41时,t+t
1
≥2?当t=1≥2a 时,y min =2; ②当a>
41时,t ≥2a ≥1, y=t+t 1是增函数?当t=2a 时,y min =2a +2
21; 10、解析:①∵b>2a ?-a
b
2<-1?f(x)在[-1,1]上的增函数 ∵|sinx|≤1
∴f min (sinx)=f(-1)=-4, f max (sinx)=f(1)=2 ?a -b+c=-4, a+b+c=2 ?b=3 ∴a=1, c=-2 ∴f(x)=x 2+3x -2=(x+
23)2-4
17 ∴当x=-
23时,f min (x)=-4
17
。 ②令x=1代入4x ≤f(x)≤2(x 2+1)得f(1)=4?a+b+c=4 ∵4x ≤f(x)?ax 2+(b -4)x+c ≥0恒成立
∴?≤0?(b-4)2-4ac ≤0?(-a-c)2-4ac ≤0?(a-c)2≤0?a=c ∵b ∈N ?a+c ≤4?2c ≤4?c ≤2?c=1或c=2 经检验c=2不合题意,应舍去 ∴c=1
11、解析:∵y=7
2106261742
234++++++x x x x x x =(x 2
+2x+7)+72642++x x -1 设u= x 2+2x+7=(x+1)2+6∈[6,10] ∵y=u+
u
64
-1在[6,8]上是减函数;在[8,10]上的增函数 ∴y min =15;y max =
3
47 12、解析:∵f(x)≤g(x)????
??+≤+>+>+2)2(1020
1t x x t x x ??????++-≥->>+1
2201x x t x t x
∴x ∈[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立? x ∈[0,1]时,t ≥-2x+1+x 恒成立
设h(x)= -2x+1+x ,令u=1+x ?x=u 2-1 (1≤u ≤2)
∴h(x)=-2(u -
41)2+8
17
∴当u=1?x=0时,h max (x)=1 ∴t 的取值范围为[1,+∞)。
13、解析:①令t=1
232
2+++mx n x x ?(3-mt)x 2
+2x+n-t=0 ∵?≥0?4-4(3-mt)( n-t)≥0?mt 2-(3+mn)t+3n-1≤0 ∵2≤t≤4
∴???=-++-=-++-013)3(416013)3(24n mn m n mn m ????==31n m 或???
????==
310
89n m (不符合题意,舍去)
②∵t=1
1232
2+-+m x x x ?(3-mt)x 2
+2x-1-t=0 ∴?≥0?4-4(3-mt)( -1-t)≥0?mt 2-(3-m)t-4≤0 (1)当m=0时,t ≥-
3
4
,符合题意 (2)当m ≠0时,要使函数的值域包含(0,+∞),只须m<0时,方程mt 2-(3-m)t-4=0有两个负根
∴?????
????>-<-≥----<04030)4(4)]3([02
m
m m m m m ?m ≤-9或-1≤m<0 ∴所求m 的联欢会范围为(-∞,9]∪[-1,0]。 14、解析:∵f(x)=
136324+--x x x -124+-x x =222)2()3(-+-x x -
222)1(-+x x
∴函数y=f(x)的几何意义是抛物线y=x 2上的点P(x,x 2)到两定点A(3,2), B(0,1)的距离之差 ∴|PA|-|PB|≤|AB|=10
15、解析:∵f(x)=-x 2+2tx -t=-(x -t)2+t 2-t, x ∈[-1,1] ①当t ≤-1时,f(x)max =f(-1) ②当-1∴f(x)max =??
???≥-<<---≤--11111132
t t t t t t t
∴[f(x)max ]min =-4
1。 16、解析: 17、解析:
18、解析:∵x=y=0不满足4x 2-5xy+4y 2=5 ∴S ≠0
∵S=x 2
+y 2
?1=S
y x 2
2+
∴4x 2
-5xy+4y 2
=5?4x 2
-5xy+4y 2
=5?S
y x 2
2+
不妨设y ≠0
∴(4S -5)(
y x )2-5S?y
x
+(4S -5)=0 ∵
y
x ∈R ∴?≥0?(5S)2-4(4S -5)2≥0?
1310≤S ≤310?103≤S 1≤10
13 ∴
min
1S +
max
1S =
103+1013=5
8
19、解析:分三种情况讨论
①若0≤a
∴??
?==a b f b a f 2)(2)(????==3
1
b a
②若a<0
∴???==a a f b f 2)(2)0(或???==a b f b f 2)(2)0(???
???=
--=41317
2b a ③若a
∴?
