量子力学导论第3章答案
第三章一维定态问题
3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，
??
?∞<<<<=其余区域
,0,0 ,0),(b
y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如b a = ，能级的简并度如何？ 解：能量的本征值和本征函数为
m E y x n n 22
2
π =
)(
2
2
2
2b
n a
n y x +
,2,1, ,sin
sin
2==
y x y x n
n n n b
y
n a
x
n ab
y
x ππψ
若b a =，则 )(22
22
22y x n n
n n ma E y
x +=
π
a
y
n a
x
n a
y x n
n y
x ππψ
sin
sin
2=
这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11'
'
==y x n n ）
3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即
?
?
?∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c
z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如c b a ==，讨论能级的简并度。
解：能量本征值和本征波函数为
)(
22
2
2
2
2
22
2c
n b
n a
n m
n
n n E
z y x z
y
x
+
+
=
π ,
,3,2,1,, ,
sin
sin
sin
8==
z y x z y x n n n c
z
n b
y
n a
x
n abc
n n n z
y x πππψ
当c b a ==时，
)(22
222
22z y x n n n ma
n
n n E
z
y
x
++=
π
a
y
n a
y
n a
x
n a n n n z y x z
y x πππψsin
sin
sin
22
3
??
?
??=
z y x n n n ==时，能级不简并；
z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
z y x n n n ,,三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。
如 ???→++=++→++=++)
9,6,3()10,5,1(20
86161210)11,3,1()9,7,1(10438652
22222
2
22222
3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，
??
?><∞<<=a
x 0, ,0 ,0),(x a
x y x V 证明处于定态)(x n ψ的粒子
)61(12
)x -(x ,2
2
2
2
2
π
n a
a x -
=
=
讨论∞→ n 的情况，并于经典力学计算结果相比较。 证：设粒子处于第n 个本征态，其本征函数
x a
n a x n πψsin
2)(=
.
2
sin
20
2
2
a
xdx
a
n x a
dx x x a
a
n
分部
?
?
=
=
πψ
（1） 4
)(2
20
2
2
2
2
a
dx x x
x x x n
a -
=
-=-?
ψ
4
)2cos
1(2
12
2
2
a
dx a
x n x a
a
-
-?
=
?π
)61(12
2
2
2
π
n a
-
=
（2）
在经典情况下，在()a ,0区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于x x dx →+范围的几率为a
dx
，故
2
a a
dx x x a
=
?
=
?
， （3）
3
2
2
2
a
a
dx x x
a
=
?
=
?
，
4
3
)(2
2
2
2
2
a
a
x x x x -
=
-=- （4）
当∞→n 时，量子力学的结果与经典力学结果一致。
3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，
??
?<∞<=2
,2
,0),(a x a x y x V 处于基态)1(=n ，求粒子的动量分布。
解：基态波函数为 a
x
a
πψcos
21=
, （参P57，（12））
2cos
22cos 12cos 1121
21
121
)(2
11
cos
221)(2
2
2
2
32
22
22
2)()(2222
pa p
a q pa p a pa p
a a e e p a
i e e p a
i a dx e e a dx
e
e
e
a
dx
a x
a e p a
p a i a p a i a
p a i a p a i a
a
p
a i p a i a
x
i a
x
i a
a
ipx
a
a ipx
-=
????
??
?
???????+
+-=
???
????
??????
?
???????
?-???? ??+-+
???????
?-???? ??-=
??
????+=+?=
?=
∴??? ??+?
?? ??+-??? ??--?
?? ??--+-----
--
??
?πππππππ
πππππφππππππππ
动量的几率分布()
2cos
4)()(2
2
2
2
2
2
32
pa p
a a p p -=
=π
π?ρ
3.5）设粒子处于半壁高的势场中
??
?
??><<-<∞=a
x a x V x V ,00,
x
,)(0 （1） 求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。 解：分区域写出eq s .:
a
x ,0)()(a x 0 ,0)()(22
"2
12
'"
1>=-<<=+x k x x k x ψψψψ （2）
其中 ()'2
2
02
2
22, k E k
V E μμ=
+=
（3）
方程的解为
kx
kx
x ik x ik De
Ce
x Be Ae x --+=+=)()(21'
'
ψψ （4）
根据对波函数的有限性要求，当∞→x 时，)(2x ψ有限，则
0=C
当0=x 时，0)(1=x ψ，则0=+B A 于是
a
x , )(x 0 ,sin )(2'
1>=<<=-kx
De
x a x k F x ψψ （5）
在a x =处，波函数及其一级导数连续，得
ka
ka
kDe
a k F k De
a k F ---=='''
cos ,sin （6）
上两方程相比，得 k
k a k tg '
'
-
= （7）
即 ()E E
V E V a
tg +--=??
???
?
+002
2
μ （7’）
若令 ηξ==a a k k ,'
（8） 则由（7）和（3），我们将得到两个方程：
22
202( 9)(10)
2 ctg V a ηξξμξη=-??
?+=??
（10）式是以a V r 2
02 μ=
为半径的圆。对于束缚态来说，00<<-E V ，
结合（3）、（8）式可知，ξ和η都大于零。（10）式表达的圆与曲线ξξηctg -=在第一象限的交点可决定束缚
态能级。当2π≥r ，即
222
0πμ≥a V
，亦即
82
22
πμ≥a V （11）
时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。
3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。 解：仅讨论分立能级的情况，即20V E <<，
()
ψψ
E V m dx
d -=
∴222
当±∞→x 时，0→ψ，故有
()()()()???
