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数学百大经典例题——棱锥(新课标)

典型例题一

例1 正六棱锥的底面周长为24，侧面与底面所成角为

60，求：（1）棱锥的高；（2）斜高；（3）侧棱长；（4）侧棱与底面所成角．

分析：本题涉及了正棱锥的若干基本量，可以把基本量放置到直角三角形中，由已知量求

未知量．

解：正六棱锥的底面周长为24． ∴正六棱锥的底面边长为4．在正棱锥ABCDEF S -中，

取BC 中点H ，连SH ，BC SH ⊥， O 是正六边形ABCDEF 的中心．连SO ，则⊥SO 底面ABCDEF ∴BC OH ⊥．

∴SHO ∠是侧面与底面所成二面角的平面角，即

60=∠SHO ．（1）在Rt △SOH 中，322

==BC OH ， 60=∠SHO ， ∴660tan ==

OH SO ．

（2）同样在△SOH 中，斜高342==OH SH ，（3）Rt △SOH 中，6=SO ，4==BC OB ． ∴13222=+=OB SO SB ．

（4）∵⊥SO 底面ABCDEF ，∴SBO ∠是侧棱与底面所成角，同样在△SOB 中，23tan ==

∠BO SO SBO ，∴2

arctan =∠SBO ，说明：在立体几何中，要善于把长度和角度放到三角形中去解决，正棱锥中有关长度、

角度主要在两上重要的直角三角形中，本题中的方法也可用于其它正棱锥中．比如：已知正四棱锥底面边长为a ，相邻两侧面所成二面角为

120，求正棱锥的高、斜高、侧棱长．正四棱锥相邻侧面是全等的等腰三角形，利用这个性质先落实相邻侧面所成二面的平面角，先计算侧棱长为

a 2

，然后利用底面边长和侧棱长在两个重要的直角三角形中，计算出高为a 21，

斜高为

a 2

．典型例题二

例2 如图所示，正四棱锥ABCD P -棱长均为13，M ，N 分别是PA ，BD 上的点，

且85：

：：==ND BN MA PM ．

（1）求证：直线//MN 平面PBC ；

（2）求直线MN 与底面ABCD 所成角的正弦．分析：（1）要证明//MN 平面PBC ，只需证明MN 与平面PBC 内某一条直线平行．为此连AN 并延长交BC 于E ，连PE ．可考虑证明PE MN //．（2）若能证明PE MN //，则PEO ∠即为直线MN 与底面所成的角．

解：（1）连AN 并延长交BC 于E ，再连PE ． ∵AD BE //，∴ND BN AN EN ：：=，又MA PM ND BN ：：=， ∴MA PM AN EN ：：=， ∴MN PE //，

又?PE 平面PBC ，?MN 平面PBC ，∴//MN 平面PBC ．

（2）设O 为底面中心，连PO ，EO ，则⊥PO 平面ABCD ．又PE MN //，则PEO ∠为直线MN 与平面ABC 所成的角．

由85：：：==ND BN AD BE 及13=AD ，得8

65=BE ，在△PBE 中，

60=∠PBE ，13=PB ，865=

BE ，由余弦定理，得891=PE ．在Rt △POE 中，2

213=PO ，891=PE ，则7

4sin =

∠PE PO PEP ．说明：本题（2）若直接求MN 与平面ABCD 所成的角，计算就比较复杂，而平移为求PE

与底面所成的角，计算就易得多．可见，平移是求线线、线面所成角的重要方法．

典型例题三

例3 斜三棱柱111-C B A ABC 的底面△ABC 是直角三角形， 90=∠C ，侧棱与底面成

角，点1B 在底面的射影D 为BC 的中点，cm 2=BC ．

（1）求证11BC AB ⊥；

（2）若C BB A --1为

30的二面角，求四棱锥11-BCC B A 的体积．

分析：证11BC AB ⊥关键在于证出其中一条线垂直于另一条线所在的平面；而求棱锥的

体积关键在于求出其底面积和高．这两个问题可由题设及线

与线、线与面的位置关系求得．

解：如图所示，

（1）∵⊥D B 1平面ABC ，

?AC 底面ABC ，

∴D B AC 1⊥． ∵BC AC ⊥， ∴⊥AC 平面BC B 1， ∴1BC AC ⊥．

∵1B 在底面ABC 上的射影D 为BC 的中点，侧棱与底面成

60角， ∴四边形11B BCC 是菱形， ∴11BC CB ⊥， ∴⊥1BC 平面1ACB ， ∴11AB BC ⊥．

（2）过C 作B B CE 1⊥，连结AE ． ∵⊥AC 平面C C BB 11，

∴CE 是AE 在平面C C BB 11上的射影， ∴B B AE 1⊥，

∴AEC ∠是二面角C B B A --1的平面角， ∴

30=∠AEC ．

在Rt △BEC 中，360sin =?=

BC EC ，在Rt △ACE 中，由 90=ACE 可得

130tan 3tan ==∠= AEC EC AC ．

∴2

3312121=??=?=

?CE AC S ACE ， ∴ACE B ACE B BC B A V V V ---11+= EB S E B S ACE ACE ?+?=

??3

311

()EB E B S ACE +=?131

BB S ACE ?=?

