按照时间把信号进行分割, 每一部分只是一个时间点对应一个信号值, 一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后, 其实还是个叠加问题, 只不过是从频率的角度去叠加, 只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号, 但他确有固定的周期,或者说,给了一个周期,我们就能画出一个整个区间上的分信号,那么给定一组周期值（或频率值,我们就可以画出其对应的曲线,就像给出时域上每一点的信号值一样,不过如果信号是周期的话,频域的更简单,只需要几个甚至一个就可以了,时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以,当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换,可以得到其频域特性,包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小, 那么相位呢, 它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系吗?信号前一段的相位（频域与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。
图像傅里叶变换的物理意义
傅里叶变换在图像处理中的作用 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数 傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰 注： 1、图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明： 若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。 2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大） 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量
数字图像的傅里叶变换
数字图像的傅里叶变换 一. 课程设计目的 （1）了解图像变换的意义和手段 （2）熟悉傅里叶变换的基本性质 （3）热练掌握FFT的方法反应用 （4）通过本实验掌握利用MATLAB编程实现数字图像的傅里叶变换 二.课程设计要求 （1）熟悉并掌握傅立叶变换 （2）了解傅立叶变换在图像处理中的应用 （3）通过实验了解二维频谱的分布特点 （4）用MATLAB实现傅立叶变换仿真 三.设计思路 1.相关知识原理 （1）应用傅里叶变换进行数字图像处理 数字图像处理（digital image processing）是用计算机对图像信息进行处理的一门技术，使利用计算机对图像进行各种处理的技术和方法。 20世纪20年代，图像处理首次得到应用。20世纪60年代中期，随电子计算机的发展得到普遍应用。60年代末，图像处理技术不断完善，逐渐成为一个新兴的学科。利用数字图像处理主要是为了修改图形，改善图像质量，或是从图像中提起有效信息，还有利用数字图像处理可以对图像进行体积压缩，便于传输和保存。数字图像处理主要研究以下内容：傅立叶变换、小波变换等各种图像变换；对图像进行编码和压缩；采用各种方法对图像进行复原和增强；对图像进行分割、描述和识别等。随着技术的发展，数字图像处理主要应用于通讯技术、宇宙探索遥感技术和生物工程等领域。 傅里叶变换在数字图像处理中广泛用于频谱分析，傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它使我们能够定量地分析诸如数字化系统，采样点，电子放大器，卷积滤波器，噪声，显示点等地作用（效应）。傅里叶变换（FT）是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特
实验五 基于小波变换的图像压缩
实验五小波变换在图像压缩中应用 一、实验内容 利用MATLAB小波工具箱，基于小波变换进行图像压缩处理。 二、实验目的及说明 所谓图像压缩就是去掉各种冗余，保留重要的信息。图像压缩的过程常称为编码，而图像的恢复则称为解码。图像数据之所以能够进行压缩，其数学机理有以下两点： （1）原始图像数据往往存在各种信息的冗余（如空间冗余、视觉冗余和结果冗余等），数据之间存在相关性，邻近像素的灰度（将其看成随机变量）往往是高度相关的。 （2）在多媒体应用领域中，人眼作为图像信息的接收端，其视觉对边缘的急剧变化敏感，以及人眼存在对图像的亮度信息敏感，而对颜色分辨率弱等，因此在高压缩比的情况下，解压缩后的图像信号仍有满意的主观质量。三、实验原理 小波压缩沿袭了变换编码的基本思想，即去相关性。小波变换、量化和熵编码等是构成小波编码的三个主要部分。其基本原理：将原始图像经小波变换后，转换成小波域上的小波系数，然后对小波系数进行量化编码。采用二维小波变换快速算法，小波变换就是以原始图像为基础，不断将上一级图像分为四个子带的过程。每次分解得到的四个子带图像，分别代表频率平面上不同的区域，他们分别含有上一级图像中的低频信息和垂直、水平及对角线方向的边缘信息，如下图所示： LL为低频子带，HL、LH、HH为高频子带 图像进行小波变换后，并没有实现压缩，是对图像的能量进行了重新分配。 四、核心函数介绍 Wavedec2()函数：多尺度二维小波分解
