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等腰三角形三线合一典型题型[1]

等腰三角形三线合一专题训练

姓名

例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。

变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.

（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.

A D

变3：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。

⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。

(1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ．求证：DE=DF ．

F A

B A

(2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF 的中点．求证：BE=CF．

利用面积法证明线段之间的和差关系

1、如图，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，?CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？

变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。

Ｆ

1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（）

A 17

B 22

C 17或22

D 13

根据等腰三角形的性质寻求规律

例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=1

∠ABC，∠2=

∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC

的大小与∠A的大小有什么关系？

若∠1=1

∠ABC，∠2=

∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

若∠1=1

∠ABC

，∠2=

∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD?将这个

等腰三角形周长分成15和6两部分，求这

个三角形的腰长及底边长．

利用等腰三角形的性质证线段相等

例3．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，?以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

例1、等腰三角形底边长为5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）A、2cm B、8cm C、2cm或8cm D、不能确定

例2、已知AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC周长为20cm，△ADC的周长为14cm，求AD的长。

例3、如图，已知BC=3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，求△OEF 的周长。

B C

B F C

例4、如图，已知等边△ABC 中，D 为AC 上中点，延长BC 到E ，使CE=CD ，连接DE ，试说明DB=DE 。

例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450，则这个三角形是（） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、等边三角形 D 、等腰直角三角形

例6、（1）等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为。（2）直角三角形的周长为12cm ，斜边的长为5cm ，则其面积为；（3）若直角三角形三边为1，2，c ，则c= 。

例7、下列说法：①若在△ABC 中a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形；

②若△ABC 是直角三角形，∠C=900，则a 2+b 2=c 2； ③若在△ABC 中，a 2+b 2=c 2，则∠C=900；

④若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有（把你认为正确的序号填在横线上）。

例8、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形，则这样的P

点有（）

（A ）1个（B ）4个（C ）7个（D ）10个

例9. 四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（） A ．2

B ．3

C ．22

D ．23

A B C D

例10. 已知△ABC 为正三角形，P 为其内一点，且AP=4，BP=32，CP=2，则△ABC 的边长为（）（A ） 52 （B ）72 （C ）4 （D ）24 三．巩固练习

1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于9，求它的周长。

2、在△ABC 中，AB=AC ，∠B=400，则∠A= 。

3、等腰三角形的一个内角是700，则它的顶角为。

4、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为 .140°呢

5、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝105o ，直线BD 交AC 于D ，把直角三角形沿着直线BD 翻折，点C 恰好落在斜边AB 上，如果△ABD 是等腰三角形，那么∠A 等于（） (A)40o (B) 30o (C) 25o (D )15o

6、若△ABC 三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，则△ABC 的形状为（）（A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）等腰直角三角形（D ）等边三角形

7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是…………………… （）。

A 、有一腰和一角对应相等

B 、有两边对应相等

C 、有顶角和一个底角对应相等

D 、有两角对应相等

8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）

A 、顶角

B 、底角

C 、顶角的一半

D 、底角的一半

9、在等腰三角形ABC 中，∠A 与∠B 度数之比为5∶2，则∠A 的度数是（）

A 、100°

B 、75°

C 、150°

D 、75°或100°

10、如图，P 、Q 是△ABC 边BC 上的两点，且QC ＝AP ＝AQ ＝BP ＝PQ ，则∠BAC ＝…（）

A 、1250

B 、1300

C 、900

D 、1200

11、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 为中线，图中共有等腰三角形（）个。

A 、4个

B 、6个

C 、3个

D 、5个

12、如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ，∠ACE ＝280，则∠B 的度数是…………（） A 、600 B 、700 C 、760 D 、450 13、如图是一个等边三角形木框，甲虫P 在边框AC 上（端点A 、C 除外），设

甲虫P 到

另外两边距离之和为d ，等边三角形ABC 的高为h ，则d 与h 的大小关系是（）

10题图

11题图

12题图

B A

【解题方法指导】

例1. 已知，如图，AB＝AC＝CD，求证：∠B＝2∠D

B C D

例2. 已知，如图，△ABC是等边三角形，AD//BC，AD⊥BD，BC＝6，求AD的长。

D A

B C

【考点指要】

等腰三角形、等边三角形及含30°角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大，但也要善于分析，找出图形中有关的性质。

【典型例题分析】

例1. （2005年苏州）

如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD＝________。

B C

例2. 已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，AD＝8，∠A ＝30°，求CD的长。

A B

例3. 已知，如图，△ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE＝CD，又BD与CE交于点F，试求∠BFE的度数。

E D

【综合测试】

1. 已知，如图，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：DB＝DC

B C

2. 已知，如图，D、E是BC上两点，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE

B D E C

3. 已知，如图，△ABC中，DE//BC，AB＝AC，求证：AD＝AE

D E

B C

4. 已知，如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F，又BD＝CE，求证：DF＝EF

B C

5. 已知，如图，D是BC上一点，△ABC、△BDE都是等边三角形，求证：AD＝CE

B D C

6. 已知，如图，△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，又∠C＝15°，EC＝10，求AB的长。

B C

例6、如图11，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边中点，E、F分别

在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：AE＋AF是一个定值.

