当前位置：文档库 › 不规则几何图形面积计算方法

不规则几何图形面积计算方法

有一次坐车，曾与一位大学一年级的学生坐邻座。

问她现在还学不学数学，她说正学呢，学微积分。

问微积分有什么用，她想了想，说：“可以求不规则图形的面积”。

我将手拍在我们前面座椅的靠背上，问：“用你高中以前的知识，你怎么求我的手掌印的面积？”

她马上说：“这没有办法求。我们求面积都是求的规则图形的面积。这个没有办法求。”

她没有用过新课程下的数学教材。对于用过新课程下的数学教材的学生来说，这样的问题，小学生应当能够解决了。

新世纪小学数学教材安排了探索不规则图形及物体的测量方法，如，“估计自己脚印的面积”的活动，“学生可以在脚印上画出透明的正方形格子，由此进行估计。对于感兴趣的学生，教师还可以引导他们计算出鞋印覆盖住的整方格数，得到鞋印面积的不足近似值；再计算出被鞋印接触过的所有方格数，得到鞋印面积的过剩近似值，鞋印的实际面积介于二者之间。根据经验，学生还可能认识到方格分得越细，不足近似值和过剩近似值越接近，这种认识实际上蕴涵了微积分的基本思想。[1]”大方格不能

上文说“根据经验，学生还可能认识到……”，似乎是编写者“一厢情愿”的猜度。我们看到下面的材料，想来你会体会到编写者这样设计的意义和价值。这是一位教师在上课中的实录节选。

例2[2] 求一块不规则图形的面积．

这与数学中的常规问题是不同的，我们在数学中面对的一般都是规则图形，可以直接用公式计算，或者通过适当割补后再用公式计算．如何解决这一问题呢?我们把它交给学生，竟然得到了如下一些成果：

方法1 将图形放在坐标纸上，也即将图形分割，看它有多少个“单位面积”．

方法2 将图形从内外两个方面用规则图形(或规则图形的组合)逼近．

[1]义务教育课程标准实验教科书·数学教师教学用书(四年级上册)·致教师（一），北京师范在学出版社，

[2]试谈以人为本的三维课堂教学，https://www.wendangku.net/doc/b64418259.html,/jyzx/Print.asp

方法3 将这块图形用一个正方形围住，然后随机地向正方形内扔“点”(如小石子等小颗粒)，当点数P足够大时，统计落入不规则图形中的点数A，则图形的面积与正方形面积的比约为．

方法4“称量”面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是P(正方形区域内细沙重)、A(所求图形内细沙重)，则所求图形的面积与正方形面积的比是．我们欣赏一下学生的思路，你会发现，这里的每一种方法都有极其深刻的背景。

方法l涉及到一些重要的思想：“覆盖”，运动不变性，面积的可加性。用小方格覆盖，面积是一个量，可以计算，可以比较大小。在度量时，要有一个度量单位，每个小方格的面积都是一样的，如果视为用同一个方格来度量，则小方格可以视为度量面积的单位，无论放在何处它的面积都没有变，这是面积计算中的运动不变性。用小方格覆盖，不能重合，也不能有空隙，所有部分的和等于整体的面积，这是体现的有限可加性，是应用了面积的本质意义。

方法2与前文所述新世纪教材编写者建议的方法一致，体现了朴素的微积分的基本思想。

方法4类似于伽利略计算摆线（见下图）弧下方所围成的面积的方法。当一个圆在一条直线上平稳地滚动时，圆上一个固定点所出的曲线就是一条摆线。新世纪配套教学辅导读物

《伴你成长》就

有一个这样的实

践活动：“想象

一下，在车轮行

驶的过程中，气

门芯形成的图形是什么样子的。”当车子在平直的道路上行驶时，车轮上的气门芯形成的图形就是摆线。

对摆线的研究，在17世纪曾是科学界的“热门话题”。伽利略痴迷于摆线的研究，发现了摆线的两个重要事实：

1. 摆线弧的长度等于旋转圆的直径的4倍；

2. 摆线弧下方所围成的面积是旋转圆的面积的3倍。

而他发现这两个重要事实所用的方法，现在来看却很是简易。他是用一根绳子附在摆线上，度量出这条绳子的长度再与旋转圆的直径作比较，得到了第一个事实；在一块薄板上画出摆线所围成的图形，再把这个图形切下来，称一下它的重量，然后在同样的薄板上画出旋转圆，再把旋转圆切下来，称一下重量，他发现了第二条事实。

伽利略用到的第一种方法是新世纪教材中特别突出的化曲为直的方法。如，在三年级上册乘法中给出了一条弯弯曲曲的铁路线示意图，让学生在图中标出火车出发2时后的大概位置；在六年级上册学习圆的周长时，介绍了“用线绕圆片一周，量它的长度。”他的第二种方法，在学习比例或相似时我们可以向学生介绍。我在教学比例时，有个学生崔艳梅同学就想到了这个称面积的方法——称出某个省的面积。

上面1,2,4三种方法都是从确定性来思考的，方法3与前面的三种方法不同，是从随机性的角度思考的，属于概率统计的方法，在数学上被称为“蒙特卡罗方法”。

用“蒙特卡罗方法”发明人波兰数学家乌拉姆举的例子说：用微积分的方法求不规则图形的面积，有时计算很麻烦，我们可以用一个正方形将这个不规则图形围住，然后随机地往正方形内掷“点”。如，抛豆粒或站在一

