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山东省武城县第二中学人教B版高二数学习题必修四《第三章三角恒等变换》专项训练

高一数学三角恒等变换专题训练

一、两角和与差的余弦

公式

题型与方法：

（一）利用两角和与差的余弦公式化简. 例1．化简2cos10sin 20cos 20?-?

（二）利用两角和与差的余弦公式求值. 例2．（1）cos(75)-?；

（2）cos(20)cos(40)cos(70)sin(40)x x x x +?-?+-?-?.

例3．已知cos(2)2αβ-=

，sin(2)2

αβ-=，且42ππα<<，04πβ<<，求

cos()αβ+的值.

（三）利用两角和与差余弦公式求角.

方法归纳（一般步骤）：（1）求角的某一个三角函数值；（2）确定角的范围；

（3）根据角的范围写出需求的角.

例4．已知锐角,αβ，sin 510αβ==，求αβ+的值.

例5．已知ABC ?中，4sin 5C =，2

cos 3

B =-，求cos A .

二、两角和与差的正弦公式：

，

题型与方法：（一）化简求值

例1.

（二）辅助角公式的应用.sin cos )a x b x x ?+=+ (tan )b a

?= 例2．常见特殊角的式子化简：

sin cos x x +=

sin cos x x -=

sin x x = sin x x =

cos x x -=

cos x x +=

3cos x x -= 3sin x x =

cos x x =

sin x x -=

例3．（1）当[,]22

x ππ

∈-时函数()sin f x x x =的最大值为

，最小值

为

（2）函数cos(

2)sin 23

y x x π

=-+的最小正周期是

（3）已知关于x 的方程sin cos 0x x k ++=在[0,]x π∈上有解，则实数k 的取值范围为

（三）三角恒等式的证明.

例4．已知tan()2tan αββ+=，求证：3sin sin(2)ααβ=+.

（四）两角和与差的正弦、余弦公式的综合应用. 例5．在ABC ?中，已知cos cos tan sin sin B C

A C B

-=-，试判断ABC ?的形状.

例6．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=

三、两角和与差的正切

公式：tan()αβ+=

t a n (α

β-=

公式变形：tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+ tan tan tan tan tan()tan()αβαβαβαβ+++=+

tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+ tan tan tan tan tan()tan()αβαβαβαβ---=- （一）公式应用求值.

例1．（1）tan15?；（2）tan 75?.

例2．（1）tan10tan50tan50?+??；（2

（二）利用公式求角.

例3．设方程2

40x ++=的两根为tan ,tan αβ，且0||2

α<

<，0||2

β<<

，求αβ

+的值.

（三）综合应用.

例4．已知A B 、是ABC ?的两个内角，tan tan A B 、

是方程2(1)0x mx m +++=的两个实根，求实数m 的取值范围.

四、倍角公式

sin 2α= cos 2α=

＝

tan 2α=

公式的变形：由sin 22sin cos ααα=，得1

sin cos sin 22

ααα= 21sin (sin cos )22

α±=± 2

1cos 2cos 2αα+=

，2

1cos 2sin 2

αα-= 例1．求下列各式的值.

（1）sin 75cos 75??；（2）2

cos 15sin 15?-?；（3）sin10sin 30sin 50sin 70????.

例2．化简：

例3．（1）已知函数22()sin cos 2cos ,f x x x x x x R =+∈，求函数()f x 的 ①最小正周期；②单调区间；③最值.

（2）求函数()cos 22sin f x x x =+的最大值和最小值.

（3）已知2211()sin sin cos cos sin(),(0)222

f x x x π

????π=

+?-+<<，其图象过点1

(

,)62

π.

①求?的值；

②将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的

，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在[0,]4

上的最大值和最小值.

五、半角的正弦、余弦和正切公式

公式：sin

＝

cos

＝

tan

＝

sin 1cos αα+＝1cos sin α

（一）应用公式求值

例1．求下列各式的值：（1）cos75?；（2）sin 67.5?；（3）tan112.5?

例2．已知4sin 5α=，α是第二象限角，求tan 2

例3．已知43sin ,52παπα=-<<，求sin ,cos ,tan 222

ααα的值.

（二）应用公式化简例4．化简下列各式：（1

3(,2)2παπ∈；

（2）

222

cos sin 2cot(

)cos (

)

ααπ

αα-+-

（三）公式的总合运用

例5．已知2

∈.

