2015年高考数学真题分类汇编 专题06 数列 文
1.【2015高考新课标1,文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和,若
844S S =,则10a =( )
(A )
172 (B )19
2
(C )10 (D )12 【答案】B
【解析】∵公差1d =,844S S =,∴11118874(443)22a a +
??=+??,解得1a =1
2
,∴101119
9922
a a d =+=
+=,故选B. 【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式
【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式,利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,利用等差数列性质可以简化计算.
2.【2015高考陕西,文13】中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为________ 【答案】5
【解析】若这组数有21n +个,则11010n a +=,212015n a +=,又12112n n a a a +++=,所以
15a =;
若这组数有2n 个,则1101022020n n a a ++=?=,22015n a =,又121n n n a a a a ++=+,所以15a =;
故答案为5
【考点定位】等差数列的性质.
【名师点睛】1.本题考查等差数列的性质,这组数字有可能是偶数个,也有可能是奇数个.然
后利用等差数列性质m n p q m n p q a a a a +=+?+=+.2.本题属于基础题,注意运算的准确性.
3.【2015高考广东,文13】若三个正数a ,b ,c 成等比数列,其中5a =+5c =-则b = . 【答案】1
【解析】因为三个正数a ,b ,c 成等比数列,所以(2
551b ac ==+-=,因为
0b >,所以1b =,所以答案应填:1.
【考点定位】等比中项.
【名师点晴】本题主要考查的是等比中项,属于容易题.解题时要抓住关键字眼“正数”,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念,即若a ,G ,b 成等比数列,则G 称为a 与b 的等比中项,即2G ab =.
4.【2015高考福建,文16】若,a b 是函数()()2
0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的
零点,且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p q + 的值等于________. 【答案】9
【解析】由韦达定理得a b p +=,a b q ?=,则0,0a b >>,当,,2a b -适当排序后成等比
数列时,2-必为等比中项,故4a b q ?==,4
b a
=.当适当排序后成等差数列时,2-必不是等差中项,当a 是等差中项时,422a a =-,解得1a =,4b =;当4
a
是等差中项时,
8
2a a
=-,解得4a =,1b =,综上所述,5a b p +==,所以p q +9=. 【考点定位】等差中项和等比中项.
【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项,其中分类讨论和逻辑推理是解题核心.三个数成等差数列或等比数列,项与项之间是有顺序的,但是等差中项或等比中项是唯一的,故可以利用中项进行讨论,属于难题.
5.【2015高考浙江,文10】已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零.若2a ,3a ,7a 成等比数列,且1221a a +=,则1a = ,d = . 【答案】
2
,13
- 【解析】由题可得,2
111(2)()(6)a d a d a d +=++,故有1320a d +=,又因为1221a a +=,即131a d +=,所以121,3
d a =-=
. 【考点定位】1.等差数列的定义和通项公式;2.等比中项.
【名师点睛】本题主要考查等差数列的定义和通项公式.主要考查学生利用等差数列的定义以
及等比中项的性质,建立方程组求解数列的首项与公差.本题属于容易题,主要考查学生正确运算的能力.
6.【2015高考新课标1,文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和,若
126n S =,则n = .
【答案】6
【解析】∵112,2n n a a a +==,∴数列{}n a 是首项为2,公比为2的等比数列,
∴2(12)
12612
n n S -==-,∴264n =,∴n=6.
考点:等比数列定义与前n 项和公式
【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式,利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程,解出首项与公比,利用等比数列性质可以简化计算.
7.【2015高考安徽,文13】已知数列}{n a 中,11=a ,2
1
1+=-n n a a (2≥n ),则数列}{n a 的前9项和等于 . 【答案】27
【解析】∵2≥n 时,2
1,21121+=+=-a a a a n n 且 ∴{}1a a n 是以为首项,2
1
为公差的等差数列 ∴271892
1
289199=+=??+
?=S 【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前n 项和公式的应用.
【名师点睛】能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决本题的关键,这需要考生平时多加积累,同时本题还考查了等差数列的基本公式的应用,考查了考生的基本运算能力.
8.【2015高考福建,文17】等差数列{}n a 中,24a =,4715a a +=. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设2
2
n a n b n -=+,求12310b b b b +++???+的值.
【答案】(Ⅰ)2n a n =+;(Ⅱ)2101.
【解析】(I )设等差数列{}n a 的公差为d .
由已知得()()11143615
a d a d a d +=???+++=??,
解得13
1a d =??=?
.
所以()112n a a n d n =+-=+. (II )由(I )可得2n n b n =+.
所以()()()()
231012310212223210b b b b +++???+=++++++???++
()()2310222212310=+++???+++++???+
()()102121101012
2
-+?=
+
-
()112255=-+ 112532101=+=.
【考点定位】1、等差数列通项公式;2、分组求和法.
【名师点睛】确定等差数列的基本量是1,a d .所以确定等差数列需要两个独立条件,求数列前n 项和常用的方法有四种:(1)裂项相消法(通过将通项公式裂成两项的差或和,在前n 项相加的过程中相互抵消);
(2)错位相减法(适合于等差数列乘以等比数列型);(3)分组求和法(根据数列通项公式的特点,将其分解为等差数列求和以及等比数列求和);(4)奇偶项分析法(适合于整个数列特征不明显,但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征). 9.【2015高考北京,文16】(本小题满分13分)已知等差数列{}n a 满足1210a a +=,
432a a -=.
(I )求{}n a 的通项公式;
(II )设等比数列{}n b 满足23b a =,37b a =,问:6b 与数列{}n a 的第几项相等? 【答案】(I )22n a n =+;(II )6b 与数列{}n a 的第63项相等.
【解析】
试题分析:本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.(I )利用等差数列的通项公式,将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ,解方程得到1a 和d 的值,直接写出等差数列的通项公式即可;(II )先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值,再利用等比数列的通项公式,将2b 和3b 转化为1b 和q ,解出1b 和q 的值,得到6b 的值,再代入到上一问等差数列的通项公式中,解出n 的值,即项数. 试题解析:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=,所以2d =.
又因为1210a a +=,所以1210a d +=,故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.
(Ⅱ)设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==,3716b a ==, 所以2q =,14b =. 所以61642128b -=?=. 由12822n =+,得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 考点:等差数列、等比数列的通项公式.
