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本章介绍了线性方程组有解的充要条件和求解的方法

本章介绍了线性方程组有解的充要条件和求解的方法；为了在理论上深入的研究与此有关的问题，本章还引入了向量和向量空间的基本概念，介绍了向量的线性运算，讨论向量间的线性关系，向量的内积等有关概念和性质，并在此基础上，研究线性方程组解的性质和解的结构等问题。

一、一、线性方程组

1、Cramer法则

教材p64，定理2.1

2、线性方程组有解的判别定理

教材p72，定理2.3

3、线性方程组的消元解法

步骤：（1）对线性方程组的增广矩阵施以初等行变换，将其化为阶梯型矩阵

（2）如果系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，表明方程组无解；

如果相等，则表明有解，继续对阶梯型矩阵进行初等行变换，求出

方程的解。【详见p68】

初等行变换：

（1）（1）交换两方程的位置；

（2）（2）用一个非零数乘某一方程；

（3）（3）把一方程的若干倍加到另一方程去

4、消元法与Cramer法则的异同：在条件的限制上，Cramer法则仅适用于

方程数与未知数相等并且系数行列式不为零的情况，而消元法对此没有限制。即便是满足Cramer法则的要求，用消元法可以区分方程组无解还是有无穷多解，而Cremer法则却不能区分

二、二、向量及向量间的线性关系

（一）向量的定义

1、向量、行向量、列向量【教材p77，定义2.1】

2、零向量【教材p78,定义2.2】

3、向量的相等【教材p78,定义2.3】

4、向量的加法、减法【教材p78,定义2.3】

5、数乘向量【教材p78,定义2.5】

6、n维向量空间【教材p78,定义2.6】

7、n维向量空间的子空间【教材p78,定义2.7】

（二）向量间的线性关系

1、线性组合

（1）一个向量可表为一个向量组的线性组合，或称此向量可由此向量组线性表出【教材p80,定义2.8

（2）一个向量可表为一向量组的线性组合的充要条件：由它们做系数及常数项组成的线性方程组有解【教材p81】

（3）几个结论

a、n维零向量是任一n维向量组的线性组合

b、任一n维向量可由n 维基本单位向量组线性表示

c、向量组中的任一向量可由此向量组线性表示

2、向量组的线性相关与线性无关

（1）向量组的线性相关与线性无关的定义【教材p82:定义2.9,2.10】

(2)几个充要条件

Ⅰ向量组线性相关的充要条件由它们做系数组成的齐次线性方程组有非零解【教材p83】

Ⅱ向量组线性无关的充要条件由它们做系数组成的齐次线性方程组仅有零解【教材p83】

Ⅲ一个向量组线性相关的充要条件是由它们做系数组成的齐次线性方程组的系数行列式等于零【教材p83】

Ⅳ一个向量组线性无关的充要条件是由它们做系数组成的齐次线性方程组的系数行列式不等于零【教材p83】：

Ⅴ一个向量组线性相关的充要条件是此向量组中至少有一个向量可以表为其余向量的线性组合【教材p85：定理2.6】

Ⅵ一个向量组线性无关的充要条件是此向量组中每一个向量都不能表为其余向量的线性组合【教材p86：定理2.6 的推论】

Ⅶ若一向量可由一向量组线性表出，则表示法唯一的充要条件是此向量组线性无关

三、向量组

（一）向量组的极大无关组

1、向量组的极大无关组的定义【教材p89:定义2.11】

2、两向量组的等价【教材p90:定义2.12】

线性方程组有解的判别定理

非齐次线性方程组同解的讨论摘要本文主要讨论两个非齐次线性方程组有相同解的条件，即如何判定这两个非齐次线性方程组有相同的解. 关键词非齐次线性方程组同解陪集零空间引言无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题。下面是一个非齐次线性方程组，我们用矩阵的形式写出 11121121222212n n m m mn m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=? 令 A= 111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ???????????? ，b= 12m b b b ???????????? 。即非齐次线性方程组可写成Ax b =。一、线性方程组同解的性质引理 1 如果非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =同解，则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等. 证明设非齐次线性方程组Ax b =的导出组的基础解系为111,,,r ξξξ ，其中1 r 为矩阵[]A b 的秩，再设非齐次线性方程组Bx=d 的导出组的基础解系为 2 12,,,r ηηη ，其中2r 为矩阵[]B d 的秩，如果*η是非齐次线性方程组Ax=b 与Bx=d 特解，由于这两个方程组同解，所以向量组1*11,,,,r ξξξη 与向量组2*12,,,,r ηηηη 等价。从而这两个线性无关的向量组所含的向量个数相等，于是有12,r r =则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等. 引理[1]2 设A 、B 为m n ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解的充

