等腰三角形三线合一专题练习[1]

等腰三角形三线合一专题训练1

例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

—

变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。^

变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.

（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.

B

[ A D

>

变3：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°

,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。

@

⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。

（

(1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ． 求证：DE=DF ．

M N

D C

B A M

N

D

C

B A

D

B

C

F A

E

(2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点． 求证：BE=CF ．

D

B

C

F A

E

<

利用面积法证明线段之间的和差关系

1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，?CF ⊥AB 于F ，那么PD+PE 与CF 相等吗

]

变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。

Ｆ

Ｆ

1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（）

A 17

B 22

C 17或22

D 13

根据等腰三角形的性质寻求规律

)

例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大

小与∠A的大小有什么关系

若∠1=1

3

∠ABC，∠2=

1

3

∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何

若∠1=1

n

∠ABC，∠2=

1

n

∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何

'

会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD?将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．

？

利用等腰三角形的性质证线段相等

例3．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，?以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ． ；

（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．

例1、等腰三角形底边长为5cm ，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分，则腰长为（ ） A 、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定

例2、已知AD 为△ABC 的高，AB=AC ，△ABC 周长为20cm ，△ADC 的周长为14cm ，求AD 的长。

*

例3、如图，已知BC=3，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，OE ∥AB ，OF ∥AC ，求△OEF 的周长。

《

例4、如图，已知等边△ABC 中，D 为AC 上中点，延长BC 到E ，使CE=CD ，连接DE ，试说明DB=DE 。

A ? C A

B C

D

,

A

B

F

C

O

E

例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450，则这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、等边三角形 D 、等腰直角三角形

例6、（1）等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为 。

】

（2）直角三角形的周长为12cm ，斜边的长为5cm ，则其面积为 ； （3）若直角三角形三边为1，2，c ，则c= 。

例7、下列说法：①若在△ABC 中a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形；

②若△ABC 是直角三角形，∠C=900，则a 2+b 2=c 2； ③若在△ABC 中，a 2+b 2=c 2，则∠C=900；

④若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。 正确的有 （把你认为正确的序号填在横线上）。

例8、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形，则这样的P 点

有（ ）

（A ）1个（B ）4个（C ）7个（D ）10个

{

例9. 四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ） A ．2 B ．3

C ．22

D ．23

例10. 已知△ABC 为正三角形，P 为其内一点，且AP=4，BP=32，CP=2，则△ABC 的边长为 （ ） （A ） 52 （B ）72 （C ）4 （D ）24

%

三．巩固练习

1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于9，求它的周长。

2、在△ABC 中，AB=AC ，∠B=400，则∠A= 。

3、等腰三角形的一个内角是700，则它的顶角为 。

4、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为 .140°呢

5、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝105o ，直线BD 交AC 于D ，

D

C

—

把直角三角形沿着直线BD 翻折，点C 恰好落在斜边AB 上， 如果△ABD 是等腰三角形，那么∠A 等于 （ ） (A)40o (B) 30o (C) 25o (D )15o

6、若△ABC 三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，则△ABC 的形状为（ ） （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）等边三角形

7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是…………………… （ ）。

A 、有一腰和一角对应相等

B 、有两边对应相等

C 、有顶角和一个底角对应相等

D 、有两角对应相等 ]

8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）

A 、顶角

B 、底角

C 、顶角的一半

D 、底角的一半

9、在等腰三角形ABC 中，∠A 与∠B 度数之比为5∶2，则∠A 的度数是（ ）

A 、100°

B 、75°

C 、150°

D 、75°或100°

10、如图，P 、Q 是△ABC 边BC 上的两点，且QC ＝AP ＝AQ ＝BP ＝PQ ，则∠BAC ＝…（ ）

A 、1250

B 、1300

C 、900

D 、1200

11、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 为中线，图中共有等腰三角形（ ）个。

A 、4个

B 、6个

C 、3个

12、如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ，∠ACE ＝280，则∠B 的度数是…………（ ） A 、600 B 、700 C 、760 D 、450 13、如图是一个等边三角形木框，甲虫P 在边框AC 上（端点A 、C 除外），设

甲虫P 到

另外两边距离之和为d ，等边三角形ABC 的高为h ， 。

则d 与h 的大小关系是（ ）

【解题方法指导】

Q

10题图

11题图

）

*

例1. 已知，如图，AB ＝AC ＝CD ，求证：∠B ＝2∠D

A

B C

D

例2. 已知，如图，△ABC 是等边三角形，AD D A

B C （2005年 苏州） 如图，等腰三角形ABC 的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD ＝________。

A

B C

D

】

例2. 已知，如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交AC 于D ，AD ＝8，∠A ＝30°，求CD 的长。

C

D

A B

E

例3. 已知，如图，△ABC 是等边三角形，E 是AB 上一点，D 是AC 上一点，且AE ＝CD ，又BD 与CE

交于点F ，试求∠BFE 的度数。

A

E D

F

B C

【综合测试】

1. 已知，如图，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：DB＝DC

A

B C

D

2. 已知，如图，D、E是BC上两点，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE

A

B D E C

{

3. 已知，如图，△ABC中，DE

A

D E

B C 已知，如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一

点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F，又BD＝CE，求证：DF＝EF

A

D

B C

E

F

5. 已知，如图，D是BC上一点，△ABC、△BDE都是等边三角形，求证：AD＝CE

A

B D C

E

6. 已知，如图，△ABC 中，∠B ＝90°，AC 的垂直平分线交AC 于D ，交BC 于E ，又∠C ＝15°，EC

＝10，求AB 的长。

A

D

B C

E

例6、如图11，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 边中点，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE ⊥DF ，求证：AE ＋AF 是一个定值. 证明：连接AD ，