证明：连接AD，

∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，

∴∠BAD＝45°，∠CAD＝45°，∴AD＝BD＝CD，

∵∠EDF＝90°，∴∠EDA＋∠ADF＝90°，

又由AD⊥BC得∠BDE＋∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF

中，∠B＝∠DAF，BD＝AD，∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF，

∴BE＝AF，∴AE＋AF＝AE＋BE＝AB（定值）.

图5

思考：四边形AEDF 的面积是否也是定值呢？为什么？

例4、如图9，已知AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF ＝AC ，FD ＝CD ，你认为BE 与AC 之间有怎样的位置关系?你能证明它吗？证明：线段BE ⊥AC ，理由如下： ∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°， ∴∠FBD ＋∠BFD ＝90°，

在Rt △BDF 和Rt △ADC 中，BF ＝AC ，FD ＝CD ， ∴Rt △BDF ≌Rt △ADC ，

∴∠BFD ＝∠C ，∴∠FBD ＋∠C ＝90°，

∴∠BEC ＝180°－（∠FBD ＋∠C ）＝180°－90°＝90°，即BE ⊥AC.

例5、如图10，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，M 是AB 上一点，求证：2222AM BM CM +=. 证明：过C 作CD ⊥AB 于点D ， ∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD ⊥AB ， ∴∠A ＝∠B ＝45°，∠ACD ＝∠BCD ＝45°， ∴∠A ＝∠ACD ，∠B ＝∠BCD ，

∴AD ＝BD ，BD ＝CD ，即AD ＝BD ＝CD ，

∵CD ⊥AB ，∴222DM CD CM +=，

∴2

()()2()2AM BM AD DM BD DM DM CD CM +=-++=+=. 思考：请同学们试试用另外的方法来证明本题.

例1、如图5，在△ABC 中，AB ＝AC ，点O 在△ABC 内，OB ＝OC ，求证：AO ⊥BC. 证明：延长AO 交BC 于点D ，

∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，OA ＝OA ，∴△ABO ≌△ACO ， ∴∠BAO ＝∠CAO ，即∠BAD ＝∠CAD ， ∴AD ⊥BC ，即AO ⊥BC.

图6

图10

图11

例2、如图6，在等边△ABC 中，D 、E 分别在边BC 、BA 的延长线上，且AE ＝BD ，求证：CE ＝DE. 证明：过E 作EF ⊥CD 于点F ，

∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∴∠BEF ＝30°， ∴BE ＝2BF ，即BA ＋AE ＝BC ＋BD ＝2BC ＋CD ＝2（BC ＋CF ）， ∴CD ＝2CF ， ∴CF ＝DF ，

在△CEF 和△DEF 中，CF ＝DF ，∠CFE ＝∠DFE ＝90°，EF ＝EF ， ∴△CEF ≌△DEF ，∴CE ＝DE.

例3、如图7，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为底边BC 上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ，求证：PD ＋PE 是一个定值.

解：连接AP ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，

由12ABC S AB CF ?=

?，1

2PAB S AB PD ?=?， 11

22PAC S AC PE AB PE ?=?=?，ABC PAB PAC S S S ???=+，

得：111

222

AB CF AB PD AB PE ?=?+?，

即，PD PE CF +=（定值）.

说明：本例的结论可用文字语言叙述为：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高. 拓展：如果点P 不是在边BC 上，而是在BC 的延长线上，其它条件保持不变，那么PD 与PE 之间又有怎样的关系呢？

解：连接AP ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，（如图8）

由12ABC S AB CF ?=

?，1

2PAB S AB PD ?=?， 11

PAC

S AC PE AB PE ?=?=?， ABC PAB PAC S S S ???=-，

得：

111

222

AB CF AB PD AB PE ?=?-?，即,PD PE CF -=（定值）.

即，当点P 在BC 延长线上时，PD 与PE 之差为一定值.

