几何体与球的切接问题专项练习

A O'

O

B E

D C

E'

D'

B'

A'C'

A

o

空间几何体的三视图与球专项练习

专题一.空间几何体的三视图

1.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体的体积是__________，表面积是__________

2.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积

与剩余部分体积的比值为（ ）

A.81

B.71

C.61

D.5

1

3.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10

4.一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形. 则该几何体的表面积为（ ）

A ．88

B ．98

C ．108

D ．158 专题二.几何体及它的外接球 1.柱体外接球 （1）长方体与外接球

2222(2R)a b c =++

练习：【2017课标II ，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________

（2）三棱柱、圆柱与外接球

①正（直）三棱柱、圆柱外接球球心为两底外接圆圆心连线的中点

222OA OE AE =+,其中OA=R

2233

3323AE AD AB AB ==?=

求三角形ABC 外接圆半径R ：正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C ===

求三角形ABC 内切圆半径r ：面积法1()2ABC S a b c r ?=++?= 1

sin 2ab C

练习：1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，

o A B

则该球的表面积为( )

（A ）2

a π （B ）27

3

a π （C ）2113a π （D ）2

5a π

2.【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）

A ．π

B ．3π4

C ．π2

D ．π4

②底面有一角为直角的直三棱柱外接球求法

方法一：由①可知球心在AB 的中点，半径算法同①

方法二：如图所以，将三棱柱补成长方体，半径算法与长方体半径算法相同

练习：已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，

2BC =，则球O 的表面积等于（ ）

（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π 2.锥体外接球

(1)正棱锥与圆锥外接球

P

B

A

H O

H

P

B

A

C

D O

H

B

P

O

222222(PH R)OB OH BH R AH =+?=-+

练习：1.求棱长为a 的正四面体外接球的半径．（正四面体外接球半径是高的3

4）

2.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积．

思考：已知一个棱长为1的正方体，

（1）试探究如何切割可以得到一个棱长为2的正四面体

（2）求出这个正四面体的外接球的半径.

(2)底面为直角三角形，一侧棱与底面垂

直的三棱锥：补成长方体

练习：1.已知三棱锥S-ABC，从S点出发的三条棱两两垂直且SA=1，SB=2，SC=3，则该三棱锥的外接球的半径为（）

2.网格纸上的小正方形边长是1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）

ππππ

专题三.几何体及它的内切球

1.正三棱柱，直三棱柱，圆柱内切球

球的大圆与底面多边形的内切圆全等，且柱

体的高度与球的直接相等

2.棱锥的内切球：等体积法，

1

3

V S r

=

表面积

（r为内切球半径）练习：求棱长为a的正四面体内切球的半径．（正四面体内切球半径是高的

1

4

）

3.圆锥的内切球求法：利用轴截面结合平面几何知识求解

sin

r

PH r

θ=

-

或

1

2

PAB

S r

?

=?

周长

r为内切球

半径，周长为三角形PAB周长

专题练习

练习：1.已知三棱锥S ABC

-的所有顶点都在球O的求面上，ABC

?是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2

SC=；则此棱锥的体积为（）

A H B

M

O

()A 2 ()B 3 ()C 2 ()D 2

3.【2017江苏，6】 如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱

的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2

V ,

则

1

2

V V 的值是_______. 4.已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面

截球

面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于__________________.

5.某圆锥的截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积为_______

6.（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知H 是球O 的直径AB 上一点,:1:2AH HB =,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为_______.

7.已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________．

8.直三棱柱111ABC A B C -的各顶

点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此球的表面积等于

O

O

O ? ?

?

几何体与球的切接问题专项练习

v1.0 可编辑可修改 A O' O B E D C A 空间几何体的三视图与球专项练习 专题一.空间几何体的三视图 1.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体的体积是__________，表面积是__________ 2.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） A.81 B.71 C.61 D.5 1 3.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） （A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10 4.一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形， 侧视图 是等腰三角形. 则该几何体的表面积为（ ） A ．88 B ．98 C ．108 D ．158 专题二.几何体及它的外接球 1.柱体外接球 （1）长方体与外接球 2222(2R)a b c =++ 练习：【2017课标II ，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________ （2）三棱柱、圆柱与外接球 ①正（直）三棱柱、圆柱外接球球心为两底外接圆圆心连线的中点 222OA OE AE =+,其中OA=R