∵AB ＝AC ，D 为BC 中点，∴AD ⊥BC ，

（

∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴∠BAD ＝45°，∠CAD ＝45°，∴AD ＝BD ＝CD ， ∵∠EDF ＝90°，∴∠EDA ＋∠ADF ＝90°，

又由AD ⊥BC 得∠BDE ＋∠ADE ＝90°，∴∠BDE ＝∠ADF ，

在△BDE 和△ADF 中，∠B ＝∠DAF ，BD ＝AD ，∠BDE ＝∠ADF ，∴△BDE ≌△ADF ， ∴BE ＝AF ，∴AE ＋AF ＝AE ＋BE ＝AB （定值）. 思考：四边形AEDF 的面积是否也是定值呢为什么

例4、如图9，已知AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF ＝AC ，FD ＝CD ，你认为BE 与AC 之间有怎样的位置关系你能证明它吗

证明：线段BE ⊥AC ，理由如下：

》

∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，

图

9

B

C

D 图11

∴∠FBD ＋∠BFD ＝90°，

在Rt △BDF 和Rt △ADC 中，BF ＝AC ，FD ＝CD ， ∴Rt △BDF ≌Rt △ADC ，

∴∠BFD ＝∠C ，∴∠FBD ＋∠C ＝90°，

∴∠BEC ＝180°－（∠FBD ＋∠C ）＝180°－90°＝90°，即BE ⊥AC.

例5、如图10，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，M 是AB 上一点，求证：2222AM BM CM +=. 证明：过C 作CD ⊥AB 于点D ， ∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD ⊥AB ， ∴∠A ＝∠B ＝45°，∠ACD ＝∠BCD ＝45°，

（

∴∠A ＝∠ACD ，∠B ＝∠BCD ，

∴AD ＝BD ，BD ＝CD ，即AD ＝BD ＝CD ， ∵CD ⊥AB ，∴222DM CD CM +=，

∴2222222

()()2()2AM BM AD DM BD DM DM CD CM +=-++=+=. 思考：请同学们试试用另外的方法来证明本题.

例1、如图5，在△ABC 中，AB ＝AC ，点O 在△ABC 内，OB ＝OC ，求证：AO ⊥BC. 证明：延长AO 交BC 于点D ，

∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，OA ＝OA ，∴△ABO ≌△ACO ，

\

∴∠BAO ＝∠CAO ，即∠BAD ＝∠CAD ， ∴AD ⊥BC ，即AO ⊥BC.

例2、如图6，在等边△ABC 中，D 、E 分别在边BC 、BA 的延长线上，且AE ＝BD ，求证：CE ＝DE. 证明：过E 作EF ⊥CD 于点F ，

图6

F 图

10

A M

图

5

∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∴∠BEF ＝30°， ∴BE ＝2BF ，即BA ＋AE ＝BC ＋BD ＝2BC ＋CD ＝2（BC ＋CF ）， ∴CD ＝2CF ， ∴CF ＝DF ，

】

在△CEF 和△DEF 中，CF ＝DF ，∠CFE ＝∠DFE ＝90°，EF ＝EF ，

∴△CEF ≌△DEF ，∴CE ＝DE.

例3、如图7，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为底边BC 上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ，求证：PD ＋PE 是一个定值.

解：连接AP ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，

由12ABC S AB CF ?=

?，1

2PAB S AB PD ?=?， 11

22PAC S AC PE AB PE ?=?=?，ABC PAB PAC S S S ???=+，

得：111

222

AB CF AB PD AB PE ?=?+?，

即，PD PE CF +=（定值）.

说明：本例的结论可用文字语言叙述为：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高. 拓展：如果点P 不是在边BC 上，而是在BC 的延长线上，其它条件保持不变，那么PD 与PE 之间又有怎样的关系呢

^

解：连接AP ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，（如图8）

由12ABC S AB CF ?=

?，1

2PAB S AB PD ?=?， 11

22

PAC

S AC PE AB PE ?=?=?， ABC PAB PAC S S S ???=-，

得：111

222

AB CF AB PD AB PE ?=?-?，

即,PD PE CF -=（定值）.

即，当点P 在BC 延长线上时，PD 与PE 之差为一定值.