线性方程组解的判定

1 / 3 第四节线性方程组解的判定从本节开始,讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解. 11112211211222221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++= ? (13—2）主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解?有解时解有多少?如何求出方程组的解。线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具,将带来极大的方便。方程组（13-2)中各未知量的系数组成的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ??????=?????? 称为方程组（13-2）的系数矩阵.由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即 11121121 222212n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ??????=?????? 方程组(13-2)中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量）,记作X ；常数项组成一个m 行、1列的矩阵（或列向量），记作b ，即12n x x X x ??????=??????,12m b b b b ??????=?????? 由矩阵运算,方程组（13—2)实际上是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ????????????12n x x x ????????????=12m b b b ???????????? 即 AX=b

Matlab线性方程组求解(Gauss消去法)

Matlab线性方程组求解 1. Gauss消元法： function x=DelGauss(a,b) % Gauss消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1; %存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 for i=k+1:n if a(k,k)==0 return end m=a(i,k)/a(k,k); for j=k+1:n a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j); end b(i)=b(i)-m*b(k); end det=det*a(k,k); %计算行列式 end det=det*a(n,n); for k=n:-1:1 %回代求解 for j=k+1:n b(k)=b(k)-a(k,j)*x(j); end x(k)=b(k)/a(k,k);

end Example: >> A=[1.0170 -0.0092 0.0095;-0.0092 0.9903 0.0136;0.0095 0.0136 0.9898]; >> b=[1 0 1]'; >> x=DelGauss(A,b) x = 0.9739 -0.0047 1.0010 2. 列主元Gauss消去法： function x=detGauss(a,b) % Gauss列主元消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1; %存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 amax=0; %选主元 for i=k:n if abs(a(i,k))>amax amax=abs(a(i,k));r=i; end end if amax<1e-10 return; end if r>k %交换两行 for j=k:n

线性方程组的解法

线性方程组的解法 1 引言在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解。在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解形如Ax= b的大型线性方程组。而如插值公式，拟合公式等的建立，微分方程差分格式的构造等，均可归结为求解线性方程组的问题．在工程技术的科学计算中，线性方程组的求解也是最基本的工作之一．因此，线性方程组的解法一直是科学和工程计算中研究最为普遍的问题，它在数值分析中占有极其重要的地位。20世纪50年代至70年代，由于电子计算机的发展，人们开始考虑和研究在计算机上用迭代法求线性方程组Ax =b的近似解，用某种极限过程去逐渐逼近精确解，并发展了许多非常有效的迭代方法，迭代法具有需要计算机存储单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。例如Jacobi方法、Gauss—Seidel 方法、SOR方法、SSOR 方法，这几种迭代方法是最常用的一阶线性定常迭代法。 2 主要算法 20世纪50年代至70年代，人们开始考虑和研究用迭代法求解线性方程组。 Ax = b (1) 的近似解，发展了许多有效的方法，其中有Jacobi方法、Gauss—Seidel方法，SOR方法、SSOR方法，这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A的一个分裂：A =M-N ；M 为可逆矩阵，线性方程组(1)化为： (M－N)X =b； →M X = NX + b； →X= M -1NX+ M-1b 得到迭代方法的一般公式： X（k+1）=HX（k）+d （2）其中：H =MN-1，d=M-1b，对任意初始向量X（0）一阶定常迭代法收敛的充分必要条件是: 迭代矩H的谱半径小于1，即ρ(H) < 1；又因为对于任何矩阵范数恒有ρ(H)≤‖H‖，故又可得到收敛的一个充分条件为：‖H‖< 1。 2.1 Jacobi迭代法若D为A的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为零。系数矩阵A的一个分解：A =