基础训练：1、填空题：

（1）等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是。

（2）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是；如果等腰三角形的两

图7

边长分别是4、8，那么它的周长是。

（3）等腰三角形的对称轴最多有条。 2、填空题：

（1）如果△ABC 是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（）

A 、三条边长分别是5，5，11

B 、三条边长分别是4，4，8

C 、周长为14，其中两边长分别是4，5

D 、周长为24，其中两边长分别是6，12 （2）等腰三角形一边长为2，周长为5，那么它的腰长为（）

A 、3

B 、2

C 、1.5

D 、2或1.5

3、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，周长为35cm ，求等腰三角形各边的长。

4、已知：如图，AD 平分∠BAC ，AB=AC ，请你说明△DBC 是等腰三角形。

5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组的解，求这个三角形的各边长。

（1）等腰三角形的顶角平分线、、互相重合。（2）等腰三角形有一个角是120°，那么其他两个角的度数是和。（3）△ABC 中，∠A=∠B=2∠C ，那么∠C= 。

（4）在等腰三角形中，设底角为x °，顶角为y °，则用含x 的代数式表示y ，得y= ；用含y 的代

数式表示x ，得x= 。 2、选择题：

（1）等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于（）

A 、40°

B 、100°

C 、70°

D 、40°或70° （2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）

A 、顶角

B 、底角

C 、顶角的一半

D 、底角的一半

（3）在等腰三角形ABC 中，∠A 与∠B 度数之比为5∶2，则∠A 的度数是（）

A 、100°

B 、75°

C 、150°

D 、75°或100°

（4）等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，则“①AD ⊥BC ，②BD=DC ，

③∠B=∠C ，④∠BAD=∠CAD ”中，结论正确的个数是（） A 、4 B 、3 C 、2 D 、1

3、如图，已知△ABC 中，D 在BC 上，AB=AD=DC ，∠C=20°，求∠BAD 。

4、如图，已知△ABC 中，点D 、E 在BC 上， AB=AC ，AD=AE 。请说明BD=CE 的理由。

1、填空题：

（1）在△ABC 中，∠A 的相邻外角是110°，要使△ABC 是等腰三角形，则∠B= 。

A B C D x+2y=4 3x+y=7 {

B C

D E A

（2）在一个三角形中，等角对；等边对。

（3）如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各内角的度数是。（4）如图，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，且∠C=2∠A ，则图中等腰三角形共有个。

2、选择题：

如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=108°，∠ADB=72°， DE 平分∠ADB ，则图中等腰三角形的个数是（）

A 、3

B 、4

C 、5

D 、6

3、如图，在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于点O ，且OB=OC ，请说明AB=AC 的理由。

4、如图，已知∠EAC 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC

的理由。

5、如图，AB=AC ，∠ABD=∠ACD ，请你说明AD 是BC 的中垂线。

如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！

B C D

A B C D

E A B

C D

等腰三角形经典练习题(有难度)

等腰三角形练习题一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° C F D A B

4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数设∠A 为x ∠A= 7 180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15 B A B 2x x －15°

6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1, 求∠ABC 的度数延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt △DBF 中, BD=2 1,DF=1 所以∠F =∠1=30° 7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED 由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 F A B C D E

等腰三角形、等边三角形题型分类

等腰三角形、等边三角形题型分类【例题讲解】一、利用等腰三角形的性质求角度例1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角为（） A ．60°或120° B ．30°或150° C ．30°或120° D ．60° 例2、如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB.求∠A 的度数例3、如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，AB 于⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数二、利用等腰三角形的性质证明线段关系例1、已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，BD 和CE 是△ABC 的角平分线，求证：BD=CE. A B C D E A B C D F E

例2、如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足, 求证: ① AC＝AD；②CF＝DF。三、等腰三角形的判定例1、如图，AB=DC，BD=CA，BD 与CA相交于点E，求证：△AED 是等腰三角形. 例2、在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,D为BC上一点,BD=AB,DE⊥BC交AC于点E. (1)求证:△ADE是等腰三角形; (2)图中除△ADE是等腰三角形外,还有没有等腰三角形?若有,请一一写出来(不要求证明);若没有,请说明理由.

四、等腰三角形及等边三角形中的动点问题例1、已知，△ABC 是边长3cm 的等边三角形.（1）动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动.设点P 的运动时间为（s ），那么t 为何值时，△PBC 是直角三角形？（2）动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿BC 向点C 运动，如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），那么t 为何值时，△PBQ 是直角三角形? （3）动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发.设运动时间为t （s ），那么当t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形? （4）动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），连接PC. 请探究：在点P 、Q 的运动过程中△PCD 和△QCD 的面积是否相等？（1）（2）（3）（4） C Q B P A Q D B C P A Q D B C P A B C P A

等腰三角形三线合一典型题型

等腰三角形三线合一专题训练例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. （1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB. C E A D

变3：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。 ⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。 (1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ．求证：DE=DF ． M N D C B A M N D C B A