??-=
<<=<<+-=
<=-
E V m k x a e A mE k a x kx A E V m k x e A x
k x k 222
1112,
,
2,0,
sin 2,0,21π
δ
δψ
由
dx
d ψ
ln 在0=x 、a x =处的连续条件，得
()δδ+-==ka kctg kctg k 21k , （1）
由（1a ）可得 1
2sin mV k =
δ （2）
由于k k k ,,21皆为正值，故由（1b ），知δ+ka 为二，四象限的角。 因而 ()2
2sin mV k ka ±
=+δ （3）
又由（1），余切函数()ctg 的周期为π，故由(2)式，
1
1
12sin
mV k n -+=πδ (4)
由(3)，得 2
1
2sin
mV k n ka --=+πδ (5)
结合(4),(5)，得 1
1
121
22sin
2sin
mV k n mV k n ka -----=ππ
或 2
1
1
1
2sin
2sin
mV k mV k
n ka ----=π （6）
,3,2,1=n
一般而言，给定一个n 值，有一个解n k ，相当于有一个能级：
m
k E n n 22
2
=
（7）
当12V V ≠时，仅当
1
21
2
sin
2
2V V mV a --≥
π
才有束缚态 ，故21,V V 给定时，仅当 ???
?
?
?-≥
-1212
s i n 22V V mV a π
（8） 时才有束缚态（若V V V ==21，则无论V 和a 的值如何，至少总有一个能级） 当a V V ,,21给定时，由(7)式可求出n 个能级（若有n 个能级的话）。相应的波函数为:
()()()()
()????
?
????-=
>-<<+-=
<=---
E V m k a x e mV k A a x x k A E V m k x e mV k A n a x k n n n
n n n n x
k n
n
n n 22221111
2,
, 21,0 , sin 2, 0, 22δψ
其中 ()n n n k k a A 21112++=
3—7）设粒子（能量0>E ）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。 解：势阱为 ??
?><-=.
0,
0,0,
)(0x x V x V
在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。故
()
mE k Ce E V m k Be
Ae x
ik x
ik x ik 2,
2,
22
011211=
=+=+=-ψ
ψ
由)0()0(21ψψ=，得 C B A =+。
由)0()0('2'1ψψ=，得 ()C k B A k 21=-。
从上二式消去c, 得 ()()B k k A k k 2121+=-。 反射系数 ()()
2
21
221
2
22
k k k k A
B r
R +-=
=
=
将2
1
,k k 代入运算，可得
(
)
??
?<<->>=+
+=
002204
02
,
41,16V E V E V E E V E
E V V R
3—8）利用Hermite 多项式的递推关系（附录A3。式（11）），证明 谐振子波函数满足下列关系
()()()()[
]
)(21)(12)(121)()(2
1)(2
1)(22
2
2
1
1
x n n x n x n n x x x n x n x x n n n n n n n +-+-+++
++-=
??
?
???++=ψψψ
α
ψψ
ψ
αψ
并由此证明，在n ψ态下， 2 ,0n E V x == 证：谐振子波函数 )()(2
2
2x H e A x n x
n n αψα-= （1）
其中，归一化常数 ωαπαm
,!
2=??=
n A n
n （2）
)(x H n α的递推关系为 .0)(2)(2)(1
1=+--+x nH
x xH x H n n n αααα （3）
[]
()()???
??
?
++=??+?+???+???-???
=
?????
+?????
=
+=
?=
?=∴
+-+-+---+----+---)(2
1)(21)
(2
1!
121 )(2
!12
1
)
(!
221)(!
21)(2)(21
)
(221)()(1
1
1
2
1
1
2
11
2
1
2
1
12
2
2
2
22
2
2
22
2
2
2
2
22
2x n x n x H
e
n n x H
e
n n x H
e
n x nH e
n x nH
x H e
A x x xH e
A x xH e
A x x n n n x
n n x n n x
n
n x
n
n n x
n n x
n n x
n n ψ
ψ
ααπαα
απαα
απαα
απαα
αα
αααα
αψααααααα()()()()[
]
)(21)(12)(121)(22
)(2
121)(2)(2
121)(2
1)(2
1)(22
2
22
211
2
x n n x n x n n x n x n n x n
x n n x x n x x n x x n n n n n n n n n n +-+-+-+++
++-=
??
?
????????????
?
++
+++??
?
??
?+
-=?
?
?
?
?
?
++
=∴
ψψψ
α
ψψψψ
αψψαψ
0)(21
)(2
1)(11
**
=??
?
?
??
++
?==+-+∞
∞
-+∞
∞-??dx x n x n x dx x x n n n
n n
ψψ
αψψψ ()()22
1
21122121)(12212
1)()(21)(2
2
2
2
*
2
2*
n n n n n E n n m dx x n m x dx x x m x V =??
?
??+=
+??
=+??
?=??
=
??+∞
∞
-ωα
ω
ψα
ω
ψψωψ
3—9）利用Hermite 多项式的求导公式。证明（参A3.式（12））
()()()()[
]
22
2
2
2
11
211212
)(21
2
)(+-+-+++
+--=???
???
+-
=n n
n n n n n n n n n n x dx
d n n x dx d ψψ
ψ
α
ψψψ
αψ
证：A3.式（12）：)(2dx
)
(dH ),(2)(1
n 1
'
x H
n x nH
H n n n αααξξ--==
()[
]
??
?
?
?
?+-
=?+??
?
?
??++-=+-=?+-?=+--+-----)(21
)(2
)
(2)(21)(2)
(2)()
(2)()(11
1
1
1
1
2
12
2
2
2
2
22
2x n x n x n x n x n x n x x x H n e
x H e
x A x dx
d n n n n n n n n x
n x
n n ψψ
αψ
αψ
ψ
ααψψαααααψαα
()()()()[
]
22
2
22
2
2
211212
22
2
12
122
12)(+-+-+++
+--=
????????
???????
?
+-
+?+-??
?
??
?
-
-?=n n
n n n
n n n n n n n n n n n n n n
x dx d
ψψ
ψ
α
ψψ
αψψ
ααψ
()02
12
11
**=??
?
??
?
+-
?-=??
?
??