v1.0 可编辑可修改 o A B 2233 3323AE AD AB AB ==? = 求三角形ABC 外接圆半径R ：正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C === 求三角形ABC 内切圆半径r ：面积法1()2ABC S a b c r ?=++?= 1 sin 2ab C 练习：1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) （A ）2a π （B ）27 3 a π （C ）2113a π （D ）2 5a π 2.【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．π B ． 3π4 C ．π2 D ．π4 ②底面有一角为直角的直三棱柱外接球求法 方法一：由①可知球心在AB 的中点，半径算法同 ① 方法二：如图所以，将三棱柱补成长方体，半径 算法与长方体半径算法相同 练习：已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==， 2BC =O 的表面积等于（ ） （A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π 2.锥体外接球 (1)正棱锥与圆锥外接球 B A C H O H A C O H O 222222(PH R)OB OH BH R AH =+?=-+ 练习：1.求棱长为a 的正四面体外接球的半径．（正四面体外接球半径是高的3 4 ） 2.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面 积．

数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题.

高中数学课题研究 几何体与球切、接的问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见. 首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 1 球与柱体的切接 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==；二 是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则GO R a ==；三是球为正方体的 外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则12 A O R a '==.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.

球与各种几何体切、接问题专题(一))

球与各种几何体切、接问题 近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。 首先明确定义1 :若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内 接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2 ：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面 体，这个球是这个多面体的内切球? 一、球与柱体的切接 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题? 1、球与正方体 (1)正方体的内切球，如图1。位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为a ,球的半径为r ,这时有2r =a。 (2)正方体的棱切球,如图2。位置关系：正方体的十二条棱与球面相切,正方体中心与球 心重合; 数据关系：设正方体的棱长为 a ，球的半径为r,这时有2^ 2a 。

(3) 正方体的外接球,如图 3。 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心 与球心重合; = V EF C —直线En 冠得的绽段为球的截面圆船直径27J=√2。 点评；本题考查球与正启悴ft ?撷的问题，;「闭球的Iffi 性质，转化成??求球的截面IS 直径. 2、球与长方体 例2自半径为R 的球面上一点 M ,引球的三条两两垂直的弦 MA, MB ， MC ，求 MA 2 MB 2 MC 2 的值. 数据关系：设正方体的棱长为 a ,球的半径为r ,这时有2r = ? 3a. AI I !> 01 3 √ 例1 棱长为1的正方体ABCD-AB 1C 1D 1的8个顶点都在球 O 的表面上，E , F 分别是棱 AA ，DD I 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为( A .辽 思路分析: 由题意推出，球为正方体的外接球 ?平面AA I DD I 截面所得圆面的半径 AD 1 上，得知直线EF 被球O 截得的线段就是球的截面圆的直径 2 【解析】由题意可知，球为正方体的外接琰 尸面.Li "丄载面所得圆面的半径 5' 二

(完整版)空间几何体与球的切接问题

空间几何体与球的切、接问题 1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） π12.A B.3 32π C.8π D.π4 类型一：三条棱两两垂直可转化为长方体（正方体） 2.在三棱锥 ABC P - 中，31,,===⊥⊥PA BC AC BC AC ABC PA ，平面 则三棱锥外接球的体积为 3.已知球O 上四点A 、B 、C 、D ，ABC DA 平面⊥,a BC AB DA BC AB ===⊥,,则球O 的体积等于 圆柱的外接球 4.直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为 类型二：有一条侧棱垂直于底面可转化为直棱柱 5.已知三棱锥P -ABC 中，三角形ABC 为等边三角形，且PA=8，PB=PC=13,AB=3，则其外接球的体积为 6.在三棱锥ABC P -中,ο120621,=∠===⊥ACB PA BC AC ABC PA ，，，平面， 求三棱锥的外接球的表面积。 圆锥的外接球

7.正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为４，底面边长为２，则该球的表面积为（ ） A.481π B.16π C.9π D.427π 8.在三棱锥A -BCD 中ACD ?与?BCD 都是边长为2的正三角形，且平面ACD ⊥平面BCD,求三棱锥外接球的体积 练习1、在四面体中，平面，AB=AC=1，BC=2，PC=3.则该四面体外接球的表面积为 . 练习2、正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为 2，此时四面体ABCD 外接球表面积为____________ 练习3．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。 P ABC -⊥PC ABC

