模糊数学原理及其应用

绪言

任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。

经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。

精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。

客观实际中存在众多的模糊性事物和现象，促使人们寻求建立一种适于描述模糊事物和现象的逻辑模式。模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的。模糊方法的逻辑基础是连续值逻辑，它是建立在[0，1]上的。如若我们把年利税在100万元以上者的属于“经济效益好”的企业的隶属度规定为1，那末，相比之下，年利税少1元的企业，属于“经济效益好”的企业的隶属度就应相应减少一

点，比如为0.99999，依此类推，企业的年利税每减少1元，它属于“经济效益好”的企业的隶属度就要相应减少一点。这样下去，当企业的年利税为0时，它属于“经济效益好”的企业的隶属度也就为0了，显然，模糊方法的这种处理方式，是符合于人们的认识过程的，连续值逻辑是二值逻辑的合理推广。

现代科学发展的总趋势是，从以分析为主对确定性现象的研究，进到以综合为主对不确定性现象的研究。各门科学在充分研究本领域中那些非此即彼的典型现象之后，正在扩大视域，转而研究那些亦此亦彼的非典型现象。自然科学不同学科之间，社会科学不同学科之间，自然科学和社会科学之间，相互渗透的趋势日益加强，原来截然分明的学科界限一个个被打破，边缘科学大量涌现出来。随着科学技术的综合化、整体化，边界不分明的对象，亦即模糊性对象，以多种多样的形式普遍地、经常地出现在科学的前沿。

模糊集合理论自诞生以来，获得了长足的发展，每年全世界发表的研究论文的数量，以指数级速度增长。研究范围从开始时的模糊集合，发展为模糊数、模糊代数、模糊测度、模糊积分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑……等众多的分枝。

和模糊集合理论的发展速度相比，模糊技术的应用虽稍迟一步，但也取得了令人可喜的进展。自1980年第一例应用模糊技术的产品问世以来，有关这方面的研究报告已逾7000多篇，制造出近千种模糊产品，如计算机、电饭煲、摄像机、微波炉、洗衣机、空调器等。如日本松下公司研制的智能化家用空调器，可根据内置的传感器提供的室内空气温度数据，在室温高或低于25℃时，会自动地“稍稍”调节空调器的阀门，进行4608种不同状态设定选择，从而获得最佳开启状态和尽可能少的消耗。而这种“稍稍”的程度，只有通过有经验的人的感觉来决定。

模糊技术方法不是对精确的摒弃，而是对精确更圆满的刻画。它通过模糊控制规划，利用人类常识和智慧，理解词语的模糊内涵和外延，将各方面专家的思维互相补充。虽然，目前要使模糊技术接近于人的思维，尚难以做到，但正如日本夏普公司电子专家日吉考庄所说：一个普遍应用模糊技术的时代，不久就会到来。

我国自70年代开始模糊数学研究以来，成就突出，已形成了2000至3000人的世界最庞大的研究队伍，并在高速模糊推理研究等领域，居世界领先地位。但同时在其它方面，也存在着一些差距，尤其突出的是实验室里的成果，还有许

多未转化成经济效益。需要在政府和工业界的支持和参与下，成立专门的开发实体，制定规划，并积极开展国际交流，为我国21世纪的技术发展和科学腾飞奠定基础。

第二章 模式识别

§2-1模式识别及识别的直接方法

在日常生活中生活中，经常需要进行各种判断、预测。如图象文字识别、故障（疾病）的诊断、矿藏情况的判断等，其特点就是在已知各种标准类型前提下，判断识别对象属于哪个类型的问题。这样的问题就是模式识别。

一、模糊模式识别的一般步骤

模式识别的问题，在模糊数学形成之前就已经存在，传统的作法主要用统计方法或语言的方法进行识别。但在多数情况下，标准类型常可用模糊集表示，用模糊数学的方法进行识别是更为合理可行的，以模糊数学为基础的模式识别方法称为模糊模式识别。 模式识别主要包括三个步骤：

第一步：提取特征，首先需要从识别对象中提取与识别有关的特征，并度量这些特征，设n x x ,,1 分别为每个特征的度量值，于是每个识别对象x 就对应一个向量),,,(21n x x x ，这一步是识别的关键，特征提取不合理，会影响识别效果。

第二步：建立标准类型的隶属函数，标准类型通常是论域

{}),(1n x x U =的模糊集，i x 是识别对象的第i 个特征。

第三步：建立识别判决准则，确定某些归属原则，以判定识别对象属于哪一个标准类型。常用的判决准则有最大隶属度原则（直接法）和择近原则（间接法）两种。 二、最大的隶属度原则

若标准类型是一些表示模糊概念的模糊集，待识别对象是论域中的某一元素（个体）时，往往由于识别对象不绝对地属于某类标准类型，因而隶属度不为1，这类问题人们常常是采用称为“最大隶属度原则”的方法加以识别，这种方法（以及下面的“阈值原则”）是处理个体识别问题的，称为直接法。

最大隶属度原则：设)(,21U F A A A n ∈ 是n 个标准类型，U x ∈0，若

{}n k x A x A k i ≤≤-1 )( max )(00

则认为0x 相对隶属于i A 所代表的类型。 例 1 通货膨胀识别问题

通货膨胀状态可分成五个类型:通货稳定;轻度通货膨胀;中度通货膨胀;重度通货膨胀;恶性通货膨胀.以上五个类型依次用+

R (非负实数域,下同)上的模糊集54321,,,,A A A A A 表示,其隶属函数分别为:

??

?

??≥--<≤=5 ],]35[exp[50 ,1)(2

1x x x x A ))510(exp()(2

2--=x x A

))720(exp()(2

3--=x x A

))9

30(exp()(2

4--=x x A

?????≥<≤--=50 ,

1 500 ),)15

50(exp[)(25x x x x A

其中对0≥x ,表示物价上涨%x 。问40,8=x 时，分别相对隶属于哪种类型？

解 3679.0)8(1=A ，8521.0)8(2=A

0529.0)8(3=A ，0032.0)8(4=A 0000.0)8(5=A

0000.0)40(1=A ，0000.0)40(2=A

0003.0)40(3=A ，1299.0)40(4=A 6412.0)40(5=A

由最大隶属原则，8=x 应相对隶属于2A ，即当物价上涨%8时，应视为轻度通货膨胀；40=x ，应相对隶属于5A ，即当物价上涨%40时，应视为恶性通货膨胀。

三、阈值原则

在使用最大隶属度原则进行识别中，还会出现以下两种情况，其一是

有时待识别对象0x 关于模糊集n A A A 21,中每一个隶属程度都相对较低，这时说明模糊集合n A A A 21,对元素x 不能识别；其二是有时待识别对象x 关于模糊集n A A A 21,中若干个的隶属程度都相对较高，这时还可以缩小x 的识别范围，关于这两种情况有如下阈值原则。

阈值原则：)(,21U F A A A n ∈ 是n 个标准类型，]1,0(,0∈∈d U x 为一阈值（置信水平）令

{}n k x A k ≤≤=1)(max 0α

若d <α则不能识别，应查找原因另作分析。

若α≥d 且有d x A i ≥)(01，d x A i ≥)(02…d x A m i ≥)(0 则判决0x 相对地属于m i i i A A A 21

例 2 三角形识别问题

我们把三角形分成等腰三角形I ,直角三角形R , 正三角形E ,非典型三角形T ,这四个标准类型,取定论域

{}C B A C B A C B A x x X ≥≥=++==,180),,,(

这里C B A ,,是三角形三个内角的度数，通过分析建立这四类三角形的隶属函数为：

)]()[(601

1)(C B B A x I -∧--

= 90901

1)(--=A x R )(1801

1)(C A x E --= ]902,),(3),(3min[180

1

)(----=A C A C B B A x T

现给定，)45,50,85(),,(0==C B A x ，0x 对上述四个标准类型的隶属度为：

06.0)(7

.0)( 94.0)( 916.0)(0000====x T x E x R x I

由于0x 关于I ,R 的隶属程度都相对高，故采用阈值原则，取8.0=d ，因8.0916.0)(0≥=x I ，8.094.0)(0≥=x R ，按阈值原则，0x 相对属于I ∩R ,即0x 可识别为等腰直角三角形。

例 3 癌细胞识别

在癌细胞识别问题中细胞分成四个标准类型，即：癌细胞)(M ，重度核异质细胞)(N ，轻度核异质细胞)(R ，正常细胞。)(T

选取表征细胞状况的七个特征：

.

