专题 计数原理与概率统计
【考情报告】
年份题型考点2011年2012年2013年
小题第4题:排列、组合与概率的综合
第8题:二项展开式的常数项
第2题:排列与组合
第15题:正态分布、相互独立事件的概率
第3题:抽样方法
第9题:二项式系数
大题第19题:与函数的综合,随机事件的频率与概率、随机变量
的分布列、期望
第18题:与函数的综合,随机变量的分布列、期望及方差第19题:相互独立事件的概率、随机变量分布列与期望值
【考向预测】
计数原理与概率统计是高中数学的一个重要学习内容,也是高考考查的必考重点内容之一.本部分考查的内容主要有:抽样方法,统计图表(样本频率分布表与直方图、茎叶图),统计数据的数字特征(平均数、方差、中位数、众数),变量间的关系、回归分析与独立性检验;两个计数原理、排列组合的应用;二项展开式通项及二项式系数的性质与计算;随机事件的概率、古典概型、几何概型;离散型随机变量的分布列、二项分布、正态分布,离散型随机变量的数学期望与方差.由于新课标的要求及计数原理与概率统计自身的特征,计数原理与概率统计试题的背景与日常生活最贴近,联系也最为紧密,不管是从内容上,还是从思想方法上,都体现着应用的观念与意识,考查学生处理数据的能力,考查学生对概率事件的识别及概率计算,以及分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用,考查学生的阅读与理解能力以及分析问题和解决问题的能力.
从近三年新课标高考来看,该部分在高考试卷中一般是两个小题和一个解答题,对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法.预测2014年高考计数原理与概率统计部分题型仍然保持平稳,以低中档题目出现,难度不大.在高考小题考查中,抽样方法、几何概型、二项式、排列组合仍将出现,可能会有频率分布直方图、正态分布、回归分析或独立性检验的小题;在高考解答题的考查中,主要以基本事件(等可能事件、互斥事件、对立事件、相互独立事件、独立重复试验)的概率为基础进行考查,离散型随机变量的分布列与数学期望,可能会出现与分层抽样、样本频率分布表与直方图、回归分析、独立性检验等知识综合在一起的试题,或与函数、不等式、线性规划等知识交汇的试题.
【问题引领】
1.(2013新课标全国Ⅰ卷)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是().
A.简单随机抽样
B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样
D.系统抽样
2.某雷达测速区规定:凡车速大于或等于80 km/h的汽车视为“超速”,并将受到处罚.右图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图,从图中可以看出被处罚的汽车大约有().
A.20辆
B.40辆
C.60辆
D.80辆
3.(2013新课标全国Ⅰ卷)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=().
A.5
B.6
C.7
D.8
4.若将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为.?
5.(2013新课标全国Ⅰ卷)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为1
2,且各件产品是否为优质品相互独立.
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位:元),求X 的分布列及数学期望.
6.电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”. (1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?
非体育迷 体育迷
合计
男
女 10
55
合计
(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望E (X )和方差D (X ).
附:χ2=
n(n 11n 22-n 12n 21)
2
n 1+n 2+n +1n +2
,
(注:此公式也可写成K 2=n(ad -bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d))
P (χ2≥k ) 0.05 0.01 k
3.841
6.635
【知识整合】
1.计数原理
(1)分类计数原理(加法原理):做一件事,完成它可以有2类办法,在第1类办法中有m 1种不同的方法,在第2类方法中有m 2种不同的方法,那么完成这件事共有N= 种不同的方法.?
(2)分步计数原理(乘法原理):做一件事,完成它需要2个步骤,做第1步有m 1种不同的方法,做第2步有m 2种不同的方法,那么完成这件事共有N= 种不同的方法.?
2.排列与组合
排列定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列排列数
公式
A n m=或写成A n m=?
组合
定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数
公式
C n m=或写成C n m=?
组合数
性质
①C n m=;②C n+1
m=C
n
m+?
3.二项式定理
定理(a+b)n=(r=0,1,2,…,n)?通项T r+1=,r=0,1,2,…,n,其中叫作二项式系数?
二项式系数的性质
对称性与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等,即C n0=,C n1=,…,C n k=,…?
最大值当n为偶数时,中间的一项的二项式系数取得最大值;当n为奇数时,中间的两项的二项式系数,相等,且同时取得最大值?
各二项
式系数
的和
①C n0+C n1+C n2+…+C n k+…+C n n=;?
②C n0+C n2+…+C n2r+…=C n1+C n3+…+C n2r+1+…=?
4.概率模型
概型特点概率求法
古典概型P(A)=
A包含事件的个数
基本事件总数
几何概型P(A)=
A的区域长度(面积或体积)
试验的全部结果构成的长度(面积或体积)
互斥事
件有一
个发生
的概率
事件互斥P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥)
对立事件的概率若事件A
与事件B
互为对立
事件,则
为必然事
件?
P(A∪B)=?
P(A)=?
相互独
立事件同时发生事
件?
P(AB)=(A、B相互独立)?
独立重复试验一次试验重复n
次
P(X=k)=(p为每次试验中,事件发生的概率)?
条件概率
在事件A
发生的条
件下B发
生记作
B|A
P(B|A)=?
5.统计
抽样方法、、?
用样本频率分布估计总体分布①频率分布表和频率分布直方图
②总体密度曲线
③茎叶图
用样本的数字特征估计总体的数字特征众数、中位
数
平均数x
?
=
x1+x2+…+x n
n
方差s2=
1
n
[(x1-x
?
)2+(x2-x
?
)2+…+(x n-x
?
)2]
标准差s=√
1
n
[(x1-x?)2+(x2-x?)2+…+(x n-x?)2]
6.离散型随机变量
概率分布的两个
性质
①p i≥0,②p1+p2+…+p n=1
数学期望
(均值)
E(X)=x1p1+x2p2+…+x n p n
方差D(X)=(x1-E(X))2·p1+(x2-E(X))2·p2+…+(x n-E(X))2·p n
常见分布超几何分布一般地,在含有M件次品的N件产品中任意取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=
C M k C N-M
n-k
C N n
,k=0,1,2,…,m,其中m=min{m,n}二项分布
P(X=k)=C n k p k q n-k(其中k=0,1,2,…,n,q=1-p),
两点分布是一种特殊的二项分布
正态分布f(x)=
√2πσ
-(x-μ)
2
2σ2,x∈R,其中μ可用样本的均值去估计,σ可用样本的标准差去估计
7.回归分析和独立性检验
(1)回归直线方程:y ＾
=bx+a (也可写成y=a+bx 或y ＾=b ＾
x+a ＾
)一定过 .?
(2)独立性检验:假设有两个分类变量X 和Y ,它们的值域分别为{x 1,x 2}和{y 1,y 2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
y 1 y 2 总计 x 1 a b a+b x 2 c d c+d 总计
a+c
b+d
a+b+c+d
我们利用随机变量K 2=n(ad -bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”,这种方法称为两个分类变量的 .?
【考点聚焦】
热点一:对抽样方法的理解与应用
高考对随机抽样的考查常以实际应用为背景命题,考查对分层抽样和系统抽样的理解与计算,考查样本的抽取,多以选择题、填空题的形式出现,有时也会在解答题中出现,但难度不大.
某市有A 、B 、C 三所学校共有高三理科学生1500人,且A 、B 、C 三所学校的高三理科学生人数成等差数列,在三月进行全市联考后,准备用分层抽
样的方法从所有高三理科学生中抽取容量为120的样本,进行成绩分析,则应从B 校学生中抽取 人.?
【分析】分别用字母设出A 、B 、C 三所学校的高三理科学生人数,根据这三所学校的总人数以及等差数列的定义(或性质),列出方程求出B 学校的高三理科学生人数,然后由分层抽样按比例抽取,可得应从B 校学生中抽取的人数.