线性方程组解的情况及其判别准则

摘要：近年来，线性代数在自然科学和工程技术中的应用日益广泛，而线性方程组求解问题是线性代数的基本研究内容之一，同时它也是贯穿线性代数知识的主线。本文探究了线性方程组一般理论的发展，用向量空间和矩阵原理分析了线性方程组解的情况及其判别准则。介绍了线性方程组理论在解决解析几何问题中的作用，举例说明了线性方程组解的结构理论在判断空间几何图形间位置关系时的便利之处。关键字:线性方程组；解空间；基础解系；矩阵的秩 Abstract:In recent years, linear algebra in science and engineering application, and wide linear equations solving problems is the basic content of linear algebra, at the same time, it is one of the main knowledge of linear algebra.This article has researched the development of system of linear equations theory,discussed the general theory of linear equations, vector space with the development and matrix theory to analyze the linear equations and the criterion of the situation. Introduces the theory of linear equations in solving the problem of analytic geometry, illustrates the role of linear equations of structure theory in judgment space relation between the geometry of the convenience of position. space geometric figure between time the position relations with theory of the system of linear equation with examples. Key words: linear equations, The solution space, Basic solution, Matrix rank

线性方程组解的判定

第四节线性方程组解的判定从本节开始，讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解。 11112211211222 22 11 22n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+ ++= ????+++=? （13—2）主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解？有解时解有多少？如何求出方程组的解。线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具，将带来极大的方便。方程组（13-2）中各未知量的系数组成的矩阵11121212221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ? ?? ? ? ?=?? ?? ? ? 称为方程组（13-2）的系数矩阵。由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即 11121121 222212 n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ?? ????=??? ??? 方程组（13-2）中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量），记作X;常数项组成一个m 行、1 列的矩阵(或列向量），记作b ，即12n x x X x ??????=?????? ,12 m b b b b ?? ????=?????? 由矩阵运算，方程组(13-2)实际上是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? 12n x x x ???????????? =12m b b b ???????????? 即 AX=b

解线性方程组的直接解法

解线性方程组的直接解法一、实验目的及要求关于线性方程组的数值解法一般分为两大类：直接法与迭代法。直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步运算来求方程组解的方法。通过本次试验的学习，应该掌握各种直接法，如：高斯列主元消去法，LU分解法和平方根法等算法的基本思想和原理，了解它们各自的优缺点及适用范围。二、相关理论知识求解线性方程组的直接方法有以下几种： 1、利用左除运算符直接求解线性方程组为b x\ =即可。 A Ax=，则输入b 2、列主元的高斯消元法程序流程图：输入系数矩阵A，向量b，输出线性方程组的解x。根据矩阵的秩判断是否有解，若无解停止；否则，顺序进行；对于1 p :1- =n 选择第p列中最大元，并且交换行；消元计算；回代求解。（此部分可以参看课本第150页相关算法） 3、利用矩阵的分解求解线性方程组（1）LU分解调用matlab中的函数lu即可，调用格式如下： [L,U]=lu（A）注意：L往往不是一个下三角，但是可以经过行的变换化为单位下三角。（2）平方根法

调用matlab 中的函数chol 即可，调用格式如下： R=chol （A ）输出的是一个上三角矩阵R ，使得R R A T =。三、研究、解答以下问题问题1、先将矩阵A 进行楚列斯基分解，然后解方程组b Ax =(即利用平方根法求解线性方程组，直接调用函数)： ??????? ??--------=19631699723723312312A ，?????? ? ??-=71636b 解答：程序： A=[12 -3 2 1;-3 23 -7 -3;2 -7 99 -6;1 -3 -6 19]; R=chol(A) b=[6 3 -16 7]'; y=inv(R')*b %y=R'\b x=inv(R)*y %x=R\y 结果： R =3.4641 -0.8660 0.5774 0.2887 0 4.7170 -1.3780 -0.5830 0 0 9.8371 -0.7085 0 0 0 4.2514 y =1.7321 0.9540 -1.5945 1.3940 x =0.5463 0.2023 -0.1385 0.3279 问题 2、先将矩阵A 进行LU 分解，然后解方程组b Ax =（直接调用函数）： ?????????? ??----=8162517623158765211331056897031354376231A ，????????? ? ??-=715513252b

