高中绝对值不等式-(精华版)-适合高三复习用--可直接打印综述
绝对值不等式
绝对值不等式|||
|||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+
基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5
即函数的最小值是-5，最大值是5
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5
［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2
x －2x －6|<3x
［思路］利用｜f(x)｜
f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：(1)原不等式等价于
x +1>2－x 或x +1<－(2－x )
解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >1
2
}
(2)原不等式等价于－3x <2
x －2x －6<3x
即
22
2
226360
(3)(2)032(1)(6)0
16263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ??-->-+->+-><->???????????+-<-<<--<--
x <6
所以原不等式的解集是{x |2 1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2 -3x-4；（2）234 x x -≤1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x 2-2>x 2 -3x-4 ① 或x-x 2-2<-(x 2 -3x-4) ② 解①得：1-2 故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝ 分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2 -x+2｜ 而x 2 -x+2＝(x-14)2 +7 4 >0 所以｜x-x 2 -2｜中的绝对值符号可直接去掉. 故原不等式等价于x 2-x+2>x 2 -3x-4 解得：x>-3 ∴ 原不等式解集为｛x>-3｝ （2）分析 不等式可转化为-1≤ 234 x x -≤1 求解，但过程较繁，由于不等式 234 x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解. 原不等式等价于2 234 x x -≤1 ?9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ?x 4-17x 2+16≥0 ?x 2≤1或x 2≥16 ?-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4 注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 第2变 含两个绝对值的不等式 ［变题2］解不等式（1）| x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜?f 2 (x)〈g 2 (x) 两边平方去掉绝对值符号。 （2）题可采用零点分段法去绝对值求解。 ［解题］（1）由于|x －1|≥0，|x +a |≥0，所以两边平方后有： |x －1|2<|x +a |2 即有2x －2x +1<2x +2ax +2a ，整理得(2a +2)x >1－2 a 当2a+2>0即a>－1时，不等式的解为x> 1 2(1－ a)； 当2a+2=0即a=－1时，不等式无解； 当2a+2<0即a<－1时，不等式的解为x<1(1) 2 a - （2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5. 解：当x≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5?-2x>6?x<-3. 当-3 当x≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)>5?2x>4?x>2. 综合得：原不等式解集为｛x｜x>2或x<-3｝. ［请你试试4—2］ 1 解关于x的不等式|log(1)||log(1)| a a x x ->+(a>0且a≠1) 解析：易知－1 lg(1)lg(1) |||| lg lg x x a a -+ > ∴ 22 |lg(1)||lg(1)| x x ->+ 于是 22 lg(1)lg(1)0 x x --+> ∴ [lg(1)lg(1)][lg(1)lg(1)]0 x x x x -++--+> ∴ 2 1 lg(1)lg0 1 x x x - -> + ∵－1< x<1 ∴0<1－ 2 x<1 ∴ lg(1－2x)<0 ∴ 1 lg 1 x x - +<0 ∴1011x x -<<+ 解得0< x <1 2．不等式|x+3|-|2x-1|< 2x +1的解集为 。 解： |x+3|-|2x-1|=??? ? ? ? ?? ? -≤-<<-+≥-)3(4)213(24)21(4x x x x x x ∴当 21 ≥x 时124+<-x x ∴x>2 当-3 21时4x+2<2x +1 ∴7 2 3-<<-x 当3-≤x 时12 4+<-x x ∴3-≤x 综上7 2 - 2 ,(+∞?--∞。 3．求不等式13 3 1 log log 13x x +≥-的解集. 解：因为对数必须有意义，即解不等式组 103x x >???>?-?，解得03x << 又原不等式可化为 ()33log log 31x x +-≥ (1)当 01x <≤时，不等式化为()33log log 31x x -+-≥即 ()33log 3log 3x x -≥ ∴ 33x x -≥ ∴ 34 x ≤ 综合前提得：304x <≤。 (2)当1 ∴ 2 330x x -+≤ x ∴∈?。 (1) 当 23x <<时，()333log log 3log 3x x --≥ (2) ∴ ()33x x ≥- ∴94x ≥，结合前提得：934x ≤<。 综合得原不等式的解集为390,,344?? ?? ?? ??? ?? 第3变 解含参绝对值不等式 ［变题3］解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x ［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简 成3|2| +>-m m x ，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对 3m +的正负进行讨论。 ［解题］原不等式等价于 3|2|+>-m m x 当 3>+m 即 3 ->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或 ∴333-<+>m x m x 或 当 03=+m 即3-=m 时， 0|6|>+x ∴x ≠-6 当03<+m 即3- ［请你试试4—3］ 1．解关于x 的不等式： ()09 22 >≤-a a a x x 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数 a 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。 解：当 ()???≤--≥???≤-≥≥0 299292 22a ax x a x a a x x a x a x 即时，不等式可转化为 a b x a 17 3+≤≤∴ ? ??≥+- 22a ax x a x a x a ax a x a x 即时不等式可化为当 ]? ?????+?-∞<≤≤∴a a a a x a a x 6173,323 , (323故不等式的解集为或。 2．关于 x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。 按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k 值的不确定，要以k 的不同取值分类处理。 解：原不等式可化为－4≤ kx ≤6 当k >0时，进一步化为46x k k -≤≤，依题意有4 4336 32k k k k ?-=-??=?? ?????==???，此时无解。 当 k =0时，显然不满足题意。 当k <0时，64x k k ≤≤-，依题意有42263k k k ?-=???=-??=-?? 综上， k =－2。 第4变 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题 ［变题4］若不等式| x －4|+|3－x | ［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |， 便把问题简化。 ［解题］解法一 (1)当a ≤0时，不等式的解集是空集。 (2)当a >0时，先求不等式| x －4|+|3－x | 令 x －4=0得x =4，令3－x =0得x =3 ① 当 x ≥4时，原不等式化为x －4+x －3 解不等式组474272x a x x a ≥?+?≤ ，∴a >1 ② 当3 x + x －31 ③ 当x ≤3时，原不等式化为4－x +3－x 解不等式377337222x a a x x a ≤?--?<≤?1 综合①②③可知，当a >1时，原不等式有解，从而当0 空集。 由(1)(2)知所求 a 取值范围是a ≤1 解法二由|x －4|+|3－x |的最小值为1得当a >1时，|x －4|+|3－x | 从而当 a ≤1时，原不等式解集为空集。 解法三： ∵a >|x －4|+|3－x |≥|x －4+3－x |=1 ∴当 a >1时，|x －4|+|3－x | 从而当 a ≤1时，原不等式解集为空集。 ［请你试试4—4］ 1．对任意实数 x ，若不等式|x +1|－|x －2|>k 恒成立，求k 的取值范围。 思维点拨：要使| x +1|－|x －2|>k 对任意实数x 恒成立，只要|x +1|－|x －2|的最小值大于k 。因|x +1|的几何意义为数轴上点x 到－1的距离，|x －2|的几何意义为数轴上点x 到2的距离，|x +1|－|x －2|的几何意义为数轴上点x 到－1 与2的距离的差，其最小值可求。 此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察k 的 取值范围。 解法一 根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P 、A 、B ， 则原不等式即求|PA|－|PB|>k 成立 ∵|AB|=3，即| x +1|－|x －2|≥－3 故当k <－3时，原不等式恒成立 解法二 令y =|x +1|－|x －2|，则3,1 21,12 3,2x y x x x -≤-?? =--< 要使| x +1|－| x －2|>k 恒成立，从 图象中可以看出，只要 k <－3即可。 故 k <－3满足题意。 x y O -3 3 2．对任意实数x，不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立，求实数a的取值范围。 分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a应比最小值小。 解：由绝对值不等式：|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2)≤0, 即 2 1≤ ≤ -x时取等号。故a<3 说明：转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R等问题都可转化为求最大、最小值问题。（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：要使……，只要……） 3．已知a>0,不等式|x-4|+|x-3| 分析（一） |x-4|+|x-3|≥|x-4—(x-3)|=1 当|x-4|+|x-3| a>1 （二）如图，实数x、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B则有： y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB| |PA|+|PB|≥1 恒有y≥1 数按题意只须a>1 A B P 0 3 4 x （四）考虑|z-4|+|z-3| （五）可利用零点分段法讨论. 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>1. 变题： 1、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围 2、若不等式|x-4|-|x-3| 3、若不等式|x-4|-|x-3|>a在R上恒成立，求a的取值范围 第5变绝对值三角不等式问题 ［变题5］已知函数 2 ()(,,) f x ax bx c a b c R =++∈ ， 当 [1,1] x∈-时|()|1 f x≤，求证： (1)||1 b≤； (2)若 2 ()(,,) g x bx ax c a b c R =++∈，则当[1,1] x∈-时，求证： |()|2 g x≤ 。 ［思路］本题中所给条件并不足以确定参数b a,，c的值，但应该注意到：所要求的结论不 是 () b g x 或的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用()1-f、 (0)f 、()1f 来表示b a ,,c 。因为由已知条件得 |(1)|1f -≤， |(0)|1f ≤，|(1)|1f ≤。 ［ 解 题 ］ 证 明 ： (1) 由 ()()()()1 1,1[11] 2 f a b c f a b c b f f =++-=-+?=--，从而有 11 ||[(1)(1)](|(1)||(1)|),|(1)|1,|(1)|1, 221 ||(|(1)||(1)|) 1. 2 b f f f f f f b f f =--≤+-≤-≤∴≤+-≤ (2) 由 ()()()()1 1,1[11],2 f a b c f a b c b f f a =++-=-+?=-- 从而 ()()1 [11](0)2 a f f f =+-- 将 以 上 三 式 代 入 2 ()(,,) g x bx ax c a b c R =++∈，并整理得 2 2 2 22 11 |()||(0)(1)(1)(1)(1)(1)| 2211|(0)(1)||(1)(1)||(1)(1)| 2211|(0)|1||(1)||1||(1)||1| 221111|1||1||1|1(1)(1)22222 2 g x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x x x x x =-+++--≤-+++--=-+++--≤-+++-=-+++-=-≤ ［请你试试4—5］ c 高中不等式习题精选精解 一、求取值范围 2、已知 c b a >>，且0=++c b a ，求a c /的取值范围。 解：由已知条件，显然0,0<>c a 2 /1/,0,02,-<∴>=++<+∴>a c a c b a c a c b 2 /,0,2,02,->∴>->=++>+∴>a c a a c c b a c a b a 综上所述a c /的取值范围是()2/1,2-- 3、正数y x ,满足12=+y x ，求y x /1/1+的最小值。 解 ： 2 /2/1)/1/1)(2()/1/1(*1/1/1+++=++=+=+x y y x y x y x y x y x 223)/2)(/(23+=+≥x y y x （y x , 为正数） 5、已知函数 2()(0) f x ax bx a =+≠满足 1(1)2 f ≤-≤， 2(1)5f ≤≤，求(3)f -的取值范围。 解：由习已知得：52,21≤+≤≤-≤b a b a 设 ： ?? ?==????-=-=+?-++=-=-6 3 39)()(39)3(n m n m n m b a n b a m b a f 27 )3(12),1(*3)1(*6)3(≤-≤∴+-=-∴f f f f 所以)3(-f 的取值范围是[]27,12 8、若关于 x 的方程0124=++?+a a x x 有实数解，求实数a 的取值范围。 解一：设 x t 2=， 0,02>∴>t x ，原题转换为求方程 012=+++a at t 在()+∞,0上有解。 共有两种情况，一种是有两个根，一种是只 有一个根（如图所示），由二次函数的图像和 性质，得方程 012 =+++a at t 在()+∞,0上 有实数解的充要条件为： ???≤+=>+-=???? ????>+=>-≥+-=?01)0(0)1(401)0(0 2 )1(42 2a f a a a f a a a 或 注：两组不等式分别对应两个图 解 得 2 22,12221-≤-≤-≤<-a a a 即或 所以a 的取值范围是 (] 222,-∞- 解二：由方程 012=+++a at t 得)0(112 >++-=t t t a 函数 )0(11)(2>++-=t t t t f 的值域就是a 的取值范围。 o y x o y 2 22)222(212)1(12)1(12)1(1122-=--≤??????-+++-=??????++--=+---=++-=t t t t t t t t a 所以 a 的取值范围是 (] 222,-∞- 二、解不等式 1、 032)2(2 ≥---x x x 解：不等式 0)()(≥?x g x f 与? ??>≥0)(0 )(x g x f 或0)(=x g 同解，也 可以这样理解： 符号“ ≥ ”是由符号“>”“=”合成的，故不等式 0)()(≥?x g x f 可 转化为 0)()(>?x g x f 或0)()(=?x g x f 。 解得：原不等式的解集为{} 13|-=≥x x x 或 2、03 22 322 ≤--+-x x x x . 解 ： 03 22 32 2≤--+-x x x x ? ?? ???≠--≤--+-0320)32)(23(2 2 2x x x x x x ? ???≠+-≤+---0)1)(3(0 )1)(3)(2)(1(x x x x x x ，用根轴法（零点分段法）画图如下： ∴原不等式的解集为{}3211|<≤≤<-x x x 或。 3、 )0(,112 >≤-+a ax x 解：原式等价于 ax x +≤+112 11,112≥+∴≥+ax x ，即0 ≥ax 注：此为关键 ,0≥∴>x a ∴原不等式等价于不等式组 ?? ?≥+≤+0 )1(12 2x ax x 解得： {}?? ?? ?≥≥?????? -≤≤<<0|1120|102x x a a a x x a 时，原不等式解集为当时，原不等式解集为当 4、 0)2)(2(>--ax x + 解：当 0=a 时，原不等式化为02<-x ，得2 当0 0)2)(2(<--a x x ，得22 < ； 当 1 0< )2)(2(>--a x x ，得 a x x 2 2> <或； 当 1=a 时，原不等式化为0)2(2>-x ，得2 ≠x ； 当 1 >a 时，原不等式化为 )2 )(2(>--a x x ，得 22 > x 或 综合上面各式，得原不等式的解集为： ?? ??? 5、关于x 的不等式0>-b ax 的解集为()+∞,1，求02 >-+x b ax 的解集。 解：由题意得： 0>a ，且b a = 则不等式02>-+x b ax 与不等式组? ??≠->-+020)2)((x x b ax 同解 得所求解集为{} 21|>- 6、已知0>a 且1a ≠，关于x 的不等式 1x a >的解集是{}0x x >，解关于x 的不等式1log ()0a x x -<的解集。 解： 关于x 的不等式 1x a >的解集是{}0x x >，∴1a >， 1 011115log ()012x x a x x x x x ->- ??或 15 12x +<< ∴ 原不等式的解集是15 15(1,) (1,)22 -+-。 