基础训练：1、填空题：

（1）等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是 。 】

（2）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是 ；如果等腰三角形的两

图7

P

E

边长分别是4、8，那么它的周长是 。 （3）等腰三角形的对称轴最多有 条。 2、填空题：

（1）如果△ABC 是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（ ）

A 、三条边长分别是5，5，11

B 、三条边长分别是4，4，8

C 、周长为14，其中两边长分别是4，5

D 、周长为24，其中两边长分别是6，12 （2）等腰三角形一边长为2，周长为5，那么它的腰长为（ ）

A 、3

B 、2

C 、

D 、2或

3、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，周长为35cm ，求等腰三角形各边的长。

4、已知：如图，AD 平分∠BAC ，AB=AC ，请你说明△DBC 是等腰三角形。 %

《

5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组 的解， 求这个三角形的各边长。

（1）等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。 （2）等腰三角形有一个角是120°，那么其他两个角的度数是 和 。 （3）△ABC 中，∠A=∠B=2∠C ，那么∠C= 。

（4）在等腰三角形中，设底角为x °，顶角为y °，则用含x 的代数式表示y ，得y= ；用含y 的代

数式表示x ，得x= 。 2、选择题：

（1）等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于（ ） #

A 、40°

B 、100°

C 、70°

D 、40°或70°

（2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）

A 、顶角

B 、底角

C 、顶角的一半

D 、底角的一半

（3）在等腰三角形ABC 中，∠A 与∠B 度数之比为5∶2，则∠A 的度数是（ ）

A 、100°

B 、75°

C 、150°

D 、75°或100°

（4）等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，则“①AD ⊥BC ，②BD=DC ，

③∠B=∠C ，④∠BAD=∠CAD ”中，结论正确的个数是（ ） A 、4 B 、3 C 、2 D 、1

3、如图，已知△ABC 中，D 在BC 上，AB=AD=DC ，∠C=20°，求∠BAD 。

4、如图，已知△ABC 中，点D 、E 在BC 上， AB=AC ，AD=AE 。请说明BD=CE 的理由。

A B

C

D

x+2y=4 3x+y=7

{ A B

.

D

E

* B C D

1、填空题：

（1）在△ABC 中，∠A 的相邻外角是110°，要使△ABC 是等腰三角形，则∠B= 。 "

（2）在一个三角形中，等角对 ；等边对 。

（3）如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各内角的度数是 。 （4）如图，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，且∠C=2∠A ， 则图中等腰三角形共有 个。

2、选择题：

如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=108°，∠ADB=72°， !

DE 平分∠ADB ，则图中等腰三角形的个数是（ ）

A 、3

B 、4

C 、5

D 、6

^

3、如图，在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于点O ，且OB=OC ，请说明AB=AC 的理由。

4、如图，已知∠EAC 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC ，请说明AB=AC 的理由。

5、如图，AB=AC ，∠ABD=∠ACD ，请你说明AD 是BC 的中垂线。

A

B C D

A

B C

D

E

A B

C

D

B C

B D

等腰三角形性质三线合一”专题

等腰三角形性质：三线合一”专题 等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是 著名的等腰三角形 “三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之， 如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合， 那么这个三角形就是等腰三角形。 【例题讲解】 例二：如图△ ABC 中，AB = AC, / A = 36°, BD 平分/ ABQ DE 丄 AB 于 E ,若 CD= 4，且△ BDC 周长为 24，求 AE 的长度。 变式练习1-2 已知，如图所示, 求证：AD 垂直平分EF 。 AD >△ ABC ，DE DF 分另U >△ ABDA ACD 的高。 求证：AD 垂直平分BG

例三?等腰三角形顶角为 ，一腰上的高与底边所夹的角是 ，则 与 的关系式为 图2 分析：欲证/ ACE=/ B,由于AC=AB 因此只需构造一个与 Rt △ ACE 全等的三角形，即做底边 BC 上的高即可。 证明：作 ADL BC 于D, ?/ AB=AC 1 ??? BD BC 2 1 又??? CE BC , 2 ? - BD=CE 在 Rt △ ABD 和 Rt △ ACE 中， AB = AC, BD=CE ? Rt △ ABD^ Rt △ ACE( HL )。 ? / ACE 玄 B 例五?已知：如图3,等边三角形 ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线一点，CE=CD DM L BC 于M,求证: M 是BE 的中点。 分析：如图1，AB=AC EAC 90° / C ，/ BD 丄AC 于D,作底边 BC 上的高 AE, E 为垂足，则可知/ EAC=/ EAB - 又/ 2 ， 90° / C ，所以 例四?已知：如图2, △ ABC 中，AB=AC CE!AE 于E , CE 1 — 。 2 1 BC , E 在厶 ABC 外,求证：/ ACE / B 。 2 图1

三线合一专题练习

三线合一专题练习 一、直接运用三线合一证题 1、如图，在Rt ABC △中， 90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知 10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ）A ． 30 B ． 40 C ． 50 D ． 60 2、已知，如图1，AD 是?ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是?ABD 和?ACD 的高。 求证：AD 垂直平分EF A 1 2 E F B D C 图1 3、如图2，?ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高，AD 的中点为M ，CM 的延长线交AB 于点K ，求证：AB AK =3 A K M E 图2 二、做辅助线利用三线合一 4、如图3，在?ABC 中，∠=A 90 ，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F 求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥ A E F B D P 图3

5、如图，在等腰梯形ABCD中，G为对角线交点，△ADG、△GBC为正三角形。F、E、H为AG、BG、DC的中点。连接CE BF （1）求证：△EFH为正三角形； （2）若AD=2，BG=3，求S△EFH； ACB ADB90 ，M、N分别为AB、CD的中6、如图4，已知四边形ABCD中，∠=∠= ⊥ 点，求证：MN CD C N D A M B 图4 7、如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 A D 1 B M C E