??==b b f a
a f 2)(2)(无解
∴所求的区间为[1,3]或[―2―17,4
13
]。 20、解析:∵f(x 3)=0
∴f(x)=f(x)-f(x 3)=(x-x 3)[x 2+(a+x 3)x+x 32+ax 3+b]
∴x 1,x 2是方程x 2+(a+x 3)x+x 32+ax 3+b=0的两根?x 1+x 2=-(a+x 3), x 1x 2=x 32+ax 3+b ∵x 2-x 1=λ?(a+x 3)-4(x 32+ax 3+b)=λ2?3x 32+2ax 3+λ2+4b-a 2=0 ?x 3=
3
1
(-a+223124λ--b a ) (*)且4a 2-12b-3λ2≥0 (**) 注意:由条件①②可得x 3>-
3
a ∵f(x)=x 3
+ax 2
+bx+c=(x+3a )3-(3
2a -b)(x+3a )+272a 3+c-31
ab
∵f(x 3)=0?31ab-272a 3-c=(x 3+3a )3-(3
2a -b)(x 3+3a
) (***)
由(*)得x 3+31a=
31
2
2
3124λ--b a =
3
3
24
32
2λ-
-b a 令p=3
2
a -b
由(**)(***)得p ≥42λ且31
ab-272a 3-c=
9
324
2
λ-
p (p-λ2)
令y=
4
2
λ-
p
∴y ≥0且
31ab-272a 3-c=9
32y(y 2-43λ2
)
∵y(y 2-
43λ2)+41λ2=y 3-43x 3y+41λ2=(y-2
1
λ)2(y+λ)≥0 ∴31ab-272a 3-c ≥-183λ3?2a 3
+27c-9ab ≤233λ3?3
39272λab c a -+≤233
取a=23, b=2, c=0, λ=2,则f(x)=x 3+23x 2+2x 有艰-3-1, -3+1, 0显然假设条件成立且
3
39272λab c a -+=81(483-363)=23
3 ∴(
3
39272λab
c a -+)max=
2
3
3 函数的方程迭代
1、f(x)=
x
2
-x
2、f(x)=
21x 2+2
1x 3、解析:①设x 0是集合A 中的任一元素,即有x 0∈A
∵A={x|x=f(x)}
∴x 0=f(x 0)?f[f(x 0)]=f(x 0)=x 0?x 0∈B ∴A ?B
②∵A={-1,3}={x|x 2+px+q=x}={x|x 2+(p-1)x+q=0}
∴???=?---=+-q p 3)1()1(31????-=-=3
1q p ?f(x)= x 2-x-3 ∵f[f(x)]=x ?x 4-2x 3-6x 2+6x+9=0?(x 2-2x-3)(x 2-3)=0?x=-1或3或3或-3 ∴B={-1,3,-3,3}。
4、解析:反复利用②
∵f(x+5)≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4≤f(x)+5 (*) ∴f(x+5)=f(x)+5
∴由(*)可以得到f(x+1)=f(x)+1 ∴g(6)=f(6)+1-6=[f(1)+5]-5=f(1)=1
5、解析:①∵方程f(x)=2x 有等根?⊿=0?b=2 ∵f(x -1)=f(3-x)?f(x)=f(2-x)?图象的对称轴为x=-a
b
2=1?a=-1 ∴f(x)=-x 2+2x
②f(x)=-(x-1)2+1≤1 ∴4n ≤1?n ≤
4
1 ∵抛物线y=-x 2+2x 的对称轴为x=1 ∴n ≤
4
1
时,f(x)在[m,n]上为增函数 若满足题设条件的m,n 存在,则
??
?==n n f m m f 4)(4)(????-==-==2
02
0n n m m 或或 ∵m4
1
∴m=-2,n=0,这时定义域为[-2,0],值域为[-8,0] ∴存在m=-2,n=0,满足条件。 6、解析:
①f(1)=0, f(4)=2;②增函数;③(3,4]。 7、解析:
①数学归纳法:当n=1时,g 1(x 0)=x 0显然成立;当n=k 时,在g k (x 0)=x 0 (k ∈N*)成立,则g k+1(x 0)=f[g k (x)]=f(x 0)=g 1(x 0)=x 0,即当n=k+1时,命题成立。 ∴对一切n ∈N*,若g 1(x 0)=x 0,则g n (x 0)=x 0。 ②由①知,稳定不动点x 0只需满足f(x 0)=x 0, ∵f(x 0)=x 0?6x 0-6x 02=x 0?x 0=0或x 0=
6
5。 ③∵f(x)<0?6x -2x 2<0?x<0或x>1
∴g n (x)<0?f[g n-1(x)]<0? g n-1(x)<0或g n-1(x)>1
要使一切n ∈N,n ≥2,都有g n (x)<0,必须有g 1(x)<0或g 1(x)>1 ∵g 1(x)<0?6x -2x 2<0?x<0或x>1 g 1(x)>1?6x -2x 2>1?