appcoef2()函数：提取二维小波分解低频系数wcodemat()函数：对矩阵进行量化编码 五、实验结果 实验结果： 表5-1 压缩图像的尺寸和字节数 压缩的图像结果显示： 原图像： 第一次压缩后的图像：
图像傅里叶变换详解
图像傅里叶变换 冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样, 傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 Fourier theory讲的就是：任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号的叠加，在图像领域就是将图像brightness variation 作为正弦变量。比如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频率f、幅值A、相位γ这 三个value可以描述正弦图像中的所有信息。1.frequency frequency在空间域上可由亮度调节，例如左图的frequency比右图的frequency 低…… 2.幅值magnitude（amplitude）sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和最暗的峰值之间的差。（一个负幅值表示一个对比逆转，即明暗交换。） 3.相位表示相对于原始波形，这个波形的偏移量（左or右）。=================================================================一个傅里叶变换编码是一系列正弦曲线的编码，他们的频率从0开始（即没有调整，相位为0，平均亮度处），到尼奎斯特频率（即数字图像中可被编码的最高频率，它和像素大小、resolution有关）。傅里叶变换同时将图像中所有频率进行编码：一个只包含一个频率f1的信号在频谱上横坐标f为f1的点处绘制一个单峰值，峰值高度等于对应的振幅amplitude，或者正弦曲线信号的高度。如下图所示。
典型信号的地傅里叶变换
例9.1 试将图9.3中所示的非正弦周期信号（称为方波信号）展成傅里叶级数。 解 根据图上所示信号的波形，可知其既对称于纵轴，又具有半波对称性质，所以它是兼有奇谐波函数性质的偶函数。依照上述定理，此信号的傅里叶级数中必定只含有余弦的奇次谐波项，因此只需按公式 ()2 04cos T km A f t k tdt T ω= ? 计算A km 。 对图上的波形图可以写出 ()04 42 T A t f t T T A t ?
图9.3 方波信号 图9.4 三角波信号 例9.2 试求图9.4所示三角波信号的傅里叶级教。 解 视察一下所给的波形可以知道，它既是原点对称又是半波横轴对称。因此，其傅里叶级数仅由正弦奇次谐波分量组成。由于 ()404 4242 A T t t T f t A T T t A t T ???=??-+??≤≤≤≤ 故有 2044444sin 2sin T T km T A A B t k tdt t A k tdt T T T T ωω??= -- ??? ?? 参照积分公式 211 sin sin cos x axdx ax x ax a a = -? 可算出 22 22 81,5,9,83,7,11km A k k B A k k ππ?=??=??-=??L L 于是所欲求的傅里叶级数 ()2222 8111sin sin 3sin 5sin 7357A f t t t t t ωωωωπ?? = -+-+ ??? L 。 例9.3 已知一如图9.5所示的信号波形，试求其傅里叶级数。 图9.5 例9.3用图
傅里叶变换及其在图像处理中的应用
傅里叶变换及其在数字图像处理中的应用 王家硕 学号：1252015 一、 Fourier 变换 1. 一维连续傅里叶变换 设 f (x)为x 的实变函数，如果f (x)满足下面的狄里赫莱条件： （1）具有有限个间隔点。 （2）具有有限个极点。 （3）绝对可积。 则 f (x )的傅里叶变换（Fourier Transformation ，FT ）定义为: Fourier 正变换：dt e t f t f f F t j ? +∞ ∞ --==ωω)()]([)(； Fourier 逆变换：ωωπ ωd e f t F f t f t j ? ∞ +∞ ---= =)(21)]([)(1 ， 式中：1-= j ，ω 为频域变量。 f (x )与F (w )构成傅里叶变换对，可以证明傅里叶变换对总是存在的。由于f (x )为实函数，则它的傅里叶变换F (w )通常是复函数，于是F (w )可写成 F (w ) = R (w ) + j I (w ) (1) 式中：R (w )和I (w )分别是F (w )的实部和虚部。公式1可表示为指数形式： 式中： F (w ) 为f (x )的傅里叶幅度谱，f (w )为f (x )的相位谱。 2. 二维连续傅里叶变换 如果二维函数f (x , y )是连续可积的，即∞
小波变换及其在图像压缩中的作用
