08 立体图形上的最短路径问题

第8讲 立体图形上的最短路径问题

一、方法技巧

解决立体图形上最短路径问题：

1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直”

2.“平面化”的基本方法：

（1）通过平移来转化

例如：求A 、B 两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可

（2）通过旋转来转化

例如：求'A C 、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求

例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A 处绕圆锥一周回到A 点的最短距离 可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解

（3）通过轴对称来转化

例如：求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点A关于杯口的对称点'A，根据“两点之间，线段最短”可知'A B即为最短距离

3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短（2）勾股定理

4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图

二、应用举例

类型一通过平移来转化

【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？

【答案】13cm 【解析】 试题分析：

只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案. 试题解析：

解：展开图如图所示，13AB cm == 所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm

类型二 通过旋转来转化

【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为8cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？

【答案】cm 412

【解析】 试题分析：

解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算. 试题解析：

解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开铺平

使矩形AA’B’B 与BB’C’C 相连，连接AC’，使E 点在AC’上（如图2）

)(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++=

所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412

【难度】一般

【例题3】如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度.

【答案】34cm 【解析】 试题分析：

展开后连接SF ，求出SF 的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点S 作SE CD ⊥于E ，求出SE 、EF ，根据勾股定理求出SF 即可. 试题解析：

解：如下图所示，把圆柱的半侧面展开成矩形，点S ，F 各自所在的母线为矩形的一组对边

上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边.该矩形上的线段SF 即为所求的最短路线.

过点S 作点F 所在母线的垂线，得到SEF Rt ?.

34SF cm ==

【难度】较易

【例题4】（2015·红河期末）如下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m （结果不取近似值）

【答案】

【解析】 试题分析：

求小猫经过的最短距离，首先应将其侧面展开，将问题转化为平面上两点间的距离的问题，根据展开图中扇形的弧长与圆锥底面周长相等可求展开图的扇形圆心角度数，故可得出展开图中90BAP ∠=?，即可用勾股定理求出小猫经过的最短距离BP 长. 试题解析：

解：作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图，设该扇形的圆心角度数为n ，

由展开扇形圆弧长等于底面圆周长，可得180

n AC

BC ππ?=?， 再由6AC BC m ==，可得180n =?， 故在展开的平面图形中，1

180902

BAC ∠=??=?

点B 到P 的最短距离为 )BP m =

==

【难度】一般

类型三 通过轴对称来转化

【例题5】桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在位置？

【答案】15厘米 【解析】 试题分析：

把圆柱展开，得到矩形形状，A B 、的最短距离就是线段'BA 的长，根据勾股定理解答即可 试题解析：

解：如图所示，作A 点关于杯口的对称点'A

则'15BA ==厘米

【难度】较易

三、实战演练

类型一 通过平移来转化

1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ．A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为 dm ．

【答案】25dm 【解析】 试题分析：

先将图形平面展开，再根据勾股定理进行解答 试题解析：

解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm ，宽为（2+3）×3dm ，

则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ， 由勾股定理可得x 2=202+[（2+3）×3]2， 解得x =25．

即蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为25dm ．

【难度】较易

类型二 通过旋转来转化

2.（2015·陕西）有一个圆柱形油罐，已知油罐周长是12m ，高AB 是5m ，要从点A 处开始绕油罐一周造梯子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子最短有多长？

【答案】13m 【解析】

试题分析：把圆柱沿AB 侧面展开，连接AB ，再根据勾股定理得出结论 试题解析：

解：展开图如图所示，12AC m =，5BC m =

13AB m ===

【难度】较易

3.有一个圆柱体，如图，高4cm ，底面半径5cm ，A 处有一小蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C 处蚂蚁爬行的最短距离 .