633-3
3+ ∴对于区间(-∞,0), (
633-,6
33+)和(1,+∞)内的任意x ,只要n ≥2,n ∈N*,都有g n (x)<0。 8、解析:
①y=f(x)存在不动点x 0,则f(x 0)=x 0,下证x 0是F n (x)的不动点。 ∵F 2(x 0)=f[F 1(x 0)]=f[f(x 0)]f(x 0)=x 0 ∴x 0也是F 2(x)的不动点。
若F n-1(x)存在不动点x 0,即F n-1(x 0)=x 0
∴F n (x 0)=f[F n-1(x 0)]=f(x 0)=x 0? F n (x)存在不动点x 0
综上所述:对于任意n ∈N*,n ≥2,F n (x)都存在不动点,并且有相同的不动点。 ②方法一:
∵f(x)<0?2x -x 2<0?x<0或x>2
∵要使F n (x)<0 (n ≥2)?f[F n-1(x)]<0?2F n-1(x)-[F n-1(x)]2<0?F n-1(x)<0或F n-1(x)>2
依此类推,要使F 2(x)<0?f[F 1(x)]<0?f[f(x)]<0?2f(x)-[f(x)]2<0?f(x)<0或f(x)>2?2x -x 2<0或2x -x 2>2?x<0(舍去)或x>2或x ∈φ?x>2 ∴所求x 的取值范围为(2,+∞)。 9、解析:
①∵f(m+n)= f(m)?f(n) 且当x>0时,00 ∴f(0)=f(x)f(-x)?f(x)=
)
(1
x f ->1 ②设x 10?0∴f(x 2)-f(x 1)=f[(x 2-x 1)+x 1]-f(x 1)=f(x 2-x 1)f(x 1)-f(x 1)=f(x 1)[f(x 2-x 1)-1]<0 ∴f(x)在R 上单调递减
③∵f(x 2)?f(y 2)>f(1)?f(x 2+y 2)>f(1)? x 2+y 2<1
(完整word版)No.31全国高中数学联合竞赛模拟试题.doc
No.31 高中数学联赛模拟试卷 1、已知0 a b, x a b b, y b b a,则 x, y 的大小关系是. 2、设a b c , n N ,且 1 1 c n 恒成立,则 n 的最大值为 a b b a c 3、对于m 1 的一切实数 m ,使不等式 2 x 1 m(x2 1) 都成立的实数x 的取值范围是 4 、已知 f x log sin x, 0, ,设 a f sin cos , b f sin cos , 2 2 c f sin 2 ,那么 a、b、 c的大小关系是 cos sin 5、不等式4x 2 2 3 x 2000 . 的解集是 1999 6、函数f x x 2 2x 2 2 x 1 的最小值为 2x 7、若a,b,n R ,且a b n ,则 1 1 1 1 的最小值是. a b 8、若3x2 xy 3y 2 20 ,则 8x 2 23y 2的最大值是. 9、设n N ,求 | n 1949 | | n 1950 | | n 2001 |的最小值. 1 1 L 1 10、求s 1 ,则 s 的整数部分 2 3 106 11、圆周上写着红蓝两色的数。已知,每个红色数等于两侧相邻数之和,每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。证明,所有红色数之和等于0。(俄罗斯) 12、设a, b, c R ,求证:a2 b2 c2 a b c . b c c a a b 2 (第二届“友谊杯”国际数学竞赛题)
乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题 2 参考答案 1、解法 1 x a b b a , y b b a a . a b b b b a 0 a b, a b b b b a, x y . 解法 2 x a b b b b a x y b b a a b , a b b a, 1, x y . b y 解法 3 1 1 1 1 a b b b b a x y a b b b b a a a a b b a 1 1 0, x y . = a 0, x y 解法 4 原问题等价于比较 a b b a 与 2 b 的大小 . 由 x 2 y 2 ( x y) 2 , 得 2 ( a b b a )2 2(a b b a) 4b , a b b a 2 b . a b b a , a b b a 2 b , x y . 解法 5 如图 1,在函数 y x 的图象上取三个不同的 y C 点 A ( b a , b a )、B ( b , b )、C ( a b , a b ). B 由图象,显然有 k BC k AB ,即 a b b b b a , A (a b) b b (b a) 即 a b b b b a ,亦即 x y . O b-a b b+a x a 图 1 解法 6 令 f (t) a t t , f (t ) 单 a t t 调递减,而 b b a , f (b) f (b a) ,即 a b b b b a , x y . 2、解法 1 原式 a c a c n . n a c a c .而 a c a c a b b c a b b c min a b b c a b b c b c a b 2 + b c a b 4 ,且当 b c a b ,即 a c 2b a b b c a b b c a b b c 时取等号. a c a c 4 . n 4.故选 C . a b b c min
高中数学竞赛训练题(0530)
数学竞赛训练题 1、函数()x x x x x f 44cos cos sin sin ++=的最大值是_______。 2、已知S n 、T n 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和,且2412-+=n n T S n n ,则=+++15 61118310b b a b b a _______。 3、若函数()?? ? ?? +=x a x x f a 4log 在区间上为增函数,则a 的取值范围是为_______。 4、在四面体ABCD 中,已知DA ⊥平面ABC ,△ABC 是边长为2的正三角形,则当二面角A-BD-C 的正切值为2时,四面体ABCD 的体积为_______。 5、已知定义在R 上的函数()x f 满足: (1)()11=f ; (2)当10<x f ; (3)对任意的实数x 、y 均有()()()()y f x f y x f y x f -=--+12。则=??? ??31f _______。 6、已知x 、y 满足条件484322=+y x ,则542442222++-+++-+y x y x x y x 的最 大值为_______。 7、对正整数n ,设n x 是关于x 的方程nx 3 +2x-n=0的实数根,记()[]()11>+=n x n a n n (符号表示不超过x 的最大整数),则()=++++20114321005 1a a a a _______。 8、在平面直角坐标系中,已知点集I={(x ,y )|x 、y 为整数,且0≤x ≤5,0≤y ≤5},则以 集合I 中的点为顶点且位置不同的正方形的个数为_______。 9、若函数()x x x x f 2cos 24sin sin 42+?? ? ??+=π。 (1)设常数0>w ,若函数()wx f y =在区间??????- 32,2ππ上是增函数,求w 的取值范围; (2)集合??????≤≤=326ππx x A ,(){} 2<-=m x f x B ,若B B A =?,求实数m 的取值范围。
高中数学竞赛试题
1.高中数学竞赛试题 ◇1986年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海市黄埔区高中数学选拔赛试题 ◇1988年上海市高一数学竞赛试题.doc ◇1988年上海高中数学竞赛试题 ◇1989年上海高中数学竞赛试题 ◇1990年上海高中数学竞赛试题 ◇1991年上海高中数学竞赛试题 ◇1992年上海高中数学竞赛试题 ◇1993年上海高中数学竞赛试题 ◇1994年上海高中数学竞赛试题 ◇1995年上海高中数学竞赛试题 ◇1996年上海高中数学竞赛试题 ◇1997年上海高中数学竞赛试题 ◇1998年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2000年上海高中数学竞赛试题 ◇2000年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2001年上海高中数学竞赛试题 ◇2002年上海市高中数学竞赛.doc ◇2003年上海高中数学竞赛试题 ◇杭州市第7届"求是杯"高二数学竞赛 ◇杭州市第8届"求是杯"高二数学竞赛 ◇北京市海淀区第9届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第10届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第11届高二数学竞赛团体赛 ◇1986年杭州市高中数学竞赛第二试试题 ◇1990年四川省高中数学竞赛一试试卷 ◇1991年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1992年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1996河北省高中数学联合竞赛 ◇1999年河北省高中数学竞赛试题 ◇2000年锦州市“语数外”三科联赛高一数学试题.doc ◇2000年创新杯数学竞赛高一初赛试卷.doc ◇2000年上海市中学生业余数学学校高一招生试题.doc ◇2000年河北省高中数学竞赛试卷.doc ◇2000年温州市高二数学竞赛 ◇2001年锦州市“语数外”三科联赛高二数学竞赛试题◇2001年温州市高一数学竞赛试卷.wps