小波变换及其在图像压缩中的作用 南京信息工程大学 电子与信息工程学院 张志华 20091334030 摘 要:主要分析了基于小波变换的图像分解和图像压缩的技术,并运用Matlab 软件对图像进行分解,然后提取其中与原图像近似的低频信息,达到对图像进行压缩的目的. 分别作第一层分解和第二层分解,并比较图像压缩的效果. 关键词:小波变换;多分辨分析;图像分解;图像压缩 小波变换的理论是近年来兴起的新的数学分支,素有“数学显微镜”的美称. 它是继1822 年傅立叶提出傅立叶变换之后又一里程碑式的领域,解决了很多傅立叶变换不能解决的困难问题. 小波变换可以使得信号的低频长时特性和高频短时特性同时得到处理,具有良好的局部化性质,能有效地克服傅氏变换在处理非平稳复杂信号时存在的局限性,具有极强的自适应性,因此在图像处理中具有极好应用价值. 本文主要分析了基于小波变换的图像分解和图像压缩技术,并运用Matlab 软件对图像进行分解,然后提取其中与原图像近似的低频信息,达到对图像进行压缩的目的. 分别作第一层分解和第二层分解,并比较图像压缩的效果. 先引入文中的有关基本理论. 1 基本理论 小波是指函数空间2()L R ) 中满足下述条件的一个函数或者信号()x ψ 3 () R x C d ψψωω = <∞? , 这里, 3R = R - { 0} 表示非零实数全体. 对于任意的函数或者信号f ( x) ,其小波变换定义为 (,)1(,)()()()f a b R R x b w a b f x x dx f x dx a a ??-?? = = ?? ?? ? ? , 因此,对任意的函数f ( x) ,它的小波变换是一个二元函数. 另所谓多分辨分析是指设{ Vj ; j ∈Z} 是2()L R 上的一列闭子空间,其中的一个函数,如果它们满足如下五个条件,即 (1) 单调性:Vj < Vj + 1 , P j ∈Z ; (2) 惟一性: {}0j j z I V ∈= ; (3) 稠密性: 2 ()j Y R V L = ;
傅立叶变换在图像处理中的作用
傅立叶变换在图像处理中的作用 摘要：本文首先简述了傅立叶变换的原理及应用领域，介绍了傅立叶变换在数字图象处理中的重要地位和应用,分析了其变换的数学原理和方法，特别着重的是二维傅立叶变换和FFT(快速傅立叶变换)的原理，然后介绍了Matlab 软件，分析了Matlab 的好处，及其在数字图像处理和傅立叶变换计算上的使用，编出程序实现了其变换功能，给出了应用于图象压缩和图像去噪的实例。 关键词： 图象处理 傅立叶变换 Matlab 正文 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。傅立叶变换是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析，简化了计算工作量，被喻为描述图像信息的第二种语言，广泛应用于图像变换，图像编码与压缩，图像分割，图像重建等。因此，对涉及数字图像处理的工作者，深入研究和掌握傅立叶变换及其扩展形式的特性，是很有价值得。把傅立叶变换的理论通其物理解释相结合，将有助于解决大多数图像处理问题。傅里叶变换可分为连续傅里叶变换、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换。 3.1.1 连续傅里叶变换 函数f(x)的傅里叶变换存在的条件是满足狄里赫莱条件，即： 1）具有有限个间断点； 2）具有有限个极值点； 3）绝对可积。 （1）一维连续傅里叶变换及反变换： 单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义为： dx e x f u F ux j ? ∞∞--=π2)()( 其中12-=j ，x 称为时域变量，u 为频率变量。 当给定F(u)，通过傅里叶反变换可以得到f(x) du e u F x f ux j ?∞ ∞-=π2)()( （2）二维连续傅里叶变换及反变换： 二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v) 定义为：
5.图像的频域增强及傅里叶变换
5.图像的频域增强及傅里叶变换 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方而，傅立叶的改进算法，比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分呈：，通过低通滤波器来滤除髙频一一噪声；边缘也是图像的髙频分量，可以通过添加髙频分量来增强原始图像的边缘； 2?图像分割Z边缘检测 提取图像高频分量 3.图像特征提取： 形状特征：傅里叶描述子 纹理特征：直接通过傅里叶系数来汁算纹理特征 英他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩 可以直接通过傅里叶系数来压缩数据：常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换：傅立叶变换傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一左存在。冈萨雷斯版＜图像处理＞里而的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决泄。