第2讲-整体思想在初中数学中的应用

第二讲：整体思想在初中数学中的应用

【写在前面】

整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．

【例题精讲】

一．数与式中的整体思想

例1.已知114a b -=，则2227a ab b

a b ab

---+的值等于（ ）

A.6

B.6-

C.

125 D.2

7

-

分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11

a b

-的形式，

再整体代入求解．

解：112

242b 6112272(4)72()7a ab b a a b ab b a

------===-+⨯-+-+

说明：本题也可以将条件变形为4b a ab -=，即4a b ab -=-，再整体代入求解．

例2．已知代数式

25342

()

2x ax bx cx x dx ++++，当1x =时，值为3，则当1x =-时，代数式的值为 解：因为当1x =时，值为3，所以

231a b c d +++=+，即11a b c

d

++=+，从而，当1x =-时，原式()

21211a b c d

-++=

+=-+=+

例3．已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac

++---的值．

分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到222a b c ab bc ac

++---2221

()()()2

a b b c c a ⎡⎤=

-+-+-⎣⎦，只要求得a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得

很简单了．

解：由已知得，1a b b c -=-=-，2c a -=，所以， 原式2221(1)(1)232⎡⎤=

-+-+=⎣

⎦ 说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 【巩固练习】

1、已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则的值为 ( )

A ．18

B ．12

C ．9

D ．7

分析：如果根据题意直接求出x 再代入到中求值将非常麻烦，特别是x 为一个无理数．考

虑到由题意3x 2－4x=3成立，而3x 2－4x 是

的3倍，所以可以将看作一个整体，则

．

此题是灵活运用数学方法解题技巧求值的问题，首先要观察已知条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解

2、先化简，再求值，其中a 满足a 2－2a －1=0．

【分析】对分式进行化简结果为，如果把a 求出具体值再代入计算会很麻烦，但如果把a 2－2a 看成一个整体，则由已知可得a 2－2a=1，所以原式=．=

解：原式=，当a 2－2a=1

时，原式==

3、已知114a b -=，则2227a a b b a b a b ---+的值等于（ ） A.6 B.6- C.125 D.2

7

-

分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11

a b

-的形式，再整

体代入求解．

解：∵ab ≠0.∴将

2227a ab b

a b ab

---+的分子与分母都除以 得，

24

6

3x x -+24

6

3x x -+243x x -

243x x

-24

61673x x -

+=+=222

142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷

⎪--+-⎝⎭2

12a a -2

12a a -()()()222214421

224222a a a a a a a a a a a

a a a ⎛⎫+-----÷== ⎪

⎪------⎝⎭2

1

2a a -

112

22

b 2272(

)7

2()7a ab b a a b ab b a

-----===-+⨯+-+（）

说明：本题也可以将条件变形为(

)b a -=，即()a b -=，再整体代入求解．

222272()7a ab b a b ab

a b ab a b ab

----==

=

-+-+

4、已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值． 分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到222a b c ab bc ac ++---

2221

()()()2

a b b c c a ⎡⎤=

-+-+-⎣⎦，只要求得a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了．

解：由已知得，(

)a b b c -=-=，()c a -=，所以原式222a b c ab bc ac ++---

2221

()(

)(

)2⎡⎤=++=

⎣

⎦

说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．

二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想

例4．已知241

22

x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是

分析：本题如果直接解方程求出x ，y 再代入03x y <+<肯定比较麻烦，注意到条件中x y +是一个整体，因而我们只需求得x y +，通过整体的加减即可达到目的．

解：将方程组的两式相加，得：3()53x y k +=+，所以513x y k +=+，从而5

0133k <+<，解

得36

55

k -<<

例5． 已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y 的二元一

次方程组3()()5

()11

x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为

分析：如果把56x y =⎧⎨=⎩代入3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩，解出a ，b 的值，再代入3()()5

()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩进行求

解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐．

若采用整体思想，在方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩中令x y m

x y n

+=⎧⎨-=⎩，则此方程组变形为

3511

m an m bn -=⎧⎨

+=⎩，对照第一个方程组即知56m n =⎧⎨=⎩，从而5

6x y x y +=⎧⎨-=⎩，容易得到第二个方程组的解为112

12

x y ⎧

=⎪⎪⎨

⎪=-⎪⎩，这样就避免了求a ，b 的值，又简化了方程组，简便易操作． 解：11212

x y ⎧

=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．

例6．解方程 225

23423x x x x

+-=

+

分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．

解：设223x x y +=，则原方程变形为5

4y y

-=

，即2450y y --=，解得15y =，21y =-，所以2235x x +=或2231x x +=-，从而解得152x =-，21x =，31

2

x =-，41x =-，经检验1x ，2x ，3x ，

4x 都是原方程的解．

说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设2234y x x =+-，将方程变形为

5

4

y y =

+来解． （2）利用整体换元，我们还可以解决形如22

315122

x x x x -+=-这样的方程，只要设21x

y x =-，从而将方程变形为15

322

y y +

=，再转化为一元二次方程来求解． 例7． 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？

分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决．

解：设购甲、乙、丙各1件分别需x 元、y 元、z 元．

依题意，得37315410420x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩..，即23315

33420()().()().x y x y z x y x y z ++++=++++=⎧⎨⎩

解关于x y +3，x y z ++的二元一次方程组，可得x y z ++=105.（元） 答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元．

说明：由于我们所感兴趣的不是x 、y 、z 的值，而是x y z ++这个整体的值，所以目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果． 【巩固练习】

1、已知241

22x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩

，且03x y <+<，则k 的取值范围是

分析：本题如果直接解方程求出x ，y 再代入03x y <+<肯定比较麻烦，注意到条件中x y +是一个整体，因而我们只需求得x y +，通过整体的加减即可达到目的． 解：将方程组的两式相加，得：33()x y +=，所以()x y +=，从而0()3<<，

解得(

)()k <<

2、已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为5

6x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y 的二元一次方程组

3()()5

()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨

++-=⎩

的解为为 分析：如果把56x y =⎧⎨=⎩代入3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩，解出a ，b 的值，再代入3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩进行求解，

应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐．

若采用整体思想，在方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩中令x y m

x y n +=⎧⎨-=⎩，则此方程组变形为

3511m an m bn -=⎧⎨

+=⎩，对照第一个方程组即知56m n =⎧⎨=⎩，从而5

6x y x y +=⎧⎨-=⎩，容易得到第二个方程组的解为(

)

