函数的单调性(二)
怀仁一中高三理科第一轮数学学案
周次1 编号 8 日期 8.3 编制：张祥 审核：赤九清
课题：函数的单调性（二）
学习目标：
1．
能利用导数法判断函数的单调性；
2．
会对含字母的函数单调性问题进行合理的讨论。
重点、难点:
导数法在函数单调性中的应用。
知识梳理：
1.利用导数研究函数y=f(x)的单调性：
在区间（a,b ）内1
()f x f()a,)______,()a,b)_______,(),)_______?????
大于零，x 在（b 内是等于零f x 在（内是小于零f x 在（a b 内是
2.导数判断函数为增函数的充要条件是：______________________
3. 导数判断函数为减函数的充要条件是：_______________________
典型例题：
例题1: 讨论函数2
1()ln 22
f x x ax x =--的单调性。
例题2. 已知函数1()ln 1().a
f x x ax a R x
-=-+-∈ （1） 当1
2
a ≤
时，讨论f(x)的单调性； （2） 设2
()2 4.f x x bx =-+当14
a =时，若对任意
1212(0,2),[1,2],()(),x x f x g x ?∈?∈≥使得求实数b 的取值范围。
例题3. 已知22(),[1,).x x a
f x x x
++=
∈+∞ （1）当a=
1
2
时，求函数f(x)的最小值； （2）若对任意x ∈[ 0,+∞﹚，f(x)>0恒成立，试求实数ａ的取值范围。
达标训练： 已知函数3()2
x a
f x x +=+在区间（-2，+)∞上单调递减，则a 的取值范围是_________. 【收获总结】
《函数的单调性与导数》教学设计(最新整理)
《函数的单调性与导数》教学设计 教材分析 1、内容分析 导数是微积分的核心概念之一，是高中数学教材新增知识，在研究函数性质时有独到之处，体现了现代数学思想.本节的教学内容属导数的应用，是在学习了导数的概念、运算和几何意义的基础上学习的内容.学好它既可加深对导数的理解，又为研究函数的极值和最值打下了基础. 由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义判定函数在给定区间上的单调性.通过本节课的学习应使学生体验到，用导数判断函数的单调性比用定义要简捷的多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分展示了导数的优越性. 2、学情分析 在必修一中，学生学习了单调函数的定义，并会用定义判断或证明函数在给定区间上的单调性，在前几节，学生学习了导数的概念、几何意义及运算法则，已经掌握了利用导数研究函数单调性的必备知识. 用定义证明函数在给定区间的单调性的方法是作差、变形、判断符号.而对大部分函数而言，变形环节是非常繁琐，甚至是无法做到的，并且不清楚“给定区间”是如何给出的，这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性和探求函数的单调区间，以此来激发学生的学习兴趣. 教学目标 依据新课标纲要和学生已有的认知基础和本节的知识特点，我制定了以下教学目标： 1、知识与技能目标： 借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系；培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识. 2、过程与方法目标：
习引入 则 =因为x 1x 2，， 当时； 当时 所以函数在区间上单调递减，在区 间 上单调递增 解法二：图像法 （2）“图象法” 探求新知形成概念 问题：如何确定函数f(x)=2x 3－6x 2＋7的单调区间？ 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么能否用导数来研究函数的单调性呢? 前面我们用定义和图像已经知道 二次函数的单调性及单调区间，下面我用几何画板来展示曲线上任何一点的导数的变化。切线的方程.rar 一般的，函数的单调性与其导函数的正负有如下的关系：让学生在短时间内尝试完成，结果发现用 “定义法”作差后判断正负很麻烦，而用“图象法”时，图象又很难画出. 教师对具体例子进行动态演示，学生对一般情况进行实验验 证。由观察、猜想到归纳、总结，
2.1.3函数的单调性教案学生版
2.1.3 函数的单调性 【学习要求】 1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念． 2.掌握增(减)函数的证明和判别，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，能利用函数图象划分函数的单调区间．【学法指导】 考察函数的单调性，可以从函数的图象、函数值的变化情况，增(减)函数的定义等多方面进行，但函数单调性的证明必须根据增(减)函数的定义加以证明. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.增函数与减函数的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间M?A.如果取区间M中的任意两个值x1，x2， 改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，当Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数. 2.