线性方程组的解法及其应用

线性方程组的解法及其应用 The solution of linear equation and its application 专业：测控技术与仪器班级： 2010-1班作者：刘颖学号： 20100310110105

摘要线性方程组是线性代数的一个重要组成部分，也在现实生产生活中有着广泛的运用，在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要的作用。在一些学科领域的研究中，线性方程组也有着不可撼动的辅助性作用，在实验和调查后期利用线性方程组对大量的数据进行处理是很方便简捷的选择。本文主要围绕如何解线性方程组来进行讲解，对于不同类型的线性方程组的不同方法，并简述线性方程组的一些实际应用。关键词：齐次线性方程组，非齐次线性方程组，克莱姆法则，消元法，矩阵，矩阵的秩，特解，通解。

Abstract Linear equations linear algebra is one of the important component parts, and in real life has extensive production use，and it plays an important role in electronic engineering, software development, personnel management, transportation, etc. In some discipline study, it also has the reigns of linear equations of the auxiliary function.In experiment and survey using the linear equations of the late on the data processing is very convenient simple choice. This article, focusing on how to solve linear equations to explain, for different types of linear equations of different methods, and briefly introduces some of the practical application of linear equations. Keywords: Homogeneous linear equations, Non homogeneous linear equation,Clem’s law,Elimination method,Matrix,Rank of matrix,Special solution,General solution.

线性方程组的公共解

线性方程组的公共解问题：如何求解线性方程组的公共解？线性方程组是高代学习的一个重点内容，它的一般形式为 ???????=+++=+++=+++bs asnxn x as x as b nxn a x a x a b nxn a x a x a ...2211... ,22...222121,11...212111 而线性方程组的求解也是这部分学习的重点和难点。其中求解线性方程组的公共解也是高等代数学习所必须掌握的一个知识点。例1、证明：对于n 元齐次线性方程组（Ⅰ）AX=0与（Ⅱ）BX=0，有非零公共解的充要条件是r(B A )

???=-=+0 42031x x x x 又已知某齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为 k1(0,1,1,0)’+k2(-1,2,2,1)’ 问（Ⅰ）与（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有公共解，若没有，则说明理由。（出自2005年中科院）解：方法一：将（Ⅱ）的通解代入方程组（Ⅰ）得 ???=+=+0 21021k k k k 解得k1=-k2,故方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解，所有非零公共解为k （1,1,1,1）’，k ≠0为任意常数方法二：令方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的通解相同，即 k1（0,1,1，0）’+k2(-1,2,2,1)’=k3(-1,0,1,0)’+k4(0,1,0,1)’ 得到关于k1,k2,k3,k4的一个方程组 ???????=-=-+=-+=-0 420 422103221032k k k k k k k k k k 可求其通解为（k1,k2,k3,k4)’=k(-1,1,1,1)’ 将k1=-1,k2=k 代入（Ⅰ）的通解可得所有非零公共解为k （1,1,1,1）’，k ≠0为任意常数方法三：方程组（Ⅱ）可以是 ? ??=+=+-041032x x x x 解（Ⅰ）与（Ⅱ）的联立方程组可得所有非零公共解为k （1,1,1,1）’，k ≠0为任意常数韩梦雪 20132113429