定远的距离外掷飞镖。当掷的“点”的

数目足够大时，落入正方形内的“点”

数与落入这个不规则图形内的“点”数，

应当等于这两个图形面积的比值。这种

方法由于有随机的思想，与赌博的随机

性有关联，数学家们就用世界最著名的

赌城“蒙特卡罗”命名。

换一个视角看问题，这四种方法也是有联系的，我们把小方格缩小，缩小，再缩小，一直缩小视为点，视为投放“点”之后的结果；或者说我们把“蒙特卡罗方法”投放的“点”“放大”为小正方形，这方法1,2,3就没有什么实质性的差异了。

再看方法4,既然这图形的面积可以看成由众多的“小正方形”或“点”组成，可以象点数马、牛、羊一样点数。那么，当点数的物件太小，象豆子，米粒，沙粒……，不容易点数时，人们便想到了“称”，用重量的多少来度量其面积的多少，这自然就是方法4了。这样看来，方法4中称量的细沙、伽利略称量的薄板都可以视为称量的“点”的集合了。

不规则立体图形的表面积和体积

立体几何专题不规则立体图形的表面积和体积基础知识：规则立体图形的表面积和体积积和表面积。 [答疑编号505787490101] 【答案】体积是152立方厘米；表面积是216平方厘米。【解答】体积：19×23＝152（立方厘米）上下看：3×3＝9 左右看：4＋3＋1＝8 前后看：4＋4＋3＝10 （9＋8＋10）×2×22＝216（平方厘米）进一步思考：（1）对于由小正方体搭起来的组合形体，其表面积总是等于三个方向看到的面积之和的两倍？ [答疑编号505787490102] 【答案】不是（2）如果挪动最上面那个小正方体，将它移动到其他位置，那么所得到的新的组合形体的表面积最少是多少？ [答疑编号505787490103] 【答案】200平方厘米【解答】找盖住的面最多的位置，最多可以盖住3个面。例2.如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体。问

这个物体的表面积是多少平方米？（π取3.14。） [答疑编号505787490104] 【答案】32.97平方米【解答】结合例1的方法，我们将这个物体的表面积分为上下底的面积和侧面积两部分，不难看出这种叠放并不影响上下底的面积。解：上底面积与下底面积相等，都是π×1.52=2.25π（平方米）；侧面积就是三个圆柱体的侧面积之和，等于2π×（1.5+1+0.5）×1=6π（平方米）；这个物体的表面积是2.25π×2+6π=10.5π=32.97（平方米）。进一步思考：如果沿这个物体的中心轴切一刀，将之分成两个相同的立体图形，那么两个新立体图形的表面积之和是多少？ [答疑编号505787490105] 【答案】44.97平方米【解答】原来的表面还是表面不变，增加的就是切口。 1×1＋2×1＋3×1＝6（平方米） 32.97＋6×2＝44.97（平方米）例3. 如图，有一个边长是5的正方体，如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几？ [答疑编号505787490106] 【答案】8% 【解答】与前面的例题类似，我们一般不直接计算切割后的立体图形的表面积，而是先将切割前后的两个立体图形进行比较。减少的面就就是两个3×2＝6的小长方形。 12÷150×100%＝8%。例4.如图，有一个边长为20厘米的大立方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相

第二讲不规则图形面积的计算(二)精选.

第二讲不规则图形面积的计算（二）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B 之间有：S A∪B＝S A＋S b-S A∩B）合并使用才能解决。例1 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半. 例2 如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。解：由容斥原理 S阴影＝S扇形ACB＋S扇形ACD-S正方形ABCD

例3 如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。解：S阴影＝S扇形ABE+S扇形CBF-S矩形ABCD ＝13π-24=15（平方厘米）（取π=3）。例4 如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长。分析已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长. ＝（157-7）×2÷20 =15（厘米）。例5 如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。

小学不规则图形的面积

多边形的面积本节内容： 1、减法求面积 2、加法求面积（割补法） 3、等积法求面积（剪拼法） 4、平面图形之间的等量关系的相互转化我们已经学习过长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算，图形以及计算公式如下：

巩固与提升：课前热身 1、两个（）的三角形可以拼成一个平行四边形。 A 底相等 B 面积相等 C 等底等高 D 完全相同解析：平行四边形按对角线切割可以分成两个完全相同的三角形。 2、下面两个完全相同的长方形中，阴影部分的面积相比，甲（）乙。 A 大于 B 小于 C 等于 D 无法判断解析：考察的是等底等高的三角形面积相等。 3、两个三角形等底等高，说明这两个三角形（）。 A 形状相同 B 面积相同 C 能拼成一个平行四边形 D 完全相同解析：考察的还是等底等高的三角形面积相等。

