非线性泛函——Brouwer度的应用
Brouwer度的性质及的应用
拓扑度理论是由L.E.J.Brouwer在1912年创立的。L.E.J.Brouwer所创立的拓扑度是针对有限维空间中的连续映射，现在称之为Brouwer度。组合拓扑学的奠基Brouwer于二十世界初提出的一个重要概念，Brouwer 通过引入一个复形到另一个复形的映射类和映射的度[1]（即现在的Brouwer度）这些概念，能够第一次处理所谓一流形上的向量场的奇点，同时利用组合的办法，还得到了注明的Brouwer不动点定理。这些定理有深刻的几何意义，又在分析学中有着重要的应用，尤其是在处理非线性算子方面，拓扑度理论是研究非线性算子定性理论的有力工具[2]，利用它可以推导出许多著名的不动点定理。后来，经过许多作者的努力，将其整个理论建立在不同的基础上，现在较为普遍也较为容易接受的方法是以分析为基础来建立的，它的推到步骤是先对简单的映射和区域定义度数，然后用简单的映射逼近一般映射，用简单的区域逼近一般的区域。随着非线性泛函分析理论体系的形成，到1934年，J.Leray和J.Schauder将Brouwer度的工作推广到Banach空间中的全连续场，从而使拓扑度理论在偏微分方程的研究中发挥了重要的作用。Leray和Schauder关于全连续场的拓扑度成为Leray-Schauder度，继Leray-Schauder的工作之后，拓扑度在理论和应用两个方面都得到了长足的发展。人们应用拓扑度理论得到了局部分定理，大范围分歧定理，以及各种不动点理论。
拓扑度在理论上的发展主要是针对不同的映射类建立拓扑度，概括起来大致有两种情况：一种是保持拓扑度的基本性质，只是讨论对象有了改变，第二种推广是度数以不在保持原有的某些性质，只保持拓扑度理论中的某些基本原则和结论。人们在实Banach空间上建立了非紧性测度，录用非紧性测度给出了一类比全连续场更广泛的映射---严格集压缩映射和凝聚映射，并建立了拓扑度。另外一方面，在实Banach空间上建立逼近格式，然后引入A-Proper映射的概念，对A-proper映射建立广义拓扑度概念， A-proper映射的拓扑度不再是整数，而是一个整数集合，它只保持拓扑度理论的一些基本原则。利用A-Proper 映射的广义拓扑度又引入实可分Hilbert空间中的连续单调映射的拓扑度，极大单调映射与广义伪单调映射之和的拓扑度，并由此获得相应的满射性定理。
接下来我们将介绍Brouwer 度的定义和性质。
1. Brouwer 的定义和性质
1.1.1 Brouwer 度的定义
定义 1.1 [3] 设 Ω 是n R 中的有界开集， :n f R Ω→， f 是2C 的映射（即）()()11,...,,,...,n i n xf f f f x x =在Ω上具有连续的二阶偏导数1,2,...,i n =），()\n p R f ∈?Ω， 于是()inf ||||0x f x p τ∈?Ω
=->， 作连续函数[):0,R Φ+∞→，使它满足下面两个条件：
(a) 存在*,δτ， 满足*0δττ<<≤。 且当()*,r δτ?时，恒友
()0r Φ=；
(b) ()||||1n R z dz Φ=?。
定义拓扑度()deg ,,f p Ω如下：
()()()()deg ,,||||f f p f x p J x dx Ω
Ω=Φ-?， (1) 其中()f J x 表示f 在点x 的Jacobin 行列式
()()()11,...,,...,n i f n j
D f f f J x D x x x ?==?。 注 1.1 满足上述条件（a ）（b ）的连续函数Φ是很多的， 所以要证明上述定义的合理性，必须要证明按（1）式定义的()deg ,,f p Ω不随函数Ω的选取而变， 还要证明()deg ,,f p Ω是一个整数。
以上的度数定义是针对2C 映射的， 接下来我们要用Sard 定理将2C 映射过度到连续映射，为了定义的完整性， 我们将给出Sard 定理， 它的证明可参见[3]。