本章介绍了线性方程组有解的充要条件和求解的方法

本章介绍了线性方程组有解的充要条件和求解的方法；为了在理论上深入的研究与此有关的问题，本章还引入了向量和向量空间的基本概念，介绍了向量的线性运算，讨论向量间的线性关系，向量的内积等有关概念和性质，并在此基础上，研究线性方程组解的性质和解的结构等问题。一、一、线性方程组 1、Cramer法则教材p64，定理2.1 2、线性方程组有解的判别定理教材p72，定理2.3 3、线性方程组的消元解法步骤：（1）对线性方程组的增广矩阵施以初等行变换，将其化为阶梯型矩阵（2）如果系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，表明方程组无解；如果相等，则表明有解，继续对阶梯型矩阵进行初等行变换，求出方程的解。【详见p68】初等行变换：（1）（1）交换两方程的位置；（2）（2）用一个非零数乘某一方程；（3）（3）把一方程的若干倍加到另一方程去 4、消元法与Cramer法则的异同：在条件的限制上，Cramer法则仅适用于方程数与未知数相等并且系数行列式不为零的情况，而消元法对此没有限制。即便是满足Cramer法则的要求，用消元法可以区分方程组无解还是有无穷多解，而Cremer法则却不能区分二、二、向量及向量间的线性关系（一）向量的定义 1、向量、行向量、列向量【教材p77，定义2.1】 2、零向量【教材p78,定义2.2】 3、向量的相等【教材p78,定义2.3】 4、向量的加法、减法【教材p78,定义2.3】 5、数乘向量【教材p78,定义2.5】

6、n维向量空间【教材p78,定义2.6】 7、n维向量空间的子空间【教材p78,定义2.7】（二）向量间的线性关系 1、线性组合（1）一个向量可表为一个向量组的线性组合，或称此向量可由此向量组线性表出【教材p80,定义2.8 （2）一个向量可表为一向量组的线性组合的充要条件：由它们做系数及常数项组成的线性方程组有解【教材p81】（3）几个结论 a、n维零向量是任一n维向量组的线性组合 b、任一n维向量可由n 维基本单位向量组线性表示 c、向量组中的任一向量可由此向量组线性表示 2、向量组的线性相关与线性无关（1）向量组的线性相关与线性无关的定义【教材p82:定义2.9,2.10】 (2)几个充要条件 Ⅰ向量组线性相关的充要条件由它们做系数组成的齐次线性方程组有非零解【教材p83】 Ⅱ向量组线性无关的充要条件由它们做系数组成的齐次线性方程组仅有零解【教材p83】 Ⅲ一个向量组线性相关的充要条件是由它们做系数组成的齐次线性方程组的系数行列式等于零【教材p83】 Ⅳ一个向量组线性无关的充要条件是由它们做系数组成的齐次线性方程组的系数行列式不等于零【教材p83】： Ⅴ一个向量组线性相关的充要条件是此向量组中至少有一个向量可以表为其余向量的线性组合【教材p85：定理2.6】 Ⅵ一个向量组线性无关的充要条件是此向量组中每一个向量都不能表为其余向量的线性组合【教材p86：定理2.6 的推论】 Ⅶ若一向量可由一向量组线性表出，则表示法唯一的充要条件是此向量组线性无关三、向量组

非齐次线性方程组同解的判定和同解类

非齐次线性方程组同解的判定和同解类摘要本文主要讨论两个非齐次线性方程组同解的条件及当两个非齐次线性方程组的导出组的解空间相同时解集之间的关系。关键词非齐次线性方程组同解陪集引言无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题. 预备知识定理1设,A B 是向量组C 两个线性无关的极大组，则存在可逆矩阵P ,使得 B PA =。定理2设A 、B 为m n ?矩阵，且秩A =秩B ，如果存在矩阵C ,使得 CA B = 则存在m m ?可逆矩阵P ，使得 PA B = 证明设秩A =秩B =r ，则存在可逆矩阵1P 与Q 使 011A P A A ??=????, 01B QB B ??=???? 其中0A ，0B 分别为秩数等于r 的r n ?矩阵，由于B CA =，则B 的行可由A 的行线性表出，从而B 的行可由0A 的行线性表出，进而0B 的行可由0A 的行线性表出，于是矩阵00A B ?? ???? 的行向量组的极大线性无关组为0A 的各行，因为0B 的各行线性无关且秩0B r =，所以0B 的各行亦构成一个线性无关组，则存在可逆矩阵r P 使得 00r B P A = 又设 110A C A =，12020r B C B C P A == 令 221 0r r n r P P C P C I -?? =? ?-?? 则1P 为可逆矩阵，且