(

)x y =⎧⎨=⎩，这样就避免了求a ，b 的值，又简化了方程组，简便易操作． 解： (

)(

)x y =⎧⎨=⎩

说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．

3、解方程 225

23423x x x x

+-=

+

分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．

解：设223x x y +=，则原方程变形为，即2450y y --=，

解得1y =，2y =，所以223x x +=

或223x x +=

，从而解得1x =

，2x =

，3x =

，4x =

，经检

验1x ，2x ，3x ，4x 都是原方程的解．

说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设2234y x x =+-，将方程变形为

5

4

y y =

+来解． （2）利用整体换元，我们还可以解决形如22

315122

x x x x -+=-这样的方程，只要设21x

y x =-，从而将方程变形为

，再转化为一元二次方程 来求解．原方程的解为

对于形如2(

)5011x x x x +-=--这样的方程只要设1

x

y x =-，从而将方程变形为一元二次方程 来求解，原方程的解为 。

说明：换元法一般包括 换元法和 换元法两种

4、解方程组⎩⎪⎨

⎪⎧2002x+2003y=2001①

2003x+2002y=2004②

分析：如果选用代入法解答，比如由①得，x=

2001- 2003y

2002

,再代入②，得

2003×（

2001- 2003y

2002

）+2002y=2004

解答起来十分麻烦.

如果选用加减法，比如，①×2003- ②×2002，可以消去x ，得

2003×2003y-2002×2002y=2001×2003- 2004×2002

形式也很复杂，不易求解.

注意到两个方程的系数正好对调这一特征，先将两方程相加，①+②，得

4005x + 4005y = 4005

化简，得 x+y=1 ③

再将两方程相减，① - ②，得 -x + y = - 3

即 x-y=3 ④

由③、④组成方程组，得

⎩

⎪⎨

⎪⎧x + y =1 ③x - y =3 ④

解这个方程组得

⎩

⎪⎨

⎪⎧x = 2y = -1 .

三．函数与图象中的整体思想

例8．已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数） （1）求证：y 是x 的一次函数；

（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式. 解：（1）因y m +与x n -成正比例，故可设y m k x n k +=-≠()()0 整理可得y kx kn m =-+()

因k ≠0，k 、-+()kn m 为常数，所以y 是x 的一次函数.

（2）由题意可得方程组-=--+=-+⎧⎨⎩1517k kn m k kn m ()

()

解得k =2，kn m +=13.

故所求的函数解析式为y x =-213．

说明：在解方程组时，单独解出k 、m 、n 是不可能的，也是不必要的．故将kn m +看成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法．

例9． 若关于x 的一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=有一根大于1，一根小于1-，求a 的取值范围．

分析：此题如果运用根的判别式和韦达定理，解答此题较为困难．整体考虑，把一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=与二次函数22(1)2y x a x a =+-+-联系起来，利用二次函数的图象来解题，则显得很直观，也较为容易．

解：由题意可知，抛物线与x 轴的交点坐标，一个交点在点(1,0)的右边，另一个交点在点(1,0)

-的左边，抛物线图象开口向上，则可得：当1x =时,0y <，当1x =-时，0y <，即22

20

0a a a a ⎧+-<⎨-<⎩，∴20a -<<．

第10题6

5

4

3

2

1

I

H G

F

E

D C

B

A

第11题

O

P

F

E

D

C

B

A

说明：（1）由于当1x =,1x =-时，0y <， 所以解答过程中不必再考虑0∆>了．

（2）利用函数与图象，整体考察，是解决涉及方程（不等式）有关根的问题最有效的方法在之一，在数学教学中应当引起足够的重视． 四．几何与图形中的整体思想

例10．如图，

123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=

分析：由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性质，我们将12∠+∠视为一个整体，那么应与△ABC 中BAC ∠的外角相等，同理34∠+∠，56∠+∠分别与ABC ∠，

ACB ∠的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．

解：因为12DAB ∠+∠=∠，34IBA ∠+∠=∠，56GCB ∠+∠=∠,根据三 角形外角定理，得360DAB IBA GCB ∠+∠+∠=°， 所以123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=360°．

说明：整体联想待求式之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键．

例11．如图，菱形ABCD 的对角线长分别为3和4， P 是对角线AC 上任一点（点P 不与A ，

C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ， PF ∥C

D 交AD 于F ，则图中阴影部分的面积

为 ．

解：不难看出，四边形AEPF 为平行四边形， 从而△OAF 的面积等于△OAE 的面积， 故图中阴影部分的面积等于△ABC 的面积， 又因为12

ABC ABCD

S S ∆=

11

34322

=⨯⨯⨯=，所以图中阴影部分的面积为3. 说明：本题中，△OAF 与△OAE 虽然并不全等，但它们等底同高，面积是相等的．因而，可以将图中阴影部分的面积转化为△ABC 的面积．我们在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．

例12．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分BAF ∠，试判断AF 与BC CF +的大小关系，并说明理由．

解：AF 与BC CF +的大小关系为AF BC CF =+．

分别延长AE ，DC 交于点G ，因为E 为BC 边的中点，因而易证△ABE ≌△GCE ，所以AB GC =，

并且BAE CGE ∠=∠，AB BC =，从而BC CF GF +=．由于AE 平分BAF ∠，所以BAE FAE ∠=∠，故FAE CGE ∠=∠，即△AFG 为等腰三角形，即AF GF =，所以，AF BC CF =+．

说明：证明一条线段等于另外两条线段的和差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题，本题中我们利用三角形全等将BC CF +转化为FG 这一整体，从而达到了解决问题的目的．

用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程．同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功．

【巩固练习1】

1．当代数式-b 的值为3时，代数式2-2b+1的值是 ( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8

2．用换元法解方程(x 2+x) 2+2(x 2+x)－1=0，若设y=x 2+x ，则原方程可变形为 ( ) A ．y 2+2y+1=0 B ．y 2－2y+1=0 C ．y 2+2y －1=0 D ．y 2－2y －1=0 3．当x=1时，代数式x 3+bx+7的值为4，则当x=－l 时，代数式x 3+bx+7的值为 A ．7 B ．10 C ．11 D ．12 ( )