22331??=

． ∴ 33

2111--=

=BC B A BCC B A V V （体积单位）．说明：证明线线垂直转化成证线面垂直是证明时常用的方法之一，而证线面垂直时又涉及线与线的垂直，因此线与面各种位置关系经常贯穿问题的始终．当遇到一线垂直于一截面，而截面面积又能计算时，将几何体分割成两个体积之和计算也是一种常用的方法．结果便转化成截面与此线相乘的关系，因而使问题得到简化．

典型例题四

例4如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，BC AC =，D 、G 分别是PA 和

AB 的中点，E 为PB 上一点，且PB BE 3

，21：：=AB AP ．（1）求证：⊥EG 平面CDG ；

（2）求截面CDE 分棱锥ABC P -所成两部分的体积之比．分析：由⊥PA 底面ABC ，可以判定平面⊥PAB 平面ABC ，且相交于AB ，因为G 是AB 的中点，且AC BC =，所以AB CG ⊥，于是有⊥CG 平面PAB ，EG CG ⊥．

若证⊥EG 平面CDG ，只需EG 与平面CDG 中的另一条直线垂直就可以了．为此，就要从已知的数量关系着手，找到新的线与线的垂直关系．

平面CDE 把三棱锥ABC P -分成两部分，显然这两部分具有相同的高线CG ．所以，只要找到△PDE 和四边形ABED 的面积之比，就可以确定两部分的体积之比了．

证明：

（1）∵⊥PA 平面ABC ，且?PA 平面PAB ∴平面⊥PAB 平面ABC ，且相交于AB

在△ABC 中，∵BC AC =，CG 是AB 边上的中线 ∴AB CG ⊥．∴⊥CG 平面PAB ∵?EG 平面PAB ，∴CG EG ⊥

利用两个平面垂直的性质定理可以证明⊥CG 平面PAB 在Rt △PAB 和△GEB 中

设x PA =，则x AB 2=

，x PB 3=，x BE 33=

，x BG 2

∵61322

==x x

PB BG ，6

1233==x x AB BE ∵PBA GBE ∠=∠，∴△PAB ～△GEB ∵

90=∠PAB ，∴

90=∠GEB ∴PB EG ⊥．∵PB DG //

利用相似三角形的性质，得到

90=∠GEB ∴DG EG ⊥

∵G CG DG = ，∴⊥EG 平面CDG ．解：（2）∵APB PD PE S PDE ∠???=

?sin 2

APB PB PA S PAB ∠???=

?sin 21

∵PA PD 21=，PB PE 32

∴1

3sin 2

1sin 21

=∠???∠???=??APB PE PD APB

PB PA S S PDE PAB ∴133131

--=????=??PDE PAB PDE

C PAB C S CG S CG V V 三棱锥三棱锥

∴

---=-PDE C PDE C PAB C V V V 三棱锥三棱锥三棱锥

∴截面CDE 分棱锥ABC P -为两部分，三棱锥PDE C -与四棱锥ABED C -的体积之

比为1：2．

典型例题五

例5四棱锥ABCD P -，侧面PCD 是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD 是面积为32的菱形，ADC ∠为菱形的锐角．（1）求证：CD PA ⊥；（2）求二面角D AB P --的大小；（3）求棱锥ABCD P -的侧面积与体积．

分析：取CD 中点H ，侧面⊥PC D 底面ABC D ，从而CD PA ⊥可利用三垂线定理转化为证明CD HA ⊥，线面垂直也为二面角D AB P --平面角的落实创造了有利条件，棱锥的侧面积可通过抓侧面三角形的特殊性来解决．

证明：（1）取CD 中点H ，连PH 、AH ，

∵△PCD 是等边三角形，∴CD PH ⊥，

∵面⊥PCD 底面ABCD ，∴⊥PH 底面ABCD ， ∵等边△PCD 的边长为2，∴2=CD

∴菱形ABCD 的边长为2，又菱形的面积是32，

∴32sin 22=∠?ADC ，∴2

sin =

∠ADC ，又ADC ∠是锐角， ∴

60=∠ADC ，∴△ADC 是等边三角形，

∴CD AH ⊥，PA 在平面AC 上射影为HA ，∴CD PA ⊥．解：（2）∵AB CD //，由（1）HA CD ⊥，PA CD ⊥， ∴AH AB ⊥，PA AB ⊥．

∴PAH ∠是二面角D AB P --的平面角，在Rt △PHA 中360sin 2===

AH PH ， ∴

45=∠PHA ，即二面角D AB P --的大小为

45．（3）由（2）在Rt △PHA 中，可得6=PA ，

在Rt △PAB 中，6=

PA ，2=AB ，∴10=PB ，6622

=??=?PAB S ，

在△PDA 中，2==DA PD ，6=

PA ，可得215=

?PAD S ，在△PCD 中，2==BC PC ，10=PB ，可得2

15=

?PBC S ，又正△PCD 边长为2，∴324

=?=

?PCD S ， ∴315632

26++=+?

