圆系方程的一个证明

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圆系方程的一个证明

作者：袁亮

来源：《中学教学参考·理科版》2014年第02期

圆的标准方程告诉我们要确定一个圆需要两个条件——圆心和半径，但是经常在确定圆心的时候就非常困难，特别是遇到两个相交圆问题时更是困难.而当两个圆一旦相交其实经过这

两个相交圆的圆方程就应该与已知两圆的方程有关，经过推导可以得到如下结论：设⊙A：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，

⊙B：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，

那么过两圆交点的圆系方程可表示为

结论1：

m（x2+y2+D1x+E1y+F1）+n（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0且m+n=1，

当系数m≠0时，式子可变形为

实际从两个结论的式子形式可以看出，结论1不仅能够表示包括过两交点的所有圆的方程，而且根据m+n=1可知式子也只有一个系数，而结论2不能表示已知圆B.比较之下结论1

的效果更好一些，下面笔者给出结论1的一个证明.

证明：由条件可知既然是过两圆的交点，则两已知圆必相交，因而可通过两圆方程相减的方式得到两圆公共弦所在直线方程

l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0. ①

那么以后经过此两点的所有圆都必须要具有此条公共弦，即若设⊙C：

x2+y2+D3x+E3y+F3=0为圆系中的任何一个圆，那么圆C与圆A所确定的公共弦所在直线也

为l，故利用圆C与圆A方程相减可得到方程

（D3-D1）x+（E3-E1）y+（F3-F1）=0. ②

则①式和②式应表示同一条直线，则有对应系数成比例，即

若设1-k=m，则结论1得证.