高三数学第一轮总复习讲义数列
高中数学总复习讲义（培优版）供理科生使用
数列四讲
第一讲 数列的概念及简单表示
教学目标
了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 教学重难点
1.本部分主要考查数列的基本概念及表示方法、通项公式的求法以及数列的性质．
2.题型多以选择、填空题为主，有时也作为解答题的一问，难度不大. 教材知识再现
一．基础知识
1．数列的概念：按一定 排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做数列的 。 从函数的角度看：数列可以看作是一个定义域为 或它的有限子集，当自变量从小到大依次取值时对应的一列 。 2．数列的表示方法：（1）列表法；（2）图示法：数列的图像是离散的点，而不是曲线； （3）通项公式法：用含)(n f a a n n n =，即的式子表示
（4）递推公式法： 3．数列的分类：（1）按项数的多少可分为 和 ；
（2）按数列中相邻两项的大小关系可分为 、 、 和 。 4．（1）数列{}n a 的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321
（2）的关系与n n S a ： ???≥-==-.2111n S S n S a n n
n ，，，
基本方法 用函数的思想方法处理数列问题（数列的本质是函数） （1）如何理解数列是函数？ （2）如何求数列的通项公式？
（3）如何判断数列的单调性及求数列中的最大(小)项？ （4）如何求数列的前n 项和公式？
经典习题奠基
1.数列???,9
5
,74,53,32,1的一个通项公式是
2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1，则这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 3．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋an ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6的值是( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 4，已知数列{}n a 的通项公式??
?-?=-52321
n a n n
1
22+==k n k
n )(N k ∈，则=?34a a 5. 已知数列{}n a 的通项公式为n q pn a n +
=，且2
3
,2342==a a ，则=8a 关键要点点拨
1．求通项公式的技巧
根据数列的前几项写出数列的通项公式时，常用到“观察、归纳、猜想、验证”的数学思想方法，即先找出各项相同的部分(不变量)，再找出不同的部分(可变量)与序号之间的关系，并用n 表示出来．不是所有的数列都有通项公式，一个数列的通项公式在形式上可以不唯一 2.数列中最大项与最小项的求法
考点一 由数列的前几项求数列的通项公式
[例1] 下列可作为数列{}???,2,1,2,1,2,1:n a 的通项公式的是（ ）
A.1=n a
B.21)1(+-=n n a
C. 2
sin 2π
n - D. 23)1(1+-=-n n a
1.已知数列???,13,10,7,2则72是该数列的（ ） A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项
2.写出下列各数列的一个通项公式 （1）3,5,7,9，…
（2）
???,3231,1615,87,43,21 （3）???---,6
3
,51,43,31,23,1
1.根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．
2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳
得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋
1来调整．
3.观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与n 之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)建立合理的联想、转换而使问题得到解决.
考点二 由n a 和n S 的关系求通项
[例2]数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)1(3,111≥==+n S a a n n ，则=6a 3. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1+=
n n S n ，则=5
1
a 4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，求{}n a 的通项公式 （1）Sn ＝2n 2－3n ； （2）Sn ＝4n ＋
b .
n a 和n S 的关系通常用)2(1≥-=-n S S a n n n ，注意验证1=n
考点三 由数列的递推关系求通项公式
[例3] 数列{}n a 满足2,331
1=-=+n a a a n n ，求n
a
n 的最小值为（ ） A.9.5 B.10.6 C.10.5 D.9.6
变式：若本例条件变为：数列{a n }满足下列条件：a 1＝1，且对于任意的正整数n (n ≥2，n ∈N*)，有2a n ＝2n a n －1，则a 100的值为________．
5. 已知数列{}n a 中，)2()
1(1
,111≥--
==-n n n a a a n n ，则=16a
6.分别求满足下列条件的数列的通项公式
（1）)12(,011-+==+n a a a n n （2）)2(1
,111≥-=
=-n a n n
a a n n 由a 1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等．
1．对于形如“a n ＋1＝a n ＋f (n )”型的递推关系式求通项公式，只要f (n )可求和，便可利用累加的方法． 2.对于形如)"("
1
n g a a n
n =+型的递推关系式来求通项公式，只要)(n g 可求积，便可以利用累积或迭代的方法。 3.对于形如“)1,0(1≠≠+=+A A B Aa a n n ”型递推关系求通项公式，可用迭代法或构造等比数列法 强化 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1.那么a 10＝ ( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55
优化训练
1.数列2,9,23,44,72,x ,149,…中,x 可能是( )
A.82 B ．87 C ．107 D ．111
2.已知数列{}n a 的前项和为,3n S n =,则65a a +的值为（ ）。 A ．91 B ．152 C ．218 D ．279
3.数列{}n a 的通项公式为12
++=n n a n ,则273是这个数列的第 项.