线性方程组的直接解法

第2章线性方程组的直接解法 2.1实验目的理解线性方程组计算机解法中的直接解法的求解过程和特点，学习科学计算的方法和简单的编程技术。 2.2概念与结论 1. n阶线性方程组如果未知量的个数为 n ,而且关于这些未知量x1,x2, …,x n的幂次都是一次的(线性的)那末, n 个方程 a11x1+a12x2+ … +a1n x n=b1 ┆┆┆ (1) a n1x1+a n2x2+ … +a nn x n= b n 构成一个含n个未知量的线性方程组,称为n阶线性方程组。其中,系数a11,…,a1n,a21, …,a2n, …,a n1, …,a nn 和b1, …,b n都是给定的常数。方程组(1)也常用矩阵的形式表示,写为 Ax=b 其中,A是由系数按次序排列构成的一个n阶矩阵,称为方程组的系数矩阵,x和b都是n维向量,b称为方程组的右端向量。 2. n阶线性方程组的解使方程组(1)中每一个方程都成立的一组数x1*,x2*, …,x n*称为式(1)的解,把它记为向量的形式,称为解向量. 3.一些特殊的线性方程组 1) 上三角方程组 2) 三对角方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - n n nn n n n n n n n n b b b x x x a a a a a a a a a a a a 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 23 22 1 1 1 13 12 11

4.矩阵的Doolittle 分解 5.Doolittle 分解的紧凑格式 6．矩阵的Crout 分解 ????????? ? ??=?????????? ???????????? ? ?--n n n n n n d d d x x x b a c b c b a c b a c b 21 2111333 22211???? ?? ? ? ???????? ??=??????? ??nn n n n n nn n n n n u u u u u u l l l a a a a a a a a a 222 11211 2 1 21 2 1 2222111211111 ???? ?? ? ? ???????? ??=??????? ??11 1 21122 1 2221 11 2 1 2222111211 n n nn n n nn n n n n u u u l l l l l l a a a a a a a a a ????? ?? ? ??nn n n n n n n u l l l u u l l u u u l u u u u 3 2 1 333323122322211131211

线性方程组解的判定与解的结构

***学院数学分析课程论文线性方程组解的判定与解的结构院系数学与统计学院专业数学与应用数学（师范）姓名******* 年级 2009级学号200906034*** 指导教师 ** 2011年6月

线性方程组解的判定与解的结构姓名****** （重庆三峡学院数学与计算机科学学院09级数本？班）摘要：线性方程组是否有解，用系数矩阵和增广矩阵的秩来刻画．在方程组有解且有多个解的情况下，解的结构就是了解解与解之间的关系．关键词：矩阵；秩；线性方程组；解引言通过系数矩阵和增广矩阵的秩是否相同来给出判定线性方程组的解的判别条件．在了解了线性方程组的判别条件之后，我们进一步讨论解的结构．对于齐次线性方程组，解的线性组合还是方程组的解．在线性方程组有无穷个解时可用有限多个解表示出来．另外以下还涉及到线性方程组通解的表达方式． 1 基本性质下面我们分析一个线性方程组的问题，导出线性方程组有解的判别条件．对于线性方程组 1111221121122222 1122n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++???+=??++???+=???????++???+=? (1) 引入向量 112111s αααα??????=?????????，122222s αααα??????=?????????，…12n n n sn αααα??????=????????? ，12s b b b β?? ?? ??=??????? ?? 方程（1）可以表示为 1122n n x x x αααβ++???+= 性质线性方程组⑴有解的充分必要条件为向量β可以表成向量组α1,α2,…，αn 的线性组合. 定理1 线性方程组⑴有解的充分必要条件为它的系数矩阵