等腰三角形三线合一

.选择题（共11小题） 1. （2017?绵阳）下列图案中，属于轴对称图形的是（ ） 【分析】根据轴对称图形的定义求解可得. 【解答】解：A ,此图案是轴对称图形，有5条对称轴，此选项符合题意; B 、 此图案不是轴对称图形，此选项不符合题意； C 、 此图案不是轴对称图形，而是旋转对称图形，不符合题意； D 、 此图案不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A . 【点评】本题主要考查轴对称图形，掌握其定义是解题的关键：如果一个图形沿 一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念求解. 【解答】解：A 、不是轴对称图形，不合题意; B 、不是轴对称图形，不合题意; C 、 是轴对称图形，符合题意； D 、 不是轴对称图形，不合题意. 故选：C. 【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴, 图形两部分折叠后可重合. 3. （2017?呼和浩特）图中序号（1） （2） （3） （ 4）对应的四个三角形，都是△ A . 2. （2017?重庆）下列图形中是轴对称图形的是（ B. )

ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（）

【分析】轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，据此判断出通过轴对称得到的是哪个图形即可. 【解答】解：???轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形， ???通过轴对称得到的是（1）. 故选：A. 【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，进行分析判断. 4?如图，已知点P到AE, AD, BC的距离相等，有下列说法: ①点P在/ BAC的平分线上； ②点P在/ CBE的平分线上； ③点P在/ BCD的平分线上； ④点P在/ BAC，/ CBE / BCD的平分线的交点上. C.④ D.②③ 【分析】根据角平分线的性质定理进行判断即可. 【解答】解：???点P到AE, AD的距离相等, ???点P在/ BAC的平分线上，①正确； ???点P到AE, BC的距离相等， ???点P在/ CBE的平分线上，②正确；

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等腰三角形三线合一专题训练1 例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。 求证：BC=AB+DC。 变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。 变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. （1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.

变3：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90° ,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。 ⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。 (1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ． 求证：DE=DF ． D B C F A E M N D C B A M N D C B A

(2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点． 求证：BE=CF ． D B C F A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，?CF ⊥AB 于 F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？

变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。 Ｆ Ｆ 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（） A 17 B 22 C 17或22 D 13 根据等腰三角形的性质寻求规律 例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=1 2 ∠ABC，∠2= 1 2 ∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小 与∠A的大小有什么关系？ 若∠1=1 3 ∠ABC，∠2= 1 3 ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？ 若∠1=1 n ∠ABC，∠2= 1 n ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

等腰三角形三线合一

等腰三角形的性质教案设计 诸城市密州街道卢山中学钟宪梅 教案背景： 面向：初二学生 教学方法： 自主合作，交流探究 教材分析 等腰三角形的性质是三年制初二学生学习的内容，教材从动手实践中得出等腰三角形的两个底角相等以及等腰三角顶角的角平分线，底边的中线以及底边的高线三线合一，然后利用等腰三角形是轴对称图形进行了理论论证。 课时：1课时 课前准备： 学生自己用硬纸板做一个两边相等的等腰三角形，一个三边相等的等腰三角形（等边三角形） 等腰三角形的性质教学设计 教学目标 1、掌握等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一的性质，并能运用它们进行有关的论证和计算。 2、理解等腰三角形和等边三角形性质定理之间 的联系。 重点：等腰三角形的三线合一

难点：等腰三角形的三线合一的应用 一、课前预习 1、什么样的三角形叫做等腰三角形？ 2、指出等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。首先教师提问了解前置知识掌握情况。 二、构设悬念，创设情境 1、一般三角形有哪些性质？ 2、等腰三角形除具有一般三角形的性质外，还有那些特殊性质？把问题作为教学的出发点，激发学生的学习兴趣。 三、目标导向，自然引入 本节课我们一起研究——等腰三角形的性质。 四、设问质疑，探究尝试 请同学们拿出准备好的等腰三角形，与教师一起按照要求，把两腰叠在一起。 [问题]通过观察，你发现了什么结论？ [结论] 1、 2、 3、三线合一 [填空]根据等腰三角形性质定理的推论，在△ABC中（符号语言）（1）∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠＿=∠＿，＿=＿； （2）∵AB=AC，AD是中线，

∴∠＿=∠＿，＿⊥＿； （3）∵AB=AC，AD是角平分线， ∴＿⊥＿，＿=＿。 五、变式训练，巩固提高 达标练习一 A组：根据等腰三角的形性质定理 (1)等腰直角三角形的每一个锐角都等于多少度？ (2)若等腰三角形的顶角为40°， 则它的底角为多少度? (3)若等腰三角形的一个底角为40°,则它的顶角为多少度? B组：根据等腰三角形的性质定理 (1)若等腰三角形的一个内角为40°,则它的其余各角为多少度? (2) 若等腰三角形的一个内角为120°,则它的其余各角为多少度? (3)等边三角形的三个内角有什么关系?各等于多少度? 从而引出推论 2 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°. 达标练习二 A组：等腰三角形斜边上的高把直角分成两个角，求这两个角的度数。B组：已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100°。求顶架上∠B、∠C、 ∠BAD、∠CAD的度数。 六、小结

等腰三角形三线合一典型题型

等腰三角形三线合一专题训练 例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。 求证：BC=AB+DC。 变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。 变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. （1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB. C E A D

变3：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。 ⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。 (1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ． 求证：DE=DF ． M N D C B A M N D C B A