定理 1.1 [3]设Ω是n R 中的有界开集， :n f R Ω→是1C 映射， 令(){}:,J 0f f N x x x =∈Ω=使得， 则f N 在映射f 下的象()f f N 是n R 中的
Lebesgue 测度为零的集。
现在用Sard 定理和小摄动不变性， 将定义1.1中的对2C 映射定义的拓扑度推广到一般的连续映射， 从而得到Brouwer 度的定义。
定义1.2[3]设Ω是n R 中的有界开集， :n f R Ω→连续， ()p f ??Ω， 于是()inf ||||0x f x p τ∈?Ω
=->，令 ()()|:max ||f ||n n x T g g R x g x τ∈?Ω??=Ω→-
是C 映射，且，
可以证明T 不定， 对g T ∈， 有()()()()||||||||||f ||0g x p f x p x g x -≥--->， 因此，()\n p R g ∈?Ω，g T ?∈，于是根据定义1.1， ()deg ,,f p Ω有意义。 规定Brouwer 度()()deg ,,deg ,,,f p g p q T Ω=Ω?∈。
住1.2 要使定义1.2合理，必须证明：当12,g g T ∈ 时， 恒友
()()12deg ,,deg ,,g p g p Ω=Ω。
令
()()01deg ,,deg ,,,h p h p Ω=Ω
从而
()()12deg ,,deg ,,g p g p Ω=Ω
1.1.2 Brouwer 度的性质
接下来，我们讨论Brouwer 度的基本性质， 这些性质不仅是拓扑度理论的重要组成部分， 而且可以直接帮助我们研究和解决具体的非线性问题。 定理 1.2[3]Brouwer 度具有以下性质：
（a ）（正规性）()deg ,,1,,I p p Ω=?∈Ω 其中I 表示恒等算子。
（b ）（可加性） 设12,ΩΩ是Ω的两个互不相交的开子集， 并且()12\p f ?ΩΩ?Ω，则
()()()12deg ,,deg ,,deg ,,f p f p f p Ω=Ω+Ω。
（c ）（同伦不变性） 设[]:0,1n h R ?Ω→连续， 令()(),t h x h t x =， 若
()[]\,0,1n t p R h t ∈?Ω?∈， 则()deg h ,,t p Ω保持常数（对于01t ≤≤）
。 （d ）（可解性）（Kronecker 存在定理）若()1deg ,,0f p Ω≠， 则方程
()f x p =在Ω内有解。
（e ）（切除性）设0Ω是Ω的开子集， 并且()0\p f ?ΩΩ， 则
()()0deg ,,deg ,,f p f p Ω=Ω。
（f ）（平移不变性）若()\n p R f ∈?Ω， 则()()deg ,,deg ,,f p f p θΩ=-Ω， 其中f p -表示映射()f x p -， θ表示n R 的零元。
2.1 Brouwer 的一些应用和发展
在文章[4]中，作者研究了关于H-连通空间及Brouwer 度的一些研究，文章主要是研究了关于Brouwer 度不变性的简化证明，其简化之处在于当考虑对定义域的复形K 或像复形L 的一般重分，而不一定是重心重分，即只对一部分单形重分，而不是同时对所有单形进行重分，或者可以视为逐步将所有单形重分。这样的优越之处在于利用必链重分之后的依然为必链，而使得重分部分单形之后其像的系数与为重分的单形的像有相同系数，即拓扑度不变。而不依赖于11d d -=这个式子，使得证明得以简化并且直观化。这样的证明是对一些经典教材关于该定理证明的有益补充。
Brouwer 在经济上也有所应用，在文章[5]中，作者就利用Brouwer 度来研究了最有消费与投资高维REC 模型的求解方法。应用Brouwer 度和最大值原理研究在预知由真实技术冲击引发的经济短期波动和期末人均资本存量不小于期初资本存量的条件下,对终端时刻固定的高维离散系统给出其解的存在性条件以及最优控制应满足的必要性条件.