=-++，x R

f x x x x

()4cos cos5

f x取得最大值时x的集合；

（1）求()

f x的单调递增区间.

（2）求()

2020-2021学年山东省德州市武城二中高一上第三次月考生物试卷

2020-2021学年山东省德州市武城二中高一上第三次月考生物试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．关于酶的性质，下列表述中错误的一项是（） A．化学反应前后，酶的化学性质和数量保持不变 B．一旦离开活细胞，酶就失去催化能力 C．酶是活细胞产生的一类生物催化剂，其中大多数酶为蛋白质，少数是RNA D．酶的催化效率很高，但受温度、酸碱度的影响 2．能够催化淀粉酶水解的酶是（） A．淀粉酶B．脂肪酶 C．蛋白酶D．麦芽糖酶 3．在培养皿底部铺上棉花,豌豆的种子放在棉花上。实验过程与结果如下表所示; 1

以上实验最能证明种子发芽需要（） A．阳光B．空气C．温度D．水 4．20世纪80年代科学家发现了一种RNasep酶，该酶由20%的蛋白质和80%的RNA 组成。如果将这种酶中的蛋白质除去，并提高Mg2+的浓度，他们发现留下来的RNA仍然具有与这种酶相同的催化活性，这一结果表明（） A．RNA具有生物催化作用 B．酶是由RNA和蛋白质组成的 C．酶的化学本质是蛋白质 D．绝大多数的酶是蛋白质，少数是RNA 5．纺织工业上的褪浆工序常用两种方法：化学法，需用NaOH7克/升～9克/升，在70～80℃条件下作用12小时，褪浆率仅为50%～60%；加酶法，用少量细菌淀粉酶，在适宜温度时只需5分钟，褪浆率达100%，这一事实说明() A．酶具有多样性B．酶具有高效性 C．酶具有专一性D．酶具有溶解性 6．如图表示某化学反应过程中，生成物的量与时间的关系，图中a、b、c三条曲线不能反映下列哪种因素对生成物的量的影响()

新人教版高中数学必修5知识点总结(详细)

高中数学必修5知识点总结第一章解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若 222a b c +<，则90C >．注：正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标

新人教版高二数学下学期期中考试试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数 =（） A．B．C．D． 2. 下列有关命题的说法正确的是（） A．命题“若 =1,则x=1的否命题为” 若“ =1,则x 1 ” B．若为真命题，则，均为真命题 C．命题“ 使得+x+1 ”的否定是：“ 均有+x+1 ” D．命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题 3. 曲线在点处的切线方程是( ) A. B．C．D． 4. 下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是( ) A. B. C. D. 5. 已知抛物线的准线与圆相切，则的值为( ) A． B．1 C．2 D．4 6. 设是函数的导函数, 的图象如右图所示，则的图象最有可能的是( ) 7. 执行下面的程序框图，输出的S 值为（） A． B． C． D ． 8. 右侧茎叶图表示的是甲、乙两人在5次

综合测评中的成绩，其中一个数字被污损. 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（） A．B． C． D． 9. 若，则的单调递增区间为（） A．B．C．D． 10.椭圆的两顶点为，且左焦点为，是以角为直角的直角三角形，则椭圆的离心率为（） A. B． C. D． 11. 已知R上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（） A．B． C． D． 12. 已知点是椭圆上的动点，为椭圆的两个焦点，是坐标原点，若是的角平分线上一点，且，则的取值范围是（） A．B．C． D．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校. 14. 以F1（-3，0）、F2（3，0）为焦点，渐近线方程为的双曲线的标准方程是 __________________; 15. 已知函数在处的切线与直线平行，则 =_____； 16. 已知函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围是__________________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）设互为共轭复数，满足，且在复平面内对应的点在第一象限，求 . 18.（本小题满分12分）直线过抛物线的焦点F，是与抛物线的交点，若 , 求直线的方程. 19 .（本小题满分12分）已知p：，q：x2－2x＋1－m2 0(m>0)，若 p是 q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围． 20.（本小题满分12分）有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，5. 同时投掷这两枚玩具一次，记为两个朝上的面上的数字之和. （1）求事件“m不小于6”的概率；（2）“m为奇数”的概率和“m为偶数”的概率是不是相等？证明你作出的结论.

高中数学必修五知识点总结【经典】

《必修五知识点总结》第一章：解三角形知识要点一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系（1）三角形内角和等于180°；（2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+=

（3）三角形中大边对大角，小边对小角；（4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形（1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半（3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.