如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性. (区间M称为单 调区间). 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就把握了相应事物的变化规律．因此研究函数的性质是非常重要的．日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降．很多函数也具有类似性质，这就是我们要研究的函数的重要性质——函数的单调性． 探究点一函数单调性的有关概念 问题1 观察下列函数的图象，回答当自变量x的值 增大时，函数值f(x)是如何变化的？ 问题2 如何用x与f(x)来描述当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大？ 问题3在函数y＝f(x)的图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)＝y2－y1， 如何用Δx与Δy来描述：“当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大”？ “当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次减小”？ 问题4 对于函数f(x)，当Δx>0时，有Δy>0，我们说f(x)是增函数；当Δx>0时，有Δy<0. 我们说f(x)是减函数．如果给出函数y＝f(x)，x∈A，你能给增函数和减函数下个定义吗？ 例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函 数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
3.2.1函数的单调性 (2)(1)
邹平一中2020级高一数学导学案018 主备人：刘学兰审核人：贾新日期：10.12 3.2.1 函数的单调性 【学习目标】 1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性． 2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性． 3．会求一些具体函数的单调区间． 【自主学习】 一、设计问题，创设情境 问题1：观察上面几个函数的图象，说说它们各自有什么样的特点？ 问题2：以上三个函数图象，它们分别反映了相应函数的什么性质？ 二、学生探索、尝试解决 问题3;再去观察二次函数图象，在y轴左侧，函数值随着自变量的增大有怎样的变化趋势, y轴的右侧呢？ 问题4;你能用符号语言来描述这种变化趋势吗？ 问题5：尝试总结出单调递增和增函数的定义. 问题6;类比于单调递增和增函数的定义，写出单调递减和减函数的定义.
问题7：增(减)函数定义中的x 1，x 2有什么特征？ 问题8：函数y ＝－1x 在定义域上是减函数吗？ 问题9：学习了增函数和减函数的定义后，你能给出函数单调性的定义吗? 三、运用规律，解决问题 例1 根据定义，判断函数f (x )＝3x+2在区间R 上的单调性并给出证明. 例2 根据定义,研究函数f (x )＝kx+b (k ≠0)的单调性. 例3 物理学中的玻意耳定律p= k V (k 为正常数) 告诉我们，对于一定量的气体当其体积V 减小时，压强p 将增大. 试对此用函数的单调性证明.
例4 证明函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数． 四、变练演练，深化提高 1. 证明函数f (x )＝x ＋1x 在(1,+∞)上是增函数 2.. 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数． (1)f (x )＝－1x ； (2)f (x )＝????? 2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1； 五、信息交流，教学相长 你能总结出用定义去证明函数单调性的步骤吗？
2函数的单调性及其应用高三复习专题
函数的单调性 1.单调性与单调区间： 例1.下列函数中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x ”的是（ ） A ．()f x =1x B ．()f x =2(1)x - C ．()f x =x e D ．()ln(1)f x x =+ 演变1.给定函数：①1 2y x =，②12 log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间 (0,1)上单调递减的函数序号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 例2.函数2()21 x f x x -= -的单调区间为__________ 演变1.函数25---=a x x y 在),1(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是__________ 例3.函数267)(x x x f --=的单调递增区间为__________ 演变1. 函数()f x =__________ 例4.函数2()2||3f x x x =--的单调递增区间为__________ 演变1.函数|32|)(2--=x x x f 的单调递增区间为__________ 2.利用单调性求参数范围： 例1.已知函数2)1(22+-+=x a x y 在)4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_______ 演变1.若ax x x f 2)(2+-=与1 )(+=x a x g 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________ 例2.已知函数(31)4(1)()log (1)a a x a x f x x x -+