在文章[6]中，模糊紧场的拓扑度被研究。1959年Granas 和Jaworowski 开始研究Banach 空间中的多值映射的拓扑度理论，提出了集值紧场和集值同伦的概念， 并且利用Vietories 同伦论把经典的Brouwer-Leray-Schauder 度理论从单值映射推广到多值映射， 取得了一些成果，但是要求把多值映射的定义域限制在Banach 空间的单位球上。1972年T.W.Ma 提出了集值紧场的另一种定义， 并且把单值紧场的拓扑度理论推广到分离的局部凸空间中的集值紧场上，形成了集值紧场的拓扑度理论。 两年后W.VPetryshyn 和P.M.Fitzpatrick 推广了集值紧场的拓扑度理论， 提出了非紧性集值映射的定义，并给出了它的拓扑度。经过
几十年的发展，拓扑度理论以相当完善，它是研究非线性算子定性理论的有力
工具，已成为非线性分析不可缺少的一部分。自1965年Zadeh提出模糊集的概
念以来，到现在模糊数学理论已有很大的发展，并已渗透到许多重要的数学领
域，形成诸如模糊拓扑、模糊系统、模糊积分等许多新的数学分支，其发展速度
超过了应用数学分支。模糊数学作为一门新兴学科，它有着强大的生命力和广阔
的发展前景，但是模糊数学从1965年发展到现在，才有近四十年的历史，它还
没有成熟，许多领域的研究才刚刚开始，需要广达数学工作者的不懈努力，完善
和壮大模糊数学，模糊数学的研究需要引入相关学科的研究方法，我们知道，拓
扑度是非线性分析的主要研究方法之一，若在模糊数学中引入这一些方法，渴望
为模糊数学提供一个全新的重要研究方法。
文章[7]研究的关于af的拓扑度及其应用，文中首先对n R中连续映射象进af a≠与f的Brouwer度之间的关系，得到了Brouwer度的几个等行讨论了()0
式，顺便推导出几个不动点理论。在此基础上研究了投影完备的实Banach空间中A-proper映象f与a的广义拓扑度之间的联系。作为应用，推广了关于
p紧
1
映象的Altman不动点定理。
[1] Petryshyn,P.M.,A new fixed point theorem and its application, Bull.
Amer. Math.Soe.,78(1972),225一230.
[2] Petryshyn,P.M.,Fixed points for various classes of1-set-contractive
and l-ball-contractive mapping in Banach spaces,
Trans·Amer.Math.Soe.,182(1973),323-352
[3] 郭大钧. 非线性泛函分析,济南:山东科学技术出版社、2002.
[4]马訾伟. 关于H-连通空间及Brouwer度的一些研究
[5]李伟，蔡华. 最有消费与投资高维REC模型的求解方法，吉林：吉林大学学
报， vol 47. No1. 2009.
[6]陈文亚. 模糊紧场的拓扑度
[7]赵增勤. af的拓扑度及其应用，数学研究与评论， vol.11 no.4. 1991.
泛函分析在控制系统及算法中的应用
课程:应用法泛函分析题目:泛函分析在控制系统及算法中的应用 学院：自动化与电气工程学院 专业：控制理论与控制工程 姓名： 学号： 指导老师： 二○一三年十二月十日
泛函分析在控制系统及算法中的应用 【摘要】泛函分析的理论、思想和方法在应用数学、物理理论、现代工程技术等众多领域都有广泛的应用。它不仅为控制算法优化以及系统性能分析等建立了严密的理论体系，而且为控制工程实用的数值计算和控制算法的建立，提供了明确的理论依据，并对算法实现的有效性、收敛性提供了各种实用方法。本文从遗传算法的优化，控制系统性能分析和最优控制三方面简要分析了泛函在控制理论与控制工程中的应用。 【关键词】泛函分析控制理论与控制工程遗传算法最优控制 【中图分类号】O177.92- TL361 Through the study of functional analysis, knowing that functional analysis is widely used in many fields, it not only builds a strict theoretical system for the optimization of controlling algorithm and the analysis of systematic performance but also provides a definite theoretical basis for the establishment of numerical calculation and control algorithm of the useful Controlling Engineering.At the same time,a variety of practical methods are put into the algorithm’s effectiveness and convergence. In order to grasp and understand the application of the theory of functional analysis and learn the methods of application of functional analysis. From the point of genetic algorithm , the analysis of performance of controlling system and optimal control briefly analyse that functional is applied in the fields of controlling theory and controling engineering 一、遗传算法的优化 设一个系统的种群为 12 ,..... n X x x x ?? =?? （1-1） 满足约束条 () () 01,2,, 01,2,, 01,2,, j k i X j l X k m i n g h x ?≤= ? ? ≤= ? ? ≥= ?? （1-2） 使目标函数： ()min W X→（1-3）上述问题称为遗传算法的一个优化问题，其中约束条件是一个工程结构中的各项参数，（如系统的动态性能指标、静态性能指标）应该满足的条件。目标函数是用来评价系统的优劣；在寻求目标函数满足约束条件下达到最小值，传统的遗传算法，按照适者生存的原理从给出的种群中不断进化寻求满足约束条件的新解，最后找出收敛的最优解。寻求最优解的过程汇总，当变量增多或者种群取值范围大时，寻求收敛的速度就会相应降低，无法精确的确定最优解的位置。因此采用一解空间到另一解空间的映射, 改进遗传算法求解的迭代过程，从映射角度对分析遗传算法的收敛性，上述问题可以得到相应的解决。 定义 1 度量: d S S R ?→，其中 d 的表达式定义如下： ()() ()() () 22 , i i i i d c f c f x x x x ++ =--- (1-4) 其中i x,2i S x+∈ ,c 是一个大的正数。
(完整版)泛函分析复习与总结,推荐文档
《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一．空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数） ！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =?
(iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。 （3）内积空间 （线性空间 + 内积） ！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞
应用泛函分析相关习题.doc
泛函分析练习题 一?名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共貌算子 6.内点、内部： 7.线性算子、线性范函： 8.自然嵌入算子 9.共貌算子 10.内积与内积空间： 11.弱有界集： 12.紧算子： 13.凸集 14.有界集 15.距离 16.可分 17.Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、压缩映射原理 2.共鸣定理 3.逆算子定理 4.闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理 6、Bai re纲定理 7、开映射定理 8、Riesz表现定理 三证明题： 1.若(x,p)是度量空间，则d = d也使X成为度量空间。 1 + Q 证明：Vx,y,zcX 显然有(1)d(x, y) > 0 ,日3,)，)= 0当且仅当x = (2) d(x9y) = d(y,x) (3)由/(/) = — = !一一， (/>0)关于，单调递增，得 1+，1+r d(x, z) = PE < Q(x,.y)+Q(y,z)
' 1 + Q(x, z) 一1 + p(x, y) + Q(y, z) 匕Q（x，）'） | Q（）'，z） 一1 + Q（3）1+ /?（），, z） = d（x,y） + d（y,z） 故』也是X上的度量。 2,设H是内积空间，天则当尤〃—尤,乂T y时"（七，月）t （寻），），即内积关于两变元连续。 证明：| （% X,）一（x, y） I2 =| （x/t - x, >; - y）\2<\\x n-x\\-\\y tt-y\\ 己知即II七一尤II—0,|| 乂一>||—0。 故有I ，以）一（x, y）『—。 即Cw〃）T（x,y）。 5.设7x（r） = 若T是从心［0,1］-匕［0,1］的算子，计算||T||;若T是从 ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子再求1171。 解：（1）当T是从ZJ0,l］—匕［0,1］的算子。 取x&）=同,贝j］||x（）||2=1>||片）川=［后广出=*. 所以||T||>-^e 故有11『11=±? （2）当T是从ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子时 ||八||2=（。誓⑴力度严=nxii2 Vn,(!--
《应用泛函分析》前四章重点复习大纲
1 第1章预备知识 1.1集合的一般知识 1.1.1概念、集合的运算 上限集、上极限 下限集、下极限 1.1.2映射与逆映射 1.1.3可列集 可列集 集合的对等关系~（定义1.1）1.2实数集的基本结构 1.2.1建立实数的原则及实数的序关系 阿基米德有序域（定义1.4）1.2.2确界与确界原理 上确界sup E（定义1.5） 下确界inf E 确界原理（定理1.7） 1.2.3实数集的度量结构 数列极限与函数极限 单调有界原理 区间套定理 Bolzano-Weierstrass定理 Heine-Bore定理 Cauchy收敛准则 1.3函数列及函数项技术的收敛性1.3.1函数的连续性与一致连续 函数的一致连续性（定义1.10）1.3.2函数列和函数项级数的一致收敛 逐点收敛（定义1.11） 一致收敛（定义1.12） Weierstrass M-判别法（定理1.15）1.3.3一致收敛的性质 极限与积分可交换次序 1.4 Lebesgue积分 1.4.1一维点集的测度 开集、闭集 有界开集、闭集的测度m G m F 外测度内测度 可测集（定义1.16） 1.4.2可测函数 简单函数（定义1.18） 零测度集 按测度收敛 1.4.3 Lebesgue积分 有界可测集上的Lebesgue积分 Levi引理 Lebesgue控制收敛定理（性质1.9） R可积、L可积 1.4.4 Rn空间上的Lebesgue定理 1.5 空间 Lp空间（定义1.28） Holder不等式 Minkowski不等式（性质1.16）
2 第2章度量空间与赋范线性空间 2.1度量空间的基本概念 2.1.1距离空间 度量函数 度量空间（X，ρ） 2.1.2距离空间中点列的收敛性 点列一致收敛 按度量收敛 2.2度量空间中的开、闭集与连续映射 2.2.1度量空间中的开集、闭集 开球、闭球 内点、外点、边界点、聚点 开集、闭集 2.2.2度量空间上的连续映射 度量空间中的连续映射（定义2.7） 同胚映射 2.3度量空间中的可分性、完备性与列紧性 2.3.1度量空间的可分性 稠密子集（定义2.9） 可分性 2.3.2度量空间的完备性 度量空间中Cauchy列（定义2.11） 完备性 完备子空间 距离空间中的闭球套定理（定理2.9） 闭球套半径趋于零，则闭球的交为2.3.3度量空间的列紧性 列紧集、紧集（定义2.13） 全有界集 2.4 Banach压缩映射原理 压缩映像 不动点 Banach压缩映射原理（定理2.16）2.4.1应用 隐函数存在性定理（例2.31） 2.5 线性空间 2.5.1线性空间的定义 线性空间（定义2.17） 维数与基、直和 2.5.2线性算子与线性泛函 线性算子 线性泛函（定义2.18） 零空间ker(T)与值域空间R(T) 2.6 赋范线性空间 2.6.1赋范线性空间的定义及例子 赋范线性空间 Banach空间（定义2.20） 2.6.2赋范线性空间的性质 收敛性——一致收敛 绝对收敛 连续性与有界性 2.6.3有限维赋范线性空间 N维实赋范线性空间
应用泛函分析复习资料小结
-` 第一章实分析概要 本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些基础知识，特别是点集的勒贝格测度与勒贝格积分理论。这些知识不仅是学习泛函分析的必要准备，而且在数学及其它学科中有直接的应用。 第一节集合及其运算第 二节实数的完备性第三 节可数集与不可数集 第四节直线上的点集与连续函数第 五节点集的勒贝格测度与可测函数
-` 1