:,

:,:,:,:,:,:7654221核内平均透光率核内平均光密度核内总光密度细胞周长细胞面积核周长核面积x x x x x x x

根据病理知识，反映细胞是否癌变的主要指标有以下六个，它们都是

{}),,,(:721x x x x x X == 上的模糊集：

1

23

2

46

1

21

2

25

1

2

672

741

2

1

3

1

2

52

12

12

1])4(1[)(,:])4(1[)(,

:])

lg (1[)(,:)1()(,:)1()(,

:)

( )1()(:-------+

=-+

=++=+

=+

=+=πβπβββββx x

x F F x x

x E E x x x x D D x x C C x x B B a x a x A A 细胞畸形核畸形核内染色质不匀核桨比例置核染色增深正常核面积核增大

上述

621,,,βββ 是适当选取的常数

细胞识别中的几个标准类型分别定义为：

c

c c c

c

c

R N M T N M C B A R M C B A N F E D C B A M ====2

12

12

1)]([

上述定义中的模糊集21A 的隶属函数为21A 21))(()(x A x =。另两个模糊集2

1B 、

2

1C 的隶属函数类似定义。

给定待识别细胞X x ∈0，设0x 的核面积等七个特征值为),,(0

70

20

1x x x 据此可算出

)(0x M 、)(0x N 、)(0x R 、)(0x T ，最后按最大隶属度原则识别。

例4 冬季降雪量预报

内蒙古丰镇地区流行三条谚语：（1）夏热冬雪大，（2）秋霜晚冬雪大，（3）秋分刮西北风冬雪大，现在根据三条谚语来预报丰镇地区冬季降雪量。

为描述“夏热”)(1A 、秋霜晚)(2A 、秋分刮西北风)(3A 等概念，在气象现象中提取以下特征：

1x ：当年6~7月平均气温 2x ：当年秋季初霜日期

3x ：当年秋分日的风向与正西方向的夹角。

于是模糊集1A （夏热），2A （秋霜晚）、3A （秋分刮西北风）的隶属函数可分别定义为：

????

??

???

-≤<<---≥= 2 0 2 )(211

1)(11111112

112

11111σσσx x x x x x x x x x A 其中1x 是丰镇地区若干年6、7月份气温的平均值，1σ为方差，实际预报时取

x =2,19c 2

1

σ=0.98 ????

??

???

≤<<--≥=2222222

2

22222 0 1)(a x x x a a x a x x x x A

其中2x 是若干年秋季初霜日的平均值，2a 是经验参数，实际预报时取2x =17（即9月17日），2a =10（即9月10日）。

????????<

cosx 18090 0270081 sinx -360270

1)(33333

333x x x x x A

取论域{}),,(|321x x x x x X ==，“冬雪大”可以表示为论域X 上的模糊集

C ，其隶属函数为：

)()(11x A x C =∧)((22x A ∨))(33x A

采用阈值原则，取阈值8.0=d ，测定当年气候因子),,(321x x x x =。计算)(x C ，若8.0)(≥x C 则预报当年冬季“多雪”，否则预报“少雪”。

用这一方法对丰镇1959~1970年间隔12年作了预报，除1965年以外均报对，历史拟合率为11/12。

§2-2 贴近度与模式识别的间接方法

一、贴近度

表示两个模糊集接近程度的数量指标，称为贴近度，其严格的数学定义如下：

定义1 设映射

N : ]1,0[)()(→?U F U F 满足下列条件：

(1) )(U F A ∈?，1),(=A A N (2) )(,U F B A ∈?，),(),(A B N B A N =

(3) 若)(,,U F C B A ∈满足

)()()()(x B x A x C x A -≥- )(U x ∈?

有) () (B A N C A N ≤

则称映射N 为)(U F 上的贴近度，称) (B A N 为A 与B 的贴近度。 贴近度的具体形式较多，以下介绍几种常见的贴近度公式

（1） H a mmin g 贴近度

∑=--=n

i i i H x B x A n B A N 1

)()(11), (

或 ?---

=b a H dx x B x A a b B A N )()()

(1

1), ( （2）E uc lid 贴近度

∑=--

=n

i i

i

E x B x A n

B A N 1

2

))

()((1

1), (

或 ?

---

=b

a

i i E dx x B x A a

b B A N 2))()((1

1), (

（3）格贴近度 定义7 映射

]1,0[)()(:→?U F U F N g

A B A B A N B A g ()(),(),(∧=→ ⊙c B )，（或=

A B A ([2

1

+ ⊙])c B ） 称为格贴近度，称),(B A N g 为A 与B 格贴近度。其中，

{}U x x B x A B A ∈∧∨=)()( (称为A 与B 的内积)

A ⊙{}U x x

B x A B ∈∨∧=)()( (称为A 与B 的外积)

若{}n x x x U ,,,21 =，则

{})((1

i i n

i x B x A B A ∧∨==

A ⊙{})((1

i i n

i x B x A B ∨∧==

值得注意的是，这里的格贴近度是通过定义来规定的，事实上，格贴近度不满足定义

1

中(1)，即

1)(≠A A N g ，但是，当

U A su A U F A ≠=∈?pp ,),(1φ时，格贴近度满足定义1的(1)-(3)。另外格贴

近度的计算很方便，且用于表示相同类型模糊度的贴近度比较有效，所以在实际应用中也常选用格贴近度来反映模糊集接近程度。

还有许多贴近度，这里不在一一介绍。

贴近度主要用于模糊识别等具体问题，以上介绍的贴近度表示式各有

优劣，具体应用时，应根据问题的实际情况，选用合适的贴近度。 二、模式识别的间接方法——择近原则

在模式识别问题中，各标准类型（模式）一般是某个论域X 上的模糊集，用模式识别的直接方法（最大隶属度原则、阈值原则）解决问题时，其识别对象是论域X 中的元素。另有一类识别问题，其识别对象也是X 上的模糊集，这类问题可以用下面的择近原则来识别判决。

择近原则：已知n 个标准类型1A 、2A 、…、)(X F A n ∈，)(X F B ∈为待识别的对象，)(X F N 为上的贴近度，若

{}n k B A N B A N k i ,2,1 |),(max ),(==

则认为B 与i A 最贴近，判定B 属于i A 一类。

例5 岩石类型识别

岩石按抗压强度可以分成五个标准类型：很差（1A ）、差（2A ）、较好（3A ）、好（4A ）、很好（5A ）。它们都是),0[+∞=X 上的模糊集，其隶属函数如下（图2-1）

0 200 400 600 900 1100 1800 2000

图 2-1

?????≥<<--≤≤=200

0200100 )200(100

1

100x 0 1)(1x x x x A

?

??????<≤<--≤<≤≤=x x x x x x

x A 600

0600400 )600(2001400200

12000

200)(2

1

)

/(2cm kg A

)(5x A )

(4x A )(3x A )(2x A )

(1x A x

???????≤<--

≤<≤≤-=其它 01100900 )1100(200

1

900600 1600040

)400(2001

)(3x x x x x x A

??

?????≤<--≤<≤≤-=其它

022000081 )2200(400

1

18000011 11100090

)900(2001

)(4x x x x x x A

?

????<≤<-<=x x x x x A 2002

122001800 )1800(4001

1800

0)(5

今有某种岩体，经实测得出其抗压强度为X 上的模糊集B ，隶属函数为（图2-3）。

图 2-3

?

??????≤<--≤<≤≤-=其它

011201000 )1120(12011000800

1800712

)712(881

)(x x x x x x B

试问岩体B 应属于哪一类。

计算B 与)5~1(=i A i 的格贴近度，得：

),( ,68.0),( 1),( ,0),( ,0),(54321=====B A N B A N B A N B A N B A N g g g g g

按择近原则，B 应属于3A 类，即B 属于“较好”类（3A 类）的岩石。 例6 小麦亲本识别

在小麦杂交育种过程中，亲本选择是关键。现有五种类型的小麦亲本，它们是：

1A ：早熟型，2A ：矮杆型，3A ：大粒型， 4A ：高肥丰产型，5A ：中肥丰产型。

判断小麦亲本类型的主要依据是以下五种性状特征：

1x ：抽穗期，2x ：株高，3x ：有效穗数， 4x ：主穗粒数，5x ：百粒重。

第i 种类型亲本的第j 个特征，是模糊集ij A ，这些模糊集除11A （早熟型的抽穗期）与

22A （矮杆型的株高）外，其余都是中间型的正态分布模糊集。为简单计，将正态分布函数

展开，取前两项作它的近似值，则有

22

2)()(2112

2a x e

a x --

≈--

σσ

于是ij A 的隶属函数可表示为：

????

??

??

?+<<--≤≤<<---=其它 ,02 ,)(211

,12 ,)(211)(22

2

2ij

ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij

ij a b x b b x b x a a x a a x x A σσσ

而11A ，22A 的隶属函数取为偏小值型：

???

??>--≤=ii ii ii

ii b x b x b x x A )(211 1)(22

σ )2,1(=i

为确定隶属函数中的参数值，在熟知的标准类型中，每类型选出k 个新本为样本，分别计算各样本的第j 个特征的均值ijl x 及方差),,2,1(k l ijl =σ，取

{}{}∑======k l ijl

ij ijl

ij

ijl ij k k l x b k l x a 1

2

1,2,1:max ,2,1:min σσ

以上参数值见表（2-1）

表 2-1

亲本

早熟

矮杆

大粒

高肥丰产

中肥丰产

参数 性状 j

a 1 j b

1

j

12

12σ

j a 2 j b 2 j

22

12σ j a 3 j

b 3 j 32

12σ j

a 4 j

b 4 j 42

12σ j

a 5 j

b 5 j

52

12σ 抽穗期 - 6.7 1.1 5.5 9.6 1.0 5.8 11.9 1.2 5.2 11.3 0.9 5.1 8.9 1.2 株高 67.1 87.7 50.0 - 70.0 72.4 67.9 90.9 52.2 67.9 81.2 35.9 76.5 84.6 57.5 有效穗数 9.1 11.2 18.1 8.3 18.2 10.8 9.4 13.2 15.6 9.8 13.2 11.3 7.2 13.2 5.8 主穗粒数 40.2 55.0 92.0 37.5 52.5 80.7 44.2 54.5 21.2 41.2 51.0 13.3 37.6 48.3 93.9 百粒重

3.0

4.4

0.3

2.4

3.4

0.3

4.0

6.0

0.3

3.6

4.2

0.3

3.3

4.0

0.2

现有一待识对象B ，它的第j 个特征j B 是中间型正态分布模糊集，隶属函数可近似表示为：

???

