第四章齿轮机构答案
第四章 齿 轮 机 构
4-1有一对使用日久磨损严重的标准齿轮需要修复。按磨损情况，拟将小齿轮报废，修复大齿轮，修复后的大齿轮的齿顶圆要减小8mm 。已知Z 1=24，Z 2=96，m=4mm ，α=20°，ha *=1及c *=。试求这两个齿轮的几何尺寸。
解：根据题意要求中心距不变，修复大齿轮，即大齿轮负变位，小齿轮正变位。
根据大齿轮的磨损情况，通过对大齿轮进行负变位，把磨损部分切掉。 原齿轮2的齿顶圆直径为：mz 2+2h a *m=4×96+2×1×4=392 现齿轮2的齿顶圆直径为：d a2=392-8=384 齿轮负变位后：d a2=mz 2+2(h a *+x 2)m
即：114
29643842*
222-=-??-=--=
a a h m mz d x 为了保持中心距不变，可对新设计的小齿轮进行正变位，x 1=-x 2=1 几何尺寸计算如下：
分度圆直径：d 1=mz 1=4×24=96mm
d 2=mz 2=4×96=384mm
齿顶圆直径：d a1=mz 1+2(h a *+x 1)m=4×24+2×(1+1)×4=112mm
d a2=mz 2+2(h a *+x 2)m=4×96+2×(1-1)×4=384mm
齿根圆直径：d f1=mz 1-2(h a *+c *-x 1)m=4×24-2×(1+×4=94mm
d f2=mz 2-2(h a *+c *-x 2)m=4×96-2×(1++1)×4=366mm
4-2 已知一对外啮合变位齿轮的齿数Z 1=10，Z 2=12，ha *=1，C *=，α=20°，m=10mm ，求相应的最小变位系数，计算两轮的齿顶圆直径d a 。
（inv °=，inv20°=）
解：因为两齿轮的齿数都小于不产生根切的最小齿数（z min =17），故应采用正变位，最小变位系数为
x 1=(17-z 1)/17=(17-10)/17= x 2=(17-z 2)/17=(17-12)/17=
038264.02012
1020)294.0412.0(2tan )(22121=?++?
+=+++=
'inv tg inv z z x x inv ααα
得：?='985.26α
ααcos cos a a ='' 其中a=m(z 1+z 2)/2=10(10+12)/2=110 得：995.115985.26cos 20cos 110cos cos =?
?
?='='ααa a
中心距变动系数 5995.010
110
995.115=-=-'=m a a y
齿高变动系数 △y=x 1+x 2-y=+齿顶高 h a1=(h a *+x 1-△y)m=（1+）×10=13.055mm
h a2=(h a *+x 2-△y)m=（1+）×10=11.875mm 齿顶圆直径 d a1=d 1+2h a1=mz 1+2×=126.11mm d a2=d 2+2h a2=mz 2+2×=143.75mm
4-3已知两个直齿圆柱齿轮的齿数分别为Z 1=12，Z 2=15，用α=20°，m=4mm 的滚刀切制。如两齿轮按最小变位系数切制，试求无侧隙传动的中心距。
（inv αˊ=，则αˊ=23°54′，inv20°=）
解：因为两齿轮的齿数都小于不产生根切的最少齿数（z min =17），故应采取正变位，其最小变位系数为：
x 1=(17-z 1)/17=(17-12)/17= x 2=(17-z 2)/17=(17-15)/17= 根据无侧隙啮合方程式得：
026.02015
1220tan )1176.0294.0(2tan )(22121=?++?
+=+++=
'inv inv z z x x inv ααα
查P140渐开线函数表得：α′=23°54′
无侧隙传动的中心距为： mm z z m a a 53.554523cos 20cos )1512(24cos cos )(2cos cos 21='??+?='+='='αααα
4-4 某球磨机上有一对标准直齿圆柱齿轮，已测知m=16mm ，Z 1=27，Z 2=245，中心距a=2176mm 。两齿轮齿面磨损严重需要修复。为了节约材料和降低制造成本，决定只更换小齿轮，而通过变位切削修复大齿轮。检测后知大齿轮分度圆上齿厚的磨损量为5.61mm 。试求小齿轮的齿顶圆直径以及修复大齿轮时的大齿轮齿顶圆直径。
解：(1)根据分度圆齿厚的磨损量，首先对大齿轮进行负变位切削，把齿面磨损部分全部切掉。由磨损量等于齿厚减薄量条件得：
2x 2mtg α= 则482.02016261
.5261.52-=?