-` 第六节勒贝格积分 第一节集合及其运算 1）A∪A=A,A∩A=A; 2）A∪ Φ=A,A∩ Φ=Φ； 3）若A?B，则A∪B=B,A∩B=A,A\B=Φ； 4) 设X为基本集，则 A ∪ A C= X , A ∩ A C=Φ, ( A C)C= A, A \ B = A ∩ B C 又若A?B，则A C?B C。 集合的运算法则： 2
-` 交换律 A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A ； 结合律( A∪B) ∪C=A∪ (B∪C) =A∪B∪C； ( A∩B) ∩C=A∩ (B∩C) =A∩B∩C； 分配律( A∪B) ∩C= ( A∩C) ∪ (B∩C) ； ( A∩B) ∪C= ( A∪C) ∩ (B∪C) ； ( A \ B) ∩C= ( A∩C) \ (B∩C) . 定理 1.1 设X为基本集，Aα为任意集组，则 1) ( U Aα )C=I ( Aα )C (1.6) α∈I α∈I 2) ( I Aα )C=U ( Aα )C (1.7) α∈I α∈I A \ ( A \ B)= A I B 3
第二节实数的完备性 2.1有理数的稠密性 2.2实数的完备性定理 定义 2.1(闭区间套) 设{[a n,b n]}(n=1,2,L, )是一列闭区间，a n泛函分析在数值分析中的应用
泛函分析在数值分析中 的应用 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]
泛函分析在数值分析中的应用 刘肖廷工程力学 一、数学概述 数学是一门从集合概念角度去研究物质世界数量关系与空间形式的基础的自 然学科。它从应用的角度可以分为基础数学与应用数学两大范畴，而基础数学 又可以划分为纯数学和基础应用数学两大范畴。其中，纯数学是建立在基础应 用数学基础上进行的单纯的数学研究。可见基础应用数学是数学学科的基础。 基础应用数学以代数学，几何学，分析学与拓扑学为基础研究物质世界的数 学关系与空间形式。分而言之，代数学主要是从集合概念角度去研究物质世界 的数量关系；几何学主要是从集合概念的角度去研究物质世界的空间形式；分 析学则主要研究集合间的映射关系及其运算；而拓扑学则包含点集拓扑，代数 拓扑，微分拓扑，辛拓普等几个分支，融合与代数学与几何学之中。 应用数学则是以基础数学的基本方法（代数，几何，分析）为基础，去探讨 物质世界不同类型的数量关系与空间形式的。它主要包括三角学，概率论，数 理统计，随机过程，积分变换，运筹学，微分方程，积分方程，模糊数学，数 值分析，数值代数，矩阵论，测度论，李群与李代数等领域。当然，我们同样 不能忽视应用数学对基础数学在理论上的支持与贡献。 由此可见，集合概念是数学的核心概念，代数、几何与分析是是数学的三大 基本方法，代数学、几何学、分析学与拓扑学是支撑数学大厦的四根最紧要的 支柱，此四者同时又是相互联系，不可分割的。这一点印证了一句名言，数学 的魅力正在于其中各个分支之间的相互联系。 泛函分析的基本内容和基本特征 （一）度量空间和赋范线性空间 1、度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽 象空间。19 世纪末，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的 建立奠定了基础。20 世纪初期，法国数学家M. R. 弗雷歇发现许多分析学的 成果从更抽象的观点看来，都涉及函数间的距离关系，从而抽象出度盘空间的 d?→。若对于任何x， 概念。定义：设x 为一个集合，一个映射: X X R y，z属于x，有(1) (正定性)(x,y)0 d=。当且仅当x y d≥，且(x,y)0 =； (2)
应用泛函分析相关习题
泛函分析练习题 一名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共轭算子 6. 内点、内部： 7. 线性算子、线性范函： 8. 自然嵌入算子 9. 共轭算子 10. 内积与内积空间： 11. 弱有界集： 12. 紧算子： 13. 凸集 14. 有界集 15. 距离 16. 可分 17. Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、 压缩映射原理 2. 共鸣定理 3.逆算子定理 4. 闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理 6、Baire 纲定理 7、开映射定理 8、Riesz 表现定理 三证明题： 1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ= +也使X 成为度量空间。 证明：,,x y z X ?∈ 显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。 （2）(,)(,)d x y d y x = （3）由1()111t f t t t = =-++，(0)t >关于t 单调递增，得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,) x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++
(,)(,)1(,)1(,) x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+ 故d 也是X 上的度量。 2， 设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。 证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-?- 已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。 故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→ 即 (,)(,)n n x y x y →。 5.设2()(),Tx t t x t =若T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子，计算||||;T 若T 是从 22[0,1][0,1]L L →的算子再求||||T 。 解：（1）当T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子。 1 2 10|||||()|Tx t x t dt =?≤? 所以 |||| T ≤。 取2 0()x t =，则02|||| 1.x = 4010||||Tx dt ==? 所以 |||| T ≥。 故有 |||. T = （2）当T 是从22[0,1][0,1]L L →的算子时 11 421/221/22200||||(())(())||||Tx t x t dt x t dt x =≤=?? 所以 |||| 1.T ≤