【解析】设A 、B 、C 三所学校的高三理科学生人数分别为a 、b 、c ,因为A 、B 、C 三所学校的高三理科学生人数成等差数列,所以a+c=2b , 又因为A 、B 、C 三所学校共有高三理科学生1500人,所以a+b+c=1500,得3b=1500,则b=500. 故根据分层抽样,应从B 校学生中抽取
120
1500
×500=40(人).
【答案】40
【归纳拓展】1.分层抽样是等比例抽样,在分层抽样中,如果各层的容量分别是a1,a2,…,a n,抽取的样本容量为b,则第i层抽取的样本数目是b
a1+a2+…+a n
×a i.分层抽样中常涉及的问题有:求a i、求b、求总体数N、求各层中抽取的个体数等.
2.在系统抽样中,若总体数为N,样本容量为n,且N
n 为整数(若N
n
不为整数,则需先剔除),则将总体分为n组,然后按照一定的规律在每组中取一个,相邻两个个体的编
号相隔N
n
.
变式训练1某公司研发了一款新游戏,为了测试该游戏的受欢迎程度,该公司对某高校大学一年级840名学生,采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为().
A.11
B.12
C.13
D.14
热点二:数字特征与统计图表
统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,它可以帮我们从数据中提取有用信息,并为制定决策提供依据.所以,这就决定了数字特征与统计图表在统计高考题中的地位,即数字特征与统计图表就是高考试题中的热点之一.
某中学高三年级从甲、乙两个班级各选取7名同学参加数学竞赛,他们取得的成绩的茎叶图如图所示,其中甲班同学的平均分是85分,乙班同学成绩的中位数是83,则x+y的值为.?
【分析】利用平均数求出x的值,利用中位数求出y的值.
【解析】由茎叶图可知甲班同学的总分为70×2+80×3+90×2+(8+9+5+x+0+6+2)=590+x,
又甲班同学的平均分是85,则85×7=590+x,所以x=5.
乙班同学成绩的中位数是80+y=83,得y=3.
故x+y=8.
【答案】8
【归纳拓展】1.众数、中位数、平均数都是描述数据的“集中趋势”的特征数,而标准差与方差都是用来描述一组数据波动情况的特征数,常用来比较两组数据的波动大小.方差、标准差越大,数据波动越大;方差、标准差越小,数据波动越小.
2.用茎叶图表示数据有两个优点:①统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;②茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录和表示.
变式训练2为备战2013年南京亚青会,对甲、乙两名运动员的成绩统计用茎叶图表示如下,若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲、X乙,则下列结论正确的是().
A.X甲>X乙,甲比乙成绩稳定
B.X甲>X乙,乙比甲成绩稳定
C.X甲 D.X甲 热点三:独立性检验与回归分析 在高考中多以选择题、填空题的形式出现,有时也以解答题的形式出现.鉴于统计案例在实际生活中的应用,预测2014年统计案例是高考命题的一个方向. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表.为了检验主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到 K 2= 50×(13×20-10×7)223×27×20×30 ≈4.84,因为K 2>3.841,所以断定主修统计专业与性别有关系,这种判断出错的可能性最高为 .? 专业 性别 非统计专业 统计专业 男 13 10 女 7 20 P (K 2≥k ) 0.050 0.025 0.010 0.001 k 3.841 5.024 6.635 10.828 【分析】根据独立性检验的方法,将计算的结果与有关临界值表相比较. 【解析】因为K 2≈4.84>3.841,所以从临界值表中可以看出判断出错的可能性最高为0.050. 【答案】5%(或0.05) 【归纳拓展】独立性检验仅限于2×2的列联表,收集数据是解题的关键.在利用统计变量K 2进行独立性检验时,应该注意数值的准确代入和正确计算,最后把计算的结果与有关临界值相比较.注意认定可能性的百分率是1-P (K 2>k )的大小. 变式训练3 某高中地处县城,学校规定家到学校的路程在10里以内的学生可以走读,因交通便利,所以走读生人数很多.该校学生会先后5次对走读生的 午休情况进行了统计,得到如下资料: ①若把家到学校的距离分为五个区间:[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10],则调查数据表明午休的走读生分布在各个区间内的频率相对稳定,得到了如图所示的频率分布直方图; ②走读生是否午休与下午开始上课的时间有着密切的关系.下表是根据5次调查数据得到的下午开始上课时间与平均每天午休的走读生人数的统计表. 下午开始上课时间 1:30 1:40 1:50 2:00 2:10 平均每天午休人数 250 350 500 650 750 (1)若随机地调查一位午休的走读生,其家到学校的路程(单位:里)在[2,6)的概率是多少? (2)如果把下午开始上课时间1:30作为横坐标0,然后上课时间每推迟10分钟,横坐标x增加1,并以平均每天午休人数作为纵坐标y,试根据表中的5列数据求平均每天午休人数y＾与上课时间x之间的线性回归方程y＾=bx+a; (3)预测下午上课时间推迟到2:20时,家距学校的路程在6里路以上的走读生中约有多少人午休. 热点四:两个计数原理与排列组合 高考中对于计数问题试题的考查形式不一,可以单独考查,也可以与排列、组合问题综合考查,还可以与概率问题综合考查,求解此类试题的关键是理顺计数应用问题的思路:排组分清,加乘明确;有序组合;分类相加,分步相乘.主要题型有选数字、选样品、选代表、人或物的排列或组合问题、几何计数问题等. (2013山东卷)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(). A.243 B.252 C.261 D.279 【分析】由于三位数的首位不能为零,因此可以运用分步计数原理,先排首位,然后再排十位与个位.但是这里要求的三位数是“有重复数字”,可以重复两位数字,也可以重复三位数字,故可间接考虑,先求出所有的三位数的个数,减去没有重复数字的三位数字的个数即可. 【解析】由0,1,…,9这十个数字共能组成9×10×10=900个不同的三位数,其中无重复数字的三位数有A103-A92=648个,故由这十个数字能组成的有重复数字的三位数的个数为900-648=252. 【答案】B 【归纳拓展】1.求解计数问题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.“分析”就是找出题目中的条件、结论,哪些是“元素”,哪些是“位置”;“分辨”就是辨别是排列还是组合,对某些元素的位置有无限制等;“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类,然后逐类解决;“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤,而每一步都是简单的排列组合问题,然后逐步解决. 2.求计数问题,还要注意以下途径: (1)以元素为主体,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素; (2)以位置为主体,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置; (3)先不考虑附加条件,计算出所有的个数,再减去不符合要求的个数. 变式训练4设“a1,a2,…,a n”是1,2,…,n的一个排列,把排在a i(i=1,2,…,n)的左边且比a i小的数的个数称为a i的“顺序数”.如在排列“6,4,5,3,2,1”中,5的顺序数为1,3的顺序数为0,则在1至8这八个数字构成的全排列中,同时满足8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列种数为.? 热点五:二项式定理及应用 高考对二项式的考查重点是二项式定理的展开式及通项公式、二项式系数及特定项的系数、二项式性质、二项式定理的应用,题型多为选择题、填空题,难度为中低档. 若二项式(x3+1 x2 )n的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为(). A.3 B.5 C.7 D.10 【分析】展开式中含有常数项即x的次数为零这一项,先由通项公式T r+1列出等式,找到n与r的关系式,再利用r为自然数且r≤n,确定n的最小值. 【解析】展开式的通项公式是T r+1=C n r x3n-3r x-2r=C n r x3n-5r,若二项式(x3+1 x2)n的展开式中含有非零常数项,则3n-5r=0,即n=5r 3 (r=0,1,2,…,n),故当r=3时,n取最小值,最小 值为5. 【答案】B 【归纳拓展】1.在应用二项式(a+b)n的展开式的通项公式T r+1=C n r a n-r b r(r=0,1,2,…,n)时,要注意以下几点: (1)它表示二项展开式的任意项,只要n与r确定了,该项就随之确定; (2)T r+1是展开中的第r+1项,而不是第r项; (3)公式中a,b的指数和为n,且a,b不能随便颠倒位置; (4)要将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题; (5)对二项式展开式(a-b)n的通项公式还要注意符号. 2.在二项式定理的应用中,“赋值法”是一种重要的思想方法,是处理组合数问题、系数问题的经典方法. 变式训练5已知(x+1 √x )n的展开式中第五项为常数项,则展开式中各项的二项式系数之和为(). A.128 B.64 C.32 D.16 热点六:几何概型 几何概型是一个新增的考点,它与古典概型一样,也是高考考查的重点内容之一.从近几年高考试题来看,主要以选择题或填空题的形式呈现,多为单独考查,有时会与线性规划、定积分等知识综合考查,难度较低.利用几何概型求概率时,关键是对试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域. (2013陕西卷)如图,在矩形区域ABCD的A、C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是(). A.1-π 4B.π 2 -1 C.2-π 2 D.π 4 【分析】由于是在所给矩形区域内随机地选一地点,所以它符合几何概型的两个基本特征.解答时,可先计算出矩形区域ABCD 的面积,然后再计算出无信号地点的面积.从所给的几何图形中,可知直接计算出无信号地点的面积较为困难,因此可以求出有信号地点(扇形区域ADE 和扇形区域CBF )的面积,然后再解之. 