七年级数学竞赛培优(含解析)专题17 不等式(组)的应用
17 不等式(组)的应用
阅读与思考
许多数学问题和实际问题所求的未知量往往受到一些条件的限制，可以通过数量关系和分析，列出不等式(组)，运用不等式的有关知识予以求解，不等式(组)的应用主要体现在： 1．作差或作商比较有理数的大小． 2．求代数式的取值范围． 3．求代数式的最大值或最小值． 4．列不等式(组)解应用题．
列不等式(组)解应用题与列方程(组)解应用题的步骤相仿，关键是在理解题意的基础上，将一些词语转化为不等式．如“不大于”“不小于”“正数”“负数”“非正数”“非负数”等对应不等号：“≤”“≥”“＞0”“＜0”“≤0”“≥0”． 例题与求解
【例1】如果关于x 的方程210m x x --=只有负根，那么m 的取值范围是_________．
(辽宁省大连市“育英杯”竞赛试题)
解题思路：由x ＜0建立关于m 的不等式．
【例2】已知A ＝1998199920002001?-
?，B ＝1998200019992001?-?，C ＝19982001
19992000
?-?，则有( )．
A ．A ＞
B ＞
C B ．C ＞B ＞A C ．B ＞A ＞C
D ．B ＞C ＞A
(浙江省绍兴市竞赛试题)
解题思路：当作差比较困难时，不妨考虑作商比较
【例3】已知1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a 是彼此不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小数1a 的最大值．
(北京市竞赛试题)
解题思路：设1a ＜2a ＜3a ＜···＜7a ，则1a +2a +3a +···+7a ＝159，解题的关键是怎样
把多元等式转化为只含
1
a的不等式．
【例4】一玩具厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位，生产一个小熊玩具要使用15个工时、20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫玩具要使用10个工时、5个单位的原料，售价为45元．在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊玩具、小猫玩具的个数，可以使小熊玩具和小猫玩具的总售价尽可能高．请用你所学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2 200元．
(“希望杯”邀请赛试题) 解题思路：列不等式的关键是劳力限制在450个工时，原料限制为400个单位．引入字母，把方程和不等式结合起来分析．
【例5】某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分，2分，5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币多于2分的硬币，请你据此设计兑换方案．
(河北省竞赛试题) 解题思路：引入字母，列出含等式、不等式的混合组，把解方程组、解不等式组结合起来．
【例6】已知n，k皆为自然数，且1＜k＜n．若123
10
1
n k
n
+++???+-
=
-
，n k a
+=．求a的
值．
(香港中学数学竞赛试题) 解题思路：此题可理解为在n个连续自然数中去除其中一个数k (且1＜k＜n，k是非两头的两个数)，使剩余的数的平均数等于10，求n和k之和。
能力训练
A 级
1.若方程249108
a
x x +
-=的解小于零，则a 的取值范围是___________． 2.若方程组31,
33
x y k x y +=+??
+=?的解为x ，y ，且2＜k ＜4，则x －y 的取值范围是___________．
（山东省聊城市中考试题）
3.a ，b ，c ，d 是正整数，且a ＋b ＝20，a ＋c ＝24，a ＋d ＝22，设a ＋b ＋c ＋d 的最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝_________．
（重庆市竞赛试题）
4．一辆公共汽车上有()54a -名乘客，到某一车站时有()92a -名乘客下车，则车上原有______________名乘客．
（吉林省长春市中考试题）
5．一个盒子里装有红、黄、白三种颜色的球，若白球至多是黄球的12，且至少是红球的1
3
，黄球与白球合起来不多于55个，则盒子中至多有红球__________个．
(河北省竞赛试题)
6．若2a b +=-，且a ≥2b ，则( ) A ．
b a 有最小值12 B ．b a 有最大值1 C ．a b 有最大值2 D ．a b 有最小值8
9
- (浙江省杭州市中考题)
7．设198919902121P +=+，199019912121
Q +=+，则P ，Q 的大小关系是（ ）．
A ．P ＞Q
B ．P ＜Q
C ．P ＝Q
D ．不能确定
8．小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的那一端仍然着地，请你猜一猜小芳的体重应小于( )
A ．49千克
B ．50千克
C ．24千克
D ．25千克
(山东省烟台市中考试题)
9．中国第三届京剧艺术节在南京举行，某场京剧演出的票价有2元到100元多种，某团体需购买票价6元和10元的票共140张，其中票价为10元的票数不少于票价为6元的票数的2倍．问这两种票各购买多少张所需的钱最少?最少需要多少钱?