三、证明题 2、设0a b +>,n 为偶数,证明 11 n n n n b a a b --+≥11 a b + 证： 1 1 n n n n b a a b --+11 11()()()n n n n n a b a b a b ab ------= . ①当0,0a b >>时 , ()0n ab >,(n n a b -11)()n n a b ---≥0 , ∴ 11 ()() ()n n n n n a b a b ab ----≥ 0 ,故 11 n n n n b a a b --+≥11 a b + ; ②当 ,a b 有一个负值时,不妨设0,0a b ><,且0a b +>,即 ||a b > . ∵ n 为偶数时,∴ (n n a b -1 1 )() n n a b ---≥0 ,且()0n ab > ∴ 11 ()()() n n n n n a b a b ab ----≥ 0 ,故 1 1 n n n n b a a b --+≥ 11 a b + . 综合①②可知,原不等式成立 注：必须要考虑到已知条件 0a b +>，分类讨论，否则不能直接得出 (n n a b -1 1 )()n n a b ---≥0 3、求证： 2216(4)36a a ++-+≥229 证：设向量 (,4),(4,6)p a q a ==- ,由 ||||||p q p q +≥+, 得 2216(4)36a a ++-+||||p q =+||p q ≥+ |(,4)(4,6)||(4,10)|16100229 a a =+-==+= 注意：当 p ∥q 时，即8a =-，)48(，-=p ，)6,12(-=q ，p 、 q 方向相同，取等号。 当 利 用 公 式 | |||||q p q p -≥+证明时，会得： 2216(4)36 a a ++-+||||p q =+ |||(,4)(4,6)||(4,2)|16425 p q a a ≥-=--=-=+=的错误结论，因为这里取等号 的条件是 p ∥q ，且p 、q 方向相反，根据题设条件，p ∥q 时，方向相同， 故取不到等号， 计算的结果也使不等式范围缩小了。 4、求证： n n 1 2131211222-<++++ （2≥n ） 证一：n n n n n 1 11)1(112--=-< （2≥n ） n n n n 1 2111)3121()2111(1131211222- =--++-+-+<++++∴ ∴原不等式成立，证毕。 证二：当2=n 时，原不等式为： 2 1 22112-<+，显然成立； 假 设 当 n 取 k -1时，原不等式成立，即 112)1(1312112 22--<-++++k k 成立，则 2 2222 22)1(1211121)1(131211k k k k k k k k -+--=+--<+-++++ k k k k k k k k k k 12)1(112)1(1)1()1(2222-<---=-----=，即 n 取k 时原不等式也成立。 综上，对于任意 n （2≥n ）原不等式成立，证毕。 注意：此类证明方法称为数学归纳法 5、设 ()213f x x x =-+，实数a 满足 1x a -<，求证： ()()()21f x f a a -<+ 证 ： | )(||1313||)()(|2222a x a x a a x x a f x f ---=-+-+-=- =|12)(||1||)1)((|-+-=-+<-+-a a x a x a x a x ① 当 0>-a x ， )1|(|2|2||12)(||)()(|+<<-+-=-a a a a x a f x f ② 当 =-a x ， )1|(|2|12||12)(||)()(|+<-<-+-=-a a a a x a f x f ③ 当 <-a x ， )1|(|2||)|1(2||12)(||)()(|+<-+-<-+-<-a a x a a a x a f x f 综合①②③式情况，原不等式成立。证毕 注：②③式的最后一步省略了对0,0,0<=>a a a 的详细分析，正式解题时不能 省。分析过程用 b a ,同 号 |;|||||||||||||b a b a b a b a -=-≥+=+? b a ,异号 ||||||||||||||b a b a b a b a +=-≥+=-? 6、已知： xy y x y x y x y x ++=+≠>>22,,0,0且，求证： 3 4 1<+ 证 ： 由 已 知 得 ： xy y x y x -+=+2)(，即 )()(2y x y x xy +-+= ① y x ≠ ，及基本不等式 2 2? ? ? ??+<∴y x xy ，代入式①得： )()(22 2 y x y x y x +-+=? ? ? ??+ 解得 3 4 <+y x ； 0,0,0>∴>>xy y x ，由式①得 0)()(2 >+-+y x y x ，1<+∴y x 综上得： 3 4 1<+ 7、已知 1 ,0,,=>abc c b a ,证明： 温馨提示： 高考题库为Word 版，请按住Ctrl ，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。 【考点35】绝对值不等式 2009年考题 1、（2009全国Ⅰ）不等式 1 1 X X +-＜1的解集为（ ）（A ）｛x }}01{1x x x ??? (B){ }01x x ??（C ）{}10x x -?? (D){ }0x x ? 【解析】选 D.0040)1()1(|1||1|11 1 22 或③12 (21)(2)0 x x x ? ≤? ??--+-解得 又 0,x x <∴不存在; 当1 02 x ≤< 时,原不等式可化为211,0x x x -+<+>解得 又11 0,0;22 x x ≤<∴<< 当1 11 ,211,222 22 x x x x x x ≥-<+<≥∴≤<原不等式可化为解得又 综上,原不等式的解集为|0 2.x x << 7、（2009海南宁夏高考）如图，O 为数轴的原点，A,B,M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点，设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离4倍与C 到B 距离的6倍的和. （1）将y 表示成x 的函数； （2）要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值 高中绝对值不等式(精华版)适合高三复 习用可直接打印 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 绝对值不等式 绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5 即函数的最小值是-5，最大值是5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5 ［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2 x －2x －6|<3x ［思路］利用｜f(x)｜ 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 一．课题：含绝对值的不等式的解法 二．教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法． 三．