4.已知数列{}n a 满足*
21434,,0,1N n a a a a n n n n ∈===--，则=2009a __ ;=2014a
5.已知*
2
()156
n n a n N n =
∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ 6.数列}{n a 的通项为1
+=bn an
a n ，其中
b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___
7.已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围
8.在数列{}n a 中,)(32,1*11N n a a a n n ∈+==+,写出数列的前4项,并猜想出通项公式 9.已知数列{}n a 中,12
2
183),21,0(-+=
∈n n n a a a ,其中*,2N n n ∈≥,求证:对一切*N n ∈都有1+ 第二讲 等差数列及其性质与前n 项和 【教学目标】 1、 掌握等差数列的概念及通项公式； 2、 理解并能应用等差数列的性质； 3、 熟练掌握各种方法求等差数列的通项公式及前n 项和以及应用等差数列解决实际问题。 【重点难点】 1、应用等差数列的性质解题； 2、等差数列前n 项和公式理解、推导及应用; 3、理解等差数列前n 项和公式与二次函数的联系，会利用等差数列求和公式来研究n S 最值; 【命题趋势】 1、题型以选择题和解答题为主; 2、选择题重点考察等差、等比数列的性质的应用; 3、解答题重点考察等差、等比数列的证明及通项公式的求解，以及数列的前n 项和与函数、不等式的综合问题。 【教学过程】 一、知识要点 1．等差数列的判定方法： （1）d a a n n =-+1（常数）{}n a ?是等差数列；（2）)(2 2 1*++∈+= N n a a a n n n {}n a ?是等差数列； （3）b k b kn a n ,(+=是常数）{}n a ?是等差数列；（4）B A Bn An s n ,(2 +=是常数，)1≥n {}n a ?是等差数列. 2．等差数列的性质. 由等差数列{}n a 的通项公式d n a a n )1(1-+=可以推出许多性质,如: ①{}n a d ,0时>递增; {}n a d ,0时<递减; {}n a d ,0时=为常数列.②),()(*∈-+=N n m d m n a a m n . ③ ),(*∈=--N n m d n m a a n m ;④若,s r q p +=+则,s r q p a a a a +=+特别地,k n k n n a a a +-+=2, 若{}n a 是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的和相等,且等于首末两项的和; ⑤若n n t t t r r r +++=+++ 2121,则n n t t t r r r a a a a a a +++=+++ 2121; ⑥项数成等差数列的项是等差数列, {}n ka ,{}r ka n +也都是等差数列,公差是.kd ⑦等差数列中依次k 项的和成等差数列，即 k k k k k S S S S S 232,,--成等差数列,其公差为d k 2 ⑧若{}n a ,{}n b 都是等差数列,公差分别为21,d d ,则{}n n pb ka +也是等差数列,其公差为21pd kd +. 二、典例精析 题型一、等差数列的证明 例1 已知数列{}n a 满足),2(4 4,411≥-==-n a a a n n 若,21 -=n n a b （1）求证: {}n b 是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式 题型二、等差数列的性质 例2 在等差数列{}n a 中,若,36121132=+++a a a a 求876a a a ++的值. 例3 已知{}n a 为等差数列，,87,105864531=++=++a a a a a a n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ） A ．21 B ．20 C ．19 D ．18 变式 设公差为-2的等差数列{}n a 中,,5097741=++++a a a a 求99963a a a a ++++ 及99S 的值. 例4 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36,963==S S ，求151413a a a ++的值。 变式 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若18,293==S S ，求24S 的值。 题型三、等差数列的前n 项和n S 例5 在等差数列{}n a 中,若,4,84111073=-=-+a a a a a 求前13项的和13S . 例6 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,,,2410171S S a ==问数列{}n a 的前多少项和最大?并求此最大值. 题型四、综合问题 例7 数列{}n a 中，0,262==a a ，且数列? ?? ?? ?+11n a 是等差数列。 求：（1）84,a a ; （2）求数列n a 的通项公式; （3）若))(1)(1(1* +∈++=N n a a b n n n ，求n b 的前n 项和n S 。 例8 在xoy 平面上有一系列的点 ),(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对于* ∈N n ，点),(n n n y x P 在函数)0(2≥=x x y 图象上，以点n P 为圆心的⊙n P 与X 轴相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又相外切，若11=x ，且n n x x <+1。 （1）求证：数列? ?? ?? ?n x 1是等差数列; （2）设⊙n P 的面积为n S ，n n S S S T +++= 21，求证：2 3π < n T 。 三、优化训练 选择题 1．设等差数列{}n a 单调递增，且前三项和为12,前三项积为48,则它的首项为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 2．在各项均为正数的等差数列{}n a 中,公差,0≠d 则( ) A ．5481a a a a > B ．5481a a a a < C ．5481a a a a +>+ D ．5481a a a a = 3．首项为1a ,公差为d 的无穷等差数列{}n a 只有有限个负项的条件是( ) A ．0,01>>d a B ．0,01<>d a C ．0,01> D ．0,01< 5．公差d 为正数的等差数列{}n a 中,若,15321=++a a a ,80321=??a a a 则131211a a a ++=( ) A ．120 B ．105 C ．90 D ．75 6．等差数列{}n a 中,,33,4,3 1 521==+=n a a a a 则=n ( ) A ．48 B ．49 C ．50 D ．51 填空题 7．等差数列{}n a 中,103,a a 是方程0532 =--x x 的两根,则该数列前12项的和=12s 。 8．已知等差数列{}n a 中,,12321=++a a a ,18654=++a a a 则151413a a a ++= . 9．已知项数为偶数的等差数列{}n a 中,奇数项的和为24, 偶数项的和为30,且最后一项超过第一项10.5,那么该数列的项数是 . 10．在等差数列{}n a 中，0,011101a a a ，若n S 是数列的前n 项和,且12,361810==S S ，则数列{} n a 的前18项之和18T 的值是 。 解答题 11．在数列{}n a 中,2 2,211+==+n n n a a a a ,求n a . 12．设{}n a 为等差数列, （1）已知,11=a 求公差,d 使3231a a a a +最小; （2）已知,97=a 求公差,d 使21a a 最小. 13．数列{}n a 是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项变为负. （1）求此等差数列的的公差;d (2)设数列{}n a 的前n 项和为n s ,求n s 的最大值; （2）当n s 是正数时,求n 的最大值. 14．已知等差数列{}n a 中, 公差),(02,0,0212*++∈=++≠≠N n k a x a x a a d k k k n . （1）求证:当k 取不同的正整数时方程有公根; （2）若方程不同的根为依次为,,,,21n x x x 求证: 1 1 , ,11,1121+++n x x x 是等差数列. 第三讲 等比数列及其性质与前n 项和 【教学目标】 1．掌握等比数列的概念及通项公式； 2．理解并能应用等比数列的性质； 3．熟练掌握各种方法求等比数列的通项公式及前n 项和; 4．应用等比数列解决实际问题，提高学生解决实际问题的能力。 【重点难点】 1．应用等比数列的性质解题； 2．等比数列前n 项和公式理解、推导及应用; 3．理解等比数列前n 项和公式与指数函数的联系，能解等比数列与不等式函数等综合问题。 【命题趋势】 1. 题型以选择题和解答题为主; 2. 选择题重点考察等差、等比数列的性质的应用; 3. 解答题重点考察等差、等比数列的证明及通项公式的求解，以及数列的前n 项和与函数、不等式的综合问题。 【教学过程】 一、 知识要点 1．等比数列的判定方法: （1）q a a n n =+/1(常数)),2(* N n n ∈≥ {}n a ?是等比数列; （2）)(* 22 1N n a a a n n n ∈=++ {}n a ?是等比数列; （3）),0,0(11≠≠=-+q a aq a n n {}n a ?是等比数列; （4）)1,0(1≠>-=a a a s n n , {}n a ?是等比数列. 2．等比数列的性质: 由通项公1 1-=n n q a a 可以推导出许多性质, ①若01>a ，则1>q 时{}n a 递增;10< m n m n q a a -=),(*N n m ∈ ④若s r q p +=+.则s r q p a a a a ?=?， 特别地,k n k n n a a a +-?=2 ； 若{}n a 是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项的积 ⑤若k k t t t r r r +++=+++ 2121,则n k t t t r r r a a a a a a 2121?