-=??+-dx n n i dx dx d i p n n n
n n ψ
ψ
αψψψ
()()()()[
]()()2
2121124124211212
2222
*2
2
22
2
*2
222*2
n n n
n n
n n
n n
E n n m m
dx n m
dx n n n n n m
dx dx d m m p
T =???
??+=
+??=
+?=
+++
+--?
-=???
?
??-?==
???+-ωωψψαψψψ
α
ψ
ψψ
3—10）谐振子处于n ψ态下，计算
()
2
1
2
??
?
???-=?x
x x ，()
2
1
2
?
?
?
???-=?p p p ，?=???p x
解：由题3—6），ωω
ω
m n m E m V x
x n
??? ??
+=
=
=
=212 ,02
2
2
由题3—7），ω m n mE T m p p n ??
?
?
?+
====212 ,02
()
(
)
()
(
)
??? ?
?
+=????
?
???????
??+=-=??
?
??
?
-=??
??
?????? ?
?+=-=??
?
??
?
-=?2121212
1
2
1
2
2
2
12
2
12
1
2
2
2
12
n p x m n p
p p
p p m n x
x x
x x ωω
对于基态，2,0 =???=p x n ，刚好是测不准关系所规定的下限。
3—11）荷电q 的谐振子，受到外电场ε的作用，
x q x m x V εω-=
2
2
2
1)( （1）
求能量本征值和本征函数。 解： x q H x q x m m
p
H εεω-=-+
=
02
22
2
12 （2）
0H 的本征函数为 )(2
2
2
x H e
A n x
n n
αψ
α-=，
本征值 ()
ω ??? ?
?
+=210n E n
现将H 的本征值记为n E ，本症函数记为)(x n ?。 式（1）的势能项可以写成 ()[]
2
02
2
2
1)(x x
x m x V --=
ω
其中 2
0ωεm q x = （3） 如作坐标平移，令 0'
x x x -= （4） 由于 '
'
p dx
d i dx
d i p =-=-=
（5）
H 可表成 2
022,2
2
'2
12
12x m x
m m
p
H ωω-
+
=
（6）
（6）式中的H 与（2）式中的0H 相比较，易见H 和0H 的差别在于变量由x 换成'
x ，并添加了常数项
??
?
??-20221x m ω，由此可知 ()
2
0202
1x m E E n
n ω-
-= （7）
)()()(0'
x x x x n n n -==ψψ? （8）
即
,2,1,0 ,22121212
2
2
2
2
2=-??? ?
?
+=??
? ???-??? ??+=n m q n m q m n E n
ωεωωε
ωω （9）
??
?
?????? ??-=?
?? ?
?--2
2
2
22)(ωε
α?ωεαm q x H e
A x n m q x n n (10) 其中 ωαπαm ,!
2=??=
n A n
n (11)
3—12）设粒子在下列势阱中运动，
???
??><∞=.
0,2
1,0,)(2
2x x m x x V ω
求粒子能级。
解：既然粒子不能穿入0
() ,2,1,0 ,232=+=k k E k ω
3—13）设粒子在下列势阱中运动，
()??
?>--<∞=.
0,
,0,
)(x a x r x x V δ ()0,>a r (1)
是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。 解：S.eq: ()ψψδψE a x r dx
d
m =---
2
22
2
(2)
对于束缚态（0 β (3) 则 ()022 2 2 2 =-+-ψδψβψa x mr dx d (4) 积分? +-ε ε a a dx ,+ →0ε,得' ψ跃变的条件 )(2)()(2 ''a mr a a ψψψ - =-- + (5) 在a x ≠处，方程(4)化为 02 2 2 =-ψβψdx d (6) 边条件为 ()束缚态0)( ,0)0(=∞=ψψ 因此 ?? ?><≤=-. , ,0,)(a x Ae a x x sh x x ββψ (7) 再根据a x =点)(x ψ连续条件及)(' x ψ跃变条件(5)，分别得 )(a Ae a sh a ψββ==- (8) )(22 a mr a ch Ae a ψββββ -=--- (9) 由（8）（9）可得（以)(a a ψ-乘以（9）式，利用（8）式） 2 2coth mra a a a = +βββ (10) 此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。 当势阱出现第一条能级时，- →0E ，所以+ →0a β, 利用 1lim coth lim 0 ==→→a th a a a a a ββββββ, （10）式化为 + +=+=01coth 22 a a a mra βββ , 因此至少存在一条束缚态能级的条件为 122 ≥ mra （11） 纯δ势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为0)(≡x ψ，对0≤x ）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯δ势阱的特征长度mr L 2 = 。 条件（11）可改写为 2L a ≥ （12） 即要求无限高势垒离开δ势阱较远（2L a ≥）。才能保证δ势阱中的束缚态能存在下去。显然，当∞→a （即2L a >>） ，∞→a β时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时1coth →a β，式（10）给出 2 2 mr =β 即 2 22 2 22 mr m E = - =β （13） 与势阱)()(x r x V δ-=的结论完全相同。 令ηβ=a ， 则式（10）化为 ()2 2coth 1 mra = +ηη （14） 由于()1c o t h 1≥+ηη，所以只当122 ≥ m r a 时，式（10）或（14）才有解。解出根η之后，利用 mE a a 2-==βη，即可求出能级 2 222ma E η - = （15） 第六章 中心力场 6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式 相对动量 ()21121p m p m M r p -==? μ （1） 总动量 1p p R M P +==? （2） 总轨迹角动量p r P R p r p r L L L ?+?=?+?=+=221121 （3） 总动能 μ 22222 22 221 21p M P m p m p T + =+= （4） 反之，有 ,11r m R r μ+ = r m R r 2 2μ-= （5） p P m p +=2 1μ ，p P m p -= 1 2μ （6） 以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ 证： 2 12 211m m r m r m R ++= ， （17） 21r r r -=， （18） 相对动量 ()211221212 11p m p m M r r m m m m r p -=??? ? ??-+= =? ?? μ （1’） 总动量 ()212 1221121p p m m r m r m m m R M P +=+++==? ?? （2’） 总轨迹角动量 221121p r p r L L L ?+?=+= )5(2211p r m u R p r m u R ???? ? ??-+????? ?? += () () 2112 211p m p m M r p p R -? ++?= ) 2)(1(p r P R ?+?