4．若方程组31,

33x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解x ，y 满足0

A ．－4

B ．－1

C ．0

D ．k>－4

5．(08芜湖)已知，则代数式的值为_________．

6．已知x 2－2x －1=0，且x<0，则=__________． 7．如果(2+b 2) 2－2(2+b 2)－3=0，那么2+b 2=_________．

8．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需________米．

9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________cm 2．

10．(07泰州)先化简，再求值： ，其中是方程x 2+3x+1=0的根． 11.(08

苏州)解方程：．

a a a a 113x y -=21422x xy y

x xy y

----1

x x

-

a a a 222

4124422a a a a a a ⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝

⎭a ()2

2

211

60x x x x +++-

=

【巩固练习2】

一、 整体代换

整体代换是根据问题的条件和结论，选择一个或几个代数式，将它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量的目的。

例1：已知22007a d +=，22008b d +=，22009c d +=，且abc ＝24，求

111a b c b c c a a b a b c

++---的值。

解析：由已知解出a 、b 、c 的值再代入求解，计算将很复杂，因此选择如下的整体代换： 由已知可得：1a b -=-，1b c -=-，2c a -=则 原式＝2221()a b c bc ac ab abc

++--= 2221[()()()]2a b b c c a abc =-+-+-11(114)488=⨯++= 二、 整体设元

整体设元是用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的。

例2：计算：11

11111(1)()2320072342008

---⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+ 1111111(1)()2320082342007

----⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+ 解析：本题数据较多，直接计算显然无法进行，注意到题中出现的相同算式，因而考虑整体设元。设11112342007a +++⋅⋅⋅+=，则原式＝11(1)()(1)20082008

a a a a -+--- 221200820082008a a a a a a =+---++12008

= 三、 整体变形

整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理，使之呈现规律性结构形式，从而达到简化问题或减少运算量的目的。

例3：计算：200892008920089

99999919999⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个个个

解析：观察式子特点，用凑整法可简化运算。

原式20089200892008920089

999(9991)99919999=⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个个个个

=

2008020089200800010001999个个个+⨯ 2008020081000(99991)=⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅+个个9

40160

1000=⋅⋅⋅个

四、 整体补形

整体补形是补充完整，根据题设条件将原题中的图形补足为某种特殊的图形，沟通题设条件与特殊的图形之间的关系，从而突出问题本质，找到较简洁的解法或证法。

例4：如图，在四边形ABCD 中，2,1,AB CD ==60,90A B D ∠=︒∠=∠=︒，求四边形ABCD 的面积。

解析：这是一个不规则的四边形，欲求它的面积，可把它补成三角形或规则的四边形，所求图形的面积恰是两个图形面积的差。

延长AD BC 、相交于点E ，如图1

在Rt ABE ∆中，60,2A AB ∠=︒= tan 2BE AB A ∴==

在Rt CDE ∆中，1,18060CD ECD BCD =∠=︒-∠=︒

tan 1tan 60DE CD ECD ∴=∠=⨯︒=1122ABE CDE ABCD S S S AB BE CD DE ∆∆=-=-四边形

11

2122=⨯⨯⨯=说明：本题还可以把原四边形补成一个矩形、直角梯形、等边三角形或平行四边形，如图2—图5。

五、整体配凑

整体配凑是将问题中的条件和结论进行适当的配凑，使之结构形式特殊化、公式化，再利用相关性质进行求解，以达到解答问题的目的。

例5：若2312a b c ++=，且222a b c ab bc ca ++=++，则22a b c ++=＿＿＿

解析：要求22a b c ++的值，需求a 、b 、c 的值，但已知等式只有两个，若按常规方法是无法解决的，注意到222a b c ab bc ca ++=++，可采取整体配凑的方法，借助于非负数的性质，找出a 、b 、c 之间的关系，再利用2312a b c ++=就可以求出a 、b 、c 的值。事实上，由

222a b c ab bc ca ++=++，有2222222220a b c ab bc ca ++---=，即222()()()0a b b c c a -+-+-=，故a b c -=，将之代入2312a b c ++=有2a b c ===，故2210a b c ++=

六、整体构造

整体构造是把问题中某些代数式，赋予具体的几何意义，构造出几何图形，利用数形结合的思想来解答问题。

例6：已知012,x <<的最小值。

解析：作出图6，赋予以上式子如下的几何意义，AC CE ==，所以求

的最小值，即求CD CE +的最小值，当,,D C E 三点共线时值最小，最小值为

13DE ==。

图6

第2讲-整体思想在初中数学中的应用

第二讲：整体思想在初中数学中的应用 【写在前面】 整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 【例题精讲】 一．数与式中的整体思想 例1.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab ---+的值等于（ ） A.6 B.6- C.125 D.27- 分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b -的形式，再整体代入求解． 解：112242b 6112272(4)7 2()7a ab b a a b ab b a ------===-+?-+-+ 说明：本题也可以将条件变形为4b a ab -=，即4a b ab -=-，再整体代入求解． 例2．已知代数式25342 ()2x ax bx cx x dx ++++，当1x =时，值为3，则当1x =-时，代数式的值为 解：因为当1x =时，值为3，所以 231a b c d +++=+，即11a b c d ++=+，从而，当1x =-时，原式()21211a b c d -++=+=-+=+ 例3．已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值． 分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到222a b c ab bc ac ++---2221()()()2 a b b c c a ??=-+-+-??，只要求得a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得

基本数学思想的应用

基本数学思想的应用 数学思想是数学基础知识，基本技能的本质体现，是形成数学能力，数学意思的桥梁，是灵活应用数学知识，技能的灵魂。因此，在中考数学中能取得好成绩的关机是正确的运用数学思想方法。 1、整体的思想 整体思想是将问题堪称一个完整的整体，吧注意力和着眼点放在问题的整体结构改造上，从整体上把握问题的内容和解题的方向和策略。 例：已知代数式6y 2y 32++的值为8，那么代数式1y y 232++的值为 2、分类的思想 分类思想是按周一定的标准，把研究对象分成为数不多的举个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法，其实质是化整体为零，各个击破的转化策略。 例：某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册，该纪念册每册需要10张8K 大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页。印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印刷费无关，价格为：彩页300元 /张，黑白页50元/张； 印刷费与印数的关系如 下表： 印数a （千册） 2≤a<5 5≤a<10 彩色 （元/张） 2.2 2 黑白 （元/张） 0.7 0.6