2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷
2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷(3) 姓名_______ 一、填空题,每题8分 1.设1 sin cos 2 +=x x ,则33sin cos +=x x 2.设i 为虚数单位,化简20162016(1)(1)++-=i i 3.已知等差数列121000,,a a a 的前100项之和为100,最后100项之和为1000,则1=a 4. 集合 [][][]{}{}231,2,,100++∈x x x x R 共有 个元素,其中[]x 表示不超过x 的 最大整数。 5.若关于x 的方程2=x x ae 有三个不同的实根,则实数a 的取值范围是
6. 在如图所示的单位正方体1111-ABCD A BC D 中,设 O 为正方体的中心,点,M N 分别在棱111,A D CC 上,112 ,23 ==A M CN ,则四面体1OMNB 的体积等于 7. 已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点,P 经过E 的两个焦点,并且P 与E 恰有三个交点,则E 得离心率等于 二、简答题 8.已知数列{}n a 满足211012 2391,5,2-----===n n n n a a a a a a ,2≥n 。用数学归纳法证明: 223+=-n n a
9.证明:对任意的实数,,a b c ≥并 求等号成立的充分必要条件。 10.求满足1≤-≤n m m n mn 的所有正整数对(,)m n
2017年高中数学竞赛模拟试卷(3)答案 一、 填空题,每题8分 1.设1 sin cos 2 += x x ,则33sin cos +=x x 解答:由1sin cos 2+= x x ,可得112s i n c o s 4+=x x ,故3 sin cos 8 =-x x ,从而33sin cos +=x x 221311 (sin cos )(sin cos sin cos )(1)2816 +-+= +=x x x x x x 2.设i 为虚数单位,化简20162016(1)(1)++-=i i 解答:由2(1)2+=i i ,可得2016 1(1)2+=i ,同理可得20161(1)2-=i 故 201620161009(1)(1)2++-=i i 3.已知等差数列121000,, a a a 的前100项之和为100,最后100项之和为1000,则1=a 解答:设等差数列的公差为d ,则有11004950100+=a d ,1100949501000+=a d 解得 10.505=a 4. 集合 [][][]{}{}231,2,,100++∈x x x x R 共有 个元素,其中[]x 表示不超过x 的 最大整数。 解答:设[][][]()23=++f x x x x 则有(1)()6+=+f x f x ,当01≤高中数学竞赛_函数【讲义】
1 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射,对于任意两个集合A ,B ,依对应法则f ,若对A 中的任意一个元素x ,在B 中都有唯一一个元素与之对应,则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射,若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射,若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ,都有一个x ∈A 使得f (x )=y ,则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射,若f : A →B 既是单射又是满射,则叫做一一映射,只有一一映射存在逆映射,即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射,记作f -1: A →B 。 定义5 函数,映射f : A →B 中,若A ,B 都是非空数集,则这个映射为函数。A 称为它的定义域,若x ∈A , y ∈B ,且f (x )=y (即x 对应B 中的y ),则y 叫做x 的象,x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围,如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数,若函数f : A →B (通常记作y =f (x ))是一一映射,则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数,通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是:在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y ),然后将x , y 互换得y =f -1(x ),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如:函数y =x -11的反函数是y =1-x 1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。 定义7 函数的性质。 (1)单调性:设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2,总有f (x 1)f (x 2)),则称f (x )在区间I 上是增(减)函数,区间I 称为单调增(减)区间。 (2)奇偶性:设函数y =f (x )的定义域为D ,且D 是关于原点对称的数集,若对于任意的x ∈D ,都有f (-x )=-f (x ),则称f (x )是奇函数;若对任意的x ∈D ,都有f (-x )=f (x ),则称f (x )是偶函数。奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称。 (3)周期性:对于函数f (x ),如果存在一个不为零的常数T ,使得当x 取定义域内每一个数时,f (x +T )=f (x )总成立,则称f (x )为周期函数,T 称为这个函数的周期,如果周期中存在最小的正数T 0,则这个正数叫做函数f (x )的最小正周期。 定义8 如果实数a a }记作开区间(a , +∞),集合{x |x ≤a }记作半开半闭区间(-∞,a ]. 定义9 函数的图象,点集{(x ,y )|y =f (x ), x ∈D}称为函数y =f (x )的图象,其中D 为f (x )的定义域。通过画图不难得出函数y =f (x )的图象与其他函数图象之间的关系(a ,b >0);(1)向右平移a 个单位得到y =f (x -a )的图象;(2)向左平移a 个单位得到y =f (x +a )的图象;(3)向下平移b 个单位得到y =f (x )-b 的图象;(4)与函数y =f (-x )的图象关于y 轴对称;(5)与函数y =-f (-x ) 的图象关于原点成中心对称;(6)与函数y =f -1(x )的图象关于直线y =x 对称;(7)与函数y =-f (x ) 的图象关于x 轴对称。 定理3 复合函数y =f [g (x )]的单调性,记住四个字:“同增异减”。例如y = x -21, u=2-x 在(-∞,2)上是减函数,y =u 1在(0,+∞)上是减函数,所以y =x -21在(-∞,2)上是增函数。 注:复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证,求导之后是显然的。 二、方法与例题 1.数形结合法。 例1 求方程|x -1|=x 1的正根的个数 .