【解析】矩形ABCD 的面积为1×2=2,两个扇形都是半径为1的四分之一个圆,两个扇形面积的和为2×π4=π 2,则该地点无信号的概率为 2-π2 2 =1-π 4 ,故选A . 【答案】A 【归纳拓展】长度、面积和体积是几何概型中的三种基本度量,在解题时要准确把握,要把问题向它们作合理转化,要注意古典概型与几何概型的区别(基本事件的有限性与无限性),并正确选用几何概型解题. 变式训练6 设矩形区域Ω由直线x=±π 2 和y=±1所围成的平面图形,区域D 是由余弦函数y=cos x 、x=±π 2 及y=-1所围成的平面图形.在区域Ω内随机地抛掷一粒 豆子,则该豆子落在区域D 中的概率是 .? 热点七:条件概率 条件概率虽然在高考中考查得比较少,但从近几年开始有增多的趋势,复习中注意抓住对实际问题的分析,关键在于识别概率类型. 从1,2,3,4,5中任取两个不同的数,事件A=“取到的两个数之和为偶数”,事件B=“取到的两个数均为偶数”,则P (B|A )=( ). A .1 8 B .1 4 C .2 5 D .1 2 【分析】根据条件概率公式,先求出事件A 的概率,然后求出事件AB 的概率,代入公式即可. 【解析】∵P (A )= C 32+C 22C 5 2=2 5 ,P (AB )=C 22 C 52=1 10 , ∴P (B|A )=P(AB)P(A)=1 4. 【答案】B 【归纳拓展】条件概率公式揭示了条件概率P (A|B )与事件概率P (B )、P (AB )之间的关系.下列两种情况可利用条件概率公式:一种情况是已知P (B )和P (AB )时要求出P (A|B );另一种情况是已知P (B )和P (A|B )时要求出P (AB ).对于后一种情况,为了方便也常将条件概率公式改写为如下的乘法公式:若P (A )>0,有P (AB )=P (A )P (B|A ). 变式训练7 如图,EFGH 是以O 为圆心,1为半径的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”,B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”,则(1)P (A )= ;(2)P (B|A )= .? 热点八:随机变量的分布列、期望与方差 随机变量的分布列、期望与方差是高考中的重点,年年必考,以考生比较熟悉的实际应用问题为背景,综合排列组合、概率公式、互斥事件、独立事件以及统计等基础知识,考查对随机变量的识别及概率计算的能力,考查运用概率知识解决实际问题的能力,解答时要注意分类与整合、转化与化归思想的运用.题型主要以解答题的形式呈现,但有时也会以小题的形式出现,难度中等. (2013天津卷)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到 任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率; (2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望. 【分析】(1)根据题意任取的4张卡片与顺序无关,是一个组合计数问题,也是一个古典概型的概率计算问题.由于编号为3的卡片可以为红色的,也可以为白色的,因此在计算基本事件数时要分类讨论. (2)根据题意,在取出的4张卡片中,至少有一张有红色的,红色卡片中的编号有1、2、3、4,所以红色卡片编号的最大值设为X ,可能取值也为1、2、3、4,然后根据卡片的最大值分别求出各自的概率,列出分布列,再根据数学期望的公式计算随机变量X 的数学期望值. 【解析】(1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A ,则P (A )=C 21C 53+C 22C 52C 7 4=6 7 . 所以取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为6 7. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X=1)=C 33 C 74=1 35,P (X=2)=C 4 3 C 74=4 35 , P (X=3)=C 53C 74=27 ,P (X=4)=C 63C 74=4 7 . 所以随机变量X 的分布列是 X 1 2 3 4 P 1 35 435 27 47 随机变量X 的数学期望E (X )=1×135+2×435+3×27+4×47=17 5. 【归纳拓展】1.求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件,然后综合应用各类求概率的公式,求出概率. 2.求随机变量的数学期望和方差的关键是正确求出随机变量的分布列,若随机变量服从二项分布或两点分布,则可直接使用公式求解. 变式训练8 在某大学自主招生考试中,所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A ,B ,C ,D ,E 五个等级.某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. (1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数. (2)若等级A ,B ,C ,D ,E 分别对应5分,4分,3分,2分,1分. ①求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分. ②若该考场共有10人得分大于7分,其中有2人10分,2人9分,6人8分.从这10人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望. 热点九:事件的独立性、独立重复试验与二项分布 二项分布是一种重要的概率分布,在实际生活中应用广泛.对事件的独立性、独立重复试验与二项分布的考查是高考的热点之一,考查的题型既有小题也有解答题.在小题中,侧重于考查事件相互独立性的概率;在解答题中,一般会综合事件的相互独立、互斥或对立、二项分布等知识进行考查. (2013福建卷)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为2 5,中奖可以获 得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X ,求X ≤3的概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大? 【分析】(1)因为“每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响”,所以计算概率时用相互独立事件的概率公式求解.X 表示小明、小红各抽奖一次得分的和,根据题意事件“E (X )= 2×4+3×4+4×19 =249 =8 3 ”的情况较多,从反面入手即先求事件X>3的概率,再用对立事件的概率公式求解;(2)因为小明、小红抽奖时,要么中奖, 要么不中奖,所以它们符合二项分布的特征,可以应用二项分布的期望公式及性质计算. 【解析】(1)由已知得,小明中奖的概率为2 3 ,小红中奖的概率为2 5 ,且两人中奖与否互不影响. 记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A , 则事件A 的对立事件为“X=5”. 因为P (X=5)=23×2 5=4 15, 所以P (A )=1-P (X=5)=11 15 , 即这2人的累计得分X ≤3的概率为11 15 . (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2). 由已知可得,X 1~B (2,2 3 ),X 2~B (2,2 5 ), 所以E(X1)=2×2 3=4 3 ,E(X2)=2×2 5 =4 5 , 从而E(2X1)=2E(X1)=8 3,E(3X2)=3E(X2)=12 5 . 因为E(2X1)>E(3X2), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大. 【归纳拓展】在计算二项分布的概率分布列时,要注意以下几点: (1)分清楚在独立重复试验中,总共进行了多少次重复试验,即先确定n的值,然后确定在一次试验中某事件A发生的概率是多少,即确定p的值,最后再确定某事件A发生了多少次,即确定k的值; (2)准确算出每一种情况下,某事件A发生的概率; (3)算出的结果要验证是否符合离散型概率分布列的两个基本性质. 变式训练9甲、乙两名教师进行乒乓球比赛,采用七局四胜制(先胜四局者获胜).若每一局比赛甲获胜的概率为2 3,乙获胜的概率为1 3 ,现已赛完两局,乙暂时以 2∶0领先. (1)求甲获得这次比赛胜利的概率; (2)设比赛结束时比赛的局数为随机变量X,求随机变量X的概率分布和数学期望E(X). 热点十:正态分布 正态分布是自然界中最常见的一种分布,许多现象都近似地服从正态分布(如长度测量误差、正常生产条件下各种产品的质量指标等),也是高中阶段唯一连续型随机变量的分布,这个考点虽然不是高考的重点,但在近几年新课标高考中多次出现,其中数值计算是考查的一个热点. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=.? 【分析】若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则正态曲线关于x=μ对称;结合曲线的对称性和频率之和为1来求相应的概率即可. 【解析】P(ξ<4)=0.8,则P(ξ>4)=0.2,又分布图象关于直线x=2对称,P(ξ<0)=P(ξ>4)=0.2,则P(0<ξ<4)=0.6,P(0<ξ<2)=0.3. 【答案】0.3 【归纳拓展】正态曲线是“钟形曲线”,具有很好的对称性.正态分布问题求解的切入点是充分利用正态分布曲线的图象特征和相关量的统计意义分析思考,把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化,在此过程中注意数形结合思想的运用,记住正态分布的3σ法则. 变式训练10假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0,则p0的值为.? (参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ 限时训练卷(一) 一、选择题 1.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为(). 78166572080263140702436997280198 32049234493582003623486969387481 A.08 B.07 C.02 D.01 2.如图是某班全体学生外出乘车、步行、骑车的人数分布直方图和扇形分布图(两图都不完整),则下列结论中错误的是(). A.该班总人数为50人 B.