D B C F A E (2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点．求证：BE=CF ． D B C F A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，?CF ⊥AB 于F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？

变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。Ｆ

等腰三角形三线合一典型题型[1]

等腰三角形三线合一专题训练姓名例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E 是AD边中点。求证：CE⊥BE。变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. （1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB. 变3：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：（1）DM＝DN。 ⑵若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。问DM和DN有何数量关系。 (1)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D．求证：DE=DF． D C A E (2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF B C E A D M N D C B A M N D C B A

的中点．求证：BE=CF． D B C F A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，?CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。Ｆ

Ｆ 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（） A 17 B 22 C 17或22 D 13 根据等腰三角形的性质寻求规律例1．在△ABC 中，AB=AC ，∠1= 12∠ABC ，∠2=12∠ACB ，BD 与CE 相交于点O ，如图，∠BOC 的大小与∠A 的大小有什么关系？若∠1=13∠ABC ，∠2=13 ∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？若∠1=1n ∠ABC ，∠2=1n ∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2．如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD?将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．利用等腰三角形的性质证线段相等例3．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，?以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．例1、等腰三角形底边长为5cm ，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分，则腰长为（） A 、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定例2、已知AD 为△ABC 的高，AB=AC ，△ABC 周长为20cm ，△ADC 的周长为14cm ，求AD 的长。例3、如图，已知BC=3， ∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，OE ∥AB ，OF ∥AC ，求△OEF 的周长。例4、如图，已知等边 △ABC 中，D 为AC 上中点，延长BC 到E ，使CE=CD ，连接DE ，试说明 DB=DE 。 A C A D A B F C O E

等腰三角形单元测试题(含答案)

等腰三角形典型例题练习

等腰三角形典型例题练习一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定 2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN∥AB 其中正确结论的个数是（） A．0B．1C．2D．3 二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点， DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于_________ ．三．解答题（共15小题） 4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF． 5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC． 6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由． 7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD． 9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，

等腰三角形题型总结#(精选.)

B C A D 等腰三角形典型题练方程思想 1．如图，在△ABC 中，D 在BC 上，若AD=BD ，AB=AC=CD ，则∠ABC 的度数为． 2．如图，△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，BC=BD=BE ，则图中的等腰三角形共有个。 3．如图，在ΔABC 中，∠ABC ＝120°，点D 、E 分别在AC 和AB 上，且AE ＝ED ＝DB ＝BC ，则∠A 的度数为______°． 4.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC =θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB ，AC 上. 活动一：如图甲所示，从点A 1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A 1A 2 为第1根小棒. 数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： .(填“能”或“不能”) （2）设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1. ①θ=_________度； ②若记小棒A 2n -1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a 1，A 3A 4=a 2，…）求出此时a 2，a 3 的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）. 活动二：如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=AA 1. 数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，θ1 =_________，θ2=________， θ3=________；（用含θ的式子表示）（4）若只能．．摆放4根小棒，求θ的范围. A 1 A 2 A B C 图乙 A 3 A 4 1 θ 2θ 3θ θ A 1 A 2 A B C A 3 A 4 A 5 A 6 a 1 a 2 a 3 图甲 θ E D C B A

等腰三角形题型总结

培优教育专用教案 C D 等腰三角形典型题练方程思想 1．如图，在△ABC 中，D 在BC 上，若AD=BD ，AB=AC=CD ，则∠ABC 的度数为． 2．如图，△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，BC=BD=BE ，则图中的等腰三角形共有个。 3．如图，在ΔABC 中，∠ABC ＝120°，点D 、E 分别在AC 和AB 上，且AE ＝ED ＝DB ＝BC ，则∠A 的度数为______°． 4.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC =θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB ，AC 上. 活动一：如图甲所示，从点A 1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A 1A 2 为第1根小棒. 数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： .(填“能”或“不能”) （2）设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1. ①θ=_________度； ②若记小棒A 2n -1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a 1，A 3A 4=a 2，…）求出此时a 2，a 3 的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）. 活动二：如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=AA 1. 数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，θ1 =_________，θ2=________， θ3=________；（用含θ的式子表示）（4）若只能．．摆放4根小棒，求θ的范围. A 1 A 2 A B C 图乙 A 3 A 4 1θ 2θ 3θ θ A 1 A 2 A B C A 3 A 4 A 5 A 6 a 1 a 2 a 3 图甲 θ