几何体与球的切接问题专项练习

4. 一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形.则该几 何体的表面积为（） 练习：【2017课标II，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球空间几何体的三视图与球专项练习(A) 60 (B) 30 (C) 20 (D) 10 A.- B. C. D. 面上，则球O的表面积为 ___________ 8 （2）三棱柱、圆柱与外接 球 ①正（直）三棱柱、圆柱外接球球心为两底外接圆圆心连线的中点 3.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A OA2 OE2 AE2 ,其中OA=R 2 2 . 3 3 5 AE - AD AB AB 3 3 2 3 求三角形ABC外接圆半径R:正弦定理 a sin A b sin B c si nC 2R 专题一.空间几何体的三视图 1. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，贝U该几何 体的体积是___________ 表面积是____________ A. 88 .158 专题二.几何体及它的外接球 1.柱体外接球 （1）长方体与外接球 2. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩 2 2.2 2 (2R) a b c 余部分体积的比值为（）

2.【2017课标3,理8】已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个 球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A.n B. 3n C. - D.- 4 2 4 ②底面有一角为直角的直三棱柱外接球求法 方法一：由①可知球心在AB 的中点，半径算法同 ① 方法二：如图所以，将三棱柱补成长方体，半径 算法与长 方体半径算法相同 练习：1.求棱长为a 的正四面体外接球的半径.（正四面体外接球半径是高的 2.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4,底面边长为2,求该球的表面 积. 练习：已知S,代B,C 是球0表面上的点， SA 平面ABC , AB BC , SA AB 1 , BC '.2,则球O 的表面积等于（ ） 求三角形ABC 内切圆半径r :面积法S ABC (a b c) r = absinC 2 2 2.锥体外接球 练习：1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ,顶点都在一个球面上，则该 （1）正棱锥与圆锥外接球 球的表面积为（） OB 2 R 2 (PH R)2 AH 2 (A ) 4 (B ) 3 (C ) 2 (D ) 3 3)

解决几何体的外接球与内切球

解决几何体的外接球与内 切球 Newly compiled on November 23, 2020

解决几何体的外接球与内切球，就这6个题型！ 一、外接球的问题 简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键． （一）由球的定义确定球心 在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心． 由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论． 结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点． 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点． 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点． 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到． 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心． （二）构造正方体或长方体确定球心 长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．

途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体． 途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体． 途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体． 途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体． （三）由性质确定球心 利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心． 二、内切球问题 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。

几何体的外接球与内切球讲解学习

几何体的外接球与内切球 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、体积分割是求内切球半径的通用做法。 一、外接球 （一）多面体几何性质法 1、 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 2、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3， 则此球的表面积为 。 （二）补形法 1、，则其外接球的表面积是 . 2、设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若PA PB PC a ===, 则球心O 到截面ABC 的距离是 . 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径. 设其外接球的半径为R ，则有2R = 3、三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥 O ABC -外接球的表面积为（ ） A ．2 6a π B ．2 9a π C ．212a π D ．2 24a π 4、三棱锥ABC P -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ?是正三角形 ⊥PA 平面 62,==AB PA ABC 则该球的体积为（ ） A. π316 B. π332 C. π48 D. π364 答案及解析： 10.B

空间几何体的内切球和外接球问题

空间几何体的内切球与外接球问题 1．[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12π π C ．8π D ．4π [解析]A 因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外 接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2 ＝12π. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC - A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A ．4π C ．6π [解析]B 当球与三侧面相切时，设球的半径为r 1，∵AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，∴8－r 1 ＋6－r 1＝10，解得r 1＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为 r 2，则2r 2＝3，即r 2＝32.∴球的最大半径为32，故V 的最大值为43π×? ????323＝92π. 3.[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD 中，∠CBA＝120°，AD ＝4，对角线BD ＝23， 将其沿对角线BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为________． 答案：2053π；解析：因为∠CBA ＝120°，所以∠DAB ＝60°，在三角形ABD 中，由余 弦定理得(23)2 ＝42 ＋AB 2 －2×4·AB ·cos 60°，解得AB ＝2，所以AB ⊥BD .折起后平面ABD ⊥平面BCD ，即有AB ⊥平面BCD ，如图所示，可知A ，B ，C ，D 可看作一个长方体中的四 个顶点，长方体的体对角线AC 就是四面体ABCD 外接球的直径，易知AC ＝22＋42 ＝25， 所以球的体积为205 3 π. 4.[2016·山西右玉一中模拟] 球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大值为( ) C ．2 3 D ．4 选A ；[解析] (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球的对称性可知，当S 在“最高点”，即H 为AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥S -ABC 的体积最大． 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝23 3 . 在Rt △SHO 中，OH ＝12OC ＝3 3， 所以SH ＝ ? ????2332－? ?? ??332 ＝1，