4、一个三角形底不变，高扩大4倍，面积（）。 A 不变 B 扩大2倍 C 扩大4倍 D 缩小4倍解析：面积的变化规律（积的变化规律） 5、把一个平行四边形活动框架拉成一个长方形，那么原来平行四边形与现在长方形相比（）。 A 周长不变、面积不变 B 周长变了、面积不变 C 周长不变、面积变了 D 周长变了、面积变了解析：周长没变，只有高度在发生变化。 6、一个平行四边形，底扩大6倍，高缩小2倍，那么这个平行四边形的面积（）。 A 扩大6倍 B 缩小2倍 C 面积不变 D 扩大3倍解析：考察的还是面积的变化规律（积的变化规律）。

在实际问题中，我们遇到的往往不是基本图形，而是由基本图形组合、拼凑成的组合图形，它们的面积不能直接用公式计算。在本讲中，我们将学习如何计算它们的面积。组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点： 1．切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；2．仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的； 3．适当采用增加辅助线等方法帮助解题； 4．采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。

几何图形初步练习题集

《几何图形初步》复习学案知识点一：余角和补角的概念（思考什么叫互为余角，什么叫互为补角） 1．★若∠α=79°25′，则∠α的补角是（） A．100°35′B．11°35′C．100°75′D．101°45′ 2 ★已知∠α与∠β互余，若∠α=43°26′，则∠β的度数是（） A．56°34′B．47°34′C．136°34′D．46°34′ 3 ★已知α=25°53′，则α的余角和补角各是 4★★已知∠1=30°21’，则∠1的余角的补角的度数是（）知识点二从正面、上面、左面看立体图形 1★画出从正面、上面、左面三个方向看到的立体图的形状２★从正面、上面、左面看圆锥得到的平面图形是（） A．从正面、上面看得到的是三角形，从左面看得到的是圆 B．从正面、左面看得到的是三角形，从上面看得到的是圆 C．从正面、左面看得到的是三角形，从上面看得到的是圆和圆心 D．从正面、上面看得到的是三角形，从左面看得到的是圆和圆心３★★下列四个几何体中，从正面、上面、左面看都是圆的几何体是（） A 圆锥Ｂ圆柱Ｃ球Ｄ正方体４★★一个几何体从正面、上面、左面看到的平面图形如右图所示，这个几何体是（） A 圆锥Ｂ圆柱Ｃ球Ｄ正方体５★★观察下列几何体，，从正面、上面、左面看都是长方形的是（）６★★从正面、左面、上面看四棱锥，得到的3个图形是（）ＡＢＣ７★★★如下图，是一个几何体正面、左面、上面看得到的平面图形，下列说法错误的是

（） A．这是一个棱锥B．这个几何体有4个面 C．这个几何体有5个顶点D．这个几何体有8条棱８★★★如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形体的数字表示该位置小立方块的个数，则从正面看该几何体的图形是（）知识点三：度分换算１度分 °= 度分 °=°′ °=°′ ２分度 79°24′=°29°48′=° 把56°36′换算成度的结果是把37°54′换算成度的结果是知识点四对直线、射线、线段三个概念的理解 1 ★图中有条直线，条射线，条线段 2★★过ABC三点中两点的直线有多少条（画图表示） 3★★过ABCD四点中两点的直线有多少条（画图表示） A．1或4B．1或6C．4或6D．1或4或6 4 ★★同一平面内的四点，过其中任意两点画直线，仅能画四条，则这四点的位置关系是（）A．任意三点不在同一直线上B．四点都不在同一直线上 C．四点在同一直线上D．三点在同一直线上，第四点在直线外 5 ★★已知A，B，C，D四点都在直线L上，以其中任意两点为端点的线段共有（）条；已知A，B，C，D四点都在直线L上，以其中任意一点为端点的射线共有（）条 6 ★★下列说法中正确的个数为（）个（1）过两点有且只有一条直线；（2）连接两点的线段叫两点间的距离；（3）两点之间所有连线中，线段最短；（4）射线比直线小一半．知识点五线段计算——涉及分类讨论（线段双解问题，画图很重要！！！）引例★：线段AB=15cm，BC=5cm，则线段AC等于（） 1 ★线段AB=7cm, 点C在直线ＡＢ上，ＢＣ＝３cm, 求线段AC长

几何图案

几何图案在服装中的运用服饰图案是人类精神和物质的载体，几何图案来源于远古，具有寓意象征及深远含义与内容，它见证着人类文明的发展，几何图案的合理运用是设计的基础技能，在服装设计中也不例外。在现代的时装设计中，几何图形的运用已经是达到一定的境界，越来越被人们作为表现个性的方式，让人更加耀人眼目，光芒四射！服装设计中的几何图案几何图案因其单纯、明朗、富于装饰性的特征，从古至今就深受人们的喜爱。不同时代，不同地域，不同民族的人们都赋予几何图案以不同的内涵与个性。以直线分割的块面图形刚毅俊逸，以弧线作为构架的图形柔和优雅。设计师应用点、线、面和直线、弧线交叉使用令图案变化丰富，大块面的图案强调强烈醒目的视觉冲击效果，热烈、奔放；小面积或边缘装饰的几何图案起到延续视觉的效果，也可作为一个局部点与大面积图案相呼应，形成层次丰富，变化多样的图案效果。几何图案是将各种直线、曲线以及圆形、三角形、方形、菱形、多边形等构成规则或不规则的几何图形的装饰性纹样。几何形纹是以几何形为母体而组成的图案，是点、线、面和黑、白、灰合理运用的图案，因其简洁、明朗、装饰性强的特征，从古至今就深受人们的青睐。不同时代、民族和地域的人们都赋予几何图案不同的个性与内涵。以直线分割的块面几何图案俊逸刚毅，以曲线作为构架的图形优雅柔和，应用点、线、面和直曲线的分割，令图案变化丰富。大块面的图案强调视觉强烈的冲击效果，热烈奔放；小面积的图案起到延续视觉