教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次） 不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间 的交、并等各种运算． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2．当0c >时，||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． （三）例题分析： 例1．解下列不等式： （1）4|23|7x <-≤；（2）|2||1|x x -<+；（3）|21||2|4x x ++->． 解：（1）原不等式可化为4237x <-≤或7234x -≤-<-，∴原不等式解集为17[2,) (,5]22--． （2）原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x > ，∴原不等式解集为1[,)2+∞． （3）当12x ≤- 时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当122 x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53 x >，此时2x ≥． 综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞． 例2．（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞； （2）对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是(4,)+∞． 解：（1）可由绝对值的几何意义或|1||2|y x x =++-的图象或者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|3x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <； （2）与（1）同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >． 例3．（《高考A 计划》考点3“智能训练第13题”）设0,0a b >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥． 解：原不等式可化为2ax bx -≥或2ax bx -≤-，即()2a b x -≥①或2()2a b x x a b +≤?≤ +②， 典型例题一 例1 解不等式2321-->+x x 分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念? ??<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论． 解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴2 3=x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x ∴2>x 与条件矛盾，无解． （2）当2 31≤ <-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故2 30≤ 当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+< a x ，有解的条件为42 7>+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ． 解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解． 典型例题三 例3 已知),0(,20,2M y a b y M a x ∈ε<-<ε<-，求证ε<-ab xy ． 分析：根据条件凑b y a x --,． 证明：ab ya ya xy ab xy -+-=- ε=ε?+ε?<-?+-≤-+-=a a M M b y a a x y b y a a x y 22)()(． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法． 典型例题四 例4 求证 b a a b a -≥-22 分析：使用分析法 证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2 b ，即只需证明 b a b a b b a -≥-2222 2，即 b a b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1 高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时， a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ， 所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x ， 解得： ? ??<<-∈21x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 类型二：形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为： b x f a a b b x f a <><<)()0()( 例2 （2004年高考全国卷）不等式311<+ 绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y=|x-3|+|x+2|≥|(x -3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x -3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y≤5 即函数的最小值是-5，最大值是5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5 解绝对值不等式题根探讨 题根四 解不等式2|55|1x x -+<． ［题根4］解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时， a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ， 所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x ， 解得： ???<<-∈2 1x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 高中数学解题思路大全—绝对值不等式解法指 导 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 绝对值不等式解法指导 带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。