=?； ⑥ 项数成等差数列的项组成等比数列; {}n ka 也是等比数列,公比均为kq ; ⑦若{}n a ,{}n b 都是等比数列,公比分别为,,21q q ,则{}n n pb ka ?也成等比数列,其公比为.21pq kq ? ⑧前k 项之和，第二个k 项之和，…，第r 个k 项之和构成等比数列, 其公比为k q ; 前k 项之积，第二个k 项之积，…，第r 个k 项之积构成等比数列, 其公比为2 k q ; 二、典例精析 题型一、等比数列的证明 例1 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,对于N n n ∈≥,2,满足关系n n n a a S -=--11。 求证: {}n a 是等比数列. 题型二、等比数列的性质 例2 已知等比数列{}n a 满足 ,2,1,0=>n a n ，且)3(22525≥=?-n a a n n ，则当1≥n 时， =+++-1223212log log log n a a a （ ） A ．2)1-n （ B ．2n C ．2)1+n （ D ．)12(-n n 变式 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知126),2128,66121=≥==+-n n n S n a a a a （,求n 和公比q 的值. 例3 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,1423==n n S S ，则n S 4等于（ ） A ．80 B ．30 C ．26 D ．16 变式：在等比数列{}n a 中，公比2=q ，前99项的和,3099=S 则=++++99963a a a a 。 题型三、等比数列的通项与前n 项和 例4 设数列{}n a 是等差数列,n a n b )21(=,已知,8 1 ,821321321== ++b b b b b b 求数列{}n a 的通项公式. 例5 已知数列{}n a 是首项为正数的等比数列,n S 是前n 项和,,6560 ,802==n n S S 并且在前n 项中,最大的项为54, 求数列{}n a 的通项公式. 例6 已知数列{}n a 的前n 项和为n s ，对于任意的* ∈N n 都有3 1 32-= n n a S ，且)(91*∈< 题型四、综合问题 例7 已知等比数列{}n a 中,.4 5,106431=+=+a a a a （1）求{}n a 的通项公式; （2）试证: .2lg 23 lg lg lg 2 221->+++++n a a a n n n 例8 设数列{}n a 是等差数列,公差,0≠d {}n a 的部分项组成的数列n k k k a a a ,,,21 恰好为等比数列,其中 17,5,1321===k k k . （1）求;n k （2）求证: 1321--=+++n k k k n n . 例9 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，对任意的* ∈N n ，都有n n ma m S -+=)1(（m 为常数，且0>m ） （1）求证：数列{}n a 是等比数列; （2）设数列{}n a 的公比)(m f q =，数列{}n b 满足),,2)((,2111*-∈≥==N n n b f b a b n n 求数列{}n b 的通项公式; （3）在满足（2）的条件下，求证：数列{} 2 n b 的前n 项和.18 89 < n T 三、优化训练 1. 等比数列{}n a 的前10项的和为32,前20项的和为56,那么前30项的和为( ) A ．72 B ．73 C ．74 D ．88 2. 等比数列{}n a 中,),0(109≠=+a a a a b a a =+2019则=+10099a a ( ) A ．89a b B ．9??? ??a b C ．910a b D ．10 ?? ? ??a b 3. 各项为正数的等比数列{}n a 的公比,1≠q 且653,,a a a 成等差数列,则 6 45 3a a a a ++的值是( ) A ． 215- B ．215+ C ．2 1 3- D ．52+ 4. 若两数的等差中项是6,等比中项是5,则以这两数为两根的一元二次方程为( ) A ．02562=+-x x B ．025122 =++x x C ．02562=-+x x D ．025122 =+-x x 5. 在各项为正数的等比数列{}n a 中,965=a a ,则=+++1032313log log log a a a ( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．5log 23+ 6. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,9632S S S =+,则公比=q . 7. 在等比数列{}n a 中,,12,2 3 141== a a 则=q ,n a = . 8. 在等比数列{}n a 中,各项都为正数,,4,418453106==+a a a a a a 则=+84a a . 9. 已知1,,,921--a a 成等差数列, 1,,,9321-- b b b 成等比数列,则=-)(122a a b . 10. 设数列{}n x 满足n n x x 212log 1log +=+,且,101021=+++x x x 则201211x x x +++ = . 11. 在数列{}n a 中,)2(1 2,111 1≥+= =--n S S S a n n n 求n a . 12. 一个直角三角形的三内角的正弦值成等比数列,求其中最小的角的正弦值. 13. 已知三整数c b a ,,成等差数列,且a c c b b a +++,,成等比数列,又c b a ,,之和介于45与50之间(不含45和50), 求c b a ,,. 14. 在等比数列{}n a 中,若.1,128 81==a a （1）求公比q 和12a ; （2）证明:依次取出数列{}n a 的第1项, 第4项, 第7项,…, 第3n-2项,…,所得的新数列{})(23* -∈N n a n 仍然是 等比数列. 15. 设数列{}n a ,{}n b 满足,3,4,6332211======b a b a b a 且数列{})(1* +∈-N n a a n n 是等差数 列,{}2-n b 是等比数列,求数列{}n a ,{}n b 的通项公式. 16. 若数列{}n a ,{}n b 满足:对于任意的自然数n a n ,、n b 、1+n a 成等差数列，n b n ,、1+n a 、1+n b 成等比数列， （1）证明数列 {}n b 是等差数列; （2）若3,2,1211===a b a ,求数列{}n a ,{}n b 的通项公式. 第四讲 数列的通项公式与前n 项和的求法 【教学目标】 1. 熟练掌握数列通项公式的基本求法（重点掌握等差、等比数列型;n S 型;一阶线性递推型) 2. 熟练掌握数列求和的几种常见方法(重点掌握公式求和法;裂项相消法;错位相加法;分组求和法;) 【重点难点】 1．准确辨别数列类型，灵活运用对应方法求数列的通项公式; 2．准确辨别数列类型，灵活运用对应方法求数列的前n 项和; 【命题趋势】 1、题型以选择题和解答题为主; 2、选择题重点考察等差、等比数列的性质的应用; 3、解答题重点考察等差、等比数列的证明及通项公式的求解，以及数列的前n 项和与函数、不等式的综合问题。 【教学过程】 一、知识要点 1、求数列通项公式的基本类型 （1）等差、等比数列型; （2）n S 型：根据.111),2(S a n S S a n n n =≥-=-求出; （3）一阶线性递推型: 形如)2(1≥+=-n q pa a n n 的递推形式的数列的用配凑法求n a 的通项公式。 （4）递推型：此类型求通项公式的方法; ①归纳----猜想----证明； ②通过变形、叠代、换元等手段转化为等差数列、等比数列。 （5）累加、累乘法; （6）归纳型：根据数列前若干项写出数列的一个通项公式; 2、数列求和的几种方法 3、（1）公式求和法; 等差数列求和公式：①2)(1n n a a n S += ②d n n na S n 2 ) 1(1-+ = 等比数列求和公式：??? ??=≠--=--=+).1();1(11)1(1 1 11q na q q a a q q a S n n n （2）裂项相消法; （3）错位相加法; （4）分组求和法; （5）倒序相加(乘)法; （6）拆项相加法; （7）同项求和法; 二、典例精析 题型一、数列通项公式的求法. 1.公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。如已知数列 ,32 1 9,1617,815,413试写 出其一个通项公式：__________（答：11 212 n n a n +=++） 2.已知n S ，求n a ，用作差法：{ 11 ,(1) ,(2)n n n S n a S S n -==-≥。如 ① 已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a （答：{ 3,1 2,2 n n n a n == ≥）； ②数列{}n a 满足12211 12522 2n n a a a n ++ + =+，求n a （答：{ 114,12,2n n n a n +==≥） 3.已知)(21n f a a a n =? ，求n a ，用作商法：(1),(1)() ,(2) (1) n f n f n a n f n =??=?≥?-?。 如数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______（答：6116 ） 4.若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+ +- 1a +(2)n ≥。如已知数列{}n a 满足11a =，n n a a n n ++= --111( 2)n ≥，则n a =________（答： 1n a =） 5.已知 1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：12 112 1 n n n n n a a a a a a a a ---=?? ? ?(2)n ≥。 如已知数列}{n a 中，21=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2 =，求n a （答：4 (1) n a n n =+） 6.