D B C F A E (2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点． 求证：BE=CF ． D B C F A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，?CF ⊥AB 于F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？

变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。 Ｆ

等腰三角形及三线合一经典试题难题

等腰三角形及三线合一经典试题 难题 1．等腰三角形的对称轴是（ ） 2． 1、等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） 2．2、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 3．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40°C ．40°D ．80° 4．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．108° 5．等腰三角形的一个内角为 80 ，则另两个内角的度数为 6．等腰三角形底边长为10，则腰长的取值范围为 7．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________． 8. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若 ∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 9.如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 10. 已知如图: △ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE, 则BD ＝CE ( ) 11. 已知：如图：CA=CB, DA=DB 求证：(1)∠1=∠2．(2)CD ⊥AB ． A B C D F E C B A D E P E C A H F G

E D C A B H F 12.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE?都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ， ①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ； ③判断△CFH 的形状并说明理由． 13．如图， 中， ，试说明： ． 14.如图3，在?ABC 中，∠=A 90ο ，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F 求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥ A E F B D P C 图3 15.已知，如图1，AD 是?ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是?ABD 和?ACD 的高。 求证：AD 垂直平分EF A 1 2 E F B D C 图1

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1、如图，已知AC 平分∠BAD,CE ⊥AB 于E，CF⊥AD 于F，且BC="CD." ：△BCE≌△DCF （1）求证 （2）若AB=17 ，AD=9 ，求AE 的长. 2、如图，已知AB=AC, ∠A=36°，AB 的中垂线M N 交AC 于点D,交AB 于点M, ：（1）BD 平分∠ABC ； 求证 等腰三角形. （2）△BCD为 3、已知：如图∠BAC 的角平分线与BC 的垂直平分线D G 交于点D,DE⊥AB,DF ⊥AC ,垂足分别 为E，F． ⑴试说明：BE=CF ； ⑵若AF=3 ，BC=4 ，求△ABC 的周长．

4、如图，△ABC 中，AC ＝BC，∠ACB ＝90°，点D为B C 的中点，点 E 与点C 关于直线AD对称，CE 与AD、AB 分别交于点F、G，连接BE、BF、GD 等腰直角三角形；（2) ∠ADC ＝∠BDG. 求证 ：(1) △BEF为 5、如图，在等腰Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE⊥CD 于E， BF⊥CD 交CD 的延长线于F，CH⊥AB 于H 点，交AE 于G． （1）试 明AH ＝BH 说 ：BD＝CG． （2）求证 的数量关系 （3）探索AE 与EF、BF 之间 6、（本题14 分）如图（1），在△ABC 和△EDC 中，D为△ABC边A C 上一点，CA 平分 ∠BCE ，BC＝CD，AC ＝CE. ：△ABC ≌△EDC； （1）求证 接BE 交AC 于F，G为 边CE 上一点，满足CG＝（2），若∠ACB ＝60°，连 （2）如图 CF，连接DG 交BE 于H. ①求∠DHF 的度数； ②若EB 平分∠DEC，试说明：BE 平分∠ABC.

等腰三角形性质：三线合一”专题

等腰三角形性质：三线合一”专题 等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。 【例题讲解】 例1． 如图所示，在等腰△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 在AD 上。 求证：BE=CE 。 变式练习1-1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是形外一点，且BD=CD 。求证：AD 垂直平 分BC 。 变式练习1-2 已知，如图所示，AD 是△ABC ，DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的 高。求证：AD 垂直平分EF 。 例二：如图△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，若CD ＝4，且△ BDC 周长为24，求AE 的长度。 A B C E D

例三. 等腰三角形顶角为α，一腰上的高与底边所夹的角是β，则β与α的关系式为β=___________。 图1 分析：如图1，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，作底边BC 上的高AE ，E 为垂足，则可知∠EAC=∠EAB = 1 2 α，又∠EAC C C =-=-9090°∠，∠°∠β，所以∠，EAC == ββα1 2 。 例四. 已知：如图2，△ABC 中，AB=AC ，CE ⊥AE 于E ，CE BC = 1 2 ，E 在△ABC 外，求证：∠ACE=∠B 。 图2 分析：欲证∠ACE=∠B ，由于AC=AB ，因此只需构造一个与Rt △ACE 全等的三角形，即做底边BC 上的高即可。 证明：作AD ⊥BC 于D ， ∵AB=AC ， ∴BD BC = 1 2 又∵CE BC =1 2 ， ∴BD=CE 。 在Rt △ABD 和Rt △ACE 中， AB ＝AC ，BD=CE ， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACE （HL ）。 ∴∠ACE=∠B 例五. 已知：如图3，等边三角形ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线一点，CE=CD ，DM ⊥BC 于M ，求证：

七级三角形三线合一性质专题

F E D C B A E D C B A B ' C B A 专题四（第九讲）：三角形三线性质 金牌数学专题系列 导入 知识要点 三角形的 重要线段 意义 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 D C B A 1.AD 是△ABC 的BC 上的高线. 2.AD ⊥BC 于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中的 线段 D C B A 1.AE 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BE=EC= 12 BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 21 D C B A 1.AM 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2= 1 2 ∠BAC. 双基练习 一、选择题： 1.如图1所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC 沿直线AC 翻折180°,使点B 落在点B ′的位置,则线段AC 具有性质( ) A.是边BB ′上的中线 B.是边BB ′上的高 C.是∠BAB ′的角平分线 D.以上三种性质合一 (1) (2) (3) 2.如图2所示,D,E 分别是△ABC 的边AC,BC 的中点,则下列说法正确的是( ) A.DE 是△BCD 的中线 B.BD 是△ABC 的中线 C.AD=DC,BD=EC D.∠C 的对边是DE 3.如图3所示,在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC =4cm 2 ,则S 阴影等于( ) 小学时上课爱睡觉。一次语文课老师布置作业写一篇作文，题目是《假如我是蜘蛛》。