?

??

?+<<---=其它

022,2)(1)(2

2

j

j j j j j j x x x x x x B σσσ )5,4,3,2,1(=j 。

式中参数值见表（2-2）

表 2-2

特性 参数

抽穗期 株高 有效穗数 主穗粒数 百粒重 x 8.5 85.6 6.2 36.2 3.43 σ2

1.5

4

1.9

70

0.28

计算识别对象B 的第j 个特征与第i 种标准类型对应特征ij A 的格贴近度

)5,4,3,2,1(),(=i B A j ij 并定义第i 种标准类型i A 与识别对象B 的贴近度为：

),(),(5

1j ij j i B A B A =∧=

计算结果列于表（2-3）

表 2-3

早熟（1A ） 矮杆（2A ） 大粒（3A ） 高肥（4A ） 中肥（5A ）

g N (1i A ，1B ) 0.50 1.00 1.00 1.00 1.00 g N (2i A ，2B )

1.00

0.00

1.00

0.76

0.99

g N (3i A ，3B ) 1.00 0.88 0.77 0.64 0.96 g N (4i A ，4B ) 0.23 0.98 0.89 0.83 0.98 g N (5i A ，5B )

1.00 1.00 0.98 1.00 1.00 N

(i A ，

B )

0.23

0.00

0.77

0.64

0.96

表（2-3）的最后一行为B 与各标准类型的贴近度。由于B 与5A 的贴近度最高（0.96），故判定识别对象B 为5A 代表的类型，即B 为中肥丰产类型的亲本。

例7 遥感土地复盖类型分类

遥感是根据不同的地物对电磁波谱有不同的响应这一原理，来识别土地复盖的类型。空间遥感的一个象元相当于地面0.45公倾地物的综合。遥感图象识别分类中，要涉及不少模糊概念，例如，“以红松为主的针叶林”就是一个没有明确界线的模糊概念。这是遥感本身的特性决定的。因此用模糊数学的方法对遥感图象进行识别分类应该是行之有效的方法。 美国爱达荷大学R.C.Heller 教授指出，国际上当以水体、沙地、森林、城镇、作物、干草作为分类单位（即标准类型）时，空间遥感的分类精度可达83.93%甚至更高。但当分类单位深入到更小的土地复盖单元时，精度就不理想了。

现在将分类单位细分阶段为以下五种标准类型：

1A ：公路，2A ：村庄农田，3A ：红松为主的针叶林， 4A ：阔、针混交林，5A ：白桦林。

对于多波段遥感技术，假设采用p 个波段，则每一地物对应一个p 维数据向量),,,(21p x x x x =。1975年1月22日美国发射La n d S a t -2，提供了M S S -4，5，6，7这四个波段的数据，故有4=p 。取论域

{}),,,(|4321x x x x x x X ==

其中4321,,,x x x x 分别为象元对应于MSS-4，5，6，7各波段的光谱强度。于是五种标准类型)5~1(=i A i 可表为X 上的模糊集。

由于各波段光谱强度是正态分布模糊集，故第i 个标准类型的（j +3）波段光谱强度的隶属函数为：

??

?

???????--=2)(exp )(ij ij j j ij a x x A σ )4,3,2,1(=j

定义第i 种标准类型i A 为：

4321i i i i i A A A A A =

因而

??

?

???????--==≤≤≤≤24141)(max exp )(min )(ij ij j j j ij j i a x x A x A σ

其中ij a 为若干个第i 种类型第（j +3）个波段光谱强度的均值，ij σ为方差，东北凉水林场的这些参数值见表（2-4）

表 2-4

标准类型

MSS-4

MSS-5

MSS-6

MSS-7

1i a

1i σ

2i a

2i σ

3i a

3i σ

4i a

4i σ

1A 19.06 0.56 18.24 1.60 51.24 4.32 25.24 1.98 2A

21.89 2.88 24.68 4.82 47.37 4.09 21.63 2.39 3A

15.46 1.22 12.58 0.88 36.54 3.55 17.33 2.08 4A

16.22 0.64 12.78 0.58 42.41 2.87 21.22 1.50 5A

17

0.82

13.2

0.42

45

0.94

23.20

0.42

设B 为识别对象，定义i A 与B 的贴近度为：

),(),(4

1

j ij g j i B A N B A N =∧= （1）

其中 ),(j ij g B A N =

ij j ij A B A ()[((2

1

+ ⊙])c j B （2） 表 2-5

类型 N

识别对象

1A

2A

3A

4A

5A

max

判别

结果

效果 1B 0.92 0.72 0.50 0.50 0.50 0.92 1A 正确 2B

0.65 0.99 0.50 0.50 0.50 0.99 2A

正确 3B

0.50 0.50 0.99 0.60 0.50 0.99 3A

正确 4B

0.50

0.50

0.61

0.99

0.65

0.99

4A

正确

5B

0.50 0.50 0.50 0.62 0.89 0.89

5A

正确

按{}

X x x B x A B A c ∈∧-∧=?)()((1)(及A (⊙c c c B A B =)

]1[2

1

),(2

)(

j

ij j

ij a a j ij g e

B A N σσ+--+= （3-2

6）

（这里j a 与j σ是j B 的均值与方差）。

现有东北凉水林场空间遥感象元（待识别对象）五个，按（1）与（2）计算它们与五个标准类型的贴近度，计算结果在表（2-5）按择近原则进行识别判决，准确率100%。

例8 雷达识别

现有n 个雷达类，每个雷达类可用发射频率、脉冲重复频率、脉冲宽度等特征来刻画，假设共有j 个特征，第i 类雷达的第j 个特征可以取ij n 个值。由于保密的需要及信号环境的日益复杂，这些特征及其取值都带有一定的模糊性。设第i 类)~1(n i =雷达的k 个特征为

i A A A ik i i ,,,21 类雷达的第j 个特征)~1(k j =取值为),2,1(ij m

ij n m A =，

其隶属函数为中间型柯西分布，即

12])(

1[)(--+=m ij

m

ij

m

ij a u u A σ

设X 为待识别对象，它的k 个特征为X X X X k ,,,21 的第j 个特征j X 的隶属函数也取中间型柯西分布：

),1,2,(j ])(

1[)(12k x u u X j

j

j =-+=-σ

采用格贴近度，令

{}

ij m

ij

ij j m ij m ij n m d d X A d ~1|max )

,(===

则ij d 为识别对象X 的第j 个特征与i 类雷达第j 个特征贴近程度的度量。 一般情况可令

∑==k

j ij j i d a d 1

（i d 是各ij d 的加权平均值，权系数j a 表示j 个特征的重要性程度）i d 可作为识别对

象X 与第i 类雷达总贴近的度量。根据i d 的大小可判定X 属于何类雷达，但是，由于权系

数j a 的确定有一定的模糊性，m

ij A 及j X 的隶属函数的确定带有一定的主观性，从而导致贴近度m ij d 有一定的模糊性。因此对j a 及ij d 进行模糊化处理，设

R L ij ij ij ij R L j j j j w w d D c c a A --==),;( ),;(

这里j A ，ij D 都是R L -模糊数（见第五章），取R L =。

令

∑==-∧=-∧=m

j ij

i i ij ij ij j j j D A D d d w a a c 1

)

1(),1(

i D 的隶属函数为

)]()([sup )(11

ij ij j j m

j d a d i i u D u A d D k j ij

j i ∧∧∑====

则i D 为识别对象X 与第i 类雷达的贴近程度的模糊测度。

为得到X 所属雷达类别的确切判决，类似于阈值法则，给定水平值α，令

{}{}

αα)(|inf )(|sup i i i i i i i i D d d d D d d d ∈=∈=

若 {}

n i d d i i ≤≤=1:m a x 0且0i 唯一，则判定X 为0i 类雷达； 若 {}

n i d d d i i i ≤≤==1:m a x 21且21i i d d >，则判定X 为1i 类雷达。

用上述方法（将权系数及贴近度模糊化），经上千次仿真试验，比传统的贴近度及线性加弘平均法，误判率有所下降。

第三章 模糊规划

§3-1 模糊极值

一、有界函数的模糊极值

设 R X f →: （R 为实数集）

)(x f y x =→

是有界函数，求函数)(x f 的普通极值问题是求*

x 使

{}X x x f x f ∈=*)(max )(

满足上式的*

x 为)(x f 在X 上的最大值点，)(*x f 为最大值，最大值点不一定唯一.