已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地， （1）形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化 为公比为k 的等比数列后，再求n a 。如 ①已知111,32n n a a a -==+，求n a （答：1231n n a -=-）； ②已知111,32n n n a a a -==+，求n a （答：11532n n n a -+=-）； （2）形如1 1n n n a a ka b --= +的递推数列都可以用倒数法求通项。如 ①已知1 111,31 n n n a a a a --== + ，求n a （答： 132n a n =-）； ②已知数列满足1a =1=n a （答：2 1 n a n = ） 注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）； （2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条 件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。如数列{}n a 满足1115 4,3 n n n a S S a ++=+=，求n a （答： ???≥?==-2 ,431 ,41 n n a n n ） 例1 在等比数列{}n a 中,16,174251=?-=+a a a a ,求通项公式n a . 例2 已知数列{}n a 中,)(1 33,011*+∈+-= =N n a a a a n n n ,求2008a . 例3 （1）已知数列{}n a 的前n 项和322 +-=n n S n ,求通项公式n a . （2）已知数列{}n a ,n S 是前n 项和,对于N n n ∈≥且,2有n n n a a S -=--11.求通项公式n a . 例4 在数列{}n a 中,,11=a 对所有的*∈≥N n n ,2,都有2 21n a a a n = ,求通项公式n a . 例5 已知数列{}n a 中, ,31,211n n n a a a a += =+求通项公式n a . 例6 （1）已知数列{}n a ,其中,,4,211n a a a n n +==+ 求通项公式n a . （2）已知数列{}n a ,其中,n n na a n a =+=+11)1(,1, 求通项公式n a . 例7 已知数列{}n a 中,)(0)1(,0,1* 1221 1N n a a na a n a a n n n n n ∈=+-+>=++,求通项公式 例8 已知数列{}n a 的前n 项和为n s ,且)2(1 222 ≥-=n S S a n n n ，11=a ,求{}n a 通项公式 例9 已知数列{}n a 中,23,111+==+n n a a a ,求通项公式n a . 题型二、数列的求和. 例10 等比数列{}n a 中,,6,284==S S 求20191817a a a a +++的值和n S 4).(* ∈N n 例11 数列{}n a 中,,2 n n a n -=求前n 项和. 例12 b a ,在不相等的两个正数b a ,中间,插入n 个正数,使它们构成以a 为首项,b 为末项的等比数列,求插入的这 n 个数的积。 例13 数列 ,2 1 )23(,,817,414,211n n +-的前20项的和. 例14 数列n a n n +=-1 2 的前n 项和. 例15 求2 2 2 2 2 2 12979899100-++-+- 例16 求数列n +++++++ 3211 ,,3211,211, 1的前n 项和. 例17 求和132)12(7531--+++++=n n x n x x x S . 例18 已知数列.,2221.,2221,221,21,112322 -++++++++++n 的前n 项和。 三、优化训练 1. 等差数列{}n a 的前n 项和,22 n n S n +=那么它的通项公式是( ) A ． 12-=n a n B ．12+=n a n C ．14-=n a n D ．14+=n a n 2. 一个等差数列{}n a 的前4项和为21, 末4项和为67,则前26项和26S 为( ) A ． 1142 B ．572 C ．286 D ．352 3. 公比为整数的等比数列{}n a 中,,12,183241=+=+a a a a 那么=+++8765a a a a ( ) A ．480 B ．493 C ．495 D ．498 4. 数列{}n a 的通项公式为,1 1++= n n a n 若,9=n S 则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．99 D ．100 5. 数列1222221,,221,21,1-+++++++n ,….的前n 项和等于( ) A ． n n -+12 B ．221--+n n C ．n n -2 D ．n 2 6. 在等差数列{}n a 中,,24)(2)(31310753=++++a a a a a 则此数列的前13项的和13s =( ) A ．26 B ．13 C ．52 D ．156 7. 已知等差数列{}n a 中,,0≠n a 若,1>m 且2 11m m m a a a -++-=0,38212=-m s ,则m 为( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 8. 已知n s 是等差数列{}n a 的前n 项和,)12)(12(12+-=-n n S n ,则=n S ( ) A ．)2(+n n B ． )32(2+n n C ．)32(+n n D ．)12(2 +n n 9. 等差数列{}n a 中,,137,198==S d 则=++++98642a a a a . 10. 在小于100的整数中,被3除余2的一切数的和是 . 11. 首项为3,公差为2的等差数列{}n a ,n S 为其前n 项和,则n S S S S 11121+++= = 12. 22 1 813412211n ++++ = . 13. n n 2 1 2423132+++++ = . 14. =++++ 5 555555555个n . 15. 已知等差数列{}n a 中,684321=+++a a a a ,30109876=++++a a a a a 求15a 到30a 的和. 16. 已知项数为偶数的等差数列{}n a 中,奇数项的和为30,偶数项的和为18,首项比末项大22,求各项的和. 17. 数列{}n a 中, n S 为其前n 项和,且.1),,2,1(2411==+=+a n a S n n （1）设),2,1(21 =-=+n a a b n n n ,求证{}n b 是等比数列; （2）设)3,2,1(2 == n a c n n n ,求证{}n b 是等差数列; （3）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和. 数列题选（选填题） 1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若357=S ,则=4a ( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 2．设{}n a 是公差为正数的等差数列,若,15321=++a a a 80321=??a a a ,则=++131211a a a ( ) A ．120 B ．105 C ．90 D ．75 3．已知等差数列{}n a 中,,15,742==a a 则前10项和10S =( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400 4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,,3 1 63=S S 则=126S S ( ) A ． 10 3 B ．31 C ．81 D ．91 5．如果-1,9,,,-c b a 成等比数列,那么,( ) A ．9,3==ac b B ．9,3=-=ac b C ．9,3=±=ac b D ．9,3±==ac b 6．设),(22222)(1031074N n n f n ∈+++++=+ 则=)(n f ( ) A ．)18(72-n B ．)18(721-+n C ．)18(723-+n D ．)18(7 2 4-+n 7．设数列{}n a 是等差数列, ,9,96531==++a a a a 则这个数列前6项和等于( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 8．已知数列{}n a ,{}n b 都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,,,11* ∈N b a .511=+b a 设 ),(?∈=N n a c n b n 则数列{}n c 的前10项和等于 A ．55 B ．70 C ．85 D ．100 9．在等比数列{}n a 中,若,0>n a 且,6473=?a a 则=5a ( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 10．在等差数列{}n a 中,,1264=+a a n S 是数列{}n a 的前n 项和,则9S 的值为( ) A ．48 B ．54 C ．60 D ．66 11．在等比数列{}n a 中,,21=a 设n S 是数列{}n a 的前n 项和,若数列{}1+n a 也是等比数列 则n S =( ) A ．221-+n B ．3n C ．2n D ．13-n 12．在等差数列{}n a 中,已知,13,2321=+=a a a 则=++654a a a ( ) A ．40 B ．42 C ．43 D ．45 13．在等比数列{}n a 中,,3,1101==a a 则=98765432a a a a a a a a A ．81 B ．52727 C ．3 D ．243 14．若互不相等的实数c b a ,,成等差数列,b a c ,,成等比数列,且,103=++c b a 则=a ( ) A ．4 B ．2 C ．—2 D ．—4 15．若数列{}n a 满足:?+∈==N n a a a n n ,2,111,则=+++n a a a 21 16．已知某等差数列共有10项,其奇数项的和为15, 偶数项的和为30,则公差为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 17．