等腰三角形三线合一典型题型

等腰三角形三线合一专题训练 姓名 例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。 求证：BC=AB+DC。 变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。变2： 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. （1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB. C E A D

变3：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90° ,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。 ⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。 (1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ． 求证：DE=DF ． D B C F A E M N D C B A M N D C B A

(2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点． 求证：BE=CF ． D B C F A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，?CF ⊥AB 于F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？

变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。 Ｆ Ｆ 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（） A 17 B 22 C 17或22 D 13 根据等腰三角形的性质寻求规律 例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=1 2 ∠ABC，∠2= 1 2 ∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小 与∠A的大小有什么关系？ 若∠1=1 3 ∠ABC，∠2= 1 3 ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？ 若∠1=1 n ∠ABC，∠2= 1 n ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？ 会用等腰三角形的判定和性质计算与证明 例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD?将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个

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1、如图，已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC="CD." （1）求证：△BCE≌△DCF （2）若AB=17，AD=9，求AE的长. 2、如图，已知AB=AC,∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M, 求证：（1）BD平分∠ABC； （2）△BCD为等腰三角形. 3、已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E，F． ⑴试说明：BE=CF； ⑵若AF=3，BC=4，求△ABC的周长．

4、如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、G，连接BE、BF、GD 求证：(1) △BEF为等腰直角三角形；（2) ∠ADC＝∠BDG. 5、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E， BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G． （1）试说明AH＝BH （2）求证：BD＝CG． （3）探索AE与EF、BF之间的数量关系 6、（本题14分）如图（1），在△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分∠BCE，BC＝CD，AC＝CE. （1）求证：△ABC≌△EDC； （2）如图（2），若∠ACB＝60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H. ①求∠DHF的度数； ②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC.

参考答案 1、（1）证明见解析（2）1 2、（1）证明见解析（2）证明见解析 3、(1)证明详见解析；(2)10． 4、（1）证明见解析；（2）证明见解析. 5、（1）见解析；（2）见解析；（3）AE=EF＋BF，理由见解析 6、（1）略（2）①∠DHF="60°" ②略 【解析】 1、试题分析：(1)根据角平分线的性质可以得出CF="CE," 在证明就可以得出DF=BE； (2)先证明，就可以得出AF=AE，设DF=BE=x，就可以得出8+x=10-x，求出方程的解即可. 试题解析：（1）∵AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F ∴CE=CF, 在Rt△BCE和Rt△DCF中, ∵ CE=CF BC=CD, ∴Rt△BCE≌Rt△DCF （HL）． （2）由（1）得，Rt△BCE≌Rt△DCF ∴DF=EB，设DF=EB=X 由Rt△AFC≌Rt△AEC（HL） 可知AF=AE 即：AD+DF=AB-BE ∵AB=17，AD=9，DF=EB=x ∴9+x=17-x 解得，x=4 ∴AE=AB-BE=17-4=1 点睛：本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL． 2、试题分析：（1）由AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度数，然后根据等边对等角，求得∠DBC的度数，从而得证； （2）根据（1）的结论和外角的性质，可得∠BDC=∠C，再根据等角对等边得证. 试题解析：（1）∵MN为AB的中垂线， ∴AD=BD， 则∠A=∠ABD=36°， ∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∴∠DBC=36°， 因此，BD平分∠ABC； （2）由①和∠2="36°" ∠C="72°" ， ∵∠BDC=180°-36°-72°=72°，

等腰三角形“三线合一”

巧用等腰三角形的“三线合一” 连州市慧光学校辛星林 八年级《北师大版.上册》学习了等腰三角形的重要性质，其中等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线，底边上的高互相重合，我们把等腰三角形的这一性质简称为“三线合一”，这是等腰三角形的重要性质，灵活运用此定理在解决某些几何问题时,能起到化繁为简,化难为易的绝妙效果,笔者就例说这一性质在解题中的灵活运用。 一．利用“三线合一”求线段最值 例1 如图1，在⊿ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是_________. 解：过点A作AD⊥BC于点D，因为AB=AC=5，BC=6，根据等腰三角形的三线合一的性质，可得BC=3.再根据勾股定理可知AD=4，因为垂线段最短，所以当BP ⊥AC时，BP有最小值. 利用等面积法，可得 AD·BC=BP·AC, 即4×6=5BP，则BP=25/4 在处理线段问题时，如果既能运用全等三角 形的知识，又能运用等腰三角形的知识，则应尽 可能地运用“三线合一”的性质。这样，还能帮助同学们熟练掌握“三线合一”性质的转化。 点评本题考查了勾股定理、等腰三角形三线合一的性质、等面积法，题中还考查了学生为了解决等腰三角形问题添加辅助线的方法。 二、利用“三线合一”证明直线垂直