（1）印制这批纪念册的制版费为： （2）若印制2千册，则共需多少费用？ （3）如果该校希望印数至少为4千册，总费用至多为60000元，求印数的取值范围。（精确到0.01千册） 例：如图所示，在平面直角坐标系中，点O 1 的坐标为（-4,0），以点 O 1 为圆心，8为半径的圆与x轴x轴交于A、B两点，过点A作直线l 与x轴负方向相交成60°角，以点O 2 （13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D。 （1）求直线l的解析式。 （2）将⊙O 2 以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线l 沿x轴向右平移，⊙O 2第一次与⊙O 1 相切时，直线l恰好与⊙O 2 第 一次相切，求直线l平移的速度。 （3）将⊙O 2 沿x轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E， EG为⊙O 2的直径，过点A作⊙O 2 的切线，切⊙O 2 于另一点F，连结 A O 2,FG，那么FG﹒A O 2 的值是否会发生变化？如果不变，说明理由 并求其值；如果不变化，求其变化范围。

(完整)整体思想在初一数学中的运用

整体思想在初一数学中的应用 解决数学问题时，人们常习惯于把它分解成若干个较简单的问题，然后各个击破，有时研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识地放大考察问题的视觉，将所有需要解决的问题看做一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理以后，顺利而又简捷地解决问题，这种从整体观点出发研究数学问题的数学思想称为整体思想。它是一种重要的数学观念，也是数学解题中一种常见的思维方法，尤其在各种数学竞赛中表现得较为突出，有些数学问题，若拘泥于常规，从局部着手，则举步维艰；若整体考虑，则轻而易举。 引例：计算： 111111111111111123 201623420172320172342016????????++++++++-++++++++ ??? ???????????L L L L ＝___________________. 一、整体思想在代数式求值中的应用 1.当x ＝－6时，代数式531ax bx cx ++-的值为5，则当x ＝6时，这个代数式的值为_________. 2.已知：241x x -=，则（1）23122x x --＝_________；（2）32532018______x x x -++=. 3.已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 同时满足： 1,2,3,4,6,9bcdef acdef abdef abcef abcdf abcde a b c d e f ======，求a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f 的值.

二、整体思想在方程（组）中的应用 1.二元一次方程组264316 x y x y +=??+=?的解是________________. 2.已知甲、乙、丙三种商品.若购甲4件，乙7件，丙1件共需36元；若购甲5件，乙8件，丙2件共需45元，则购甲、乙、丙三种商品各1件共需__________元. 3.解方程：226201620172018x x x -+++= 三、整体思想在几何图形中的应用 1.如图是一个3×3的正方形网格，则 ∠1＋∠2＋……＋∠9＝___________.

2012中考数学思想方法专题讲座——整体思想解题策略

初中数学思想方法专题讲座——整体思想解题策略 姓名 整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想 【例1】 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 分析：如果根据题意直接求出x 再代入到2463x x -+中求值将非常麻烦，特别是x 为一个无理数．考虑到由题意 3x 2－4x=3成立，而3x 2－4x 是 243x x - 的3倍，所以可以将243x x -看作一个整体，则2461673x x -+=+=． 解：选（ ） 此题是灵活运用数学方法解题技巧求值的问题，首先要观察已知条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解 【练习】先化简，再求值222142442a a a a a a a a +--??-÷ ?--+-? ?，其中a 满足a 2－2a －1=0． 【分析】对分式进行化简结果为 21 2a a -，如果把a 求出具体值再代入计算会很麻烦，但如果把a 2－2a 看成一个整体，则由已知可得a 2－2a=1，所以原式=．21 2a a -= 解：原式=()()()222214*********a a a a a a a a a a a a a a ??+-----÷== ? ?------?? ，当a 2－2a=1时，原式=212a a -= 【例2】.已知114a b -=，则2227a a b b a b a b ---+的值等于（ ） A.6 B.6- C.125 D.27- 分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b -的形式，再整体代入求解． 解：∵ab ≠0.∴将2227a ab b a b ab ---+的分子与分母都除以 得，11222b 112272( )72()7a ab b a a b ab b a -----===-+?+-+（） 说明：本题也可以将条件变形为()b a -=，即()a b -=，再整体代入求解． 222272()7a ab b a b ab a b ab a b ab ----===-+-+ 【例3】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值． 分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到222a b c ab bc ac ++--- 2221()()()2a b b c c a ??=-+-+-? ?，只要求得a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了． 解：由已知得，()a b b c -=-=，( )c a -=，所以原式222a b c ab bc ac ++---

浅谈整体思想在初中数学解题中的应用

浅谈整体思想在初中数学解题中 的应用 姜华文 [摘要] 新课改风向标下，数学思想的渗透始终是数学教学的核心，而整体思想在数学思想中占据主要地位，有着广泛的应用性，是贯穿初中数学解题领域的主线之一. 因此，关注到整体思想在解题中的应用具有重要的现实意义. 对此，文章的重点从求值问题、方程问题和应用问题入手，引导学生展开解题思维，渗透整体思想，最终让数学的核心素养在数学课堂落地生根. [关键词] 整体思想;数学解题;思想方法;数学思维 新课程改革推进下，明确提出了“四基”理念，体现了数学思想在数学学习中的重要意义. 数学思想是数学学习中的核心内容，也是数学解题中最具生命力的存在，是遗忘数学知识或数学方法之后还需保留的思维方式. 初中阶段常见数学思想众多，整体思想则占据主要地位，有着广泛的应用性，是贯穿初中数学解题领域的主线之一，对数学问题的解决有着意想不到的作用，也是后续高中数学解题中的基本内容之一，因此整体思想一直是中考命题的重心. 整体思想就是对问题进行整体处理的解题方法，它的表现形式多种多样，有整体代换、整体变形、整体设元等. 本文将以数学解题中的整体思想为主线进行全面梳理，充分挖掘其中蕴含的解题策略，以期在解题教学中能更充分地发挥数学思想的教育教学价值，有助于培养学生分析和解决问题的能力，提升学生的数学思维和数学学习水平.