+=侧S ， ∵3=PH ，∴23323

31=??=?=

PH S V 菱形．说明：抓线面垂直关系是解决立体几何问题的关键，非特殊棱柱、棱锥的侧面积，往往

要通过逐个计算每个侧面的面积相加而得到，这就需要分析每个侧面的具体特点，比如是否为矩形、直角三角形、等边三角形等．可以举一个类似的例子，四棱锥ABCD V -的高为1，底面为菱形，侧面VDA 和侧面VDC 所成角为

120，且都垂直于底面，另两侧面与底面都成

45角，求棱锥的全面积．这里由相交平面VDC 与VDA 都与底面垂直得到VD 垂直于底面，

利用⊥VD 底面ABCD ，一方面落实了棱锥的高为1=VD ，另一方面几个二面角的平面角都

能方便地落实，四个侧面中，有两个是等腰三角形，有两个是直角三角形，通过计算可得，全面积为()

2233

+．

典型例题六

例6 已知三棱锥ABC P -中，PA 、PB 、PC 与底面ABC 所成角相等，

90=∠CAB ，

a PB AB AC ===，D 为BC 中点，E 点在PB 上且//PC 截面EAD ，（1）求AE 与底面

ABC 所成角；（2）求PC 到平面EAD 的距离．

分析：由PA 、PB 、PC 与底面所成角相等可得P 点在面ABC 上射影为△ABC 的外心，由于△ABC 是直角三角形，可以得到⊥PD 面ABC ，//PC 面EAD 可转化为DE PC //，E 是PB 中点，找出E 到面ABC 的垂线落实EA 与面ABC 所成角．C 到面EAD 的距离可从两方面得到，一方面直接找C 到面EAD 的垂线，另一方面，用等积法可求点

到面的距离．

解：（1）∵PA 、PB 、PC 与底面ABC 成相等的角，设P 在面ABC 上射影为O ，则有PCO PBD PAO ∠=∠=∠，

∴△PAO ≌△PBO ≌△PCO ，

∴PC PB PA ==且OC OB OA ==， ∴O 是△ABC 的外心．

∵△ABC 是直角三角形，且O 是斜边BC 的中点， ∴O 点和D 点重合，即⊥PD 面ABC ，

∵//PC 截面EAD ，过PC 的平面PBC 与平面EAD 交于ED ， ∴ED PC //，∵D 是BC 中点，∴E 是PB 中点，取BD 中点F ，则PD EF //，∴⊥EF 平面ABC ， ∴EAF ∠为EA 与底面ABC 所成角．

∵a PB PA AB ===，∴a AE 2

， ∵a AC AB ==且

90=∠BAC ，∴a BC 2=．

又a PC PB ==，∴△BPC 也是等腰直角三角形， ∴a BC PD 2221==

，∴a EF 4

2=，在Rt △AEF 中，6

2342sin =÷=

∠a a EAF ， ∴66arcsin

=∠EAF ，即AE 与平面ABC 所成角为6

arcsin ．

（2）方法一：∵⊥PD 平面ABC ，∴AD PD ⊥．又∵BC AD ⊥，∴⊥AD 平面PBC ，∴PB AD ⊥．

由（1）△PBC 是直角三角形，

90=∠BPC ，∴PC PB ⊥，

∵PC ED ⊥，∴ED PB ⊥，∴⊥PB 平面EAD ．

∵a AB PB ==，∴a PE 21

=．即PC 到平面EAD 的距离为a 2

．

方法二：∵PD AD ⊥，BC AD ⊥，∴⊥AD 平面PBC ，

∴DE AD ⊥，又a BC AD 2

21==

，a PB DE 2121==．

∴2

2212221a a a S ADE =??=

?， ∵24121a S S ABC ACD ==

??，a PD EF 4

221==，设C 到面EAD 的距离为h ， ∴EF S h S ACD AD E ?=???，∴

a a h a 4

418222?=． a h 21=

，即PC 到平面EAD 的距离为a 2

．

典型例题七

例7 如图所示，在三棱锥ABC S -中，

SA ⊥底面ABC ，BC AB ⊥，DE 垂直平分SC ，且分别交AC 、SC 于D 、E ，又AB SA =，BC SB =．求以BD 为棱，以BDE 和BDC 为面的二面角的度数．