球与几何体的切、接问题

球与几何体切、接问题球与正方体 正方体的内切球 球与正方体的棱相切 正方体的外接球正四面体与球的切接问题 （1）正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合； 正四面体的外接球和内切球的半径 是多少？ 球与长方体 结论：长方体的外接球直径是长方体的对角线． 例 1 棱长为1的正方体 1111 ABCD A B C D -的8个顶点都在球O的表面上，E F ， 分别是棱 1 AA， 1 DD的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（） A． 2 2 B．1C． 2 1 2 +D．2 例2 自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA, ,，求 2 2 2MC MB MA+ +的值． 例 3（全国卷I高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π

一．选择题（共16小题） 1．（2014?广西）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（） A．B．16πC．9πD． 2．（2014?宝鸡三模）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（） A．4πB．8πC．D． 3．（2014?锦州一模）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A．29πB．30πC．D．216π 4．（2014?西藏一模）三棱锥S﹣ABC 的顶点都在同一球面上，且 ，则该球的体积为（） A．B．C．16πD．64π 5．（2014?临汾模拟）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=6，则该球的体积为（） A．16πB．32πC．48πD．64π 6．（2014?沈阳模拟）四个顶点都在球O上的四面体ABCD所有棱长都为12，点E、F分别为棱AB、AC的中点，则球O截直线EF所得弦长为（） A．6B．12 C．6D．6 7．（2013?辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（） A．B．C．D． 8．（2013?河池模拟）将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的表面积为（）A．25πB．50πC．5πD．10π 9．（2013?黄梅县模拟）已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（）A．B．C．D． 10．（2013?郑州一模）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为、、，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．2πB．4πC．6πD．24π

几何体的外接球和内切球问题2019

α R P d r O O' 几何体的外接球和内切球问题 基础知识： 1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆 长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半； 正三角形的内切圆半径： 3 6 a外接圆半径： 3 3 a三角形面积：2 3 4 a 正三角形三心合一，三线合一，心把高分为2:1两部分。 2．球的概念： 概念1：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球.，定长叫球的半径； 与定点距离等于定长的点的集合叫做球面.一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球O或O． 概念2：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球。 3．球的截面： 用一平面α去截一个球O，设OO'是平面α的垂线段，O'为垂足，且 OO d '=，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以22 r R d =-为半 径的一个圆，截面是一个圆面. 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做 小圆. 4．空间几何体外接球、内切球的概念： 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 长方体的外接球正方体的内切球 5．外接球和内切球性质： （1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 （2）正多面体的内切球和外接球的球心重合。 （3）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。

简单几何体的外接球与内切球问题

简单几何体的外接球与内切球问题 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 一、 直棱柱的外接球 1、 长方体的外接球： 长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对

角线长l 即2 2 22c b a R ++= 2、 正方体的外接球： 正方体的棱长为a ，则正方体的体对角线为a 3，其外接球的直径R 2为a 3。 3、 其它直棱柱的外接球： 方法：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。 例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 例2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 二、 棱锥的外接球 1、 正棱锥的外接球 方法：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的方程。 例3、正四棱锥 S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积

几何体与球的切接问题专项练习

A O' O B E D C E' D' B' A'C' A o 空间几何体的三视图与球专项练习 专题一.空间几何体的三视图 1.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体的体积是__________，表面积是__________ 2.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积 与剩余部分体积的比值为（ ） A.81 B.71 C.61 D.5 1 3.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） （A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10 4.一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形. 则该几何体的表面积为（ ） A ．88 B ．98 C ．108 D ．158 专题二.几何体及它的外接球 1.柱体外接球 （1）长方体与外接球 2222(2R)a b c =++ 练习：【2017课标II ，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________ （2）三棱柱、圆柱与外接球 ①正（直）三棱柱、圆柱外接球球心为两底外接圆圆心连线的中点 222OA OE AE =+,其中OA=R 2233 3323AE AD AB AB ==?= 求三角形ABC 外接圆半径R ：正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C === 求三角形ABC 内切圆半径r ：面积法1()2ABC S a b c r ?=++?= 1 sin 2ab C 练习：1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，