设)(x f 的一切最大值点的集合为

{}

X x x f x f x M f ∈==**),(max )(

称f M 为)(x f 的优越集.当f M x ∈时，函数在x 处取到最大值)(x f ，x 使)(x f 达到最优.当f M x ?时，)(x f 虽不是最大值，但对不同的x ，)(x f 与最大值的差异有所不同,也就是说，对于不属于f M 的x ，它们的“优越性”程度有所不同，为了反映X 中各点不同的优越程度，将优越集f M 模糊化，并利用它将极值模糊化.

定义1设R X f →:是有界函数，定义f M 的隶属函数为 {}

{}{}

X x x f X x x f X x x f x f x M f ∈-∈∈-=

)(min )(max )(min )()( (X x ∈?)

称f M 为f 的无条件模糊优越集称)(f M f 的f 的无条件模糊极大值.这里

)()(R F M f f ∈，它的求属函数按扩张原理为

{}y x f x M y M f f f =∨=)()())(( (约定0=∨φ)

注 (1)当1x x =为)(x f 的极大点，即{}

X x x f x f ∈=)(max )(1时1)(1=x M f ，当2x x =为)(x f 的极小点，即{}

X x x f x f ∈=)(min )2(时

0)(2=x M f ,)()(21x f x f ≤充分必要条件是

)()(21x M x M f f ≤ ()X x x ∈?21

(2)当{}X x x f y ∈=)(max 1时，∨=))((1y M f f {}

1)()(y x f x M f =

当{}

X x x f y ∈=)(min 2时，∨=))((2y M f f {}

2)()(y x f x M f = 当R X f y ??)(时，

{}0)()()())((=∨=∈=∨=φx f y y x f x M y M f f f

因此,))((y M f f 反映了在模糊意义下,y 对f 的模糊数大值的求属程度.

例1

设{}54321,,,,x x x x x X =，R X f →:,

定义0)(1=x f , 3)(2=x f , 1)(3-=x f 1)(4=x f , 1)(5=x f ,则

3)(max =x f 1)(min -=x f , 并且)5,4,3,2,1(4

)

1)(()(=+=

i x f x M i f

于是)5.0,5.0,1,0,25.0(=f M

又 {}

25.0)(0)()()0)((1===∨=x M x f x M M f f f f 1)()3)((2==x M M f f f

0)()1)((3==-x M M f f f

{}

5.0)()(1)()()1)((54=∨==∨=x M x M x f x M M f f f f f

故 1/5.03/11/10/25.0)(++-+=f M f

f 的无条件模糊极小集f m 定义为f -的无条件极大集，显然有 {}{}{}

X x x f X x x f x f X x x f x m f ∈-∈-∈=

)(min )(max )

()(max )( )(X x ∈?

且有，)(1)(x M x m f f -=,所有极小集f m 是极大集f M 的余集.

二、模糊约束下有界函数的模糊极值

设：R X f →:是有界函数，)(X F C ∈，考虑f 在C 约束下的最大值问题，这是一个模糊规划问题，求解这个问题意味着既要最大限度地满足约束，又要最大限度地达到理想目标，为此定义如下：

定义2 设目标函数R X f →:是有界函数，)(X F C ∈是模糊约束，令

f M C D =

这里的f M 是定义1中f 的无条件模糊优越集，称D 为f 在C 约束下的条件模糊优越集，称)(D f 为f 在C 约束下的条件模糊极大值.它们的求

属函数分别为：

{}

{}{}

X x x f X x x f X x x f x f x M f ∈-∈∈-=

)(min )(max )(min )()(

)()()(x M x C x D f ∧=

{}y x f x M x C x D y D f f =∧=∨=)())()(()())((

求解目标函数)(x f 在模糊约束C 下的条件极大值有如下三个步骤： (1)求无条件模糊优越集f M (2)求条件模糊优越集f M C D = (3)求条件最佳决策，即选择*

x ,使

{}X x x D x D ∈=*)(max )(

*x 就是所求的条件极大点，)(*x f 就是在模糊约束C 下的条件极大值.

例2采区巷道布置是矿井开拓中的重要内容，其目的就是建立完善的矿井生产系统，实现采区合理集中生产，改善技术经济指标.因此，合理地选择最优巷道布置方案，对于矿井生产具有十分重要的意义.根据煤矿开采的特点和采区在矿井生产的作用，在选择最优巷道布置方案时，要求达到下列标准：

(1)生产集中程度高； (2)采煤机械化程度高； (3)采区生产系统十分完善； (4)安全生产可靠性好； (5)煤炭损失率低； (6)巷道掘进费用尽可能低.

上述问题,实际上就是一个模糊约束下的条件极值问题，我们可以把(1)～(5)作为模糊约束，而把(6)作为目标函数.

设某矿井的采区巷道布置有六种方案可供选择，即X =｛1x (方案Ⅰ),

2x (方案Ⅱ), 3x (方案Ⅲ), 4x (方案Ⅳ), 5x (方案Ⅴ), 6x (方案Ⅵ)｝.

经过对六种方案进行审议，评价后，将其结果列于表 1

方案

评价项目

1x

2x

3x

4x

5x

6x

1C :生产集中程度高

较低

高

较高

很高

较高

较高

模糊数学基础

第六章模糊数学基础6.1概述 6.1.1传统数学与模糊数学 6.1.2不相容原理 6.2 模糊集合与隶属度函数 6.2.1 模糊集合及其运算 6.2.2 隶属度函数 6.3 模糊逻辑与模糊推理 6.3.1模糊逻辑 6.3.2模糊语言 6.3.3 模糊推理

第六章 模糊数学基础 6.1 概述 6.1.1 传统数学与模糊数学 6.1.2 不相容原理 1965年，美国自动化控制专家扎德（L. A. Zadeh ）教授首先提出用隶属度函数 (membership function)来描述模糊概念，创立了模糊集合论，为模糊数学奠定了基础。 不相容原理:“随着系统复杂性的增加，我们对其特性作出精确而有意义的描述的能力会随之降低，直到达到一个阈值，一旦超过它，精确和有意义二者将会相互排斥”。这就是说，事物越复杂，人们对它的认识也就越模糊，也就越需要模糊数学。不相容原理深刻的阐明了模糊数学产生和发展的必然性，也为三十多年来模糊数学的发展历史所证实。 6.2 模糊集合与隶属度函数 6.2.1 模糊集合及其运算 一、模糊集合（Fuzzy Sets ）的定义 传统集合中的元素是有精确特性的对象，称之为普通集合。例如，“8到12之间的实数”是一个精确集合C ，C ={实数r |8≤r ≤12}，用特征函数μC (r )表示其成员，如图6.1(a)所示。 ??? ? ?≤≤=其它 ， ， 012 81)(r r C μ 在模糊论域上的元素符合程度不是绝对的0或1，而是介于0和1之间的一个实数。例如，“接近10的实数”是一个模糊集合F ＝{r |接近10的实数}，用“隶属度(Membership)” μF (r )作为特征函数来描述元素属于集合的程度。 1 812 1 107.2911 0.750.275 12.8 r r μC （r ） μF （r ） (a) (b) 图6.1 普通集合与模糊集合的对比

模糊数学的应用

本科生论文 模糊数学的应用 指导老师： 作者： 中国矿业大学 二零一一年六月

模糊数学的应用 摘要：二十世纪六十年代，产生了模糊数学这门新兴学科。模糊数学作为一个新兴的数学分支，使过去那些与数学毫不相关或关系不大的学科（如生物学、心理学、语言学、社会科学等）都有可能用定量化和数学化加以描述和处理，从而显示了强大的生命力和渗透力，使数学的应用范围大大扩展。模糊数学自身的理论研究进展迅速；模糊数学目前在自动控制技术领域仍然得到最广泛的应用，并在计算机仿真技术、多媒体辨识等领域的应用取得突破性进展；模糊聚类分析理论和模糊综合评判原理等更多地被应用于经济管理、环境科学以及医药、生物、农业、文体等领域，并取得很好效果。 关键字：模糊数学；应用；模糊评判； 一、模糊数学的简介 （一）发展历史 模糊数学是运用数学方法研究和处理模糊性现象的一门数学新分支。它以“模糊集合”论为基础。它提供了一种处理不肯定性和不精确性问题的新方法，是描述人脑思维处理模糊信息的有力工具。 模糊数学由美国控制论专家L.A.扎德（L.A.Zadeh,1921--）教授所创立。他于1965年发表了题为《模糊集合论》（《FuzzySets》）的论文，从而宣告模糊数学的诞生。L.A.扎德教授提出了“模糊集合论”。在此基础上，现在已形成一个模糊数学体系。模糊数学产生的直接动力，与系统科学的发展有着密切的关系。在多变量、非线性、时变的大系统中，复杂性与精确性形成了尖锐的矛盾，它给描述模糊系统提供了有力的工具。L.A.扎德教授于1975年所发表的长篇连载论著《语言变量的概念及其在近似推理中的应用》，提出了语言变量的概念并探索了它的含义。模糊语言的概念是模糊集合理论中最重要的发展之一，语言变量的概念是模糊语言理论的重要方面。语言概率及其计算、模糊逻辑及近似推理则可以当作语言变量的应用来处理。人类语言表达主客观模糊性的能力特别引人注目，或许从研究模糊语言入手就能把握住主客观的模糊性、找出处理这些模糊性的方法。有人预言，这一理论和方法将对控制理论、人工智能等作出重要贡献。 模糊数学诞生至今仅有22年历史，然而它发展迅速、应用广泛。它涉及纯粹数学、应用数学、自然科学、人文科学和管理科学等方面。在图象识别、人工智能、自动控制、信息处理、经济学、心理学、社会学、生态学、语言学、管理科学、医疗诊断、哲学研究等领域中，都得到广泛应用。把模糊数学理论应用于决策研究，形成了模糊决策技术。只要经过仔细深入研究就会发现，在多数情况下，决策目标与约束条件均带有一定的模糊性，对复杂大系统的决策过程尤其是如此。在这种情况下，运用模糊决策技术，会显得更加自然，也将会获得更加良好的效果。 （二）应用前景 模糊数学是研究现实中许多界限不分明问题的一种数学工具，其基本概念之一是模糊集合。利用模糊数学和模糊逻辑，能很好地处理各种模糊问题。模式识别是计算机应用的重要领域之一。人脑能在很低的准确性下有效地处理复杂问题。如计算机使用模糊数学，便能大大提高模式识别能力，可模