??-=-=
tg mtg x α
取x 2=，则能保证将磨损部分全部切掉。
(2)为了保持无侧隙啮合中心距不变，应采用高度变位传动，故小齿轮为正变位，即
x 1=-x 2=
(3) 在高度变位齿轮传动中，齿高变动系数△y=0 h a = (h a *+x-△y)m d a =d+2(h a *+x-△y)m
d a1=mz 1+2(h a *+x 1)m=480mm d a2=mz 2+2(h a *+x 1)m=3936mm
而标准齿轮的大齿轮z 2=245，d a2=3952，其齿顶圆相应车小到d a2=3936mm
4-5已知：一对正常齿渐开线标准斜齿圆柱齿轮的中心距a=250mm ，齿数Z 1=23，Z 2=98，法向模数m n =4mm ，试计算其螺旋角、端面模数、端面压力角、当量齿数、分度圆直径、齿顶圆直径和齿根圆直径。
解：)(cos 2)(21
2121z z m z z m a n t +=+=
β
968.0250
2)
9823(42)(cos 21=?+=+=
a z z m n β 得：螺旋角 β=°
端面模数 m t =m n /cos β=4/= 端面压力角 ?=?
?
==6.2053.14cos 20cos tg tg arctg
n t βαα 当量齿数 β
3
cos z
z v =
36.25968.023
cos 3
311===
βz z v 04.108968
.098
cos 3
22===
βz z v 分度圆直径（按端面参数计算） mm z m z m d n t 04.9523968
.04
cos 111=?===β
mm z m z m d n t 96.40498968
.04
cos 222=?==
=β 齿顶圆直径（按端面参数计算）
d a1=d 1+2h at *m t =+2×h an *×°×=103.04mm d a2=d 2+2h at *m=+2×h an *×°×=412.96mm 齿根圆直径（按端面参数计算）
d f1=d 1-2(h at *
+c t *
)m t =(1+ ×°×=85.04mm
d f2=d 2-2(h at *+c t *)m t =(1+ ×°×=394.96mm
4-6一对标准斜齿圆柱齿轮，已知传动比i=，法向模数m n =2mm ,中心距a=90mm ，初设螺旋角β=15°。试确定这对齿轮的实际螺旋角β和齿数，计算分度圆直径、齿顶圆直径、齿根圆直径和当量齿数。
解：因为传动比i=z 2/z 1= 则：z 2=
β
cos 2)(21z z m a n +=
93.86215cos 290cos 221=?
??=?=
+n m a z z β 即z 1+= z 1= z 2= 若取 z 1=20 则 z 2=70
βcos 2)(21z z m a n +=
190
2)
7020(22)(cos 21=?+?=+=a z z m n β
显然cos β不可能大于等于1
若取z 1=19，根据传动比i=，则 z 2=，显然齿数不能为小数，取z 2=67。 将z 1=19 则 z 2=67，代入上式得出实际β=°（在8°-20°之间）
mm m m n
t 093.2cos ==
β
h at *=h an *cos β c t *=c n *cos β 计算分度圆直径：mm z m d t 77.3911== mm z m d t 23.14022== 计算齿顶圆直径：d a1=d 1+2h at *m t =43.77mm d a2=d 2+2h at *m t =144.23mm 计算齿根圆直径 d f1=d 1-2(h at *+c t *)m=34.77mm d f2=d 2-2(h at *+c t *)m=135.23mm 计算当量齿数 8.21cos 311==
βz z v 8.76cos 32
2
==β
z z v 4-7有一对蜗杆蜗轮的参数为Z 1=1，Z 2=40，α=20°，h a *=1，C *=，m=5mm ，d 1=50mm 。试计算其几何尺寸和传动比。
解：分度圆直径：d 1=50mm d 2=mz 2=5×40=200mm
中心距： a=(d 1+d 2)/2=125mm
齿顶圆直径：d a1=d 1+2h a *m=50+2×1×5=60mm
d a2=d 2+2h a *m=200+2×1×5=210mm