分析：从寻找二面角的平面角入手．二面角的平面角有时图形中没有给出，需要我们自己作出，有时平面角在图形中已经存在，只需要将其找出来．

解：∵SA ⊥平面ABC ，BD ?平面ABC ，∴BD SA ⊥． ∵DE 是SC 的垂直平分线，∴SC DE ⊥，且E 是SC 的中点．

又BC SB =，∴SC BE ⊥．

又E DE BE = ，∴SC ⊥平面BDE ，∴BD SC ⊥．

又S SA SC = ，∴BD ⊥平面SAC ，∴CD BD ⊥，DE BD ⊥．从而EDC ∠为二面角C BD E --的平面角．设a SA =，则a AB =．

∵SA ⊥平面ABC ，∴AB SA ⊥，AC SA ⊥，从而a SB BC 2==．

又BC AB ⊥，∴a AC 3=．在SAC Rt ?中，33

3tan =

∠a

a AC SA SCA ，∴?=∠30SCA ，又SC DE ⊥，∴?=∠60EDC ．

因此所求的二面角的度数为?60．

说明：本题是通过三棱锥来考查直线与直线、直线与平面、二面角、解三角形等知识，并考查了空间想像能力和逻辑推理能力．解答本题的关键是认定EDC ∠是二面角C BD E --的平面角．这需要具有一定的观察能力和判断能力，而且要给出严格的证明．学生很可能发现不了EDC ∠即是所求二面角的平面角，自己再作二面角的平面角，使问题复杂化．本题所给条件较多，所以恰当地选择所需条件进行论证和计算也是解决本题的一个难点．

典型例题八

例8 P 是ABC ?所在平面外的一点，PA 、PB 、PC 两两垂直，3===PC PB PA ．求P 到平面ABC 的距离．

分析：利用三棱锥的性质、体积以及线面关系求解．

解法一：∵3===PC PB PA ，∴P 在底面ABC 内的射影O 是ABC ?的外心．又PA 、PB 、PC 两两相互垂直，∴ABC ?是等边三角形，∴O 是ABC ?的重心．

如图，在POA ?中，3=PA ，

3233260sin 32=??=???=AB AO

∴3)6(32222=-=-=

AO PA PO ．

解法二：设P 点到平面ABC 的距离为h ．

∵PA 、PB 、PC 两两垂直，3===PC PB PA ， ∴2

93332131=????=

-PBC A V ，

23===AC BC AB ，

9)23(432==

?ABC S ．又ABC P PBC A V V --=， ∴

h ??=32

93129，∴3=h ． ∴P 到平面ABC 的距离为3．

解法三：取BC 的中点D ，连PD 、AD ．

∵PC PB =，AC AB =，∴BC AD ⊥，BC PD ⊥， ∴BC ⊥平面PAD ，BC ?平面ABC ，

ABC .

ABC 平面于交作过平面平面平面平面⊥???

??⊥=⊥∴PO O AD AD PO P AD PAD ABC PAD ， ∴PO 就是P 到平面ABC 的距离．在PAD ?中，3=PA ，2

PD ， 2

3232323=

?==

AB AD ．又∵?=∠90APD ，

∴362

3sin =?=?=∠?=AD PD

PA PAD PA PO ．

说明：本题难度并不大．但是这里所给出的三种方法非常典型．方法一利用PC PB PA ==确定P 在底面内射影为ABC ?的外心；方法二利用体积转化的方法；方法三利用面面垂直的性质定理进行垂足定位．

典型例题九

例9 如图所示，在三棱锥ABC P -中，底面为直角三角形，两直角边3=AC ，4=BC 三棱锥侧面与底面所成二面角都为?60．求此三棱锥的侧面积．

分析：本题可利用面积射影定理求解．若一棱锥各侧面与底面所成二面角都为α，且已知底S ，则由面积射影定理知：α

cos 底

侧S S =

．解法一：过P 作底面ABC 的垂线，垂足为I ，过I 在底面ABC ?内作AB 的垂线，垂足为D ，连结PD ．由三垂线定理知AB PD ⊥，∴PDI ∠为侧面PAB 与底面ABC 所成二面角的平面角，即?=∠60PDI ．又可知I 为ABC Rt ?的内心．∵3=AC ，4=BC ，5=AB ，从而12

43=-+=

ID ．在PID Rt ?中，由?=∠60PDI ，得2=PD ，从而各侧面三角形的高均为2．

∴122)345(2

=?++=

++=???PCA PBC PAB S S S S 侧．解法二：PCA PBC PAB S S S S ???++=侧

122

14321

60cos 60cos 60cos 60cos =??=?