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时, 讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里而）；时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变；频移性：函数在时域中乘以』wt,可以使整个频谱搬移W U这个也叫调制左理，通讯里而信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）: 卷积泄理：时域卷积等于频域乘枳：时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里而这个是个重点）信号在频率域的表现在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快：频率越小说明原始信号越平缓。当频率为O时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化快慢。高频分疑解释信号的突变部分，而低频分量决左信号的整体形象。 在图像处理中，频域反应了图像在空域灰度变化剧烈程度，也就是图像灰度的变化速度, 也就是图
小波变换在图像压缩中的应用
二维小波在图像压缩中的应用研究 学院：电气与自动化工程学院 学号：1013203045 姓名：齐亚莉
二维小波在图像压缩中的应用研究 图像压缩是将原来较大的图像用尽量少的字节表示和传输，并要求图像有较好的质量。通过图像压缩，可以减轻图像存储和传输的负担，提高信息传输和处理速度。小波变换已广泛应用到图像的各种处理环节中，这里我结合小波分析和基于小波变换的图像压缩基本原理，用Matlab 实现一个小波图像压缩算法。 1. 小波分析 1.1 一维连续小波变换 定义：设)()(2R L t ∈ψ，其傅立叶变换为)(?ωψ ，当)(?ωψ满足允许条件(完全重构条件或恒等分辨条件) ?=R d C ωωωψψ2 )(?< ∞ (1) 时，我们称)(t ψ为一个基本小波或母小波。将母函数)(t ψ经伸缩和平移后得 )(1 )(,a b t a t b a -=ψψ 0;,≠∈a R b a (2) 称其为一个小波序列。其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。对于任意的函数)()(2R L t f ∈的连续小波变换为 dt a b t t f a f b a W R b a f )()(,),(2/1,->==
5.图像的频域增强及傅里叶变换
5. 图像的频域增强及傅里叶变换 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法，比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 3.图像特征提取： 形状特征：傅里叶描述子 纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征 其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩 可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换；傅立叶变换 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）;时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变；频移性：函数在时域中乘以，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）；卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里面这个是个重点） 信号在频率域的表现 在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频
基于小波变换图像压缩编码研究的现状与发展
基于小波变换图像压缩编码研究的现状与发展 作者：杜广环 来源：《科技创新导报》2011年第10期 摘要:本中介绍了小波变换的基本理论,讨论了小波图像压缩研究现状和进展,特别就目前小波图像编码与其它新兴图像编码方法相结合研究热的点作了初步探讨,最后展望小波图像压缩编码的发展前景。 关键词:小波变换图像压缩小波基 中图分类号:TP391 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)04(a)-0083-02 小波变换是20世纪80年代后期发展起来的一种新的信息处理方法,解决了很多傅里叶变换不能解决的问题。小波变换由于在时域和频域同时具有局域化特性,弥补了DCT变换的不足,可以把图像信息定位到任何精度级上,以实现根据图像信息重要性进行优先编码、传输,并且其多分辨率特性便于与人眼视觉特性相结合,小波变换图像编码压缩成为当前研究热点。小波变换与其它编码方法相结合成为图像压缩算法的发展趋势。 1 小波变换压缩编码的理论 小波变换的基本思想是用一组小波或基函数表示一个函数或信号。若,将任意的连续函数在小波基下进行展开,称这种展开为函数的连续小波变换(Continue WaveletTransform,简记为CWT),其表达式为: (1)其相应的逆变换为: (2)若对式(1)中的进行采样,取,可得到离散小波变换(DWT): (3)在对图像进行分析、处理的应用中,我们主要采用离散小波变换(DWT),一般选取,此时称DWT为多分辨率分析。S．Mallat首先将多分辨率分析用于图像数据的压缩,并给出了信号分解与合成的塔式快速小波变换算法,该算法的出现使小波分析方法在信号处理领域真正得以实用化。 2 小波变换图像压缩编码基本原理 1989年,Mallat提出了小波变换多分辨率分析的概念,并给出了用于信号分析和重构的Mallat塔式算法[1]。所谓Mallat塔式算法,就是将一幅图像经过小波变换分解为一系列不同尺度、方向、空间域上局部变化的子带图像。一幅图像经过一次小波变换后产生4个子带图