齿根圆直径：d f1=d 1-2(h a *+c *)m=50-2×(1+×5=38
d f2=d 2-2(h a *+c *)m=200-2×(1+×5=188
蜗杆导程角：γ=arctg(z 1m/d 1)=arctg(1×5/50)=° 蜗轮螺旋角：β2=γ=°
传动比： i 12=z 2/z 1=40/1=40
第四章 齿轮机构
第四章齿轮机构 学时8 知识要点：本章重点讲解，内容较多，包含齿轮传动类型、渐开线性质、直齿参数计算、根切现象、变位齿轮、轮系计算，了解斜齿轮、蜗杆传动 §1概述 齿轮传动是精密机械中应用最广泛的传动机构。主要用途是： 1）传递任意两轴间的运动和转矩。 2）变换运动的方式：转动与移动相互转换。 3）变速——实现低速的相互转换。在机器中通常是用来实现减速，而在仪器仪表中，还常用于增速，以实现传动放大作用。 优点：传动比恒定，精度小；尺寸小，结构紧凑；效率高，寿命长。 缺点：制造和安装的精度要求高，费用比较昂贵。 §2齿廓啮合的基本定律 齿轮传动是主动轮轮齿的齿廓，依次推动从动轮轮齿的齿廓实现的。其基本要求是瞬时传动比应保持恒定。否则，当主动轮以等角速转动时，从动轮的角速度将发生变化，产生惯性力，从而影响齿轮的强度；同时还引起振动，影响齿轮的传动精度。 如图8-2的一对相互啮合的齿轮，主动轮1 以角速度ω1顺时针转动，从动轮2以角速度ω2 逆时针回转。齿廓C1、C2在任意点K接触，在 此点的线速度分别为υK1、υK2。υK2K1为两齿 廓接触点间的相对速度。 过K点作两齿廓C1、C2的公法线NN，两 齿廓连续接触传动，则υK1、υK2在NN上分速 度相等，否则两齿廓将会压坏或分离，即 1122 111 222 K K K K K K COS COS O K O K υαυα υω υω = =? =? 所以122 12 211 K K O KCOS i O KCOS ωα ωα == 过O1、O2分别作公法线NN的垂线，得交点
图8-1齿廓啮合基本定理 N 1、N 2，则2222K O KCOS O N α=，O1K 1111K O KCOS O N α=。 而△O 1PN 1∽△O 2PN 2，最后可得 1222122111O N O P i O N O P ωω=== 要使i 12为定值，则O 2P/O 1P 为常数。而O 1O 2 为定长，故P 点应为定点，即节点P 。 齿轮啮合基本定律：不论两齿轮在任何位置接触，过接触点（啮合点）的公法线必须与两齿轮的连心线交于一定点P 。 从理论上讲，用作共轭齿廓曲线很多，但从设计、制造、安装、互换性、使用上考虑，常用的有渐开线、摆线、修正摆线等。 目前，绝大多数用渐开线齿廓。 §3渐开线齿廓曲线 一、渐开线的形成及其性质 （一）渐开线的形成 如图8-3所示，当一直线NK 上任一点K 的轨迹AK 的基圆，其半径用r b 表示；直线角θk 称为渐开线AK 段的展角。 （二）渐开线的性质 1 N A NK = 2圆的切点N 转动，故发生线上K K 点速度方向应沿渐开线在K 相垂由直，此可知，发生线NK 所以渐开线的法线必与基圆相切。 3）发生线与基圆的切点N 是渐开线上K 点的曲率中心，而线段NK 为其曲率半径。渐 开线在基圆上A 点处的曲率半径等于零。 4）渐开线的形状取决于基圆的大小。如图8-4所示，基圆愈小，渐开线愈弯曲；基圆 愈大，渐开线愈平直，齿条的齿廓就是这种直线齿廓。
第4章齿轮传动—答案
课程名：机械设计基础 （第四章） 题型 计算题、作图题 考核点：齿轮机构的尺寸计算和齿轮啮合的特性 1. 已知一对外啮合正常齿制标准直齿圆柱齿轮m=3mm ，z1=19，z2=41，试计算这 对齿轮的分度圆直径、中心距。(6分) 解：两齿轮分度圆直径：d1=mz1=3×19=57mm d2=mz2=3×41=123mm 中心距：a=(d1+d2)/2=(57+123)/2=90mm 2.已知一对外啮合标准直齿圆柱齿轮的标准中心距a=160mm ，齿数z1=20,z2=60，求模数和分度圆直径。(6分) 解：由于a=m(z1+z2)/2 故模数m=2a/(z1+z2)=(2×160)/(20+60)=4mm 分度圆直径：d1=mz1＝4×20＝80mm d2=mz2=4×60=240mm 3.已知一正常齿制标准直齿圆柱齿轮的齿数z=25，齿顶圆直径Da=135mm ，求该齿轮的模数。