函数的单调性评估测试练习题和标准答案二
高一数学同步测试（6)—函数的单调性 一、选择题： 1．在区间(0，+∞)上不是增函数的函数是 ??（ ) A.y =2x +１ B ．y =３x 2+1? ? C ．y =x 2? D.ｙ=2x 2+x ＋1 2.函数f (x )＝4x 2－m ｘ+５在区间［－2,+∞］上是增函数，在区间(－∞，-２)上是减函数,则ｆ(1)等于 ( ） ?Ａ．－7 ?B.1 ?C ．17? D.25 3.函数f (ｘ）在区间(－2，３)上是增函数,则y =ｆ（ｘ+5)的递增区间是 ( ) A.（3,8) B ．（-7,-２)? C ．(－2,3) ?Ｄ．(0,5) 4．函数f （ｘ）= 21++x ax 在区间(－２，+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是?( ） A.(０，21)??B.( 2 1，＋∞) ?C.(－2,＋∞) D.(－∞，－1)∪(1，+∞) ５.已知函数f (x )在区间[a ,b ]上单调，且f (a ）ｆ(b )＜0，则方程f (x )=0在区间［a ,b ］内( ) A.至少有一实根 B.至多有一实根 C ．没有实根 ? D ．必有唯一的实根 6.已知函数f (ｘ)=8+2x -x 2,如果ｇ（x )=f ( 2-ｘ２ ）,那么函数g (x ) ?( ） Ａ.在区间(－1,０)上是减函数 B ．在区间(０，1)上是减函数 C ．在区间(－2，０)上是增函数 D ．在区间(０，2)上是增函数 7.已知函数f (ｘ)是Ｒ上的增函数，A(0,-1）、Ｂ(3,1)是其图象上的两点,那么不等式 |f (ｘ+1)|<1的解集的补集是? ( ） A ．(－1,2) ? B ．（1,4） Ｃ．(－∞,-1)∪[4，+∞) D ．(-∞，－１)∪[2，+∞） 8.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(-∞，5)上单调递减，对任意实数ｔ，都有f (5＋ｔ)=f （5－t ）,那么下列式子一定成立的是? ?（ ） A ．f （－1)＜ｆ（9)<ｆ（13)?Ｂ．f (13) 函数的最大（小）值教学设计 【课标解读】 1．知识目标：理解函数的最大（小）值及其几何意义．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．2．能力目标：理解函数的最大（小）值及其几何意义．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．培养学生自主学习的能力，以及勇于探索、严谨求学的科学态度。3．情感目标：利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性． 【教材分析】 《函数的最值》是高中数学必修一第一章第三节的内容。在此之前，学生已学习了利用定义证明函数的单调性，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是求函数值域，解决恒成立问题的基础。重点是利用函数单调性求函数最值，以及与二次函数有关的最值的求解及应用。难点是有关求最值时的分类讨论问题。 【学情分析】 在教学过程中，教师创设情景，揭示课题，质疑答辩，排难解惑，通过教师的启发点拨，学生的不断探索，逐步解决求函数的最值问题。整个教学过程使学生主动参与、积极思考、探索尝试；让学生体验到了学习数学的乐趣，培养学生自主学习的能力以及严谨的科学态度，养成勇于探索、乐于实践的学风。 【教学目标】 知识与技能： 1．通过生活中的例子帮助学生理解函数最值的定义及其几何意义。 2．学会应用函数的单调性求解函数的最值或值域。 过程与方法： 1．通过本节课的教学，渗透数形结合、分类讨论的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育。 2．通过探究与活动，培养学生合作探究、自主学习的能力。 情感与态度： 1．通过本节课的教学，使学生能结合函数的单调性求函数的最值。 2．通过生活实例感受函数单调性对函数最值的影响，培养 学生的识图能力和分类讨论的能力，养成科学严谨的求学态度，使之成为一种习惯。 【教学过程】 （一）问题情境． 1.引入： 喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后 便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究——函数的最大值与最小值。 2.课堂探究： 探究点1 函数的最大值： 观察下列两个函数图象： 思考1 高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点. 思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数 定义域内任意自变量x,f(x)与M 的大小关系如何?