勾股定理导学案(精品学案)

课题名称：勾股定理（1）

学习目标：

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。了解我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就。

学习目标：经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。

学习重点：勾股定理的内容及证明。

学习难点：勾股定理的证明。

1．1、2002

这就是当时采用的会徽. 你知道这个图案的名字吗？你知道它

的背景吗？你知道为什么会用它作为会徽吗？

哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地

砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的

某种数量关系. 请同学们也观察一下，看看

能发现什么？

(1) 引导学生观察三个正方形之间的面积的关系；

(2) 引导学生把面积的关系转化为边的关系.

结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.

3、等腰直角三角形有上述性质，

4、猜想：命题1

自助提升 1、定理证明

（1）赵爽利用弦图证明。．．．．．

显然4个 的面积＋中间小正方形的面积＝该图案的面积.

即4×21× ＋﹝ ﹞2＝c 2

,化简后得到 .

（2）其他证明方法：教材72页 思考讨论完成

2、在Rt △ABC 中，∠C=90 ,AB=17,BC=8,求AC 的长

3、Rt △ABC 和以AB 为边的正方形ABEF ，∠ACB =90°， AC =12，BC =5，则正方形的面积是______．

4、(1) 已知Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8，求AB .

(2) 已知Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =5，BC =6，求AC .

(3) 已知Rt △ABC 中，∠B =90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ， ∠C 的对边，c ∶a =3∶4，b =15，求a ，c 及斜边高线h .

C A

1．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是 ( ) 2．斜边长为25 B ．三角形的周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为20 3．一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）

A ．4

B ．8

C ．10

D ．12

4．直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为（ ） A ．6 B ．8 C ．

1380 D ．13

60

5、已知，如图1-1-5，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB =8cm ，BC =10cm ，求CF CE

小结与反思

这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？

教学反思

图1-1-5

§ 18.1 勾股定理（2）

一、学习目标

通过经历和体验，运用勾股定理解决一些实际问题的过程，进一步掌握勾股定理。 重点：勾股定理的应用。

难点：实际问题向数学问题的转化。

二、自助探究

1、一个门框的尺寸如图所示：

(1) 若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，能否从门框内通过？ (2) 若有一块长3米，宽1.5米的薄木板，能否从门框内通过？ (3) 若有一块长3米，宽2.2米的薄木板，能否从门框内通过？ 分析：(3) 木板的宽2.2米大于1米，所以横着不能从门框内通过． 木板的宽2.2米大于2米，所以竖着不能从门框内通过． 因为对角线AC 的长度最大，所以只能试试斜着能否通过． 所以将实际问题转化为数学问题．

小结：此题是将实际为题转化为数学问题，从中抽象出Rt △ABC ，并求出斜边AC 的 2、例2、如图，一个3米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.5米．如果梯子的顶端A 沿墙下滑 0.5米，那么梯子底端B 也外移0.5米吗？

（计算结果保留两位小数） 分析：要求出梯子的底端B 是否也外移0.5米，实际就是求BD 的长，而BD =OD -OB

3、一个大树高8米，折断后大树顶端落在离大树底端2米处，折断处离地面的高度是多

少？

自助提升

1、已知：△ABC 为等边三角形，AD ⊥BC 于D ，AD =6. 求AC 的长.

B

C

D

A

2m

1m A

2、如果直角三角形的三边分别为3，5，a试求满足条件a的值？

3、以知正三角形ＡＢＣ的边长为a，求△ＡＢＣ的面积？

自助检测

1、若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16 cm，那么第三边上

的高为( )

A、12 cm

B、10 cm

C、8 cm

D、6 cm

2、如图，在⊿ABC中，∠ACB=900，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB与D。

求：（1）AC的长；（2）⊿ABC的面积；（3）CD的长。

3、如图,一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程( 取3)是( )

A、20cm;

B、10cm;

C、14cm;

D、无法确定.

4、若等腰直角三角形的斜边长为2，则它的直角边的长为，

斜边上的高的长为。

5、要登上8m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物6m，至少需要多长的梯子？（画出示意图）

6、小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？

7、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。谁的深度和这根芦苇的长度分别是多少？

小结与反思

教后记

§ 18.1 勾股定理（3）

学习目标：1、熟练掌握勾股定理的内容

2、会用勾股定理解决简单的实际问题

3、利用勾股定理，能在数轴上表示无理数的点 重点：会在数轴上表示n （n 为正整数）

难点：综合运用 自助探究

1、勾股定理的内容＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

2、如图，已知长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折

叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）

A 、6cm 2

B 、8cm 2

C 、10cm 2

D 、12cm 2

3、13＝9＋4，即()2

13＝

()2

9＋﹝ ﹞2

；若以 和 为直角三角形的两直角边

长，则斜边长为13。同理以 和 为直角三角形的两直角边长，则斜边长为17

自助提升

1、探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？

分析：(1)若能画出长为13的线段，就能在数轴上画出表示13的点.

(2)由勾股定理知，直角边为1的等腰Rt △，斜边为2．因此在数轴上能表示2的

点．那么长为13的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？

在数轴上画出表示17的点？（尺规作图）

2、如图：螺旋状图形是由若干个直角

三角形所组成的，其中①是直角边长为1的

等腰直角三角形。那么OA 1＝ ,OA 2＝ ,OA 3＝ ,OA 4＝ , OA 5＝ ,OA 6＝ ,OA 7＝ ,…,OA 14＝ , …,OA n ＝

.