2011年河北省高中数学竞赛试题
河北省高中数学竞赛试题2011年 一、填空题(本大题共8小题,每小题9分,满分72分) 1. 已知数列{}n a 满足:,2011,1,2403121==+≤ ++a a a a a n n n 则5a 的最大值为 . 2. 若y x ,均为正整数,且55y x -的值恰好是由一个2,一个0,两个1组成的四位数,则 满足条件的所有四位数是 . 3. 已知1222=++c b a ,则ac bc ab ++的值域为 . 4. 标号1,2,…,13号共4种颜色的卡片共计52张,加上两张空白卡片,平均放入三个不同的盒子,若某个盒子中有两张空白卡片,4张1,且2,3,…,13号卡片各一张,称该盒是“超级盒“。则出现超级盒的概率为 (列出算式即可). 5. 已知,)2()3(,3,11221n n n a n a n a a a +-+===++当n m ≥时,m a 的值都能被9整除,则n 的最小值为 . 6. 函数2011 201032211)(+++++++++++=x x x x x x x x x f 的图像的对称中心为 . 7. 6名大学毕业生到3个用人单位应聘,若每个单位至少录用其中一人,则不同的录用情况的种数是 . 8. 已知O 为坐标原点,),0,5(),0,4(C B 过C 作x 轴的垂线,M 是这垂线上的动点,以O 为圆心,OB 为半径作圆,21,MT MT 是圆的切线, 则21T MT ?垂心的轨迹方程是 . 二、解答题(本大题共6小题,每题的解答均要求有推理过程,9、10、11、12小题各12分,13、14小题各15分,共78分) 9. 解不等式.11122x x x x x <--+
高中数学竞赛模拟试题一汇总
高中数学竞赛模拟试题一 一 试 (考试时间:80分钟 满分100分) 一、填空题(共8小题,5678=?分) 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n (十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =, 1()(()) k k f n f f n +=, 1,2,3... k =,则 =)2010(2010f 。 3、如图,正方体1 111D C B A ABCD -中,二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+,则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中,给定两点(1,2)M -和(1,4)N ,点P 在X 轴上移动,当MPN ∠取最大值时,点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ,则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。
二、解答题(共3题,分44151514=++) 9、设数列}{n a 满足条件:2,121==a a ,且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证:对于任何正整数n ,都有:n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:,0>x ,m 为正常数.直线l 与曲线M 的实轴不垂直,且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点,O 为坐标原点。 (1)若||||||CD BC AB ==,求证:AOD ?的面积为定值; (2)若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1,求证:||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根,函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. (Ⅰ)求);(min )(max )(x f x f t g -= (Ⅱ)证明:对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ,若1sin sin sin 321=++u u u ,则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 (考试时间:150分钟 总分:200分) 一、(本题50分)如图, 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切,,,,E F G H 为切点,并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证:直线PA 与BC 垂直。 二、(本题50分)正实数z y x ,,,满 足 1≥xyz 。证明: E F A B C G H P O 1。 。 O 2
高中数学竞赛讲义_三角函数
三角函数 一、基础知识 定义1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制,把一周角360等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ,则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x 轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ,设它的坐标为(x ,y ),到原点的距离为r,则正 弦函数s in α= r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ,余切函数cot α=y x ,正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1,co s α=α sec 1;商数关系:tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =;乘积关系:tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α;平方关系:s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式(Ⅰ)s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;(Ⅱ)s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; (Ⅲ)s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; (Ⅳ)s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α(奇变偶不变,符号看象限)。 定理3 正弦函数的性质,根据图象可得y =s inx (x ∈R )的性质如下。单调区间:在区间 ?? ????+-22,22ππππk k 上为增函数,在区间??????++ππππ232,22k k 上为减函数,最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性:当且仅当x =2kx +2π时,y 取最大值1,当且仅当x =3k π-2 π时, y 取最小值-1。对称性:直线x =k π+2 π均为其对称轴,点(k π, 0)均为其对称中心,值域为[-1,1]。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质,根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。单调区间:在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减,在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性:偶函数。对称性:直线x =k π均为其对称轴,点?? ? ?? +0,2ππk 均为其对称中心。有界性:当且仅当x =2k π时,y 取最大值1;当且仅当x =2k π-π时,y 取最小值-1。值域为[-1,1]。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质:由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+ 2π)在开区间(k π-2π, k π+2π)上为增函数, 最小正周期为π,值域为(-∞,+∞),点(k π,0),(k π+2π ,0)均为其对称中心。 定理6 两角和与差的基本关系式:co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β,s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β; tan (α±β)= .) tan tan 1()tan (tan βαβα ±
