数学专业毕业论文 关于幂零矩阵的几个注记

数学专业毕业论文关于幂零矩阵的几个注记

关于幂零矩阵的几个注记

杨娇（051114224）

（孝感学院数学与统计学院湖北孝感

432000）

摘要：给出了n 幂零矩阵的一个新的性质，证明了矩阵为幂零的一个等价条件，修正与改进了近期幂零矩阵的一些结果．

关键词：幂零矩阵；向量；特征值；矩

阵的迹；伴随还原阵

On several of nilpotent matrix

Yang Jiao

( School of Mathematics and Statistics Xiaogan University Xiaogan Hubei 432000)

Abstract:presents a new nilpotent matrices, proved a nilpotent matrix of equivalence conditions, modifications and improvements in some results of nilpotent matrix.

Keywords:nilpotent matrix；vector；eigenvalue；the matrix trace；with reduction

1 引言：问题的提出

在2009年全国硕士研究生入学考试试卷（数学一、二、三）中有这样一道解答题：

题目[1] 设111111042A --?? ?=- ? ?--?? ，1112ξ-?? ?= ? ?-??

（Ⅰ）求满足21A ξξ=，231A ξξ=的所有向量23,ξξ；

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关．

我们先来看看供题者提供的参考答案：

解 （Ⅰ）解方程21A ξξ=

()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------?????? ? ? ?=-→→--- ? ? ? ? ? ?------??????

，

rank()2A =，故有一个自由变量.令23=x ，由0=Ax 解得21x =-，11x =，求特解，令021==x x ，得13=x .故

????

? ??+????? ??-=10021112k ξ，其中1k 为任意常数.

解方程231A ξξ=，

????? ??--=0440220222A ，??????

? ??-→????? ??---=0000000021011204410221022),(12ξA ，

故有两个自由变量.令12-=x ，03=x ，由02=x A 得11=x ，

令02=x ，13=x ，由02=x A 得01=x . 求特解??????? ??-=00212η，故??????

? ??-+????? ??+????? ??-=0021100011323k k ξ,其中2k ,3k 为任意常数.

（Ⅱ）由于行列式

021*******

02

111

221211,,2321312121

321≠=-----=+-----=k k k k k k k k k k ξξξ， 故向量组123,,ξξξ线性无关． 这道试题将矩阵的计算、线性方程组的求解以及向量组线性无关的证明融为一体，立意于平实处见新颖，背景公平，知能并举，考查了相应的知识点．解答完本题，笔者感觉到可以使两个线性方程组都有解，而且能使（Ⅱ）中的任何三个向量123,,ξξξ都线性无关，对于矩阵A 及向量1ξ的构造，是否有一些特别的要求？或者带有某种巧合？在对试题构思精密赞叹之余，我们很想知道:命题人是以什么为素材研制本题的？即试题的设计是以哪些知识材料为背景的？我们希望对该试题的的命题思路做些分析，以回答以上问题．

对试题中的矩阵A ，通过计算可得30A =，但20A ≠，满足该性质的矩阵A 称之为3-幂零矩阵．

定义1[2] 设n n A P ?∈，若存在正整数m ，使10m A -≠，0m A =，则称A 是幂零指数为m 的幂零矩阵，也称A 是m -幂零矩阵．

本文将把上述试题中蕴涵的结论进行推广，给出一个一般性命题，该命题可以补充为幂零矩阵的一个新性质．除此之外，本文还将对《大学数学》期刊2006年第5期“幂等和幂零阵的伴随阵的反问题”一文中，关于幂零矩阵提出的一个的论断予以否定；对《数学研究与评论》期刊中2000年第2期“Several Properties of Idempotent and Nilpotent Matrices ” 一文中，关于幂零矩阵的一个主要结果给出一个简单的证明方法，并且同时推广这个结论到任何的无限域；最后还将给出矩阵为幂零的一个等价条件，借助该结论简化了一些高等代数研究生试题的证明．更重要的是，它可以帮助我们发现，在这些试题中关于“矩阵可对角化”的限制是可以取消的．