骑车人数占总人数的20% C.乘车人数是骑车人数的2.5倍 D.步行人数为30人 3.已知x与y之间的几组数据如下表: x0123 y0267 则y与x的线性回归方程y＾=bx+a必过(). A.(1,2) B.(2,6) C.(3 2,15 4 )D.(3,7) 4.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中随机地取一点P,则点P与正方体各表面的距离都大于a 3 的概率为(). A.1 27B.1 16 C.1 9 D.1 3 5.已知离散型随机变量X的分布列为 X123 P 3 5 3 10 1 10 则X的数学期望E(X)等于(). A.3 2B.2 C.5 2 D.3 6.游客甲、游客乙暑假期间去西安看世园会的概率分别为1 3、1 4 ,假定他们两人的行动相互不受影响,则暑假期间游客甲、游客乙两人都不去西安看世园会的概率为 (). A.1 12B.1 2 C.7 12 D.11 12 7.设随机变量X~N (3,1),若P (X>4)=p ,则P (2 A.1 2+p B.1-p C.1-2p D.1 2 -p 8.从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为( ). A .36 B .30 C .24 D .12 9.设a=∫ π (cos x-sin x )d x ,则二项式(x 2+a x )6展开式中的x 3项的系数为( ). A .-20 B .20 C .-160 D .160 二、填空题 10.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是 .? 11.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图).已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第2小组的频数为12,则抽取的学生人数是 .? 12.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下: 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 .? 三、解答题 13.甲、乙两台机床生产同一型号零件.记生产的零件的尺寸为t (cm ),相关行业质检部门规定:若t ∈(2.9,3.1],则该零件为优等品;若t ∈(2.8,2.9]∪(3.1,3.2],则该零件为中等品;其余零件为次品.现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取50件,经质量检测得到下表数据: (1)设生产每件产品的利润为:优等品3元,中等品1元,次品亏本1元.若将频率视为概率,试根据样本估计总体的思想,估算甲机床生产一件零件的利润的数学期望. (2)对于这两台机床生产的零件,在排除其他因素影响的情况下,试根据样本估计总体的思想,估计约有多大的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”,并说明理由. 参考公式:K 2=n(ad -bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) . 参考数据: P (K 2≥k 0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 限时训练卷(二) 一、选择题 1.某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显着差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( ). A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 2.有一个容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在[8,10)内的频数为(). A.38 B.57 C.76 D.95 3.小明同学根据下表记录的产量x(吨)与能耗y(吨标准煤)对应的四组数据,用最小二乘法求出了y关于x的线性回归方程y＾=0.7x+a,据此模型预报产量为7吨时能耗为(). 产量x(吨)3456 能耗y(吨标准煤)2.5344.5 A.5 B.5.25 C.5.5 D.5.75 4.右图是2013年在某大学自主招生面试环节中,七位评委为某考生打出的分数的茎叶图,则去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为(). A.84,4.84 B.84,1.6 C.85,1.6 D.85,4 5.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b的不同值的个数是(). A.9 B.10 C.18 D.20 6.设(1+2x)10展开后为1+a1x+a2x2+…+a10x10,则a1+a2等于(). A.20 B.200 C.55 D.180 7.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)等于(). A.0.477 B.0.625 C.0.954 D.0.977 8.投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为a,又n(A)表示集合的元素个数,A={x||x2+ax+3|=1,x∈R},则n(A)=4的概率为(). A.1 3B.1 2 C.2 3 D.1 6 9.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为(). A.1 3B.1 4 C.1 5 D.1 6 二、填空题 10.某课题组进行城市空气质量调查,按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组,对应城市数分别为4、12、8.若用分层抽样抽取6个城市,则甲组中应抽取的城市个数为.? 11.一个盒子中有6只好晶体管、4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,第一次取后不放回,若已知第一只是好的,则第二只也是好的的概率是.? 12.若(x-1 ax )7展开式中含x 的项的系数为280,则a= .? 三、解答题 13.在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手. (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; (2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X 的分布列及数学期望. 一、选择题 1.下列关于由最小二乘法求出的回归直线方程y ＾ =2-x 的说法中,不正确的是( ). A .变量x 与y 正相关 B .该回归直线必过样本点中心(x ?,y ? ) C .当x=1时,y 的预报值为1 D .当残差平方和??i=1n (y i -y ＾ i )2越小时,模型拟合的效果越好 2.某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,9 3.下列说法一定正确的是( ). A .这种抽样方法是一种分层抽样 B .这种抽样方法是一种系统抽样 C .这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D .该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 3.某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计,得到了如图所示的频率分布直方图,如果该公司共有员工200人,则收到125条以上的大约有( ). A .6人 B .7人 C .8人 D .9人 4.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示,x?1、x?2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数,s1、s2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有(). A.x?1>x?2,s1 B.x?1=x?2,s1=s2 C.x?1=x?2,s1 D.x?1 5.设随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),若P(ξ>c)=a,则P(ξ>4-c)等于(). A.a B.1-a C.2a D.1-2a 6.2013年第12届全国运动会在沈阳举行,某校有4名大学生申请当A,B,C三个比赛项目的志愿者,组委会接受了他们的申请,每个比赛项目至少分配一人,每人只能服务一个比赛项目,若甲要求不去服务A比赛项目,则不同的安排方案共有(). A.20种 B.24种 C.30种 D.36种 7.在(x 2- √x 3 )n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是(). A.-7 B.7 C.-28 D.28 8.甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者,则甲和乙不在同一岗位服务的概率为(). A.1 10B.9 10 C.1 4 D.48 625 9.设a∈Z,且0≤a<13,若512014+a能被13整除,则a等于(). A.0 B.1 C.11 D.12 10.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c,其中a,b,c∈(0,1).已知他投篮一次得分的期望是2,则2 a +1 3b 的最小值为(). A.32 3B.28 3 C.14 3 D.16 3 11.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(). A.1 4B.1 2 C.3 4 D.7 8 12.甲袋内装有2个红球和3个白球,乙袋内装有1个红球和n(n∈N*)个白球.现分别从甲、乙两袋中各取1个球,若将事件“取出的2个球恰为同色”发生的概率记为f(n).则以下关于函数f(n)(n∈N*)的判断正确的是(). A.f(n)有最小值,且最小值为2 5 B.f(n)有最大值,且最大值为3 5 C.f(n)有最小值,且最小值为1 2 D.f(n)有最大值,且最大值为1 2 二、填空题 13.一个频率分布表(样本容量为50)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.6,则估计样本在[40,50),[50,60)内的数据个数之和 是.? 14.