2021年德州市武城二中年人教版七年级上期中数学试卷含答案解析

2021学年山东省德州市武城二中七年级(上)期中数学试卷一、选择题(每题3分，共36分) 1．﹣的倒数为( ) A．B．﹣C．2021 D．﹣2021 2．有理数3.645精确到百分位的近似数为( ) A．3.6 B．3.64 C．3.7 D．3.65 3．钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为( ) A．44×105B．0.44×105C．4.4×106D．4.4×105 4．如果a+b＞0，且ab＞0，那么( ) A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a、b异号且正数的绝对值较小 D．a、b异号且负数的绝对值较小 5．的系数与次数分别为( ) A．，7 B．，6 C．4π，6 D．，4 6．下列说法正确的是( ) A．3x2﹣2x+5的项是3x，2x，5 B．﹣与2x2﹣2xy﹣5都是多项式 C．多项式﹣2x2+4xy的次数是3 D．一个多项式的次数是6，则这个多项式中只有一项的次数是6 7．下面计算正确的是( ) A．6a﹣5a=1 B．a+2a2=3a2C．﹣(a﹣b)=﹣a+b D．2(a+b)=2a+b 8．下列各题正确的是( ) A．由7x=4x﹣3移项得7x﹣4x=3 B．由=1+去分母得2(2x﹣1)=1+3(x﹣3)

C．由2(2x﹣1)﹣3(x﹣3)=1去括号得4x﹣2﹣3x﹣9=1 D．由2(x+1)=x+7去括号、移项、合并同类项得x=5 9．足球比赛的记分为:胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了( ) A．3场B．4场C．5场D．6场 10．如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的图是( ) A．B．C．D． 11．如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是 ( ) A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥B．正方体、圆锥、三棱柱、圆柱 C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D．正方体、圆柱、四棱柱、圆锥 12．把方程﹣1=的分母化为整数后的方程是( ) A．；B．； C．；D．二、填空题(每题4分，共2021 13．多项式2x3﹣x2y2﹣3xy+x﹣1是__________次__________项式． 14．如果已知方程(m﹣2)x|m﹣1|+4=7是关于x的一元一次方程，则m=__________． 15．观察下面的一列单项式:x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，…根据你发现的规律，第7个单项式为__________；第n个单项式为__________． 16．如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理是__________．

高二数学必修5全套教案(人教版)

1．1．1正弦定理 ●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程一.课题导入如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二.讲授新课 [探索研究] 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则sin sin sin a b c c A B C === 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == 思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，（1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B （2）当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）思考2：还有其方法吗？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。 C A B B C A

人教版高二数学下册知识点归纳

人教版高二数学下册知识点归纳人教版高二数学下册知识点归纳： 1.不等式的定义：a-b>;0a>;b， a-b=0a=b， a-b<;0a ①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 2.不等式的性质：①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。不等式基本性质有： (1) a>;bb (2) a>;b，b>;ca>;c (传递性) (3) a>;ba+c>;b+c (c∈R) (4) c>;0时，a>;bac>;bc c<;0时，a>;bac 运算性质有：(1) a>;b， c>;da+c>;b+d. (2) a>;b>;0，c>;d>;0ac>;bd. (3) a>;b>;0an>;bn (n∈N，n>;1)。(4) a>;b>;0>;(n∈N， n>;1)。应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性

质，判断实数值的大小。(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。人教版高二数学下册知识结构： 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式重点：通过探索和讨论交流，导出两角差与和的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系。难点：两角差的余弦公式的探索和证明。 2.简单的三角恒等变换重点：掌握三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点. 难点：公式的灵活应用. 三角函数几点说明： 1.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深. 2.用同角三角函数基本关系证明三角恒等式和求值计算，熟练配角和sin和cos的计算. 3.已知三角函数值求角问题，达到课本要求即可，不必拓展. 4.熟练掌握函数y=Asin(wx+j)图象、单调区间、对称轴、对称点、特殊点和最值. 5.积化和差、和差化积、半角公式只作为练习，不要求记忆. 6.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

人教版高中数学必修5期末测试题

期末测试题考试时间：90分钟试卷满分：100分一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{}n a 中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°，则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2n