=?+?+?=???底S S S S ICA IBC IAB ．说明：本题考查了三棱锥的有关概念与性质．在三棱锥中，过一条侧棱和高的截面有许多重要性质，而这个截面又把棱锥的许多有线段、高、角都集中到同一个平面内，所以常常通过研究这个辅助平面来解决问题．解法二是求棱锥侧面积的一种简捷解法，用到了面积射影定理．

典型例题十

例10 三棱锥ABC P -中，AC AP =，2=PB ．将此三棱锥沿三条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形A P P P 321．如图所示．

(1)求证：侧棱AC PB ⊥；

(2)求侧面PAC 与底面ABC 所成的角θ的余弦值．

分析：(1)折叠与展开是互逆过程，将直角梯形折成三棱锥时，B P A P 11⊥，B P C P 22⊥的关系不变，于是在三棱锥ABC P -中有PA PB ⊥，PC PB ⊥故PAC PB 平面⊥，从而

AC PB ⊥．

(2)由(1)可知PAC PB 平面⊥，∴在平面PAC 内作AC PD ⊥于D ，连BD ，则P D B ∠即是所求二面角的平面角，且PBD ?为?Rt ，∴只需求出两条边即可．而边长可以考虑在侧面展开图中求解．

证明：(1)见上述思路分析．

解：(2)作AC PD ⊥，则由三垂线定理知AC BD ⊥，于是PDB ∠是二面角B AC P --的平面角，即θ=∠PDB ．再作3CP AE ⊥于E ，则4=AE ，且E 是3CP 的中点，设

x AC A P A P ===31，y EP CE ==3．在ACE Rt ?中，2224=-y x ．且由C P C P

32=，得y y x 2=-，解得23=x ，2=y ．

由AE C P AC D P ?=?33，得38

32243=?==D P PD ．由2=PB ，38=

PD ，310=BD ，知5

4cos ==

BD PD θ． ∴所求二面角的余弦值为5

．

说明：折与展是一对互逆的过程．在处理这类问题时应充分注意折叠或展开前后各元素(主要是直线、线段、角)的相对位置和数量变化，注意哪些发生了变化，哪些不变．一般来说，位于同一半平面内的元素相对位置和数量关系不变．位于两个不同半平面内的元素，位置和数量要发生变化．这类问题常用的添辅助线方法是作棱的垂线．

典型例题十二

例12 下列命题中，真命题的个数是（）． (1)两相邻侧棱所成之角相等的棱锥是正棱锥． (2)两相邻侧面所成之角相等的棱锥是正棱锥． (3)侧棱与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥． (4)侧面与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥．

A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．0个

分析：有些同学错解的原因在于未能很好地理解正棱锥的定义以及正棱锥的性质，正棱锥的定义不同于正棱锥的性质，正棱锥的性质可以由其定义结合有关知识推导得到．对照定义，构造反例．

如图所示，ABC S -是正三棱锥，两相邻侧棱所成之角相等，两相邻侧面所成之角相等．在

SB 、SC 上分别取异于B 、C 的点1B 、1C ，连1AB 、1AC ，则三棱锥11C AB S -均满足命

题(1)、(2)的条件，但显然不是正三棱锥，所以命题(1)、(2)为假命题．命题(3)中，侧棱与底面

所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的外心．外心不一定是中心，因为底面不一定是正多边形，因此命题(3)也是假命题．在命题(4)中，侧面与底面所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的内心，而内心不一定是中心，所以命题(4)也是假命题．综上可知应选D ．

典型例题十三

例13 .如图，已知三棱锥ABC P -中，PC PB PA ==，P 在底面ABC 上的射影为O ．求证：O 为ABC ?的外心．

证明：连结PO 、OA 、OB 、OC ，则⊥PO 底面ABC ∵PC PB PA ==（斜线相等）， ∴CO BO AO ==（射影相等）， ∴O 为ABC ?的外心．

说明：(1)同理可证，如果三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，那么顶点在底面上的射影也是底面三角形的外心．

(2)上述两结论对一般棱锥也成立，即棱锥的侧棱均相等或侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心．

典型例题十四

例14 如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的内心．

如图，已知三棱锥ABC P -，三侧面PAB 、PAC 、PBC 与底面所成二面角都相等，P 点在底面上的射影为O ．求证：O 为ABC ?的内心．

证明：连结PO ，则⊥PO 平面ABC ．

在底面上作AB OD ⊥、BC OE ⊥、AC OF ⊥，垂足分别为D 、E 、F ．连结PD 、PE 、PF ．

由三垂线定理可得AB PD ⊥、BC PE ⊥、AC PF ⊥．

∴PDO ∠、PEO ∠、PFO ∠分别为二面角C AB P --，A BC P --，B AC P --的平面角．

又∵PFO PEO PDO ∠=∠=∠，PO PO PO ==，

∴PDO Rt ?≌PEO Rt ?≌PFO Rt ?，∴OF OE OD ==， ∴O 为ABC ?的内心．

说明：(1)同理可证，如果三棱锥的顶点到底面三条边的距离相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的内心（若射影点在多边形内部的话）．