(江苏省竞赛试题)
10．某港受潮汐的影响，近日每天24小时港内的水深变化大体如图所示：
一艘货轮于上午7时在该港码头开始卸货，计划当天卸完货后离港．已知这艘货轮卸完货后吃水深度为2.5 m(吃水深度即船底与水面的距离)．该港口规定：为保证航行安全，只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5 m 时，才能进出该港． 根据题目中所给的条件，回答下列问题：
(1)要使该船能在当天卸完货并安全出港，则出港时水深不能少于_______m ，卸货最多只能用______小时；
(2)已知该船装有1200吨货，先由甲装卸队单独卸，每小时卸180吨，工作了一段时间后，交由乙队接着单独卸，每小时卸120吨．如果要保证该船能在当天卸完货并安全出港，则甲队至少应该工作几小时，才能交给乙队接着卸？
（江苏省苏州市中考试题）
B 级
1．设a ，b ，c ，d 都是整数，且a ＜3b ，b ＜5c ，c ＜7d ，d ＜30，
那么a 的最大可能值为_______． （“新世纪杯”数学竞赛试题）
2．某宾馆底楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人，若全安排住底楼，每间住4人，房间不够；每间住5人，有房间没有住满5人．又若全安排在二楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，有房间没有住满4人，该宾馆底楼有客房___________间． 3．已知a ＜0，x 满足不等式1
1ax ax --，那么x 的取值范围是___________．
4．若a ，b 满足2
357a b +=，S ＝2
23a b -，则S 的取值范围是__________．
(广西竞赛试题)
5．已知1a ，2a ，3a ，…，2007a 是彼此互不相等的负数，且M ＝(1a ＋2a ＋…＋2006a )(2a ＋3a ＋…＋2007a )，N ＝(1a ＋2a ＋…＋2007a )(2a ＋3a ＋…＋2006a )，那么M 与N 的大小关系是( )
A ．M ＞N
B ．M ＝N
C ．M ＜N
D ．无法确定
(江苏省竞赛试题)
6．某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印刷一套增加成本20元．如果每套书定价100元，卖出后有3成收入给经销商，出版社要盈利10％，那么该书至少要发行( )套． A ．2 000 B ．3 000 C ．4 000 D ．5 000
(“希望杯”邀请赛试题)
7．今有浓度为5％，8％，9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克，60克，47克，现要配制浓度为7％的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克?
(北京市竞赛试题)
8．为了迎接世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则与奖励方案如下表：
当比赛进行到第12轮结束(每队均需比赛12场)时，A 队共积1 9分． (1)请通过计算，判断A 队胜、平、负各几场．
(2)若每赛一场，每名参赛队员均得出场费500元．设A 队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W(元)，试求W 的最大值。
(黑龙江省中考试题)
9．为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A ，B 两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 575万元，改造一所A 类学校和两所．B 类学校共需资金230万元；改造两所A 类学校和一所B 类学校共需资金205万元．
(1)改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的资金分别是多少万元? (2)若该县的A 类学校不超过5所，则B 类学校至少有多少所?
(3)我市计划今年对该县A ，B 两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A ，B 两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元，请你通过计算求出有几种改造方案．
(湖北省襄樊市中考试题)
10．设1x ，2x ，…，2008x 是整数，且满足下列条件：
(1)－l≤n x ≤2(n ＝1，2，…，2 008)； (2)122008200x x x ++???+=；
(3)222
1220082008x x x ++???+=． 求333
122008x x x ++???+的最大值和最小值．
(“宗沪杯”竞赛试题)
专题16 不等式（组）
例1 C 提示：解不等式组得3220t x -<<，则5个整数解为x ＝19，18，17，16，15.结合数轴
分析，应满足14≤3－2t ＜15，故－6＜t ≤1162
t -<≤-
. 例2 1345x < 提示：(2)5m n x m n ->+，20m n -<，510
27
m n m n +=-，0m <，1345m n =.