本文用P 表示数域，n n P ?表示P 上的n 阶矩阵的集合，

rank()A 表示矩阵A 的秩，E 表示单位矩阵，adj A 表示A 的伴随矩阵．

2 几个引理

关于幂零矩阵的一些常见性质，在许多文献中都有论述，本文仅罗列如下两个基本性质，以备后文中引用，对于它们的证明及其它性质，本文不再赘述．

引理1[2] 设n n A P ?∈，A 是幂零矩阵?A 的特征值全为零．

引理2[2] 设n n A P ?∈，A 是m -幂零矩阵?A 的最小多项式为()m f λλ=． 为了后面结论的证明，我们再建立几个引理：

引理3 设n 阶矩阵A 满足10,0n n A A -=≠，则对使10n A α-≠的n 维列向量α，向量组21,,,,n A A A αααα-线性无关．

证明 由引理１知1rank()1n A -=，则存在n 维列向量α，使10n A α-≠，下面证明向量组1,,

,n A A ααα-线性无关： 设1120n n k k A k A ααα-+++=，对该等式两边以1n A -左乘之，得110n k A α-=，

故10k =，再对等式21230n n k A k A k A ααα-++

+=以2n A -左乘之，得120n k A α-=，故20k =，同理可得30n k k ===，因此向量组21,,,,n A A A αααα-线性无关．

引理4 设A 是n 阶矩阵，并且满足0n A =，10n A -≠，则rank()i A n i =-，1,i =

2,,n ．

证明 因为0n A =，10n A -≠，所以A 的最小多项式是()n n d λλ=，故A 的不变因子为121()()()1n d d d λλλ-====，()n n d λλ=，故A 的若当标准型为

01010?? ? ? ? ??? 因此存在n 阶可逆矩阵P ，使得11000n E P AP --??= ???

，这里1n E -为1n -阶单位矩阵，经过计算得

2312131110001,,,,0000000n n n n E E P A P P A P P A P P A P -------??????==== ? ? ?????

?? 由此得rank()i n i =-A ，1,2,

,i n =． 引理5 设向量组12,,,n ααα线性无关，向量组12,,,n βββ如下定义：

11221123311322311,11n n n n n n

k k k k k βαβααβαααβααα--=??=+??=++???=+++?? 则向量组12,,,n βββ也线性无关．

证明 把向量等式写成矩阵形式

2112121211(,,,)(,,,)1n n n n k k k βββααα?? ? ?= ? ???

上式右端的上三角矩阵可逆，由12,,

,n ααα线性无关，即得12,,

,n βββ也线性无关． 引理6[2] 如果A 、B 都是一个n n ?矩阵，则adj()adj()adj()AB B A =．

引理7[2] 如果A 是n n ?矩阵(2n ≥)，那么

rank(),rank(adj )1rank()1,0rank() 1.n A n A A n A n =??==-??<-?

当当当

引理8 如果A 是一个n n ?矩阵，rank()1A =时，则

（1）1212(,,,)n n a a A b b b a ?? ? ?= ? ???

；

（2）2A kA =．

证明 （1）因为rank()1A =，所以存在可逆矩阵,P Q 使得1000PAQ ??= ???

，

即11111100(1,0,,0)000A P Q P Q ----?? ??? ?== ? ??? ???，

若记121100n a a P a -???? ? ? ? ?= ? ? ? ?????，112(1,0,,0)(,,,)n Q b b b -=，则1212(,,,)n n a a A b b b a ?? ? ?= ? ???．

（2）由（1）所证，记1n

i i i k a b ==∑，则

11122221212121(,,,)(,,,)()(,,,)n n n i i n i n n n a a a a a a A b b b b b b a b b b b a a a =?????? ? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ???

????∑ 1212(,,,)n n a a k b b b kA a ?? ? ?== ? ???．

引理9[2] 对任何n 阶矩阵,A B ，有tr()0AB BA -=．

3 几个注记

3.1 n -幂零矩阵的一个命题

在本节，我们将把引言部分题目中蕴涵的结论进行推广，给出一个一般性命题：

定理1 设A 是n 阶矩阵，1ξ是n 维非零列向量，如果0n A =，10n A -≠，并且线性方程组11n A x ξ-=有解，则

（Ⅰ）对任一1i n ≤<，线性方程组1i A x ξ=均有解；

（Ⅱ）记1i A x ξ=的任一解为1i ξ+，1,2,

,1i n =-，那么12,,,n ξξξ线性无关．

证明 （Ⅰ）根据题设，线性方程组11n A x ξ-=有解，设α为它的一个解，即

11n A αξ-=．则对1i n ≤<，由11()i n i A A αξ--=，知1n i A α--是线性方程组1i A x ξ=的一个解；

（Ⅱ） 根据（Ⅰ）中的110n A ξα-=≠，由引理3得221,,,

,,n n A A A A ααααα--线性无关．

首先考虑线性方程组1Ax ξ=的通解：由引理4知rank()1A n =-，由于2n A α-是它的一个特解，而1n A α-是齐次线性方程组0Ax =的一个非零解，它构成0Ax =的一个基础解系，故线性方程组1Ax ξ=的任一解2ξ可表为形式