5

● ●

●

●

●

●

O

1

2

3

4 5

● ●

●

●

●

●

O

1

2

3

4

思考：怎样在数轴上画出表示n （n 为正整数）的点？

自助检测：

1、在数轴上找出表示8和-45的点

2、已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB =6，AC =4，BC =8，求BD ，DC 的长.

3、已知矩形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在同一平面内C’处，BC’与AD 交于点E ，

AD=6，AB =4，求DE 的长.

4、已知：如图，四边形ABCD 中，AB =2，CD =1，∠A =60°, ∠B =∠D =90°. 求四边形ABCD

小结与反思

教后记

D A

B 21864B

C A

D C'

E 3

21A

C

E

D 60?1

2

§18.2勾股定理的逆定理（1）

学习目标：1．掌握勾股定理的逆定理，并会用它判断一个三角形是不是直角三角形.

2．探究勾股定理的逆定理的证明方法.

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.

学习重点：勾股定理的逆定理及其实际应用. 学习难点：勾股定理逆定理的证明. 自助探究：

1、画以线段a ，b ， c . 为边的三角形并判断分别以上述a 、b 、c 为边的三角形的形状.

⑴ a =3，b =4 c =5 ⑵ a =5，b =12 c =13 ⑶ a =7，b =24 c =25

2、猜想：命题2 该猜想的题设和结论与勾股定理的题设和结论正好 .

如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题叫做 命题，若把其中一个叫做原命题．．．

，那么另一个叫做它的 命题.譬如： ①原命题：若a ＝b ,则a 2＝b 2

；逆命题： .（正确吗？答 ） ②原命题：对顶角相等；逆命题： . （正确吗？答 ） 由此可见：原命题正确，它的逆命可能 也可能 .正确的命题叫真．命题．．，不正确的命题叫假．命题．．

自助提升：

1、命题2：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三

角形.

已知：在△ABC 中，AB =c ，BC =a ，CA =b ，且222c b a =+ 求证：∠C =90°

思路：构造法——构造一个直角三角形，使它与原三角形全等，利用对应角相等来证明．

通过证明，我发现勾股定理的逆题是 的，它也是一个 ，我们把它叫做勾股定理的 . 小结注：(1)每一个命题都有逆命题.

(2)一个命题的逆命题是否成立与原命题是否成立没有因果关系.

A b

a

c B'

A'

a

b

(3)每个定理都有逆命题，但不一定都有逆定理.

2、例1、判断由线段a ，b ，c 组成的△ABC 是不是直角三角形.

(1) a =40，b =41，c =9 (2) a =13，b =14，c =15 (3) a ∶b ∶c =13∶3∶2

(4) 12+=n a ，12-=n b ，n c 2=（n >1且n 为整数） 分析：①首先确定最大边；

②验证最大边的平方与最短的两边平方和是否相等

3、勾股数（P75）

能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．．．

，称为勾股数. 如果a 、b 、c 是一组勾股数，m >0，那么ma ，mb ，mc 也是一组勾股数

自助检测：

1、 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）8，15，17； （4）4，5，6. 其中能构成直角三角形的有（ ）

A .4组

B .3组

C .2组

D .1组

2、 三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2

（a 、b 都是正整数），则这个三角形

是（ ）

A ．直角三角形

B ．钝角三角形

C ．锐角三角形

D ．不能确定

3、已知两条线段的长为5c m 和12c m ，当第三条线段的长为 c m 时，这三条线段能组成一个直角三角形。

4、一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A

和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右 图所示，这个零件符合要求吗？

小结与反思

目前判定三角形是直角三角形的方法有哪些？

教后记

§18.2勾股定理的逆定理（2）

学习目标：

1、进一步掌握勾股定理的逆定理，并能运用勾股定理的逆定理解决有关问题。

2、在探究活动过程中，经历知识的发生、发展与形成的过程. 培养敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神，增强学好数学、用好数学的信心和勇气. 学习重点：勾股定理的逆定理及其实际应用. 学习难点：勾股定理逆定理的灵活应用. 自助探究：

1、勾股定理是直角三角形的 定理；它的逆定理是直角三角形的 定理.

2、请写出三组不同的勾股数： 、 、 .

3、测得一块三角形麦田三边长分别为9m ，12m ，15m ，则这块麦田的面积为________㎡。

4、借助三角板画出如下方位角所确定的射线： ①南偏东30°；②西南方向；③北偏西60°.

自助提升：

1、例1、某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，

各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30

海里. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

分析：“远航”号航行方向已知，只要求出“海天”号与它的航向的夹角就可以知

道“海天”号的航行方向.

2、例2、已知在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，若AB =10，BD =6，AD =8，AC =17，求S △ABC .

3、一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，

比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

① ② ③

远航号

海岸线A

D

自助检测：

1、一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，

此三角形的形状为 。

2、已知：如图，四边形ABCD 中，AB =3，BC =4，CD =5，AD =25，

∠B =90°，求四边形ABCD 的面积.

3、

如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西n °，问：甲巡逻艇的航向？

4、已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为AD 上一点，且DF =4

1AD ，E 是CD 的中点.

求证：BE ⊥EF

思路：(1)要证BE ⊥EF ，可证∠BEF 是Rt ∠.

(2)由勾股逆定理想到：只要证222BF EF BE =+即可.

(3)因此可在Rt △ABF ，Rt △DEF ，Rt △BCE 中分别计算出2BF ，2EF ，2BE .

小结与反思

教后记

D C

B A

E

F

D

A

B

C