泛函分析的应用
现代数学基础学习报告 泛函分析应用 院系： 专业： 导师： 姓名： 学号：
摘要 信号与系统的泛函分析是以泛函理论为工具描述和研究信号与系统特性的近代分析方法。这种方法可使信号与系统的表示更加抽象与概括,并使连续与离散、时域与频域、分析与综合达到统一,从而在信号与系统学科中得到了日益广泛的应用。本文仅就其基本理论及其在电路设计中的应用加以简要的介绍。本文将利用泛函分析中的度量空间的理论研究信号处理纠错的问题，首先介绍度量空间相关理论，然后举例分析其在信号纠错处理中的解决过程，通过应用泛函知识，使纠错过程变得更简便和概括。然后简单介绍泛函的理论知识，使其应用到求解最低功耗电源的设计中，结果表明应用泛函理论可以将求解过程变得更加简便和清晰。
1.泛函分析介绍 泛函分特点和内容[1] 泛函分析是20世纪30年代形成的分科，是从变分问题，积分方程和的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和。它可以看作无限维向量空间的解析几何及。泛函分析在，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的。 泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。 泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个的系统的运动，实际上需要有新的来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多力学系统的例子。一般来说，从力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的理论就属于无穷自由度系统。 正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。 泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，是古典分析观点的推广，综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。 半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在、概率论、函数论、连续介质力学、、计算数学、、等学科中都有重要的应用，还是建立理论的基本工具，也是研究无限个自由度的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。 泛函分析在数学物理方程、、、、等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。 泛函的理论[2]
泛函分析在力学和工程中的应用
泛函分析在力学和工程中的应用 陆章基 （复旦大学应用力学系） 摘要 本文简单介绍泛函分析方法在力学和工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法、与实验技术有关的泛函方法等。并介绍当前非线性分析中部分动态。 $ 1 泛函分析概述 泛函分析是高度抽象的数学分支，研究各类泛函空间及算子理论。所谓泛函空间是带有某类数学结构（主要是拓扑和代数结构）的抽象集。其元（或点）可以是数、向量、函数、张量场，甚至各种物理状态等。根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。力学和工程中常见的有①：（i）度量（距离）空间。对任意两抽象元引入距离，由此自然地引入开集等拓扑结构。从而，度量空间是一特殊拓扑空间，但尚未赋予代数结构；（ii）线性拓扑空间（拓扑向量空间。同时带有拓扑和代数结构。所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集），他们满足开集的基本公理。有了拓扑后，即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。这里所述的代数结构指的是线性结构（加法和数乘运算）。由此可讨论线性无关、基和维数等代数概念。泛函分析的空间（尤其各类函数空间）绝大部分是无限维的。线性空间（带有线性结构的度量空间）是线性拓扑空间的一例。但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间；（iii）线性赋范空间。每个元（常称向量）配有番薯||x||（是普通向量长度的推广）。线性空间配上范数后，能自然地诱导出度量和拓扑。就这个意义而言，它是特殊的线性拓扑和度量空间。于是，具有这两个空间中所有概念。例如可以讨论该空间（或其子集）是否完备。即任何柯西序列是否为收敛序列。（iv）Banach空间。它是完备的线性赋范空间。完备性使该空间具有十分良好的性质。例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理和开映照原理等。（v）内积空间。内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。例如：长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩。力学家和工程师对此尤感兴趣。由于内积可诱导番薯，内积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。与普通欧式空间最相像的应数下述Hilbert空间；（vi）Hilbert空间。它是完备的内积空间，内容最丰富。例如Fourier展开、Bessel不等式和Parseval等式等。由于本文讨论泛函的力学应用，必须提及的最后一类空间是Sobolev空间。（vii）Sobolev空间W m,p（Ω）（p （Ω）空间中可以连续求m阶分布导数的函数u组成的子空间，≥1，m≥0）[3]。它是由L p 并配上Sobolev空间。它是特殊的线性赋范空间。其中，分布导数是普通导数的推广，对于性质极差的Dirac delta之类的广义函数，也能求分布导数。因此，对函数的“光滑程度”提供更一般、更精确的含义。由于Sobolev嵌入定理，可以通过找弱解来讨论偏微分方程的定解问题。p=2这类Sobolev空间特别重要，它是特殊的Hilbert空间，记之为H m（Ω），称作Hilbert-Sobolev空间。 泛函分析另一内容是算子理论，可以讲更为重要。它研究上述各类泛函空间上线性与非线性算子的各种特性。对于单个算子，可引入连续、有界、下有界、闭、紧致和全连续等性质。对于算子集（线性连续算子集或线性连续泛函集等）又可引入新的线性结构和范数等，构成高层的算子空间。其中对偶（共轭）空间尤为重要。据此，可引入自共轭（自伴）算子、投影算子、酉算子、正常算子、自反空间、强和弱收敛等。在初等分析中卓见成效的微分运算
