幂级数解法

二阶线性常微分方程的幂级数解法

二阶线性常微分方程的幂级数解法 从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程 ''0y xy -=的通解 解：设2012n n y a a x a x a x =+++++…… 为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 ''212312132(1)(1)n n n n y a a x n n a x n na x --+=?+?++-+++ 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到 x -∞<<∞2210a ?=，30320,a a ?-= 41430,a a ?-= 52540,a a ?-= 或一般的可推得 32356(31)3k a a k k = ?????-? ， 1 3134673(31) k a a k k += ??????+ ， 320k a += 其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得： 36347 01[1][] 2323562356(31)33434673(31) n x x x x x y a a x n n n n =+++++++++?????????-????????+ 这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。

例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。 解 设级 2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值 条件，可以得到 00a =， 11a =， 因而 2323'2123''223123232(1)n n n n n n y x a x a x a x y a x a x na x y a a x n n a x --=+++++=+++++=+?++-+ 将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 21422 0,1,0,,,1 n n a a a a a n -==== - 因而 567891111 ,0,,0,,2!63!4! a a a a a = ===== 最后得 21111 (1)!! k a k k k += ?=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。 将i a (0,1,2,)i = 的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 521 3 2!! k x x y x x k +=+++++ 2 422 (1),2!! k x x x x x xe k =++++ += 这就是方程的满足所给初值条件的解。 是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的

幂级数概念

§ 11. 3 幂 级 数 一、函数项级数的概念 函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式 u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x )+ ? ? ? 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞ =1)(n n x u . 收敛点与发散点: 对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 收敛, 则称 点x 0是级数∑∞ =1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 发散, 则称 点x 0是级数∑∞ =1 )(n n x u 的发散点. 收敛域与发散域: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所 有发散点的全体称为它的发散域. 和函数: 在收敛域上, 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑∞=1 )(n n x u 的和函数, 并写成∑∞ ==1 )()(n n x u x s . ∑u n (x )是∑∞ =1 )(n n x u 的简便记法, 以下不再重述. 在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ), 函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x ).

幂级数运算

§11-3 幂 级 数 一、函数项级数的概念 1.定义 设函数列 I x x u i ∈,)( 表达式： )1()()()()(321 +++++x u x u x u x u v 称为定义在I 上的(函数项)(无穷)级数 如: +++++=-∞ =-∑121 11n n n x x x x +++++=+∑∞ =nx a x a x a a nx a a n n n cos 2cos cos cos 2101 2. 收敛性 I x ∈?0，(1)成为)2() (1 0∑∞ =n n x u 常数项级数可能收敛可能发散．若∑∞ =1 0)(n n x u 收 敛，称0x 是 (1)的收敛点；若∑∞ =1 0)(n n x u 发散，称点0x 是 (1)的发散点.收敛域：收敛 点的全体；发散域：发散点的全体. 3.和函数 123()()()()()n s x u x u x u x u x =+++++ ，∈?x 收敛域 ()n s x ：函数项级数(1)的前n 项和，则在收敛域上有lim ()().n n s x s x →∞ = ()()()n n r x s x s x =-：函数项级数的余项(只有x 在收敛域上)(x r n 才有意义)，有 .0)(lim =∞ →x r n n 210 1n n n x x x x ∞ -==+++ ++ ∑ ()1,1x ∈- 和函数 ()11s x x = - 二、幂级数及其收敛性 1．定义 )3(2210 +++++n n x a x a x a a 其中常数i a ：幂级数的系数．例如∑∞ =0n n x ，∑ ∞ =0 !1n n x n 等等。 2 010200()()()n n a a x x a x x a x x +-+-+ +-+ 取 00n n n x x t a t ∞ =-=?∑

浅谈幂级数展开式的应用

摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords﹒ (1) 引言 (2) 一．基本知识 (2) 1.1．幂级数的性质 (2) 1.2. 幂级数的收敛区间 (2) 二．幂级数的和函数 (3) 三．幂级数的展开 (4) 四．幂级数的展开及其应用 (6) 4.1. 幂级数在近似计算的应用 (6) 4.2. 幂级数在计算积分得应用 (6) 4.3. 幂级数在求极限中的应用 (7) 4.4. 幂级数在数项级数求和中的应用 (7) 4.5. 幂级数用于推导欧拉公式 (8) 4.6. 幂级数在求导中的应用 (9) 4.7. 幂级数在不等式的中的应用 (9) 4.8. 幂级数在组合中的应用 (10) 参考文献 (11) 致谢 (11)