在证明两直线垂直的问题时，如具备以下两个条件：可用“三线合一”来证明: （1）两线段中一条是这个三角形顶角的平分线或底边上的中线; （2）三角形是等腰三角形。 例2 如图2所示，已知AB=AE，∠B=∠E,BC=ED,F是CD的中点。 分析由已知，F是CD的中点，要证AF⊥CD，若连结AC与AD，则只要证得AC=AD，则由等腰三角 形三线合一可证AF⊥CD。 证明连结AC与AD ∵在ABC和AED中， AB=AE，∠B=∠E, BC=ED, ∴⊿ABC≌⊿AED， 则AC=AD， ∵AF是等腰三角形⊿ACD的底边上的中线， ∴AF⊥CD. 点评本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的性质以及线段的垂直平分线的性质的应用。 三、利用“三线合一”处理角与角之间的关系 在处理角之间的关系时，利用等腰三角形三线合一的性质，并将已知条件与待求证的角关系转化到一起，可以使问题容易地得到了解决。 例3 如图3所示，∠A =∠D=90°，AB=CD，AC与BD相交于点F，E是BC的中点. 求证：∠BFE = ∠CFE.

(完整版)等腰三角形三线合一性质应用

等腰三角形专题 基本知识总结： 1、基本概念：有两条边相等的三角形才是等腰三角形，所有的证明需证明至此（如：若知道三角形的两个底角相当，则需要使用等角对等边，证明边相等才可） 2、性质：①等边对等角 ②三线合一 3、判定：等角对等边 常见题型： 1、等腰三角形的构造型问题： （1）①角平分线+平行线②角平分线+垂线③利用倍角半角 （2）找点问题 例1：如图，有直线n m ,，n m ,之间的间距为cm 2，在n 上取cm AB 3=，在m 上取点p ，使得PAB ?为等腰三角形，则满足条件的点p 有几个？ m n ? ? A B 变式1：若取cm AB 2=，则点p 有几个？ 变式2：如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ABC ，?=∠30BAC ，在直线上或AC BC 取一点P ，使得PAB ?为等腰三角形，则符合条件的点p 有几个？ 2、三线合一的性质应用（知二即知三） 应用一：证明角度和线段的相等及倍数关系 例1：已知：如图，在ABC ?中，AC AB =，AD BD ⊥于D ，求证：DBC BAC ∠=∠2.

例2：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°，AB=AC ，若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：DM ＝DN. 变式1：若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。 变式2：如图，在ABC ?中，?=∠90A ，AC AB =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作AB PE ⊥，AC PF ⊥，垂足分别为F E 、，求证：（1）DF DE =；（2）DF DE ⊥ 应用二：证垂直平分 例3：已知，如图，AD 是ABC ?的角平分线，DF DE 、分别是ABD ?和ACD ?的高。 求证：AD 垂直平分EF . 例4：已知四边形ABCD 中，?=∠=∠90ADB ACB ，N M 、分别为CD AB 、的中点，求证：MN 垂直平分CD . 应用三：逆命题：知二即知等腰 ①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质） ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．

等腰三角形三线合一考点总结

等腰三角形、等边三角形三线合一考点总结 在等腰三角形中，中线、角平分线、高三线合一 作辅助线证明 1、如图，点D，E在△ABC的边AB上，CA＝CB，CD＝CE，求证：AD＝BE. 2、如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F.求证：AE＝AF 3、如图，△ABC中，CA＝CB，D是AB的中点，∠CED＝∠CFD＝90°，CE ＝CF.求证：∠ADF＝∠BDE

4、如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，O为AB的中点，D，E分别在AC，BC上，且OD⊥OE.求证：CE＋CD＝AC 5、如图，四边形ADBC中，BC＝2BD，AB平分∠DBC，AB＝AC，求证：AD ⊥BD 6、如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，试探究∠BAC与∠BCD之间的数量关系．

7、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AC，垂足为E.若∠BAC＝50°，求∠ADE的度数． 8、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AB交BC于点D，AD＝4 cm，求BC的长． 9、如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为为多少？

10、如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD＝OE，AO的延长线交BC于点M，请你从图中找出所有全等的直角三角形，并说明理由． 11、如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°，E是BC边上一点，且AE＝CE，D是BC的中点，连结AD，AE. (1)求∠DAE的度数． (2)若BD上存在点F，且∠AFE＝∠AEF，求证：BF＝CE. 12、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M. （1）若∠B=70°，则∠MNA的度数是. （2）连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm. ①求BC的长； ②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.