模糊数学简介及入门

模糊数学简介 模糊数学是数学中的一门新兴学科，其前途未可限量。1965年，《模糊集合》的论文发表了。作者是著名控制论专家、美国加利福尼亚州立大学的扎德（L.A.Zadeh）教授。康托的集合论已成为现代数学的基础，如今有人要修改集合的概念，当然是一件破天荒的事。扎德的模糊集的概念奠定了模糊性理论的基础。这一理论由于在处理复杂系统特别是有人干预的系统方面的简捷与有力，某种程度上弥补了经典数学与统计数学的不足，迅速受到广泛的重视。近40年来，这个领域从理论到应用，从软技术到硬技术都取得了丰硕成果，对相关领域和技术特别是一些高新技术的发展产生了日益显著的影响。有一个古老的希腊悖论，是这样说的：“一粒种子肯定不叫一堆，两粒也不是，三粒也不是……另一方面，所有的人都同意，一亿粒种子肯定叫一堆。那么，适当的界限在哪里？我们能不能说，123585粒种子不叫一堆而123586粒就构成一堆？”确实，“一粒”和“一堆”是有区别的两个概念。但是，它们的区别是逐渐的，而不是突变的，两者之间并不存在明确的界限。换句话说，“一堆”这个概念带有某种程度的模糊性。类似的概念，如“年老”、“高个子”、“年轻人”、“很大”、“聪明”、“漂亮的人”、“价廉物美”等等，不胜枚举。经典集合论中，在确定一个元素是否属于某集合时，只能有两种回答：“是”或者“不是”。我们可以用两个值0或1加以描述，属于集合的元素用1表示，不属于集合的元素用0表示。然而上面提到的“年老”、“高个子”、“年轻人”、“很大”、“聪明”、“漂亮的人”、“价廉物美”等情况要复杂得多。假如规定身高1.8米算属于高个子范围，那么，1.79米的算不算？照经典集合论的观点看：不算。但这似乎很有些悖于情理。如果用一个圆，以圆内和圆周上的点表示集A，而且圆外的点表示不属于A。A的边界显然是圆周。这是经典集合的图示。现在，设想将高个子的集合用图表示，则它的边界将是模糊的，即可变的。因为一个元素（例如身高1.75米的人）虽然不是100%的高个子，却还算比较高，在某种程度上属于高个子集合。这时一个元素是否属于集合，不能光用0和1两个数字表示，而可以取0和1之间的任何实数。例如对1.75米的身高，可以说具有70%属于高个子集合的程度。这样做似乎罗嗦，但却比较合乎实际。精确和模糊，是一对矛盾。根据不同情况有时要求精确，有时要求模糊。比如打仗，指挥员下达命令：“拂晓发起总攻。”这就乱套了。这时，一定要求精确：“×月×日清晨六时正发起总攻。”我们在一些旧电影中还能看到各个阵地的指挥员在接受命令前对对表的镜头，生怕出个半分十秒的误差。但是，物极必反。如果事事要求精确，人们就简直无法顺利的交流思想——两人见面，问：“你好吗？”可是，什么叫“好”，又有谁能给“好”下个精确的定义？有些现象本质上就是模糊的，如果硬要使之精确，自然难以符合实际。例如，考核学生成绩，规定满60分为合格。但是，59分和60分之间究竟有多大差异，仅据1分之差来区别及格和不及格，其根据是不充分的。不仅普遍存在着边界模糊的集合，就是人类的思维，也带有模糊的特色。有些现象是精确的，但是，适当的模糊化可能使问题得到简化，灵活性大为提高。例如，在地里摘玉米，若要找一个最大的，那很麻烦，而且近乎迂腐。我们必须把玉米地里所有的玉米都测量一下，再加以比较才能确定。它的工作量跟玉米地面积成正比。土地面积越大，工作越困难。然而，只要稍为改变一下问题的提法：不要求找最大的玉米，而是找比较大的，即按通常的说法，到地里摘个大玉米。这时，问题从精确变成了模糊，但同时也从不必要的复杂变成意外的简单，挑不多的几个就可以满足要求。工作量甚至跟土地无关。因此，过分的精确实际成了迂腐，适当的模糊反而灵活。显然，玉米的大小，取决于它的长度、体积和重量。大小虽是模糊概念，但长度、体积、重量等在理论上都可以是精确的。然而，人们在实际判断玉米大小时，通常并不需

模糊数学原理及其应用

模糊数学原理及其应用 目录 模糊数学原理及其应用 目录 摘要 1．模糊集的定义 2．回归方程 3．隶属函数的确定方法 3.1隶属函数 3.2隶属度 3.3最大隶属原则 4．模糊关系与模糊矩阵 5．应用案例——模糊关系方程在土壤侵蚀预报中的应用 5.1研究的目的 5.2国外研究情况 5.2.1 5.2.2 5.3国内研究情况 5.3.1 5.3.2 5.4研究的意义 6，小结与展望 参考文献 摘要：

文章给出了模糊集的定义，对回归方程式做了一定的介绍。并且介绍了隶属函数，隶属度，隶属度原则，以及模糊关系与模糊矩阵的联系与区别。 本文给出了一个案例，是一个关于模糊关系方程在土壤侵蚀预报中的应用，本文提出针对影响侵蚀的各个因素进行比较，找出影响最大的一项因子进行分析应用。 关键字模糊数学回归方程隶属函数模糊关系与模糊矩阵 1.模糊集 1）.模糊集的定义 模糊集的基本思想是把经典集合中的绝对隶属函数关系灵活化，用特征函 数的语言来讲就是：元素对“集合”的隶属度不再是局限于0或1，而是 可以取从0到1的任一数值。 定义一 如果X是对象x的集合，则X的模糊集合A： A={（x, μA（x））| x∈X} μA（x）称为模糊集合A的隶属函数（简写为MF）X称为论域或域。 定义二 设给定论域U,U在闭区间[0,1]的任一映射μ A： μA：U→[0,1] x→μA（x）,x∈U 可确定U的一个模糊子集A。模糊子集也简称为模糊集。 μA（x）称为模糊集合A是隶属函数（简写为MF）。

2）.模糊集的特征 一元素是否属于某集合，不能简单的用“是”或“否”来回答，这里有一个渐变的过程。[1] 3）.模糊集的论域 1>离散形式（有序或无序）： 举例:X={上海，北京，天津，西安}为城市的集合，模糊集合C=“对 城市的爱好”可以表示为： C={(上海，0.8)(北京，0.9)(天津，0.7)(西安，0.6)} 又：X={0,1,2,3,4,5,6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合，模糊集合C=“合适的可拥有的自行车数目的集合” C={（0,0.1），（1,0.3），（2,0.7），（3,1.0），（4,0.7），（5,0.3），（6,0.1）} 2>连续形式 令X=R + 为人类年龄的集合， 模糊集合A=“年龄在50岁左右”则表示为： A={x ，μA （x ）,x ∈X } 式中μA （x ）=4)1050(11-+x 2. 回归方程 1>回归方程 回归方程是对变量之间统计关系进行定量描述的一种数学表达式。 指具有相关的随机变量和固定变量之间关系的方程。 回归直线方程 若：在一组具有相关关系的变量的数据（x 与Y ）间，通过散点图我们可观察出所有数据点都分布在一条直线附近，这样的直线可以画出许多条，而我们希望其中的一条最好地反映x 与Y 之间的关系，即我们要找出一条直线，使这条直线“最贴近”已知的数据点，记此直线方程为（如右所示，记为①式）