例3 1m =或3m = 提示：解方程组得81
621x m m y m ?
=??+?-?=?+?
，由
,0x y ≥??≥?
得－1≤m ≤0 例4 提示：由已知条件得325213a b c a b c +=-??+=+? ,解得73711a c b c =-??=-?,m=3c －2.由0
00
a b c ≥??
≥??≥?
得730
71100
c c c -≥??
-≥??≥?
,解得37711c ≤≤,故m 的最大值为111-,最小值为57-
例5先用x 1和x 2表示x 3,x 4，…，x 7,得312423125341264512
75612
2233558x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x =+?
?=+=+??
=+=+??=+=+?=+=+??,因此x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7= 2 010.
于是得121201013113
100()20220
x x x -=
=+-.因为x 2是自然数,所以1113()220x -是整数，所以x 1
是10的奇数倍.又因为x 1＜x 2，故有三组解:x 1=10,x 2=94,或x 1=30,x 2=81,或x 1=50,x 2=68. 因此x 1+x 2的最大值为50+68=118,所以x 1+x 2 +x 3的最大值为2(x 1+x 2)=2×118=236. 例6解法一 ：∵0≤a －b ≤1①，1≤a +b ≤4 ②，由②知－4≤－a －b ≤－1③， ①+③得－4≤－2b ≤0，即－2≤－b ≤0④，①+④得－2≤a －2b ≤1
要使a —2b 最大，只有a －b =1且－b =0. ∴a =1 且b =0，此时8a +2003b =8. 解法二 ：设a －2b=m(a+b)+n(a －b)=(m+n)a+ (m －n)b,知12m n m n +=??-=-?,解得12
32
m n ?
=-????=??.
而()11222a b -≤-
+≤-,()33022a b ≤-≤,∴a －2b=()12a b -++()3
2
a b -
∴－2≤a －2b ≤1
当a —2b 最大时，a +b=1，a －b=1∴b=0，a=1，此时8a +2003b =8. A 级 1.910
2.11.
1提示:原不等式组变形为425
2
x a b x >-+<由解集是0＜x ＜2知40
502a b -=??
?+=??,解得21a b =??=-? 故a +b =2+(－1)=1 3.a ＜－b ＜b ＜－a 4.
5
2
＜m ＜7 5.B 提示：由ax +3a ＞3+x ,得(a －1)(x +3)＞0,.由不等式的解集为x ＜－3知x +3＜0, 所以a －1＜0,得a ＜1. 6.C 7.B 8.C 9.k =2或3.
10. 提示：由非负数性质求得a =2,b =5,原不等式组的解集为x ＜－3.
11.原不等式组等价于3
22
a x
b b x ?≥????-<
所以其解不可能是22b b x -<<必有32a b x ≤<，由整数解的情况可知213a -<≤-,232
b
<≤
得a =－5,－4,－3;b =5,6.故整数对(a ,b )共有2×3=6对. B 级
1.314a -≤<- 提示:由题意可知:3x a ≤-.由正整数解为1,2,3知334a ≤-<-,解得3
14a -≤<-
2.a ≥－1 提示:原不等式组变形为1x a
x ≥-??≤?
由不等式组有解知－a ≤1,故a ≥－1
3. 9≤a ＜12
4.