已知Ω={(x,y)||x|≤1,|y|≤1},A是曲线y=x2与y=x 1 2围成的区域,若向区域Ω上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为.? 15.将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排,且A、B均在C的同侧,则不同的排法种数共有种(用数字作答).? 16.若(x2-1 x )n的展开式中含x的项为第6项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,则a1+a2+…+a n的值为.? 三、解答题 计数原理、概率、随机变量及其分布、统计、统计案例 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝，则P (ξ≤－2)＝( ) A ． B ． C ． D ． 2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分) 已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,6 B ．2,7 C ．3,6 D ．3,7 3．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒 子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( ) A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种 4．已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，fx gx ＝a x ，f 1g 1＋ f －1 g －1＝52，则关于x 的方程abx 2＋2x ＋5 2＝0(b ∈(0,1))有两个不同实根的概率为( ) 5．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 6．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y 与x 负相关且y ^ ＝－； ② y 与x 负相关且y ^ ＝－＋； ③y 与x 正相关且y ^ ＝＋； ④y 与x 正相关且y ^ ＝－－. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ 第1次作业 一、填空题 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： ⑴ A 发生，B 与C 不发生为 ABC ； ⑵ A 与B 都发生，而C 不发生为 ABC ； ⑶ A 、B 、C 中至少有一个发生为 A B C U U ； ⑷ A 、B 、C 都发生为 ABC ； ⑸ A 、B 、C 都不发生为 ABC ； ⑹ A 、B 、C 中不多于一个发生为 AB AC BC U U ； ⑺ A 、B 、C 中不多于两个发生为 A B C U U ； ⑻ A 、B 、C 中至少有两个发生为 AB AC BC U U 。 2.设{}1,2,3,4,5,6Ω=，{}2,3,4A =，{}3,5B =，{}4,6C =，那么A B =U {1,2,3,4,6} ，A B = {1,6} ，()A BC = Φ 。 二、选择题 1.设A 、B 为两个事件，则A B +=（ C ）。 A. A B + B. A B - C. AB D. AB 2.设A 、B 为两个事件，若A B ?，则下列结论中（ C ）恒成立。 A. A 、B 互斥 B. A 、B 互斥 C. A 、B 互斥 D. A 、B 互斥 3.用A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则A 表示（ C ）。 A. “甲产品滞销，乙产品畅销”； B. “甲、乙产品都畅销”； C. “甲产品滞销或乙产品畅销”； D. “甲、乙产品都滞销”。 三、计算题 1.写出下列随机试验的样本空间： ⑴ 记录一个小班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)； 0,1,,100i S i n n ?? ==? ??? L ，其中n 为小班人数； ⑵ 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数； {}10,11,S =L ； 17秋学期《概率论与统计原理》在线作业 试卷总分:100 得分:100 一、单选题 (共 30 道试题,共 60 分) 1. 设A，B为两个事件，如果P（A）=0.6，P（B）=0.4，P（A│B）=0.5，则P（B│A）=（） A. 0.2 B. 0.3 C. 1/3 D. 2/3 满分：2 分 正确答案:C 26. 题面见图片： A. A B. B C. C D. D 满分：2 分 正确答案:D 3. 有10道“是非题”，每道题答对的概率为0.5，则10道题中答对5道题的概率为 A. 0.80 B. 0.50 C. 0.25 D. 0.15 满分：2 分 正确答案:C 4. 题面见图片： A. A B. B C. C D. D 满分：2 分 正确答案:B 5. A. A B. B C. C D. D 满分：2 分正确答案:D 6. 题面见图片： A. A B. B C. C D. D 满分：2 分 正确答案:D 7. 题面见图片： A. A B. B C. C D. D 满分：2 分正确答案:B 8. 题面见图片： A. A B. B C. C D. D 满分：2 分 正确答案:D 9. 设随机变量X～B（n，p），已知EX=0.6，DX=0.48，则n，p的值为（）。 A. n = 2，p =0.2 B. n = 6，p =0.1 C. n = 3，p =0.2 D. n = 2，p =0.3 满分：2 分 正确答案:C 10. 设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p = ( ) 时，成功次数的标准差的值为最大 A. 0 B. 0.25 C. 0.5 D. 0.75 满分：2 分 正确答案:C 11. 已知P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AC）=P（BC）=1/16，P（AB）=0，则事件”A，B，C都不发生“的概率为（） A. 0 B. 0.375 C. 0.50 D. 0.625 满分：2 分 正确答案:B 12. 题面见图片： A. A B. B C. C D. D 满分：2 分 正确答案:D 13. 某轮胎厂广告声称它的产品可以平均行驶24000公里。现随机抽选20个轮胎作试验， 专题10 计数原理 【要点提炼】 1.分类加法计数原理 做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法.则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法. 3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事. 4.排列与组合的概念 5.排列数与组合数 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数. (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数. 6.排列数、组合数的公式及性质 考向一计数原理 考向一分类加法计数原理的应用 【典例1】(1)从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法. (2)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________. 解析(1)分三类：一类是乘汽车有8种方法；一类是乘火车有2种方法；一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12(种)方法. (2)当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1. 若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4； 若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，(a，b)的个数为3； 若a＝2，则b的值可以是－1，0，(a，b)的个数为2. 由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13. 答案(1)12(2)13 规律方法分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置. (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准. (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复. (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本典例(2)中易漏a＝0这一类. 考向二分步乘法计数原理的应用 【典例2】(1)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为________. (2)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有 数学高考《计数原理与概率统计》复习资料 一、选择题 1．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A ．0.378 B ．0.3 C ．0.58 D ．0.958 【答案】D 【解析】 分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可. 详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =， 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =?=， 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =??=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ． 点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?； 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C. 1 .掷一颗均匀骰子，设A表示所掷结果为“四点或五点”，B表示所 P(A)和P(B)。 