幂级数展开式的应用 摘要 在数学中，幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数。幂级数在微积分中也是个重要的题材，许多重要的函数可表成幂级数，而幂级数全体也代表了相当广泛的函数类别。在本文中简介了幂级数的简单知识，注重探讨了幂级数展开式各方面的应用。 关键词 幂级数；展开式；应用 Power series expansion of the type of application Abstract In mathematics, a power series is in a class of simple and widely used function series. Power series is also an important theme in the calculus, many important functions can be expressed as a power series, power series of all on behalf of a wide range of function categories. In this article introduces the simple knowledge of the power series, focus on exploring the application of all aspects of the power series expansion Keyword Power series; expansion; applicati

高阶方程的降阶法幂级数解法

1 / 3 4.4 高阶微分方程降阶法、二阶线性微分方程幂级数解法 (Power series solution to second order linear ODE ) [教学内容] 1. 介绍高阶方程降阶法. 2. 介绍单摆方程及其椭圆积分函数.3. 介绍刘维尔公式求解二阶线性方程. [教学重难点] 重点是知道振幅反应(Amplitude Response ）； 难点是知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换. [教学方法] 预习1、2；讲授1、2 [考核目标] 1. 知道共振现象. 2. 知道拉普拉斯变换的概念和性质. 3. 知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换. 1. 高阶方程降阶法 例68. 数学摆方程及其求解 解：（1）模型描述：一根长度为l 的线一端是质量为m 的质点，另一端系于固定点O ，质点在垂直于地面的平面上作圆周运动。取逆时针运动方向作为摆与铅垂线所成角?的正方向， 质点运动加速度为22dt d m l ?，所受的力为?sin mg -. 于是单摆方程为??sin 22l g dt d -=. 下面考察如下柯西问题：??sin 22l g dt d -=，0)0(',)0(0==???. （2）令dt d v ?=，下面导出? d dv ，由??d dt dt dv d dv ?=知，dt d d dv dt dv dt d ???? ==22. 于是原方程化为 ??sin l g v d dv -=，这是一个一阶可分离变量型方程。 解得 C l g v +=?cos 212，再由初始条件0)0(',)0(0==???得到 )cos (cos 20??-± =l g v ，其中±号由摆运动位置确定. （3）将v 返回原变量得到 )cos (cos 20???-±=l g dt d ，这也是一个一阶可分离变量型方程。先考察摆从最大正角0?到0?-之间运动情形： )cos (cos 20???--=l g dt d l g t dt l g d t 22cos cos 000 -=-=-??? ? ???，特别地令?---=000 0cos cos 2????? d g l T ，

3幂级数展开 (1)

第三章幂级数展开 函数有精确表示和近似表示： 精确表示（解析表示） 表示为初等函数通过四则运算； 近似表示： 逼近 -近似表示为初等函数通过四则运算；级数表示 -表示为一个函数级数。

函数级数表示的意义： 利用级数计算函数的近似值； 级数法求解微分方程； 以级数作为函数的定义； 奇点附近函数的性态。

§3.1 复数项级数 （一）复数项级数的概念 ++++=∑∞ =k k k w w w w 210 k k k v u w i +=级数是无穷项的和, 复无穷级数 ()∑∑∑∑∞ =∞ =∞ =∞=+=+=0 k k k k k k k k k v i u iv u w 原级数成为 ∑∞ =0 k k w ∑∞ =0k k u ∑∞ =0k k v 这样复级数 归结为两个实级数 与 ， 实级数的一些性质可移用于复级数。

（二）收敛性问题 1、收敛定义： 2、柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）： 对于任给的小正数 ε 必有N 存在，使得 n>N 时， , 1 ε<∑++=p n n k k w ,0∑==n k k n w S 前n+1项和 当n → ∞，有确定的极限， 便称级数收敛， S 称为级数和；若极限不存在， 则称级数发散。 n n S S ∞ →=lim

3、绝对收敛级数 若 收敛，则 绝对收敛. ∑ ∑ ∞ =∞ =+=1 220 ||k k k k k v u w ∑∞ =0 k k w , ,0 B q A p k k k k ==∑∑∞ =∞ =AB c q p q p n n k l l k k k k k ===?∑∑∑∑∑∞ =∞=∞=∞=∞=0 00 ∑-=n k n k n q p c 绝对收敛级数改变先后次序，和不变. 两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，为两级数和之 积.