【名师点晴】本题主要考查的是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式,属于中档题.本题通过求等差数列和等比数列的基本量,利用通项公式求解.解本题需要掌握的知识点是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式,即等差数列的通项公式:()11n a a n d =+-,等比数列的通项公式:11n n a a q -=.
10.【2015高考安徽,文18】已知数列{}n a 是递增的等比数列,且14239,8.a a a a +== (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,1
1
n n n n a b S S ++=
,求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】(Ⅰ)1
2n n a -=(Ⅱ) 1122
21
n n ++--
【解析】
(Ⅰ)由题设可知83241=?=?a a a a , 又941=+a a , 可解的??
?==8141a a 或???==18
4
1a a (舍去) 由3
14q a a =得公比2=q ,故1112--==n n n q a a .
(Ⅱ)122
1211)1(1-=--=--=
n n n n q q a S 又11111
11
n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-=
==-
所以1113221211
111...1111...++-=???? ??-++???? ??-+???? ??-=+++=n n n
n n S S S S S S S S b b b T
1
2
111
--
=+n .
【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质,等比数列的前n 项和,以及利用裂项相消法求和.
【名师点睛】本题利用“若q p n m +=+,则q p n m a a a a =”,是解决本题的关键,同时考生发现11111
11
n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-
是解决本题求和的关键,本题考查了考生的基础运算能力.
11.【2015高考广东,文19】(本小题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,n *∈N .已知11a =,232a =
,35
4
a =,且当2n ≥ 时,211458n n n n S S S S ++-+=+. (1)求4a 的值;
(2)证明:112n n a a +??
-
????
为等比数列; (3)求数列{}n a 的通项公式.
【答案】(1)78;(2)证明见解析;(3)()1
1212n n a n -??
=-? ?
??
.
【解析】
试题分析:(1)令2n =可得4a 的值;(2)先将211458n n n n S S S S ++-+=+(2n ≥)转化为
2144n n n a a a +++=,再利用等比数列的定义可证112n n a a +?
?-????
是等比数列;
(3)先由(2)可得数列112n n a a +??-????的通项公式,再将数列112n n a a +?
?-????的通项公式转化为数列12n n a ??
??
????????
???????
是等差数列,进而可得数列{}n a 的通项公式. 试
题
解
析
:(
1
)
当
2
n =时,
4231
458S S S S +=+,即
435335415181124224a ??????
+++++=+++ ? ? ???????
,解得:478a =
(2)因为211458n n n n S S S S ++-+=+(2n ≥),所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-(2n ≥),即2144n n n a a a +++=(2n ≥),因为3125
441644
a a a +=?
+==,所以21
44n n n a a a +++=,因
为
()212111111111
4242212142422222
n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====
----,所以数列
112n n a a +?
?-??
??
是以21112a a -=为首项,公比为12的等比数列 (3)由(2)知:数列112n n a a +??
-
????
是以21112a a -=为首项,公比为12的等比数列,所以
1
11122n n n a a -+??-= ?
??
即
11
41122n n n n
a a ++-=???? ? ???
??,所以数列12n n a ????
??
??????
???????
是以1212a =为首项,公差为4的等差数列,所以()2144212n
n
a n n =+-?=-??
???
,即()()1
11422122n
n n a n n -????=-?=-? ? ?????,所以数列{}
n a 的通项公式是()1
1212n n a n -??
=-? ?
??
考点:1、等比数列的定义;2、等比数列的通项公式;3、等差数列的通项公式.
【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式,属于难题.
本题通过将n S 的递推关系式转化为n a 的递推关系式,利用等比数列的定义进行证明,进而可得通项公式,根据通项公式的特点构造成等差数列进行求解.解题时一定要注意关键条件“2n ≥”,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式,即等比数列的定义:
1
n n
a q a +=(常数)
,等比数列的通项公式:11n n a a q -=,等差数列的通项公式:()11n a a n d =+-.
12.【2015高考湖北,文19】设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =. (Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (Ⅱ)当1d >时,记n
n n
a c
b =
,求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】(Ⅰ)1
21,2.n n n a n b -=-???=??或11(279),9
29().9n n n a n b -?=+????=???
;(Ⅱ)12362n n n T -+=-.
【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和,属中档题.
【名师点睛】这是一道简单综合试题,其解题思路:第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解,第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主,以教材为蓝本,注重计算能力培养的基本方向.
13.【2015高考湖南,文19】(本小题满分13分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知
121,2a a ==,且13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈,
(I )证明:23n n a a +=; (II )求n S 。
【答案】(I )略;(II) 2
*2*23
(531),(21,)2
3(31),(2,)2
n n n
n k k N S n k k N -??-=+∈??=??-=∈?? 【解析】
试题分析:(I )当*
,2n N n ∈≥时,由题可得23n n a S +=*13,()n S n N +-+∈,
113n n a S +-=*3,()n S n N -+∈,两式子相减可得2113n n n n a a a a +++-=-,即23,(2)n n a a n +=≥,然后验证当n=1时,命题成立即可; (II)通过求解数列{}n a 的奇数项
与偶数项的和即可得到其对应前n 项和的通项公式.
试题解析:(I )由条件,对任意*n N ∈,有23n n a S +=*13,()n S n N +-+∈, 因而对任意*
,2n N n ∈≥,有113n n a S +-=*3,()n S n N -+∈, 两式相减,得2113n n n n a a a a +++-=-,即23,(2)n n a a n +=≥, 又121,2a a ==,所以3121121333()33a S S a a a a =-+=-++=, 故对一切*n N ∈,23n n a a +=。 (II )由(I )知,0n a ≠,所以
2
3n n
a a +=,于是数列21{}n a -是首项11a =,公比为3的等比数列,数列2{}n a 是首项12a =,公比为3的等比数列,所以112123,23n n n n a a ---==?, 于是21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -=+++=++
++++
+
1
1
1
3(31)
(133)2(133)3(133)2
n n n n ----=++
+++=++
=
从而1221223(31)3
23(531)22
n n n n n n S S a ----=-=-?=?-,
综上所述,2*2*23
(531),(21,)2
3(31),(2,)2
n n n
n k k N S n k k N -??-=+∈??=??-=∈??。 【考点定位】数列递推关系、数列求和
【名师点睛】已知数列{a n }的前n 项和S n ,求数列的通项公式,其求解过程分为三步: (1)先利用a 1=S 1求出a 1;(2)用n -1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n =S n -S n -1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式;(3)对n =1时的结果进行检验,看是否符合n ≥2时a n 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n =1与n ≥2两段来写.数列求和的常用方法有倒序相加法,错位相减法,裂项相消法,分组求和法,并项求和法等,可根据通项特点进行选用.