)cm

【解析】 试题分析：

圆柱展开就是一个长方形，根据两点之间线段最短可求 试题解析：

解：∵4AB =，BC 为底面周长的一半，即5BC π=

∴)AC cm =

==

【难度】较易

4.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线-螺旋前进的，难道植物也懂得数学？ 阅读以上信息，解决下列问题： （1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm ，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm ,则它爬行一周的路程是多少？

（2）如果树干的周长是80cm ,绕一圈爬行100cm ，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？

【答案】（1）50cm ；（2）6m 【解析】 试题分析：

（1）如下图，将圆柱展开，可知底面圆周长，即为AC 的长，圆柱的高即为BC 的长，求出AB 的长即为葛藤树的最短路程

（2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高 试题解析： 解：（1）如图，O e 的周长为30cm ，即AC =30cm 高是40cm ，则BC =40cm ，

由勾股定理得50AB cm =

=

故爬行一周的路程是50cm

（2）O e 的周长为80cm ，即AC =80cm

绕一圈爬行100cm ，则AB=100cm ，高BC =60cm ∴树干高=60×10=600cm =6m

故树干高6m

【难度】一般 5．（2015·江阴市）如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从盒外的B 点沿正方形的表面爬到盒内的M 点，蚂蚁爬行的最短距离是 （ ）

A B C ．1 D ．2+ 【答案】B 【解析】 试题分析：

根据已知得出蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度，进而利用勾股定理求出

试题解析：

解：∵蚂蚁从盒外的B点沿正方体的表面爬到盒内的M点

∴蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度

∵无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M

∴

1224

A B=+=

11

A M=

∴BM=

故选：B

【难度】较易

6.已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示，若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）

【答案】C

【解析】 试题分析：

要求小蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线. 试题解析：

解：∵C 为OB 中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A

∴侧面展开图BO 为扇形对称轴，连接AC 即是最短路线

∵另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，作出C 关于OA 的对称点，再利用扇形对称性得出关于BO 的另一对称点，连接即可. 故选C

【难度】一般 7．（2014·枣庄）图①所示的正方体木块棱长为6cm ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为 cm ．

【答案】(cm

【解析】 试题分析：

要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果 试题解析： 解：如答图，

易知△BCD 是等腰直角三角形，△ACD 是等边三角形，

在Rt △BCD 中，CD ==，

∴1

2

BE CD =

=，

在Rt △ACE 中，AE =

=，

∴从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为(cm

【难度】一般

8.一个圆锥的母线长为QA =8，底面圆的半径r =2，若一只小蚂蚁从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是________（结果保留根式）

【答案】【解析】

解：设圆锥的展开图扇形’QAA 的中心角'AQA ∠的度数为n ，

则 8

22180

n ππ???=

，解得：90n =o 即'90AQA ∠=o

在'Rt AQA V 中，根据勾股定理

'AA =【难度】一般

9.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm ，假若点B 有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是多少？

【答案】【解析】 试题分析：

根据圆锥的主视图是等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆，点B 是半圆的一个端点，而点P 是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B 和P 在展开图中的距离，就是这只蚂蚁爬行的最短距离 试题解析：

解：设圆锥的展开图的圆心角为n ，

则4

22180

n ππ???=

， 解得：180n =? 即'180CAC ∠=?

在展开图中，'BA CC ⊥，4BA =，2AP =

由勾股定理得，BP =

点评：本题主要考查了圆锥的侧面展开图的计算，正确判断蚂蚁爬行的路线，把曲面的问题化为平面的问题是解题的关键 【难度】较难

10.（1）如图○1，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为3BC cm =，4AB cm =，15AA cm =，盒子的内部顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，请计算A 处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲

1C 处的最短路程，并画出其最短路径，简要说明画法

（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为6AB BC cm ==，114AA cm =，如图○2，假 设昆虫甲从盒内顶点1C 以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从 盒内顶点A 以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕 捉到昆虫甲？

【答案】（1）1A E C →→就是最短路径 （2）5秒 【解析】

解：（1）如图二，将上表面展开，使上表面与前表面在同一平面内，即11A A D 、、三点共

线，111538

AA A D +=+=

114

D C =

根据勾股定理得1AC =

如图三，将右侧面展开，使右侧面与下面在同一平面内，即1A B B 、、三点共线

1459AB BB +=+=，113B C =

根据勾股定理得

1AC =

如图四，将右侧面展开，使右侧面与前表面在同一平面内，即A B C 、、三点共线.

437AB BC +=+=，15CC =

根据勾股定理得1AC

.