线性方程组解的判定

第四节线性方程组解的判定从本节开始,讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解。 11112211211222221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++= ? (1３—2) 主要问题就是要判断出方程组(１3－２)何时有解?何时无解?有解时解有多少?如何求出方程组的解。线性方程组有没有解,以及有怎样的解,完全决定于方程组的系数与常数项。因此,将线性方程组写成矩阵形式或向量形式,以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具,将带来极大的方便。方程组(13-2)中各未知量的系数组成的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ??????=?????? 称为方程组(1３－2)的系数矩阵。由各系数与常数项组成的矩阵,称为增广矩阵,记作A ,即 11121121 222212n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ??????=?????? 方程组(１3-2)中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵(或列向量),记作Ｘ;常数项组成一个m 行、１列的矩阵(或列向量),记作ｂ,即12n x x X x ??????=??????,12m b b b b ??????=?????? 由矩阵运算,方程组(13-2)实际上就是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ????????????12n x x x ????????????=12m b b b ???????????? 即 AX ＝ｂ

线性方程组的求解方法与应用

湖北民族学院理学院2016届本科毕业论文(设计) 线性方程组的求解方法及应用学生姓名：付世辉学号： 0 专业：数学与应用数学指导老师：刘先平答辩时间：装订时间：

A Graduation Thesis (Project) Submitted to School of Science, Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree In the Year of 2016 The calculation method and application of the system of linear equations Student Name: Fu Shihui Student No.: 0 Specialty:Mathematics And Applied Mathematics Supervisor: Liu Xianping Date of Thesis Defense:Date of Bookbinding:

摘要线性方程组在数学领域中的应用非常广泛，是线性代数的主要内容之一. 矩阵及其基本理论是学习线性代数的一种基本工具，矩阵的初等变换则是线性方程组求解的工具. 线性方程组常用的求解方法有一般消元法、克拉默法则、LU分解法等一系列方法，根据问题的不同，我们在求解的过程中选择的方法也就多种多样. 这些方法可以很好地解决线性方程组的求解问题，在求解过程中，向量和矩阵起着一个不可或缺的作用. 在线性方程组的应用方面，除了跟数学理论知识有着密不可分的联系，还和我们的实际生活联系的极其紧密. 关键词：线性方程组，矩阵，初等变换，克拉默法则，LU分解法

线性方程组的几种求解方法

线性方程组的几种解法线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量。现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x 1的系数化为1 得再将(2)、(3)式中x 1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1) 得 )1(32)2( (03) 4 32=+x x )1(321)1(......23132=++ x x x

由(3)-4×(1)(1) 得第二步：将(2)(1) 除以2/3，使x 2系数化为1，得再将(3)(1) 式中x 2系数化为零，即由(3)(1) -(-14/3)*(2)(2) ，得第三步：将(3)(2) 除以18/3，使x 3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3) 得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2) 得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1) 得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T （三）、用矩阵演示进行消元过程第一步：先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1）将某行同乘或同除一个非零实数 ) 3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63) 18-=x ) 2(32) 2(......02=+x x ) 1(32)3( (63) 10 314-=-- x x

（2）将某行加入到另一行（3）将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形式如下：示例：（四）高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为 1．消元（1）令 a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n） b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行 l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n） a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n） b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n） 2．回代若a nn(n) ≠0 x n = b n(n) / a nn(n) x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n ) （五）高斯消元法的条件消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。注意A的顺序主子式D i（i=1,2,…,n）,在消元的过程中不变，这是因为消元所作的变换是“将某行的若干倍加到另一行”。若高斯消元法的过程进行了k-1步(a ii(i) ≠0,i