求值问题中运用整体思想可化繁为简 用整体的观点认识数学公式和数学法则，用整体的观点分析和解决数学问题，进而培养学生思维的发散性、灵活性、敏捷性，从而提高解决问题的效率. 初中数学中的代数式求值问题是初中数学“数与式”中的重点题型，往往在历年中考中扮演着极其重要的角色. 这类题目呈现的是一个含有未知变量的等式，然若通过常规思维去求未知变量并代入求解，则会生成相当大的计算量，过程相当烦琐，有些甚至无法下手. 但若运用整体思想灵活进行整体代换，则可以简化解题过程. 例1 已知4c2-c-6=0，试求出8c2-2c-5的值. 分析该题涉及代数式的求值问题，而学生较为熟悉的常规解题思路则是求出具体的c的值，然后代入得出代数式的值. 其一，观察求值式子可以看出所求的是一个关于c的多项式，自然就需要挖掘条件4c2-c-6=0去求出具体的值. 而很显然条件4c2-c-6=0无法轻易进行因式分解，那么未知数c的值就很难得出了. 再转换思路，从一元二次方程的求根公式着手进行求解，尽管理论上是可行的，但解题过程相当的烦琐，也极易出错. 于是这两种常规的解题思路自然是不可行的. 再深入观察并分析，可关注到未知式中的部分“8c2-2c”刚好是已知式中的部分“4c2-c”的两倍，那么这里就很显然考查了学生的整体思想. 不难想到进行恒等變形，将已知式变形为4c2- c=6，未知式中的8c2-2c变形为2（4c2-c），那么问题便迎刃而解了. 例2 已知x2-3x=6，试求出6x-2x2的值. 分析本例题乍一看已知式与未知式之间似乎毫无关联，而深入观察则可发现之间存在着密切的内在联系. 事实上，未知式是已知式相反数的2倍，有了这一思路，我们便可以将已知

7种初中数学常用数学思想

7种初中数学常用数学思想 计算能力是一项基本的数学能力，也是综合能力的具体体现。计算能力的培养，不仅与数学基础知识密切相关，而且与训练学生的思维、小编整理了7种初中数学常用数学思想数学最强计算技巧总结，欢迎参考借鉴。 7种初中数学常用数学思想 一、整体思想 整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。 例1 已知a-b=3,求2a-2b-1=____。 解析：把“a-b”看成一个整体代入，2a-2b-1=2(a-b)-1=5。 二、方程思想 方程思想是指在确定变量后，找到它们之间的关系，将实际问题转化成方程或不等式，通过建立方程模型来解决实际问题。 例2 一个凸多边形的内角和是外角和的2倍，它是____边形。 解析：由于任意多边形的外角和都是360°，而n边形的内角和是(n-2) 180°。设这个多边形是n边形，根据题意，得：(n- 2)180°=2×360°，解得n=6。 三、函数思想 函数的思想是用运动和变化的眼光，分析和研究数学中的数量关系，从而建立函数模型，如一次函数、反比例函数、二次函数等，解决实际问题。 例3 某市出租车收费标准：不超过3千米计费为10.0元，3千米后按2.4元/千米计费。 (1)当路程表显示7千米时，应付费多少元? (2)写出车费 y (元)与路程 x (千米)之间的函数表达式。 (3)小明乘出租车从家到人才市场，付费34元，求小明的车程。 解析：(1)当路程为7千米时，费用为10+(7-3)×2.4=19.6元。

(2)当x≤3时，y=10;当x≥3时，y=10+(x-3)×2.4，即y=2.4x+2.8。 (3)当y=34时，有2.4x+2.8=34,即x=13。答：小明的车程为13千米。 四、转化思想 转化思想是指把我们遇到的问题由陌生知识转化为已学知识，化繁为简，化未知为已知，从而解决实际问题。 解析：把分式方程去分母转化为整式方程即可。 两边乘(x+3)(x-1)得：2(x-1)=(x+3)， 即2x-2=x+3， 解得x=5。 经检验：x=5是方程的解。 五、类比思想 把两个(或两类)不同的数学对象进行对比，如果发现它们有共同特质，可以根据其中一个数学对象的特征来推出另一个对象的特征。例如通过研究正比例函数的图象、性质及应用，类比研究反比例函数的图象、性质及应用。 六、数形结合思想 数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题形象化、具体化。“数无形，少直观，形少数，难入微”，利用“数形结合”可使要研究的问题化难为易，化繁为简。 七、分类讨论思想 分类讨论就是把研究对象按同一分类标准分成几个部分或几种情况，然后逐个解决，最后予以总结做出结论的思想方法，其实质是化整为零，各个击破，化大难为小难的策略。 例6 若等腰三角形的一个内角为70°，求它的顶角的度数。 解析：分类讨论： (1)该内角为顶角时，顶角为70°。

初中数学思想专题之整体代入

初中数学思想专题之整体代入 初中数学思想专题之整体代入 在初中数学的学习过程中，我们经常会遇到一些涉及整体代入的题目。整体代入是一种重要的数学思想，能够帮助我们简化计算，提高解题效率。本文将深入探讨整体代入的概念、应用及解题方法，带领大家领略整体代入思想的魅力。 一、整体代入的概念 整体代入思想是指将一个式子或数值的整体代入到另一个式子或表 达式中，从而简化计算的一种方法。这种方法在解决一些涉及多个变量或数值的复杂问题时尤为有效。通过整体代入，我们可以将多个变量或数值的复杂关系简化为一个变量的简单运算，从而降低问题的复杂度。 二、整体代入的应用 整体代入思想在解决实际问题中具有广泛的应用。以下是一些典型的例子： 1、解方程：在解方程时，我们经常会遇到一些系数较为复杂的问题。此时，我们可以将方程中的某个式子或数值整体代入到另一个式子中，从而简化计算。

例如：解方程x^2 + 3x + 2 = 0。我们可以将3x看作一个整体，将其代入到方程中，得到x^2 + 3x + 2 = 0，即x^2 + (3x) + 2 = 0。通过整体代入，我们能够简化方程的形式，便于求解。 2、解不等式：在解不等式时，我们也可以利用整体代入的思想。通 过将不等式中的某个式子或数值整体代入到另一个式子中，我们可以将不等式转化为易于求解的形式。 例如：解不等式x^2 + 2x > 5。我们可以将2x看作一个整体，将其代入到不等式中，得到x^2 + (2x) > 5，即x^2 + 2x - 5 > 0。通 过整体代入，我们能够简化不等式的形式，便于求解。 3、解决函数问题：在解决函数问题时，整体代入思想同样具有广泛 的应用。通过将函数中的某个变量或数值整体代入到另一个表达式中，我们可以将问题转化为易于求解的形式。 例如：求函数y = x^2 + 2x + 1的最大值。我们可以将x^2 + 2x看作一个整体，将其代入到函数中，得到y = (x^2 + 2x) + 1。通过 整体代入，我们能够将函数转化为一个简单的形式，便于求解最大值。 三、总结 整体代入思想是一种重要的数学思想，能够帮助我们简化计算，提高解题效率。在解决实际问题时，我们应该善于运用整体代入的思想，将问题转化为易于求解的形式。我们还应该在学习过程中不断积累相