1999年河北省高中数学竞赛试题
1999年河北省高中数学竞赛试题 班级 姓名 一、选择题 1、已知log a b+3log b a=213,当a>b>1时,2 24b a b a ++的值是 ( ) A 、13 B 、4 C 、2 D 、1 2、设M={a|a=z y x 532??,x,y,z 均为非负整数}的子集为N={b|b 101,≤≤∈b M },则N 的子集中包含元素1和10的集合有 ( ) A 、10个 B 、64个 C 、128个 D 、256个 3、将边BC=15cm 的ABC 绕边AC 旋转一周,所得旋转体是有公共底面的两个圆锥,边AB 形成的圆锥的侧面展开图是半径为20cm ,圆心角为2160的扇形,则此旋转体内切球的半径是 ( ) A 、cm 760 B 、cm 548 C 、cm 5 36 D 、60cm 4、设x 2+3y 2 -4x+6y+3≤0,则x-3y 的范围是 ( ) A 、[3,7] B 、[1,9] C 、[3-32,7+32] D 、(5-32,7) 5、x+y+z=1999的正整数解的个数是 ( ) A 、998·1997 B 、999·1997 C 、999·1999 D 、1000·1999 6、一个正方体内接于一个圆锥(其中一个底面在圆锥底面上,相对的面的四个顶点 均在圆锥的侧面上),经过圆锥的两条母线作截面,则下列图形中不可能出现的图形 个数是 ( ) A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 二、填空题(每小题9分) 7、βα, 是x 2 +2px+1=0的两个虚根,若复平面上βα,,1对应的点构成正三角形,那么实数P= ; 8、设三棱锥P —ABC 中,PC ⊥平面ABC ,PC=AB=3,AC=2,∠C 为锐角,K 为棱 AB 上的动点,则?PCK 面积的最小值为 ; 9、已知函数2 2)(+=x x x f ,当x 1=1,x n =f(x n-1)(n ∈≥n ,2N)时,x 1999= ; 10、若复数z 满足|z+1+i|+|z-1-i|=22,记|z+i|的最大值和最小值分别为M ,m , 则m M = ; 11、设a>1,m>p>0,若方程x+log a x=m 的解为p ,则方程x+a x =m 的解是 ; 12、从6名男运动员中选4人,5名女运动员中选3人,分成3个小组去参加三个不同城市的体育比赛,要求每组中男运动员和女运动员至少各有1人,则不同的选派方案种数为 。(用数字作答) 三、解答题 13、(本题20分)设点P 是双曲线122 22=-b y a x 上除顶点外的任意一点,F 1,F 2分别为 左、右焦点,c 为半焦距,?PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2切于点M ,求|F 1M|·|F 2M|的 值。
高中数学竞赛讲义_二次函数与命题
二次函数与命题 一、基础知识 1.二次函数:当≠a 0时,y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数,其对称轴为直线x =-a b 2,另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0),其中x 0=-a b 2,下同。 2.二次函数的性质:当a >0时,f (x )的图象开口向上,在区间(-∞,x 0]上随自变量x 增大函数值减小(简称递减),在[x 0, -∞)上随自变量增大函数值增大(简称递增)。当a <0时,情况相反。 3.当a >0时,方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下(记△=b 2-4ac )。 1)当△>0时,方程①有两个不等实根,设x 1,x 2(x 1x 2}和{x |x 10,当x =x 0时,f (x )取最小值f (x 0)=a b a c 442 -,若a <0,则当x =x 0=a b 2-时,f (x )取最大值f (x 0)=a b a c 442 -.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0),当x 0∈[m, n ]时,f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0n 时,f (x )在[m, n ]上的最小值为f (n )(以上结论由二次函数图象即可得出)。 定义1 能判断真假的语句叫命题,如“3>5”是命题,“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。 注1 “p 或q ”复合命题只有当p ,q 同为假命题时为假,否则为真命题;“p 且q ”复合命题只有当p ,q 同时为真命题时为真,否则为假命题;p 与“非p ”即“p ”恰好一真一假。 定义2 原命题:若p 则q (p 为条件,q 为结论);逆命题:若q 则p ;否命题:若非p 则q ;逆否命题:若非q 则非p 。 注2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。 定义3 如果命题“若p 则q ”为真,则记为p ?q 否则记作p ≠q .在命题“若p 则q ”中,如果已知p ?q ,则p 是q 的充分条件;如果q ?p ,则称p 是q 的必要条件;如果p ?q 但q 不?p ,则称p 是q 的充分非必要条件;如果p 不?q 但p ?q ,则p 称为q 的必要非充分条件;若p ?q 且q ?p ,则p 是q 的充要条件。 二、方法与例题 1.待定系数法。 例1 设方程x 2-x +1=0的两根是α,β,求满足f (α)=β,f (β)=α,f (1)=1的二次函数f (x ). 【解】 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 则由已知f (α)=β,f (β)=α相减并整理得(α-β)[(α+β)a +b +1]=0, 因为方程x 2-x +1=0中△≠0, 所以α≠β,所以(α+β)a +b +1=0. 又α+β=1,所以a +b +1=0. 又因为f (1)=a +b +c =1,
全国高中数学联赛河北省预赛高三数学试题解析版
2018年全国高中数学联赛河北省预赛 高三数学试题 一、填空题 1.若 ,且 ,则 的最小值为______________. 【答案】3 【解析】试题分析:设Z=a+bi (a ,b∈R),满足|Z-2-2i|=1的点均在以C 1(2,2)为圆心,1为半径的圆上,所以|Z+2-2i|的最小值是C 1,C 2连线的长为4与1的差,即为3. 【考点】复数模的几何意义及数形结合的思想方法, 2.若,,且满足那么. 【答案】1 【解析】【详解】 把已知条件变形为函数 在上为增函数且是奇函数,另 ,故 即 ,所以 . 3.设点O 为三角形ABC 内一点,且满足关系式: _____. 【答案】 【解析】【详解】 将 化为 , . 设M 、N 分别是AB 、AC 的中点,则 . 设△ABC 的面积为S ,由几何关系知,,, 所以 . 4.过动点M 作圆: ()()2 2 221x y -+-=的切线MN ,其中N 为切点,若MN MO =(O 为坐标原点) ,则MN 的最小值是__________.