几何体与球的切接问题

方法技巧专题 ——几何体与球的切接问题 一、几何体的外接球 例1 (1)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________． 【解析】 本题主要考查简单的组合体和球的表面积．画出球的轴截面可得，球的直径是正方 体的对角线，所以有球的半径R ＝332 ，则该球的表面积为S ＝4πR 2＝27π.故填27π. (2)求棱长为1的正四面体外接球的体积． 【解析】 设SO 1是正四面体S －ABC 的高，外接球的球心O 在SO 1上，设外接球半径为R ，AO 1＝r ， 则在△ABC 中，用解直角三角形知识得r ＝ 33， 从而SO 1＝SA 2－AO 21＝1－13＝23 ， 在Rt △AOO 1中，由勾股定理得R 2＝( 23－R )2＋(33)2，解得R ＝64， ∴V 球＝43πR 3＝43π(64)3＝68 π. 探究1 (1)①球的表面积和体积都是半径R 的函数．对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系．画出轴截面是正确解题的关键． ②长方体的外接球直径是长方体的对角线． (2)正四面体的高线与底面的交点是△ABC 的中心且其高线通过球心，这是构造直角三角形解题的依据．此题关键是确定外接球的球心的位置，突破这一点此问题便迎刃而解，正四面体外接球的 半径是正四面体高的34，内切球的半径是正四面体高的14 . 思考题1 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( ) A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π 【解析】 由V ＝Sh ，得S ＝4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的

几何体与球的切接问题专项练习

空间几何体的三视图与球专项练习 专题一.空间几何体的三视图 1.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体的体积是__________，表面积是__________ 2.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） A.81 B.71 C.61 D.5 1 3.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） （A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10 4.一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形. 则该几 何体的表面积为（ ） A ．88 B ．98 C ．108 D ．158 专题二.几何体及它的外接球 1.柱体外接球 （1）长方体与外接球 2222(2R)a b c =++ 练习：【2017课标II ，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________ （2）三棱柱、圆柱与外接球 ①正（直）三棱柱、圆柱外接球球心为两底外接圆圆心连线的中点 222OA OE AE =+,其中OA=R 2233AE AD AB AB === 求三角形ABC 外接圆半径R ：正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C === 求三角形ABC 内切圆半径r ：面积法1()2ABC S a b c r ?=++?= 1 sin 2ab C 练习：1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该 球的表面积为( ) （A ） （B ） （C ） （D ） 2.【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．π B ． 3π4 C ．π2 D ．π4 ②底面有一角为直角的直三棱柱外接球求法 方法一：由①可知球心在AB 的中点，半径算法同 ① 方法二：如图所以，将三棱柱补成长方体，半径 算法与长方体半径算法相同 练习：已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB == ， BC =O 的表面积等于（ ）

几何体与球的切接问题专项练习

A O' O B E D C E' D'B' A' C' A o 空间几何体的三视图与球专项练习 专题一.空间几何体的三视图 1.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体的体积是__________，表面积是__________ 2.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） A.81 B.71 C.61 D.5 1 3.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） （A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10 4.一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形. 则该几 何体的表面积为（ ） A ．88 B ．98 C ．108 D ．158 专题二.几何体及它的外接球 1.柱体外接球 （1）长方体与外接球 2222(2R)a b c =++ 练习：【2017课标II ，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________ （2）三棱柱、圆柱与外接球 ①正（直）三棱柱、圆柱外接球球心为两底外接圆圆心连线的中点 222OA OE AE =+,其中OA=R 22333323AE AD AB AB = =?= 求三角形ABC 外接圆半径R ：正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===

o A B 求三角形AB C 内切圆半径r ：面积法1()2ABC S a b c r ?=++?= 1 sin 2ab C 练习：1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) （A ）2a π （B ）273a π （C ）211 3 a π （D ）2 5a π 2.【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．π B ．3π4 C ．π2 D ．π4 ②底面有一角为直角的直三棱柱外接球求法 方法一：由①可知球心在AB 的中点，半径算法同 ① 方法二：如图所以，将三棱柱补成长方体，半径 算法与长方体半径算法相同 练习：已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==， 2BC =O 的表面积等于（ ） （A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π 2.锥体外接球 (1)正棱锥与圆锥外接球 B A H O H C O H O 222222(PH R)OB OH BH R AH =+?=-+ 练习：1.求棱长为a 的正四面体外接球的半径．（正四面体外接球半径是高的3 4） 2.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积．