设n S 为等差数列前n 项和,且,30,147104=-=S S S 则=9S 18．在各项均不为零的等差数列{}n a 中,若),2(0121≥=+-++n a a a n n 则=--n S n 412( ) A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2 19．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若,2001a a +=且三点C B A ,,共线(该直线不过原点O )则 =200S ( ) A ．100 B ．101 C ．200 D ．201 20．已知等差数列{}n a 中,,882=+a a 则设{}n a 的前9项和9S =( ) A ．18 B ．27 C ．36 (D)45 21．“等式βγα2sin )sin(=+成立”是γβα,,成等差数列的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 数列题选（解答题） 1．设数列{}n a 前n 项和为n S ,且方程02 =--n n a x a x 有一根为.,3,2,1,1 =-n S n （1）求;,21a a （2）求{}n a 的通项公式. 2．已知正项数列{}n a ,其前n 项和n S 满足,65102++=n n n a a S 且1531,,a a a 成等比数列, 求（1）数列{}n a 的通 项n a ， （2）已知项数为奇数的等差数列{}n a 中,奇数项的和为44,偶数项的和为33,求中间项和项数. 3．在等差数列{}n a 中,,11=a 前n 项和n S 满足条件.,3,2,1,1 2 42 =++=n n n Sn S n （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记)0(>=p p a b n a n n ,求数列{}n b 的前n 项和n T 4．已知{}n a 满足2 3 1= a ，且).,2(12311*--∈≥-+=N n n n a na a n n n （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：对一切正整数,n 不等式n a a a n ?<221 ！恒成立. 5．设n S 是数列{}n a 的前n 项和,点))(,(*∈N n n S n n 均在函数23-=x y 的图象上, （1）求数列{}n a 的通项公式. （2）设n n n n T a a b ,31+= 是数列{}n b 的前n 项和,求使得20 m T n <对所有* ∈N n 都成立的最小正整数.m 6．已知数列{}n a 满足).(23,3,11221* ++∈-===N n a a a a a n n n （1）证明: 数列{ }n n a a -+1是等比数列; （2）求数列{}n a 的通项公式. （3）若数列{}n b 满足),()1(44 411 121*---∈+=N n a n n b n b b b 证明: 数列{}n b 是等差数列; 7．已知数列{}n a 满足).(12,111*+∈+==N n a a a n n （1）求数列{}n a 的通项公式. （2）若数列{}n b 满足),()1(44 411 121*---∈+=N n a n n b n b b b 证明: 数列{}n b 是等差数列; （3）证明:)(2 31213221*+∈<+++<-N n n a a a a a a n n n 8．已知,21=a 点),(1+n n a a 在函数x x x f 2)(2 +=的图象上,其中,.,3,2,1 =n （1）证明: 数列{})1lg(n a +是等比数列; （2）设)1()1)(1(21n n a a a T +++= ，求n T 及数列{}n a 的通项公式. （3）记211++=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并证明11 32 =-+n n T S 。 9．已知有穷数列{}n a 共有k 2项(整数)2≥k ,首项21=a ,设该数列前n 项和为n S ,且 )12,,3,2,1(2)1(1-=+-=+k n S a a n k 其中常数.1>a （1）求证：数列{}n a 是等比数列； （2）若1 222 -=k a ，数列{}n b 满足)2,,2,1)((2 1 212k n a a a lon b n n == ，求数列{}n b 的通项公式； （3）若（2）中的数列{}n b 满足不等式2 3232323121221-+-++-+- --k k b b b b ,4≤求k 的值. 高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列． 假如单以金钱来算,我在香港第六、七名还排不上,我这样说是有事实根据的.但我认为,富有的人要看他是怎么做.照我现在的做法我为自己内心感到富足,这是肯定的. 求数列通项专题高三数学复习教学设计 海南华侨中学邓建书 课题名称 求数列通项（高三数学第二阶段复习总第1课时） 科目 高三数学 年级 高三（5）班 教学时间 2009年4月10日 学习者分析 数列通项是高考的重点内容 必须调动学生的积极让他们掌握！ 教学目标 一、情感态度与价值观 1. 培养化归思想、应用意识. 2.通过对数列通项公式的研究 体会从特殊到一般 又到特殊的认识事物规律 培养学生主动探索 勇于发现的求知精神 二、过程与方法 1. 问题教学法------用递推关系法求数列通项公式 2. 讲练结合-----从函数、方程的观点看通项公式 三、知识与技能 1. 培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力； 2. 在领会函数与数列关系的前提下 渗透函数、方程的思想 教学重点、难点 1.重点：用递推关系法求数列通项公式 2.难点：（１）递推关系法求数列通项公式（２）由前n项和求数列通项公式时注意检验第一项（首项）是否满足 若不满足必须写成分段函数形式；若满足 则应统一成一个式子. 教学资源 多媒体幻灯 教学过程 教学活动1 复习导入 第一组问题： 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2） 由递推关系知道已知数列是等差或等比数列即可用公式求出通项 第二组问题：[学生讨论变式] 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2）； 解题方法：观察递推关系的结构特征 可以利用"累加法"或"累乘法"求出通项 （3） 解题方法：观察递推关系的结构特征 联想到"？=？)" 可以构造一个新的等比数列 从而间接求出通项 教学活动2 变式探究 变式1：数列中 求 思路：设 由待定系数法解出常数 巩固 1．下列说法正确的是( ) A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 C ．数列{n ＋1n }的第k 项为1＋1 k D ．数列0,2,4,6，…可记为{2n } 解析：选C.由数列的定义可知A 、B 错误；数列{n ＋1 n }的第k 项为k ＋1k ＝1＋1 k ，故C 正确；数列0,2,4,6，…的通项公式为a n ＝2n －2，故D 错．综上可知，应选C. 2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 2a n ＋3，则a 5＝( ) A ．108 B.1 108 C ．161 D.1 161 解析：选D.a 1＝1，a 2＝a 12a 1＋3＝15，a 3＝a 22a 2＋3＝117，a 4＝ a 3 2a 3＋3＝153，a 5＝a 42a 4＋3＝1161 . 3．(2008年高考江西卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1 n )，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 解析：选A.因为a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1 n )， 从而有a n ＝a n －1＋ln n n －1 a n －1＝a n －2＋ln n －1 n －2 ? ? a 2＝a 1＋ln2 累加得a n ＋1＝a 1＋ln(n ＋1n .n n －1.n －1n －2 (2) 1) ＝2＋ln(n ＋1)， ∴a n ＝2＋ln n ，故应选A. 4.数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：由已知，a n ＋1－a n ＝2n ，故a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n (n －1)． 答案：n (n －1) 5．数列53，108，17 a ＋ b ，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )可以是 ________． 解析：从上面的规律可以看出????? a ＋ b ＝15 a － b ＝26 ， 解上式得????? a ＝412 b ＝－11 2. 答案：(412，－11 2) 6．写出满足条件的数列的前4项，并归纳出通项公式： (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)； (2)a 1＝3，a n ＋1＝3a n (n ∈N *)． 解：(1)由条件得a 1＝0，a 2＝0＋1＝1＝12， a 3＝1＋(2×2－1)＝4＝22， a 4＝4＋(2×3－1)＝9＝32， 归纳通项公式为a n ＝(n －1)2. 一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2， （1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1． 高三数学数列专题复习题含答案 一、选择题 1.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数 ()128()()()f x x x a x a x a =---L ，则()'0f =（ ） A ．62 B. 92 C. 122 D. 152 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x 项均取0，则()' 0f 只与函数()f x 的一次项 有关；得：412 123818()2a a a a a a ??==L 。 