《模糊数学及其应用》教学大纲

《模糊数学及其应用》课程教学大纲 课程编号：09206 课程类别：学位课 学时：68 学分：3 适用学科（专业）：全院各专业 授课单位：理学院 一、课程的性质、目的与任务： 模糊数学及其应用工科院校控制理论与控制工程、应用数学、机械设计及其自动化、计算机技术、管理等学科的硕士研究生必修的技术基础课之一。通过本课程的学习，使学生对模糊数学的原理和思想方法有一个完整的认识。掌握应用模糊数学的原理分析和解题的基本技巧。了解模糊数学方法在各个领域的应用，特别是模糊信息技术与模糊控制。为理工科研究生在一定的数学基础上，应用模糊数学知识解决问题打下基础。 二、基本要求： 本课以课堂讲授为主，结合多媒体。适当补充一些模糊数学在实际中应用的实例，做到精讲多练，理论联系实际。在各章中均可安排一些内容引导学生自学，通过布置作业和讨论题，提高学生自己解决问题与分析问题的能力。同时，也可适当让学生自己来寻找一些实际问题，应用学过的知识来进行分析、综合、评判，以期达到更好的巩固、应用的目的。 (一) 模糊数学的基本理论和基本原理 1、模糊集合是处理模糊事物的新的数学概念，是模糊数学的基础。理解模糊集的定义、表示方法、模糊集的运算。了解模糊算子的定义及各种模糊算子，了解模糊集的模糊度定义。 2、理解模糊集截集的定义及性质，掌握模糊数学的基本原理：分解定理（联系普通集与模糊集的桥梁）、扩张原理、多元扩张原理。了解凸模糊集、区间数、模糊数及模糊数的运算。 (二) 模糊数学方法及其在各领域中的应用 1、理解模糊关系的概念及性质，深入理解在有限域的情况下，模糊关系可以用矩阵表示。理解模糊关系合成的定义及性质。理解掌握贴近度概念及最大隶属原则和择近原则。掌握模糊映射、模糊变换。 2、对于模糊数学方法的应用。重点掌握模糊模式识别、模糊聚类分析、模糊综合评判、模糊故障诊断，以及了解它们在不同领域的应用举例。 （三）模糊信息技术与模糊控制 掌握模糊语言，模糊推理模型及算法、重点掌握模糊控制的原理及简单应用，了解模糊辨识、模糊T-S模型、模糊自适应控制。 课程主要内容

模糊数学方法在财务报表分析中的应用

财务分析是企图了解一个企业经营业绩和财务状况的真实面目，从晦涩的会计程序中将会计数据背后的经济涵义挖掘出来，为投资者和债权人提供决策基础。由于会计系统只是有选择地反映经济活动，而且它对一项经济活动的确认会有一段时间的滞后，再加上会计准则自身的不完善性，以及管理者有选择会计方法的自由，使得财务报告不可避免地会有许多不恰当的地方。虽然审计可以在一定程度上改善这一状况，但审计师并不能绝对保证财务报表的真实性和恰当性，他们的工作只是为报表的使用者作出正确的决策提供一个合理的基础，所以即使是经过审计，并获得无保留意见审计报告的财务报表，也不能完全避免这种不恰当性。这使得财务分析变得尤为重要。 一、财务分析的主要方法 一般来说，财务分析的方法主要有以下四种： 1.比较分析：是为了说明财务信息之间的数量关系与数量差异，为进一步的分析指明方向。这种比较可以是将实际与计划相比，可以是本期与上期相比，也可以是与同行业的其他企业相比； 2.趋势分析：是为了揭示财务状况和经营成果的变化及其原因、性质，帮助预测未来。用于进行趋势分析的数据既可以是绝对值，也可以是比率或百分比数据； 3.因素分析：是为了分析几个相关因素对某一财务指标的影响程度，一般要借助于差异分析的方法；

4.比率分析：是通过对财务比率的分析，了解企业的财务状况和经营成果，往往要借助于比较分析和趋势分析方法。 上述各方法有一定程度的重合。在实际工作当中，比率分析方法应用最广。二、财务比率分析 财务比率最主要的好处就是可以消除规模的影响，用来比较不同企业的收益与风险，从而帮助投资者和债权人作出理智的决策。它可以评价某项投资在各年之间收益的变化，也可以在某一时点比较某一行业的不同企业。由于不同的决策者信息需求不同，所以使用的分析技术也不同。 1.财务比率的分类 一般来说，用三个方面的比率来衡量风险和收益的关系： 1)偿债能力：反映企业偿还到期债务的能力； 2)营运能力：反映企业利用资金的效率； 3)盈利能力：反映企业获取利润的能力。 上述这三个方面是相互关联的。例如，盈利能力会影响短期和长期的流动性，而资产运营的效率又会影响盈利能力。因此，财务分析需要综合应用上述比率。 2.主要财务比率的计算与理解：

学生素质评价模糊数学模型的构建与应用

学生素质评价模糊数学模型的构建与应用 在高等教育中，高等职业教育是一个非常重要的组成部分，下 面是搜集的一篇探究构建学生素质评价模型基本原则的论文范文，欢迎阅读查看。 对高职高专学生进行素质评价，目的在于使学生的评价内容走 向多元化，实现过程发展性和终结性评价的有机结合。因此，需要一种行之有效的评价工具，促使学生发挥个性、潜能以及创造性，从而使其具备持续发展的自信和能力。 一、模糊数学与数学模型 模糊数学是处理和研究模糊性现象的方法和理论。由于模糊性 概念发展了模糊集的具体描述方式，人们可运用概念进行评价、推理、控制、判断和决策，也可通过模糊数学进行描述。比如，模糊综合评判、模糊控制、模糊聚类分析、模糊决策等，这一系列方法最终构成一种模糊性理论，在气象、石油、环境、农业、化工、控制、教育、医学、地质、经济管理、语言等诸多领域已取得研究成果。 数学模型是实际问题与数学理论相结合发展起来的一门新学科。它将实际问题归为数学问题，并利用数学方法、概念和理论，进行深入研究，从定量或定性角度对实际问题进行分析，同时为解决实际问题提供可靠指导和精确数据。可见，数学模型是利用数学方法和语言解决现实问题的过程，是培养学生创造力的有效途径。 二、综合素质评价

“综合素质评价”指在每个学期期末或每个学年期末，全国各地的学校组织的一次对全体在校学生综合素质和能力评价的测评任务。综合素质评价一般分为六个维度(不同的地区或学校结构略有差异)，分别是“道德品质”“公民素养”“学习能力”“交流合作与实践创新”“运动与健康”“审美”“表现能力”.六个维度又分别被分为若干个项目。等级分别为A(优秀)，B(良好)，C(一般)，D(较差)。或者是百分制，100-80(优秀)、79-60(良好)、59-30(一般)、29-0(较差)。 对学生进行综合素质评价是新时期高职高专教学评价的主要内容，因而需要制定一种有效的素质评价模型。基于模糊数学的高职高专学生素质评价模型具有标准的数据支撑，说服力较强，适宜运用于学生综合素质评价。 三、构建学生素质评价模型的基本原则 (一)一个目标 在高等教育中，高等职业教育是一个非常重要的组成部分。实现现代化建设与高职高专学生的能力和素质有直接关系。从我国的发展要求以及发达国家的发展经验看，无论是发展和解放生产力、建设小康社会，还是创建和谐社会、加快城市化建设，高等职业所培养的应用型人才不可或缺。因此，职业技术教育应坚持以就业为导向，以服务为宗旨，以培养学生综合素质、职业道德以及动手能力为重点，突出实用性。 (二)三个维度

数学建模案例分析---模糊数学方法建模1模糊综合评判及其应用

第八章 模糊数学方法建模 1965年,美国自动控制学家首先提出了用“模糊集合”描述模糊事物的数学模型。它的理论和方法从上个世纪七十年代开始受到重视并得到迅速发展，特别是愈来愈广泛地应用于解决生产实际问题。模糊数学的理论和方法解决了许多经典数学和统计数学难以解决的问题，这里，我们通过几个例子介绍模糊综合评判、模糊模式识别、模糊聚类、模糊控制等最常用方法的应用。而相应的理论和算法这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。 §1 模糊综合评判及其应用 一、模糊综合评判 在我们的日常生活和工作中，无论是产品质量的评级，科技成果的鉴定，还是干部、学生的评优等等，都属于评判的范畴。如果考虑的因素只有一个，评判就很简单，只要给对象一个评价分数，按分数的高低，就可将评判的对象排出优劣的次序。但是一个事物往往具有多种属性，评价事物必须同时考虑各种因素，这就是综合评判问题。所谓综合评判，就是对受到多种因素制约的事物或对象，作出一个总的评价。 综合评判最简单的方法有两种方式： 一种是总分法，设评判对象有m 个因素，我们对每一个因素给出一个评分i s ，计算出评判对象取得的分数总和 ∑== m i i s S 1 按S 的大小给评判对象排出名次。例如体育比赛中五项全能的评判，就是采用这种方法。 另一种是采用加权的方法，根据不同因素的重要程度，赋以一定的权重，令i a 表示对第i 个因素的权重，并规定 ∑==m i i a 1 1，于是用 ∑== m i i i s a S 1 按S 的大小给评判对象排出名次。 以上两种方法所得结果都用一个总分值表示，在处理简单问题时容易做到，而多数情况下评判是难以用一个简单的数值表示的，这时就应该采用模糊综合评判。 由于在很多问题上，我们对事物的评价常常带有模糊性，因此，应用模糊数学的方法进行综合评判将会取得更好的实际效果。 模糊综合评判的数学模型可分为一级模型和多级模型两类，这里仅介绍一级模型。 应用一级模型进行综合评判，一般可归纳为以下几个步骤： （1）建立评判对象的因素集},,,{21n u u u U =。因素就是对象的各种属性或性能，在不同场合，