数学中的整体思想

数学中的整体思想 整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，在解决某些问题时，从问题的整体特性出发，统筹考虑，全面把握，构建整体结构，利用问题的各方面条件寻求简洁的解法。有些数学问题中的某些元素虽然是非本质的，但若根据题目需要，设法将其视为对象，从整体上把握，则可化难为易，化繁为简。 一、整体代入 有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。 例1：一船在静水中的速度是15千米/小时，要经过150千米的河，并且逆流而上（水流速度为5千米/小时），问船往返共用多少时间？分析：此题若从局部考虑，要分顺水、逆水两种情况分别计算，而从整体考虑，因为船速与水速均已知，所以两地之间距离（150千米）也是一个已知量，所以可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。 设船往返共用x小时。

则根据题意列方程：15x－5x＝150 解得：x＝15 二、整体换元 有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，视“黑箱”为新元，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。 例2：设a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，且a＞b＞0，求a＋b 与ab的值。 分析：此题若从局部考虑，要解方程求出a、b的值再代入求值，而 从整体考虑，因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以a＋b与ab满足一定的等量关系（韦达定理），因此可以省去对其中繁琐细 节的研究，直接利用公式解决问题。 因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以有： a＋b＝－（－7）/2＝7/2；ab＝3/2 三、整体构造

2022-2023学年九年级数学中考复习《整体思想在求代数式的值中的应用》专题突破训练(附答案)

2022-2023学年九年级数学中考复习《整体思想在求代数式的值中的应用》 专题突破训练（附答案） 一．选择题 1．如果a﹣3b＝4，那么2a﹣6b﹣1的值是（） A．﹣7B．5C．7D．﹣5 2．已知x+y＝，﹣xy＝2，则2xy﹣3x﹣3y值为（） A．﹣B．C．D．﹣ 3．已知x2﹣3x﹣12＝0，则式子﹣3x2+9x+5的值是（） A．41B．﹣41C．31D．﹣31 4．已知m是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式m3+2m2+2021的值为（）A．2019B．2020C．2021D．2022 5．当x＝1时，代数式px3+qx+1的值为2022，则当x＝﹣1时，代数式px3+qx+1的值为（）A．﹣2019B．﹣2020C．﹣2021D．﹣2022 6．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣3m2+9m+2022的值为（）A．2022B．2021C．2020D．2019 7．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于（）A．2022B．2026C．2030D．2034 8．解决次数较高的代数式问题时，通常可以用降次的思想方法．已知：x2﹣x﹣1＝0，且x ＞0，则x4﹣2x3+3x的值是（） A．1+B．1﹣C．3+D．3﹣ 二．填空题 9．若关于m的多项式﹣3m2+2m﹣1的值是5，求代数式6m2﹣4m的值是．10．如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是3，则m2﹣2022a+5cd﹣2022b 的值是． 11．已知m﹣n＝2，mn＝﹣5，则3（mn﹣n）﹣（mn﹣3m）的值为． 12．已知m是方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m﹣3的值等于．13．若m2＝2n+2021，n2＝2m+2021（m≠n），那么式子m3﹣4mn+n3值为．14．已知a2﹣a﹣1＝0，则代数式a3﹣2a+6＝． 15．已知（a﹣2022）（a﹣2020）＝3，则（a﹣2022）2+（a﹣2020）2的值为．

整体思想在解决初中数学一元二次方程中的应用

整体思想在解决初中数学一元二次方程 中的应用 摘要：一元二次方程，在初中数学当中属于教学上面的一个难点。相对于一 元一次方程来说，一元二次方程的思路更加繁琐，逻辑性更强，对于初中的初学 者来说是具有一定难度的。不少教师都抱怨一元二次方程教学起来颇为困难。不 论自己怎样费尽口舌去讲解，可学生总是难以掌握。其实，如果我们掌握了科学 有效的方法，那么初中数学一元二次方程的教学难度，也就能够做到迎刃而解。 这里我们介绍如何用整体思想来解决初中数学一元二次方程。 关键词：初中数学教学；整体思想；一元二次方程；教学改革；教学思路 一、引言 在初中数学的教学当中，不少教师都觉得一元二次方程的教学非常困难。原 因在于学生在刚接触一元二次方程时，容易对于学习思路一时半会儿间难以掌握。所以不少学生在学习一元二次方程时都会“卡壳”。而教师在教学时，也常常找 不到合适的手段。那么怎样才能够有效改善我们的教学思路，让学生能够事半功 倍地掌握一元二次方程呢？这里，我们建议采用“整体思想”来进行教学。整体 思想是破解数学问题的有效策略[1]。下面我们具体进行分析。 二、整体思想的概念、特征和教学优势 （一）整体思想的概念 所谓“整体思想”，指的是着眼于一个问题的整体为出发点，着重对于整个 问题的结构开展相关的剖析及转化，把一些代数式、方程式或图形作为整体来对待，并寻找出它们之前存在哪些关联，然后从整体的角度来进行处理。

在初中数学当中，整体思想大有其用武之地。比如，关于代数式的各种化简、求值处理，方程的求解、以及几何的补形等等方面的知识点，都可以有效用到整 体思想。 （二）整体思想的特征和教学优势 在初中数学当中，许多内容看似独立，其实它们之间存在着较多的关联。以 一元二次方程为例，其从设元到列式到变形到消元到代入最终到求值的一系列过程，其实最终都是被统一在同一个思路下面的。此时，我们就需要对于那些看起 来互相独立的各种数量，找出它们从中的各方面联系，使之成为一个统一的整体。由此，通过整体思想，我们就可以有效地实现教学内容的化难为简，从而让学生 快速地掌握一元二次方程方面的知识点。 我们需要认识到的是，对于初中数学尤其是一元二次方程来说，其教学意义 是值得重视的。因为以绝大多数初中生的思维能力，想要他们尽快地接受一元二 次方程，那么必须首先是让他们站在一定的思维高度之上，寻找出局部和整体之 间的关联，然后再寻找到教学当中的突破口，让他们在最短的时间内掌握一元二 次方程这方面的内容。 三、整体思想在解决初中数学一元二次方程中的应用要点 根据前文当中的阐释，数学思想是数学学科的关键,它不仅是一种学习思想, 更是一种解决数学问题的重要策略[2]。那么，如何才能够帮助学生用整体思想来 解决初中数学一元二次方程呢？下面我们对于教学要点具体进行介绍。 （一）首先从整体的角度启迪学生找出解题思路 初中数学的整体思想，首先必须是由宏观的角度，对于初中数学的内容体系 进行整体的观察和把握，从而有效把握其结构及本质，最终获取这方面教学要点 的本质特征，从一元二次方式的基本规律当中探索出思维活动的具体模式。这是 我们在教学当中需要做到的第一步。