2.货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自甲产地，3件来自乙产地。先从15件商品中随机的抽取两件，求这两件商品来自同一产地的概率。 3.一批灯泡共100只，其中10只是次品，其余是正品。作不放回抽取，每次取一只，求第三次取到正品的概率。 4.8只步枪中有5只已校准过，3只未校准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8；用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3.现从8只步枪中任取一只用于射击，结果中靶。求所用的枪是校准过的概率。 5.甲乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别是0.9和0.8。求每人射击一次后，目标被射中的概率。 6.写出下列随机试验的样本空间：（2)掷一颗均匀的骰子两次，观察前后两次出现的点数之和；（3）观察某医院一天内前来就诊的人数；（5)检查两件产品是否合格； 7.设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件： （1）A与B都发生,但C 不发生； （2）A发生，且B与C 至少有一个发生； （3）A,B,C 中至少有一个发生； （4）A,B,C 中恰有一个发生； （5）A,B,C中至少有两个发生； （6）A,B,C中至多有一个发生； （7）A,B,C中至多有两个发生； （8）A,B,C中恰有两个发生； 8.若W表示昆虫出现残翅，E表示昆虫有退化性眼睛，且P(W)=0.125,P(E)=0.075,P(WE)=0.025,求下列事件的概率： （1）昆虫出现残翅或退化性眼睛； （2）昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛； （3）昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛； 9.计算下列各题： （1)设P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB）=0.6,求P(AˉB); （2)设P(A)=0.8,P(A-B)=0.3,求P(ˉAB）； 10.掷一颗均匀的骰子两次，求前后两次出现的点数之和为3，4，5的概率各是多少？ 11.在整数0，1，2....9中任取三个数，求下列事件的概率： （1）三个数中最小的一个是5； （2）三个数中最大的一个是5； 13.12个乒乓球中有4只是白色的，8只是黄色的。现从这12只乒乓球中随机的取出两只，求下列事件的概率： （1）取到两只黄球；（2）取到两只白球；（3）取到一只白球，一只黄球。 14.已知P(A)=0.7,P(B)=0.4 ,P(AˉB)=0.5,求P(AuB|B). 15.已知P(A)=0.6,P(B)=0.4 ,P(A|B)=0.5，计算下列二式： 一、填空题 1、设A ，B ，C 为三个事件，则下列事件“B 发生而A 与C 至少有一个发生”，“A ，B ，C 中至少有两个发生”，“A ，B ，C 中至少有一个发生”，“A ，B ，C 中不多于一个发生”，“A ，B ，C 中恰好有一个发生”，“A ，B ，C 中恰好有两个发生”分别可表示为 、 、 、 、 、 。 参考答案： B （A+ C ，AB+AC+BC ，A +B +C ，C A +C B +B A ，AB C +AC B +A BC ， BC A +C B A +C AB 考核知识点：事件的关系及运算，参见P9 2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为 、 、 。 参考答案：0.04，0.04，0.1 考核知识点：古典型概率，参见P11 3、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k 个球，则第k 次取出黑球的概率为 。 参考答案：0.6 考核知识点：古典型概率，参见P13 4、假设某商店获利15万元以下的概率为0.9，获利10万元以下的概率为0.5，获利5万元以下的概率为0.3，则该商店获利5~10万元的概率为 ，获利10~15万元的概率为 。 参考答案：0.2，0.4 考核知识点：概率的性质，参见P16~P17 5、设袋中有6个球，其中4白2黑。用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为 ；取到的两个球颜色相同的概率为 ；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为 。 参考答案：0.4，7/15，14/15 考核知识点：古典型概率和概率的性质，参见P18~P19 6、设事件A ，B 互不相容，已知P （A ）= 0.6，P （B ）= 0.3，则P （A+B ）= ；P （A +B ） = ；P （A B ）= ；P （B A ）= 。 参考答案：0.9，0.4，0.3，0.1 考核知识点：概率的性质，参见P19 7、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5，0.6，0.8，则恰有一人中靶的概率为 ；至少有一人中靶的概率为 。 概率与统计、计数原理专题分析 高中数学课程中的“统计与概率”部分被安排在必修3和选修2-3，历来被老师认为易教、被学生认为易学，一线教师大多走马观花一带而过，以便腾出时间深挖其他章节内容．2017年全国高考概率与我们如约而至，常规内容紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，体现数学在解决实际问题中的巨大作用和应用价值，体现高考改革中加强应用性、实贱性的特点．研宄近几年高考试卷中“统计与概率试题，被认为“送分题”分数送不出去的尴尬，引发深思，促使我们重新审视“统计与概率”内容，深感“简单”的内容不简单！ 一、专题考点分析 1.考点分析 2017年高考数学试题，概率与统计、计数原理部分考查的知识点覆盖面广，各卷考查知识点如下. （1）全国Ⅰ卷. 文科：样本的数字特征、几何概型、相关系数、方差均值计算； 理科：几何概型、二项式定理、正态分布、随机变量的期望和方差 （2）全国Ⅱ卷 文科：古典概型、频率分布直方图的应用； 理科：排列与组合、随机变量的期望、独立事件概率公式、独立性检验、频率分布直方图估计中位数. （3）全国Ⅲ卷. 文科：折线图、古典概型； 理科：折线图、离散型随机变量的分布列、数学期望 （4）北京卷. 文科：频率分布直方图的应用；理科：散点图的应用、古典概型、超几何分布、方差 （5）天津卷 文科：古典概型；理科：排列与组合、离散型随机变量的概率分布列及数学期望 （6）江苏卷 几何概型、分层抽样古典概型排列组合、随机变量及其分布、数学期望 （7）浙江卷 随机变量的期望和方差、二项式定理 （8）山东卷 文科：茎叶图、样本的数字特征、古典概型； 理科：回归直线方程、古典概型、随机变量的分布列与数学期望、超几何分布 2. 题量与分值分析 每年全国各地区的高考中都会有各种类型的概率题出现，分值占整套试卷总分的 8%～14%. 2017年各卷考查的题型及分值情况如下 （1）全国Ⅰ卷文、理科分别考查两道选择题和一道解答题，总分值均为22分 （2）全国Ⅱ卷文科考查一道选择题和一道解答题，总分值为17分；理科考查两道选择题和一道解答题，总分值为22分. （3）全国Ⅲ卷文、理科分别考查一道选择题和一道解答题，总分值均为17分. （4）北京卷文科考查一道解答题，分值为13分；理科考查一道填空题和一道解答题，总分值为18分. （5）天津卷文、理科分别考查一道选择题和一道解答题，总分值均为18分. （6）江苏卷考查两道填空题和一道解答题，总分值为20分. 《概率论与统计原理》复习资料 《概率论与统计原理》复习资料 一、填空题 1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为、、、、、。 参考答案： B（A+C，AB+AC+BC，A +B+C，C A+C B+B A，AB C+AC B+A BC，A+C AB A+C B BC 考核知识点：事件的关系及运算 2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、。 参考答案：0.04，0.02，0.1 考核知识点：古典型概率 3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率为，恰好有2枚正面向上的概率为。 参考答案：1/8，3/8 考核知识点：古典型概率 4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为。 参考答案：0.6 考核知识点：古典型概率 5、假设某商店获利15万元以下的概率为0.9，获利10万元以下的概率为0.5，获利5万元以下的概率为0.3，则该商店获利5~10万元的概率为，获利10~15万元的概率为。 参考答案：0.2，0.4 考核知识点：概率的性质 6、设袋中有6个球，其中4白2黑。用不放回两种方法取球，则取 到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为。 参考答案：0.4，7/15，14/15 考核知识点：古典型概率和概率的性质 7、设事件A，B互不相容，已知P（A）= 0.6，P（B）= 0.3，则P （A+B）= ；P（A+B）= ；P（A B）= ；P（B A）= 。 参考答案：0.9，0.4，0.3，0.1 考核知识点：概率的性质 8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5，0.6，0.8，则恰有一人中靶的概率为；至少有一人中靶的概率为。 参考答案：（1）0.26；（2）0.96 考核知识点：事件的独立性 9、每次试验的成功率为p（0< p <1），则在5次重复试验中至少成功一次的概率为。 参考答案：5) - - 1( 1p 考核知识点：事件的独立性 10、设随机变量X~N（1，4），则P{0 ≤X＜1.6}= ；P{X＜1}= ；P{X=x0}= 。 参考答案：0.3094，0.5，0 考核知识点：正态分布，参见P61；概率密度的性质 11、设随机变量X～B（n，p），已知E X=0.6，D X=0.48，则n = ，p = 。 参考答案：3，0.2 考核知识点：随机变量的数学期望和方差 12、设随机变量X服从参数为（100，0.2）的二项分布，则 E X= ，D X= 。 参考答案：20，16 考核知识点：随机变量的数学期望和方差 — 高三数学(理十五)第1页 共6页— 2017-2018学年度南昌市高三第一轮复习训练题 数学（理十五）计数原理、概率与统计 命题人：新建二中 陈选明 审题人：新建二中 朱优奇 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能 手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛 的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的 学生中获得“诗词能手”称号的人数为( ) A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 2．