14。【2015高考湖南,文21】 (本小题满分13分)函数2
()cos ([0,)f x ae x x =∈+∞,记n
x
为()f x 的从小到大的第*
()n n N ∈个极值点。 (I )证明:数列{()}n f x 是等比数列;
(II )若对一切*
,()n n n N x f x ∈≤恒成立,求a 的取值范围。
【答案】(I )略;
(II) 2,)π
-+∞
【解析】
试题分析:(I
)由题()cos()4
x f x x π
'=
+ ,令()0f x '= ,求出函数的极值点,根据
等比数列定义即可得到结果;(II)
由题意问题等价于
34
34
n e n ππππ-
≤-恒成立问题,设
()(0)
t
e g t t t
=>,然后运用导
数
知
识
得
到
2min 1254[()]min[(),()]min[(),()]()444n g x g x g x g g g e ππ
πππ====
,所以24
e π
π
≤,求
得2a π
-≥,得到a 的取值范围;
试题解析:(I
)()cos sin cos()4
x x x f x ae x ae x x π
'=-=
+
令()0f x '=,由0x ≥,得42x m πππ+=-,即*3,4
x m m N π
π=-∈,
而对于cos()4
x π
+
,当k Z ∈时,
若22242k x k π
π
π
ππ-
<+
<+
,即32244k x k ππππ-
<<+,则cos()04x π
+>;
若322242k x k πππππ+<+<+,即52244k x k ππππ+<<+,则cos()04
x π
+<;
因此,在区间3((1),)4m m πππ--与3(,)44
m m ππ
ππ-+上,()f x '的符号总相反,于
是当*3,4x m m N ππ=-∈时,()f x 取得极值,所以*3,4
n x n n N π
π=-∈,此时,
334
43()cos()(1)4n n n n f x ae
n π
π
ππππ-
-+=-=-,易知()0n f x ≠,而
1()()n n f x e f x π+==-是常数, 故数列{()}n f x
是首项为41()f x ae π
=,公比为e π-的等比数列。
(II )对一切*
,()n n n N x f x ∈≤
恒成立,即34
34n n π
πππ--≤恒成立,亦即
34
34
n e n π
πππ-
≤-恒成立,
设()(0)t e g t t t =>,则2
(1)
()t e t g t t -'=,令()0g t '=得1t =,
当01t <<时,()0g t '<,所以()g t 在区间(0,1)上单调递减; 当1t >时,()0g t '>,所以()g t 在区间(1,)+∞上单调递增; 因为(0,1)n x ∈,且当2n ≥时,1(1,),,n n n x x x +∈+∞<所以
2min
1254[()]min[(),()]min[(),()]()444n g x g x g x g g g e ππ
πππ
====
因此,*
,()n n n N x f x ∈≤
恒成立,当且仅当24e ππ≤
,解得2a π
-≥,
故实数a
的取值范围是2,)π
-+∞。
【考点定位】恒成立问题;等比数列的性质
【名师点睛】解决数列与函数的综合问题时,如果是证明题要根据等比数列的定义明确证明的方向,如果是不等式恒成立问题,要使用不等式恒成立的各种不同解法,如变量分离法、最值法、因式分解法等,总之解决这类问题把数列看做特殊函数,并把它和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了.
15.【2015高考山东,文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列,数列11n n a a +?
?
?
????
的前
n 项和为
21
n
n +. (I )求数列{}n a 的通项公式;
(II )设()12n a
n n b a =+?,求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】(I )2 1.n a n =- (II) 1
4(31)4.9
n n n T ++-?=
【解析】
(I )设数列{}n a 的公差为d , 令1,n =得
1211
3
a a =,所以123a a =. 令2,n =得
12231125
a a a a +=,所以2315a a =. 解得11,2a d ==,所以2 1.n a n =-
(II )由(I )知24224,n n n b n n -=?=?所以121424......4,n n T n =?+?++? 所以23141424......(1)44,n n n T n n +=?+?++-?+? 两式相减,得121344......44n n n T n +-=+++-?
114(14)13444,1433n n n n n ++--=-?=?--
所以113144(31)44.999
n n n n n T ++-+-?=?+=
【考点定位】1.等差数列的通项公式;2.数列的求和、“错位相减法”.
【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的求和、“错位相减法”等,解答本题的关键,首先是注意运用从一般到特殊的处理方法,准确确定等差数列的通项公式;其次就是能对所得数学式子准确地变形,本题易错点在于错位相减后求和时,弄错数列的项数,或忘记从3n T -化简到n T .
本题是一道能力题,属于中等题.在考查等差数列、等比数列等基础知识的同时,考查考生的计算能力.本题是教科书及教辅材料常见题型,能使考生心理更稳定,利于正常发挥.
16.【2015高考陕西,文21】设2()1,, 2.n n f x x x x n N n =++
+-∈≥
(I)求(2)n f ';
(II)证明:()n f x 在20,3??
???
内有且仅有一个零点(记为n a ),且1120233n
n a ??<-< ???.
【答案】(I) (2)(1)21n n f n '=-+ ;(II)证明略,详见解析.
试题解析:(I)由题设1()12n n f x x nx -'=++
+,
所以1(2)1222n n f n -'=+?+
+ ①
由 22(2)12222n n f n '=?+?++ ② ①-②得21(2)12222n n n f n -'-=+++
+-
2
122(1)2112
n n n n -=
-?=---, 所以 (2)(1)21n n f n '=-+ (II)因为(0)10f =-<
222133222()112120233313
n
n n f ????- ? ? ?????????=
-=-?≥-?> ? ?????
-,
所以()n f x 在2(0,)3
内至少存在一个零点, 又1()120n n f x x nx -'=++
+>
所以()n f x 在2
(0,)3
内单调递增,
因此,()n f x 在2(0,)3
内有且只有一个零点n a ,
由于1()11n
n x f x x -=--,
所以10()11n
n n n n
a f a a -==--
由此可得1111222
n n n a a +=+> 故
12
23
n a << 所以1
11112120222333n n
n n n a a ++????
<-==? ?
?????
【考点定位】1.错位相减法;2.零点存在性定理;3.函数与数列.