在图四中，∵1ABE ACC V V ∽

∴

1BE AB

CC AC

= ∴

457BE =，20

7

BE =

如图一，在1BB 上取一点E ，使20

7

BE =

，连接AE ，1EC ，1A E C →→就是最短路径 （2）如图五，设1C F x =，则3AF x =，5CF x =- 在Rt ACF V 中，根据勾股定理得

222AF AC CF =+

即：()()()2

2

2

36614x x =++- 解得：15x =，2172

x =-

∵0x ＞ ∴5x =

所以，昆虫至少需要5秒才能捉到昆虫甲.

点评：在长方体中，经过它的表面，从一个顶点到另一个与它相对的顶点的最短距离是：在 长、宽、高中，以较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边，斜边即 为最短路线长 【难度】较难

11．如图，A 是高为10cm 的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A 点出发，沿30°角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）

A. 10cm

B. 20cm

C. 30cm

D. 40cm 【答案】B

试题分析：

将圆柱侧面展开，连接AB ,根据三角函数求出AB 的长即可 试题解析：

解：根据题意得，10BC cm =，30BAC ∠=? ∴1

3010202

A BC Sin cm

B =÷?=÷= 故选B ．

【难度】一般

12．如图，是一个长4m ，宽3m ，高2m 的有盖仓库，在其内壁的A 处（长的四等分）有一只壁虎，B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（ ）

A ．4.8

B ．5 D 【答案】C

【解析】有两种展开方法：

①长方体展开成如图所示，连接A B 、，

②将长方体展开成如图所示，连接A B 、

【难度】较易

13．（2015-2016·内蒙古包头）如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B 距离C点5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是cm．

【答案】25

【解析】

试题分析：

要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答.

试题解析：

解：如图：（1

（2

（3

所以需要爬行的最短距离是25． 【难度】较难

14．已知：如图，一个玻璃材质的长方体，其中6,4,8===BF BC AB ，在顶点E 处有一块爆米花残渣，一只蚂蚁从侧面BCSF 的中心沿长方体表面爬行到点E ．则此蚂蚁爬行的最短距离为 ．

【解析】 试题分析：

要求蚂蚁爬行的最短距离，需要将立体图形转化为平面图形，将E 、O （设面BCSF 的中心为点O ）所在的两个面展开，但展开图并非只有一种，而是两种，需要利用“两点之间，线段最短”，来一一求出线段EO 的长度，然后比较两种情况的结果，找出最短路径 试题解析：

解：设面BCSF 的中心为点O ，根据题意，最短路径有下列两种情况： ○

1如图1，沿SF 把长方体的侧面展开，

蚂蚁爬行的最短距离=

=

○

2如图2，沿BF 把长方体的侧面展开，

蚂蚁爬行的最短距离=

=

∵

【难度】较难

15．如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，离容器上沿0.3m 与蚊子相对．．的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m （容器厚度忽略不计）.

【答案】1.3m 【解析】 试题分析：

将容器侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A ’B 的长度即为所求

试题解析：

解：要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EC 上找一点P ，使P A+PB 最短， 过点A 作EC 的对称点A ’，连结A ’B ，则A ’B 与EF 的交点P 就是所求的点P

因为两点之间，线段最短，A’B 的长即为壁虎捕捉蚊子的最短距离 ∵底面周长为1m

∴'0.5A D m =， 1.2BD m =

' 1.3A B m =

立体图形中的距离最短问题

立体图形中的距离最短问题 根据新课程标准，培养学生的空间观念主要表现在：“能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；……”。空间图形的建立需要有一个循序渐进的过程，从小学到初中，再到高中，渐渐加强，作为一个初、高中的知识衔接模块，让学生在初中阶段能理解空间图形，特别是空间图形的展开图，夯实基础，显得尤为重要。 立体图形上点点之间的距离最短问题，通过把立体图形转化为平面图形，然后再运用“两点之间，线段最短”来解决。解决这一类距离最短的问题，可以利用轴对称或平移或旋转等几何图形的变换，把两条或多条线段和最短的问题转化为平面上两点之间的距离最短的问题来解决。 一、通过平移来转化 1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？ 析：展开图如图所示，AB= 52 + 122= 13cm 二、通过旋转来转化 2.有一圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？ 析：展开图如图所示，AB= 52 + 122= 13cm 3.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。