2
11x
-> 5. B 提示:原不等式组变形为
1736c a b c c ≤++<,5823a a b c a <++<,71524
b a b
c b <++<. 6. C 示：若x ≥2000，则(x －2000)+x ≤9999，即2000≤x ≤5999, 共有4 000个整数; 若0≤x ＜2000,则(x －2000)+x ≤9999.2000≤9999，恒成立，又有2000个整数适合 若x ＜0，则2000－x +(－x ) ≤9999即－3999.5≤x ＜0，共有3999个整数适合，故一共有 4000+2 000+3999 = 9 999个整数适合. 7. D 8.C 提示:由原不等式得x 2
＞(x +5)2
9.提示：解不等式，得711
x ≤
, 原式=()()()41223143x x x x -≥??---≤
,从而知最大值为4，最小值为3311-
10.提示：s =x +2，2≤s ≤3 11.提示:由
871513n n k <<+,得151387n k n +<<，即76
87
k n >> .又n 与k 是都是正整数，显然n ＞8，当n 取9,10,11,12,13,14时，k 都取不到整数. 当n =15时,
9010578k <<
,即61
121378
k << 此时是k =13故满足条件的最小正整数n =15,k =13. 12.由a b c ＜＜得1
11a b
c ＞＞，故
1113a b c a
++＜，即3
1,3a a ＞＜，又因为1a ＞
，故a=2，从而有1112b c +=，又11c b ＜，则21
2
b ＞，即b ＜4，又b ＞a=2，得b=3，从而得c=6，故a=2，b=3,c=6即为所求.
人教版八年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共29讲)
八年级数学讲义目录
专题01 整式的乘除 阅读与思考 指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：m n m n a a a +?=， ()m n mn a a =，()n n n ab a b =， (0)m n m n a a a a -÷=≠，01(0)a a =≠，1 (0)p p a a a -= ≠． 学习指数运算律应注意： 1．运算律成立的条件； 2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式； 3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用． 多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位； 2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐； 3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止． 例题与求解 【例1】（1）若n 为不等式200 3006n >的解，则n 的最小正整数的值为 ． （“华罗庚杯”香港中学竞赛试题） （2）已知21x x +=，那么432 222005x x x x +--+= ． （“华杯赛”试题） （3）把26 (1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++L ，则 121086420a a a a a a a ++++++= ． （“祖冲之杯”邀请赛试题） （4）若5 4 3 2 37629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则 ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= ． （创新杯训练试题） 解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x 值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．
高中数学必修五《基本不等式》培优专题(无答案)
高中数学——基本不等式培优专题 目录 培优（1）常规配凑法 培优（2）“1”的代换 培优（3）换元法 培优（4）和、积、平方和三量减元 培优（5）轮换对称与万能k法 培优（6）消元法（必要构造函数求异） 培优（7）不等式算两次 培优（8）齐次化 培优（9）待定与技巧性强的配凑 培优（10）多元变量的不等式最值问题 培优（11）不等式综合应用
培优（1） 常规配凑法 1.（2018届温州9月模拟）已知242=+b a （a,b ∈R ）,则a+2b 的最小值为_____________ 2. 已知实数x,y 满足116 2 2 =+y x ，则22y x +的最大值为_____________ 3.（2018春湖州模拟）已知不等式9)1 1)((≥++y x my x 对任意正实数x,y 恒成立，则正实数m 的最小值 是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 4.（2017浙江模拟）已知a,b ∈R,且a ≠1,则b a b a -++ +1 1 的最小值是_____________ 5.（2018江苏一模）已知a ﹥0,b ﹥0,且ab b a =+3 2，则ab 的最小值是_____________ 6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知a ﹥b ﹥0,a+b=1,则 b b a 21 4+ -的最小值是_____________
7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知a ﹥0,b ﹥0,11 111=+++b a ，则a+2b 的最小值 是（ ） A.23 B.22 C.3 D.2 培优（2） “1”的代换 8.（2019届温州5月模拟13）已知正数a,b 满足a+b=1,则b a b 1 +的最小值为_____________此时a=______ 9.（2018浙江期中）已知正数a,b 满足112=+ b a 则b a +2 的最小值为（ ） A.24 B.28 C.8 D.9
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程：二元一次方程组解的讨论
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程 （10）二元一次方程组解的讨论 【知识精读】 1． 二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2 12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2 12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当 2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 【分类解析】 例1. 选择一组a,c 值使方程组???=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解 解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解 解比例得a=10, c=14。 ② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。 解得a=10, c ≠14。 ③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解， 即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 例2. a 取什么值时，方程组? ??=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组