2、在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 【答案】C 3、已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ?? ???? 的前5项和为 （A ） 158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）15 8 【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。 显然q ≠1，所以3639(1q )1-=121-q 1q q q q -?+?=-，所以1{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列， 前5项和5 51 1()31211612 T -= =-. 4、已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a = (A) 【答案】A 【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===g ，3 7897988()a a a a a a a ===g 10,所以 13 2850a a =, 所以13 3 3 64564655 28()()(50)52a a a a a a a a a =====g 5.已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ， 321 ,22 a a 成等差数列，则91078a a a a +=+ A.12+ B. 12- C. 322+ D 322- 6、设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是 A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=- C 、2 Y XZ = D 、()()Y Y X X Z X -=- 【答案】 D 【分析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足。 8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=?-+=-，解得2d =， 所以22(1) 11212(6)362 n n n S n n n n -=-+ ?=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。 9、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时， 2123221log log log n a a a -+++=L A. (21)n n - B. 2 (1)n + C. 2n D. 2 (1)n - 第2讲数列求和及综合问题 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________. 解析法一因为a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1， 所以当n为偶数时，a n＋2＋a n＝3n－1， 所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41， 所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92. 因为数列{a n}的前16项和为540， 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.① 因为当n为奇数时，a n＋2－a n＝3n－1， 所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38， 所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.② 由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184. 又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102， 所以a 1＋a 1＋10＋a 1＋44＋a 1＋102＝184，所以a 1＝7. 法二 同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1， 由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋1 2 ＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋1 4， 所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋1 4＋a 1. 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15 ＝a 1＋? ????34×12＋1＋14＋a 1＋? ????34×32＋3＋14＋a 1＋? ?? ?? 34×52＋5＋14＋a 1＋ ? ????34×72＋7＋14＋a 1＋? ????34×92＋9＋14＋a 1＋? ?? ??34×112 ＋11＋14＋a 1＋ ? ???? 34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)， 所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＝－2n －1. 所以S 6＝－1×（1－26）1－2 ＝－63. 法二 由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63. 数学基础知识例题 数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案 例1. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 例2. 解：∵1--=n n n S S a ,∴ n n n S S 221=--,∴12 211 =---n n n n S S 设n n n S b 2= 则{}n b 是公差为1的等差数列,∴11-+=n b b n 又∵2 322111=== a S b , ∴ 212 +=n S n n ,∴12)12(-+=n n n S ,∴当2n ≥时 2 12)32(--+=-=n n n n n S S a ∴????+=-2 2 )32(3 n n n a (1)(2)n n =≥,12)12(-+=n n n S 例3 解：1221)1(----=-=n n n n n a n a n S S a 从而有11 1 -+-=n n a n n a ∵11=a ,∴312=a ,31423?=a ,3142534??=a ,3 1 4253645???=a , ∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=???-+????--=n n n n n n n a n ,∴122+==n n a n S n n . 例4.解：)111(2)1(23211+-=+=++++= n n n n n a n ∴12)111(2)111()3 1 21()211(2+= +-=??????+-++-+-=n n n n n S n 例5.A 例6. 解:1324321-+++++=n n nx x x x S ①()n n n nx x n x x x xS +-++++=-132132 ② ①-②()n n n nx x x x S x -++++=--1211 ， 当1≠x 时,()()x nx x n x nx nx x nx x x S x n n n n n n n n -++-=-+--=---=-++1111111111 ∴()() 2 1111x nx x n S n n n -++-=+; 当1=x 时，()2 14321n n n S n +=++++= 例7.C 例8.192 例9.C 例10. 解：14582 54 54255358-=-? =?==a a a q a a 另解：∵5a 是2a 与8a 的等比中项，∴25482-?=a ∴14588-=a 例11.D 例12.C 例13.解：12311=-==S a , 当2n ≥时,56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n ,1=n 时亦满足 ∴ 56-=n a n , ∴首项11=a 且 )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成等差数列且公差为6、首项11=a 、通项公式为56-=n a n 例14. 解一：设首项为1a ，公差为d 则???? ????? = ??+??++=?+1732225662256)(635421112121 11d a d d a d a 5=?d 解二：??? ??==+27 32354 奇偶偶奇S S S S ???==?162192奇偶S S 由 d S S 6=-奇偶5=?d 例15. 解：∵109181a a a a =，∴205 100 110918===a a a a 例16. 解题思路分析： 法一：利用基本元素分析法 设{a n }首项为a 1，公差为d ，则71151 76772 151415752 S a d S a d ?? =+=?????=+=??∴ 121a d =-??=? ∴ (1)22n n n S -=-+∴ 15 2222 n S n n n -=-+=-此式为n 的一次函数 ∴ {n S n }为等差数列∴ 21944n T n n =- 法二：{a n }为等差数列，设S n =An 2 +Bn ∴ 2 72 157******** S A B S A B ?=?+=??=?+=?? 解之得：12 5 2 A B ?=????=-??∴ 21522n S n n =-，下略 注：法二利用了等差数列前n 项和的性质 例17.解：设原来三个数为2,,aq aq a 则必有 )32(22-+=aq a aq ①,)32()4(22-=-aq a aq ② 由①： a a q 24+=代入②得：2=a 或9 5 =a 从而5=q 或13 ∴原来三个数为2,10,50或9 338 ,926,92 例18.70 例19. 