泛函分析在控制工程的应用
泛函分析在控制工程中的 应用 作者：景苏银 学号： 0211443 单位：兰州交通大学 日期：2011.12.1
泛函分析在控制工程中的应用 【摘要】本文综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论，通过泛函理论求解工程中可微方程的极值问题，为工程的设计提供了理论基础。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。 【关键词】泛函分析控制工程控制优化 泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。主要内容有拓扑线性空间等。它广泛应用于物理学、力学以及工程技 术等许多专业领域。 泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。 Functional analysis in water conservancy of application
Abstract：This article through the functional theory solution of differential equations can be hydraulic extremum problems, for water conservancy project design provides theory basis. It draws function theory, geometry, algebra point of view to study the infinite dimensional vector space function, operator and limit theory. It can be as infinite dimensional vector space analytic geometry and mathematics analysis。 Functional Analysis (Functional Analysis) is the modern a branch of mathematics, belongs to learn Analysis, the study of main object is function consists of the space. Functional analysis is made to transform (such as Fourier transform, etc.) of the nature of the study and differential equation and integral equation of research and development. Using functional as a statement from the variational method, representative of the function for function. And take Hector <(Stefan Banach) is functional analysis of the theory of the primary founders, and mathematician and physicist voltaire pull (Vito Volterra) to the wide application of functional analysis is an important contribution. Functional analysis is the 1930 s of the formation of the mathematics branch. From the variational problem, integral equation and theoretical physics research develops. Functional analysis in mathematical physics equation, probability theory, the calculation of mathematics branch all has the application, is also a degree of freedom with an infinite physical system mathematical tools. Main content have topological space, etc. It is widely used in physics and mechanics and engineering skills and Art etc many professional fields. 【正文】
泛函分析在电气工程中的应用