AB = 4， BC 为底面周长的一半 即BC = 5π AC = AB 2 + BC 2 = 42 + (5π)2 = 16 + 25π2 4.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？ 通过阅读以上信息，解决下列问题： （1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm ，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm ，则它爬行一圈的路程是多少？ （2）如果树干的周长为80cm ，绕一圈爬行100cm ，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？ （1）如图，⊙O 的周长为30cm ，即AC=30cm ， 高是40cm ，则BC=40cm ，由勾股定理得AB =50cm ． 故爬行一圈的路程是50cm ； （2）⊙O 的周长为80cm ，即AC=80cm ， 绕一圈爬行100cm ，则AB = 100cm ，高BC = 60cm ．∴树干高=60×10=600cm=6m ． 故树干高6m 5.已知O 为圆锥顶点，OA 、OB 为圆锥的母线，C 为OB 中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A ，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线的 痕迹如右图所示．若沿OA 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为 （ ） 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线． A . B . C . D .

(完整版)八年级最短路径问题归纳小结

八年级数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： ①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题． ②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径． 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．

在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作直线AB ，与直线l 的交 点即为P ． 三角形任意两边之差小于 第三边．PB PA -≤AB ． PB PA -的最大值＝AB ． 【问题11】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即 为P ． 三角形任意两边之差小于 第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇． 【问题12】“费马点” 作法 图形 原理 △ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小． 所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠ APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求． 两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ． 【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有 一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．3 B ．26 C ．3 D 6 2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．32 C ．32+ D ．4 l B A l P A B l A B l B P A B' A B C P E D C B A A D E P B C

08立体图形上的最短路径问题

第8讲立体图形上的最短路径问题 一、方法技巧 解决立体图形上最短路径问题： 1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直” 2.“平面化”的基本方法： （1）通过平移来转化 例如：求A、B两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可 （2）通过旋转来转化 例如：求 两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求

例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A处绕圆锥一周回到A点的最短距离可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解 （3）通过轴对称来转化 例如：求圆柱形杯子外侧点 到内侧点 的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点 关于杯口的对称点 ，根据“两点之间，线段最短”可知 即为最短距离

3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短（2）勾股定理 4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图 二、应用举例 类型一通过平移来转化 【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？ 【答案】13cm 【解析】 试题分析：

只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从 点到 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案. 试题解析： 解：展开图如图所示， 所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm 类型二通过旋转来转化 【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？ 【答案】

初二最短路径问题归纳

初二最短路径问题归纳 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

最短路径问题专题学习【基本问题】 m n

在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最小． 【问题10】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为 P ． 三角形任意两边之 差小于第三边．PB PA -≤ AB ＇． PB PA -最大值＝ AB ＇． 【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23．6 C ．3 D 6 2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当 AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．32 C ．32+ D ．4 3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小 时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ） l A B D E A B C A D E P B C D A M A B M N 第2题 第3题 第4

A ．120 ° B ．130° C ．110° D ．140° 4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4 2 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ， M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ． 5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重 合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ． 6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分 别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________． 7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为 B (36，0)． OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值 是______． 8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最 小值为 ， 此时 C 、D 两点的坐标分别为 ． 9．已知A （1，1）、B （4，2）． y x B O A y x B A O 第6题 第

中考专题1——立体图形中的最短路径问题

中考复习专题1——立体几何中的最短路径问题姓名： （蚂蚁沿阶梯、正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题） 1、台阶问题如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B 是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想， 这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？ 2、圆柱问题有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ 变式1：有一圆柱形油罐，已知油罐底面圆周长是12m，高AB是5m，要从点A 处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？ 变式2：桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。 3、正方体问题如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是（）. （A）3 （B）5（C）2 （D）1 A B A B A ’ A B A B c A B A B C A B 5 3 1 A B 5 (3+1)×3=12 A B C A B C2 1