解题思路分析： ∵ {a n }为等差数列∴ {b n }为等比数列 高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a 高三文科数学数列专题 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n，已知a1030, a2050 . （ 1）求通项a n； （ 2）若S n242 ，求 n ； （ 3）若b n a n20 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中，S n为前n项和，已知S77, S1575 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）若b n S n，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ，记 b n 1 ， a n . 1 2a n 1 a n （1）求证 : 数列{ b n}为等差数列； （2）求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中， a n 0 ， a1 1 ，且当 n 2 时，a n 2S n S n 1 0 . 2 （ 1）求证数列1 为等差数列；S n （ 2）求数列a n的通项 a n； （ 3）当n 2时，设b n n 1 a n，求证： 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中，a18, a4 2 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设S n| a1 | | a2 || a n |，求 S n； 1 (n N *) ， T n b1 b2 b n (n N *) ，是否存在最大的整数m 使得对任（ 3）设b n n(12 a n ) 意 n N * ，均有T n m m 的值，若不存在，请说明理由. 成立，若存在，求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列，且a13, a39 . （ 1）求{ a n}的通项公式； （ 2）证明： 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设b n a n，则 n 为何值时， { b n } 的项取得最小值，最小值为多少？n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和 为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式； （ 2）记c n a n b n，求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . （1）求数列{ a n}的通项公式a n； （2）数列{ a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n，设a n是S n与 2 的等差中项，数列{ b n} 中， b1 1，点 P(b n , b n 1 ) 在 直线 y x 2 上. （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式 高三 数学 科 数列的综合应用 （复习）学案 考纲要求：综合利用等差数列与等比数列的有关知识，解决数列综合问题和实际问题。 课前预习 一、 知识梳理 1. 解答数列应用题的步骤： 2. 数列应用题常见模型：（1）等差模型 （2）等比模型 （3）递推数列模型 二、 自我检测 1.等比数列{a n }的前 n 项和为 s n ，且 12344a 2a a a 1s ==1，，成等差数列，若，则 （ ）A 7 B 8 C 15 D 16 2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比 数列，且c=2a ，则cosB= （ ）A 1 4 B 34 3.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将将病毒全部杀死至少需要（ ） A 6秒 B 7秒 C 8秒 D 9秒 4．等差数列{n a }中，n a ≠0，n ∈N +,有2 3711220,a a a -+=数列{b n }是等 比数列，且7768,b a b a ==则 （ ）A 2 B 4 C 8 D 16 5.已知三个数a 、b 、c 成等比数列，则函数f （x ）=ax 2+bx+c 的图像与x 轴公共点的个数为 6.在数列{n a }中，对任意自然数n ∈N +，1221,n a a a ++=-n …则 122 2a a ++=2n …+a 课内探究 典例讲解 题型一：性质的综合应用 例1 设{n a }为等差数列，{n b }为等比数列，112432431,,,a b a a b b b a ==+==分别求出{n a }及{n b }的前10项和1010,.S T 题型二：求通项公式 例2 在数列{n a }中，111,22.n n n a a a +==+（1）设1 ,2n n n a b -=证明数列{n b }是等差数列； （2）求n a 数列{n a }前n 项和s n 。 例3 (2009全国1，理20)在数列{n a }中，1n+1n n 1 n 1 a 1a 1a .n 2 +== ++，（） （1）设b n = n a n ，求数列{b n }的通项公式； （2）求数列{a n }的前n 项和s n . 数列 20．（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 满足：22,5642=+=a a a ，数列{}n b 满足n n n na b b b =+++-12122 ，设数列{}n b 的前n 项和为n S 。 （Ⅰ）求数列{}{}n n b a ,的通项公式； （Ⅱ）求满足1413< （1）求这7条鱼中至少有6条被QQ 先生吃掉的概率； （2）以ξ表示这7条鱼中被QQ 先生吃掉的鱼的条数，求ξ的分布列及其数学期望E ξ． 18．解：（1）设QQ 先生能吃到的鱼的条数为ξ QQ 先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼，()177 P ξ== ……………2分 QQ 先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼，()61667535 P ξ==?= ……4分 故QQ 先生至少吃掉6条鱼的概率是()()()1166735P P P ξξξ≥==+== ……6分 （2）QQ 先生能吃到的鱼的条数ξ可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天QQ 先生吃掉黑鱼,其概率为 64216(4)75335P ξ==??= ………8分 ()6418575335 P ξ==??=………10分 所以ξ的分布列为（必须写出分布列, 否则扣1分） ……………………11分 故416586675535353535 E ξ????= +++=，所求期望值为5． (12) 20.∵a 2=5，a 4+a 6=22，∴a 1+d=5，（a 1+3d ）+（a 1+5d ）=22， 解得：a 1=3，d=2． ∴12+=n a n …………2分 在n n n na b b b =+++-1212 2 中令n=1得：b 1=a 1=3， 又b 1+2b 2+…+2n b n+1=（n+1）a n+1， ∴2n b n+1=（n+1）a n+1一na n ． ∴2n b n+1=（n+1）（2n+3）－n （2n+1）=4n+3， 新数学《数列》期末复习知识要点 一、选择题 1．在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111 n a a a +++L 的值 A ． 1 n n - B ． 1 n n + C ． 1 1n n -+ D ． 1 n n + 【答案】A 【解析】 分析：由叠加法求得数列的通项公式(1)n a n n =-，进而即可求解23111 n a a a +++L 的和. 详解：由题意，数列{}n a 中，110,2n n a a a n +=-=， 则112211()()()2[12(1)](1)n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-L L ， 所以 1111 (1)1n a n n n n ==--- 所以 231111111111(1)()()12231n n a a a n n n n -+++=-+-++-=-=-L L ，故选A. 点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 2．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【答案】B 【解析】 由a 1+a 3+a 5=21得24242 1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2 135()22142q a a a ++=?=，选B. 3．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12 B ．21 C ．24 D ．36 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】 因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 届高三数学第二轮复习数列综合 数列综合 ★★★高考要考什么 本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n 项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则． 高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查1()a d q 、、 n n n a S 、、间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论． 高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型： （1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力． （2）给出S n 与a n 的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力． （3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力． 