南京信息工程大学_高等数学(下册)_试卷及答案
南京信息工程大学高等数学试卷
参考答案及评分标准
一 填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
1．设z y x xy z y x z y x f 42432),,(222-+-+++=求gradf(0,0,0)= -4i+2j-4k
2．向量α?和β?构成的角3π
?=，且8,5==βα??，则βα??+=129
3．=→→x
xy a y x )
sin(lim 0 a 4．C 为依逆时针方向绕椭圆122
22=+b y a x 的路径,则
?--+C dy y x dx y x )()(= ab π2-
5．微分方程)1(2+='y x y 的通解是12-=x ce y
二 选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1．直线L ： 374
23
z
y x =-+=-+ 与平面3224=--z y x 的关系是[ A
] A ．平行 B ．直线L 在平面上
C ．垂直相交
D ．相交但不垂直
2．y x z 2+=在满足522=+y x 的条件下的极小值为[ ]
A ．5
B ．-5
C ．52
D ．-52
3．设∑为球面2222R z y x =++,则??∑
++ds z y x )(222=[ C ]
A ．dr r r d d R
??θππsin 200022???? B. dv R ???Ω
2 C ． 44R π D.5
34R π
4．级数n i n
n
x ∑∞
=-+12)1(2的收敛半径是 [ D ]
A ．23
B ．61
C ．23
或 61
D ．2
5．x xe y y y y =+'+''+'''的通解形式为y= [ A ]
A ． x e b ax )(+
B ． x e b ax x )(+
C ． x e b ax x )(2+
D ． []x d cx x b ax e x 2sin )(2cos )(+++
三 求下列各题（本题共3小题，每小题10分，满分30分）
1． 计算
dxdy y y D ??sin D ：2y x = 和 x y = 所围成的区域。 原式=1sin 1)(sin )sin ()cos (sin 101010102-=-+-=??y y y y dx y
y dy y y 2．f xyz z y x f u ,
),(++=具有各二阶偏导数，求z x u ???2 解：21yzf f x
u +=?? 22221212112zf xy yzf yf xyf f z
x u ++++=??? =22221211)(zf xy yf yf z x f ++++
3．求曲线???=-+-=-++0
453203222z y x x z y x 在点（1，1，1）处切线方程及法平面方程
解：将曲线方程对x 求导得
??
???=+-=-++053203222dx dz dx dy dx dz y dx dy y x 解出 z y z x dx dy 61041015---+-= z
y x y dx dz 610964---+= 在点（1，1，1）
169=dx dy ，161-=dx dz 切线向量为?
?????-161,169,1 或{}1,9,16- 得 切线：1
191161--=-=-z y x 法平面方程：02496=--+z y x
四 （本题满分10分）
设)(t f 在R 上连续，)10(:2222≤<≤++r r z y x V r ，
且???++=r V dxdydz z y x f r F )()(222，
试证明：)0(4)(3lim 3
0f r F r r π=+
→ 证法一：3223
4)()()(r r f V r f r F r π== )0(4)(3
43lim 2330f r f rr r r ππ=?+→ 证法二： 五（本题满分10分） 求幂级数∑∞
=+12!12n n x n n 的收敛区间及和函数。 解：记n n x n n x u 2!12)(+=
因为012!)!1(32lim lim 21=+?++=∞→+∞→x n n n n u u n n
n n 所以收敛域为()+∞∞-,
设和函数为s （x ），注意到∑∞=+∞<<-∞=02)(!12n n x x x n e
， 对∑∞=+=12!
12)(i n x n n x s 积分，得 ∑∑∑?∞=∞=∞=+-=-===01022120)1()1!
(!!1)(2n n i x n n n x
e x n x x n x x x n dx x s ， )(+∞<<-∞x 再对两边求导，得 1)12()(22-+=x e x s x )(+∞<<-∞x 即∑∞
=-+=+0221)12(!122n x n x e x n n ，)(+∞<<-∞x 六（本题满分10分）
计算??++++=S z y x zdxdy ydzdx xdydz I 2/3222)
( 222:y x R z S --= 的上侧
解：补0:0=z s 运用代入技巧 2222R z y x =++
???????=-=++++-+++V s s s dxdydz R z y x zdxdy ydzdx xdydz R zdxdy ydzdx xdydz π2031)(323222300 七（本题满分10分）
求微分方程x xe y y y -=+'+''323的通解 解：先求齐次方程023=+'+''y y y 的通解， 特征方程：023=+'+''r r r ，特征根2,121-=-=r r 齐次方程的通解为：x x e C e C Y 221--+=
非齐次项13)(-==-λx xe x f 为单特征根
故令非齐次方程的特解为： )(*B Ax xe y x +=-
于是])2([2*B x A B Ax e y x --+-='-
)]22()4([2*B A x A B Ax e y x -+-+="-
代入方程整理有
x B A Ax 3)2(2=++故3,2
3-==B A ， 于是)32
3(2*x x e y x -=- 故所求通解为：x x e C e C y 221--+=+)323(2x x e x --