的效果，形成丰富变化，层次多样的呼应效果，也可作为大面积图案相映衬。中国传统的织锦图案有很多是六角形、菱形、回字纹、寿字纹等，庄重典雅、古香古色。随着现代服装工业技术的发展，已经可以创造出更多、更抽象、更夸张，装饰效果更强的几何图案，以满足现代人张扬个性，突显自我的需求，还可以利用不同色彩、不同材质的面料，作成几何块面在服装上拼接，或用在服装造型或配饰中，构成横条、竖条、斜条、交叉条等形式，给人以庄重、简洁、潇洒之感。（图1）中国传统几何图案组合： 1、八达晕、天花、宝照等图案单位较大的复合几何纹基本骨骼由图形和米字格套合连而续成，并在古格内填充花卉和细几何纹。这类花纹只少量用于服装。

五年级奥数平面几何图形的面积计算.

第17讲平面图形的计算（一）例1．图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米）例2．计算右图的面积。（单位：厘米）例3．如图，已知四条线段的长分别是：AB=2厘米，CE=6厘米，CD=5厘米，AF=4厘米，并且有两个直角。求四边形ABCD的面积。例4．右图是两面三刀个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：分米）例5．下页左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10，中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么，有草部分（阴影部分）的面积有多大？（单位：米）

练习与思考 1．求图中阴影部分的面积。 2．求图中阴影部分的面积。 3．下左图的长方形中，三角形ADE与四边形DEBF和三角形CDF的面积分别相等，求三角形DEF的面积。 4．四中平等四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形BCE的直角边EC长8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求CF的长。 5．图中三角形的高为4，面积为16；长方形的宽为6，长方形的面积是三角形面积的多少倍？

6．如图，长方形的长是8，宽是6，A和B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。 7．如图，BC长为5，求画斜线的两个三角形的面积之和。 8．上右图是两个一样的直角三角形重叠在一起，按照图上标出的数，计算阴影部分的面积。 9．右图是一块长方形草地，长方形长为16，宽为12，中间有一条宽为2的道路，求草地（阴影部分）的面积。

简便计算作业（12月23日）： 1.996+19.97+199.8 2.89?4.68+4.68?6.11+4.68 75?4.7+15.9?25 平均数问题作业（12月23日）： 1.已知九个数的平均数是7 2.去掉一个数之后，余下的数的平均数是78。去掉的数是多少？ 2.甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植树18棵，甲、丙两组平均每组植树17棵，乙、丙两组平均每组植树19棵。三个小组各植树多少棵？ 3.五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？ 4.把五个数从小到大排列，其平均数是38。前三个数的平均数是27，后三

不规则图形面积与周长

学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。学科培优数学 “不规则图形面积与周长” 学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位几何是历届小升初和各杯赛的必考知识点，在奥数中，几何不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生。本讲基于一般的规则图形周长与面积之基础上，重点讲解不规则图形面积与周长的求解方法。针对这些不规则图形，常常通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系。由于本讲基于基本图形的变形之上，所以在讲解本讲之前有必要先复习一下常见几何图形的面积和周长的求解公式。然后通过生活实例或教学模具逐渐引出本讲专题，使学生领悟分割、拼补、旋转等转换思想。几何问题就像看图说话，需要掌握其中的玄妙。

知识梳理一、不规则图形面积与周长我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形。它们的面积及周长都有相应的公式直接计算，如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？针对这些图形，我们可以变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等方法将它们转化为基本图形的和、差关系。有时也可利用公式的变形，比如巧用半径的平方。我们知道，要计算圆的面积通常要知道半径，有的时候题目不知道半径，根据其他条件也能求出圆的面积。一般的，两个可以完全重合的图形的面积相等；图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。通过转换思想，复杂问题经常要化繁为简，从最简单的情况开始，找出其中规律，归纳总结到一般情形。【授课批注】

初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析

初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析一、选择题 1．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（） A ．主视图 B ．俯视图 C ．左视图 D ．一样大【答案】C 【解析】如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成，左视图是由3个小正方形组成，俯视图是由5个小正方形组成，故三种视图面积最小的是左视图，故选C ． 2．如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm ，宽留出1,cm 则该六棱柱的侧面积是（） A ．210824(3) cm - B ．(2 108123cm - C ．(2 54243cm - D ．(2 54123cm - 【答案】A 【解析】【分析】设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，分别表示出挪动前后所在矩形的长与宽，由题意列出方程求出a ＝2，h ＝9?36ah 求解．【详解】解：设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，