A B D C D 1C 1 ①42 1 AC 1=√42+32=√25;②A B B 1 C A 1C 1412AC 1=√62+12=√37;A 1A B 1 D 1 D 1C 1③42AC 1=√52+22=√29 . 4、长方体问题 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处 （三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 分析：展开图如图所示，372925<< 路线①即为所求。 小结：长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边， 斜边长即为最短路线长。 5、圆锥问题 如图，已知O 为圆锥的顶点，MN 为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M 点出发，绕圆锥侧面 爬行到N 点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（ ）． 练习： 1、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计）， 圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。 2、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱 体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。 3、如图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处， 则它爬行的最短路径是 。 4、如图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块 侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 5、如图，地面上有一个长方体，一只蜘蛛在这个长方体的顶点 A 处，一滴水珠在这个长方形的顶点C ′处，已知长方体的长 为6m ，宽为5m ，高为3m ，蜘蛛要沿着长方体的表面从A 处爬 到C ′处，则蜘蛛爬行的最短距离为（ ） A.130 B.8 C.10 D.10米 1A B A 1B 1D C D 1 C 124 第1题 A B A B 第2题 第5题 A B C D 第4题 A B 第3题 A C B D

最新人教版八年级数学上册《最短路径问题》教学设计(精品教案)

13.4 课题学习最短路径问题 学习目标 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.（重点） 2.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.（难点） 教学过程 一、情境导入 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 二、合作探究 探究点：最短路径问题 【类型一】求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题 例1：如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修

建才能满足要求？（画出图形，做出说明。） 解析：利用两点之间线段最短进而得出答案. 解：如图所示：连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短. 【方法总结】求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标练习” 第2题 【类型二】运用轴对称解决距离最短问题 例2：在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点． 【方法总结】利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．

08 立体图形上的最短路径问题

第8讲 立体图形上的最短路径问题 一、方法技巧 解决立体图形上最短路径问题： 1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直” 2.“平面化”的基本方法： （1）通过平移来转化 例如：求A 、B 两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可 （2）通过旋转来转化 例如：求'A C 、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求 例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A 处绕圆锥一周回到A 点的最短距离 可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解

（3）通过轴对称来转化 例如：求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点A关于杯口的对称点'A，根据“两点之间，线段最短”可知'A B即为最短距离 3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短（2）勾股定理 4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图 二、应用举例 类型一通过平移来转化 【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？

【答案】13cm 【解析】 试题分析： 只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案. 试题解析： 解：展开图如图所示，13AB cm == 所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm 类型二 通过旋转来转化 【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为8cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？ 【答案】cm 412 【解析】 试题分析： 解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算. 试题解析： 解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开铺平 使矩形AA’B’B 与BB’C’C 相连，连接AC’，使E 点在AC’上（如图2） )(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++= 所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412

八年级上《最短路径问题》同步练习含答案

八年级上《最短路径问题》同步练习含答案 基础题 知识点最短路径问题 1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________． 2．已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B. (1)在图1的直线上找一点P使PA＋PB最短； (2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长． 3．如图均是由相同的小正方形组成的网格图，点A、B、C、D均落在格点上．请只用无刻度的直尺在格线CD上确定一点Q，使QA与QB的长度之和最小． 4．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？

中档题 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M的位置． 6．如图，在△ABC的一边AB上有一点P. (1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；

(2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数． 7．如图，已知∠AOB，点P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点． (1)要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置． (2)若OP＝4，要使得△PEF的周长的最小值为4，则∠AOB＝________． 8．(兰州中考改编)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．

人教版八年级上册13.4最短路径问题练习题

13.4课题学习最短路径问题 知识点： 1．最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． 2.运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．3．利用平移确定最短路径选址 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题． 同步练习： 1.如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点． 2.如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短， B A l 3..在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．

4. 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 5. 如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？