= 由（17）、(18)可解出21,r r ，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。 总动能()22 11 2 262221212222m p P m m p P m m p m p T ??? ? ??-+ ? ?? ? ??+=+= μμ 2 12 2 2 2 2 122 11 2 2 2 2 12 2222m m p P u m p P m m u m m p P u m p P m m u ?- + + ?+ + = 第六章 中心力场 6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式 相对动量 ()21121p m p m M r p -==? μ （1） 总动量 1p p R M P +==? （2） 总轨迹角动量p r P R p r p r L L L ?+?=?+?=+=221121 （3） 总动能 μ 22222 22 221 21p M P m p m p T + = + = （4） 反之，有 ,11r m R r μ+ = r m R r 2 2μ-= （5） p P m p += 2 1μ ，p P m p -= 1 2μ （6） 以上各式中，()212 121 ,m m m m m m M +=+=μ 证： 2 12211m m r m r m R ++= ， （17） 21r r r -=， （18） 相对动量 ()211221212 11p m p m M r r m m m m r p -=??? ? ??-+= =? ?? μ （1’） 总动量 ()212 1221121p p m m r m r m m m R M P +=+++==? ?? （2’） 总轨迹角动量 221121p r p r L L L ?+?=+= )5(2211p r m u R p r m u R ????? ? ?-+????? ?? += () () 2112 211p m p m M r p p R -? ++?= ) 2)(1(p r P R ?+?= 由（17）、(18)可解出21,r r ，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。 总动能()2 2 11 2 262221212222m p P m m p P m m p m p T ??? ? ??-+ ? ?? ? ??+=+= μμ 2 12 2 2 2 2 122 11 2 2 2 2 12 2222m m p P u m p P m m u m m p P u m p P m m u ?- + + ?+ + = 量子力学试题(1)(2005) 姓名 学号 得分 一. 简答题（每小题5分，共40分） 1. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=? ，写出粒子位于dx x x +~间的几率。 2. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V 中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。 3. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开： ∑=n n n x c x )()(ψψ， 写出展开式系数n c 的表达式。 4. 给出如下对易关系： [][][] ?,? ,? ,===z x y z L L p x p z 5. 何谓几率流密度？写出几率流密度),(t r j ? ?的表达式。 6. 一维运动中，哈密顿量)(22 x V m p H +=，求[][]?,?,==H p H x 7. 一质量为μ的粒子在一维无限深方势阱?? ?><∞<<=a x x a x x V 2,0, 20,0)( 中运动，写出其状态波函数和能级表达式。 8. 已知厄米算符A 、B 互相反对易：{}0,=+=BA AB B A ；b 是算符B 的本征态： b b b B =，本征值 0≠b 。求在态b 中，算符A 的平均值。 二. 计算和证明题 1. 设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 2. 考虑如下一维波函数：0/0()n x x x x A e x ψ-?? = ??? ， 其中0,,A n x 为已知常数。利用薛定谔 方程求位势()V x 和能量E 。对于它们，该波函数为一本征函数（已知当,()0x V x →∞→）。 3.一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向0=x 处 的势阶运动。当0≤x 时，该势为0；当0>x 时，该势为 E 4 3 。问在0=x 处粒子被反射的的几率多大？（15分） 0 X 4.设粒子处于()?θ,lm Y 状态下， 1)证明在的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L η=-， []y L i η=-=z x x z x z L L L L L ,L 求平均。） 2)求()2 x L ?和() 2 y L ? (附加题)5. 设),(p x F 是p x ,的整函数，证明 [][]F , F,,p i F x x i F p ?? =?? -=η η 整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞ ==0 ,),(n m n m mn p x C p x F 。 第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。 第三章 力学量用算符表达 §3.1 算符的运算规则 一、算符的定义： 算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。 ?Au v = 表示?把函数u 变成 v ， ?就是这种变换的算符。 为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。 二、算符的一般特性 1、线性算符 满足如下运算规律的算符?，称为线性算符 11221122 ???()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。 例如：动量算符?p i =-?， 单位算符I 是线性算符。 2、算符相等 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即??A B ψψ=，则算符?和算符?B 相等记为??A B =。 3、算符之和 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ有：?????()A B A B C ψψψψ+=+=，则???A B C +=称为算符之和。 ????A B B A +=+，??????()()A B C A B C ++=++ 4、算符之积 算符?与?B 之积，记为??AB ，定义为 ????()()AB A B ψψ=?C ψ= ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即????AB BA ≠。 5、对易关系 若????AB BA ≠，则称?与?B 不对易。 若A B B A ????=，则称?与?B 对易。 若算符满足????AB BA =-， 则称?A 和?B 反对易。 例如：算符x , ?x p i x ?=-?不对易 证明：(1) ?()x xp x i x ψψ?=-?i x x ψ?=-? (2) ?()x p x i x x ψψ?=-?i i x x ψψ?=--? 显然二者结果不相等，所以： ??x x xp p x ≠ ??