【名师点睛】(1)在函数出现多项求和形式,可以类比数列求和的方法进行求和;(2)证明
零点的唯一可以从两点出发:先使用零点存在性定理证明零点的存在性,再利用函数的单调性证明零点的唯一性;(2)有关函数中的不等式证明,一般是先构造函数,再求出函数在定义域范围内的值域即可;(4)本题属于中档题,要求有较高逻辑思维能力和计算能力.
17.【2015高考四川,文16】设数列{a n }(n =1,2,3…)的前n 项和S n 满足S n =2a n -a 3,且
a 1,a 2+1,a 3成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设数列1
{
}n
a 的前n 项和为T n ,求T n . 【解析】(Ⅰ) 由已知S n =2a n -a 1,有
a n =S n -S n -1=2a n -2a n -1(n ≥2)
即a n =2a n -1(n ≥2)
从而a 2=2a 1,a 3=2a 2=4a 1, 又因为a 1,a 2+1,a 3成等差数列 即a 1+a 3=2(a 2+1)
所以a 1+4a 1=2(2a 1+1),解得a 1=2
所以,数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列 故a n =2n
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得112n n a =所以T n =211[1()]111122 (11222212)
n n n
-+++==-- 【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和等基础知识,考查运算求解能力.
【名师点睛】数列问题放在解答题第一题,通常就考查基本概念和基本运算,对于已知条件是S n 与a n 关系式的问题,基本处理方法是“变更序号作差”,这种方法中一定要注意首项a 1是否满足一般规律(代入检验即可,或者根据变换过程中n 的范围和递推关系中的表达式判断).数列求和时,一定要注意首项、公比和项数都不能出错.同时注意,对于较为简单的试题,解析步骤一定要详细具体,不可随意跳步.属于简单题.
18.【2015高考天津,文18】(本小题满分13分)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,{}n b 是等差数列,且112331,2a b b b a ==+=,5237a b -=. (I )求{}n a 和{}n b 的通项公式;
(II )设*,n n n c a b n N =?,求数列{}n c 的前n 项和.
【答案】(I )12,n n a n -*=∈N ,21,n b n n *=-∈N ;(II )()2323n
n S n =-+
【解析】
(I )列出关于q 与d 的方程组,通过解方程组求出q ,d ,即可确定通项;(II )用错位相减法求和.
试题解析:(I )设{}n a 的公比为q ,{}n b 的公差为d ,由题意0q > ,由已知,有24232,310,
q d q d ?-=?-=?
消去d 得4
2
280,q q --= 解得2,2q d == ,所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N ,
{}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N .
(II )由(I )有()1
212
n n c n -=- ,设{}n c 的前n 项和为n S ,则
()0121123252212,n n S n -=?+?+?++-? ()1232123252212,n n S n =?+?+?+
+-?
两式相减得()()2
3
12222122323,n n n n S n n -=++++--?=--?-
所以()2323n
n S n =-+ .
【考点定位】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和,考查基本运算能力. 【名师点睛】近几年高考试题中求数列通项的题目频频出现,尤其对等差、等比数列的通项考查较多,解决此类 问题要重视方程思想的应用.错位相减法求和也是高考考查频率较高的一类方法,从历年考试情况来看,这类问题,运算失误较多,应引起考生重视.
19.【2015高考浙江,文17】(本题满分15分)已知数列{}n a 和{}n b 满足,
*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈
*1231111
1(n N )23
n n b b b b b n
++++
+=-∈. (1)求n a 与n b ;
(2)记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,求n T . 【答案】(1)2;n
n n a b n ==;(2)1
*(1)22()n n T n n N +=-+∈
【解析】
(1)根据数列递推关系式,确定数列的特点,得到数列的通项公式;(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式,利用错位相减法进行数列求和. 试题解析:(1)由112,2n n a a a +==,得2n
n a =. 当1n =时,121b b =-,故22b =. 当2n ≥时,
11n n n b b b n +=-,整理得11
n n b n b n
++=
, 所以n b n =.
(2)由(1)知,2n
n n a b n =? 所以2
3222322n n T n =+?+?+
+?
2341222232(1)22n n n T n n +=+?+?+
+-?+?
所以2
3
11222222(1)22n n n n n n T T T n n ++-=-=++++-?=--
所以1
(1)2
2n n T n +=-+.
【考点定位】1.等差等比数列的通项公式;2.数列的递推关系式;3.错位相减法求和. 【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式以及数列的求和.根据数列递推关系式推理得到数列的性质和特点,以此得到数列的通项公式,利用错位相减法计算新组合的数列的求和问题.本题属于中等题,主要考查学生基本的运算能力. 20.【2015高考重庆,文16】已知等差数列{}n a 满足3a =2,前3项和3S =9
2
. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式,
(Ⅱ)设等比数列{}n b 满足1b =1a ,4b =15a ,求{}n b 前n 项和n T . 【答案】(Ⅰ)+1
=2
n n a ,(Ⅱ)21n n T =-. 【解析】
试题分析:(Ⅰ)由已知及等差数列的通项公式和前n 项和公式可得关于数列的首项a 1和公式d 的二元一次方程组,解此方程组可求得首项及公差的值,从而可写出此数列的通项公式, (Ⅱ)由(Ⅰ)的结果可求出b 1和b 4的值,进而就可求出等比数列的公比,再由等比数列的
前n 项和公式1(1)
1n n b q T q
-=-即可求得数列{}n b 前n 项和n T .
试题解析: (1)设{}n a 的公差为d ,则由已知条件得
11329
22,3,22
a d a d ′+=+
= 化简得113
22,,2
a d a d +=+=
解得11
=1,2
a d =,
故通项公式1=1+2n n a -,即+1
=2n n a .
(2)由(1)得141515+1
=1==82
b b a =,. 设{}n b 的公比为q,则34
1
q 8b b ==,从而2q =. 故{}n b 的前n 项和
1(1)1(12)21112
n n n n b q T q -?===---.
【考点定位】1. 等差数列,2. 等比数列.
【名师点睛】本题考查等差数列及等比数列的概念、通项公式及前n 项的求和公式,利用方程组思想求解.
本题属于基础题,注意运算的准确性.
【2015高考上海,文23】(本题满分16分)本题共3小题.第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分.