参考答案： 1. 2.这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′，则点C 是直线l 与AB ′的交点． 为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C ′，连接AC ′，BC ′，B ′C ′，证明AC ＋CB ＜AC ′＋C ′B .如下： 证明：由作图可知，点B 和B ′关于直线l 对称， 所以直线l 是线段BB ′的垂直平分线． 因为点C 与C ′在直线l 上， 所以BC ＝B ′C ，BC ′＝B ′C ′. 在△AB ′C ′中，AB ′＜AC ′＋B ′C ′， 所以AC ＋B ′C ＜AC ′＋B ′C ′， 所以AC ＋BC ＜AC ′＋C ′B . 3. 解：如图所示：(1)作点B 关于直线l 的对称点B ′； (2)连接AB ′交直线l 于点M . (3)则点M 即为所求的点． 4.解：(1)如图1，取线段AB 的中点G ，过中点G 画AB 的垂线，交EF 于P ， 则P 到A ，B 的距离相等．也可分别以A 、B 为圆心，以大于12 AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求． (2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短． 5.解：(1)如图2，过点A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽．

八年级最短路径问题

最短路径问题 1、如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE=5cm ，△ABD 的周长为15cm ，则△ABC 的周长是 （第1题） （第2题） 2、如图，△ABC 中，AB=BC ，D 是BC 边上一点，点A 在线段CD 的垂直平分线上，连接AD ，若∠B=50°，则∠BAD= 度。 3、如图，设△ABC 和△CDE 都是正三角形，且∠EBD = 62°，则∠AEB 的度数是为_________。 知识点一、最短路径 【知识梳理】 1、两定一动 （1）如图，点A 、B 在直线l 的两侧，在l 上求一点P ，使得PA ＋PB 最小。 （2）如图，点A 、B 在直线l 的同侧，在l 上求一点P ，使得PA ＋PB 最小。 第9题图D A B E C

2、三定一动 平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是。 3、一定两动型 如上图，点A是∠MON内部一点，在∠MON的两边OM、ON上各取一点B、C，与点A组成三角形，使△ABC的周长最小。 【例题精讲】 1、在平面直角坐标系中，点A(1，－2)与点B关于x轴对称，则点B的坐标是___________。 2、如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8。点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为__________。 （第2题）（第3题） 3、如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且 A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是。 4、平面直角坐标系中，已知A(4，3)、B(2，1)，x轴上有一点P，要使PA－PB最大，则P点坐标_____。

08-立体图形上的最短路径问题

08-立体图形上的最短路径问题

第8讲立体图形上的最短路径问题一、方法技巧 解决立体图形上最短路径问题： 1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为 “直” 2.“平面化”的基本方法： （1）通过平移来转化 例如：求A、B两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可 （2）通过旋转来转化 例如：求' A C 、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求

例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A处绕圆锥一周回到A点的最短距离 可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解 （3）通过轴对称来转化 例如：求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A 的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展 开，作点A关于杯口的对称点'A，根据“两 点之间，线段最短”可知'A B即为最短距

离 3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短 （2）勾股定理 4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图 二、应用举例 类型一通过平移来转化 【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？

【答案】13cm 【解析】 试题分析： 只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案. 试题解析： 解：展开图如图所示，22 =+= AB cm 51213 所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm 类型二通过旋转来转化

八年级最短路径问题归纳小结

八年级最短路径问题归纳 小结 Last revision on 21 December 2020

八年级数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的） 中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： ①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题． ②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径． 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查． 【十二个基本问题】

AM +MN +NB 的值最小． B ，交直线l 于点N ，将N 点向左平移a 个单位得M ． 【问题7】 作法 图形 原理 在1l 上求点A ，在2l 上求点B ，使PA +AB 值最小． 作点P 关于1l 的对称点P ＇，作P ＇B ⊥2l 于B ，交2l 于A ． 点到直线，垂线段最短． PA +AB 的最小值为线段P ＇B 的长． 【问题8】 作法 图形 原理 A 为1l 上一定点， B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使 AM +MN +NB 的值最小． 作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ． 两点之间线段最短． AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长． 【问题9】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最小． 连AB ，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P ． 垂直平分上的点到线段两 端点的距离相等． PB PA -＝0． 【问题10】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作直线AB ，与直线l 的交 点即为P ． 三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ． PB PA -的最大值＝ AB ． 【问题11】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点 即为P ． 三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤ AB ＇． PB PA -最大值＝ AB ＇． 【问题12】“费马点” 作法 图形 原理 △ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使PA +PB +PC 值最小． 所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求． 两点之间线段最短． PA +PB +PC 最小值＝ CD ． 【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．3B ．6 C ．3 D 6 2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．32 C ．32+ D ．4 A D E P B C