模糊数学学习心得

《模糊数学》学习心得 姓名：李书纲 学号：200805050303 专业：信息与计算科学 老师；黄晓昆 地点：文鼎楼502

《模糊数学》学习心得 在大四的上学期，我们数学学院给我们开了黄晓昆老师的《模糊数学》这门课，这是继《近世代数基础》后黄老师给我们上的第二门比较抽象的课程。“模糊数学”这个词一听上去就很抽象，翻开课本是感觉更“模糊”。但在学习了半个学期后，对这门课程有了一定的了解，并学到了一部分知识，也积累了一点自己的学习心得体会。 先说说什么是“模糊数学”。模糊数学是相对于精确数学而言的，在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。但在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远……。在人们的工作经验中，往往也有许多模糊的东西。例如，要确定一炉钢水是否已经炼好，除了要知道钢水的温度、成分比例和冶炼时间等精确信息外，还需要参考钢水颜色、沸腾情况等模糊信息。因此，为了研究这些与模糊概念相关的东西，“模糊数学”就产生了。 1965年，美国控制论专家、数学家查德发表了论文《模糊集合》，标志着模糊数学这门学科的诞生。模糊数学的研究内容主要有：第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。查德以精确数学集合论为基础，并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础，能够对看来相当复

MATLAB在模糊数学教学中应用示例

摘要：作者探讨了在模糊数学教学中运用matlab软件来辅助课程教学的方法，并以示例积极推进可视化教学，提高了教学质量，其结果表明教学效果明显. 关键词： matlab 模糊数学教学效果 自1965年扎德（l.a.zadeh）提出“模糊集合”的概念，模糊数学便作为一门新的数学学科诞生了.近五十年来，它的发展非常迅速，应用十分广泛.其理论和应用涉及社会科学、自然科学和思维科学诸多领域.在上世纪九十年代，国外应用模糊数学原理研制和推出了首批模糊家用电器，而现在，模糊洗衣机、模糊吸尘器、模糊电饭煲、模糊空调机等已进入了国外千家万户，部分产品进入我国国内，由此可见，其应用前景是举世瞩目的.所以，学生学好模糊数学十分重要.另外，模糊数学在培养学生辩证唯物主义的认识论、方法论，教学素养和应用能力等方面也有着良好的教育功能.由于模糊数学本身是系统化的，涉及的知识深广，使不少学生感到理论太复杂，太抽象，对所学内容难把握，易产生畏难情绪，仅仅通过板书讲授方式难以达到理想的教学效果.因而，加强实践教学是必不可少的一个重要环节.随着高校教学手段的改革，多媒体辅助教学法越来越受师生的欢迎，据统计，60%以上的高校都愿接受，其中数学软件matlab是评价最高的有效的数值和工程计算的软件.针对本科生课程的特点，结合matlab语言所独具的优势，本文着重介绍matlab在模糊数学中的实际应用示例，从而积极推进和改善可视化教学，强化教学效果.下面给出详细示例. 一、利用matlab建立隶属度函数的辅助教学 隶属度是模糊集的基本概念，也是模糊控制的应用基础，由此，正确构造隶属度函数是用好模糊控制的关键之一，而此概念对学生而言是一个抽象的概念，在授课过程中，将基本概念及原理给学生讲透的同时，充分利用计算机的表现能力会将抽象的东西具体化、形象化. 例1.设某污染河水中酚的含量t=0.0012mg/l，给定酚的水质分级标准为： 试建立各级水的隶属度函数. 二、利用matlab来计算λ―截矩阵的辅助教学 在模糊数学中模糊聚类分析法是将事物根据一定的特征，并按某种特定要求或规律分类的一种方法，在分类过程中不是仅仅考虑事物之间有无关系，而是考虑事物之间的深浅程度，λ―截矩阵在该分析法中是一个很重要的概念.其定义和计算如下： 三、利用matlab求解模糊线性规划 普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的，但在一些实际问题中，约束条件可能带有弹性，必须借助模糊集的方法来处理.模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的纯属规划问题，它的最优解称为原问题的模糊最优解.求解模糊线性规划需要分别求出三个普通的线性规则，从而加上伸缩率后的普通线性规划进而添加新变量入和新的约束条件，求解模糊线性规划的具体方法如下： 结果：最优解为z=33.2，此时z=14.93. 以上示例仅是模糊数学中常见的一些问题求解，从中可以观察出，matlab在解决这些问题时简洁、灵活的特点，增强了学生对复杂问题了解时的直观性，缓解了教学课时偏少及当前实验室跟不上教学需求的困境；也让学生在课程学习的同时，轻松地学会一些编程问题，加深、加强了编程能力，使学生更能产生学习matlab及模糊数学的欲望，积极推进模糊数学的教学，使之更高效、更具利用价值. 参考文献： ［1］张驰.试论模糊数学的教育功能［j］.数学教育学报，1997，6，（4）:90-93. ［2］周维.高校“模糊数学”选修课教法初探［j］.淮南工业学院学报（社会科学版），

教案_模糊数学概述

模糊数学概述 任何事物都具有质和量两个侧面。在分析和解决问题时，我们既可以考察对象的性质、属性等质的方面，也可以对对象的数量关系与空间位置进行分析。数学就是研究现实世界中量的关系和空间形式的学科。 现实世界中，客观现象在质的表现上具有确定性和不确定性，而不确定性又分为随机性和模糊性。这种属性反映在量的方面，自然导致研究量的数学学科要按照如下三种划分来分别刻画客观现象： ????????模糊数学研究的领域—模糊性的量随机数学研究的领域 —随机性的量不确定性的量精确数学研究的领域—确定性的量量 因而，与精确数学和随机数学一样，模糊数学创立并发展为一门独立的数学学科，也是科学技术发展和社会实践需求的历史必然。 模糊数学是从量上来研究和处理模糊现象的一个数学分支，它以“模糊集合论”为基础。模糊数学提供了一种处理不肯定性和不精确性问题的新方法，是描述模糊信息的有力工具，其应用范围已遍及自然科学和社会科学的几乎所有的领域。 由于模糊性数学发展的主流在于它的应用，因此人们也常称之为“模糊系统理论”、“模糊集与系统理论”或“模糊理论”。 1．模糊数学的产生 现代数学是建立在集合论基础之上的。集合论的重要意义就在于它能将数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处：用集合来描述概念，用集合的关系和运算表达判断和推理，从而将一切现实的理论系统都纳入集合描述的数学框架中。毫无疑问，以经典集合论为基础的精确数学和随机数学在描述自然界多种客观现象的内在规律中，获得了显著的效果。 但是，和随机现象一样，在自然界和人们的日常生活中普遍存在着大量的模糊现象，如多云，阴天，小雨，大雨，贫困，温饱等。由于经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的现象和概念上，它要求元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可，因而对于那些经典集合无法反映的外延不分明的概念，以前人们都是尽量回避它们。 然而，随着现代科技的发展，我们所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现；此外人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向，也把模糊性的数学处理问题推向中心地位；更重要的是，计算机科学、控制理论、系统科学的迅速发展，要求电脑要像人脑那样具备模糊逻辑思维和形象思维的功能。凡此种种，迫使人们再也无法回避模糊性，必须寻求途径去描述和处理客观现象中非清晰、非绝

模糊数学在实际生活中的应用

浅谈模糊数学及在实际中的一些应用 摘要：美国数学家查德早在1965年发表论文《模糊集合》，标志着模糊数学的诞生。这门新兴学科的产生使得心理学、语言学等过去与数学不相关的学科能够用数学化进行处理和描述，大大地扩展了数学的应用范围。目前，模糊数学体系已基本形成。系统学科的发展需要促使模糊数学的产生，在多变量的大系统中，模糊性与精确性构成了一复杂的矛盾体，模糊数学成为描述模糊信息强有力的数学工具。在深入研究中发现，在决策对象与约束条件较为模糊的情况下，将模糊数学理论应用于决策研究，便成为模糊决策技术工具，大大降低了决策研究的难度系数，从而获得更好的决策结果。本次研究主要阐述模糊数学的产生及基本理论，从而分析模糊数学在考古、医学、模糊识别等领域的实际运用。 关键字：模糊数学；发展；应用； Abstract: American mathematician Chad as early as in 1965 published "fuzzy set", marks the birth of fuzzy mathematics. The generation of this new discipline in the past such as psychology, linguistics and mathematical unrelated disciplines can use mathematical processing and description, enlarges the application range of the mathematics. At present, fuzzy system has basically formed. System subject to prompt the development of fuzzy mathematics, in multivariable system, fuzziness and accuracy make a contradiction of the complex, fuzzy mathematics to describe fuzzy information powerful mathematical tool. Found in the study, objects and constraints in the decision under the condition of relatively fuzzy, fuzzy mathematics theory was applied to the decision-making research, become fuzzy decision technology tools, greatly reduced the difficulty coefficient of decision-making research, in order to gain better decisions. This research mainly elaborated and the basic theory of fuzzy mathematics, so fuzzy mathematical analysis in archaeology, medicine and the practical application of fuzzy recognition and other fields. Key words: fuzzy mathematics; Development; Application