已知数列}{n a 与}{n b 满足)(211n n n n b b a a -=-++,*∈N n . (1)若53+=n b n ,且11=a ,求数列}{n a 的通项公式;
(2)设}{n a 的第0n 项是最大项,即)N (0*
∈≥n a a n n ,求证:数列}{n b 的第0n 项是最大项;
(3)设130a λ=<,n n b λ=)N (*
∈n ,求λ的取值范围,使得对任意m ,*∈N n ,
0n a ≠,且
1
(,6)6m n
a a ∈. 【答案】(1)56-=n a n ;(2)详见解析;(3))0,4
1
(-
. 【解析】(1)因为)(211n n n n b b a a -=-++,53+=n b n , 所以)(211n n n n b b a a -=-++6)5383(2=--+=n n ,
所以}{n a 是等差数列,首项为11=a ,公差为6,即56-=n a n . (2)由)(211n n n n b b a a -=-++,得n n n n b a b a 2211-=-++,
所以}2{n n b a -为常数列,1122b a b a n n -=-,即1122b a b a n n -+=, 因为n n a a ≥0,*∈N n ,
所以111122220b a b b a b n n -+≥-+,即n n b b ≥0, 所以}{n b 的第0n 项是最大项.
(3)因为n n b λ=,所以)(211n n n n a a λλ-=-++,
当2≥n 时,112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+???+-+-=--- λλλλλλ
λ3)(2(2)(22211
+-+???+-+-=---n n n n
λλ+=n 2, 当1=n 时,λ31=a ,符合上式, 所以λλ+=n n a 2,
因为031<=λa ,且对任意*∈N n ,
)6,6
1
(1∈n a a , 故0 2<+=λλa ,于是)0,2 1 (-∈λ, 此时对任意*∈N n ,0≠n a , 当02 1 <<- λ时,λλλ>+=n n a 22||2,λλλ<+-=--1212||2n n a , 由指数函数的单调性知,}{n a 的最大值为022 2<+=λλa ,最小值为λ31=a , 由题意, n m a a 的最大值及最小值分别是12321+=λa a 及3 1212+=λa a , 由 61312>+λ及6123<+λ,解得04 1<<-λ, 综上所述,λ的取值范围是)0,4 1 (-. 【考点定位】数列的递推公式,等差数列的性质,常数列,数列的最大项,指数函数的单调性. 【名师点睛】数列是高中数学的重要内容之一,是衔接初等数学与高等数学的桥梁,在高考中的地位举足轻重,近年来的新课标高考都把数列作为核心内容来加以考查,并且创意不断, 2019年高考数学试题带答案 一、选择题 1.已知二面角l αβ--的大小为60°,b 和c 是两条异面直线,且,b c αβ⊥⊥,则b 与 c 所成的角的大小为( ) A .120° B .90° C .60° D .30° 2.设集合(){} 2log 10M x x =-<,集合{ } 2N x x =≥-,则M N ?=( ) A .{} 22x x -≤< B .{} 2x x ≥- C .{}2x x < D .{} 12x x ≤< 3.如图所示的组合体,其结构特征是( ) A .由两个圆锥组合成的 B .由两个圆柱组合成的 C .由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D .由一个圆锥和一个圆柱组合成的 4.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为 A .甲、乙、丙 B .乙、甲、丙 C .丙、乙、甲 D .甲、丙、乙 5.已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点,12F F , 为双曲线C 的左、右焦点,若112PF F F =,且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切,则C 的渐近线方程为( ) A .43y x =± B .34 y x =? C .3 5 y x =± D .53 y x =± 6.在△ABC 中,a =5,b =3,则sin A :sin B 的值是( ) A . 53 B . 35 C . 37 D . 57 7.圆C 1:x 2+y 2=4与圆C 2:x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12=0的公共弦的长为( ) A 2B 3 C .22 D .328.若干年前,某教师刚退休的月退休金为6000元,月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼,目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元,则目前该教师的月退休金为( ). 《2018年高考文科数学分类汇编》 2 x —2?y 2 =2上,贝U △ ABP 面积的取值范围是 和d 2,且d 1 d 2 =6,则双曲线的方程为 2 2 x ■丄=1 4 12 2 x D — 9 、选择题 1.【2018全国一卷 4】 已知椭圆C : 第九篇:解析几何 X 2 V 2 評廿1的一个焦点为(2 ,0),则C 的离心率为 1 A.- 3 2.【2018全国二卷 6】 1 B.- 2 2 x 2 双曲线 2-爲=1(a 0,b 0)的离心率为,3,则其渐近线方程为 a b A . y 二 2x B . y = 3x D . y 3 x 2 3.【2018全国 11】已知F , F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若PR_ PF 2 , 且.乙PF 2F 1 =60,则C 的离心率为 A . J 2 B . 2-3 C. D . .3-1 4.【2018全国 三卷 8】直线x y *2=0分别与x 轴,y 轴交于A , B 两点,点P 在圆 A . 2,61 B . 4,8〕 D . 5.【2018全国三卷10】已知双曲线 C : 三卷 =1(a 0 , b 0)的离心率为 .2 ,则点(4,0) 到C 的渐近线的距离为 B . 2 C. 2 D . 2,2 2 x 6.【2018天津卷7】已知双曲线 — a =1(a 0, b 0)的离心率为2,过右焦点且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点. 设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d 1 12 4 =1 8. 4 2 7. 【 2018 浙江卷2 】双曲线「宀的焦点坐标是 之和为() D.4魂 二、填空题 【2018全国一卷15】直线y =x ? 1与圆x 2 y 2 2^^0交于A ,B 两点,则 A ? (- 2 , 0), ( .2 , 0) B ? (-2, 0), (2, 0) C . (0, - . 2 ), (0 , ,2) D . (0, -2), (0, 2) 8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 呂+以=1 5 3 上的动点,贝U P 到该椭圆的两个焦点的距离 1. 2. 【2018北京卷10】已知直线I 过点(1,0)且垂直于 轴,若 I 被抛物线 y 2 = 4ax 截得的线 3. 段长为4,则抛物线的焦点坐标为 2 2 【2018北京卷12】若双曲线 笃-丿 1(a 0)的离心率为 a 4 -1,则 2 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中,经过三点( 0,0) 1),( 2,0)的圆 的方程为 5. 2 x 【2018江苏卷8】在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 2 与=1(a 0,b 0)的右焦点 b 6. F (c,0)到一条渐近线的距离为乜 2 12】在平面直角坐标系 则其离心率的值是 【2018江苏卷 xOy 中,A 为直线I: y = 2x 上在第一象限内的点, B(5,0),以 AB 为直径的圆C 与直线 l 交于另一点D .若AB CD =0,则点A 的横坐标 7. 【2018浙江卷 17】已知点P (0,1),椭圆^+y 2=m (m>1)上两点A ,B 满足AP =2"P B ,则 4 当m= 时,点B 横坐标的绝对值最大. 2019年高考数学真题分类汇编 专题18:数列(综合题) 1.(2019?江苏)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”. (1)已知等比数列{a n }()* n N ∈满足:245324,440a a a a a a =-+=,求证:数列{a n }为 “M-数列”; (2)已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ,其中S n 为数列{b n }的前n 项和. ①求数列{b n }的通项公式; ②设m 为正整数,若存在“M-数列”{c n }()* n N ∈ ,对任意正整数k , 当k ≤m 时,都有1k k k c b c +≤≤成立,求m 的最大值. 【答案】 (1)解:设等比数列{a n }的公比为q , 所以a 1≠0,q ≠0. 由 ,得 ,解得 . 因此数列 为“M—数列”. (2)解:①因为 ,所以 . 由 得 ,则 . 由 ,得 , 当 时,由 ,得 , 整理得 . 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知,b k =k , . 因为数列{c n}为“M–数列”,设公比为q,所以c1=1,q>0. 因为c k≤b k≤c k+1,所以,其中k=1,2,3,…,m. 当k=1时,有q≥1; 当k=2,3,…,m时,有. 设f(x)= ,则. 令,得x=e.列表如下: x e (e,+∞) + 0 – f(x)极大值 因为,所以. 取,当k=1,2,3,4,5时,,即, 经检验知也成立. 因此所求m的最大值不小于5. 若m≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216,所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上,所求m的最大值为5. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用,等比数列的通项公式,等差关系的确定 【解析】【分析】(1)利用已知条件结合等比数列的通项公式,用“M-数列”的定义证出数列{a n}为“M-数列”。(2)①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列,并利用等差数列通项公式求出数列的通项 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. ( 4 1 ,-1) B. (4 1 ,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a <22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 一、考情分析 集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中. 二、经验分享 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合;如下面几个集合请注意其区别: ①{}220x x x -=;②{}22x y x x =-;③{}22y y x x =-;④(){} 2,2x y y x x =-. (2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy =的整数解集可表示为()()()(){}1,2,2,1,1,2,2,1----. (3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. (4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系. (5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况. (6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:①紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;②用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质. 三、知识拓展 1.若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n -1. 2.A ?B ?A ∩B =A ?A ∪B =B ()()U U A B A B U ?=??=痧 . 3.奇数集:{}{}{} 21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z . 4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数 2019年全国高考文科数学分类汇编---概率统计 1(2019北京文科).改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下: 支付 金额 支付方式 不大于 (Ⅰ)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数; (Ⅱ)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2000元的概率; (Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2000元.结合(Ⅱ)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由. 【答案】(Ⅰ)400人; (Ⅱ)1 25 ; (Ⅲ)见解析. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数; (Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率; (Ⅲ)结合概率统计相关定义给出结论即可. 【详解】(Ⅰ)由图表可知仅使用A的人数有30人,仅使用B的人数有25人,由题意知A,B两种支付方式都不使用的有5人, 所以样本中两种支付方式都使用的有1003025540 ---=, 所以全校学生中两种支付方式都使用的有 40 1000400100 ?=(人). (Ⅱ)因为样本中仅使用B 的学生共有25人,只有1人支付金额大于2000元, 所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为 125. (Ⅲ)由(Ⅱ)知支付金额大于2000元的概率为1 25 , 因为从仅使用B 的学生中随机调查1人,发现他本月的支付金额大于2000元, 依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的,所以可以认为仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化,且比上个月多. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用,概率的定义与应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2.(2019全国1卷文科)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验,若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是 A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生 【答案】C 【解析】 【分析】 等差数列的性质.渗透了数据分析素养.使用统计思想,逐个选项判断得出答案. 【详解】详解:由已知将1000名学生分成100个组,每组10名学生,用系统抽样,46号学生被抽到, 所以第一组抽到6号,且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ,公差10d =, 所以610n a n =+()n *∈N , 若8610n =+,则1 5 n = ,不合题意;若200610n =+,则19.4n =,不合题意; 若616610n =+,则61n =,符合题意;若815610n =+,则80.9n =,不合题意.故选C . 【点睛】本题主要考查系统抽样. 3.(2019全国1卷文科)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表: 2019-2020年高考数学第二轮专题复习数列教案 二、高考要求 1.理解数列的有关概念,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前n项. 2.理解等差(比)数列的概念,掌握等差(比)数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 3.了解数学归纳法原理,掌握数学归纳法这一证题方法,掌握“归纳—猜想—证明”这一思想方法. 三、热点分析 1.数列在历年高考中都占有较重要的地位,一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题,分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容,对基本的计算技能要求比较高,解答题大多以考查数列内容为主,并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题,在解题过程中通常用到等价转化,分类讨论等数学思想方法,是属于中高档难度的题目. 2.有关数列题的命题趋势(1)数列是特殊的函数,而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具,三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验,而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点(2)数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力,近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。(3)加强了数列与极限的综合考查题 3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛,且十分灵活,主动发现题目中隐含的相关性质,往往使运算简洁优美.如a2a4+2a3a5+a4a6=25,可以利用等比数列的性质进行转化:a2a4=a32,a4a6=a52,从而有a32+2aa53+a52=25,即(a3+a5)2=25. 4.对客观题,应注意寻求简捷方法解答历年有关数列的客观题,就会发现,除了常规方法外,还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下:①借助特殊数列. ②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质,可更加准确、快速地解题,这种思路在解客观题时表现得更为突出,很多数列客观题都有灵活、简捷的解法 5.在数列的学习中加强能力训练数列问题对能力要求较高,特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说,考题中选择、填空题解法灵活多变,而解答题更是考查能力的集中体现,尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查,应引起我们足够的重视.因此,在平时要加强对能力的培养。 6.这几年的高考通过选择题,填空题来着重对三基进行考查,涉及到的知识主要有:等差(比)数列的性质. 通过解答题着重对观察、归纳、抽象等解决问题的基本方法进行考查,其中涉及到方程、不等式、函数思想方法的应用等,综合性比较强,但难度略有下降. 四、复习建议 1.对基础知识要落实到位,主要是等差(比)数列的定义、通项、前n项和. 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.(2020?北京卷)已知集合{1,0,1,2}A =-,{|03}B x x =<<,则A B =( ). A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.