立体图形上的最短路径问题

第8讲 立体图形上的最短路径问题 一、方法技巧 解决立体图形上最短路径问题： 1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直” 2.“平面化”的基本方法： （1）通过平移来转化 例如：求A 、B 两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可 （2）通过旋转来转化 例如：求'A C 、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求 例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A 处绕圆锥一周回到A 点的最短距离 可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解 （3）通过轴对称来转化 例如：求圆柱形杯子外侧点B 到内侧点A 的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点A 关于杯口的对称点'A ，根据“两点之间，线段最短”可知'A B 即为最短距离 3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短 （2）勾股定理 4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图 二、应用举例 类型一 通过平移来转化 【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想要到B 点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少 【答案】13cm

试题分析： 只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案. 试题解析： 解：展开图如图所示，13AB cm == 所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm 类型二 通过旋转来转化 【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为8cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少 【答案】cm 412 【解析】 试题分析： 解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算. 试题解析： 解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开 铺平使矩形AA’B’B 与BB’C’C 相连，连接AC’，使E 点在AC’上（如图2） )(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++= 所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412 【难度】一般 【例题3】如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度. 【答案】34cm 【解析】 试题分析： 展开后连接SF ，求出SF 的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点S 作SE CD ⊥于E ，求出SE 、EF ，根据勾股定理求出SF 即可.

人教版八年级数学讲义最短路径问题(含解析)(2020年最新)

第6讲最短路径问题 知识定位 讲解用时：5分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径 问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。 知识梳理 讲解用时：20分钟 两点之间线段最短 C D A B E A地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？ 选A-B，因为两点之间，直线最短 垂线段最短 如图，点P是直线L外一点，点P与直线上各 点的所有连线中，哪条最短？ PC最短，因为垂线段最短

两点在一条直线异侧 A P L B 如图，已知A点、B点在直线L异侧，在L上选一点P，使PA+PB最短. 连接AB交直线L于点P，则PA+PB 最短. 依据：两点之间：线段最短 两点在一条直线同侧 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位 久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不 得其解的问题： 从图中的A地出发，到一条笔直的河边 l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 作法： 1、作B点关于直线L的对称点B’； 2、连接AB’交直线L于点C； 3、点C即为所求. 证明：在直线L上任意选一点C’（点C’不与C重合），连接AC’、BC’、B’C’. 在△AB’C’中， AC’+B’C’＞AB’ ∴AC’+BC’＞AC+BC 所以AC+BC最短.

课堂精讲精练 【例题1】 已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】根据作图的方法即可得到结论． 解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB的值最小， ∴D的作法正确， 故选：D． 讲解用时：3分钟 解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018 【练习1.1】 如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需

数学人教版八年级下册立体图形中的最短路径问题

立体图形中最短路径问题教案 第三实验中学刘春艳 1．教学目标 知识与技能目标 (1)学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念． 过程与方法目标 (1)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力． (2)在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想． 情感与态度目标 (1)通过有趣的问题提高学习数学的兴趣． (2)在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性． 2．教学重点 探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题． 3．教学难点 利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题． 4．教学方法： 引导—探究—归纳 本节课的教学对象是初二学生,他们的参与意识教强,思维活跃,为了实现本节课的教学目标,我力求以下三个方面对学生进行引导： （1）从创设问题情景入手,通过知识再现,孕育教学过程； （2）从学生活动出发,顺势教学过程； （3）利用探索研究手段,通过思维深入,领悟教学过程． 5、教学过程设计 本节课设计了七个环节．第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：归纳；第四环节：练习；第五环节：小结；第六环节：课后作业；第七环节：板书． 第一环节：情境引入 内容： 情景１：多媒体展示： 提出问题：为什么人们都喜欢走捷径？ 意图：通过情景１复习公理：两点之间线段最短并对学生进 行德育渗透； 第二环节：合作探究情景２：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东