知识点四：三线合一专题

1.1 等边三角形之三线合一 1、 等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是________。 2、 在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ， 则∠BAC ＝________， ∠DAC ＝________，BD ＝________cm 。 3、 在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝3，AC ＝4，则AD ＝________。 4、 已知△ABC 中，∠A ＝n °，角平分线BE 、CF 相交于O ，则∠BOC 的度数应为（ ） （A ）90°－n 21°（B ）90°＋ n 21°（C ）180°－n °（B ）180°－n 2 1° 5、 下列两个三角形中，一定全等的是（ ） （A ）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形 （B ）两个等边三角形 （C ）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形 （D ）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形 6、 已知：如图，△ABC 中，AB=AC 。小强想做∠BAC 的平分线，但他没有量角器，只有刻度 尺，他如何做出∠BAC 的平分线？ 7、 已知：如图，B 、D 、E 、C 在同一直线上，AB=AC ，AD=AE 。求证：BD=CE 。 A C B D E

8、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AB上一点，且BD=BC。DE⊥AB交AC于E。求证： CD⊥BE。 9、如图，锐角△ABC中，∠B=2∠C，AD为BC边上的高，求证：DC=AB+BD。 10、如图2，BM，CN分别是△ABC的外角∠BAD、∠ACE的平分线。AM⊥BM，M、N为垂 足。求证：MN∥CN。

等腰三角形及三线合一试题难题

等腰三角形及三线合一经典试题难题1．等腰三角形的对称轴是（） 2．1、等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（） 2．2、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（） A．40°B．50°C．60°D．30° 3．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（） A．100°B．100°或40°C．40°D．80° 4．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且 AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是（） A．80°B．90°C．100°D．108° 5．等腰三角形的一个内角为 80，则另两个内角的度数为 6．等腰三角形底边长为10，则腰长的取值范围为 7．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________． 8.如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°， 求∠AFD的度数 E D C A B H F G

E D C A B H F 9.如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 10.已知如图:?△ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE,?则BD ＝CE(????) 11.已知：如图：CA=CB,DA=DB 求证：(1)∠1=∠2．(2)CD ⊥AB ． 12.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE?都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ， ①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ； ③判断△CFH 的形状并说明理由． 13．如图，中，，试说明：． 14.如图3，在?ABC 中，∠=A 90ο，AB AC =，D 是BC 的中点， P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F 求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥ 15.已知，如图1，AD 是?ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是?ABD 和?ACD 的高。 求证：AD 垂直平分EF C B A D E P

初中数学 [三线合一]性质的应用专题辅导

初中数学 [三线合一]性质的应用专题辅导 赵春祥 等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。 例1. 如图1，在AB C ?中，AB=AC ，D 是形外一点，且CD BD =。求证：AD 垂直平分BC 。 证明：由于AD AD ,CD BD ,AC AB ===，所以)SSS (ACD ABD ???。故 C A D B A D ∠=∠。AD 平分∠BAC 。 在等腰ABC ?中，由“三线合一”知BC AD ⊥，且AD 平分BC 。 评注：若能证出两直线之一是等腰三角形的底边所在的直线，另一条为等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线所在的直线，则这两条直线互相垂直。 例 2. 如图2，BM ，CN 分别是ABC ?的外角A C E A B D ∠∠、的平分线。CN AN ,BM AM ⊥⊥，M 、N 为垂足。求证：BC //MN 。 证明：这里有角平分线BM 、CN ，也有垂直于BM 、CN 的直线，若延长AM 、AN ，交CB 、BC 的延长线于D 、E ，如图3。由“角平分线和高重合”可知构成了等腰ABD ?和等腰ACE ?，且M 、N 分别为这两个等腰三角形底边的中点。这样，MN 是ADE ?的中位线，故有MN//BC 。 例3. 如图4，锐角ABC ?中，∠B=2∠C ，AD 为BC 边上的高，求证：BD AB DC +=。

等腰三角形三线合一专项综合练习

等腰三角形性质：三线合一专项练习 十一初中八（ ）班 姓名： 1、已知ABC ?的周长为cm 36，且AC AB =，又BC AD ⊥，D 为垂足，ABD ?的周长为cm 30，那么AD 的长为（ ） A ．cm 6 B. cm 8 C. cm 12 D. cm 20 如图2，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=300，AD=AE ，则∠EDC=（ ） A ．100 B. 12.50 C.150 D.200 3、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则图中全等三角形共有（ ） A 、 2对 B 、3对 C 、4对 D 、5对 4 、如图，在等腰直角△ABC 中，AD 为斜边上的高，以D 为端点任作两条互相垂直的射 线与两腰相交于E 、F ，连结EF 与AD 相交于G ，则∠AED 与∠AGF 的关系为( ) A ．∠AED>∠AGF B ．∠AED ＝∠AGF C ．∠AED<∠AGF D ．不能确定 5、如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，且BD=BE ，∠A=84°，则∠DEC= 6、如图，CE 平分∠ACB ，且C E ⊥BD ，DA=DB ，又知AC=18，△CDB 的周长为28，那么BE 的长为 。 7、如图，在等腰△ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE=4，FC=3，则△ABC 的面积为 8、、如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于E 点，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC= 2 1 ∠DAB ； ④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号 ．(把你认为正确结论的序号都填上) D A B C E F 第3题图 A B E C 第2题图 第4题图 C C 第7题图 B F C 第5题图 第6题图

等腰三角形三线合一专题练习

等腰三角形三线合一 例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。 求证：BC=AB+DC。 变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。 变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. （1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB. 变3：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：（1）DM＝DN。 ⑵若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。问DM和DN有数量关系。 E A D M N D C B A M N D C B A

(1)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D． 求证：DE=DF． D B C A E (2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点．求证：BE=CF． D B C A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，?CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？ 根据等腰三角形的性质寻求规律 例1．在△ABC中，AB=AC，∠1= 1 2 ∠ABC，∠2= 1 2 ∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC 的大小与∠A的大小有什么关系？ 若∠1= 1 3 ∠ABC，∠2= 1 3 ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如？