(2)上述两结论对一般棱锥也成立，即棱锥的各侧面与底面所成之角均相等或棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内切圆的圆心（射影在多边形内部）．

(3)不要误论为棱锥顶点在底面上的射影一定在底面多边形的内部，顶点在底面的射影可以在底面多边形的外部，也可以在多边形的一边上．

典型例题十五

例15 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心．已知三棱锥ABC P -的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，O 为P 在底面ABC 上的射影．

求证：O 为底面三角形ABC 的垂心．

证明：如图，连结PO 、AO 、BO ．

∵PB PA ⊥，PC PA ⊥，且P PC PB = ， ∴⊥PA 平面PBC ． ∴BC PA ⊥．

又⊥PO 平面ABC ，

由三垂线定理的逆定理知，BC AO ⊥．同理，AC BO ⊥．

∴O 点为ABC ?的垂心．

说明：同理可证：如果三棱锥有两组对棱垂直，那么第三组对棱也垂直且顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心．

典型例题十六

例16 三棱锥ABC V -的各面积分别为3=VAB S ，4=VBC S ，5=VAC S ，6=ABC S ，且各侧面与底面所成的二面角都相等，求侧面与底面所成二面角的平面角．

分析：首先找出二面角的平面角α，转化到平面中去，然后利用已知条件列有关α的等式．

解：如图，作⊥VO 平面ABC 于O ，连结AO 、BO 、CO ． ∵侧面与底面所成的角都相等，设者为α， ∴O 为底面ABC ?的内心，

∴过O 在底面ABC ?内作AB OD ⊥，BC OE ⊥，AC OF ⊥，垂足分别为D 、E 、F ；连结VD 、VE 、VF ．

由三垂线定理可得AB VD ⊥，BC VE ⊥，AC VF ⊥． ∴α=∠=∠=∠VFO VEO VDO ． ∵AB OD S AOB ??=?21，AB VD S VAB ??=?21，而αcos =VD

OD ， ∴

αcos ==??VD

OD S S VAB AOB ，∴αcos ?=??VAB AO B S S ．同理αcos ?=??VBC BO C S S ，αcos ?=??VAC AO C S S ， ∴αcos )(VAC VBC VAB AO C BO C AO B S S S S S S ??????++=++，即αcos ?=?侧底面S S ABC ． ∴αcos )543(6++=， ∴21cos =

α，∴3

πα=． ∴侧面与底面所成的二面角为

．说明：(1)根据本题的推导过程不难得出如下结论：如果三棱锥的三个侧面与底面成等角

θ，三棱锥的底面积为底S ，侧面积为侧S ，那么θcos ?=侧底S S ．

(2)可以进一步证明：如果棱锥的各个侧面与底面成等角θ，那么θcos ?=侧底S S ．

典型例题十七

例17 如图，已知正三棱锥ABC S -的高h SO =，斜高l SM =．求经过SO 的中点平行于底面的截面'

''C B A ?的面积．

分析：求出底面正三角形的边可得其面积，再利用棱锥截面性质，得截面面积．解：连结OM 、OA ．

在SOM Rt ?中，22h l OM -=．

因为棱锥ABC S -是正棱锥，所以点O 是正三角形ABC 的中心．

223260tan 22h l OM AM AB -=???==，

)(33)(344

34322222h l h l AB S ABC -=-??==

?．据一般棱锥截面的性质，有

''''==??h h S S ABC

C B A ．∴)(43322'''h l S C B A -=?．说明：过高的中点且平行于底面的截面叫做中截面．

典型例题十八

例18 如图，已知棱锥ABC V -的底面积是264cm ，平行于底面的截面面积是2

4cm ，

棱锥顶点V 在截面和底面上的射影分别是1O 、O ，过O O 1的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积．

分析：顶点到已知截面的距离1h 与原棱锥高h 的关系，可由已知截面面积与底面积的量的关系得到，从而各截面对应的高与原棱锥的高的关系可以求出，再运用一般棱锥截面性质可以求得各截面面积．