（学生回答） 【解答】 f(x)≤M （二）深入学习 最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实 数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M; （2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值 y 图2 【第二章计算题类型】 计算： (1)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8； (2)23×612×332. （3）lg2·lg 52 ＋lg0.2·lg40. （利用函数单调性比大小）★常考类型★ 1-1．设120.7a =，120.8b =，c 3log 0.7=，则（ ）. A. c > B. b a c >> C. c a b >> D. b c a >> 1-3.设a ＝log 132，b ＝log 13 3，c ＝? ????120.3，则( ) A ．a 函数单调性（二） 教学目标：理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；2010年考试说明要求B 。 知识点回顾： 1．单调性：①定义法；②导数法. 注意①：0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。 如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不 必要条件。 注意：函数单调性与奇偶性的逆用（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）. 2、复合函数单调性：由同增异减判定；图像判定；作用:比大小,解证不等式. 函数训练： 1.函数1062+--=x x y 的单调增区间是 ，单调减区间 11．函数f(x)=????? 1 x >00 x =0-1 x <0，g(x)=x 2f(x-1)(x ∈R)，则函数g(x)的单调递减区间是__________ 2.若32)(2+-=mx x x f 当),2[+∞-∈x 时是增函数，当]2,(--∞∈x 时是减函数，则f (1)= 3.)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，则不等式)]2(2[)(->x f x f 的解集是_______ 4函数322+--=x x y 的增区间是 _____________ 5.函数22)21(++-=x x y 的单调递增区间是 ___ 典型例题： 已知函数1()ln 1 mx f x x -=-()R m ∈的图象关于原点对称．（1）求m 的值；（2）试判断函数()y f x =的单调性，并给予证明。 已知函数2()1ax b f x x +=+是定义在（-1，1）上的奇函数，且12()25 f =，（1）确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在（-1 ，1）上是增函数；（3）解不等式0)()1(<+-t f t f 。 课堂检测： 1.已知定义在R 上的偶函数f (x)的单调减区间为),0[+∞，则不等式f(x)< f(2－x)的 解集为___________ 2.定义在R 上的奇函数f (x )在（0，+∞）上是增函数，又f (－3)=0，则不等式xf (x )<0的解集是_________ 3．已知()x f 是定义在[]2,2-上的函数，且对任意实数)(,2121x x x x ≠，恒有 ()()02 121>--x x x f x f ，且()x f 的最大值为1，则满足()1log 2 【高中数学】函数的单调性 【套路秘籍】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 自左向右看图象是上升的 如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值 【套路修炼】 考向一 单调区间求解 【例1】（1）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A.y ＝2－x B.y ＝x C.y ＝log 2x D.y ＝－1 x (2)函数f (x )＝ln (x 2 －2x －8) 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞) (3)求函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|的单调区间 ． (4)求函数f (x )＝x －ln x 的单调区间 ． (5)函数3 3y x x =-的单调增区间为__________． 【举一反三】 1．下列函数中，在(0,+∞)上单调递减的是( ) A ． f(x)=lnx B ． f(x)=(x ?1)2 C ． f(x)=2?x D ． f(x)=x 3 2．函数f (x )=log 2(4+3x ?x 2)的单调递减区间是（ ） A ． (?∞,32] B ． [32,+∞) C ． (?1,32] D ． [3 2,4) 3．函数()| g x x =的单调递增区间是 ( ) A ． [)0+∞， B ． (]0-∞， C ． (]2-∞-， D ． [ )2+-∞， 考向二 单调性的运用一---比较大小 【例2】定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2 <0.