(2020?全国1卷)设集合A ={x |x 2–4≤0},B ={x |2x +a ≤0},且A ∩B ={x |–2≤x ≤1},则a =( ) A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.(2020?全国2卷)已知集合U ={?2,?1,0,1,2,3},A ={?1,0,1},B ={1,2},则()U A B ?=( ) A. {?2,3} B. {?2,2,3} C. {?2,?1,0,3} D. {?2,?1,0,2,3} 4.(2020?全国3卷)已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ,{(,)|8}B x y x y =+=,则A B 中元素的个数为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.(2020?江苏卷)已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=,则A B =_____. 6.(2020?新全国1山东)设集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2 2019-2020 年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(一) x 2 y2 2 的直线与 12 1.设 F , F为椭圆的左、右焦点,动点P 的坐标为 ( -1,m),过点 F 4 3 椭圆交于 A, B 两点 . (1)求 F1,F 2的坐标; (2)若直线 PA, PF 2, PB 的斜率之和为 0,求 m 的所有 整数值 . x2 2 2.已知椭圆y 1,P是椭圆的上顶点.过P作斜率为 4 k(k≠0)的直线l 交椭圆于另一点A,设点 A 关于原点的 对称点为 B. (1)求△PAB 面积的最大值; (2)设线段 PB 的中垂线与 y 轴交于点 N,若点 N 在椭圆内 部,求斜率 k 的取值范围 . 2 2 5 x y = 1 a > b > 0 ) 的离心率为,定点 M ( 2,0 ) ,椭圆短轴的端点是 3.已知椭圆 C : 2 + 2 a b ( 3 B1, B2,且MB1 MB 2. (1)求椭圆C的方程; (2)设过点M且斜率不为0 的直线交椭圆C于 A, B 两点,试问 x 轴上是否存在定点P ,使 PM 平分∠APB ?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,说明理由. x2 y2 4.已知椭圆C 的标准方程为 1 ,点 E(0,1) . 16 12 (1 )经过点 E 且倾斜角为3π 的直线 l 与椭圆 C 交于A、B两点,求 | AB | .4 (2 )问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、 N 且 | ME | | NE | ,若存在,求出直线p 斜率 的取值范围;若不存在说明理由. 5.椭圆 C1与 C2的中心在原点,焦点分别在x 轴与y轴上,它们有相同的离心率e= 2 ,并 2 且 C2的短轴为 C1的长轴, C1与 C2的四个焦点构成的四边形面积是2 2 . (1)求椭圆 C1与 C2的方程; (2) 设P是椭圆 C2上非顶点的动点,P 与椭圆C1长轴两个顶点 A , B 的连线 PA , PB 分别与椭圆 C1交于E,F点 . (i)求证:直线 PA , PB 斜率之积为常数; (ii) 直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数?若是,求出该值;若不是,说明理由. 概率 1.(2019全国II文4)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只 兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为 A.2 3 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 2.(2019全国III文3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是 A.1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 3.(2018全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为 A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3 4.(2018全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为 A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7 5.(2017新课标Ⅰ)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A.1 4 B. 8 π C. 1 2 D. 4 π 6.(2017新课标Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A. 1 10 B. 1 5 C. 3 10 D. 2 5 7.(2017天津)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A .45 B .35 C .25 D .15 8.(2018江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰 好选中2名女生的概率为 . 9.(2017浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4 人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答) 10.(2017江苏)记函数()f x =的定义域为D .在区间[4,5]-上随机取一个 数x ,则x D ∈ 的概率是 . 11.(2018北京)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率; (3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论) 12.(2018天津)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现 采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2)设抽出的7名同学分别用A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作. (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; (ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M 发生的概率. 13.(2017新课标Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元, 售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求 培优点十二 数列求和 1.错位相减法 例1:已知{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,{}n b 是等比数列,且112a b ==,4427a b +=, 4410S b -=. (1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (2)记1121n n n n T a b a b a b -=++ +,n *∈N ,求证:12210n n n T a b +=-+. 【答案】(1)31n a n =-,2n n b =;(2)见解析. 【解析】(1)设{}n a 的公差为d ,{}n b 的公比为q , 则3441127327a b a d b q +=?++=,34411104610S b a d b q -=?+-=, 即33 2322786210d q d q ?++=??+-=??,解得:32d q =??=?, 31n a n ∴=-,2n n b =. (2)()()2 31234222n n T n n =-?+-?+ +?,① ()()23+1231234222n n T n n =-?+-?+ +?,② -②①得 ()10223112n n =?---, ∴所证恒等式左边()102231n n =?--,右边()210231102n n n a b n =-+=--+?, 即左边=右边,所以不等式得证. 2.裂项相消法 例2:设数列{}n a ,其前n 项和23n S n =-,{}n b 为单调递增的等比数列,123512b b b =,1133a b a b +=+ . (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)若()()21n n n n b c b b = --,求数列{} n c 的前n 项和n T . 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1,(全国1理1)已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N = A .}{43x x -<< B .}42{x x -<<- C .}{22x x -<< D .}{23x x << 2,(全国1文2)已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===,,,则U B A = A .{}1,6 B .{}1,7 C .{}6,7 D .{}1,6,7 3,(全国2理1)设集合A ={x |x 2–5x +6>0},B ={x |x –1<0},则A ∩B = A .(–∞,1) B .(–2,1) C .(–3,–1) D .(3,+∞) 4,(全国2文1)已知集合={|1}A x x >-,{|2}B x x =<,则A ∩B = A .(-1,+∞) B .(-∞,2) C .(-1,2) D .? 