解：设棱锥的高为h ，其顶点到已知截面之距11h VO =，1OO 的三等分点为2O 、3O ，

由已知得64

1=h h ，∴411=h h ，∴h h 411=

∴h h h VO VO O O 4

4111=-

=-=，而O O O O O O 33221==，则h h O O O O O O 4

433133221=?===． ∴241412h h h VO =+=，h h h h VO 4

4141413=++=．

设过2O 、3O 的截面面积分别为2S 、3S ，底面面积为S 则

222)21(h h S S ∶∶=，∴1641

2==S S (2cm )．

223)43(h h S S ∶∶=，∴366416

3=?=S (2cm )．

∴两截面的面积分别为2

16cm 和2

36cm ．

说明：本题还可以求得以V 为顶点，分别以过1O 的截面、过2O 的截面、过3O 的截面为底面的棱锥，以及原棱锥的侧面积之比，这四个棱锥的侧面积之比依次为

1694164361644321∶∶∶∶∶∶∶∶∶锥锥锥锥==S S S S ．

典型例题十九

例19 正三棱锥底面边长和高都是4，它的一个内接三棱柱的三个侧面都是正方形．求

内接三棱柱的全面积．

分析：如图所示．三棱柱的上底面'

F E D ?与正三棱锥的底面ABC ?相似，它们的相似

比等于PO PO ∶

．设三棱柱的棱长为x ，则有4

44x

x -=，得出2=x ，侧全S S S F E D +='''2．

解：设三棱柱的棱长为x ，由于三棱柱的上底面'

F E D ?∽ABC ?，则有PA

PD AB E D '

''=，即

444x x -=，∴2=x ，360sin 2

'''=?=x S F E D ，1232==x S 三棱柱侧， ∴12322'''+=+=三棱柱侧全S S S F E D ．

典型例题二十

例20 如图(1)设正三棱锥ABC P -的底面边长a ，侧棱长为a 2，过A 作与PB 、PC 分别交于D 和E 的截面，当截面ADE ?的周长最小时，求截面的面积．

分析：因为截面ADE ?的三个顶点都在正三棱锥的侧面上，现若沿侧棱PA 将棱锥展开，则截面ADE ?的周长为最小时，就是线段'

AA 的长，如图(2)所示．

解：将正三棱锥ABC P -沿侧棱PA 展开，当截面ADE ?的周长为最小值时，其周长即是展开图中线段'

AA 之长．

在侧面展开图中，∵'CA BC AB ==，且CB A ABC '

∠=∠．

∴四边形'ABCA 是等腰梯形，BC AA //'

，∴PAB BDA PBC ∠=∠=∠，

∴BD A '

?∽'

PBA ?，PB B

A BA BD ∶∶''=．∵'

2BA PB =，∴BD BA 2'

=．

∵a BD PB PD 23=

-=，又PB PD BC DE ∶∶=，∴a DE 4

=． ∴a EA DE D A AA 4

11'

'=++=．在三棱锥中，取截面ADE ?的边DE 的中点为H ，

∵AE AD =，∴DE AH ⊥，∴a a a HD AD AH 8

55)83(

2222=-=-=

， ∴2

55321a AH DE S ADE =?=

．说明：本例中，求侧面展开图中'

AA 之长时运用了平面几何知识，过程较为简明．若在三角形'

PAA 中，由a PA PA 2'==，计算出'APA ∠的余弦后，再用余弦定理求'

AA 之长，就麻烦得多了．

典型例题二十一

例21 已知正三棱锥ABC P -的底面边长为a ，过BC 作截面DBC 垂直侧棱PA 于D ，

且此截面与底面成?30的二面角，求此正三棱锥的侧面积．分析：先找出二面角的平面角，再由正三棱锥的一些线面关系，把要求的斜高转化到直角三角形中，解直角三角形．

解：如图，作⊥PO 底面ABC 于O ． ∵ABC P -为正三棱锥，

∴O 为底面正三角形ABC 的中心，连结AO 交BC 于M ，连结PM ，则BC AM ⊥，BC PM ⊥，

∴BC ⊥平面APM ，DM BC ⊥，

∴AMD ∠为截面DBC 与底面ABC 所成二面角的平面角， ∴?=∠30AMD ．

∵⊥PA 平面DBC ，∴DM PA ⊥，?=∠60PAM ． ∵正三角形ABC 的边长为a ，∴a AO 33=

，a MO 6

3=．在PAO Rt ?中，a a AO PO 33

60tan ?=

??=．

在POM Rt ?中，∵a a a OM PO PM ==+=+=

39)63(

2222， ∴2

39639321a a a S =??=

侧．说明：(1)在多面体中，求边长、侧棱长、高和斜高等长度以及距离、角等等，要充分注

意各多面体的概念，在多面体中首先画出所求元素，其次根据不同情况作出辅助线（注意经常用到三垂线定理），然后加以解决．

典型例题二十二

例22 棱锥的底面是等腰三角形，这等腰三角形的底边长为cm 12，腰长为cm 10，棱锥的侧面与底面所成的二面角都是?45，求这个棱锥的侧面积．

已知三棱锥ABC V -的底边是等腰三角形，cm AC AB 10==，cm BC 12=，侧面VAB 、

VBC 、VCA 与底面ABC 所成的二面角都是?45．

求棱锥ABC V -的侧面积．

解法1：作点V 在底面ABC ?上的射影O ，如图，

则O 是底面ABC ?的内心，作AB OE ⊥于E 点，连接VE ，则AB VE ⊥（三垂线定理），故VEO ∠是侧面与底面所成的二面角的平面角，?=∠45VEO ，