则下列 结论正确的是( ) A ．f (0.32 ) 课题3.4 函数的基本性质（2）——函数单调性 学 科：高中数学 课程类型：基础型 课式类型：新授课 执教老师：田红兵 授课班级：高一（2）班 一、教学目标 1.理解单调函数（增函数、减函数）、单调区间（增区间、减区间）的概念和图像特征， 能根据函数的图象判断单调性、写出单调区间，能运用函数的单调性概念证明简单函 数的单调性。 2.经历函数单调性概念抽象提炼的过程，体会数形结合的思想， 培养抽象概括、推理论 证和语言表达的能力。 3.通过函数单调性概念的抽象过程，感受数学的严谨性，培养严谨的科学态度，养成良 好的思维习惯。 二、教学重点及难点 重点：函数单调性的概念 难点：领悟函数单调性的本质, 掌握函数单调性的判断和证明 三、教学用具准备：多媒体课件 四、教学过程设计 策略与方法 （一）情景引入 1． 观察关于上海市园林绿地面积的图形，（见ppt ） 问题：从1990年到2000年上海市园林绿地面积变化 由生活情境引入新课， 趋势如何？ 激发兴趣，了解新概念 预案：随年份的增加而增加。 在生活的原型，认识研 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 究单调性的必要性。 预案：长江水位高低、燃油价格、股票价格等． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的增加，函数 值是增大还是减小， 对于自变量增大时，函数值是增大还是减小，初中同 学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们继续 研究这个问题。 (二).归纳探索，形成概念 1.借助图象，直观感知 问题1：观察函数x y 3=，22+-=x y ，x x y 22+-=， x y 1 =的图象，自变量增大时，函数值有什么变化规律？ 策略与方法 预案:(1)函数x y 3=在整个定义域内 y 随x 的增大而增大； 从初中学过的四类 (2)函数22+-=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而减小． 函数入手，通过观察图 (3)函数x x y 22+-=在[)+∞,1上 y 随x 的增大而减小， 像直观感知函数单调性。 在()1,∞-上y 随x 的增大而增大． (4)函数x y 1 =在（0,)∞+上 y 随x 的增大而减小，在 ()0,∞-上y 随x 的增大而减小． 引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的 单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质． 问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案1：如果函数)(x f 在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们说函数)(x f 在该区间上为增函数；如果函 通过观察图像，获 数)(x f 在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们 得感性认识，得到初步 说函数)(x f 在该区间上为减函数． 概念，完成对单调性的 预案2：在区间I 上，若函数y=)(x f 的图像从左至右看总是上升 第一次认识 的，则称函数y=)(x f 在区间I 上是增函数；若函数y=)(x f 的图像从左至右看总是下降的，则称函数y=)(x f 在区间I 上 是减函数； 通过讨论，使学生 感受到用函数图象判断 2．探究规律，理性认识 函数单调性虽然比较直 问题3：二次函数2)(x x f = 的图象可能会在区间[)+∞,100 观，但有时不够严密， 上降下来？可能会在区间会在[)+∞,200 上降下来？可能会在 需要结合解析式用准确 [)+∞,300上降下来？。。。。。。。 的数学语言刻画概念。 问题4：如何从解析式的角度说明2)(x x f =在[)+∞,0为 增函数？ 把对单调性的 认识由感性上升到理性 预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22, 认识的高度, 完成对概 所以2)(x x f =在[)+∞,0为增函数． 念的第二次认识． 《函数的单调性》教学设计 张理想太和中学 教材：北师版普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）【教学目标】 1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握利用函数图像和定义判断、证明函数单调性的方法。 2．渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。 3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程。 【重点】函数单调性的概念、判断及证明。 【难点】根据定义证明函数的单调性。 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 在日常生活中，有“蒸蒸日上”、“每况愈下”、“波澜起伏”等成语，有“人多力量大”、“僧多粥少”等俗语，同学们能否在直角坐标系中用图像大致描述一下呢？ 