巧用数学思想，提升数学思维和素养

巧用数学思想，提升数学思维和素养作者：眭亚燕沈秋萍 来源：《初中生世界·七年级》2022年第02期

数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁。通过学习平面图形的认识（一），我们了解了线段、射线、直线的概念、性质以及三者间的关系，掌握了角、余角、补角、对顶角的概念及相关计算，认识了平行和垂直。通过学习平面图形的认识（二），我们对直线和角的关系继续进行了深入研究，同时了解了图形的平移的特征并学习了三角形的入门知识。下面，我们以“线段”“角”为例，谈谈如何巧用数学思想解决问题。 一、数形结合思想 数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的数学思想。 如图1，已知线段a、b，求图2中线段AB的长。 求线段AB的长，即求两点之间的距离（数）。这个距离是一个数，而已知条件是图形，这就需要我们正确地识别图形（形），数形结合着思考。AB的长为2a-b。 二、方程思想

方程思想的本质即从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程），然后通过解方程（组）来使问题获解。方程思想在解决线段问题的时候是一个很重要的工具。 已知，如图3，点C、D在线段AB上，且AC∶CD∶DB=2∶3∶4，如果AB=18，那么线段AD的长是多少？ 根据已知条件中的比值，设合理的未知数，列正确的方程，是解决本题的关键。因为AC∶CD∶DB=2∶3∶4，故可设AC=2x，CD=3x，DB=4x，则AB=9x。又因为AB=18，所以9x=18，解得x=2，故AD=2x+3x=5x=10。 三、整体思想 整体思想就是从问题的整体性质出发，对问题的整体结构进行分析，发现问题的整体结构特征，用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，有目的、有意识地进行整体处理的思想。 例如，如图4，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，直线上有A、B、C、D四点。点P沿直线l从右向左移动，当点P与A、B、C、D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有个。 利用整体思想去思考线段的总条数是一种巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类。由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，这时，我们只要数出线段总条数即可。因为图中共有6条线段：DC、DB、DA、CB、CA、BA，所以发出警报的点P最多有6个。 四、化归思想（化未知为已知） 化归思想的本质在于将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎、归纳，转化为已知的、熟悉的、简单的问题。 如图5，C、D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD的中点，若EF=m， CD=n，则AB= 。 我们可以利用中点的性质转化线段之间的倍分关系。在不同的情况下，灵活选用中点性质的表示方法，有利于提高解题的简洁性。因为AE=EC，FB=FD，所以 AB=AE+FB+EF=EC+FD+EF=EF-CD+EF=2m-n。 五、从特殊到一般的思想

初中数学精品教案：整体代入的应用)

《0501整体代入的应用》微设计 教学目标: 1.初步掌握利用整体思想解决代数式的化简求值问题的一般方法； 2.在经历解决较复杂问题过程中初步学会体会整体思想的重要性； 3.体验理解整体思想在求解代数式的化简求值问题中的价值. 重点：利用整体思想解决代数式的化简求值问题的一些方法. 难点：当已知条件与所求代数式没有直接的倍数关系时，需要将条件转化或结论转化，再 整体代入. 教学过程： 一、激趣引入 同学们，代数式的化简求值中许多问题离不开整体思想，今天我们用整体代入的方法解决代数式的化简求值问题. 二、例题解析 （一）直接整体代入 例1.如果5=+b a ，那么=+-+)(4)(2 b a b a __________. 分析：首先从整体上观察已知条件与所求代数式的关系，若能将已知条件直接整体代入的就直接代入求值；若不能将条件直接代入的，可以考虑先将结论化简再整体代入，或者先用一个字母表示另一个字母，再代入所求结论并化简求值.而在本题中，我们不难发现：可以将a+b 的值直接整体代入所求代数式，求出结果. 解答：将5=+b a 整体代入，得=+-+)(4)(2b a b a 520255452=-=⨯-. 小结：通过本题，可以总结出利用整体思想解决代数式的化简求值问题的基本步骤： （1）从整体上观察已知条件与所求代数式的倍数关系； （2）若能将已知条件直接代入的就直接代入求值；若不能，可以考虑将已知条件或结论先化简，再整体代入求值，也可以考虑先消元，再代入化简求值. （二）转化已知式后再整体代入 例2．已知0232=--a a ，求代数式2 625a a -+的值. 分析:本题与例1相似，方法类似，但是不能发现已知条件与所求结论的直接关系，可以自己尝试着寻找其中的关系.思考：是否可以先将已知条件所求转化，再整体代入求值. 解答：由0232=--a a ，得232=-a a ，两边同时乘以-2，得4262-=+-a a ，故2625a a -+=1)4(5=-+. 小结：当已知条件和所求代数式中存在倍数关系时，可以先将已知条件转化，再整体代入求值.

整体思想在数学解决问题中的应用

整体思想在数学解决问题中的应用 整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。 一、整体思想在代数式求值中的应用 例1：m+n=2，mn=1，则 = ； 思路：不用单独求m和n，而是把变成在把m+n和mn的值进行整体代入。 例2：已知 +x-1=0，则 = ； 思路：不用单独求x值，而是 +x-1=0变化成2（ + x）-1=0得到 + x=进行整体代入。 二、整体思想在解方程（组）中的应用 例1：若方程组的解是，则方程组 的解是（）。 A． B． C． D． 思路：把x+2和y-1看做一个整体，根据已知方程组的解，容易得到 x+2=8.3，y-1=1.2，进而求得x和y的值。 例2：若二元一次方程组的解为则a-b=；

