第六章 微分方程(新)

第六章 微分方程

微积分研究的对象是函数关系，但在很多实际问题中,往往很难直接找出相应的函数关系,却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数及其导数或微分的方程,即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系。因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具。
自牛顿(Newton)、莱布尼兹(Leibniz)创立微积分以来,人们就开始研究微分方程.三百多年来,微分方程的发展极大地推动了自然科学、社会科学和技术科学的发展,到今天它已渗透到物理学、化学、生物学、工程技术及包含经济学在内的社会科学等各个邻域.并且,微分方程早已发展成为一门独立的学科,有完整的理论体系，其研究内容极为丰富.
本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论.

第一节 微分方程的基本概念
一、微分方程
下面首先通过几何及物理学中的几个具体例题来说明微分方程的基本概念.
例1 一曲线通过点(1,2),且其上任一点(x,y)处的切线斜率为3x,求该曲线的方程. 解 设曲线方程为y?y(x)，根据导数的几何意义有 2
dy?3x2 , (1) dx
通过积分得到
y?x3?C (C为任意常数). (2)
曲线通过点(1,2)，所以(2)式满足
y|x?1?3 (3)
代入(2)式可得C?1，所以曲线方程为:
y?x2?1 (4)
例2 质量为m的物体，受重力作用自由下降，试求物体下落的距离随时间变化的规律。 解 设所求的下落距离关于时间的函数为s?s(t)，选取坐标系，使s轴垂直向下，原点在起始点处。根据牛顿定理，未知函数s?s(t)应满足方程
d2s?g. (5) dt2
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