解绝对值不等式的关键是去绝对值符 号，等价转化为不含绝对值符号的不等式，用已有方法求解。去绝对值符号的方法就是解不等式的方法，有下列四种。 一. 注意绝对值的定义，用公式法 即若a x a ><0，||，则-<>0，||，则x a >或x a <-。 例1. 解不等式||2331x x -<+ 解：由题意知310x +>，原不等式转化为-+<-<+()312331x x x 二. 注意绝对值的非负性，用平方法 题目中两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到 ||x x 22=。 例2. 解不等式||||x x +<+123 两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。 解：原不等式?+<+?+<+?+-+>||||()()()()x x x x x x 1231232310222222 解得x x <->-243 或 故原不等式的解集为{|}x x x <->-243 或 三. 注意分类讨论，用零点分段法 不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。 例3. 解不等式||||x x ++->213 解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令x -=10和x +=20得分界点x x ==-12、 于是，可分区间(),[][,)-∞--+∞，，，2211讨论原不等式? 解得x x ><-12或 综上不等式的解为x ∈-∞-?+∞()()，，21 四. 平方法+定义法 有些题目平方之后仍有一个绝对值号，需要用定义去绝对值符号求解，这种方法叫“平方法+定义法”。 例4. 解关于x 的不等式|log ||log |a a ax x 22<+ 解：化为|log ||log |122+<+a a x x 后，通常分log log a a x x <--≤<1212 0，，log a x ≥0三种情况去绝对值符号，再分a a ><<101或进行讨论，这样做过程冗长，极易出错。改变一下操作程序，思路将十分清晰，过程也简洁得多，即原不等式两边平方得4414422(log )log (log )|log |a a a a x x x x ++<++。 再由定义去绝对值号，有： （1）log ,(log )log a a a x x x ≥1时，解为a x a -<<3；当01<0，且a ≠1，解不等式|log ()||log ()|a a x x 11->+。 2. 解不等式||||||x x x +--<+112 1 3. 解不等式||||31932x x -+-> 答案：1. 01< 解绝对值不等式题根探讨 题根四 解不等式2|55|1x x -+<． ［题根4］解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 第1节绝对值不等式 最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a. 知识梳理 1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x| 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.() (2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为?.() (3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.() (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.() (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.() 答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√ 2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是() A.(－∞，4) B.(－∞，1) C.(1，4) D.(1，5) 解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1. ②当1 绝对值不等式 绝对值不等式|a b^|a| |b|, |a - b卜|a | |b | 基本的绝对值不等式：||a|-|b|| < |a ± b| < |a|+|b| y=|x-3|+|x+2| > |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5,没有最大值 |y|=||x-3卜|x+2|| < |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y| < 5 得-5 < y < 5 即函数的最小值是-5 ,最大值是5 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之和，显然当-2 < x < 3时，距离之和最小，最小值是5;而|x-3|-|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之差，当x< -2时，取最小值-5 ,当x> 3时，取最大值5 ［变题1 ］解下列不等式：(1)| x+1|>2 - x ；(2)| x2- 2x -6|<3 x ［思路］利用丨f(x) | f(x)丨>g(x) = f(x)>g(x) 或f(x)v-g(x) 去掉绝对值后转 化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。 解：⑴原不等式等价于X+1>2—x或x+1<—(2 - x) 1 1 解得或无解，所以原不等式的解集是{ x | x>^} ⑵原不等式等价于—3 X< X2—2x —6<3 X 即 『X2-2x-6>-3x (x2+ x-6>0 ”(x + 3)(x-2) > 0 xv-3 或x>2 { => { => 二* [x2-2x-6^3x l x2-5x-67 l(x + 1)(x-6) v 0 k-V： 6 2< X<6 所以原不等式的解集是{ X|2< X<6} 2 2I 3x I 1 .解不等式(1 )1 x-x 2- 2 | >X2-3X-4 ; (2) x2：4 < 1 解：(1)分析一可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x 2-2>x 2-3X-4① 或x-x 2-2<-(x 2-3X-4)② 解①得：1- - 2 v X<1+ 2 解②得：x>-3 故原不等式解集为{ x | x>-3 } 分析二Tl x-x 2-2 | = | x2-x+2 | 绝对值不等式 1．