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列． ★ ★★ 突 破 重 难 点 【范例1】已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且11 113114413144 n n n n n n a a b b a b ----?=++??? ?=++??（2n ≥） （I ）令n n n c a b =+，求数列{}n c 的通项公式； （II ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S ． 一、数列的概念选择题 1．已知数列{}n a 的通项公式为2 n a n n λ=-（R λ∈），若{}n a 为单调递增数列，则实 数λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞ B ．(),2-∞ C ．(),1-∞ D ．(),0-∞ 2．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．3- 3．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若11 02 a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+ D ．71089a a a a +>+ 4．已知数列{}n a 的前n 项和为( )* 22n n S n =+∈N ，则3 a =( ) A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 5．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ） A ．()2 1n a n n =-- B ．2 1n a n =- C ．() 12 n n n a += D ．() 12 n n n a -= 6．若数列的前4项分别是 1111,,,2345 --，则此数列的一个通项公式为（ ） A ．1(1)n n -- B ．(1)n n - C ．1 (1)1 n n +-+ D ．(1)1 n n -+ 7．在数列{}n a 中，11 4 a =-，1 1 1(1)n n a n a -=- >，则2019a 的值为（ ） A ． 45 B ．14 - C ．5 D ．以上都不对 8．已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，则574a a -=（ ） A ．30 B ．20 C ．40 D ．50 9．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有 ()()()f x f y f x y ?=+，若112 a = ，()() * n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足（ ） A ． 1324n S ≤< B ．314n S ≤< C ．102 n S <≤ D ． 1 12 n S ≤< 10．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（ ） A ．21n a n =- B ．()1(21)n n a n =-- 高考数学数列大题专题 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥ （1）求数列n a 的通项公式； （2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。 4.已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且． （Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{n n a 2}是等差数列； （Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S 5.已知数列{}n a 满足31=a ，1211-=--n n n a a a . （1）求2a ，3a ，4a ； （2）求证：数列11n a ??? ?-?? 是等差数列，并写出{}n a 的一个通项。 622,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证： ⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列； ⑵n a n n 221-=+； ⑶4)1(2221-+-=++++n n a a a n n Λ. 7. .已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60，且2116a a a 和为 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前； （2）若数列}1{,3),(}{11n n n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n . 高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈ A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 数列（理） 考查内容：本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、 不等式证明等基础知识，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力、 推理论证能力及综合分析、解决问题的能力。 1、在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+。 （1）设1 2 n n n a b -= 。证明：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。 2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=- （1）证明：当2b =时，{} 12n n a n --?是等比数列； （2）求{}n a 的通项公式 3、已知数列{}n a 的首项12 3 a = ，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…。 （1）证明：数列? ?? ?? ?-11n a 是等比数列； （2）数列? ?? ?? ?n a n 的前n 项和n S 。 4、已知数列{}n a 满足：1±≠n a ，2 11=a ，()() 2211213n n a a -=-+，记数列21n n a b -=，221n n n c a a +=-， n N *∈。 （1）证明数列 {}n b 是等比数列； （2）求数列{}n c 的通项公式； （3）是否存在数列{}n c 的不同项k j i c c c ,,，k j i <<，使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项 k j i c c c ,,，k j i <<；若不存在，请说明理由。 5、已知数列{}n a 、{}n b 中，对任何正整数n 都有： 11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--L 。 （1）若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）若数列{}n b 是等比数列，数列{}n a 是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由； （3）若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，求证：1132 n i i i a b =<∑ 。 6、设数列{}n a 满足11a =，22a =，121 (2)3 n n n a a a --= +，(3,4,)n =L 。数列{}n b 满足11,(2,3,)n b b n ==L 是非零整数，且对任意的正整数m 和自然数k ，都有 111m m m k b b b ++-≤+++≤L 。 （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记(1,2,)n n n c na b n ==L ，求数列{}n c 的前n 项和n S 。 7、有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a ， (,1,2,3,,, 3)m k n n =L ≥，公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a L 成等差数列。 （1）证明1122m d p d p d =+，n m ≤≤3，12,p p 是m 的多项式，并求12p p +的值； （2）当121, 3d d ==时，将数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d L （每组数的个数构成等差数列），设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}m c m d 的前n 项和n S 。 （3）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（2）中的n S ，求使得不等式1 (6)50 n n S d ->成立的所有N 的值。 8、数列}{n a 的通项公式为?? ? ? ?-=3sin 3cos 22 2 ππn n n a n ，其前n 项和为n S 。 （1）求n S ； （2）设n n n n S b 4 3?= ，求数列}{n b 的前n 项和n T 。 9、数列}{n a 满足}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22 n n n n n a a a a a n ππ+===++=L 满足。高中数学数列专题大题训练
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天津市高三数学总复习 综合专题 数列 理 (学生版)