已知两组数12345671234567:,,,,,,,:,,,,,,A x x x x x x x B y y y y y y y ，其中 ()23,1,2,3,4,5,6,7i i y x i =+=，A 组数的平均数与方差分别记为2,,A x S B 组数的平均数与方差分别记为2,B y S ，则下面关系式正确的是( ) A. 2223,23B A y x s s =+=+ B. 2223,4B A y x s s =+= C. 222,4B A y x s s == D. 222,43B A y x s s ==+ 3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位： 小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其 中自习时间的范围是[]17.5,30，样本数据分组为 [)17.5,20，[)20,22.5，[)22.5,25，[)25,27.5， []27.5,30. 根据直方图，若这200名学生中每周的 自习时间不超过m 小时的人数为164，则m 的值约为( ) A. 26.25 B. 26.5 C. 26.75 D. 27 4．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多 年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则511a a +的值为( ) A.528 B.1020 C.1038 D. 1040 5．如图，一只蚂蚁从点A 出发沿着水平面的线条爬行到点C ，再由点C 沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B ，则它可以爬行的不同的最短路径有( )条 A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 单选 题(共 40 分) 1、在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） (C) A、在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 B、在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概率 C、在H0成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 D、在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率 2、设,AB是两个事件,且P(A)≤P(A|B),则有 (C) A、P(A)=P(A|B) B、P(B)>0 C、P(A|B)≥P(B) D、设,AB是两个事件 3、某中学为迎接建党九十周年,举行了”童心向党,从我做起”为主题的演讲比赛.经预赛,七、八年纪各有一名同学进入决赛,九年级有两名同学进入决赛,那么九年级同学获得前两名的概率是（ ）(A) A、1/6. B、1/5. C、1/4. D、1/3. 4、设,,ABC是三个相互独立的事件，且0 (十三) 计数原理、概率统计(理科)(样稿) 华南师范大学附中罗华张琪 A 组 (1) C22+C23+C24+…+C210= (A) 990 (B) 165 (C) 120 (D) 55 B (2)把3 个不同的小球随意地放入4 个不同的盒子内，则3 个小球恰在三个不同的盒子内的概率为 (A) 3 4(B) 4 5(C) 3 8(D) 7 16 C (3)某学校要派遣6位教师中的4位去参加一个学术会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则派遣教师的不同方法数共有 A．7种 B．8种C．9种 D．10种 C (4)将3 种农作物都种植在如图的4 块试验田里，每块种植一种农作物，要求相邻的试验田不能种植同一种作物，则不同的种植方法共有几种 (A) 6 (B) 12 (C) 18 (D) 24 C C13C12(1+2) (5)四人报名参加跑步、跳高、和游泳比赛，每人限报一项，不同的报名结果有种？ 34 (6) (1 + x) 30的展开式中，系数最大的项是第__________项。 16； (7) 平面内有10个点，其中每3点不共线，以其中任意2个点为端点的线段有_________条，有向线段有_________条. C210=45 ; A210=90 (8) 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1 ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14 其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）． ①③ (9) 这是高考第一批录取的一份志愿表。有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满 意的选择。若表格须填满且规定学校没有重复、同一学校的专业也没有重复的话。你将有种不同的填写方案？ 计数原理专题拓展版答案解析 第1题答案 B 第1题解析 由题意可知，这名教师去个地区有两种情况，一是甲、丙和另外一人（不是乙）共同去一地，另外名教师分别去一个地区，有中不同的方法；二是有两个地区去人（甲、丙已经确定一组），另外一 个地区去人，有种不同的方法，所以共有种方案． 第2题答案 C 第2题解析 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有种不同的分配方法。则满足条件的不同的分配方案有（种）。 第3题答案 D 第3题解析 若不含有红球，则有种不同取法；若含有一个红球，则有种不同取法，则共有． 第4题答案 D 第4题解析 首先将黑球和白球排列好,再插入红球. 情况1:黑球和白球按照黑白相间排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”),此时将红球插入个球组成的个空中即可,因此共有种; 情况2:黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”、“白黑白黑黑白”),此时红球只能插入两个相同的颜色的球之中,共种,综上所述,共有 种. 第5题答案 B 第5题解析 ∵有个元素,则由到上的一一映射中,分两步:先挑出个数字 和自身对应共有种方法,剩余三个元素都不与自身对应共有种对应方式,所以,有个数字和自身对应 的映射个数是种. 第6题答案 A 第6题解析 ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含的有个； ②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有个的有个； ③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有个的有个． 故共有符合条件的点的个数为个，故选A. 第7题答案 C 第7题解析 要求个数的和为奇数，则当个数都为奇数时，有种取法，两个偶数一个数时，共有种取法． 第8题答案 C 第8题解析 根据题意,把位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素,和剩下的一位女生, 插入到位男生全排列后形成的个空中的个空中, 故有种,故选:C . 第9题答案 C 第9题解析 第一步分步：由题意把8人可分为以下三组，分组的种数为 第二步，分配，每一种分法都有种，根据分步计数原理，共有种． 第10题答案 B 第10题解析 根据题意,有且只有个盒子的编号与放入的小球编号相同, 在六个盒子中任选个,放入与其编号相同的小球,有种选法,剩下的个盒子的编号与放入的小球编号不相同,假设这个盒子的编号为,,, ,则号小球可以放进,,号盒子,有种选法,设放入号盒子,则号球可放进,,号盒子,有种选法,,号球只有一种选法,所以恰好有个小球的标号与盒子的编号相同,则不同的放法种数为: 种放法. 第11题答案 B 第11题解析 【高中数学】数学《计数原理与概率统计》高考知识点 一、选择题 1．已知()9 29012913x a a x a x a x -=++++L ，则019a a a +++…等于（ ） A ．92 B ．94 C ．93 D ．1 【答案】B 【解析】 【分析】 求出二项式()9 13x -展开式的通项为()193r r r T C x +=?-，可知当r 为奇数时，0r a <，当 r 为偶数时，0r a >，然后代入1x =-即可得出019a a a ++?+的值. 【详解】 二项式()9 13x -展开式的通项()193r r r T C x +=?-，当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数 时，0r a >， 因此，()9 90191314a a a ??++?+=-?-=??. 故选：B. 【点睛】 本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和，要结合二项式定理判断各项系数的符号，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?； 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C. 【点睛】 第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题 （4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算 ①关系： 如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：如果同时有， ，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ： A=B 。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。 属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也 可表示为A-AB 或者 ，它表示A 发生而B 不发生的事件。 A、B 同时发生：A B ，或者AB 。A B=?