思路：不用解方程求x和y，只需把方程组中两个方程相加，得到4x-4y=7，得到x-y的值，进而得到a-b的值。 三、整体思想在求线段长中的应用 例1(河北2018中考)：如图，点为△ABC的内心， ，，，将平移使其顶点与重合， 则图中阴影部分的周长为（） A.4.5 B.4 C.3 D.2 思路：阴影部分的周长可以凑成一个整体转化为线段AB的长。 例2：如图，某楼梯示意图，BC＝4米。要在楼梯上铺设地毯，则地毯的长度大约为（）米。(取1.73) 思路：其实地毯的长度就是所有台阶的长度 与高度的和，即AC+BC的长。 四、整体思想在求角度中的应用 例1：如图，三个全等三角形按如图的形式摆放,则 ∠1+∠2+∠3的度数是( )。 A.90∘ B.120∘ C.135∘ D.180∘ 思路：∠1+∠2+∠3的度数和看做一个整体 去求。可以利用平移的办法转化为一个平角，也 可以用三个平角的和减去两个三角形的内角和。 五、整体思想在求面积中的应用 例2：如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，半 径都是1cm，则图中阴影部分的面积是( )cm²。

中考数学思想方法 【整体思想】解方程中的整体思想(学生版+解析版)

解方程中的整体思想 知识方法精讲 1．整体思想 从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。 用整体思想解方程，就是先考虑方程中的某一个代数式整体去代入，然后再解出方程中的未知数的值就可以。 2．解一元一次方程 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 3．二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 4．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．

数学思想篇：一、整体思想

第 1 页 共 2 页 数学思想篇：一、整体思想 【思想指导】 整体思想，就是从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易．其主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用． 【范例讲析】 一．数与式中的整体思想 例1. 已知114a b -=，则2227a ab b a b ab ---+的值等于 （ ） A.6 B.6- C. 125 D.2 7 - 例2．已知当1x =时代数式25342 () 2x ax bx cx x dx ++++的值为3，则当1x =-时，代数式的值为 二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想 例3．已知24122 x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是 例4． 已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为5 6 x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y 的二元一次方程组3()()5 ()11 x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为 例5． 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？ 三．函数与图象中的整体思想 例6．已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数） （1）求证：y 是x 的一次函数； （2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式. 例7． 若关于x 的一元二次方程2(21)20x a x a +-+-=有一根大于1，一根小于1-，求a 的取值范围． 四．几何与图形中的整体思想 例8．如图， 123456∠+∠+∠+∠+∠+∠= 例9．如图，菱形ABCD 的对角线长分别为3和4， P 是对角线AC 上任一点（点P 不与A ，C 重合） ，且PE ∥BC 交AB 于E ， PF ∥CD 交AD 于F ，则图中阴影部分的面积为 ． 例10．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分BAF ∠，试判断AF 与BC CF +的大小关系，并说明理由．

初中数学思想之“整体代入”

初中数学思想之“整体代入” 学习目标：1.通过学习掌握数学解决问题的基本方式之一，整体代入法；2. 让学生掌握将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知 条件和所求综合考虑后代入的方法 考点分析：整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、 几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用 学习重点:整体代入、整体设元、整体展开、整体补形、整体改造等等。在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解答及证明等方面都有广泛的应用。 学习方法:讲练结合 1、（2019九年级施甸县统测）、如果=+≠=a a 0a 1-a 1 -a 2），那么（如果 2、(2019云南模拟)、已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨ ⎧=+=+m y 2x 1 -m 3y x 2的解满足1≤x-y ≤5， 则m 的取值范围是（ ） A. 1≤m ≤3 B. 1≤m ≤2 C. 1≤m ≤4 D. 2≤m ≤3 3．（2018云南）已知x +=6，则x 2 + =（ ） A ．38 B ．36 C ．34 D ．32 有的代数式求值往往不直接给出字母的取值，而是通过告诉一个代数式的值，且已知代数式中的字母又无法具体求出来，这时，我们应想到采用整体思想解决问题，用整体思想求值时，关键是如何确定整体。下面举例说明如何用整体思想求代数式的值。 一、直接代入 例1、如果，那么（a +b ）2－4（a +b ）= ． 解析：本题是直接代入求值的一个基本题型，a 、b 的值虽然都不知道，但我们发现已知式与要求式之间都有（），只要把式中的的值代入到要求的式子中，即可得出结果 5． （a +b ）2－4（a +b ）=52－4×5=5。 5a b +=a b +a b +

数学思想方法讲解(初二版)

数学思想方法专题 知识点归纳：常用的数学思想 1．整体思想 从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易. 整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等 2．分类讨论思想 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。 3．数形结合思想 在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。 4.函数与方程的思想 方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中实际问题时，根据已知与未知量之间的联系及相等关系建立方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．而函数的思想是用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，再用函数的形式把变量之间的关系表示出来． 5.转化思想 转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。 第1讲整体思想 1．(江苏盐城)已知a－b＝1，则代数式2a－2b－3的值是() A．－1 B．1 C．－5 D．5 2．(山东济南)化简5(2x－3)＋4(3－2x)结果为() A．2x－3 B．2x＋9 C．8x－3 D．18x－3 3．(浙江杭州)当x＝－7时，代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值为________．

数学思想方法在教学中的应用

数学思想方法在教学中的应用 初中数学教学大纲指出：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。” 新大纲中把数学思想和方法视为数学的基础知识，于是学习和掌握数学思想方法是至关重要的，也是全面提高初中学生的数学素质，推进素质教育的重要一环。而数学思想和方法对增强学生数学观念，培养学生良好数学素质起着重要作用，也利于开拓型、创造型人才的培养。因此，在初中数学教学中加强数学思想和方法的教学意义重大。 所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们合称为数学思想方法。 数学教学的目的不仅要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能，还要求发展学生的能力，培养他们良好的个性品质和学习习惯。在实现教学目的的过程中，数学思想方法对于打好“双基”和加深对知识的理解、培养学生的思维能力有着独到的优势，它是学生形成良好认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁。因此，在数学教学中，教师除了基础知识和基本技能的教学外，还应重视数学思想方法的渗透，注重对学生进行数学思想方法的培养，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。从初中阶段就重视数学思想方法的渗透，将为学生后续学习打下坚实的基础，会使学生终生受益。 一、初中数学教学应渗透的思想方法 1、分类讨论思想 分类讨论即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段。在教学中，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。 例如，教材中给实数的定义是“有理数与无理数统称为实数”，这个定义揭示了实数的内涵与外延，这本身就体现出分类思想方法。在同一个圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。为了验证这个猜想，教学时常将圆对折，使折痕经过圆心和圆周角的顶点，这时可能出现三种情况：⑴折痕是圆周角的一条边，⑵折痕在圆周角的内部，⑶折痕在圆周角的外部。验证时，要分三种情形来说明，这里实际上也体现了分类讨论的思想方法。