全等三角形各类题型讲解

全等三角形及其应用【知识精读】 1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。 2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； 4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找:全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成 ①翻折:如图（1），?BOC≌?EOD，?BOC可以看成是由?EOD沿直线AO翻折180?得到的； ②旋转:如图（2），?COD≌?BOA，?COD可以看成是由?BOA绕着点O旋转180?得到的； ③平移:如图（3），?DEF≌?ACB，?DEF可以看成是由?ACB沿CB方向平行移动而得到的。 5. 判定三角形全等的方法：SAS,SSS,ASA,AAS,HL 6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。【分类解析】（1）证明线段（或角）相等例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC （2）证明线段平行

初中数学等腰三角形存在性问题(含答案)

等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．等腰三角形存在性问题【问题描述】如图，点 A坐标为（ 1,1），点 B坐标为（ 4,3），在 x轴上取点 C使得△ ABC是等腰三角形．几何法】“两圆一线”得坐标 1）以点 A 为圆心， AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 AB=AC； 2）以点 B 为圆心， AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 BA=BC； 3）作 AB 的垂直平分线，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 CA=CB ．y

【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．

AC1=AB= (4-1)2+(3-1)2= 13 作AH x轴于 H 点， AH=1 C1H=C2H= 13-1=2 3 C1(1-2 3,0) C2(1+2 3,0) C3、C4 同理可求，下求 C5．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果 A、B 均往下移一个单位，当点为（ 1,0），点 B坐标为（ 4,2）时，可构造直角三角形勾股解： AH =3， BH=2 设AC5= x，则 BC5=x，C5H=3-x 13 解得： x= 6 19 故 C5坐标为（ ,0）而对于本题的 C5 ，或许代数法更好用一些． A 坐标 222 (3-

代数法】表示线段构相等 1）表示点：设点 C 5坐标为（ m ， 0），又 A 点坐标（ 1,1 ）、 B 点坐标（ 4,3）， 2)表示线段： AC 5 (m 1) (0 1) ， BC 5 (m 4) (0 3) 3）分类讨论：根据 AC 5 BC 5 ，可得：（m 1）2 12 （m 4）2 32 ，【小结】几何法：（ 1）“两圆一线 ”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标 A 、 B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段： AB 、AC 、BC ；（3）根据题意要求取① AB=AC 、②AB=BC 、③ AC=BC ；（4）列出方程求解．问题总结： 1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； 2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； 3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 2018 泰安中考】 4）求解得答案：解得： 23 6 故 C 5 坐标为 23,0

等腰三角形、等边三角形题型分类

【例题讲解】一、利用等腰三角形的性质求角度例1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为30。，则这个等腰三角形的顶角为（） A. 60。或120o B. 30。或150o C. 30。或120o D. 60° 例2、如图，?ABC 中，AB=AC, BC=BD, AD=DE=EB.求ZA 的度数例3、如图，?ABC中，AB=AC, D在BC上，AB于丄AB于E, DF丄BC交AC于点F, 若ZEDF=70° ,求ZAFD的度数二.利用等腰三角形的性质证明线段关系例1、已知：如图,?ABC中,AB=AC, BD和CE是ZkABC的角平分线,求证：BD=CE.

例2、如图：已知AB=AE, BC=ED, ZB=ZE, AF丄CD, F为垂足，求证: ① AC=AD:②CF=DFO 三.等腰三角形的判定例1、如图，AB=DC, BD二CA, BD与CA相交于点E,求证：?AED是等腰三角形? 例 2.在AABC 中,ZBAC=90° ,ZB=45o Q 为 BC 上一点,BD=ABQE丄BC 交 AC 于点 E. (1)求证MDE是等腰三角形； (2)图中除AADE是等腰三角形外,还有没有等腰三角形?若有,请一一写出来(不要求证明)；若没有,请说明理由? D

四、等腰三角形及等边三角形中的动点问题例1、已知，AABC是边长3cm的等边三角形.(1)动点P以lcm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动.设点P的运动时间为(s),那么t为何值时，△ PBC是直角三角形？ (2)动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C 运动，如果动点P、Q都以lcm/s的速度同时出发.设运动时间为t (s),那么t 为何值时，APBQ是直角三角形？ (3)动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点C出发，沿射线BC 方向运动.连接PQ交AC于D.如果动点P、Q都以lcm/s的速度同时出发.设运动时间为t (s),那么当t为何值时，ADCQ是等腰三角形？ (4)动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动?连接PQ交AC于D.如果动点P、Q都以lcm/s的速度同时出发.设运动时间为t (s),连接PC.请探究：在点P、Q的运动过程中APCD和AQCD的面积是否相等？ A