模糊数学的应用

第一部分模糊计算课后任务 找一些使用模糊数学作为基础的实际应用，并归类整理。对每种实际应用进行简单介绍，并形成文档。 模糊数学的应用 1、模糊模式识别 2、模糊聚类分析 3、模糊综合评价 4、模糊控制系统 5、模糊数学在决策中的应用 1、模糊模式识别 模式识别就是机器的识别，目的在于让机器自动识别事物。 一个典型的模式识别系统，由数据获取、预处理、特征提取和选择、分类决策以及分类器组成。一般分为学习过程和识别过程，通过这两个过程对未知类别进行分类。 在生活中有些模式的界限是不明确的，所以对于界限不明确的模式识别就称为模糊模式识别。模糊模式识别主要分为三个步骤： （1）、提取特征 （2）、建立标准类型模型 （3）、建立识别判决准则 例如：医疗诊断问题，通过病人的症状对病人进行诊断。 设病人集合为P={p1,p2,p3,p4},症状结合X={x1(发烧),x2(头痛),x3(胃疼),x4(咳嗽),x5(胸痛)},诊断结论的集合D={A1(病毒性感冒),A2(疟

疾),A3(伤寒),A4(胃病),A5(胸部问题)}。通过专家经验数据，可以得到症状与诊断结果的关系，然后通过数据关系建立症状与诊断结果的标准模型，最后经过判别准则对新的病人进行诊断。这里判别准则大致有以下几种，最大隶属度原则、阈值原则、折近原则等等。 2、模糊聚类分析 “聚类”就是按照一定的要求和规律对事物进行区分和分类，传统的聚类分析是一种硬划分，他把每个待分类的对象严格的划分到某类中，即划分界限是明确的。生活中对象大多数都没有明确的界限划分，所以，需要利用模糊集的理论来对对象进行分类，这种聚类分析叫做模糊聚类分析。常用的模糊聚类分析大致分为两类，其一是基于模糊关系（矩阵）的聚类分析，其二是基于目标函数的聚类分析。 基于模糊关系的聚类分析：即利用模糊集合之间的相似程度来对对象进行分类，大致步骤为： （1）、数据规格化 （2）、构造模糊相似矩阵 （3）、模糊分类 数据规格化的方法有： （1）标准化方法 （2）均值规格化方法 （3）中心规格化方法 （4）最大值规格化方法

模糊数学理论论文

模糊综合评价法评价某河流水质 摘要：根据水环境发展现状和发展情况，采用模糊数学综合评价法根据有关规定和实测数据建立评价因素集、评语集，确定权向量，组合因素评价矩阵，确定隶属度，对河流的水质情况进行客观的评价，取隶属程度最大值所对应的等级作为河流的水质等级。 关键词：模糊综合评价因素评价矩阵隶属度 本题目只是采用了部分水污染因子来代表整体对河水进行评价。待测河流取样所得数据SS含量79，DO7.04， CDOMN 4.92,N NH 30.51,单位均为L mg/。试确定该河流的水质情 况属于哪一个等级？ 根据有关规定，水质分级标准如下表所示： 水质分级标准表（mg/L）

1、 建立评价对象因素数集),,,,,(54321u u u u u U =,水质等级评价集合 ）（,,,,,v V 54321v v v v =，通过比较实测数据与等级划分标准，只取前四个等级来判别，得到的矩阵： ????? ?? ?? ? ??= 1.5 1 0.5 0.158 6 4 23 5 6 7.5350 250 150 50A 评价对象T B )51.0,92.4,04.7,79(= 2、对数据进行标准化。这里采用单个只占总体的比值来进行标准化，评价集合A 进行标准化：∑== 4 1 ij c j ij ij a a 得到标准化矩阵 ????? ???? ???=4761905.03174603.01587302.0047619.04.03.02.01.04 .024.02.01600.04375.03125.01875.00.0625 C 按照这种方法对B 进行标准化得T D ) 1619.0,246.0,1705.0,09875.0(= 3、贴近度的计算。矩阵D 与矩阵C 某列的贴近度显示了该样本与某种等级的接近程度，程度高的可近似归为该等级。这里采用相对距离贴近度：), 4,3,2,1,4,3,2,1() min()max(1==--- =j i c c d c r ij ij i ij ij 由此可 以得到贴近度矩阵：? ? ?? ? ? ? ?? ? ??=0.2666556 0.6370259 0.9926037 0.7333440.4866667 0.82 0.8466667 0.5133330.04375 0.7104167 0.8770833 0.956250.0966667 0.43 0.7633333 0.903333R 4、权向量的计算。在水环境评价中，污染因子的数量越来越多，

模糊函数发展与应用

《自动化概论》课程论文 题目模糊数学的发展与研究 姓名蔡嘉莹 专业自动化 学号222011322270021 学院工程技术学院 任课老师祝诗平

模糊数学的发展与研究 【摘要】模糊数学自1965年诞生以来取得了突飞猛进的进展。介绍传统数学的局限性，讲述模糊数学的产生；概述模糊数学的发展；从国内、国外两方面分别介绍模糊数学的开发与应用。 【关键词】模糊；模糊数学；模糊技术；模糊数学 The development and research of fuzzy mathematics 【abstract】Fuzzy mathematics was born since 1965 has made progress by leaps and bounds. Introduces the limitations of traditional mathematics, which deals with the fuzzy mathematics. An overview of the development of fuzzy mathematics; Respectively from two aspects, one is at home and abroad to introduce the development and application of fuzzy mathematics.【key words】Fuzzy; Fuzzy mathematics; Fuzzy technology; Fuzzy mathematics 模糊数学又称Fuzzy 数学，是研究和处理模糊性现象的一种数学理论和方法。1965年以后，在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拓扑、模糊测度论等数学领域的统称。是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具。在模式识别、人工智能等方面有广泛的应用。在1965 年美国控制论学者L.A.扎德发表论文《模糊集合》，标志着这门新学科的诞生。现代数学建立在集合论的基础上。一组对象确定一组属性，人们可以通过指明属性来说明概念，也可以通过指明对象来说明。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延实际上就是集合。一切现实的理论系统都有可能纳入集合描述的数学框架。经典的集合论只把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上，它明确地规定：每一个集合都必须由确定的元素所构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的。对模糊性的数学处理是以将经典的集合论扩展为模糊集合论为基

模糊数学教学大纲

《模糊数学》教学大纲 院系名称数学与应用数学系 制定人董媛媛 制定时间 2008年7月6日

《模糊数学》教学大纲 一、总则 1、课程代码： 2、课程名称：中文名称：模糊数学 英文名称：Fuzzy Mathematics 3、开课对象：数学与应用数学专业的本科生 4、课程性质：专业任选课 模糊数学诞生于1965年，40余年来，它的思想已广泛渗透到数学的许多分支，在科技、工程等领域显示出了强大的生命力，并在人文科学（经济、管理、社会等）领域里，也已获得了相当多的应用。本课程是数学系专业选修课，为数学系本科数学与应用数学专业四年级学生所选修。 5、教学目的和要求： 通过本门课程的学习： （1）了解和掌握模糊集合，模糊关系，模糊矩阵，模糊聚类与模糊变换等基本概念和基本理论；掌握模糊聚类分析，模糊模型识别，模糊决策的实际应用所运用的模糊数学方法；初步了解模糊规划及模糊控制理论，并运用上述有关理论和方法进行进一步的科学研究与实际应用； （2）掌握模糊数学有关方面的理论知识和处理模糊现象的基本思维方法； （3）培养学生的抽象概括问题、自我学习接受知识的能力及科学研究能力；同时培养学生综合运用所学知识分析并通过相关数学模型的建立与运用进而解决生活中实际问题的能力。（4）提高学生的素质，为部分考研学生的后继学习以及将来从事科学研究等工作奠定必要的数学基础。 6、教学内容： 本课程主要研究了利用用模糊数学的知识来解决实际问题的理论及其方法。主要内容有：模糊集合的基本概念、模糊聚类分析、模糊模型识别、模糊决策、模糊线性规划、模糊控制。 7、教学重点与难点： 重点：通过本课程的学习，掌握模糊数学的基本思想，基础理论，从而进一步了解模糊理论的基本应用，能够运用模糊理论解决生活中的实际问题。 难点：模糊数学的基本理论及如何正确运用这些理论知识来解决实际问题。 8、先修课程：

模糊数学的产生发展和应用

模糊数学的产生发展和应用 模糊数学又称FUZZY 数学。“模糊”二字译自英文“FUZZY ”一词，该词除了有模糊意思外，还有“不分明”等含意。有人主张音义兼顾译之为“乏晰”等。但他们都没有“模糊”含意深刻。模糊数学是研究和处理模糊性现象的一种数学理论和方法。 模糊数学的产生 现代数学是建立在集合论的基础上。集合论的重要意义就一个侧面看，在与它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都可能纳入集合描述的数学框架。 但是，数学的发展也是阶段性的。经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。在某些方面模糊是一种基于精确的模糊是一种相对模糊，对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴。 在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回避它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。各门学科，尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位。更重要的是，随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性。 我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统，如航天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种因素相互交错，系统很复杂，它的模糊性也很明显。从认识方面说，模糊性是指概念外延的不确定性，从而造成判断的不确定性。