如图，正六边形边长AB ＝acm 时，由正六边形的性质可知∠BAD ＝30°， ∴BD ＝ 12a cm ，AD ＝32 a cm ， ∴AC ＝2AD ＝3a cm ， ∴挪动前所在矩形的长为（2h ＋23a ）cm ，宽为（4a ＋ 1 2 a ）cm ，挪动后所在矩形的长为（h ＋2a ＋3a ）cm ，宽为4acm ，由题意得：（2h ＋23a ）?（h ＋2a ＋3a ）＝5，（4a ＋1 2 a ）?4a ＝1， ∴a ＝2，h ＝9?23， ∴该六棱柱的侧面积是6ah ＝6×2×（9?23）＝210824(3) cm -；故选：A ．【点睛】本题考查了几何体的展开图，正六棱柱的性质，含30度角的直角三角形的性质；能够求出正六棱柱的高与底面边长是解题的关键． 3．将一副三角板如下图放置，使点A 落在DE 上，若BC DE P ，则AFC ∠的度数为（） A ．90° B ．75° C ．105° D ．120° 【答案】B 【解析】【分析】根据平行线的性质可得30E BCE ==?∠∠，再根据三角形外角的性质即可求解AFC ∠的度数．【详解】

简单几何图形的面积计算

第二讲简单几何图形的面积计算一．常用的基本公式： 1．正方形的边长为a ，则正方形的面积是S =a 2； 2．长方形的长与宽分别是a 、b ，则长方形的面积是S =a ×b 。 3．平行四边形的底边长为a ，高为h ，则面积是S =a ×h 。 4．三角形的三条边长分别为a 、b 、c ，在它们上的高分别是h a 、h b 、h c ，则三角形的面积S =a ×h a ÷2= b ×h b ÷2= c ×h c ÷2。 5．梯形的上底为a ，下底为b ，高为h ，则梯形的面积是(a +b )×h ÷2。 6．圆的半径为r ，则圆的面积是S =π×r 2。其中π=3.14159265…。二．几种常用的求面积的方法： 1．直接利用公式计算； 2．列出方程求图形的面积； 3．添加辅助线计算图形面积； 4．利用割补的办法变化图形，计算图形的面积。 5．用相等面积变换计算图形的面积。（同底等高问题，等底等高问题）三．例题讲解：例1．如图，一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个长方形的面积分别是15、18、30公顷，则图中阴影部分的面积是公顷。解：由题意知，a ×c =15，b ×c =18，b ×d =30，所以a ×d =(a ×c )×(b ×d )÷(b ×c )=15×30÷18=25(公顷)。例2．如图所示，三角形ABC 是直角三角形，ACD 是以A 圆心，AC 为半径的扇形，图中阴影部分的面积是。（π取3.14） 6cm 6cm D C B A 解：阴影部分的面积是三角形面积减去扇形的面积，三角形ABC 的面积=6×6÷2=18，扇形的面积是圆的面积的八分之一，所以扇形面积是π×6×6÷8=4.5×π=14.13，所以阴影部分的面积是18–14.13=3.87（平方厘米）。

不规则图形面积的计算(一)

不规则图形面积的计算（一）我们曾经学过三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形等基本图形（也叫规则图形）的面积计算，但在实际问题中，有些图形的面积是由一些基本图形通过组合、平凑而成的，他们的面积及周长无法用公式直接计算，我们通常称这些图形为不规则图形。那么，我们怎样计算不规则图形的面积和周长呢？我们一般是将这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，从而较轻松的解决问题。【例1】如图，正方形的边长是4，求阴影部分面积【分析】正方形的对角线将正方形平分，又因所截其直线平行于正方形的边，故阴影和空白处的面积相等。【例2】如图，ABCD为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E、F分别为AB、AD中点，且FG=2GE。求阴影部分的面积。【分析】由FG=2GE可知，G点是线段EF的三等分点，故阴影部分的面积是

三角形CEF面积的三分之一。【例3】如图，平行四边形ABCD的边长BC=10，直角三角形BCE的直角边EC=8，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10。求CF的长。【分析】本题看似没有思路，重要是要理清各个面积之间的联系。提示语对于求不规则图形的面积，首先要看清题目所给的条件，及通过题目所给条件可以得出什么？一般利用加辅助线，可以通过剪、拼、凑的方法得出答案。，自己练 1、求下列图形阴影部分面积：单位：厘米

2、解答题：直角梯形ABCD的上底BC=10厘米，下底AD=14厘米，高CD=5厘米。又三角形ABF、三角形BCE和四边形BEDF的面积相等。求三角形DEF的面积。（3）、有一三角形纸片沿虚线折叠到右下图，他的面积与原三角形面积之比为2：3，已知阴影部分的面积为5平方厘米。求原三角形面积。【提高题】求阴影部分面积（字母是为解题方便加的）

苏教版数学五年级上册《不规则图形面积的估算》说课稿

苏教版数学五年级上册《不规则图形面积的估算》说课稿一、说内容：不规则图形面积的估算。二、说教材：本节教学内容是不规则图形面积的估算。这部分是在部分学生掌握各种简单的平面图形面积和‘分割法’，‘添补法’的基础上进行学习的。例5创设情境，让学生估算树叶的面积，激发学生的想象力和学习兴趣，学生利用“数方格”的方法和把不规则图形看成一个近似规则的图形的方法估算树叶的面积。教材以对话的形式分析估算的过程，简单明了，是学生更容易理解。说目标： 1、能正确估算不规则图形面积的大小，能用数方格的方法或把他看成一个近似的规则图形的方法，估算出一些不规则图形的面积。 2、能借助方格估算不规则图形的面积，在估算面积的过程中，体验解决问题策略的多样性，培养初步的估算意识和估算习惯，体验估算的重要性和必要性。 3、体会数学与现实生活的密切联系，感受数学应用价值。说重点：利用方格图估计不规则图形的面积。说难点：把不规则的图形看成规则的图形进行面积估算。三、说教学情况分析：在实际生活中，经常会接触到各种各样的不规则图形，有很多图形很难看出难以基本的图形，这就给学生解决问题设置了障碍，需要学生灵运用各种方法去尝试解决问题。 1、创设情境，变“不愿估算”为“喜欢估算”。在教学中要我努力创设现实、有趣、富有挑战性的情境，让学生在具体的情境中改变对估算的态度。例如：创设树叶的面积计算，激发学生估算图形面积的热情，引发学生探索“多种方法、尝试估算”的欲望。创设“土地面积”的生活情境，焕发学生解决生活问题的意识。这一切情境的呈现，学生对估算产生了极大的兴趣，从而更自觉地投入到探究活动中。 2、感悟方法，变“不会估算”为“创造性地估算”。估算是一种开放性的创造活动，往往带有许多不确定性。如何根据条件来估算，如何提取主要信息，哪些信息可以忽略不计，这些技能的形成贯穿于学习全过程。在教学中，我根据学生知识水平教给一些基本的估算方法，让他们在实际运用的过程中感悟内化形成较熟练的估算方法。一、说教学过程与教学资源设计。 1、引入新课教师：我们先来计算一下课件上的几个几何图形的面积。学生：树叶的面积没学过。教师：树叶是一个不规则图形，没有学过，不能算出它的面积，所以不能完成任务。那么大家有没有兴趣探究一下生活中不规则图形的面积的计算方法呢？（板书课题）在此我设置拦路虎激发学生提出问题的方式，激发学生的学习兴趣，同时让学生了解规则图形与不规则图形的区别，为新课学习做准备。二、探究新知 1．探究估计不规则图形面积的方法（1）数方格估算面积教师：怎样计算不规则图形的面积呢？为了方便我们研究，我们先来研究这样一个不规则图形。（教师拿出如图的不规则图形）

人教版初中数学几何图形初步经典测试题及答案

人教版初中数学几何图形初步经典测试题及答案一、选择题 1．下列图形中1∠与2∠不相等的是( ) A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】【分析】根据对顶角，平行线，等角的余角相等等知识一一判断即可．【详解】解：A 、根据对顶角相等可知，∠1=∠2，本选项不符合题意． B 、∵∠1+∠2=90°，∠1与∠2不一定相等，本选项符合题意． C ．根据平行线的性质可知：∠1=∠2，本选项不符合题意． D 、根据等角的余角相等，可知∠1=∠2，本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质对顶角的性质，等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（） A ． B ．

C．D．【答案】D 【解析】【分析】根据三视图可判断这个几何体的形状；再由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：根据三视图可判断这个几何体是圆柱；D选项平面图一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．A选项平面图折叠后是一个圆锥；B选项平面图折叠后是一个正方体；C选项平面图折叠后是一个三棱柱. 故选：D. 【点睛】本题考查由三视图判断几何体及展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键． 3．如图是由四个正方体组合而成，当从正面看时，则得到的平面视图是（） A．B． C．D．【答案】D 【解析】【分析】根据从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．根据图中正方体摆放的位置判定则可．【详解】解：从正面看，下面一行是横放3个正方体，上面一行最左边是一个正方体．故选：D．【点睛】

小学五年级逻辑思维学习—不规则图形面积与周长

小学五年级逻辑思维学习—不规则图形面积与周长知识定位几何是历届小升初和各杯赛的必考知识点，在奥数中，几何不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生。本讲基于一般的规则图形周长与面积之基础上，重点讲解不规则图形面积与周长的求解方法。针对这些不规则图形，常常通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系。由于本讲基于基本图形的变形之上，所以在讲解本讲之前有必要先复习一下常见几何图形的面积和周长的求解公式。然后通过生活实例或教学模具逐渐引出本讲专题，使学生领悟分割、拼补、旋转等转换思想。几何问题就像看图说话，需要掌握其中的玄妙。知识梳理一、不规则图形面积与周长我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形。它们的面积及周长都有相应的公式直接计算，如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？针对这些图形，我们可以变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等方法将它们转化为基本图形的和、差关系。有时也可

利用公式的变形，比如巧用半径的平方。我们知道，要计算圆的面积通常要知道半径，有的时候题目不知道半径，根据其他条件也能求出圆的面积。一般的，两个可以完全重合的图形的面积相等；图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。通过转换思想，复杂问题经常要化繁为简，从最简单的情况开始，找出其中规律，归纳总结到一般情形。【授课批注】不规则图形有时也称为组合图形，其重点在于掌握转换这一伟大思想，很多较复杂的问题都是以简单的基本图形为基础的，当然也都可以根据几何图形的特征，通过分割、割补、平移、翻折、对称、旋转等方法，化复杂为简单，变组合图形为基本图形的加减组合。【重点难点解析】 1．一般图形问题的面积和周长公式。 2．巧求周长与面积的基本方法。 3．理解并掌握割补、平移等数学思想方法。【竞赛考点挖掘】 1．杯赛考试中出现的几何问题多数需要进行适当的转换。 2．辅助线的巧妙利用能够有效提高做题速度。 3．割补法、平移法、旋转法、差不变等解题技巧。例题精讲【题目】计算右面图形的周长(单位：厘米)。

小学几何图形面积计算综合

几何图形一．视图和对称图形 1.如图，将图沿线折成一个立方体，它共顶点的三个面上的数字之积最大是________。（15年高新） 2.如图，一个几何体上半部分为正四棱锥，下半部分为正方体，且一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（）。（14年工大） 3. 一个正方形积木（如图），每两个相对的面数字之和是9，请在这个正方形积木的展开图上填入适当的数字。（11年高新） 4.下面( )号图是正方体的展开图。（16年交大） 5.有一个用正方体木块搭成的立体图形，从前面看和从左面看分别是如下图形，则要摆成这样的立体图形，至少要用( )个正方体木块。（13年交大） A.7块 B．无法确定 C.5块 D.6块 6. 在下面形状的硬纸片中，把它按照虚线折叠，能折成一个正方体的是( ) 。（16年交大） 7. 如果用口表示一个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体

叠加，那么右图是由7个立方体叠加的几何体，从上面观察可画出的平面图形是( )。（15年工大） 8. 下列图形中为正方体的平面展开图的是( )。 9. 从各个不同的方向观察如图所示的实物几何体，不可能看到的视图是( ) 。（16年工大） 10.一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图(从上面看)与主视图(从前面看)如图所示，则组成这个几何图形的小正方块最多有( )。 A.7个 B.6个 C.5个 D.4个 11.国庆期间举行“我们是中国人，我们爱自己的祖国”活动，小明自己刻一枚如图所示的印章，下面四个图案中用这枚印章印制的是（）。（16年交大） 12.如图，把一次性纸杯沿着它侧面的粘贴缝剪开，则它的侧面展开图可能是下面的( ) 。（16年工大）

不规则图形的面积估算

不规则图形的面积宁波市孙文英小学邵颖教学内容：人教版2014年9月发布的新教材五上P100. 教材简介：本课是人教版新教材五年级上册，多边形面积单元的新增内容。是在学生掌握了基本图形面积计算，以及组合图形面积计算之后。新增的估计叶子的面积这一不规则图形面积的估计与计算内容，以此提高学生综合应用的意识和能力。教材编写特点中，突出了在解决实际问题中，渗透面积估计的策略思想。教材呈现了用数格子的方法估计不规则图形的面积，根据图形特点转化为近似的规则图形估算，为了使估计的结果更为准确，教材提供了更为细化的处理方法。让学生体验单位面积细化的过程，从中积累数学活动经验和方法。这是课程标准提出的培养估算能力在图形与几何中的应用，也是估算思想的体现，在估计不规则图形面积的过程中提高学生的空间观念。教学目标： 1、借助数方格的方法计算不规则图形的面积，并能估计它的大小，逐步形成空间观念。 2、结合实际问题的解决，培养用多种策略解决问题，提高学生综合应用的意识和能力。 3、通过实践操作、合作交流，帮助学生积累活动经验，感受数学思想。教学过程：一、问题的提出 1、如何计算不规则图形的面积？（1）这片叶子的形状不规则，你能估计一下它的面积吗？（2）借助1平方分米的正方形纸进行对比确定面积范围。（3）如何进一步估计叶子的面积更接近准确值？（4）学生借助格子图尝试估一估。二、分析解决问题 1、学生思路展示（实物投影）学生作品展示，生生互评提炼方法。（1）数格子的方法

学生数出整格和半格的数量进行估计。根据学生的反馈，适当引导学生用区间的方式去思考图形面积的最大值和最小值，有一个大致的范围。进一步估计，可以把不满一格的看成半格来算。（2）转化的方法根据学生展示的转化成的长方形和平行四边形等图形来估计的情况，进行比较分析，怎样估得更接近？ 2、进一步分析与思考如果想进一步估计出叶子的面积有什么好办法？把1平方厘米的小格再进行细分，那么又会怎样呢？在1平方厘米的格子的基础上再进行细分，让学生感受单位面积细分与估计结果的关系。比较我们估计得过程，让学生根据三次估计的图进行分析比较，感受随着单位面积的细化估计结果更接近准确面积。随着整格面积不断增加，估计结果也更接近。 3、小结回顾我们刚才解决问题的过程，你有哪些经验可以和同学们分享？三、综合解决问题 1.专项练习（1）估一估脚掌的面积（每个小正方形的边长为1厘米）你猜猜是多大孩子的脚掌啊？那你能估一估这个脚掌的面积有多大？（婴儿的脚掌：24——50平方厘米）（出示两个长方形，是最大值和最小值）看看这两个长方形，你有什么发现？猜一猜，下面两种脚印会是谁的呢？ ① 120～150平方厘米② 240～320平方厘米前者是幼儿园小朋友的，后者是我们小学生的。 2.解决问题这个游泳池的占地面积大约是多少呢？面积在280平方厘米左右。

难点8 “不规则”几何体的三视图问题

难点8 “不规则”几何体的三视图问题 1.放置方式的“不规则” 典例1 一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A.48 B.32+8 C.48+8 D.80 答案C 解析由三视图可得该几何体是一个直四棱柱.如图,直四棱柱ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 .因为放置方式上的“不规则”,把直四棱柱的一个侧面放置在水平面上而不是把底面放置在水平面上,可能在脑海里会形成“不规则”几何体的形象,它实际上是一个常见的规则几何体.由三视图可得该直四棱柱的底面是一个上底边长为2,下底边长为4,高为4的等腰梯形,侧棱长是4,所以计算可得答案是C. 点拨以上两道题的难度虽然不大,但是如果不清楚几何体的放置方式,解决起来有一定的难度,所以同学们在平时学习中要从放置方式的变化上去认识一些规则几何体对应的三视图. 对点练某四面体的三视图如图所示,在该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是( )

A.2 B.4 C.2+ D.4+2 答案 C 由三视图可得原几何体如图所示,由三视图知该几何体的高为2,底面ABC 是直角边长为2的等腰直角三角形,平面P AC⊥平面ABC,∠ACB=90°,则BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC, 所以直角三角形有△PBC 和△ACB,易求得PC==,又BC=2,所以S △PBC =×2×=, 又S △ABC =×2×2=2,所以该四面体的四个面中,直角三角形的面积和为2+,故选C. 2.“残缺”的几何体典例2 棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是( ) A. B.4 C. D.3 答案 B 解析由题意和三视图得,该几何体是由如图所示的平面A 1ECF 截正方体所得到的(其中E 、F 分别为BB 1、DD 1的中点).根据对称性知,所求几何体的体积为正方体体积的一半,所以该几何体的体积为×23=4.故选B.

六年级平面图形的面积计算总复习题

小学六年级数学总复习（十）班级_______姓名__________ 得分__________ 复习内容：①平面图形的周长计算②平面图形的面积计算一、填空 1. （）就是这个图形的周长，计算周长用（）单位。（），叫做它们的面积，计算面积用（）单位。 2.填表： ①图形名称长宽周长面积 2.4米0.5米长方形 1.8分米10分米 15厘米300平方厘米边长4.5厘米正方形18分米 ②图形名称底（厘米）高（厘米）面积（平方厘米） 8.5 4 平行四边形7.6 30.2 三角形 2.7 1.4 7 21 上底24 梯形下底32 224 ③图形名称半径直径周长面积 3厘米圆 1分米 12.56米 3. 一个平行四边形的面积是18平方分米，与它等底等高的三角形面积是（）平方厘米 4. 一张长10分米，宽6分米的长方形纸片，最多能剪（）个直径为2分米的圆片。 5. 用3个边长是10厘米的正方形拼成一个长方形，长方形的面积是（），周长是（）。 6. 圆的半径扩大5倍，它的直径扩大（）倍，周长扩大（）倍，面积扩大（）倍。 7. 一个半圆直径是4厘米，它的周长是（）厘米，面积是（）平方厘米。 8. 一张正方形纸上下对折，再左右对折，得到的图形是（）形，它的面积是原正方形的

() ()，它的周长是原正方形的() ()。 9. 在右图1中，∠1 = 30°，∠2 =（）。 10. 在右图2中，正方形的面积是9平方分米，这个圆的周长是（）厘米，面积是（）平方厘米。 1. 右图中长方形面积（）平行四边形面积。 A、大于 B、小于 C、等于 D、不能确定 2. 用一条长16厘米的铁丝围成一个长方形，如果长和宽都是质数，它的面积是（）平方厘米。 A、6 B、10 C、15 D、21 3. 右图由六个边长为1厘米的正方形组成的长方形，阴影部分的面积是（）。 A、6平方厘米 B、3平方厘米 C、1.5平方厘米 D、1平方厘米 4. 在一个正方形中画一个最大的圆，它们的周长比较：（）。 A、一样长 B、圆的周长长 C、正方形的周长长 D、无法确定 A 5. 如右图所示，AD = 1/2DC，AE = BE，那么三角形ABC的面积是三角形ADE面积的 D （）倍。 E A、6 B、5 C、4 D、3 B C 三、先测量计算下面图形周长和面积所需要的数据（精确到0.1厘米），再分别计算出它们的周长和面积。

不规则几何体体积计算中的三钟方法例析

体积计算中的常用方法一、转换法当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．例1 在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是棱11111A B A D A A ，，上的点，且满足1111 2 A M A B = ，112A N ND =，113 4 A P A A = （如图1），试求三棱锥1A MNP -的体积．分析：若用公式1 3 V Sh = 直接计算三棱锥1A MNP -的体积，则需要求出MNP △的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥 1A MNP -的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥1P A MN -的体积，便能很容易的求出其高和底面1A MN △的面积，从而代入公式求解．解： 1113111111111231 3323223424 A MNP P A MN A MN V V S h A M A N A P a a a a --===?=??=△·······．评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据．二、分割法分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．例2 如图2，在三棱柱111ABC A B C -中，E F ，分别为AB AC ，的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．分析：截面11EB C F 将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台 111AEF A B C -；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．解：设棱柱的底面积为S ，高为h ，其体积V Sh =．