初二数学培优竞赛题
―――――－―――――――――――――――装――――――订――――――线――――――――――――――――――――――― 班级 姓名 学号 座位号 考场纪律：正常（ ） 不正常（ ） 初二数学培优竞赛题 1.已知△ABC,∠BAF=Rt ∠，∠D=75°，AB=AD,延长BA 作CE ⊥BA 交AB 于点E, ∠BAG=∠CAF （16分） (1)画出与△ABC 面积相等的三角形（要求与图中的任意一条边重合）（4分） (2)当∠D=80°时其余条件不变△ABC 还与你画的三角形面积相等吗？为什么？ 那么如果∠BAF=80°呢？（任选一个你画的三角形证明）（6分） (3)根据(2)(3)题你得出的结论说明在什么条件下才能使你画的三角形于与△ABC 的面积相同（6分） 2.已知直线y=x+3交x 于A ，y 于B ，直线y=-x+2,交x 于C ，y 于D,P 为AB 的中点，过点P,（4，0）两点画直线，交直线y=-x+2于Q （14分） (1)求A,B,C,D,P,Q 的坐标（3分） (2)求直线P,（4，0）的函数表达式（2分） (3)求∠BPQ 的度数（5分） (4)若直线AB 上有点K ，连结KQ ，当△PKQ 为等腰三角形时，求QK 的长以及△PKQ 的面积（4分） 3.已知函数y = -2*x + 3与函数y=ax+b 的夹角为30°（11分） （1）求a,b 的值（1分） （2）设函数y = -2*x + 3在第四象限交的第三个格点为P ，交y 于A 函数y=ax+b 交x 于B ，求ΔABP 的面积和周长（4分） （3）如果直线l 平行于直线y=ax+b ，并与x 轴交于点C,且点C 与点B 对称，求ΔCAP 的
【2021培优】专题2.2 基本不等式(解析版)
旗开得胜 1 专题2.2 基本不等式 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020·浙江高二学业考试）已知实数x ，y 满足2 2 1x y +=，则xy 的最大值是（ ） A ．1 B 3 C ． 22 D ． 12 【答案】D 【解析】因为22 2x y xy +≥，所以22 2=1y x x y +≤，得12 xy ≤ . 故选：D. 2．（2020·江门市第二中学高一期中）若实数,a b 满足22a b +=，则93a b +的最小值是（ ） A ．18 B ．9 C ．6 D ．3【答案】C 【解析】因为90,30a b >>，22a b +=， 所以2293293233236a b a b a b a b ++≥?=?==，
旗开得胜 1 当且仅当233a b =，即1 ,12 a b = =时取等号， 所以93a b +的最小值为6， 故选：C 3．（2020·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤ B ．222a b ab +≥- C ．2a b ab +≥-D ．2a b ab +≤【答案】B 【解析】A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确； B.2222220a b ab a b ab +≥-?++≥，即()2 0a b +≥恒成立，故B 正确； C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确； D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B 4．（2020·全国高一）当1x >时，函数241 x x y x -+=-的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】B 【解析】依题意24 1 x x y x -+= -4111x x =-++-，由于1,10x x >->，所以
最新沪科版七年级数学培优竞赛训练一
培优竞赛训练一 1. 有理数a ，b ，c 在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”填空： (1)｜a ｜______｜b ｜； (2)a ＋b ＋c ______0： (3)a －b ＋c ______0； (4)a ＋c ______b ； (5)c －b ______a ． 2. 已知321===c b a ，，，且c b a >>，那么c b a -+＝ ． 3. 已知d c b a 、、、是有理数，169≤-≤-d c b a ，，且25=+--d c b a ， 那么=---c d a b ． 4. 若有理数x 、y 满足2002(x 一1)2 +0112=+-y x ，则=+2 2y x ． 5. a 与b 互为相反数，且54=-b a ，那么1 2+++-ab a b ab a ＝ ． 6. 设0=++c b a ，0>abc ，则c b a b a c a c b +++++的值是（ ）． A ．-3 B ．1 C ．3或-1 D ．-3或1 7. 若｜x ｜＝x ，并且｜x －3｜＝3－x ，请求出所有符合条件的整数x 的值，并计算这些值 的和． 8. 已知m ，n 为整数，且｜m －2｜＋｜m －n ｜＝1，求m ＋n 的值． 9. ｜x －1｜＋｜y ＋2｜＋｜z －3｜＝0，则(x －1)(y －2)(z ＋3)的值为( )． (A)48 (B)－48 (C)0 (D)xyz 10. 巧算下列各题： (1))2004 11)(120031( )151)(411)(131)(211(--?---- (2)666663333222299999?-? 11. 式子| |||||ab ab b b a a ++的所有可能的值有( )． (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个 12. 13. 如果c b a 、、是非零有理数，且0=++c b a ，那么 abc abc c c b b a a +++的所有可能
七年级数学竞赛培优(含解析)专题27 以形借数
27 以形借数——借助图形思考 阅读与思考 数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面： 1．从给定的图形获取解题信息 数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能． 2．有意地画图辅助解题 图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解． 阅读与思考 【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住 其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同 形状的共有____________种。 （“五羊杯”竞赛试题） x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,, ≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。 ++=。不妨设x y z 9 x y z