()x x xp p x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以 ??x x xp p x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足 ??y y yp p y i - =，??z z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。 ??0??0y y z z xp p x xp p x -=??-=?，??0??0x x z z yp p y yp p y -=??-=?，??0??0x x y y zp p z zp p z -=???-=?? ????0x y y x p p p p -=，????0y z z y p p p p -=，????0z x x z p p p p -= ????0xy yx -=，????0y z z y p p p p -=，????0z x x z p p p p -= 写成通式(概括起来)： ??x p p x i αββααβδ-= (1) ????0x x x x αββα-= ????0p p p p αββα-= 其中,,,x y z αβ=或1,2,3 量子力学中最基本的对易关系。 注意：当?与?B 对易，?B 与?对易，不能推知?与?对易与否。 6、对易括号(对易式) 为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号： ??????[,]A B AB BA ≡- 这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式： ?[,]x p i αβαβδ= 不难证明对易括号满足下列代数恒等式： 1) ????[,][,]A B B A =- 2) ???????[,][,][,]A B C A B A C +=+ 3) ?????????[,][,][,]A BC B A C A B C =+ ，?????????[,][,][,]AB C A B C A C B =+，]?,?[]?,?[B A k B k A = 4) ?????????[,[,]][,[,]][,[,]]0A B C B C A C A B ++= ——称为 Jacobi 恒等式。 第三章算符与力学量算符 3、1 算符概述 设某种运算把函数u变为函数v,用算符表示为: (3、1-1) 称为算符。u与v中得变量可能相同,也可能不同。例如,,,,,,则,x,,,都就是算符。 1.算符得一般运算 (1)算符得相等:对于任意函数u,若,则。 (2)算符得相加:对于任意函数u,若,则。算符得相加满足交换律。 (3)算符得相乘:对于任意函数u,若,则。算符得相乘一般不满足交换律。如果,则称与对易。 2.几种特殊算符 (1)单位算符 对于任意涵数u,若u=u,则称为单位算符。与1就是等价得。 (2)线性算符 对于任意函数u与v,若,则称为反线性算符。 (3)逆算符 对于任意函数u,若则称与互为逆算符。即,。 并非所有得算符都有逆算符,例如把零作为算符时,称之为零算符,零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程:,其中为与函数构成得线性算符,a为常数。其解u可表示为对应齐次方程得通解u。与非齐次方程得特解之与,即。因,所以不存在使。一般说来,在特解中应允许含有对应齐次方程得通解成分,但如果当a=0时,=0,则中将不含对应齐次方程得通解成分,这时存在使,从而由得:。从上述分析可知,就是否存在逆算符还与算符所作用得函数有关。 (4)转置算符 令,则称与得转置算符,就是一个向左作用得算符。若算符表示一般函数(或常数),由于函数得左乘等于右乘,所以函数得转置就等于它本身。 定义波函数与得标积为: (3、1-2) 与得标积以及与得标积为: 若上两式中得与都就是任意波函数,则称上两式中得与为任意标积中得算符。下面考虑在任意标积中得性质。 波函数与在无限远点也应满足连续性条件: [可都等于零],,所以得: 可见在任意标积中,。 (5)转置共轭算符(也称为厄密共轭算符)与厄密算符 转置共轭算符通常也就是向左作用得算符,同时算符本身要取共轭。以标记得转置共轭算符,则若在任意标积中,,则称为厄密算符。即厄密算符得定义为: 或写为(3、1-3) 可以证明,位置算符与动量算符都就是厄密算符。因x就是实数,而,所以。在任意标积中,因,所以。也可以直接从定义式(3、1-3)出发,来证明就是厄密算符。 ,所以就是厄密算符。 (6)幺正算符 若在任意标积中,,则称为幺正算符。设,若为厄密算符,则必为幺正算符。 (7)算符得函数 设函数F(A)得各阶导数都存在,则定义算符得函数F()为: (3、1-4) 其中表示n个得乘幂,即。例如 3、2 算符得对易关系 定义算符得泊松(Poisson)括号为: (3、2-1) 一般说来,例如,这样得关系或称为对易关系式。就是对易关系式中得特例,这时,称与就是对易得。 1.量子力学中基本对易关系 在位置表象中,,即,此式对任意得都成立,所以得: 在动量表象中 ,即,此式对任意得都成立,所以得: 可见在位置表象中与动量表象中都得: 第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时， 曾谨言《量子力学导论》习题解答第三章一维定态问题 3.1)设粒子处在二维无限深势阱中， ,,,,0, 0xa,0yb,V(x,y), ,,, 其余区域, a,b求粒子的能量本征值和本征波函数。如，能级的简并度如何, 解:能量的本征值和本征函数为 2222nn,,yx(，)E, nn22xy2mab ny,nx,2yx,sinsin, n,n,1,2,？ ,nnxyxyabab 22,,22a,bE,(n，n)若，则 nnxy2xy2ma ny,nx,2yx,sinsin ,nnxyaaa n,10,n,5这时，若n,n，则能级不简并;若n,n，则能级一般是二度简并的(有偶然简并情况，如xyxyxy ''n,11,n,2与) xy 3.2)设粒子限制在矩形匣子中运动，即 ,,,,,,0, 0xa,0yb,0zc,,V(x,y,z) ,,, 其余区域, a,b,c求粒子的能量本征值和本征波函数。如，讨论能级的简并度。 解:能量本征值和本征波函数为 22222nnn,,yxzE, ,(，，)222nnnm2abcxyz ny,nxnz,,8yxz,sinsinsin,,nnn abcabcxyz n,n,n,1,2,3,？xyz a,b,c当时， 22,,222 E,(n，n，n)xyz2nnn2maxyz 32ny,nxny,,2,,yxz ,sinsinsin,,,nnnaaaaxyz,, n,n,n时，能级不简并; xyz n,n,n三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。 xyz 三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。 n,n,nxyz 222222,5，6，8,3，4，10(1,7,9),(1,3,11)如 ,22222210，12，16,6，8，20(1,5,10),(3,6,9), 3.3)设粒子处在一维无限深方势阱中， 0, 0,x,a,V(x,y), ,,, x,0,x,a, 证明处于定态的粒子 ,(x)n 2aa62x,,,, (x-x)(1) 22212n,讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。