西时留下了一点食物在B 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念． 在这个环节中，可引导学生从以下几方面解决 ⑴ 如何找最短路线？在哪个图形中找 ⑵ 哪儿是蚂蚁爬行的起点？ 哪是终点？ ⑶ 你们画的一样吗？还有不同的画法吗? ⑷ 如何计算? 接下来后提问：怎样计算AB ？得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题． 在Rt △AA′B 中，利用勾股定理可得222'B A A A AB +'=，若已知圆柱体高为12cm ，底面半径为3cm ，π取3，则22212(33),15AB AB =+?∴=. 第三环节：总结归纳 1、 展 ------（立体 平面） 2、找 --------起点， 终点 3、连--------路线 4、 算--------利用勾股定理 5、答 第四环节：练习 练习一：有一圆柱形油罐，底面周长是12米，高是5米，现从油罐底部A 点环绕油罐建梯子，正好到点A 的正上方点B ，问梯子最短需多 少米？ 练习二：有一圆形油罐底面圆的周长为16m ，高为7m ，一只蚂蚁 从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为 多少？ 练习三：如图,一圆柱高9cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从距上底面1厘米点A 爬到对角B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3）是( ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定

初二数学最短路径问题知识归纳+练习

初二数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： -①确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题．-②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． -③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径． 【问题原型】．“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．】【十二个基本问题

】1作法图形【问题原理 A A 两点之间线段最短．P l．交点即为P连AB，与l l PA+PB 最小值为AB．B B，使上求一点P在直线l 值最小．PA+PB 【问题2】“将军饮马”作法图形原理 A A B＇B关于作B l 的对称点两点之间线段最短．B

l l PA+PB 最小值为 A B P．＇．连A B ＇，与l 交点即为 P，使P在直线l 上求一点B' PA+PB 值最小． 3】作法图形原理【问题 P'l 1l 1 分别作点P 关于两直线的两点之间线段最短．M P PM +MN +PN 的最小值为对称点P＇和P＇，连P＇P＇，P l l l 、上2．M，P＇＇＇的长．N与两直线交点即为线段P 分别求点在直线l212N M 、N，使△PMN的周长P'' 最小． 4】作法【问题图形原理 l 1l1Q' Q关于直线分别作点Q 、P Q两点之间线段最短．MP l 、l P＇Q＇和的对称点21P周长的最小四边形PQMN l2＇，与两直线交点即Q连＇P值为线段P＇P＇＇的长．l 2、l l 上分别求点在直线．，N为M21N ，使四边形N 、M PQMN P' 的周长最小． 【问题5】“造桥选址”作法图形原理范文

勾股定理应用之立体图形最短距离 (2)

勾股定理应用之立体图形中的最短距离的教学 设计 一、教学目标 （一）知识目标 1．理解回顾直角三角形中三角之间的关系，掌握新知即三边之间关系。 2．会画立体图形展开图 （二）能力目标 1．能用“两点之间线段最短”解决实际问题。 2．通过勾股定理的简单应用，能用数学的眼光观察现实世界和有条理思考与表达的能力。 ﹙三﹚情感与价值观 培养学生参与的积极性，及合作交流的意识。学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，逐步体验数学说理的重要性。 在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气。引导学生积极探索，注意观察生活，体验生活中的数学。 通过了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情。 二、重点难点剖析 （一）重点 1．勾股定理的简单应用 2．在立体图形中寻找最短距离 （二）难点 1．在立体图形中寻找最短距离 2．理解化曲为直、化曲为平的数学思想 （三）难点突破 为了突出重点，突破难点，在应用勾股定理的过程中，按简单到繁琐、由特殊到一般的思想，引导学生步步深入。在教学中，给学生提供充分实践、探索和交流的时间，鼓励他们积极思考解决问题的办法，并与他人进行合作与交流。另外对练习的精选，也选择学生易错的题型，让他们养成仔细分析问题的习惯。三、教学策略及教法设计 （一）教学策略 课堂组织策略：创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，熟练运用勾股定理。 学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，从而真正有效地理解和掌握勾股定理。 辅助策略：借助多媒体课件，使学生直观形象地观察、动手操作。 （二）教法设计 探索法：让学生在探索中寻找最短距离，积累数学活动经验。