∵ABC ?内切圆半径3)101012(2

16101221

2=++-??==?l S

OE ，

其中)(2

CA BC AB l ++=，?S 是ABC ?的面积．

∴斜高232==OE VE ，

∴248)(2

=++??=

CA BC AB VE S 侧．即棱锥ABC V -的侧面积为248cm ．

解法2：还可用面积射影定理：由于棱锥的侧面与底面所成的二面角均为?45，

故2482

610122145cos 22=-??=?=底

侧S S

(完整版)数学归纳法经典例题详解

例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ．请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ．那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k

()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性．解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ，解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立．综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．

高考数学大题经典习题

1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。（1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围；（2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立，而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1．故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f .

高中数学经典例题

高中数学经典例题讲解高中数学经典例题讲解典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是（）． A．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B．过直线外一点与该直线平行的平面C．过平面外一点与平面平行的直线D．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点、平面，过点有两条直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面内，这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故选D．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作

已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）． A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系； - 1 - 高中数学经典例题讲解（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．故选D．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如E、FGBC在

高中数学集合典型例题

-- -- 集合 1．集合概念元素:互异性、无序性、确定性 2.集合运算全集Ｕ：如U ＝Ｒ交集:}{B x A x x B A ∈∈=且并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或补集:}{A x U x x A C U ?∈=且３.集合关系空集A ?φ 子集B A ?：任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注：数形结合-－-文氏图（即韦恩图、Ve ｎn 图）、数轴典型例题 1. 集合(){}0,=+=y x y x A ,(){}2,=-=y x y x B ,则=B A ２. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2,那么Q P 等于 3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122,求A 中所有元素之和. 4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ,{}a a a B --+=2,24,7,02，且{}7,3=B A ,求a 的值. 5. 已知(){}011=+-=x m x A ,{}0322=--=x x x B ，若B A ?，则m 的值为 6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ，{}52≤≤-=x x B ，若B A ?,求实数m 的取值范围． 7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ，{}2,12-=a A ,{}5=A C S ，求a 的值. 8．若{}Z n n x x A ∈==,2,{}Z n n x x B ∈-==,22，试问B A ,是否相等. 9. 已知(){}a x y y x M +==,,(){}2,22=+=y x y x N ,求使得φ=N M 成立的实数a 的取值范围. １0. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042,(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222,若A B ?，求实数a 的取值范围. １１．设R U =,集合{}R x a ax x x A ∈=+-+=,03442，(){}R x a x a x x B ∈=+--=,0122，{}R x a ax x x C ∈=-+=,0222,若C B A ,,中至少一个不是空集，求实数a 的取值范围. 12. 设集合(){}01,2=--=x y y x A ,(){} 05224,2=+-+=y x x y x B ,(){==y y x C ,}b kx +，是否存在N b k ∈,,使得()φ=C B A ?若存在,请求出b k ,的值;若不存在,请说明理由.

[高考数学]高考数学函数典型例题

?0x时,总有 00 ?01}的四组函数如下: ①f(x)=x2,g(x)=x;②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3 x;

③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年高考江苏卷试题 11 ）已知函数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则满足不等式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年高考天津卷理科 16) 设函数 f ( x ) = x 2 - 1 ，对任意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长）梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围；（Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .

高考数学百大经典例题曲线和方程(新课标)

典型例题一例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是（A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，．（B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上．（C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上．（D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，．分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ．典型例题二例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系．分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程 1=y 所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性．典型例题三

例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系．分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析．解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例 4 曲线4)1(2 2 =-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式?分别满足0>?、0=?、0?即0)52)(12(<--k k ，即 25 21<--k k ，即21k 时，直线与曲线没有公共点．说明：在判断直线与曲线的交点个数时，由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两方程联立所整理出的关于x (或y )的一元方程解的个数相同，所以如果上述一元方程是二次的，便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数，但如果是两个二次曲线相遇，两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同，所以遇到此类问题时，不要盲目套用上例方法，一定要做到具体问题具体分析．典型例题五

高一数学集合练习题及答案-经典

升腾教育高一数学满分150分姓名一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是（） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有个（） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是（） A 4 B 3 C 2 D 1 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是（） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是（） A 1 B 2 C 3 D 4

二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 19、已知集合{}1,1A =-，B=} { 2 20x x ax b -+=，若B ≠?，且A B A ?= 求实数 a ， b 的值。

(完整版)数学归纳法经典例题及答案(2)

数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ．当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．

题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ Λ．那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k Λ 1 1 1211 2+++=++