全面的等腰三角形题型分类+答案

等腰三角形题型归纳：类型一：涉及到顶角和底角的问题 1、若等腰三角形底角为72°，则顶角为( D)。 A.108° B.72° C.54° D.36° 2、若等腰三角形的一个内角为50°,则它的顶角为50°或80°. 3、(1)若等腰三角形的一个外角是40°，则这个等腰三角形的底角为____20°_______. (2)在等腰三角形中，两个内角度数的比为1:4，则它的顶角为___20°或120°_____. 中，∠A=2∠B，当∠C=____45°或72°____时，它是一个等腰三角形. 4、在ABC 5、已知等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,则底角为75°度. 6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( D)。 A. 60° B. 120° C. 60°或150° D. 60°或120° 类型二：有关等腰三角形的周长的问题 1、若等腰三角形的两边长分别为8cm和5cm，则它的周长为___18cm或21cm__. 2、等腰三角形的底边为7cm，一边上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为( C ). A．20cm B．10cm C．10cm或4cm D．4cm 3、一个等腰三角形的两边分别为3cm和4cm，则它的周长为___10或11_____. 4、若一个等腰三角形的周长是20cm,一边长是5cm,则另两边的长是__7.5cm，7.5cm________.

5、已知等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为15cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的三边长. 解:在△ABC 中，AB=AC ，BD 是中线，设AB=x ，BC=y ， ①当AB+AD=12时，x+ 1/2x=12 ，y+ 1/2x=15 ，解得x=8，y=11；腰是8cm ，底是11cm ； ②当AB+AD=15时，则x+ 1/2x=15，y+ 1/2x=12 ，解得x=10， y=7，腰是 10cm ，底是7cm. 6、如果等腰三角形的周长为25，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是2，则这个等腰三角形的底边长为多少？类型三：角平分线的问题 1、如图，ABC △中，AB AC =，30A ∠=o ，DE 垂直平分AC ，则BCD ∠的度数为( D ). A.80o B.75o C.65o D.45o A B D E 第1题图

等腰三角形典型例题

等腰三角形 1．如图，已知点C为线段AB上一点，和都是等边三角形，AN、BM相交于点O，AN、CM交于点P，BM、CN交于点Q．（1）求证：．（2）求的度数．（3）求证：．【分析】（1）欲证，只需证明它所在的两个三角形全等．（2）的度数可用的外角来求，但要注意全等所得到这一条件的使用．（3）要，则，应该为一个等边三角形，可证明≌，从而得到．（1）证明：和都是等边三角形，，，，，即．在和中，≌，．（2）由（1）知，≌，．，即．（3）在和中，≌，，．又，

，即，．【点拨】（1）要证明线段相等（或角相等），找它们所在的三角形全等．（2）本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中，存在一对或多对绕公共点旋转变换的三角形全等．2．如图，在中,，，的平分线AM的长15，求BC的长．【分析】由AM平分，，可得，，则，所以．在中，，可得，由，可求出BC的长．解：在中，，，．AM平分，，，．在中，，．【点拨】含30度的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余一起运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要方法．3．如图，，，，．求证：．【分析】根据已知“，”联想到等腰三角形“三线合一”，通过辅助线将证明转化为证明．证明：延长CE、BA交于点F．，．在和

中，≌，，即．，．在和中，≌，，．【点拨】（1）利用等腰三角形“三线合一”不仅能得到线段相等、角相等，而且能得到线段的倍半关系．（2）联系等腰三角形“三线合一”作顶角平分线或底边的中线或底边的高线是常用的辅助线．4．如图，△ABC中，AB=AC，在AB 边上取点D，在AC延长线上取点E，使BD=CE，连结DE交BC于G．求证： DG=GE．【分析】由于△ABC是等腰三角形，D为AB上一点，E 为AC延长线上一点，故可考虑过D或E作腰AC或AB的平行线，通过构造等腰三角形，可获得结论．证法1：过D作DF∥AC，交BC于F（如图）．∴∠DFB= ∠ACB．又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．∴∠B=∠DFB．∴ DB=DF．∵CE=BD(已知)，∴DF=CE．又∠DGF= ∠CGE，∠GDF=∠E，∴△DFG≌△ECG（AAS）．∴DG=GE．证法2：过E作EM∥AB交BC延长线于M．∴∠B=∠ M．又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．又 ∠ACB=∠ECM，∴∠M=∠ECM．∴EC=EM．∵CE=BD(已知)，∴