傅里叶变换的本质
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。
对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。 想一想这个问题：给你很多正弦信号，你怎样才能合成你需要的信号呢？答案是要两个条件，一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差。所以现在应该明白了吧，频域上的相位，就是每个正弦波之间的相位。 傅里叶变换用于信号的频率域分析，一般我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数字信号处理对信号的频率特性更感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性。 傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。
图像处理之傅里叶变换matlab实现
傅里叶变换 一．实验内容： 1、傅里叶变换 二．实验目的： 1、理解傅里叶变换的原理 2、掌握傅里叶变换的性质 三．实验步骤： 1．首先构造一幅黑白二值图像，在128×128的黑色背景中心产生一个4×4的白 色方块，对其进行傅里叶变换；(Matlab 中用fft2实现2D 傅里叶变换) 2．把低频分量移到图象中心，而把高频分量移到四个角上；（方法有两种：其 一，在FT 以前对测试图象逐点加权(-1)^(i+j);其二，利用FFTSHIFT 函数）； 3．利用图象增强中动态范围压缩的方法增强2DFT ；（Y ＝C*log （1＋abs （X))）； 4．构造一幅黑白二值图像，在128×128的黑色背景中令第32行至36行、第 32列至第36列的值为1（即产生一个4×4的白色方块），对其进行傅里叶变换； 5．将上图旋转300，再进行傅里叶变换 (imrotate ) 6．构造二幅黑白二值图像，在128×128的黑色背景中分别令第60行至68行、 第60列至第68列的值为1，第64行至65行、第64列至第65列的值为1产生两幅图像，分别对这两幅图像进行傅里叶变换 四、原理分析、技术讨论、回答问题 1、对于第二幅图像（第一步与第四步图像的比较）,说明FOURIER 变换具有以下性质： )//(20000),(),(N vy M ux j e v u F y y x x f +-?--π 2、对于第三幅图像（第一步与第五步图像的比较）,说明FOURIER 变换具有以下性质： θcos r x = θs i n r y = αωc o s =u αωs i n =v ),(),(00θαωθθ+?+F r f 3、对于第四幅图像（第一步与第六步图像的比较）,说明FOURIER 变换具有以下性质： )/,/(||1 ),(b v a u F ab by ax f =
基于小波变换的图像处理
基于小波变换的数字图像处理 摘要：本文先介绍了小波分析的基本理论，为图像处理模型的构建奠定了基础，在此基础上提出了小波分析在图像压缩，图像去噪，图像融合，图像增强等图像处理方面的应用,最后在MATLAB环境下进行仿真，验证了小波变化在图像处理方面的优势。 关键词：小波分析；图像压缩；图像去噪；图像融合；图像增强 引言 数字图像处理是利用计算机对科学研究和生产中出现的数字化可视化图像 信息进行处理，作为信息技术的一个重要领域受到了高度广泛的重视。数字化图像处理的今天，人们为图像建立数学模型并对图像特征给出各种描述，设计算子，优化处理等。迄今为止，研究数字图像处理应用中数学问题的理论越来越多，包括概率统计、调和分析、线性系统和偏微分方程等。 小波分析，作为一种新的数学分析工具，是泛函分析、傅立叶分析、样条分析、调和分析以及数值分析理论的完美结合，所以小波分析具有良好性质和实际应用背景，被广泛应用于计算机视觉、图像处理以及目标检测等领域，并在理论和方法上取得了重大进展，小波分析在图像处理及其相关领域所发挥的作用也越来越大。在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor变换，时频分析，小波变换等。但短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行，所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整。 本文介绍了小波变换的基本理论，并介绍了一些常用的小波函数，然后研究了小波分析在图像处理中的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像增强等,本文重点在图像去噪，最后用Matlab进行了仿真[1]。