12221n n k A A ξαα--=+

再考虑线性方程组21A x ξ=的通解：由2rank()2A n =-，由于3n A α-是它的一个特解，而12,n n A A αα--是齐次线性方程组20A x =的一个线性无关的解，它构成20A x =的一个基础解系，故线性方程组21A x ξ=的任一解3ξ可表为形式

12333132n n n k A k A A ξααα---=++

类似的，有

12344414243n n n n k A k A k A A ξαααα----=+++，

…，…，…，…，…，…，…

1212,1n n n n n n n k A k A k A ξαααα---=++

++ 由于12,,,,n n A A A αααα--线性无关，由引理5即得12,,

,n ξξξ也线性无关． 注1 根据定理1及证明，该类解答题的制作思路是：取11000n E A P P --??= ???

，

其中P 为任意可逆矩阵，而1ξ为矩阵11000E P P -?? ???

的所有列向量的线性组合，它们就可以保证定理1中的线性方程组有解，且12,,

,n ξξξ线性无关． 3.2 幂零矩阵的伴随阵问题

在《数学研究与评论》期刊2000年第2期发表了贾利新博士的“Several Properties of Idempotent and Nilpotent Matrices ” 一文，该文证明了任何m -幂零阵的伴随矩阵或者是2-幂零阵，或者是零矩阵．即下面的

定理2[3] 设n n A C ?∈，如果有正整数m 使0m A =，则2(adj )0A =．

文献[3]在证明上述结论的过程中，是通过考虑矩阵A 的若尔当标准形，利用极限过程的方法进行的，证明过程显得过于繁琐．下面，我们将仅仅利用高等代数中的几个常见的基本结论（引理6、引理7、引理8），对定理2予以简证：

定理2的简证 由0m A =，知rank()A n <，且由引理6，得(adj )0m A =．若 rank()1A n <-，由引理7，得rank(adj )0A =，即得adj 0A =，故2(adj )0A =；若rank()1A n =-，由引理7，得rank(adj )1A =，由引理8，得2(adj )(adj )A k A =，从而有1(adj )(adj )m m A k A -=，即1(adj )0m k A -=，根据rank(adj )1A =，知adj 0A ≠，必有10m k -=，从而0k =，因此2(adj )(adj )0A k A ==．

注 2 文献[3]中由于用到若尔当标准形及极限过程，自然要求矩阵A 在复数域上考虑，根据我们的证明知道，可以推广这个结论到任何的无限域．

注3 在早期的不少文献中也证明了幂零矩阵的伴随矩阵是幂零的，如文[4]等．其证明过于复杂，如果仅证明该结论的话，由前面的引理6，可以导出公式adj()(adj )m m A A =，于是立得0(adj )0m m A A =?=结论．

3.3 幂零矩阵的伴随还原阵问题

在《大学数学》期刊2006年第5期发表了孙胜先的“幂等和幂零阵的伴随阵的反问题”一文，该文中提出了幂零矩阵的一个论断“非零的幂零阵的伴随还原阵(若存在) 必不是幂零的”，我们将举出一个反例对该结论予以否定．

为讨论的方便起见，先给出伴随还原阵的定义及必要的一些说明：

定义2[6] 对于复数域上n 阶方阵A ，若有n 阶方阵B 满足adj()B A =，B 称为A 的一个伴随还原阵．

对于复数域上任一n 阶方阵A ，根据引理7，{}rank(adj ),1,0A n ∈．反之，若

{}rank(),1,0A n ∈，文献[6]证明了必有n 阶方阵B 满足adj()B A =，即A 一定存在伴随还原阵，但一般不唯一．对任何n 阶方阵A ，当2n >时，如果1rank()A n <<，则A 一定不存在任何伴随还原阵．文献[5]中讨论了满足20A =与rank()1A =的伴随还原阵问题，给出了下面的命题

命题1[5] 设n n A C ?∈，20A =，rank()1A =，当2n >时，A 不存在幂零的伴随还原阵.

我们指出该结论不真，为此构造反例：

反例 取n 阶方阵001000000A ?? ? ?= ? ??