等腰三角形题型总结.doc

等腰三角形典型题练方程思想 A A 1．如图，在△ ABC 中， D 在 BC 上，若 AD=BD ，AB=AC=CD ， E D 则∠ ABC 的度数为． B D C B C 2．如图，△ ABC 中，∠ A=3 6°， AB=AC ， BC=BD=BE ，则图中的等腰三角形共有个。 3．如图，在 ABC 中，∠ ABC ＝ 120°，点 D 、E 分别在 AC 和 AB 上，且 AE ＝ED ＝ DB ＝ BC ，则∠ A 的度数为 ______°． 4. 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠ BAC = （0°＜＜90°） . 现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线 AB ， AC 上 . 活动一：如图甲所示，从点 A 1 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直， A 1A 2 为第 1根小棒. 数学思考：（ 1）小棒能无限摆下去吗？答： .( 填“能”或“不能”) （ 2）设 1 = 1 2= 2 3=1. AA AA AA ① =_________度； ②若记小棒 A A 的长度为 a （ n 为正整数，如 AA =a ，A A =a ，）求出此时 a ，a 2n-1 2n n 121342 23 的值，并直接写出 a （用含 n 的式子表示） . n A 6 B A 4 a 3 A 2 a 2 a 1 C AA 1 3 5 A A 图甲活动二：如图乙所示，从点 A 1 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 A 1A 2 为第 1 根小棒，且 A 1A 2=AA 1. 数学思考：（ 3）若已经摆放了 3 根小棒， 1 =_________， =________， 3 =________；（用含的 2 式子表示）（ 4）若只能摆放 4 根小棒，求的范围 . ．． A 2 A 4 B 2 1 3 C A 1 A 3 A 图乙角平分线＋平行线→等腰三角形

等腰三角形经典题型总结(绝对经典)

等腰三角形知识点梳理知识点一等腰三角形的有关概念要点：定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底。两腰所夹的角叫做顶角；腰与底边的夹角叫做底角。典例分析 1、等腰三角形的两边长分别是3和6，那么它的周长为（）A．15 B．12 C．12或15 D．不能确定 2、等腰三角形两边长分别是5和6，那么它的第三边长是（）A．5 B．6 C．5或6 D．不能确定 3．如图，ABC ∠的平分线， ∠=?，CD是ACB ?中，AB AC A =，36 Array // DE BC．找出下图中的所有等腰三角形。（只需写出来即可）知识点二等腰三角形的性质要点：（1）性质一：等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）（2）性质二：等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；（三线合一） 1 / 12

2 / 12 典例分析 1、等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（） A ．80° B ．80°或20° C ．80°或50° D ．20° 2、在等腰△ABC 中，AB=AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（） A ．7 B ．11 C ．7或11 D ．7或10 3、如图所示，△ABC 中，AC=AD=BD ，∠DAC=80°，则∠B 的度数是（） A 、40o B 、35o C 、25o D 、20o 4、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是AC 边上的高，则∠DBC 的度数是（） A ．18° B ．24° C ．30° D ．36° 第 4题图第 5题图

初中几何经典培优题型(三角形)

全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．常见辅助线写法： ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点

等腰三角形题型总结

等腰三角形题型总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

B C A D 等腰三角形典型题练方程思想 1．如图，在△ABC 中，D 在BC 上，若AD=BD ，AB=AC=CD ，则∠ABC 的度数为． 2．如图，△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，BC=BD=BE ，则图中的等腰三角形共有个。 3．如图，在ΔABC 中，∠ABC ＝120°，点D 、E 分别在AC 和AB 上，且AE ＝ED ＝DB ＝BC ，则∠A 的度数为______°． 4.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC =θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB ，AC 上. 活动一：如图甲所示，从点A 1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A 1A 2为第1根小棒. 数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： .(填“能”或“不能”) （2）设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1. ①θ=_________度； ②若记小棒A 2n -1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a 1，A 3A 4=a 2，…）求出此时a 2，a 3的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）. A A A B C A A A A a a a 图甲 θ E D C B A

活动二：如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=AA 1. 数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，θ1 =_________，θ2=________， θ3=________；（用含θ的式子表示）（4）若只能．．摆放4根小棒，求θ的范围. 角平分线＋平行线→等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图1（1）中，若AD 平分∠BAC ，AD//EC ，则?ACE 是等腰三角形；如图1（2）中，若AD 平分∠BAC ，DE//AC ，则?ADE 是等腰三角形；如图1（3）中，若AD 平分∠BAC ，CE//AB ，则?ACE 是等腰三角形；如图1（4）中，若AD 平分∠BAC ，EF//AD ，则?AGE 是等腰三角形。例1.如下左图在?ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作 EF BC ⊥，交BA 的延长线于点E ，垂足为点F 。求证：AE ＝AP A 1 A 2 A B C 图 A 3 A 4 1 θ 2 θ 3 θ θ

等腰三角形练习题及答案汇总

三．解答题（共15小题） 4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且 ∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF． 5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC． 6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．

7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD． 9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF． 10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C 作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．