【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为 ．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。根据图像进行一下探究： 信息读取 （1）甲、乙两地之间的距离为___________km。 （2）请解释图中点B的实际意义。 图像理解 （3）求慢车和快车的速度。 （4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 问题解决 （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚车发多少小时？ （江苏省南京市中考试题）解题思路：函数图像包含了两种不同层次的信息：有慢车行驶900km用了12h等可直接感知的浅层结构信息，也有在0～4小时之间以及稍后的一段时间内，快车和慢车的速度之和为定值和C点表示快车在某一时刻已到达终点等需要经过分析或运算才能获得的深层结构的信息。
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题25 配方法-精编
专题 25 配方法 阅读与思考 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧. 配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具. 配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有： 1、222 2()a ab b a b ±+=± 2、2 a b ±= 3、2222 222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2 2 2 2221 [()()()]2 a b c ab bc ac a b b c a c ++---= -+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于： (1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2 a = 能 联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式. 例题与求解 【例1】 已知实数x ，y ，z 满足2 5,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____ (“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值. 【例2】 若实数a ，b ， c 满足222 9a b c ++= ，则代数式2 2 2 ()()()a b b c c a -+-+- 的 最大值是 ( ) A 、27 B 、18 C 、15 D 、12 (全国初中数学联赛试题) 解题思路：运用乘法公式 ，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.
一元一次不等式组培优训练
一元一次不等式培优训练 例1、要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ） A.0＜a ＜1 B. a ＞1 C.－1＜a ＜0 D. a ＜－1 例2、已知6＜a ＜10， 2 a ≤ b ≤a 2，b a c +=，则c 的取值范围是 。 例3、若不等式0432b ＜a x b a -+-)(的解集是49x ＞，则不等式的解集是0324b ＞a x b a -+-)( 。 例4、设7321x x x x ,,,, 均为自然数，且76321x x x x x <<<<< ，又2012721=+++x x x ，则21x x +的最大值是 。 例5、设实数a 、b 、c 满足a
当堂练习 一、选择题 1、如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则......................................( )． (A)1>b a (B)b a ＜1 (C)b a 11< (D)ab ＜1 2、a 、b 是有理数，下列各式中成立的是........................................( )． (A)若｜a ｜≠|b |，则a ≠b (B)若a 2＞b 2，则a ＞b (C)若a ≠b ，则｜a ｜≠|b | (D)若a ＞b ，则a 2＞b 2 3、｜a ｜＋a 的值一定是......................................................................( )． (A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零 4、若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足...............( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜1 (D)a ＜－1 5、若由x ＜y 可得到ax ≥ay ，应满足的条件是...............................( )． (A)a ≥0 (B)a ≤0 (C)a ＞0 (D)a ＜0 6、某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km 时，每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km ，那么x 的最大值是........................................................( )． (A)11 (B)8 (C)7 (D)5 7、若不等式组?? ?>≤ 奥数培训之趣味数学 生活中的数学： 1、诗仙李白豪放豁达，有斗酒诗百篇的美名，为唐代“饮中八仙”之一， 民间流传李白买酒歌谣，是一道有趣的数学问题：李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一抖，三遇店和花，喝完壶中酒。试问：酒壶中原有多少酒？ 解：设酒壶中原有酒x 斗，“三遇店和花”意思是李白三遇店，同时也三见花。 第一次见店又见花后，酒有：12-x ； 第二次见店又见花后，酒有：1-122）（ -x ； 第三次见店又见花后，喝完壶中酒，所以 依题意，得 ()[]0111222=---x 解方程，得 87= x 答：酒壶中原有酒8 7斗。 2、有甲乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了”，求两个牧童各有多少只羊。 