【答案】 72 8 【解析】解答:由圆的方程可得圆心C 的坐标为(2,2),半径等于1. 由M (a ,b ),则|MN |2=(a 2)2+(b 2)212=a 2+b 24a 4b +7, |MO |2=a 2+b 2. 由|MN |=|MO |,得a 2 +b 2 4a 4b +7=a 2 +b 2 . 整理得:4a +4b 7=0. ∴a ,b 满足的关系为:4a +4b 7=0. 求|MN |的最小值,就是求|MO |的最小值。 在直线4a +4b 7=0上取一点到原点距离最小, 由“垂线段最短”得,直线OM 垂直直线4a +4b 7=0, 由点到直线的距离公式得:MN 的最小值为: 22 77 28 44= + . 5.欲登上7阶楼梯,某人可以每步跨上两阶楼梯,也可以每步跨上一阶楼梯,则共有_____种上楼梯的方法. 【答案】21 【解析】【详解】 本题采用分步计数原理. 第一类:0次一步跨上2阶楼梯,即每步跨上一阶楼梯,跨7次楼梯,只有1种上楼梯的方法; 第二类,1次一步跨上2阶楼梯,5次每步跨上一阶楼梯,跨6次楼梯,有种方 法; 第三类:2次一步跨上2阶楼梯,3次每步跨上一阶楼梯,跨5次楼梯,有种方法; 第四类:3次一步跨上2阶楼梯,1次每步跨上一阶楼梯,跨4次楼梯,有种方法;共计21种上楼梯的方法. 6.已知棱长 的正方体 内部有一圆柱,此圆柱恰好以直线 为轴,则该圆柱体积的最大值为_____. 【答案】 【解析】【详解】
全国高中数学联合竞赛试题(校模拟)附答案
全国高中数学联合竞赛试题(校模拟) 第 一 试 时间:10月16日 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1、设锐角θ使关于x 的方程2 4cos cot 0x x θθ++=有重根,则θ的弧度数为( ) A. 6 π B. 512 12 or π π C. 56 12 or π π D. 12 π 2、已知2 2 {(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。若对所有 ,m R M N ∈≠? 均有,则b 的取值范围是( ) A. ???? B. ? ?? C. (,33 - D. ???? 3、 312 1 log 202x +>的解集为( ) A. [2,3) B. (2,3] C. [2,4) D. (2,4] 4、设O 点在ABC ?内部,且有230OA OB OC ++= ,则ABC ?的面积与AOC ?的面积 的比为( ) A. 2 B. 32 C. 3 D. 53 5、设三位数n abc =,若以a ,b ,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有( ) A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个 6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的点,O 为底面圆的圆心,AB OB ⊥,垂足为B ,OH PB ⊥,垂足为H ,且PA=4,C 为PA 的中点,则当三棱锥O -HPC 的体积最大时,OB 的长是( ) A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 7、在平面直角坐标系xoy 中,函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的 区间上的图像与函数()g x = ________________。 8、设函数:,(0)1f R R f →=满足,且对任意,,x y R ∈都有 (1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+,则()f x =_____________________。
2012年河北省高中数学竞赛试题
2012年河北省高中数学竞赛试题 说明:本试卷分为A卷和B卷:A卷由本试卷的22题组成,即10道选择题,7道填空题、3道解答题和2道附加题;B卷由本试卷的前20题组成,即10道选择题,7道填空题和3道解答题。 一、选择题(本大题共有10小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题5分,共50分) 1. 已知,则可化简为( D ) A. B. C. D. 解答:因为,所以= 。正确答案为D。 2.如果复数的模为4,则实数a的值为( C ) A. 2 B. C. D. 解答:由题意得。正确答案为C。 3. 设A ,B为两个互不相同的集合,命题P:,命题q:或,则p是q的( B ) A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件 解答:P是q的充分非必要条件。正确答案为B。 4. 过椭圆的右焦点作倾斜角为弦AB,则为( C ) A. B. C. D. 解答:椭圆的右焦点为(1,0),则弦AB为代入椭圆方程得 。正确答案为C。 5. 函数,则该函数为( A ) A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数 解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。 6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A ) 2 2 3 1 2 2 1 2
2 正视图侧视图俯视图(圆和正方形) A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+ 解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分(),所以该几何体的体积为。正确答案为A。 7.某程序框图如右图所示,现将输出(值依 次记为:若程序运行中 输出的一个数组是则数组中的( B ) A.64 B.32 C.16 D.8 答案经计算。正确答案为 B。 8. 在平面区域上恒有,则动点所形成平面区域的面积为( A ) A. 4 B.8 C. 16 D. 32 解答:平面区域的四个边界点(—1,—1),(—1,1),(1,—1),(1,1)满足,即有 由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。 9. 已知函数在上有两个零点,则m的取值范围为( C ) A. B C. D. 解答:问题等价于函数与直线在上有两个交点,所以m的取值范围为。
高中数学竞赛模拟题1-5