教师指出：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，反映出这个关系，比如股票价格、水位高低、降雨量等。了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的。用函数观点看，其实这些例子反 映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小（板书课题：函数的单调性）。 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣。 二、归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性。同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义。 1.借助图像，直观感知 问题1：分别作出函数y=x+1、y=x2、的图像，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律。 问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 〖设计意图〗从图像直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识。 2.归纳探索，抽象思维 问题3：你能判断函数y=x2分别在哪个区间为增函数和减函数吗？ 〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性。 问题4：如何从解析式的角度，用准确的符号语言来说明f(x)=x2在[0,+∞）上为增函数？ 〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成 §2.2 函数的单调性与最值 (时间：45分钟 满分：100分) 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．(2010·北京)给定函数①y ＝1 2 x ，②y ＝12 log (x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋ 1，其中在区间 (0,1)单调递减的函数的序号是 ( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 2．已知f (x )＝???? ? a x (x >1)??? ?4－a 2x ＋2 (x ≤1) 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 ( ) A ．(1，＋∞) B ．[4,8) C ．(4,8) D ．(1,8) 3．若函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增 4．已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确 的是 ( ) A ．f (4)>f (－6) B ．f (－4) 湖南师范大学附属中学高一数学教案：函数的单调性2 一．课题： 二．教学目的：1. 进一步掌握单调性，会求复合函数的单调区间； 2. 会应用单调性解题。 三．教学重点、难点：复合函数的单调区间 四．教学过程： （一）复习：（提问） 1．单调函数的概念 2．练习：证明)1,0(是函数x x y 1+=的单调递减区间。 （二）新课讲解： 1．例题分析： 例1．判断下列函数的单调区间：21x y = 解：令2x t = （0>t ） t y 1=在),0(+∞上为减函数 而2 x t =在)0,(-∞上为减函数，在),0(+∞上是增函数 ∴21x y =在)0,(-∞上为增函数，在),0(+∞上为减函数。 说明：复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()] y f g x =在],[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单 调性相同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -= 的单调递减区间是 ，单调递增区间为 ． （2）541 2+-=x x y 的单调递增区间为 ． 例3．讨论函数21)(++=x ax x f )2 1(≠a 在),2(+∞-上的单调性。 解：设12x -<<2x ， 2 212212)(+-+=+-++=x a a x a a ax x f 函数的单调性（2） 班级： 姓名： 环节一、课前自测 1、利用定义证明函数 14)(2--=x x x f 在),2[+∞上是增函数。 环节二、合作交流 例1、函数14)(2--=x x x f ，]5,0[∈x （1）写出函数 )(x f 的单调区间： （2）若函数 )(x f 在区间]5,[a 上单调递增，则a 的取值范围是 ； 若函数)(x f 在区间],0[b 上单调递增，则b 的取值范围是 ； 例2、已知函数 14)(2+-=ax x x f （1）函数 )(x f 在区间),2[+∞上是增函数，求a 的取值范围。 （2）函数 )(x f 的单调递增区间是),2[+∞，则实数a 的值为 。 变式：（1）已知函数 14)(2+-=ax x x f 在区间]2,(-∞上是减函数，求a 的取值范围。 （2）已知函数 14)(2+-=ax x x f 的单调递减区间是]2,(-∞，求a 的值。 例3、已知函数 )(x f 是定义在]1,1[-上的增函数，且)1()2(x f x f -<-，求实数x 的取值范围。 例4、已知函数 14)(--=x x f （1）已知 2)(-=x f ，求x 的值。 （2）当 2)(- 1.3.1函数的性质（一）函数的单调性 教学设计 一、教材内容分析 本节课《函数的单调性》是人教A版《高中数学必修1》第一章第三节的内容,函数的性质由研究函数单调性开始，它既是函数基本特征之一,为后面基本初等函数的研究提供了一般方法,为研究不等关系提供了重要依据。探究方法对研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用。函数单调性的实质是对函数两个变量运动趋势相关性的研究,研究函数单调性是从观察具体图象的变化趋势入手，通过图象分析数值之间的关系，最终抽象出用数学符号表述的定义。 二、教学目标 知识目标（学习目标） （1）能通过函数图象分析函数的单调性。掌握一次函数、二次函数、反比例函数的单调性。 （2）准确概括出增、减函数的定义并理解。 （3）会用增、减函数的定义证明函数的单调性。 能力目标 培养学生数形结合的数学思想，指导学生形成研究问题从特殊到一般，从具体到抽象的研究方法。指导学生形成科学的利用时间进行有效复习的学习方法。 情感态度与价值观目标 通过对函数单调性的探究过程培养学生细心观察图象并进行分析最后严谨论证的良好思维习惯，并激发学生利用现代的设备技术去探索数学问题的兴趣。 三、教学（学习）重点难点 重点：形成增、减函数的形式化定义。 难点：形成增、减函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表达；用定义证明函数的单调性。 四、学情分析 所教授的班级学生为高一学生，在初中通过三类简单的函数图象分析已经对函数的单调性有了一定的直观认识，但是还欠缺对函数单调性用数学符号的定义概括和进一步去理解函数的单调性。学生思维活跃，小组合作探究已经比较默契。课前学生可以利用ipad观看微课并检测自学效果，也可以利用图形计算器绘制函数图象，对初中没有接触的函数的图象有直观认识。但学生欠缺规范表述函数的单调性和单调区间。 五、教学策略选择与设计 教学设计思路：通过对函数单调性的研究让学生经历从直观到抽象，从图形语言到数学语言，理解增函数、减函数，单调区间概念的过程。在这个过程中，让学生通过自主、小组探究活动，体验数学概念的形成过程，使学生学习数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力。 六、教学环境与资源准备 硬件资源：1.iPad 2.图形计算器3.教室无线网全覆盖。 软件资源：北京四中网校资源（课前微课、检测，课中互动平台，课后拓展网站） 七、教学流程图 教学情境设计 函数单调性教学设计 本节课是高中数学新课程标准必修1的第2章函数里的函数基本性质中介绍的第一个性质。它既是在学生学过函数概念等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、三角函数各类函数的单调性的基础，而且函数单调性在解决函数变化趋势、值域、最值、不等式等许多问题中有着广泛的应用。对整个高中数学教学起着重要的奠基作用。研究函数单调性的过程体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。下面我就这部分内容的习题教学提出一些不成熟的做法。 教学目标： （1）在知识方面，通过习题训练，使学生能加深对函数单调性概念的理解，进一步掌握判断并证明函数的单调性方法、学会应用函数的单调性解决相关问题。 （2）在能力方面，培养学生归纳、抽象以及推理的能力，提高学生创新的意识，并渗透数形结合的思想。 （3）在价值观和情感教育方面，让学生在解题的过程中体验数学美，培养学生乐于求索的精神，提高学生的数学修养，使其养成科学、严谨的研究态度。 教学重点和难点： 本节课的教学重点是函数单调性的判定、证明及应用。其中的教学难点是函数单调性的应用和复合函数单调性的理解。 教法和学法： 在教法上采用传统的讲练结合。在具体实施上，将采用计算机辅助教学的手段，为了贴切地服务于教学目标，课件的制作是为了能更好的讲练习题，提高课堂效率，用是PowerPoint 软件。而学生在学习过程中不仅要训练知识技能，还要达到思维的训练，因此这节课要以学生为主体，给学生充足的活动空间。作为教师，我要做好启发和规范地指导，引领学生大胆地探索，并培养其严谨的数学品质。 教学过程设计： 大概分为复习回顾、例题讲解、规律小结、巩固练习四个版块，最后布置作业。下面为每部分的具体构思。 1、复习分为概念回顾和基础练习两部分，预计费时7到8分钟左右，其中概念为（1）函数单调性和单调区间的定义以及用定义证明函数单调性的步骤，（2）怎么判断函数单调性及单调区间——可以用定义法，也可以从图象上观察。形式主要由学生口答。基础练习部分选择了5道小题目，课件形式给出，请学生口答，内容涉及单调性的理解，一次函数、二次函数的单调性，最后一题让学生们画出图象，观察图象的“升降”写出单调区间，渗透数形结合的思想，都是小题目，难度小，用时少，但紧扣概念，也让学生迅速热身，无形中抓住了学生的课堂注意力。 2、例题选择方面： 关于例1、试判断函数)11(1)(2<<--= x x x x f 的单调性并证明； 变式：讨论函数)11(1 )(2<<--=x x ax x f 的单调性。 