解：设甲有x 只羊，乙有y 只羊。依题意，得 ()? ??+=--=+11121y x y x 解方程组，得? ??==57y x 所以甲牧童有羊7只，乙牧童有5只。 3、一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完．那么，若在120天里将草吃完，则需要（ ）头牛 A 、16 B 、18 C 、20 D 、22 分析：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c ，根据60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完，列方程组，用其中一个未知数表示另一个未知数即可求解。 解：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c 。 根据题意，得 ???==???+=?+=?b c b a a c b a c b 120010606030242460解得， 则若在120天里将草吃完，则需要牛的头数是20120120=+b a c 。故选C 。 4、杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A ．一样多． B ．多了． C ．少了． D ．多少都可能． 解：设杯中原有水量为a ，依题意可得， 第二天杯中水量为a ×(1－10%)=0.9a ； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a ； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为199.01.19.01.19.0<=?=??a a 。 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C ． 5、 甲杯中盛有2m 毫升红墨水，乙杯中盛有m 毫升蓝墨水，从甲杯倒出a 毫升到乙杯里（0＜a ＜m ），搅匀后，又从乙杯倒出a 毫升到甲杯里，则这时( )。 A ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少． B ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多． C ．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同． D ．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定． 解：从甲杯倒出a 毫升红墨水到乙杯中以后： 乙杯中含红墨水的比例是a m a +， 乙杯中含蓝墨水的比例是 a m m +， 再从乙杯倒出a 毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的红墨水的数量是毫升a m ma a m a a a +=+?- ① 此文档下载后即可编辑 初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算 一、 有理数的基本概念梳理与强化： （一）几个小知识点的梳理与强化：小知识点是常考的考点，也是易错点。理清小知识点，减少失误 1.字母可以表示任意有理数，不能说a 一定是正数，-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是 ；平方等于本身的数是 ；立方 等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x |=|2 1-|，则x =______； 若|x |=|－4|，则x =____； 若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果 ，那么a=____；若 x 2=(－2)2，则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______； －32的底数是_______，结果是_______；n 为正整数，则（－1）2n =_ __, (－1) 2n +1=_ __。计算： （1） = ； （2） = ； （3） = ；（4） = （5） = 6.a 的相反数是 ；a+b 的相反数是 ；a-b 的相反数 是 ；-a+b-c 的相反数是 ； 变式训练：若a ＜b ，则∣a-b ∣= ，-∣a-b ∣= （二）突破绝对值的化简： 7.绝对值即距离，则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想） （a ＞0） |a| = （a ＝0 ） （a ＜0 ） 9.绝对值的非负性： 162=a七年级数学培优竞赛教案
初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算(完整资料).doc
- 初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题02 乘法公式[精品]
- 七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线
- 八年级数学(下)培优竞赛训练题
- 八年级上数学几何培优试题分类
- 初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题20 正方形_答案[精品]
- 初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题20 正方形[精品]
- 人教版八年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共29讲)
- 八年级数学竞赛培优训练勾股定理及其逆定理含解析
- 【八年级】人教版数学八年级培优和竞赛教程14如何做几何证明题
- 初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题01 整式的乘除_答案[精品]
- (最新整理)八年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题04正方形
- 八年级数学培优竞赛试卷
- 初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题25 配方法-精编
- (最新整理)八年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题01平行四边形
- 初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题18 直角三角形_答案
- 2020-2021年人教版八年级下学期期末数学培优竞赛测试题
- 初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题13三角形的基本知识
- 最新八年级数学(下)培优竞赛训练题
- 【精】初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题13 三角形的基本知识_答案
- 初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题12 心中有数