实验五基于小波变换的图像压缩
实验五小波变换在图像压缩中应用 、实验内容 利用MATLA小波工具箱，基于小波变换进行图像压缩处理 、实验目的及说明 所谓图像压缩就是去掉各种冗余，保留重要的信息。图像压缩的过程常称为编码，而图像的恢复则称为解码。图像数据之所以能够进行压缩，其数学机理有以下两点：（1）原始图像数据往往存在各种信息的冗余（如空间冗余、视觉冗余和结果冗余等），数据之间存在相关性，邻近像素的灰度（将其看成随机变量）往往是高度相关的。 （2）在多媒体应用领域中，人眼作为图像信息的接收端，其视觉对边缘的急剧变化敏感，以及人眼存在对图像的亮度信息敏感，而对颜色分辨率弱等，因此在高压缩比的情况下，解压缩后的图像信号仍有满意的主观质量。 三、实验原理 小波压缩沿袭了变换编码的基本思想，即去相关性。小波变换、量化和熵编码等是构成小波编码的三个主要部分。其基本原理：将原始图像经小波变换后，转换成小波域上的小波系数，然后对小波系数进行量化编码。采用二维小波变换快速算法，小波变换就是以原始图像为基础，不断将上一级图像分为四个子带的过程。每次分解得到的四个子带图像，分别代表频率平面上不同的区域，他们分别含有上一级图像中的低频信息和垂直、水平及对角线方向的边缘信息，如下图 所示: 、二级的小波分解图 LL 为低频子带，HL、LH HH为高频子带 图像进行小波变换后，并没有实现压缩，是对图像的能量进行了重新分配 四、核心函数介绍 Wavedec2 （）函数：多尺度二维小波分解
appcoef2()函数：提取二维小波分解低频系数wcodemat()函数：对矩阵进行量化编码 五、实验结果 实验结果： 表5-1压缩图像的尺寸和字节数 压缩的图像结果显示: 原图像： 第一次压缩后的图像:
图像处理 傅立叶变换
图像处理中的傅立叶变换 众所周至，傅立叶变换可以将连续或离散的函数序列从空域映射到频域上，因此，傅立叶变换是信息与信号学中不可获缺的强大工具。但是，由于傅立叶变换在学习表示已经很熟悉了，撇开傅立叶变换本身和其在其他领域的应用不谈，只谈图像傅立叶变换前后的对应关系。我们知道傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示时是以一大堆公式的形式给出的，因此很多人（包括我在内）往往在做了一大堆习题掌握了变换的数学表示却对其变换后的物理意义一无所知，尤其是自学的时候更是晕头转向。 这里假设大家对傅立叶变换的数学，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图（看看频谱图的各点的计算公式就知道为什么叫功率图了:)），我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正玄(sin的正玄，找不到这个字,郁闷)干扰，一副带有正玄干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘；
傅里叶变换与数字图像处理
傅里叶变换与数字图像处理 (2012-05-24 20:06:24) 转载▼ 标签： it 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦和/余弦和的形式。傅里叶变换是数字图像处理技术的基础，其通过在时域和频域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析。 一维傅里叶变换及其反变换 单变量连续函数，f(x)的傅里叶变换F(u)定义为等式： u=0，1，2，…，M一 1 同样，给出F(u)，能用反DFT来获得原函数：
其中，u=0，1，2，…，M一1。因此，我们看到傅里叶变换的每项[即对于每个u 值，F(u)的值由f(x)函数所有值的和组成。f(x)的值则与各种频率的正弦值和余弦值相乘。F(u)值的范围覆盖的域(u的值)称为频率域，因为u决定了变换的频率成分(x 也作用于频率，但它们相加，对每个u值有相同的贡献)。F(u)的M项中的每一个被称为变换的频率分量。使用术语“频率域”和“频率成分”与“时间域”和“时间成分”没有差别，如果x是一个时间变量，可以用它来表示f(x)的域和值。 二维DFT及其反变换 一维离散傅里叶变换及其反变换向二维扩展是简单明了的。一个图像尺寸为M×N 的函数f(x，y)的离散傅里叶变换由以下等式给出：
像在一维中的情形一样，此表达式必须对u值(u=0，1，2，…，M-1)和v值(v=0，1，2，…，N-1)计算。同样，给出F(u,v)，可以通过反傅里叶变换获得，f(x，y)，由表达式给出： 其中，x=0，1，2，…，M-1，y=0，1，2，…，N-1。变量u和v是变换或频率变量，x和y是空间或图像变量。正如在一维中的情形那样，常量1／MN的位置并不重要，有时它在反变换之前。其他时候，它被分为两个相等的常数1/根号MN，分别乘在变换和反变换的式子前。 定义傅里叶谱、相角和频率谱： 并且其功率谱为： 其中，R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部。 通常在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y乘以输入的图像函数。由于指数的性质，很容易看出: