答案控制系统的状态空间描述习题解答

第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答

系统的结构如图所示。以图中所标记的1x 、2x 、3x 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u 、y 分别为系统的输入、输出，1α、2α、3α均为标量。

3

x 2

x 图系统结构图

解 图给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。

着眼于求和点①、②、③，则有

①：2111x x x +=α& ②： 3222x x x +=α&③：u x x +=333α&

输出y 为1y x du =+，得

1112223331000100

1x a x x a x u x a x ??

??????

????????=+????????????????????????

&&& []123100x y x du x ??

??=+??

????

已知系统的微分方程 (1) u y y y y 354=+++&&&&&&

；(2) u u y y -=+&&&&&&32； (3) u u y y y y 75532+=+++&&&&&&&&&

。试列写出它们的状态空间表达式。 (1) 解 选择状态变量1y x =，2y

x =&，3y x =&&，则有：

1223

31231

543x x x x x x x x u y x =??=??

=---+??=?&&& 状态空间表达式为：[]112233123010000105413100x x x x u x x x y x x ????????????????=+????????????????---????????

????=??????

&&&

(2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件

下取拉氏变换得：

3222332()3()()()

11()12

23()232

s Y s sY s s U s U s s Y s s U s s s s s

+=---==++ 由公式、可直接求得系统状态空间表达式为

1122330100001031002x x x x u x x ??

????????????????=+?

?????????????????????-??

??

&&& 123110

2

2x y x x ??????

=-

??????????

(3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初试条件

下取拉氏变换得：

323()2()3()5()5()7()s Y s s Y s sY s Y s s U s U s +++=+

332

()57

()235

Y s s U s s s s +=+++ 在用传递函数求系统的状态空间表达式时，一定要注意传递函数是否为严格真有理分式，即m 是否小于n ，若m n =需作如下处理

323232()57101518

5()235235

Y s s s s U s s s s s s s +---==+++++++ 再由公式、可直接求得系统状态空间表达式为

112233010000105321x x x x u x x ??

??????????????=+????????????????---????????&&& []1231005x y x u x ??

??=+??????

已知下列传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状态变量图。

(1)3321()6116s s g s s s s ++=+++ (2)232

23

()231

s s g s s s s ++=+++ (1) 解

首先将传函(1)化为严格真有理式即：

232()6105()11()()6116

Y s s s g s g s U s s s s ---'==+=++++

令()

()()

Y s g s U s ''=

'，则有 123

123

6105()()16116s s s Y s U s s s s

---------''=+++， 123

1

()()

16116E s U s s s s ---''=+++，

即：

1231

2

3

()()6()11()6()()6()10()5()

E s U s s E s s E s s E s Y s s E s s E s s E s ------'=---'=---

由上式可得状态变量图如下：

由状态变量图或公式、直接求得能控标准型状态空间表达式

1122330100001061161x x x x u x x ????????????????=+????????????????---????????

&&& []123x y x u x ??

??+??

????

=-6-11-6

(2) 解 由已知得：

123

123

23()()123s s s Y s U s s s s

------++=+++， 令： 123

1

()()

123E s U s s s s ---=+++，

得： 1231

2

3

()()2()3()()()()2()3()

E s U s s E s s E s s E s Y s s E s s E s s E s ------=---=++

状态变量图如下：

状态表达式如下：

112233010000101321x x x x u x x ????????????????=+????????????????---??

??????

&&& []123321x y x x ??

??=??

????

列写图所示系统的状态空间表达式。

图

解 设 11()()x s y s = (7) ； 22()()x s y s = (8) 则由系统方框图 2.10P 可得：[]

112()()()c

x s u s x s s a

=-+ (9) []221()()()d

x s u s x s s b

=-+ (10)

对式()()710-进行拉氏反变换得

112121221122()()()()()()()()()()()()

x t ax t cx t cu t x t dx t bx t du t y t x t y t x t =--+=--+==&&

则系统状态空间表达式为

1112221122001001x x u a c c x x u d b d y x y x --??????

????=+??????????--??????????

??????=???????

?????

&&

已知系统的状态空间表达式为

[]512315124u y u

--????

=+????-????=+&x x x 求其对应的传递函数。

解

5131--??=??-??A ，25??

=??

??

B ，[]12=

C ，4d = 1()()g s sI d -=-+C A B

1

5131111

()35(5)(1)3s s s s s s s s -+??-=??

-+??

+-??-=

??++++??

I A I A

[]122

()()1121

124355(2)(4)4369168

g s s d

s s s s s s s s -=-++-????=+????+++????

++=++C I A B

7状态空间设计法极点配置观测器解析

第7章线性定常离散时间状态空间设计法 7.1引言 7.2状态反馈配置极点 7.3状态估值和状态观测器 7.4利用状态估值构成状态反馈以配置极点 7.5扰动调节 7.6无差调节

7.1 引言 一个被控对象： (1)()()()() ():1,():1,:,:,:x k Fx k Gu k y k Cx k x k n u k m F n n G n m C r n +=+?? =?????? 7.1 当设计控制器对其控制时，需要考虑如下各因素： ● 扰动，比如负载扰动 ● 测量噪声 ● 给定输入的指令信号 ● 输出 如图7.1所示。 给d L (k )扰动 图7.1 控制系统示意图 根据工程背景的不同，控制问题可分为调节问题和跟踪问题，跟踪问题也称为伺服问题。 调节问题的设计目标是使输出迅速而平稳地运行于某一平衡状态。包括指令变化时的动态过程，和负载扰动下的动态过程。但是这二者往往是矛盾的，需要折衷考虑。 伺服问题的设计目标是对指令信号的快速动态跟踪。 本章研究基于离散时间状态空间模型的设计方法。 7.2研究通过状态变量的反馈对闭环系统的全部特征值任意配置——稳定性与快速线。 7.3考虑当被控对象模型的状态无法直接测量时，如何使用状态观测器对状态进行重构。 7.4讨论使用重构状态进行状态反馈时闭环系统的特征值。 7.5简单地讨论扰动调节问题。 7.6状态空间设计时的无差调节问题。

7.2 状态反馈配置极点 工程被控对象如式7.1，考虑状态反馈 ()()()u k v k Lx k =+ 7.2 如图7.2所示。式7.2带入式7.1，得 (1)()()()() ()()()x k Fx k Gu k y k Cx k u k v k Lx k +=+?? =??=+? 7.3 整理得 ()(1)()() ()()x k F GL x k Gv k y k Cx k +=++?? =? 7.4 (k ) v (k ) 图7.2 状态反馈任意配置闭环系统的极点 闭环系统的特征方程为 []det ()0zI F GL -+= 7.5 问题是在什么情况下式7.5的特征根是可以任意配置的？即任给工程上期望的n 个特征根λ1, λ2, ..., λn ，有 []1det ()()0n i i zI F GL z λ=-+=-=∏ 7.6 定理：状态反馈配置极点

控制系统的状态空间分析与综合

第8章控制系统的状态空间分析与综合 第1~7章涉及的内容属于经典控制理论的范畴，系统的数学模型是线性定常微分方程和传递函数，主要的分析与综合方法是时域法、根轨迹法和频域法。经典控制理论通常用于单输入－单输出线性定常系统，其缺点是只能反映输入－输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构和运行状态，不能有效处理多输入－多输出系统、非线性系统、时变系统等复杂系统的控制问题。 随着科学技术的发展，对控制系统速度、精度、适应能力的要求越来越高，经典控制理论已不能满足要求。1960年前后，在航天技术和计算机技术的推动下，现代控制理论开始发展，一个重要的标志就是美国学者卡尔曼引入了状态空间的概念。它是以系统内部状态为基础进行分析与综合的控制理论，两个重要的内容如下。 （1）最优控制：在给定的限制条件和评价函数下，寻求使系统性能指标最优的控制规律。 （2）最优估计与滤波：在有随机干扰的情况下，根据测量数据对系统的状态进行最优估计。 本章讨论控制系统的状态空间分析与综合，它是现代控制理论的基础。 8.1 控制系统的状态空间描述 8.1.1 系统数学描述的两种基本方法 统的内部结构和内部变量，如传递函数；另一种是状态空间描述（内部描述），它是基于系统内部结构的一种数学模型，由两个方程组成。一个反映系统内部变量x和输入变量u间的关系，具有一阶微分方程组或一阶差分方程组的形式；另一个是表征系统输出向量y与内部变量及输入变量间的关系，具有代数方程的形式。外部描述虽能反映系统的外部特性，却不能反映系统内部的结构与运行过程，内部结构不同的两个系统也可能具有相同的外部特性，因此外部描述通常是不完整的；内部描述则能全面完整地反映出系统的动力学特征。

状态空间法教案

一、问题引入 结合一些典型问题（分油问题）提出问题： 我们是怎样解决这些问题的？在人工智能领域又可以通过怎样的方法去解决呢？（状态空间法） 2、引导学生思考问题，并得出结论。 二、讲授新课 （一）基础知识部分 1、什么是状态空间法？ 许多问题求解方法是采用试探搜索方法的。也就是说，这些方法是通过在某个可能的解空间内寻找一个解来求解问题的。这种基于解答空间的问题表示和求解方法就是状态空间法，它是以状态和算符(operator)为基础来表示和求解问题的。 2、状态空间法三要点 1) 状态（state）：表示问题解法中每一步问题状况的数据结构； 2) 算符（operator）：把问题从一种状态变换为另一种状态的手段； 3) 状态空间方法：基于解答空间的问题表示和求解方法，它是以状态和算符为基础来表示和求解问题的。

由上可知，对一个问题的状态描述，必须确定3件事： 1) 该状态描述方式，特别是初始状态描述； 2) 操作符集合及其对状态描述的作用； 3) 目标状态描述的特性。 问题的状态空间可用一个三元序组来表示： S：问题的全部初始状态的集合 F：操作的集合 G：目标状态的集合 4、用状态空间表示问题的步骤： 1）定义状态的描述形式 2）用所定义的状态描述形式把问题所有可能的状态都表示出来，并确定初始状态和目标状态的集合描述 3）定义一组算符，使得利用这些算符可以把问题由一个状态转为另一个状态。 4）利用状态空间图表示求解过程。 （二）实践应用部分

【分油问题】有A、B、C三个不带刻度的瓶子，分别能装8kg, 5kg和3kg油。如果A瓶装满油，B和C是空瓶，怎样操作三个瓶，使A中的油平分两份？(假设分油过程中不耗油) 解：第一步：定义问题状态的描述形式： 设Sk=(b,c)表示B瓶和C瓶中的油量的状态。 其中： b表示B瓶中的油量。 c表示C瓶中的油量。 初始状态集：S={(0,0)} 目标状态集：G={(4,0)} 第二步：定义操作符： 操作：把瓶子倒满油，或把瓶子的油倒空。 f1：从A瓶往B瓶倒油，把B瓶倒满。 f2：从C瓶往B瓶倒油，把B瓶倒满。 f3：从A瓶往C瓶倒油，把C瓶倒满。 f4：从B瓶往C瓶倒油，把C瓶倒满。

答案 控制系统的状态空间描述 习题解答

第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答 系统的结构如图所示。以图中所标记的1x 、2x 、3x 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u 、y 分别为系统的输入、输出，1α、2α、3α均为标量。 3 x 2 x 图系统结构图 解 图给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。 着眼于求和点①、②、③，则有 ①：2111x x x +=α& ②： 3222x x x +=α&③：u x x +=333α& 输出y 为1y x du =+，得 1112223331000100 1x a x x a x u x a x ?? ?????? ????????=+???????????????????????? &&& []123100x y x du x ?? ??=+?? ???? 已知系统的微分方程 (1) u y y y y 354=+++&&&&&& ；(2) u u y y -=+&&&&&&32； (3) u u y y y y 75532+=+++&&&&&&&&& 。试列写出它们的状态空间表达式。 (1) 解 选择状态变量1y x =，2y x =&，3y x =&&，则有：

1223 31231 543x x x x x x x x u y x =??=?? =---+??=?&&& 状态空间表达式为：[]112233123010000105413100x x x x u x x x y x x ????????????????=+????????????????---???????? ????=?????? &&& (2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件 下取拉氏变换得： 3222332()3()()() 11()12 23()232 s Y s sY s s U s U s s Y s s U s s s s s +=---==++ 由公式、可直接求得系统状态空间表达式为 1122330100001031002x x x x u x x ?? ????????????????=+? ?????????????????????-?? ?? &&& 123110 2 2x y x x ?????? =- ?????????? (3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初试条件 下取拉氏变换得： 323()2()3()5()5()7()s Y s s Y s sY s Y s s U s U s +++=+

(整理)控制系统的状态空间模型

第一章控制系统的状态空间模型 1.1 引言 工程系统正朝着更加复杂的方向发展，这主要是由于复杂的任务和高精度的要求所引起的。一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合,可能是时变的。由于需要满足控制系统性能提出的日益严格的要求，系统的复杂程度越来越大，为了分析这样的系统，必须简化其数学表达式，转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计算,并且要求能够方便地用大型计算机对系统进行处理。从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。大约从1960年升始发展起来。这种新方法是建立在状态概念之上的。状态本身并不是一个新概念，在很长一段时间内，它已经存在于古典动力学和其他一些领域中。 经典控制理论是建立在系统的输入-输出关系或传递函数的基础之上的，而现代控制理论以n个一阶微方程来描述系统，这些微分方程又组合成一个一阶向量-矩阵微分方程。应用向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。状态变量、输入或输出数目的增多并不增加方程的复杂性。事实上，分析复杂的多输入-多输出系统，仅比分析用一阶纯量微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。 本课程将主要涉及控制系统的基于状态空间的描述、分析与设计。本章将首先给出状态空间方法的描述部分。将以单输入单输出系统为例，给出包括适用于多输入多输出或多变量系统在内的状态空间表达式的一般形式、线性多变量系统状态空间表达式的标准形式(相变量、对角线、Jordan、能控与能观测)、传递函数矩阵，以及利用MA TLAB进行各种模型之间的相互转换。第二章将讨论状态反馈控制系统的分析方法。第三章将给出系统的稳定性分析。第四章将给出几种主要的设计方法。 本章1.1节为控制系统状态空间分析的引言。1.2节介绍状态空间描述1.3节讨论动态系统的状态空间表达式。1.4状态空间表达式的标准形式。1.5 介绍系统矩阵的特征值基本性质.1.6讨论用MATLAB进行系统模型的转换问题。 1.2控制系统的状态空间描述 状态空间描述是60年代初，将力学中的相空间法引入到控制系统的研究中而形成的描述系统的方法，它是时域中最详细的描述方法。 特点：1.给出了系统的内部结构信息. 2.形式上简洁,便于用数字计算机计算. 1.2.1 状态的基本概念 在介绍现代控制理论之前，我们需要定义状态、状态变量、状态向量和状态空间。

第三章 知识的状态空间表示法

第三章知识的状态空间表示法 1 课前思考： 人类的思维过程，可以看作是一个搜索的过程。 某个方案所用的步骤是否最少？也就是说它是最优的吗？如果不是，如何才能找到最优的方案？在计算机上又如何实现这样的搜索？这些问题实际上就是本章我们要介绍的搜索问题。 2 学习目标： 掌握回溯搜索算法、深度优先搜索算法、宽度优先搜索算法和A搜索算法，对典型问题，掌握启发式函数的定义方法。 3 学习指南： 了解算法的每一个过程和细节问题，掌握一些重要的定理和结论，在有条件的情况下，程序实现每一个算法，求解一些典型的问题。 4 难重点： 回溯搜索算法、算法及其性质、改进的Ａ＊算法。 5 知识点： 本章所要的讨论的问题如下： 有哪些常用的搜索算法。 问题有解时能否找到解。 找到的解是最佳的吗？ 什么情况下可以找到最佳解？ 求解的效率如何。 3.1 状态空间表示知识 一、状态空间表示知识要点 1．状态 状态（State）用于描述叙述性知识的一组变量或数组，也可以说成是描述问题求解过程中任意时刻的数据结构。通常表示成： Q={q1，q2，……，qn} 当给每一个分量以确定的值时，就得到一个具体的状态，每一个状态都是一个结点（节点）。

实际上任何一种类型的数据结构都可以用来描述状态，只要它有利于问题求解，就可以选用。 2．操作（规则或算符） 操作（Operator）是把问题从一种状态变成为另一种状态的手段。当对一个问题状态使用某个可用操作时，它将引起该状态中某一些分量发生变化，从而使问题由一个具体状态变成另一个具体状态。操作可以是一个机械步骤、一个运算、一条规则或一个过程。操作可理解为状态集合上的一个函数，它描述了状态之间的关系。通常可表示为： F={ f1 , f2,……… fm} 3．状态空间 状态空间（State Space）是由问题的全部及一切可用算符（操作）所构成的集合称为问题的状态空间。用三元组表示为： （{Qs}，{F}，{Qg}） Qs：初始状态，Qg：目标状态，F：操作（或规则）。 4．状态空间（转换）图 状态空间也可以用一个赋值的有向图来表示，该有向图称为状态空间图，在状态空间图中包含了操作和状态之间的转换关系，节点表示问题的状态，有向边表示操作。 二、状态图搜索 1.搜索方式 用计算机来实现状态图的搜索，有两种最基本的方式：树式搜索和线式搜索。 2.搜索策略 大体可分为盲目搜索和启发式（heuristic）搜索两大类。 搜索空间示意图 例3.1 钱币翻转问题 设有三枚硬币，其初始状态为（反，正，反），允许每次翻转一个硬币（只翻一个硬币，必须翻一个硬币）。必须连翻三次。问是否可以达到目标状态（正，正，正）或（反，反，反）。问题求解过程如下： 用数组表示的话，显然每一硬币需占一维空间，则用三维数组状态变量表示这个知识： Q=（q1 , q2 , q3） 取q=0 表示钱币的正面q=1 表示钱币的反面 构成的问题状态空间显然为： Q0=（0，0，0），Q1=（0，0，1），Q2=（0，1，0），Q3=（0，1，1）

控制系统的状态空间分析

第八章 控制系统的状态空间分析 一、状态空间的基本概念 1. 状态 反应系统运行状况，并可用一个确定系统未来行为的信息集合。 2. 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量，如果给定了0t t =时刻 这组变量的值())()() (00201t x t x t x n 和0t t ≥时输入的时间函数)(t u ， 则系统在0t t ≥任何时刻())()()(21t x t x t x n 的行为就可完全确定。 3. 状态向量 以状态变量为元素构成的向量，即[])()()()(21t x t x t x t x n =。 4. 状态空间 以状态变量())()() (21t x t x t x n 为坐标的n 维空间。 系统在某时刻的状态，可用状态空间上的点来表示。 5. 状态方程 描述状态变量，输入变量之间关系的一阶微分方程组。 6. 输出方程 描述输出变量与状态变量、输入变量间函数关系的代数方程。 二、状态空间描述（状态空间表达式） 1. 状态方程与输出方程合起来称为状态空间描述或状态空间表达式，线性定常系统状 态空间描述一般用矩阵形式表示，对于线性定常连续系统有 ? ? ?+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x （8-1） 对于线性定常离散系统有 ?? ?+=+=+) ()()() ()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x （8-2） 2. 状态空间描述的建立：系统的状态空间描述可以由系统的微分方程，结构图（方框 图），状态变量图、传递函数或脉冲传递函数（Z 传递函数）等其它形式的数学模型导出。 3. 状态空间描述的线性变换及规范化（标准型） 系统状态变量的选择不是唯一的，状态变量选择不同，状态空间描述也不一样。利用线性变换可将系统的矩阵A （见式8-1）规范化为四种标准型：能控标准型、能观标准型、对角标准型、约当标准型。

状态空间分析法

第9章 线性系统的状态空间分析与综合 重点与难点 一、基本概念 1．线性系统的状态空间描述 （1）状态空间概念 状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。 状态向量 以状态变量为元素构成的向量。 状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。 状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。 输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。 状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示： ???+=+=Du Cx y Bu Ax x & (9.1) （2）状态空间表达式的建立。系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。 （3）状态空间表达式的线性变换及规范化。描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作为状态向量来描述系统。状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。利用线性变换的目的在于使系统矩阵A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。满秩线性变换不改变系统的固有特性。 根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵A 化为三种规范形式：对角形、约当形和模式矩阵。 （4）线性定常系统状态方程解。状态转移矩阵)(t φ（即矩阵指数At e ）及其性质：

i ． I =)0(φ ii ．A t t A t )()()(φφφ ==& iii. )()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=+ iv. )()(1 t t -=-φφ v. )()]([kt t k φφ= vi. )( ])exp[()exp()exp(BA AB t B A Bt At =+= vii. )( )ex p()ex p(11非奇异P P At P APt P --= 求状态转移矩阵)(t φ的常用方法： 拉氏变换法 =)(t φL －1])[(1--A sI （9.2） 级数展开法 ΛΛ++++ +=k k At t A k t A At I e ! 12122 （9.3） 齐次状态方程求解 )0()()(x t t x φ= （9.4） 非齐次状态方程式（9.1）求解 ?-+=t Bu t x t t x 0d )()()0()()(τττφφ （9.5） （5）传递函数矩阵及其实现 传递函数矩阵)(s G ：输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系 D B A sI C s G +-=-1)()( (9.6) 传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵)(s G ，找一个系统},,,{D C B A 使式（9.6）成立，则将系统},,,{D C B A 称为)(s G 的一个实现。当系统阶数等于传递函数矩阵阶数时，称该系统为)(s G 的最小实现。 传递函数矩阵的实现并不唯一。实现的常用标准形式有可控标准形实现、可观测标准形实现、对角形实现和约当形实现等。 （6）线性定常连续系统的离散化及其求解 对式（9.1）表示的线性定常数连续系统进行离散化，导出的系统离散状态空间描述

答案-控制系统的状态空间描述-习题解答

` 第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答 系统的结构如图所示。以图中所标记的1x 、2x 、3x 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u 、y 分别为系统的输入、输出，1α、2α、3α均为标量。 图系统结构图 解 图给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器 的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。 着眼于求和点①、②、③，则有 ①：2111x x x +=α ②： 3222x x x +=α ③：u x x +=333α 输出y 为1y x du =+，得 { 11 12223331000100 1x a x x a x u x a x ???????? ????????=+???????????????????????? []123100x y x du x ?? ??=+?? ???? 已知系统的微分方程 (1) u y y y y 354=+++ ；(2) u u y y -=+ 32；

(3) u u y y y y 75532+=+++ 。试列写出它们的状态空间表达式。 (1) 解 选择状态变量1y x =，2y x =，3y x =，则有： 12 23 31231 543x x x x x x x x u y x =??=?? =---+??=? 状态空间表达式为：[]112233123010000105413100x x x x u x x x y x x ????????????????=+????????????????---???????? ????=?????? (2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件 下取拉氏变换得： 《 3222332()3()()() 11()1223()232 s Y s sY s s U s U s s Y s s U s s s s s +=---== ++ 由公式、可直接求得系统状态空间表达式为 1122330100001031002x x x x u x x ?? ????????????????=+? ?????????????????????- ???? 123110 2 2x y x x ?????? =- ??????????

倒立摆系统的状态空间极点配置控制设计

摘要：为实现多输入、多输出、高度非线不稳定的倒立摆系统平衡稳定控制，将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型。利用牛顿—欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。在分析的基础上，基于状态反馈控制中极点配置法对直线型倒立摆系统设计控制器。由MATLAB仿真表明采用的控制策略是有效的，设计的控制器对直线型一级倒立摆系统的平衡稳定性效果好，提高了系统的干扰能力。 关键词：倒立摆、极点配置、MATLAB仿真 引言：倒立摆是进行控制理论研究的典型试验平台，由于倒立摆本身所具有的高阶次、不稳定、非线性和强耦合性，许多现代控制理论的研究人员一直将他视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，基于极点配置法给直线型一级倒立摆系统设计控制器 1．数学模型的建立 倒立摆系统其本身是自不稳定的系统，实验建模存在着一定的困难。在忽略掉一些次要的因素之后，倒立摆系统就是一典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系中应用经典力学理论建立系统动力学方程。下面采用牛顿-欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。 1.1微分方程的数学模型 在忽略了空气阻力和各种摩擦力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示：

图1：直线一级倒立摆模型 设系统的相关参数定义如下： M：小车质量 m：摆杆质量 b：小车摩擦系数 l：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I：摆杆质量 F：加在小车上的力 x：小车位置 Φ：摆杆与垂直方向上方向的夹角 θ：摆杆与垂直方向下方向的夹角（摆杆的初始位置为竖直向下） 如下图2所示为小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

状态空间描述的概念

1.1状态空间描述的概念 系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入－输出关系的传递函数，基于传递函数设计单输入－单输出系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。因此传递函数不能包含系统的所有信息。由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法

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要保证从信号抽样后的离散时间信号无失真地恢复原始时间连续信号，必须满足： （1）信号是频带受限的； （2）采样率至少是信号最高频率的两倍 那么理想采样频谱中，基带频谱以及各次谐波调制频谱彼此是不重迭的，用一个带宽为 s/2的理想低通滤波器，可以将各次谐波调制频谱滤除，保留不失真的基带频谱，从而不失真地还原出原来的连续信

号 1.PID的参数对系统性能的影响 （1）比例系数K P对系统性能的影响增大比例系数K P一般将加快系统的响应，在有静差的情况下有利于减小静差。但过大的比例系数会使系统有较大的超 调，并产生振荡，使稳定性变坏。 （2）积分时间T I对系统性能的影响：增大积分时间T I有利于减小超调，减小 振荡，使系统更加稳定，但系统静差的消除将随之减慢。 （3）微分时间T D对系统性能的影响：增大微分时间T D，也有利于加快系统响应，使超调量减小，稳定性增加，但系统对扰动的抑制能力减弱。

控制系统状态空间分析的 MATLAB 设计

《控制系统状态空间分析的MATLAB 设计》 摘要 线性系统理论主要研究线性系统状态的运动规律和改变这些规律的可能性与实施方法；它包含系统的能控性、能观测性、稳定性分析、状态反馈、状态估计及补偿器的理论和设计方法。本文说明，线性变换不改变系统的传递函数，基于状态空间的极点配置不需要附加矫正装置，是改变系统指标的简单可行的重要技术措施；全维状态观测器与降维观测器不影响系统的输出响应。 关键词：状态反馈、极点配置、全维状态观测器、降维观测器 前言 线性系统理论是现代控制理论的基础，主要研究线性系统状态的运动规律 和改变这些规律的可能性与实施方法；建立和揭示系统结构、参数、行为和性能之间的关系。它包含系统的能控性、能观测性、稳定性分析、状态反馈、状态估计及补偿器的理论和设计方法。 该报告结合以线性定常系统作为研究对象，分析控制系统动态方程，系统 可控标准型，线性变换传递函数及其不变性，系统可控性与可观测性。系统状态观测器及降维观测器对系统的阶跃响应的影响，并分别绘制模型，及其系统阶跃响应的仿真。 正文 1. 已知系统动态方程: x?=[?0.40?0.01100?1.49.8?0.02]x +[6.309.8]u y =[0 1]x 2. 设计内容及要求：

验证线性变换传递函数不变性，适当配置闭环适当配置系统闭环极点，使 σ%<15%、t s <4s ，以及当系统闭环极点为λ1,2=-3±j4时设计系统的降维状态观测器也使σ%<15%、t s <4s ，并绘制带反馈增益矩阵K 的降维状态观测器及其系统仿真。 3. 系统设计： 1）求系统可控标准型动态方程； >> A1=[-0.4 0 -0.01;1 0 0;-1.4 9.8 -0.02]; >> B1=[6.3;0;9.8]; >> C1=[0 0 1]; >> D1=0; >> G1=ss(A1,B1,C1,D1); >> n=size(G1.a); >> Qc=ctrb(A1,B1); >> pc1=[0 0 1]*inv(Qc); >> Pc=inv([pc1;pc1*A1;pc1*A1*A1]); >> G2 = ss2ss(G1,inv(Pc)); >> Gtf=tf(G2); 程序运行结果知n=3，原系统是可控的且可控标准型为： x?=[0 1 00 01?0.0980.006 ?0.42]x?+[001 ]u y ?=[61.74 ?4.99.8]x? 传递函数为： G (s )=9.8s 2?4.9s+61074 s 3+0.42s 2?0.006s+0.098 2）计算系统的单位阶跃响应 >> hold on >> grid on;hold on; >> step(G1,t,'b-.') >> step(Gtf,t,'r--')

状态空间设计与分析

状态空间分析及设计 姓名：周海波 学号：200740297(15) 班级：自控实验0701班 日期：2010-5-2

目录 一．系统能控性和能观性判定 二．主导极点法进行状态反馈极点配置 三．对称根轨迹法（SRL）进行状态反馈极点配置 四．主导极点法和SRL状态反馈极点配置对比 五．全维观测器设计和分析 1.观测器设计 2.分离定理验证 六．带全维观测器的状态反馈与直接状态反馈对比 七．降阶观测器和带降阶观测器的状态反馈系统的设计和分析八．全维观测器的状态反馈与降阶观测器的状态反馈对比 1.抗过程干扰能力 2.抗测量噪声能力 九．采用内模原则设计状态反馈系统 1.跟踪性能分析 2.抗干扰性能分析

状态空间分析及设计 有以下系统 122201101011x x μ ???????????=?+?????????????i []100y x =要求：对系统设计状态反馈使得系统闭环阶跃响应的超调量小于5%，且在稳态误差值为1%范围内的调节时间小于4.6s. 一．系统能控性和能观性判定 由系统能控性判别矩阵： 224001013115rank B AB A B rank ???????==????????? 由系统能观性判别矩阵：21001223142C rank CA rank CA ????????=???=????????????? 所以系统既是能控的又是能观的。 二．主导极点法进行状态反馈极点配置1.当 4.61% 4.6s n t s ζω?== <%5%e πζσ?=<解得：0.691n ζζω>??>?取0.75 2n ζω==则：2222340 n n s s s s ζωω++=++=所以1,2 1.5 1.323s j =?±，取非主导极点38s =?，则期望特征多项式为： 232(34)(8)112832 s s s s s s +++=+++设[]123K k k k =又

状态空间分析法

第9章 线性系统的状态空间分析与综合 ?重点与难点 —、基本概念 1. 线性系统的状态空间描述 （1）状态空间概念 状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动 状态是必需的，也是充分的。 状态向量 以状态变量为元素构成的向量。 状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。系统某时刻的状态可用状态空间上 的点来表示。 状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是 关于系统的一阶微分（或差分）方程组。 输出方程输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。 状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空 间表达式一般用矩阵形式表示： x y （2） 状态空间表达式的建立。系统状态空间表达式可以由系统微分方程、 传递函数等其他形式的数学模型导出。 （3） 状态空间表达式的线性变换及规范化。描述某一系统的状态变量个数（维数） 是 确定的，但状态变量的选择并不唯一。某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作 为状态向量来描述系统。状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。利用线性 变换的目的在于使系统矩阵 A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。满秩线性 变换不改变系统的固有特性。 根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵 A 化为三种规范形式: 对角形、约当形和模式矩阵。 （4） 线性定常系统状态方程解。状态转移矩阵 Bu Du （9.1） Ax Cx 结构 图、 （t ）（即矩阵指数e At ）及其性质:

x(k) 1 UkT )) Dkk)G(T)u(k) (9.8) i . (0) I ii . (t) A (t) (t)A iii . (t 1 t 2 ) (t 1 ) ( t 2) (t 2)(t 1) iv. 1 (t) ( t) v. [(t)]k (kt) vi. exp(At) exp(Bt) exp[( A B)t] (AB B vii . exp(P 1APt) P 1 exo( At)P (P 非奇异) 求状态转移矩阵 (t)的常用方法: 拉氏变换法 (t) L[(sl A)1] 级数展开法 At , ", 1 A 2 2 1"k,k e I At A t A t k! 齐次状态方程求解 x(t) (t)x(0) 非齐次状态方程式(9.1)求解 t x(t) (t)x(0) 0 (t )Bu( )d (5) 传递函数矩阵及其实现 传递函数矩阵G(s):输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系 1 G(s) C(sl A) 1B D (9.6) 传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵 G(s)，找一个系统｛代B,C, D ｝使式(9.6) 成立，则将系统｛A, B,C,D ｝称为G(s)的一个实现。当系统阶数等于传递函数矩阵阶数 时，称该系统为 G(s)的最小实现。 传递函数矩阵的实现并不唯一。实现的常用标准形式有可控标准形实现、可观测标 准形实现、对角形实现和约当形实现等。 (6) 线性定常连续系统的离散化及其求解 对式(9.1)表示的线性定常数连续系统进行离散化，导出的系统离散状态空间描述 为 其中 (T) (t)tT T (9.2) (9.3) (9.4) (9.5)

计算机控制状态空间反馈课程设计

控制系统状态空间设计 设计对象 系统的对象模型为： )8)(4(1)(++=s s s s G 设计目的 A ：试确定一个状态负反馈阵K ，使相对于单位阵阶跃参考 输入的输出过渡过程，满足如下的期望指标：超调量<=20%, 峰值时间<=0.4s 。 B ：如果系统的状态变量在实际上无法测量，试确定一个状态观 测器（全维状态观测器），使得通过基于状态观测器的状态反馈， 满足上述期望的性能指标。 设计要求 1. 要求学生掌握当Gc （s ）设计好后如何将其变换为离散算法Gc （Z ） 以及如何将Gc （Z ）转换在计算机上可完成计算的迭代方程。 2. 要求学生能掌握工业中常用的基本PID 算法。 3. 掌握一阶向前，向后差分及双线性变换离散化的具体做法及应用 场合。 4. 熟悉PID 两种基本算法的计算公式：位置算法和增量算法。 5. 熟练使用MATLAB 软件，掌握其仿真的方法、步骤及参数设置。

6. 了解计算机控制系统的组成及相应设备的选用等问题。设计方法及步骤 1.利用Simulink 进行仿真，判断是否满足期望的性能指标。系统仿真方框图如下： 系统仿真结果如下： 有图可知，系统不满足期望的性能指标，需要进行配置。2.由期望的性能指标求出闭环系统的期望极点。 首先有典型二阶系统性能指标与系统参数之间的关系，确定统参数，然后再确定系统的主导极点和非主导极点。 由系统的性能指标：超调量<=20%,峰值时间<=0.4s。可以求

出ζ =0.456 Wn=8.84。 因此选取ζ =0.60 Wn=13.00为系统参数 由系统的特征方程可以求出系统的特征根为： S 1=-7.8+10.4j ,S 2=-7.8-10.4j 令系统的非主导极点为： S 3=-130 则需要配置的极点是是： P=[-7.8+10.4j,-7.8-10.4j,-130]; 3.求出系统空间表达式。利用MATLAB 有关模型转换函数可求得 A =???? ? ??---010001 13212 B =???? ? ??001 C =()100 D =0 4.判断系统的能控能关性，确定系统是否能够通过状态反馈实现极 点的任意配置。 能控性判别矩阵Q=???? ? ??--100121 0112121 系统的可控矩阵阶数为3，为满秩，则系统是能控的。 5.求出用于极点配置的状态矩阵K ：利用函数K=acker （A,B,P ）,

第4章控制系统的状态空间设计

第4章 控制系统的状态空间设计 要点： 1状态反馈 2单输入系统的极点配置 3观测器及其设计 4用状态观测器的反馈系统概念 难点： 观测器及其设计 闭环系统极点的分布情况决定于系统的稳定性和动态品质，因此，可以根据对系统动态品质的要求，规定闭环系统的极点应有的分布情况，把极点的布置作为系统的动态品质指标。这种把极点不止在希望的位置的过程成为极点配置。在空间状态法中，一般采用反馈系统状态变量或输出变量的方法，实现系统的极点配置。 一 状态反馈与输出反馈 1 状态反馈 把系统状态变量按照一定的比例关系，反馈到系统的输出端称为状态反馈。 设线性系统为 ???? ?=+=? Cx y Bu Ax x (4-1) 而反馈规律为 u=Kx+v (4-2) 其中A ，B ，C ，K 分别为n ×n 、n ×m 、p ×n 及m ×n 矩阵，v 为参

考输入。则状态反馈的闭环系统的状态空间表达式为 ???? ?=++=Cx y Bv x BK A x )(. （4-3） Y 图4-1 状态反馈结构图 比较式（4-1）和式（4-3）可知，状态反馈前后的系统矩阵分别为A 和（A+BK ），特征方程分别为det[λI-（A+BK ）]，可看出状态反馈的系统特征根（即系统的极点）不仅与系统本身的结构参数有关，而且与状态反馈K 有关，我们正式利用着一点对极点进行配置。应该主出完全能控的系统经过状态反抗侯，仍是完全能控的，但状态反馈可能改变系统的能观性。 2 输出反馈 把系统的输出变量按照一定的比例关系反馈找系统的输入端或. x 端称为输出反馈。由于状态变量不一定具有物理意义，所以状态反馈往往不易实现。而输出变量则有明显的物理意义，因而输出反馈易实现。 式（4-1）描述的线性系统，对其进行输出反馈，取如下的控制规

离散时间系统的状态空间描述

燕山大学 课程设计说明书题目：离散时间系统的状态空间描述 学院(系）：电气工程学院 年级专业：_11级精仪1班 学号： 110103020058 学生姓名： 指导教师： 教师职称：

电气工程学院《课程设计》任务书 课程名称：数字信号处理课程设计 说明：1、此表一式四份，系、指导教师、学生各一份，报送院教务科一份。 2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。 电气工程学院教务科

摘要 摘要：线性时不变离散时间系统是最基本的数字系统，差分方程和系统函数是描述系统的常用数学模型，单位脉冲响应和频率响应是描述系统特性的主要特征参数，零状态响应和因果稳定性是系统分析的重要内容。文章从系统的分析流程、系统模型的创建、时域分析、频域分析和因果稳定性分析等方面，介绍了线性时不变离散时间系统的基本分析方法，并以实例形式列举了MATLAB实现程序。 关键词：MATLAB；离散时间系统；系统分析；传输函数

目录 第一章离散时间系统与状态空间描述 (1) 1.1 离散时间系统 (1) 1.2 状态空间描述 (3) 1.3 LSI系统的求解方法 (5) 第二章软件仿真设计 (5) 2.1状态方程 (5) 2.2输出方程 (6) 2.3 LSI系统的单位冲击响应 (7) 第三章仿真结果分析 (10) 3.1状态方程 (10) 3.2 输出方程 (10) 3.3 LSI系统的单位冲击响应 (11) 第四章学习心得 (11) 第五章设计与实验过程中遇到的问题和分析 (12)

第一章相关离散时间系统的知识 1.1离散时间系统 离散时间系统离散时间系统是将一个序列变换成另一序列的系统，它有多种类型，其中线性时不变离散时间系统是最基本、最重要的系统。差分方程反映了系统输入与输出的运动状态，是在时域描述系统的通用数学模型；系统函数是零状态下系统输出与输入的Z变换之比，在时域与频域之间起桥梁作用。分析系统就是在已知系统结构或系统模型条件下，从时域和频域两方面分析系统输入与输出的关系，前者重点研究系统的时间特性，后者主要研究系统的频率特性。下面从系统分析流程、系统模型创建、系统时域分析、系统频域分析和因果稳定性分析等方面，介绍线性时不变离散时间系统的基本分析方法，并以实例形式列举MATLAB在系统分析过程中的具体应用。 二、单位脉冲响应的计算根据差分方程求解单位脉冲激励下系统的零状态响应，或将系统函数进行Z反变换都可算出系统的单位脉冲响应，具体算法可参见参考文献[3]。在MATLAB中描述系统的差分方程或系统函数都是用系数向量表示，调用impz函数就可直接算出系统的单位脉冲响应。如实例1描述的系统，其单位脉冲响应的计算及显示程序如下：b=[0.3,0.06,0,0]; %系数向量不齐后面补0 a=[1,-1.1,0.55,-0.125]; %系数向量不齐后面补0 [hn,n]=impz(b,a,16), %列向求出16点单位脉冲响应 stem(n,hn,'.'); grid; %绘制点状图并加网格 xlabel('n');ylabel('hn');title('单位脉冲响应'); 若要写出闭环形式，可调用residuez函数将系统函数展开成部分分式形式，再通过查表求Z反变换即可。 三、系统输出的时域计算 在时域上计算离散时间系统的输出，实际上就是直接求解差分方程或作卷积运算。参考文献[3]列举了迭代法、时域经典法、卷积法等常用方法及应用实例。考虑到分析系统的目的在于综合，系统设计时不存在初始问题，因此，分析系统响应重点分析零状态响应。只要掌握了分析系统的概念、原理和方法，繁杂的计算可由MATLAB完成。 实例2：试计算实例1中，当输入序列分别为单位脉冲、单位阶跃和一般序列时，系统的输出响应。 方法1：调用filter函数实现 b=[0.3,0.06,0,0]; a=[1,-1.1,0.55,-0.125];

状态空间分析法

·258· 第9章 线性系统的状态空间分析与综合 重点与难点 一、基本概念 1．线性系统的状态空间描述 （1）状态空间概念 状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。 状态向量 以状态变量为元素构成的向量。 状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。 状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。 输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。 状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示： ???+=+=Du Cx y Bu Ax x (9.1) （2）状态空间表达式的建立。系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。 （3）状态空间表达式的线性变换及规范化。描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作为状态向量来描述系统。状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。利用线性变换的目的在于使系统矩阵A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。满秩线性变换不改变系统的固有特性。 根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵A 化为三种规范形式：对角形、约当形和模式矩阵。 （4）线性定常系统状态方程解。状态转移矩阵)(t φ（即矩阵指数At e ）及其性质：

·259· (9.8) i ． I =)0(φ ii ．A t t A t )()()(φφφ == iii. )()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=+ iv. )()(1t t -=-φφ v. )()]([kt t k φφ= vi. )( ])exp[()exp()exp(BA AB t B A Bt At =+= vii. )( )exp()exp(11非奇异P P At P APt P --= 求状态转移矩阵)(t φ的常用方法： 拉氏变换法 =)(t φL －1])[(1--A sI （9.2） 级数展开法 ++++ +=k k At t A k t A At I e ! 12122 （9.3） 齐次状态方程求解 )0()()(x t t x φ= （9.4） 非齐次状态方程式（9.1）求解 ?-+=t Bu t x t t x 0d )()()0()()(τττφφ （9.5） （5）传递函数矩阵及其实现 传递函数矩阵)(s G ：输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系 D B A sI C s G +-=-1)()( (9.6) 传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵)(s G ，找一个系统},,,{D C B A 使式（9.6）成立，则将系统},,,{D C B A 称为)(s G 的一个实现。当系统阶数等于传递函数矩阵阶数时，称该系统为)(s G 的最小实现。 传递函数矩阵的实现并不唯一。实现的常用标准形式有可控标准形实现、可观测标准形实现、对角形实现和约当形实现等。 （6）线性定常连续系统的离散化及其求解 对式（9.1）表示的线性定常数连续系统进行离散化，导出的系统离散状态空间描述为 ???+=+=+ )()()( )()()()()1(k D k Cx k y k u T G k x T k x φ