?，01010B ?? ? ?= ? ???

，可以验证： 20A =，rank()1A =，0n B =，且adj()B A =，说明B 是A 的一个n -幂零伴随还原阵.

以上反例说明，文献[5]中论断“非零的幂零阵的伴随还原阵(若存在) 必不是幂零的”不真，我们把它修正为

命题2 设n n A C ?∈，20A =，rank()1A =，当2n >时，A 不存在2-幂零的伴随还原阵.

证明参见文[5]，略.

4 幂零矩阵的一个等价条件与应用

引理1与引理2是关于幂零矩阵的两个常用充分必要条件，为了下面的应用需要，我们给出幂零矩阵的又一等价刻画：

定理3 设n n A P ?∈，A 是幂零矩阵?tr()0i A =，1,2,i =.

证明 由引理1知A 是幂零矩阵?A 的特征值全为零，故只需证A 的特征值全为零?tr()0i A =，1,2,

i =. 若A 的特征值12,,

,n λλλ全为零，则对任一给定的正整数i ，矩阵i A 的n 个

特征值为12,,,i

i i

n λλλ也全为零，则1

tr()0n

i

i

j j A λ===∑. 若tr()0i A =，1,2,i =.下证A 的所有特征值为0，用反证法.若不然，则A 存在非零的特征值，设A 的互不相同的特征值为s λλλ,,,21 ，且对应的重数分

别为s k k k ,,,21 ，这里1s

j j k n ==∑.于是i A 的所有特征值为

1i λ（1k 重），2i λ（2k 重），…，i s λ（s k 重）

从而1122tr()0i i i i s s A k k k λλλ=+++=，1,2,i =.分别取1,2,,i s =，得方程组

1122222112211

22000s s s s s s s s s k k k k k k k k k λλλλλλλλλ+++=??+++=????+++=? 将上述方程组看作是以s k k k ,,,21 为未知量的齐次线性方程组，其系数行

列式为

12

22212112()0s s j i i j s s s

s s λλλλλλλλλλλ≤<≤=-≠∏

故解得021====s k k k ，这与1

s j j k n ==∑相矛盾.故假设不成立，从而A 的所

有特征值均为0.

下面给出定理3的一个应用.

例1 （苏州大学2002考研试题中第21题） 设V 是有理数域Q 上的线性空间，dim V n =，A 与B 是V 的线性变换，其中B 可对角化，并且-=AB BA A .证明：存在正整数m ，使得m A 是零变换.

本文不拟讨论其原证，我们将利用定理3的结论给出它的一个非常简洁的证明，通过该证明将看到，条件“B 可对角化”的限制是可以取消的.

另证 取定V 的一组基，线性变换A 与B 在此基下的矩阵分别是A 与B ，则AB BA A -=，只需证明矩阵A 是幂零矩阵即可.

先用归纳法证明m m m A B BA mA -=.1m =时结论成立，假设结论对所有小于或等于m 成立，则

111()m m m m m A B BA A BA mA BA +++-=+-11m m m ABA BA mA ++=-+

111()(1)m m m m BA A A BA mA m A +++=+-+=+

故m m m A B BA mA -=对一切m 成立.

由于m m m A B BA mA -=，得tr()tr()tr()m m m m A B BA mA m A -==，由引理9，得

tr()0m m A =，所以tr()0m A =，1,2,m =.根据定理3，得A 是幂零矩阵，故A 是幂零变换，于是存在正整数k ，使得k =0A .

例2[7] （文[7]中问题53） 设,A B 为n 阶矩阵，令C AB BA =-，且C 同,A B 可交换.求证：?正整数m 使0m C =.

证明 对任何正整数k ，由于

111()()()k k k k C C AB BA A BC BC A ---=-=-，

由引理9，得11tr tr[()()]0k k k C A BC BC A --=-=，1,2,

k =.于是根据定理3，?正

整数m 使0m C =.

注4 这里的证法比文[7]的两种证法都简单得多.

致谢：

衷心地感谢胡付高老师精心指导和悉心关怀，在此研究工作中倾注着胡老师辛勤的汗水和心血.此我要向我的老师致以最衷心的感谢和崇高的敬意.时向所有关心和帮助我的老师、同学和朋友表示由衷的谢意！

衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位！

参考文献

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https://www.wendangku.net/doc/a913105863.html,/math_3947/20090111/ t20090111_354011_3.shtml

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范学院学报（自然科学版）, 2003, 24（4）: 1-3.

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