选择这个题目是为了让学生更好地掌握定义法证明函数单调性的方法和基本步骤，变式的选择是为培养学生分情况讨论的意识和能力，讲解过程中要注意证明的规范性，进一步培养学生严谨、规范的科学态度和品质。 如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 一、教学内容分析: 函数的单调性是学生在掌握了函数的概念，函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要刻画了函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。 二、教学目标设置: （一）知识与技能： 1.用准确的数学语言归纳、抽象概括增函数和减函数的定义，并能正确理解单调性的定义； 2.利用图像和定义判断函数的单调性，能正确书写单调区间，并能用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性； 3.培养学生抽象概括能力、类比化归能力及数形结合思想方法的运用能力。 （二）过程与方法： 1. 通过学生熟悉的现实问题创设情境，引出本节课题函数单调性，同时借助多媒体的直观演示，让学生观察图像（上升？下降？）变化趋势，过渡到在区间上用自变量x和相应函数f(x)的变化进行语言表述； 2.设置问题引导学生自主探究、尝试、归纳、总结，师生互相讨论交流，最终形成严格的数学概念； 3.形成概念后，引导学生自主探究，通过生生互动，师生互动，达到让学生从多种形式认识概念的本质含义，从而加深学生对概念的理解；巩固练习问题（1）为了加深学生对单调性定义中自变量取值“任意”性的理解，是一个很好的问题；问题（2）的变式题体现了“逆向思维”，深化对定义的理解；问题（3）通过教师的引导，针对于数学基础较好、思维较为活跃的一部分学生，对判断方法进行适当的深入和拓展，加深学生对单调性定义的更 幂函数、指数函数和对数函数·函数的单调性（二） 教学目标 1．掌握有关复合函数单调区间的四个引理． 2．会求复合函数的单调区间． 3．必须明确复合函数单调区间是定义域的子集． 教学重点与难点 1．教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间． 2．教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集． 教学过程设计 师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义． 则y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量． 师：很好．下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间． （教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边．） （教师板书．可适当略写．） 例求下列函数的单调区间． 1．一次函数 y=kx+b（k≠0）． 解当k＞0时，（-∞，+∞）是这个函数的单调增区间；当k＜0时，（-∞，+∞）是这个函数的单调减区间． 解当k＞0时，（-∞，0）和（0，+∞）都是这个函数的单调减区间；当k＜0时，（-∞，0）和（0，+∞）都是这个函数的单调增区间． 3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）． 4．指数函数y=a x（a＞0，a≠1）． 解当a＞1时（-∞，+∞）是这个函数的单调增区间；当0＜a＜1时，（-∞，+∞）是这个函数的单调减区间． 5．对数函数y=log a x（a＞0，a≠1）． 解当a＞1时，（0，+∞）是这个函数的单调增区间；当0＜a＜1时，（0，+∞）是它的单调减区间． 师：我们还学过幂函数y=x n（n为有理数），由于n的不同取值情况，可使其定义域分几种情况，比较复杂，我们不妨遇到具体情况时，再具体分析．师：我们看看这个函数y=2x2+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何？ 生：它在（-∞，+∞）上是增函数． 师：我猜你是这样想的，底等于2的指数函数为增函数，而此函数的定义域为（-∞，+∞），所以你就得到了以上的答案．这种做法显然忽略了二次函数 u=x2+2x+1的存在，没有考虑这个二次函数的单调性．咱们不难猜想复合函数的单调性应由两个函数共同决定，但一时猜不准结论．下面我们引出并证明一些有关的预备定理． （板书） 引理1 已知函数y=f[g（x）]．若u=g（x）在区间（a，b）上是增函数，其值域为（c，d），又函数y=f（u）在区间（c，d）上是增函数，那么，原复合函数y=f[g（x）]在区间（a，b）上是增函数． （本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间．） 证明在区间（a，b）内任取两个数x 1，x 2 ，使a＜x 1 ＜x 2 ＜b．【教学设计】函数的单调性与最大(小)值第2课时_数学
利用函数单调性比大小-第二章总结
函数单调性(二)
【高中数学】专题2.2 函数的单调性(学生版)
函数的基本性质(2)函数单调性
函数的单调性教学设计
2.2 函数的单调性与最值
高一数学 函数的单调性2教案
函数的单调性(2)
函数的单调性教学设计(经典)
函数的单调性 (2)
高中数学函数的单调性公开课优秀教学设计
幂函数、指数函数和对数函数·函数的单调性(二)·教案