函数的幂级数展开

教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路 1． 教学内容 函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。 2．指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展，但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力， 3. f (x )在 x 0 的某个邻域O (x 0, r )中能级数： （*).,(0r x O (1) x ∈(-∞, +∞)。 (2) =+0 !)12(n n )!12() 1(!5!31253+-+-+-=+n x x x x n n + …, x ∈(-∞, + ∞)。 (3) f (x ) = cos x = ∑∞ =-02! )2()1(n n n x n )! 2()1(!4!21242n x x x n n -+-+-= + …, x ∈(-∞, + ∞)。

微分方程的幂级数解法

微分方程的幂级数解法 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究，因此如何寻求函数关系，在实践中具有重要意义。在许多问题中，不能直接找到所需的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样的关系式称为：微分方程。对其进行研究，找寻未知函数，称为解微分方程。本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用解法 微分方程的幂级数解法 当微分方程的解不能用初等函数或其积分式表达时，我们就要寻求其它解法。常用的有幂级数解法和数值解法。本节我们简单地介绍一下微分方程的幂级数解法。

求一阶微分方程（1）满 足初始条件的特解，其中函数 f (x , y)是、的多项式： . 这时我们可以设所特解可展开为 的幂级数 (2） 其中是待定的系数，把（2）代入（1）中，便得一恒等式，比较这恒等式 两端的同次幂的系数，就可定出常数 , 以这些常数为系数的级数（2）在其收敛区间内就是方程（1）满足初始条件 的特解。 例1求方程满足的特

解。 解这时，故设 ， 把及的幂级数展开式代入原方程，得 由此，比较恒等式两端x 的同次幂的系数，得 于是所求解的幂级数展开式的开始几项为 。 关于二阶齐次线性方程用幂级数求解的问题，我们先叙述一个定理： 定理如果方程（3）中的系数P(x)与Q(x)可在－R＜x＜R 内展开为x的幂级数那么

在－R＜x＜R内方程（3）必有形如 的解。 例 2 求微分方程的满足初始条件 , 的特解。 解这里在整个数轴上满足定理的条件。因此所求的解可在整个数轴上殿开成x的幂级 数（4） 由条件得。对级数（4）逐项求导，有 , 由条件得.于是我们所求方程的级数解及的形式已成为 （5） （6） 对级数（6）逐项求导，得

二阶线性常微分方程的幂级数解法

二阶线性常微分方程的幂级数解法 从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程 ''0y xy -=的通解 解：设2012n n y a a x a x a x =+++++…… 为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 ''212312132(1)(1)n n n n y a a x n n a x n na x --+=?+?+ +-+++ 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到 x -∞<<∞2210 a ?=，30320,a a ?-= 41430,a a ?-= 52540,a a ?-= 或一般的可推得 32356(31)3k a a k k = ?????-?， 1 3134673(31) k a a k k += ??????+， 320k a += 其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得： 36 347 01[1][] 232356 2356(31)33434673(31) n x x x x x y a a x n n n n =+++ ++++++ ?????????-????????+ 这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个

任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。 例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。 解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值条件，可以得到 00a =， 11a =， 因而 2323'2123''223123232(1)n n n n n n y x a x a x a x y a x a x na x y a a x n n a x --=+++++=+++++=+?+ +-+ 将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 21422 0,1,0, ,,1 n n a a a a a n -==== - 因而 5678911 11,0,,0,,2!63!4! a a a a a = ===== 最后得 21111 (1)!! k a k k k += ?=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。 将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 5 213 2! !k x x y x x k +=+++ ++ 2 4 22 (1),2! ! k x x x x x xe k =+++ ++= 这就是方程的满足所给初值条件的解。 是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方