，则表示A 与B 不可能同时发 生，称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 (单选题) 1: 要求次品率低于10%才能出厂，在检验时原假设应该是（） A: p≥0.1 B: p≤0.1 C: p＜0.1 D: p＞0.1 正确答案: (单选题) 2: 设X和Y是相互独立的两个随机变量，X在[0，2]上服从均匀分布，Y服从参数为2的泊松分布，则E（XY）=（） A: 0.5 B: 1 C: 2 D: 4 正确答案: (单选题) 3: 设随机变量X~N（0，1），则方程t2+2 X t+4=0没有实根的概率为（） A: 0.6826 B: 0.9545 C: 0.9773 D: 0.9718 正确答案: (单选题) 4: 设人的体重为随机变量X，且EX=a，DX=b。则10个人的体重记为Y，则（）成立。 A: EY=a B: EY=10a C: DY=b D: DY=10a 正确答案: (单选题) 5: 设随机变量X在区间[1，3] 上服从均匀分布，则P{-0.5＜X＜1.5} 为（） A: 1 B: 0.5 C: 0.25 D: 0 正确答案: (单选题) 6: 在抽样方式与样本容量不变的情况下，要求提高置信时，就会 A: 缩小置信区间 B: 不影响置信区间 C: 可能缩小也可能增大置信区间 D: 增大置信区间 正确答案: (单选题) 7: 设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E[X^2]=（） A: 1 B: 1.5 C: 4/3 D: 2 正确答案: (单选题) 8: 某工厂生产的零件出厂时每200个装一盒，这种零件由合格和不合格两类，合格率为0.99。设每盒中不合格数为X，则X通常服从（） A: 正态分布 B: 均匀分布 C: 指数分布 D: 二项分布 正确答案: (单选题) 9: 从0，1，2，…，9共10个数字中的任意两个（可重复使用）组成一个两位数的字码，则字码之和为4的概率为（） A: 0.02 【高中数学】数学高考《计数原理与概率统计》复习资料 一、选择题 1．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ） A ． 13 B ． 14 C ． 15 D ． 12 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件概率的公式与排列组合的方法求解即可. 【详解】 由题意得学生甲和乙都不是第一个出场,甲不是最后一个出场的概率11333315 5C C A 9A 20P ==,其中学生丙第一个出场的概率13 3325 5C A 3A 20P ==,所以所求概率为21 13P P P ==. 故选：A 【点睛】 本题主要考查了根据排列组合的方法求解条件概率的问题,属于中等题型. 2．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v 共线的概率为( ) A ． 1 3 B ． 14 C ． 16 D ． 112 【答案】D 【解析】 【分析】 由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r 共线的基本事件的个数，利用 古典概型及其概率的计算公式，即可求解。 【详解】 由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有6636?=种结果， 又由向量(,),(3,6)p m n q ==u r r 共线，即630m n -=，即2n m =， 满足这种条件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6)，共有3种结果， 所以向量p u r 与q r 共线的概率为31 3612 P = =，故选D 。 【点睛】 本题主要考查了向量共线的条件，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中根据向量的共线条件，得出基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础 《概率论与统计原理》复习资料 一、填空题 1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为、、、、、。 参考答案： B（A+C，AB+AC+BC，A +B+C，C B+B A+C A，AB C+AC B+A BC，A+C AB B A+C BC 考核知识点：事件的关系及运算 2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、。 参考答案：，， 考核知识点：古典型概率 3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率 为，恰好有2枚正面向上的概率为。 参考答案：1/8，3/8 考核知识点：古典型概率 4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为。 参考答案： 考核知识点：古典型概率 5、假设某商店获利15万元以下的概率为，获利10万元以下的概率为，获利5万元以下的概率为，则该商店获利5~10万元的概率 为，获利10~15万元的概率为。 参考答案：， 考核知识点：概率的性质 6、设袋中有6个球，其中4白2黑。用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率 为。 参考答案：，7/15，14/15 考核知识点：古典型概率和概率的性质 7、设事件A ，B 互不相容，已知P （A ）= ，P （B ）= ，则P （A+B ）= ；P （A +B ）= ；P （A B ）= ；P （B A ）= 。 参考答案：，，， 考核知识点：概率的性质 8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为，，，则恰有一人中靶的概率为 ；至少有一人中靶的概率为 。 参考答案：（1）；（2） 考核知识点：事件的独立性 9、每次试验的成功率为p （0< p <1），则在5次重复试验中至少成功一次的概率为 。 参考答案：5)1(1p -- 考核知识点：事件的独立性 10、设随机变量X ~N （1，4），则P{0 ≤X ＜}= ；P{X ＜1}= ；P{X =x 0}= 。 参考答案：，，0 考核知识点：正态分布，参见P61；概率密度的性质 11、设随机变量X ～B （n ，p ），已知E X =，D X =，则n = ，p = 。 参考答案：3， 考核知识点：随机变量的数学期望和方差 12、设随机变量X 服从参数为（100，）的二项分布，则E X = ， D X = 。 参考答案：20，16 考核知识点：随机变量的数学期望和方差 13、设随机变量X 服从正态分布N （，），则E X 2= ，D （2X -3）= 。 参考答案：，1 考核知识点：随机变量的数学期望和方差及其性质 14、设由来自正态总体)9,(2μN 的容量为9的简单随机样本，得样本均值X =5，则未知参数μ的最大似然估计值为 ，μ的置信度为的置信区间为 。 选修2-3 第1讲计数原理（专题测试） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2020?金安区校级模拟）2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛．若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有（） A．6种B．24种C．36种D．42种 【解析】解：第一步从4个没转播的频道选出2个共有A42种，在把2个报道的频道选1个有A21种，根据分步计数原理小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有A42?A21＝24种．故选：B． 【点睛】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最最基本的指导思想，属于中档题．2．（2019秋?东城区期末）如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．从甲地到丁地的不同路线共有（） A．12条B．15条C．18条D．72条 【解析】解：分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有3×2＝6种， 第二类，从甲到丙再到丁，共有3×4＝12种， 根据分类计数原理可得，共有6+12＝18种， 故从甲地到丁地共有18条不同的路线． 故选：C． 【点睛】本题考查了分步和分类计数原理，属于基础题． 3．（2020?资阳模拟）桂林漓江主要景点有象鼻山、伏波山、叠彩山、芦笛岩、七星岩、九马画山，小张一家人随机从这6个景点中选取2个进行游玩，则小张一家人不去七星岩和叠彩山的概率为（）A．B．C．D． 【解析】解：因为从6个不同景点任选2个的选法有C＝15种，不去七星岩和叠彩山的选法有C＝6种． 则小张一家人不去七星岩和叠彩山的概率P＝＝． 故选：D． 【点睛】本题考查利用组合数公式求概率，属于基础题． 4．（2020春?邢台期中）包括甲、乙、丙3人的7名同学站成一排拍纪念照，其中丙站中间，甲不站在乙的左边，且不与乙相邻，则不同的站法有（） A．240种B．252种C．264种D．288种 【解析】解：先排甲、乙、丙外的4人，有种排法，再排甲、乙2人，有两类方法： 一类是甲、乙2人插空，又甲不排在乙的左边，则甲乙插空时顺序已定，可用组合，最后丙排在中间，位置已定． 故有A C A＝240不同的站法； 另一类是把甲、乙、丙按乙、丙、甲的顺序插入中间，有＝24种不同的站法， 所以共有240+24＝264种不同的站法． 故选：C． 【点睛】本题考查排列组合的应用，本题运用插空法，捆绑法，可以避免讨论，简化计算．属于中档题．5．（2020春?浙江期中）现某路口对一周内过往人员进行健康码检查，安排7名工作人员进行值班，每人值班1天，每天1人，其中甲乙两人需要安排在相邻两天，且甲不排在周三，则不同的安排方法有（）A．1440种B．1400种C．1320种D．1200种 【解析】解：根据题意，分2步进行分析： ①要求甲、乙安排在相邻两天，且甲不排在周三，则甲乙的安排方法有12﹣2＝10种； ②将剩下的5人全排列，安排在剩下的5天，有A55＝120种情况， 则有10×120＝1200种安排方法； 故选：D． 【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 6．（2020?抚顺一模）把书架上的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》5本中国古代数学专著重新排列一下，若要求其中的《周髀算经》和《九章算术》这2本书相邻，则所有不计数原理、概率、随机变量及其分布、统计、统计案例
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