(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4) D ．(1,5) 解析 当x ≤1时，不等式可化为(1－x )－(5－x )<2，即－4<2，满足题意； 当1 解析 ∵|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1| ＝(|1－x |＋|x |)＋(|1－y |＋|1＋y |) ≥|(1－x )＋x |＋|(1－y )＋(1＋y )|＝1＋2＝3， 当且仅当(1－x )·x ≥0，(1－y )·(1＋y )≥0，即0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3。 答案 C 4．(2015·重庆卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________。 解析 当a ≤－1时， f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |＝????? －3x ＋2a －1，x －1， 所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， 则f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝－a －1， 由－a －1＝5得a ＝－6，符合a ≤－1； 当a >－1时， f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a | ＝????? －3x ＋2a －1，x <－1，－x ＋2a ＋1，－1≤x ≤a ， 3x －2a ＋1，x >a 。 所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， 则f (x )在x ＝a 处取最小值f (a )＝a ＋1， 由a ＋1＝5，得a ＝4，符合a >－1。 综上，实数a 的值为－6或4。 答案 －6或4 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2 x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{} a x a x <<-; 当0的解集是{} R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{} c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{} c b ax c x <+<-; 当0 （二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >?? ==??-++。 分析:由绝对值的意义知，a a =?a ≥0，a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于2 x x +＜0?x(x+2)＜0?-2＜x ＜0。 （三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。 例3、解不等式123x x ->-。 解:原不等式?22(1)(23)x x ->-?22(23)(1)0x x ---< ?(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0?(3x-4)(x-2)<0 ? 4 23 x <<。 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 解不等式125x x -++<。 分析:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x 。2-和1把实数集合分成三个区间，即2- 选修4-5 不等式选讲 第1节绝对值不等式 【最新考纲】 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a. 要点梳理 1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x| (2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为?.() (3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.() (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.() (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.() 答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√ 2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是() A.(－∞，4) B.(－∞，1) C.(1，4) D.(1，5) 解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1. ②当1 高中绝对值不等式-(精华版)-适合高三复 习用--可直接打印 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 绝对值不等式 绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5 即函数的最小值是-5，最大值是5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5 ［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－ x ；(2)|2x －2x －6|<3x ［思路］利用｜f(x)｜绝对值不等式,高考历年真题
绝对值不等式(经典题型)
高中绝对值不等式(精华版)适合高三复习用可直接打印
最新高中数学-含绝对值的不等式的解法教案
绝对值不等式例题解析
高考含绝对值不等式的解法
解绝对值不等式,涵盖高中所有绝对值不等式解法
高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法
高中数学解题思路大全—绝对值不等式解法指导
解绝对值不等式的方法总结
高考知识点绝对值不等式
高中的绝对值不等式(精华版)适合高三复习用可直接打印
高中数学 绝对值不等式高考题合集详解
含绝对值不等式的解法(含答案)
选修4-5 绝对值不等式教案(绝对经典)
高中绝对值不等式-(精华版)-适合高三复习用--可直接打印