幂级数在近似计算中的应

论文4 幂级数在近似计算中的应用 谢文清 江权霞 (指导老师:陈引兰) 数学与统计学院1001班 摘要：形如200102000()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+???+-+???∑的函数 项级数称为幂级数,幂级数可以看成是一个“无限次多项式”，它无论在理论上还是实践上都是一个有力的工具.本文主要运用幂级数的展开式,对无理数,,ln 2e π等，利用计算机相关软件，进行近似计算. 关键词：幂级数、近似计算 1.理论依据 以某个幂级数展开式为基础，然后把所需要求的量表达成级数的和，并依据要求，选取部分和作这个量的近似值，误差用余项()n r x 估计. 我们先给出一些基本初等函数的幂级数展开式及它们对应的余项 23012 12135121 1 211 ! 2!3!! r (1)!(2)! (1)(1)213!5!21(1) r 2n n x n n n n n n n n n n n n x x x x e x n n x x n n x x x x x n n x n ∞ =++----∞ =+==++++???++???=++??? ++--==-+???++??? ---=+∑∑①②arctanx 123 21 =1 2123 12311 1(1) 123 (2n 1)!!=+(2)!!21(21)!!(23)!! r (22)!!23(24)!!25 (1)(1)23(1) r n n n n n n n n n n n n n n n x n x n n n x n x n n n n x x x x x n n x n ++-∞ ++--∞ =+-++???+-? +++=?+?+???++++--=-++???++??? -=+∑∑③arcsinx x ④ln(1+x)=12 (1)12 n n x n ++-+ +

幂级数的运算0

幂级数的运算： （I）逐项求导与逐项积分 设幂级数在收敛区间上的和函数为，若为内任意一点，则 （1）在可导，且； （2）在可积，且 （II）设幂级数与为两个幂级数，于是 （1）若此两幂级数在某邻域内相等，则它们同次幂系数想，既 （2）若此两幂级数的收敛半径为和，则有 ， ）= 其中为常数，=min{ ，}， （III）幂级数的展开 1）泰勒级数与麦克劳林级数概念（略） 2）展开的方法 将初等函数在处展开为形如的幂级数，通常有两条途径。 （1）直接法通过直接计算在点处的各阶导数，写出它的泰勒公式，并讨论余项的极限以确定其收敛域，但计算往往比较麻烦，要证明余项极限为0，实际上也很困难。因此，对于一般函数而言不适合用这种方法求其幂级数展开试。 （IV）间接法利用某些已知的函数展开式(特别是五个初等函数与的幂级数展开式），通过它们的变换，四则运算，复合运算，逐项求导或逐项积分等方法导出所求函数的幂级数展开式，这种间接方法是最常用的。 3）常用函数的幂级数展开式： （1） （2） （3） （4）（-1

解= 因 收敛区间为-1< <1与-1< <1的公共部分-2

高阶方程的降阶和幂级数解法

第三节高阶方程的降阶和幂级数解法 一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降阶，即利用变换把高阶方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。因为一般地，低阶方程的求解会比求解高阶方程方便些。特别地，对于二阶（变系数）齐线性方程，如能知道它的一个非零特解，则可利用降阶法求得与它线性无关的另一个特解，从而得到方程的通解；对于非齐线性方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就解决了。因此，问题的关键就在于寻找齐线性方程的一个非零特解。这一节主要介绍一些可降阶的方程类型和求特解的幂级数解法。 4.3.1 可降阶的一些方程类型 阶微分方程一般地可写为。 下面讨论三类特殊方程的降阶问题。 1）方程不显含未知函数，或更一般地，设方程不含，即方程呈形状： (4.3.1.1) 若令，则方程即降为关于的阶方程 (4.3.1.2) 如果能够求得方程(4.3.1.2)的通解 即。再经过次积分得到 其中为任意常数。可以验证，这就是方程(4.3.1.1)的通解。 特别地，若二阶方程不显含（相当于的情形），则用变换，即可化为一阶方程。 例1求方程的解。 解令，则方程化为，这是一阶方程， 积分后得。于是其中为任意常数，这就是原方程的通解。

2）不显含自变量的方程 (4.3.1.3) 我们指出，若令，并以它为新未知函数，而视为新自变量，则方程就可降低一阶。 事实上，在所作的假定下，，， 采用数学归纳法不难证明，可用表出。将这些表达式代入 (4.3.1.3)就得到，这是关于的阶方程，比原方程(4.3.1.3)低一阶。 例2求解方程。 解令，直接计算可得，于是原方程化为，故有 或，积分后得，即，所以就是原方程的通解，这里为任意常数。 例3 求方程的通解，已知特解。 解作变换，则