特殊三角形常见题型

八年级上册第二章特殊三角形一、将军饮马例1 如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD 的最小值是（） A 、3 B 、10 C 、9 D 、9 【变式训练】 1、如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE+PD 的最小值是（） A 、2 B 、2 C 、4 D 、 2、如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一定点，PO=10，C ，D 分别是OA ，OB 上的动点，则△PCD 周长的最小值为 3、如图，∠AOB=30°，C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC=2，OD=6，点C ，D 分别是AO ，BO 上的动点，则CM+MN+DN 最小值为 4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，连结AC ，CE ．（1）已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x ．用含x 的代数式表示AC+CE 的长；（2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小并求出它的最小值；（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值二、等腰三角形中的分类讨论 E B C A D P 第2题 B O A P C 第1题 B O A C N 第3题 E C

例2（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的周长为（2）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的腰长为（3）已知等腰三角形的周长为28cm 和8cm ，则它的底边为【变式训练】 1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则周长为 2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为 3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角的度数为 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，则它的各个内角的度数 5、已知等腰三角形底边为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为 6、在三角形ABC 中，AB=AC ，AB 边上的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B 的度数为 7、如图，A 、B 是4×5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C 的位置三、两圆一线定等腰例3在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），在坐标轴上找一点P ，使得△AOP 是等腰三角形，则这样的点P 共有个【变式训练】 1、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1，），在坐标轴上找一点P ，使得△AOP 是等腰三角形，则符合条件的点P 的个数为（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2、在平面直角坐标系中，若点A （2，0），点B （0，1），在坐标轴上找一点C ，使得△ABC 是等腰三角形，这样的点C 可以找到个． A B x y O

全等三角形和等腰三角形常考题型

全等三角形和等腰三角形常考题型一、选择题 1．观察下列中国传统工艺品的花纹，其中轴对称图形是（） A．B．C．D． 2．在△ABC和△A'B'C'中，下面能得到△ABC≌△A'B'C'的条件是（）A．AB=A'B'，AC=A'C，∠B=∠B' B．AB=A'B'，BC=B'C，∠A=∠A' C．AC=A'C'，BC=B'C'，∠C=∠C' D．AC=A'C'，BC=B'C'，∠B=∠B' 3．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．18 4．三角形中到三边的距离相等的点是（） A．三条边的垂直平分线的交点B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．三条角平分线的交点 5．如图，△ABD≌△ACE，若AB=6，AE=4，则CD的长度为（） A．10 B．6 C．4 D．2 6．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是（） A．13 B．18 C．15 D．21 7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S

=7，DE=2，AB=4，则AC长是（） △ABC A．4 B．3 C．6 D．5 二、填空题 8．等腰三角形的对称轴是． 9．直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和7cm，则它的面积是cm2．10．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为． 11．如果等腰三角形的周长是27cm，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是3cm，则这个等腰三角形的底边长为cm． 12．如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为cm． 13．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图中等腰三角形有个． 14．如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是．

等腰三角形三线合一性质应用

等腰三角形专题基本知识总结： 1、基本概念：有两条边相等的三角形才是等腰三角形，所有的证明需证明至此（如：若知道三角形的两个底角相当，则需要使用等角对等边，证明边相等才可） 2、性质：①等边对等角 ②三线合一 3、判定：等角对等边常见题型： 1、等腰三角形的构造型问题：（1）①角平分线+平行线②角平分线+垂线③利用倍角半角（2）找点问题例1：如图，有直线n m ,，n m ,之间的间距为cm 2，在n 上取cm AB 3=，在m 上取点p ，使得PAB ?为等腰三角形，则满足条件的点p 有几个？ m n ?? A B 变式1：若取cm AB 2=，则点p 有几个？变式2：如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ABC ，?=∠30BAC ，在直线上或AC BC 取一点P ，使得PAB ?为等腰三角形，则符合条件的点p 有几个？ 2、三线合一的性质应用（知二即知三）应用一：证明角度和线段的相等及倍数关系例1：已知：如图，在ABC ?中，AC AB =，AD BD ⊥于D ，求证：DBC BAC ∠=∠2.

例2：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC ，若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：DM ＝DN. 变式1：若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。变式2：如图，在ABC ?中，?=∠90A ，AC AB =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作AB PE ⊥，AC PF ⊥，垂足分别为F E 、，求证：（1）DF DE =；（2）DF DE ⊥ 应用二：证垂直平分例3：已知，如图，AD 是ABC ?的角平分线，DF DE 、分别是ABD ?和ACD ?的高。求证：AD 垂直平分EF . 例4：已知四边形ABCD 中，?=∠=∠90ADB ACB ，N M 、分别为CD AB 、的中点，求证：MN 垂直平分CD . 应用三：逆命题：知二即知等腰 ①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质） ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．