n , , 证:设粒子处于第n个本征态，其本征函数 ,2n(x),sinx. ,naa 2aa2n,a分部2 (1) ,,sin xxdxxxdx,n,,002aa 2a2a2222(,),,,,, xxxxxdxn,04 2a212n,xa2,,(1,cos), xdx ,024aa 2a6,,(1) (2) 22n,12 在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞(设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改，，0, a dxxxdx,，变，但动能、速度不变)外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故 a adxa ， (3) ,,,xx,02a 2adxa22,,,xx， ,03a 222aa22() (4) x,x,x,x,,34 当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。 n,, 第三章一维定态问题 3.1）设粒子处在二维无限深势阱中， ?? ?∞<<<<=其余区域 ,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如b a = ，能级的简并度如何？ 解：能量的本征值和本征函数为 m E y x n n 222π = )(2 22 2b n a n y x + ,2,1, ,sin sin 2== y x y x n n n n b y n a x n ab y x ππψ 若b a =，则 )(22 22 22y x n n n n ma E y x +=π a y n a x n a y x n n y x ππψsin sin 2= 这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11' ' ==y x n n ） 3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即 ? ??∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如c b a ==，讨论能级的简并度。 解：能量本征值和本征波函数为 )(222 2 222 22c n b n a n m n n n E z y x z y x + +=π , ,3,2,1,, , sin sin sin 8 == z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n z y x πππψ 当c b a ==时， )(2222222z y x n n n ma n n n E z y x ++=π a y n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsin sin sin 22 3 ??? ??= z y x n n n ==时，能级不简并； z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。 第三章 算符和力学量算符 算符概述 设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为： ?Fu v = （） ? F 称为算符。u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。例如，11du v dx =，22xu v =3 v =， (,) x t ?∞ -∞ ，(,)x i p x h x e dx C p t -=，则d dx ，x dx ∞ -∞ ，x i p x h e -?都是算符。 1．算符的一般运算 （1）算符的相等：对于任意函数u ，若??Fu Gu =，则??G F =。 （2）算符的相加：对于任意函数u ，若???Fu Gu Mu +=，则???M F G =+。算符的相加满足交换律。 （3）算符的相乘：对于任意函数u ，若???FFu Mu =，则???M GF =。算符的相乘一般不满足交换律。如果????FG GF =，则称?F 与?G 对易。 2．几种特殊算符 （1）单位算符 对于任意涵数u ，若?I u=u ，则称?I 为单位算符。?I 与1是等价的。 （2）线性算符 对于任意函数u 与v ，若**1212 ???()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称?F 为反线性算符。 （3）逆算符 对于任意函数u ，若????FGu GFu u ==则称?F 与?G 互为逆算符。即1??G F -=，111??????,1F G FF F F ---===。 并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程：?()()Fu x af x =，其中?F 为d dx 与函数构成的线性算符，a 为常数。 第一章 量子力学的诞生 1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ???<<><∞=a x a x x x V 0,0,0,)( 试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2 =? =n n a λ n a /2=∴λ （1） 又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量 () ,3,2,12422/2/2 2222 222 22==?===n ma n a m n h m m p E πλ （3） 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有 ()?==? ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期） a h n p x x 2/=∴, 同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量 ??? ? ??++=++=222222222 222)(21c n b n a n m p p p m E z y x z y x n n n z y x π ,3,2,1,,=z y x n n n 1.3设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,,2,1, x V E m p n nh x d p -===?? )(x V 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221 ()2 x a E V x m a ω=== 。 a - 0 a x 量子力学试题(1)(2005) 姓名 学号 得分 一. 简答题（每小题5分，共40分） 1. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ= ，写出粒子位于dx x x +~间的几率。 2. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V 中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。 3. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开： ∑=n n n x c x )()(ψψ， 写出展开式系数n c 的表达式。 4. 给出如下对易关系： [][][] ?,? ,? ,===z x y z L L p x p z 5. 何谓几率流密度？写出几率流密度),(t r j 的表达式。 6. 一维运动中，哈密顿量)(22 x V m p H +=，求[][]?,?,==H p H x 7. 一质量为μ的粒子在一维无限深方势阱?? ?><∞<<=a x x a x x V 2,0, 20,0)( 中运动，写出其状态波函数和能级表达式。 8. 已知厄米算符A 、B 互相反对易：{}0,=+=BA AB B A ；b 是算符B 的本征态： b b b B =，本征值0≠b 。求在态b 中，算符A 的平均值。 二. 计算和证明题 1. 设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 2. 