2011年全国高中数学联赛模拟试题一 一试 一.填空题(每小题8分,共64分) 1.函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 . 2. 函数x x x x y cos sin 1cos sin ++= 的值域是 . 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同。甲从袋中摸出一个球,其号码为a ,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于 . 4.设数列{}n a 的前n 项和n S 满足:1 (1) n n n S a n n -+=+,1,2,n =,则通项n a = . 5.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>与直线1x y +=交于M,N 两点,且OM ON ⊥,(O 为 原点),当椭圆的离心率]2 e ∈时,椭圆长轴长的取值范围是 . 6.函数 y =的最大值是 . 7.在平面直角坐标系中,定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为 . ),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等,其 中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ,则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和 为 . 8.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 . 二.解答题(共56分) 9.(16分) 已知定义在R 上的函数()f x 满足:5 (1)2 f =,且对于任意实数x y 、,总有()()()()f x f y f x y f x y =++-成立. (1)若数列{}n a 满足2(1)()(1,2,3, )n a f n f n n =+-=,求数列{}n a 的通项公式; (2)若对于任意非零实数y ,总有()2f y >.设有理数12,x x 满足12||||x x <,判断1() f x 和2()f x 的大小关系,并证明你的结论.
高中数学竞赛 函数【讲义】
高中数学竞赛标准教材 函数 一、基础知识 定义1 映射,对于任意两个集合A ,B ,依对应法则f ,若对A 中的任意一个元素x ,在B 中都有唯一一个元素与之对应,则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射,若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射,若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ,都有一个x ∈A 使得f (x )=y ,则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射,若f : A →B 既是单射又是满射,则叫做一一映射,只有一一映射存在逆映射,即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射,记作f -1: A →B 。 定义5 函数,映射f : A →B 中,若A ,B 都是非空数集,则这个映射为函数。A 称为它的定义域,若x ∈A , y ∈B ,且f (x )=y (即x 对应B 中的y ),则y 叫做x 的象,x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围,如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数,若函数f : A →B (通常记作y =f (x ))是一一映射,则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数,通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是:在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y ),然后将x , y 互换得y =f -1(x ),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如:函数y =x -11的反函数是y =1-x 1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。 定义7 函数的性质。 (1)单调性:设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2,总有f (x 1)f (x 2)),则称f (x )在区间I 上是增(减)函数,区间I 称为单调增(减)区间。 (2)奇偶性:设函数y =f (x )的定义域为D ,且D 是关于原点对称的数集,若对于任意的x ∈D ,都有f (-x )=-f (x ),则称f (x )是奇函数;若对任意的x ∈D ,都有f (-x )=f (x ),则称f (x )是偶函数。奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称。 (3)周期性:对于函数f (x ),如果存在一个不为零的常数T ,使得当x 取定义域内每一个数时,f (x +T )=f (x )总成立,则称f (x )为周期函数,T 称为这个函数的周期,如果周期中存在最小的正数T 0,则这个正数叫做函数f (x )的最小正周期。 定义8 如果实数a a }记作开区间(a , +∞),集合{x |x ≤a }记作半开半闭区间(-∞,a ]. 定义9 函数的图象,点集{(x ,y )|y =f (x ), x ∈D}称为函数y =f (x )的图象,其中D 为f (x )的定义域。通过画图不难得出函数y =f (x )的图象与其他函数图象之间的关系(a ,b >0);(1)向右平移a 个单位得到y =f (x -a )的图象;(2)向左平移a 个单位得到y =f (x +a )的图象;(3)向下平移b 个单位得到y =f (x )-b 的图象;(4)与函数y =f (-x )的图象关于y 轴对称;(5)与函数y =-f (-x ) 的图象关于原点成中心对称;(6)与函数y =f -1(x )的图象关于直线y =x 对称;(7)与函数y =-f (x ) 的图象关于x 轴对称。 定理3 复合函数y =f [g (x )]的单调性,记住四个字:“同增异减”。例如y = x -21, u=2-x 在(-∞,2)上是减函数,y =u 1在(0,+∞)上是减函数,所以y =x -21在(-∞,2)上是增函数。 注:复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证,求导之后是显然的。 二、方法与例题 1.数形结合法。 例1 求方程|x -1|=x 1的正根的个数 .