幂级数展开的多种方法

幂级数展开的多种方法 摘要：本文通过举例论证的说明方法，系统地对幂级数展开的多种解法进行了详细地概括、分类及总结 关键词：幂级数;泰勒展式;洛朗展式;展开 在复变函数的学习过程中，我们涉及了对解析函数幂级数展开的学习.由课本的知识知道，任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数.这个性质是很重要的，但在解析函数的研究上，幂级数之所以重要，还在于这个性质的逆命题也是成立的.即有下面的泰勒定理和洛朗定理： 定理 1（泰勒定理）设()z f 在区域D 内解析，D a ∈，只要圆R a z K <-:含于D ，则()z f 在K 内能展成幂级数()()∑∞ =-= n n n a z c z f ，其中系数 () () () () ! 21 1n a f d a f i c n n n = -= ?Γ+ζζζ π.（ρ=-Γa z : R <<ρ0 n=0,1,2 )且展式唯 一. 定理2（洛朗定理）在圆环R a z r H <-<: （0≥r +∞≤R ）内解析的函数 ()z f 必可展成双边幂级数()() ∑ ∞ -∞ =-= n n n a z c z f ，其中系数() () ζζζ πd a f i c n n ?Γ+-= 121 ( 2,1,0±±=n ρ=-Γa z : R r <<ρ) 且展式唯一. 这两个定理的存在，使得在函数解析的范围内，我们可以通过幂级数展开的方法来更好的研究解析函数的性质.而这两个定理，也是我们后面研究幂级数展开的基础和前提. 接下来，我们将着重开始讨论幂级数展开问题的多种解法： 1、直接法. 即按照泰勒定理和洛朗定理中所给的幂级数展开的公式，直接将函数展开. 例1 求()z z f tan =在4 0π =z 点处的泰勒展开式. 解：用公式 () () ! 0n z f c n n = 求n c ：;14tan 0==π c ()2 ,24 sec | tan 12 4 ==='= c z z π π ；

2016考研数学复习之幂级数

2016考研数学复习之幂级数 来源：文都教育 级数部分在考研数学当中应用比较广的是第二部分-幂级数。幂级数和前面讲过的泰勒公式一样，看似复杂，其实就是很简单的运算问题。根据以往考研真题来看，每年几乎都会出关于幂级数的题目，所以这一部分在本章中是重点。下面，文都数学老师将幂级数这一部分的知识点总结如下。 幂级数 1．概念和性质 定义1：形如 () n n n a x x ∞ =-∑的函数项级数，称为0x x -的幂级数，其中n a 为常数．当 00x =时，00 0()n n n n n n a x x a x ∞∞ ==-=∑∑，称为x 的幂级数． 定义2：设任意幂级数 () n n n a x x ∞ =-∑在(,)a b 内收敛，在(,)a b 外发散（,x a x b ==发 散与否不考虑），则称2 b a R -= 为其收敛半径．有三种类型：（1）0R =时，收敛域仅为一点；（2）R =+∞时，收敛域为(,)-∞+∞；（3）R =某一定常数时，收敛域为一有限区间． （四则运算性质）设幂级数1 ()n n n f x a x ∞ == ∑和1 ()n n n g x b x ∞ == ∑，收敛半径分别为12,R R ， 12min{,}R R R =，则(,)x R R ?∈-有： （1） 1 1 1 ()()()n n n n n n n n n n a x b x a b x f x g x ∞∞∞ ===±=±=±∑∑∑，且在(,)R R -内绝对收敛； （2）01101 1 ( )()()()()n n n n n n n n n n n a x b x a b a b a b x f x g x ∞ ∞ ∞ -====+++=∑∑∑ ； （3）设00b ≠，则在0x =的足够小的领域内