考虑如下一维波函数：0/0()n x x x x A e x ψ-?? = ??? ， 其中0,,A n x 为已知常数。利用薛定谔 方程求位势()V x 和能量E 。对于它们，该波函数为一本征函数（已知当,()0x V x →∞→）。 3.一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向0=x 处 的势阶运动。当0≤x 时，该势为0；当0>x 时，该势为 E 4 3 。问在0=x 处粒子被反射的的几率多大？（15分） 0 X 4.设粒子处于()?θ,lm Y 状态下， 1)证明在的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L =-， []y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L 求平均。） 2)求()2 x L ?和() 2 y L ? (附加题)5. 设),(p x F 是p x ,的整函数，证明 [][]F , F,,p i F x x i F p ?? =??-= 整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞ ==0 ,),(n m n m mn p x C p x F 。 第八章 自旋 8.1) 在z σ表象中，求x σ的本征态。 解：在z σ表象中，x σ的矩阵表示为：x σ ??? ? ? ?=0110 设x σ的本征矢（在z σ表象中）为??? ? ??b a ，则有??? ? ??=???? ?????? ??b a b a λ0110 可得a b λ=及b a λ= 1,12±==∴λλ 。 ,1=λ 则; b a = ,1-=λ 则b a -= 利用归一化条件，可求出x σ的两个本征态为 ,1=λ ;1121???? ?? ,1-=λ ??? ? ??-1121 。 8.2) 在z σ表象中，求n ?σ的本征态，()??θ?θcos ,sin sin ,cos sin n 是()?θ,方向的单位矢. 解：在z δ表象中，δ的矩阵表示为 x σ ??? ? ? ?=0110， y σ??? ? ? ?-=00 i i ， z σ??? ? ? ?-=1001 （1） 因此， z z y y x x n n n n n σσσσσ++=?= ??? ? ??-=???? ?? -+-=-θθθθ ?? cos sin sin cos i i z y x y x z e e n in n in n n （2） 设n σ的本征函数表示为Φ??? ? ??=b a ，本征值为λ，则本征方程为 ()0=-φλσn ，即 0cos sin sin cos =? ??? ?????? ??----b a e e i i λθθθλ θ? ? （3） 由（3）式的系数行列式0=，可解得1±=λ。 对于1=λ，代回（3）式，可得 x y x y x x i i n in n in n n e e b a --=++==-=--112sin 2cos cos 1sin ?? θθ θθ 归一化本征函数用()?θ,表示，通常取为 ()???? ? ?=? θθ ?θφi e 2sin 2cos ,1或??? ? ? ? ?-222sin 2cos ? ? θθi i e e （4） 闽江学院 教案 课程名称：原子物理 课程代码： 21100430 授课专业班级： 2010级物理学（师范类）授课教师：翁铭华 系别：电子系 2012年8 月30 日 第三章量子力学导论 教学目的和要求： 1．了解量子化物质波粒二象性的概念。 2．理解测不准原理； 3．掌握波函数及物理意义； 4．了解薛定谔方程；了解量子力学问题的几个简例； 5．了解氢原子的薛定谔方程；了解量子力学对氢原子的描述。 教学重点和难点: 1. 教学重点：波函数及统计解释 2．教学难点：波函数及统计解释 教学内容： 1. 玻尔理论的困难 2. 波粒二象性 3. 不确定关系 4. 波函数及其统计解释 5. 薛定谔方程及应用 19世纪末的三大发现(1896年发现放射性，1897年发现电子，1900年提出量子化概念)为近代物理学的序幕。1905年爱因斯坦在解释光电效应时提出光量子概念，1913年玻尔将普朗克-爱因斯坦量子概念用于卢瑟福模型，提出量子态观念，成功地解释了氢光谱。此外，利用泡利1925年提出的不相容原理和同年乌仑贝克、古兹米特提出的电子自旋假说，可很好地解释元素周期性、塞曼效应的一系列实验事实。至此形成的量子论称为旧量子论，有严重的缺陷。 在“物质粒子的波粒二象性”思想的基础上，于1925-1928年间由海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克等人建立了量子力学，它与相对论成了近代物理学的两大理论支柱。 量子力学的本质特征在1927年海森堡提出的不确定关系中得到明确的反映，它是微观客体波粒二象性的必然结果。量子力学的主要内容：1)相关的几个重要实验；2)有别于经典物理的新思想； 3)解决具体问题的方法。 §3-1玻尔理论的困难 玻尔理论将微观粒子视为经典力学中的质点，把经典力学的规律用于微观粒子，使其理论中有难以解决的内在矛盾，故有重大缺陷。如：为什么核与电子间的相互作用存在，但处于定态的加速电子不辐射电磁波？电子跃迁时辐射（或吸收）电磁波的根本原因何在？……（薛定谔的非难“糟透的跃迁”：在两能级间跃迁的电子处于什么状态？） 玻尔理论在处理实际问题时也“力不从心”，如无法解释氢光谱的强度及精细结构，无法解释简单程度仅次于氢原子的氦光谱，无法说明原子是如何组成分子及构成液体和固体。…… §3-2波粒二象性 1.经典物理中的波和粒子 经典物理学中，波和粒子各自独立，在逻辑上不允许同时用这两个概念描写同一现象。粒子可视为质点，具有定域性，有确定的质量、动量、速度和电荷等，波可以在空间无限扩展，波有确定 第三章习题解答 3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπ αψ2 2 22)(-- =，求： (1)势能的平均值222 1 x U μω= ； (2)动能的平均值μ 22 p T =； (3)动量的几率分布函数。 解：(1) ?∞∞--==dx e x x U x 2 222222121απ αμωμω μωμωππαμω ?==?=2 2 22221111221 ω 41= (2) ?∞∞-==dx x p x p T )(?)(2122 *2ψψμμ ?∞∞ ----=dx e dx d e x x 2 22 221 22 221)(21ααμπα ?∞ ∞ ---=dx e x x 2 2)1(22222αααμ πα ][22 2222222??∞∞ --∞∞---=dx e x dx e x x ααααμ πα ]2[23222απ ααπαμ πα?-= μω μαμαπαμ πα? ===442222222 ω 4 1 = 或 ωωω 414121=-= -=U E T (3) ?=dx x x p c p )() ()(*ψψ 21 2 221 ?∞ ∞ ---=dx e e Px i x απ απ ? ∞ ∞ ---= dx e e Px i x 222 1 21απ απ ? ∞ ∞--+-=dx e p ip x 2222)(21 21 αααπ απ ? ∞ ∞ -+-- =dx e e ip x p 2222 22)(212 21 αααπαπ πα π απα2 2122 p e - = 2 2221 απ αp e - = 动量几率分布函数为 2 22 1 )()(2 απ αωp e p c p - == # 3.2.氢原子处在基态0/30 1 ),,(a r e a r -=π?θψ，求： (1)r 的平均值； (2)势能r e 2 -的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 解：(1)?θθπτ?θψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0 220 /230 2 0??? ?