对线性方程组条件数的讨论

对线性方程组条件数的讨论 [摘要] 本文主要研究了线性方程组的病态问题，讨论衡量线性方程组病态问题的一个量—条件数，条件数对解的影响及条件数对数值算法中停机条件的影响；以Hilbert矩阵为例进行验证和讨论。 [关键字] 病态问题条件数范数奇异值分解 1.前言在许多工程物理与力学问题中经常碰到的病态线性方程组[2]的求解问题，病态线性方程组在不同情形下需要不同的解法，才能得到更好的效果，当病态线性方程组较小型时，使用传统的数值算法求解会减轻求解过程中的计算量及避免浪费资源．但当遇到大型病态线性方程组时，因为其条件数太大，此算法的收敛性很差，若继续使用传统的数值算法求解，而很难得到满意的结果．诸如此类的问题,均可从数学上归结为病态问题。 2.病态问题对某数学问题本身，如果输入数据有微小扰动（即误差），引起输出数据（即问题的解）的很大扰动，称此数学问题为病态问题[1]。这是数学问题本身的性质决定的，与算法无关。例如：即有0.01的扰动，对结果产生232.67倍的误差。这里并没涉及具体的算法，是问题本身的性质造成的。实际上1.5接近，而在附近，是一个病态问题。算法的稳定性如果误差增长并不是数学问题本身引起，而是算法选择不当所致。则称此算法稳定性不好。例如：选择用差商近似代替微商，取步长，用四位有效数字作近似计算，结果明显很差。这里并不是因为取得不够小的原因，如，将只能得到，结果更差。这是因为用相近数相减，损失了大量有效数位的原故。 3. 条件数线性代数计算中,如求线性方程组的解，计算得到的解（计算解）通常是近似的。其原因一是系数矩阵和右端项往往由观测或计算得到，因而产生（数据）误差；另一个是求解计算过程出现舍入误差。下面来研究方程组的数据（或）的

数值分析讲义——线性方程组的解法

数值分析讲义第三章线性方程组的解法 §3.0 引言 §3.1 雅可比(Jacobi)迭代法 §3.2 高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法 §3.3 超松驰迭代法§3.7 三角分解法 §3.4 迭代法的收敛性§3.8 追赶法 §3.5 高斯消去法§3.9 其它应用 §3.6 高斯主元素消去法§3.10 误差分析 §3 作业讲评3 §3.11 总结

§3.0 引言重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和科学计算中具有特殊的地位和作用.如弹性力学、电路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商业经济中的各种问题. 分类：线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法. (a) 直接法：对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解.最基本的直接法是Gauss消去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的启发.计算代价高. (b) 迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的近似序列.收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速度与误差估计问题.简单实用,诱人.

§3.1 雅可比Jacobi 迭代法 (AX =b ) 1 基本思想: 与解f (x )=0 的不动点迭代相类似,将AX =b 改写为X =BX +f 的形式,建立雅可比方法的迭代格式：X k +1=BX (k )+f ,其中，B 称为迭代矩阵.其计算精度可控,特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices)的方程组. 2 问题: (a) 如何建立迭代格式？ (b) 向量序列{X k }是否收敛以及收敛条件? 3 例题分析: 考虑解方程组??? ??=+--=-+-=--2.453.82102 .72103 21321321x x x x x x x x x (1) 其准确解为X *={1, 1.2, 1.3}. 建立与式(1)相等价的形式： ??? ??++=++=++=84.02.01.083.02.01.072 .02.01.02 13312321x x x x x x x x x (2) 据此建立迭代公式： ?????++=++=++=+++84 .02.01.083.02.01.072.02.01.0)(2)(1)1(3 )(3 )(1)1(23)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (3) 取迭代初值0) 0(3 )0(2)0(1===x x x ,迭代结果如下表. JocabiMethodP31.cpp

求解线性方程组的几种方法

§1 消元法引例求解线性方程组 ?????=++=++=++288338 219432321321321x x x x x x x x x （1.1）解: 用i r 表示方程组中的第i 个方程，采用消元法求解此线性方程组：方程组（1.1）???→??21r r ?????=++=++=++2883319 43282321321321x x x x x x x x x ?? ???==+=++??????→?--423 0823,23323211312x x x x x x r r r r （1.2） ?????===???????→?÷+-23 12),(3213321x x x r r r r （1.3）由于方程组(1.1)与(1.3)同解，从而得到(1.1)的解T x x x x ),,(321=T )2,3,1(= 定义以下变换1，2，3称为线性方程组的初等变换。 1．将某一方程乘以一个非零的倍数； 2．将某一方程的某个倍数加到另外一方程上去； 3．对调两方程的位置。命题初等变换总是把方程组变成同解的方程组。用消元法求解线性方程组的过程：首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的恒等式“0=0”（如果出现的话）去掉。如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一个非零的数，那么方程组无解，否则有解。在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数小于未知量的个数，那么方程组有无穷多个解。定理在齐次线性方程组 111122121122221122000 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=????+++=?L L L L L L L L L L L L L L 中，如果s