幂级数的展开

函数的幂级数展开研究 摘要：本文主要讨论函数项级数中的幂级数的展开。我们把按照泰勒定理及相关定理展开函数的幂级数的方法叫直接法。一般情况下，只有少数简单的函数能利用直接法得到其幂级数展开式。更多的函数是通过间接法得到。间接法就是根据唯一性定理，利用已知函数的展开式，通过线性运算、变量代换、恒等变形、逐项求导或逐项积分等方法间接地求得幕级数的展开式的方法。同时幂级数在近似计算、数值逼近、微分方程的解等许多数学方面具有重要作用，但前提是正确展开一个函数的幂级数。因此，我们的目的是通过实例总结和研究高等数学中函数的幂级数展开的常用方法和实际问题中的应用。 关键词：函数；幂级数；展开式 Abstract: This paper centers on the expansion of power series in function series. We define the method of expanding power series according to Taylor’s theorem and relative theorems the Direct Method. Normally, only a few simple functions can get their expansion of power series through the Direct Method while most of functions through the Indirect Method. The Indirect Method is a method of getting the power series of functions indirectly through linear operation, variable substitution, identical deformation, derivation or integration term by term, based on the Uniqueness Theorem and the expansion of known functions. Meanwhile, power series plays an significant role in many aspects of mathematics such as approximation, numerical approximation, the solution of differential equation on condition that the power series is expanded correctly. Therefore, our purpose is to study different methods of the expansion of power series in Higher Mathematics and their application in practical problems by summarizing demonstrating examples. Keywords: Function; power series; expansion. 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割

4-25 -高阶方程的降阶法、幂级数解法

4.4 高阶微分方程降阶法、二阶线性微分方程幂级数解法 (Power series solution to second order linear ODE ) [教学内容] 1. 介绍高阶方程降阶法. 2. 介绍单摆方程及其椭圆积分函数.3. 介绍刘维尔公式求解二阶线性方程. [教学重难点] 重点是知道振幅反应(Amplitude Response ）； 难点是知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换. [教学方法] 预习1、2；讲授1、2 [考核目标] 1. 知道共振现象. 2. 知道拉普拉斯变换的概念和性质. 3. 知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换. 1. 高阶方程降阶法 例68. 数学摆方程及其求解 解：（1）模型描述：一根长度为l 的线一端是质量为m 的质点，另一端系于固定点O ，质点在垂直于地面的平面上作圆周运动。取逆时针运动方向作为摆与铅垂线所成角?的正方向， 质点运动加速度为22dt d ml ?，所受的力为?sin mg -. 于是单摆方程为??sin 2 2l g dt d -=. 下面考察如下柯西问题：??sin 22l g dt d -=，0)0(',)0(0==???. （2）令dt d v ?=，下面导出? d dv ，由??d dt dt dv d dv ? =知，dt d d dv dt dv dt d ????==22. 于是原方程化为 ??sin l g v d dv -=，这是一个一阶可分离变量型方程。 解得 C l g v +=?cos 212，再由初始条件0)0(',)0(0==???得到 )cos (cos 20??-± =l g v ，其中±号由摆运动位置确定. （3）将v 返回原变量得到 )cos (cos 20???-±=l g dt d ，这也是一个一阶可分离变量型方程。先考察摆从最大正角0?到0?-之间运动情形： )cos (cos 20???--=l g dt d l g t dt l g d t 22cos cos 000 -=-=-??? ? ???，特别地令?---=000 0cos cos 2????? d g l T ，

二阶线性常微分方程的幂级数解法

二阶线性常微分方程的 幂级数解法 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

二阶线性常微分方程的幂级数解法 从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢 例1、求方程 ''0y xy -=的通解 解：设2012n n y a a x a x a x =+++++…… 为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到 x -∞<<∞2210 a ?=，30320,a a ?-= 41430,a a ?-= 52540,a a ?-= 或一般的可推得 32356(31)3k a a k k = ?????-?， 1 3134673(31) k a a k k += ??????+， 其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得： 这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。 例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。 解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值条件，可以得到 00a =， 11a =， 因而 将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到

因而 最后得 21111(1)!! k a k k k += ?=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。 将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 这就是方程的满足所给初值条件的解。 是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢级数的形式怎样其收敛区间又如何这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。 考虑二阶齐次线性微分方程 及初值条件00()y x y =及' '00()y x y =的情况。 不失一般性，可设 00x =，否则，我们引进新变量0t x x =-，经此变换，方程的形状不变，在这时对应于0x x =的就是00t =了，因此，今后我们总认为00x =。 定理10 若方程22()()0d y dy p x q x y dx dx ++=中系数()p x 和()q x 都能展成x 的幂 级数，且收敛区间为||x R <，则方程22()()0d y dy p x q x y dx dx ++=有形如 的特解，也以||x R <为级数的收敛区间。