∞ -= = ?∞-=0 /233004dr a r a a r 04 03 023 2!34a a a =??? ? ??= 22 03020 /23 20 20 /23 2 20 2/23 2 2214 4 sin sin 1)()2(0 00a e a a e dr r e a e d drd r e a e d drd r e r a e r e U a r a r a r -=??? ? ??-=-=-=-=-=? ??? ??? ∞ -∞ -∞ -ππππ?θθπ?θθπ 第十二章 散射 12－1)对低能粒子散射，设只考虑s 波和p 波，写出散射截面的一般形式。 解： ()()()2 2 c o s s i n 121∑∞ =+= l l l i P e l k l θδθσδ 只考虑s 波和p 波，则只取1,0=l ，于是 ()()()2 11002 cos sin 3cos sin 11 θ δθδθσδδP e P e k i i += ()1cos 0=θP ， (),c o s c o s 1θθ=P 代入上式，得 ()2 102 cos sin 3sin 11 θ δδθσδδi i e e k += ()2 2 12 101002 2cos sin 9cos cos cos sin 6sin 1θ δθδδδδδ+-+=k 2 2 2102 cos cos 1θ θA A A k ++= 其中 020sin δ=A ，()10101cos cos sin 6δδδδ-=A ，122sin 9δ=A 。 12－2)用波恩近似法计算如下势散射的微分截面： （a ） ()?? ?><-=. , 0;,0a r a r V r V （b ） ()2 0r e V r V α-= （c ） ()r e r V αγ κ-= （d ） ()().r r V γδ= 解：本题的势场皆为中心势场，故有 ()() ? ∞ - =0 ' '' ' 2 sin 2dr qr r V r q u f θ ，2 sin 2θ k q = （1） ()() () 2 ' ' ' ' 2 4 22sin 4? ∞ = =dr qr r V r q u f θθσ （1） （a ）()()qa qa qa q V dr qr V r a cos sin sin 2 00 ' ' 0' -- =-? ()()2 6 4 2 02cos sin 4 qa qa qa q V u -= ∴ θσ （b ）()? ? ∞ --∞ --= ??? ??0 ' '00 ''0' ' ' 2 '2'2sin dr e e e r i V dr qr e V r iqr iqr r r αα 量子力学与统计物理习题解答 第一章 1. 一维运动粒子处于?? ?≤>=-) 0(0 ) 0()(x x Axe x x λψ 的状态，式中λ>0，求 （1）归一化因子A ； （2）粒子的几率密度； （3）粒子出现在何处的几率最大？ 解：（1） ? ? ∞ -∞ ∞ -*=0 222 )()(dx e x A dx x x x λψψ 令 x λξ2=，则 3 232 32 02320 2224!28)3(88λ λλ ξ ξλξ λA A A d e A dx e x A x =?=Γ==-∞∞ -?? 由归一化的定义 1)()(=? ∞ ∞ -*dx x x ψψ 得 2 /32λ=A （2）粒子的几率密度 x e x x x x P λλψψ2234)()()(-*== （3）在极值点，由一阶导数 0) (=dx x dP 可得方程 0)1(2=--x e x x λλ 而方程的根 0=x ；∞=x ；λ/1=x 即为极值点。几率密度在极值点的值 0)0(=P ；0)(lim =∞ →x P x ；2 4)/1(-=e P λλ 由于P(x)在区间(0，1/λ)的一阶导数大于零，是升函数；在区间(1/λ，∞)的一阶导数小于零，是减函数，故几率密度的最大值为2 4-e λ，出现在λ/1=x 处。 2. 一维线性谐振子处于状态 t i x Ae t x ωαψ2 12122),(--= （1）求归一化因子A ； （2）求谐振子坐标小x 的平均值； （3）求谐振子势能的平均值。 解：（1） ? ? ∞ ∞--∞ ∞ -*=dx e A dx x 2 22 α ψψ ? ∞-=0 2 2 22dx e A x α ?∞ -= 2 2 2ξαξd e A α π 2A = 由归一化的定义 1=? ∞ ∞ -*dx ψψ 得 π α=A （2） ? ?∞ ∞ -∞ ∞ --== dx xe A dx x xP x x 2 22)(α 因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为0，故 0=x （3）? ∞ ∞-= dx x P x U U )()( ?∞ ∞--=dx e kx x 2 2221απα ?∞-=0 222dx e x k x απ α ? ∞ -= 222 ξξπ αξd e k ???? ??+-=?∞-∞-0022221ξξπαξξd e e k ?∞-=022 2 1ξπαξd e k 2 212 π παk = 2 4αk = 将2μω=k 、 μω α=2 代入，可得 02 141E U == ω 是总能量的一半，由能量守恒定律 U T E +=0 可知动能平均值 U E U E T == -=002 1 和势能平均值相等，也是总能量的一半。 3．设把宽为a 的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点，有 第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A 与B 为厄米算符，则 ()BA AB +21 和()BA AB i -21也是厄米算符。由此证明，任何一个算符F 均可分解为-++=iF F F ，+F 与-F 均为厄米算符，且 ()()+++-=+= F F i F F F F 21 ,21 证：ⅰ）()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=?? ? ???++++++ 21212121 ()BA AB +∴2 1 为厄米算符。 ⅱ）()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=?? ? ???-+++++ 21212121 ()BA AB i -∴21 也为厄米算符。 ⅲ）令AB F =，则()BA A B AB F ===+++ +， 且定义 ()()+++-=+= F F i F F F F 21 ,21 （1） 由ⅰ），ⅱ）得-+ -++ +==F F F F ,，即+F 和-F 皆为厄米算符。 则由（1）式，不难解得 -++=iF F F 4.2）设),(p x F 是p x ,的整函数，证明 [][]F , F,,p i F x x i F p ??=?? -= 整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞ == ,),(n m n m mn p x C p x F 。 证： （1）先证[ ][] 11 , ,,--=-=n n m m p ni p x x mi x p 。 [][][][][ ] [][ ] []()() []()1 111 11 3 3 1 3 32312 2211 1 1,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m m x m i x i x i m x x p x i m x x p x i x x p x x p x x i x x p x x p x x i x x p x p x x p 同理，量子力学导论第6章答案
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