5,(全国3文、理1)已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤,,则A B = A .{}1,0,1- B .{}0,1 C .{}1,1- D .{}0,1,2 6,(北京文,1)已知集合A ={x |–1 2019年高考数学试题整体分析 1.试题突出特色: “突出数学学科特色,着重考查考生的理性思维能力,综合运用数学思维方法 分析问题、解决问题的能力。”2019年高考数学卷一个突出的特点是,试题突出 学科素养导向,注重能力考查,全面覆盖基础知识,增强综合性、应用性,以反映 我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体,贴近生活,联系社会 实际,在数学教育、评价中落实立德树人的根本任务。 2.试题考查目标: (1)素养导向,落实五育方针 2019年高考数学科结合学科特点,在学科考查中体现五育要求,整份试卷 站在落实“五育”方针的高度进行整体设计。理科Ⅰ卷第4题以著名的雕塑 “断臂维纳斯”为例,探讨人体黄金分割之美,将美育教育融入数学教育。文 科Ⅰ 卷第17题以商场服务质量管理为背景设计,体现对服务质量的要求,倡 导高质量的劳动成果。理科Ⅰ卷第(15)题引入了非常普及的篮球运动,以其 中普遍存在的比赛结果的预估和比赛场次的安排提出问题,要求考生应用数学 方法分析、解决体育问题。这些试题在考查学生数学知识的同时,引导学生加 强体育锻炼,体现了对学生的体育教育。(2)突出重点,灵活考查数学本质2019年高考数学试题,突出学科素养导向,将理性思维作为重点目标,将基 础性和创新性作为重点要求,以数学基础知识为载体,重点考查考生的理性思维和 逻辑推理能力。固本强基,夯实发展基础。理科(4)题源于北师大版必修五67页;理科(22)题源于北师大版4-4第53页;理科(16)和华师大附中五月押题卷(14)几乎一模一样。理科(21)题可视为2011清华大学七校联考自主招生考试 题的第15题改编。题稳中有变,助力破解应试教育。主观题在各部分内容的布局 和考查难度上进行动态设计,打破了过去压轴题的惯例。这些改革释放了一个明显 的信号:对重点内容的考查,在整体符合《考试大纲》和《考试说明》要求的前提下,在各部分内容的布局和考查难度上都可以进行调整和改变,这在一定程度上有 助于考查考生灵活应变的能力和主动调整适应的能力,有助于学生全面学习掌握重 点知识和重点内容,同时有助于破解僵化的应试教育。 (3)情境真实,综合考查应用能力数学试题注重考查数学应用素养,体现综合性 和应用性的考查要求。试卷设置的情境真实、贴近生活,同时具有深厚的文化底蕴,体现数学原理和方法在解决问题中的价值和作用。 理科Ⅰ卷第(6)题以我国古代典籍《周易》中描述事物变化的“卦”为背景设置 了排列组合试题,体现了中国古代的哲学思想。理科第(21)题情境结合社会现实,贴近生活,反映了数学应用的广阔领域,体现了数学的应用价值,有利于在中学数 学教育中激发学生学习数学的热情,提高对数学价值的认识,提升数学素养,对中 学的素质教育有很好的导向和促进作用。 (2019全国1理)9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =,55a =,则( ) A.25n a n =- B.310n a n =- C.228n S n n =- D.2 122 n S n n =- 答案: A 解析: 依题意有415146045 S a d a a d =+=??=+=?,可得13 2a d =-??=?,25n a n =-,24n S n n =-. (2019全国1理)14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若113 a =,2 46a a =,则5S = . 答案: 5S = 121 3 解答: ∵113 a = ,2 46a a = 设等比数列公比为q ∴32 5 11()a q a q = ∴3q = ∴5S = 121 3 2019全国2理)19. 已知数列{}n a 和{}n b 满足11=a ,01=b ,4341+-=+n n n b a a ,4341--=+n n n a b b . (1)证明: {}n n b a +是等比数列,{}n n b a -是等差数列; (2)求{}n a 和{}n b 的通项公式. 答案: (1)见解析 (2)21)21(-+=n a n n ,2 1)21(+-=n b n n . 解析: (1)将4341+-=+n n n b a a ,4341--=+n n n a b b 相加可得n n n n n n b a b a b a --+=+++334411, 整理可得)(2111n n n n b a b a += +++,又111=+b a ,故{}n n b a +是首项为1,公比为2 1 的等比数列. 将4341+-=+n n n b a a ,4341--=+n n n a b b 作差可得8334411+-+-=-++n n n n n n b a b a b a , 整理可得211+-=-++n n n n b a b a ,又111=-b a ,故{}n n b a -是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由{}n n b a +是首项为1,公比为 21的等比数列可得1)2 1 (-=+n n n b a ①; 快戳!数学6大必考题型全总结!掌握好轻松考到140+! 高考数学大题必考题型及解题技巧分析 1 排列组合篇 1. 掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2. 理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题。 3. 理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题。 4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题。 5. 了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。 6. 了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。 7. 了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 8. 会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。 2 立体几何篇 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道,解答题1道),共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立体几何中的计算型问题,而解答题着重考查立 体几何中的逻辑推理型问题,当然,二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展。从历年的考题变化看,以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题。 知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题,是在解决立体几何问题的过程中,大量的、反复遇到的,而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容,因此在主体几何的总复习中,首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手,通过较为基本问题,熟悉公理、定理的内容和功能,通过对问题的分析与概括,掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想,以提高逻辑思维能力和空间想象能力。 2. 判定两个平面平行的方法: (1)根据定义--证明两平面没有公共点; 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.(2018 全国卷 1 理科)设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = ( ) A.0 B. 1 C.1 D. 2 2(2018 全国卷 2 理科) 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3(2018 全国卷 3 理科) (1 + i )(2 - i ) = ( ) A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4(2018 北京卷理科)在复平面内,复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5(2018 天津卷理科) i 是虚数单位,复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6(2018 江苏卷)若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ,其中 i 是虚数单位,则 z 的实部为 . 7(2018 上海卷)已知复数 z 满足(1+ i )z = 1- 7i (i 是虚数单位),则∣z ∣= . 2 集合 1.(2018 全国卷1 理科)已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =() A. {x | -1 2019年高考数学试题分类汇编 集合部分(共12道试题) 试题编号2019001 (2019北京文1)(共20题的第1题 8道选择题第1题 150分占5分) 已知集合{}12A x x =-<<,{}1B x x =>,则A B =U ( ) A.()1,1- B.()1,2 C.()1,-+∞ D.()1,+∞ 答案:C 解:因为{}12A x x =-<<,{}1B x x =>,所以{}1A B x x =>-U , 故选C 。 试题编号2019002 (2019全国卷Ⅱ文1)(共23题的第1题 12道选择题第1题 150分占5分) 已知集合{}=1A x x >-,{}2B x x =<,则A B =I ( ) A.()1,-+∞ B.(),2-∞ C.()1,2- D.? 答案:C 解:{}{}{}=1212A B x x x x x x >-<=-<2019年高考数学试题带答案
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