泛函分析在电气工程中的应用 薛平 11S106023 摘要：根据电气工程领域所涉及的相关问题，结合实际解决方案，简要论述了泛函分析在该领域中的应用。 0 引言 泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题、积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论、几何学和现代数学的观点，来研究无限维向量和向量空间上的函数、算子和几线理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。 泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学等分科中都有应用，对解决工程领域相关计算问题也做出了不少贡献。一级学科电气工程下辖5个二级学科，分别为电机与电器、电力系统及其自动化、高电压与绝缘技术、电力电子与电力传动、电工理论与新技术。各学科研究方向不一，所面临的问题也各不相同，但是都或多或少存在计算上的难题。泛函分析的出现为解决这些难题提供了方法上的支持。 1 泛函分析在电机定子温度场分析中的应用 电机损耗所产生的热量，直接影响绝缘的电气性能和寿命。为了使这部分热能够由流体带走，需要设计合理的通风结构。在电机构件中，径向通风沟是散热的主要途径。但由于径向通风沟截面积较小、结构复杂，流体通常是以紊流状态流过径向通风沟并带走热量的，即流体在径向通风沟内以三维矢量速度流动。其流动的快慢影响到电机构件表面散热系数，进而影响电机的散热量。因此，研究流畅的变化对电机通风结构的设计具有十分重要的意义。 由于流体的流速是非线性的，所以不可以简单地将其视为常量。文献[1]采用三维等参元法和流体相似理论，对大型大电机温度场进行了理论分析，得出了一些对于电机故障预报和诊断有益的结论。 在直角坐标系下，各向异性媒介中稳态导热微分方程一般形式为 x y z q x x y y z z θθθλλλ????????????++=-???????????????? ?? 式中：θ为物体的温度，x λ、y λ、z λ分别为x 、y 、z 方向的导热系数，q 为热源密度。 根据变分原理可得与上述微分方程对应的泛函表达式为 ()()222212min 2222y x z V V S f J q d dS x y z λλλθθθθθαθθθ???????????=++-+-=?? ? ? ?????????????? ?? 对上述方程进行三维等参元分析，若采用六面体八节点等参单元进行剖分，经推导可得 ()12 T T J K F θθθθ=-
泛函分析在桥梁工程中的应用
应用泛函分析解决桥梁工程中的一个问题 摘要：本文简单介绍泛函分析方法和在力学和桥梁工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法等。并通过两个例子来说明泛函在力学和桥梁工程当中的应用。 关键词：泛函变分法桥梁工程 中图分类号：U441.5 一泛函分析概述 泛函分析（Functional Analysis）其研究的主要对象是函数构成的空间，是研究无穷维线性空间上的泛函数与算子理论的一门分析数学。无穷维线性空间是描述具无限多自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。因此，泛函分析是定量地研究诸如连续介质力学等一类具有无穷多自由度的物理系统的有力工具。根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。力学和桥梁工程中常见的有： 1、度量空间：现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有（I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当x = y；（II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)；（III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。 2、赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间。希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。 3、巴拿赫空间理论（Banach space） 巴拿赫空间理论是1920年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广sup n n x x ，巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。 4、内积空间。内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。例如：长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩。力学家和桥梁工程师对此尤感兴趣。由于内积可诱导范数，内积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。与普通欧式空间最相像的应数下述Hilbert空间； 5、Hilbert空间。它是完备的内积空间，内容最丰富。例如Fourier展开、Bessel 不等式和Parseval等式等。由于本文讨论泛函的力学应用，必须提及的最后一类空间是Sobolev空间。
应用泛函分析习题解答
1 泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章 第 一 节 3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用 学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。 一、 度量空间和赋范线性空间 （一）度量空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。 1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y) 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ? x=y （非负性） 2°d(x,y)= d(y,x) （对称性） 3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式） 则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空 间或距离空间(metric space )。 （这个定义是证明度量空间常用的方法） 注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为 度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 ⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。 ⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。 1.1举例