高二数学必修五知识点归纳

高二数学必修五知识点归纳第一章解三角形 1、三角形的性质： ①.A+B+C=, AB2 C2 sin AB2 cos C2 ②.在ABC中, ab＞c , ab＜c ; A＞BsinA＞sinB, A＞BcosA＜cosB, a ＞b A＞B ③.若ABC为锐角，则AB＞ ,B+C ＞ ,A+C ＞ a2b2＞c2，b2c2＞a2，a2＋c2＞b2 2、正弦定理与余弦定理：①. (2R为ABC外接圆的直径) a2Rsin A、b2Rsin B、c2RsinC sinA a2R

12 b2R 、 sinC 12 c2R 12 acsinB 面积公式：SABC absinC bcsinA ②.余弦定理：abc2bccosA、bac2accosB、cab2abcosC bca 2bc cosA、cosB ac b 2ac 222 、cosC abc

222 3第二章数列 1、数列的定义及数列的通项公式： ①. anf(n)，数列是定义域为N 的函数f(n)，当n依次取1，2，时的一列函数值② i.归纳法若S00，则an不分段；若S00，则an分段iii. 若an1panq，则可设an1mp(anm)解得m,得等比数列anm Snf(an) iv. 若Snf(an)，先求a 1得到关于an1和an的递推关系式 Sf(a)n1n1Sn2an1 例如：Sn2an1先求a1，再构造方程组：（下减上）an12an12an Sn12an11 2.等差数列： ① 定义：a n1an=d（常数）,证明数列是等差数列的重要工具。② 通项d0时，an为关于n的一次函数； d＞0时，an为单调递增数列；d＜0时，a n为单调递减数列。 n(n1)2 ③ 前nna1

人教版高二数学必修五学案(全套)

加油吧，少年，拼一次，无怨无悔！高二数学必修五全套学案 §1.1.1 正弦定理学习目标 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验：固定?ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学 ※学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt?ABC中，设BC=a， AC=b，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，

有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ，同理可得sin sin c b C B = ，从而sin sin a b A B = sin c C =．类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =．试试：（1）在ABC ?中，一定成立的等式是（）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B =

人教版高中数学必修5全册导学案

§1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学 ※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是 CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ，同理可得sin sin c b C B = ，从而sin sin a b A B =sin c C =．类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =．试试：（1）在ABC ?中，一定成立的等式是（）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于． [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C ．（3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =；sin C = ．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． ※ 典型例题例1. 在ABC ?中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．

数学必修5公式

一、解三角形1.正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C = = = 2.三角形面积公式 111sin sin sin 2 2 2 A B C S bc A ac B ab C = == 3.余弦定理2222cos a b c bc A =+- 222cos 2b c a A bc +-= 4.韦达定理1212b x x a c x x a ? +=-?????=?? 二、数列1.等差数列A P 定义：()12n n a a d n n N d -+-=≥∈，，是常数通项公式：()()()111n m a a n d a n m d pn q p d q a d =+-=+-=+==-，等差中项：2 a b A a A b A P += ?，，成性质：若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q N ++=+∈，，，若{}n a 为A P ，则123456789a a a a a a a a a ++++++，，，…仍成A P 前n 项和：() ()12 1112 2 22n n n a a n n d d d S na An Bn A B a +-??= =+ =+==- ?? ?，性质：当项数为2n 时，S S nd -=偶奇22n n n n n S S S AP d n d --'=23，，成， 2.等比数列G P 定义： () 1 20n n a q n n N q a +-=≥∈≠，，通项公式： 1 1 10n n m n m n m a a a q a q c q c q ---??=?=?=?=≠ ??? 等比中项：)0g a b a g b GP =≠?，，，成性质：若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q N +=∈，，，21122n n n n a a a a a -+-+=?=? 2 1726354a a a a a a a ?=?=?=前n 项和：()11111111 n n n a q a a q q S q q na q ?--?=≠=?--? =?，，性质：当项数为2n 时， S q S =偶奇；2n n n n n n S S S G P q q --'=23，，成，三、不等式1.性质a b b a >?>?>， a b a c b c >?+>+0a b c ac bc >>?>，0a b c ac bc >>?+>+， a b c d a c b d >-，00a b c d ac bd >>>>?>，01n n a b a b n N n +>>?>∈>，， 01a b n N n +>>? > ∈>， 2.均值不等式如果a b R + ∈，，则 2 a b +≥，当且仅当 a b =时，等式成立如果a b R +∈，，则222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等式成立