（6分） 解：因正常齿制的齿顶高系数为1，Da=m(z+2)=135mm 该齿轮的模数 m=135/(z+2)=135/(25+2)=5mm *4 已知一正常齿制标准直齿圆柱齿轮α=20°，m=10mm,z=40，试分别求出分度圆、齿顶圆上渐开线齿廓的曲率半径和压力角。(10分) 解：1）分度圆直径：D=mz=10×40=400mm 压力角：α＝20° 分度圆上渐开线齿廓的曲率半径：mm d 4.6820sin 2 400sin 2=??==αρ 2）齿顶圆直径：Da=m(z+2)=10×(40+2)=420mm 基圆直径：Db=Dcos α=400×cos20=375.877mm 齿顶圆压力角：?===--5.26420 877.375cos cos 11 Da Db a α 齿顶圆上渐开线齿廓的曲率半径:mm Da a a 7.935.26sin 2420sin 2=?==αρ
第四章 齿 轮 机 构答案
第四章 齿 轮 机 构 4-1有一对使用日久磨损严重的标准齿轮需要修复。按磨损情况，拟将小齿轮报废，修复大齿轮，修复后的大齿轮的齿顶圆要减小8mm 。已知Z 1=24，Z 2=96，m=4mm ，α=20°，ha *=1及c *=0.25。试求这两个齿轮的几何尺寸。 解：根据题意要求中心距不变，修复大齿轮，即大齿轮负变位，小齿轮正变位。 根据大齿轮的磨损情况，通过对大齿轮进行负变位，把磨损部分切掉。 原齿轮2的齿顶圆直径为：mz 2+2h a *m=4×96+2×1×4=392 现齿轮2的齿顶圆直径为：d a2=392-8=384 齿轮负变位后：d a2=mz 2+2(h a *+x 2)m 即：114 29643842* 222-=-??-=--= a a h m mz d x 为了保持中心距不变，可对新设计的小齿轮进行正变位，x 1=-x 2=1 几何尺寸计算如下： 分度圆直径：d 1=mz 1=4×24=96mm d 2=mz 2=4×96=384mm 齿顶圆直径：d a1=mz 1+2(h a *+x 1)m=4×24+2×(1+1)×4=112mm d a2=mz 2+2(h a *+x 2)m=4×96+2×(1-1)×4=384mm 齿根圆直径：d f1=mz 1-2(h a *+c *-x 1)m=4×24-2×(1+0.25-1)×4=94mm d f2=mz 2-2(h a *+c *-x 2)m=4×96-2×(1+0.25+1)×4=366mm 4-2 已知一对外啮合变位齿轮的齿数Z 1=10，Z 2=12，ha *=1，C *=0.25，α=20°，m=10mm ，求相应的最小变位系数，计算两轮的齿顶圆直径d a 。 （inv 26.985°=0.038264，inv20°=0.014904） 解：因为两齿轮的齿数都小于不产生根切的最小齿数（z min =17），故应采用正变位，最小变位系数为 x 1=(17-z 1)/17=(17-10)/17=0.412 x 2=(17-z 2)/17=(17-12)/17=0.294 038264.02012 1020)294.0412.0(2tan )(22121=?++? +=+++= 'inv tg inv z z x x inv ααα 得：?='985.26α ααcos cos a a ='' 其中a=m(z 1+z 2)/2=10(10+12)/2=110 得：995.115985.26cos 20cos 110cos cos =? ? ?='='ααa a 中心距变动系数 5995.010110 995.115=-=-'=m a a y 齿高变动系数 △y=x 1+x 2-y=0.412+0.294-0.5995=0.1065
第4章 齿轮机构
第4章齿轮机构 4.4 课后习题 4-1 已知一对外啮合正常齿制标准直齿圆柱齿轮，，，试计算这对齿轮的分圆直径、齿顶高、齿根高、顶隙、中心距、齿顶圆直径、齿根圆直径、基圆直径、齿距、齿厚和齿槽宽. 4-2 已知一对外啮合标准直齿圆柱齿轮的标准中心距，齿数，，求模数和分度圆直径。 4-4 已知一正常齿制标准直齿圆柱齿轮，，，试分别求出分度圆、基圆、齿顶圆上渐开线齿廓的曲率半径和压力角。 4-5 试比较正常齿制渐开线标准直齿圆柱齿轮的基圆和齿根圆，在什么条件下基圆大于齿根圆？什么 条件下基圆小于齿根圆？ 4-6 已知一对内啮合正常齿制标准直齿圆柱齿轮，，，试参照教材图 4-1b，计算该对齿轮的中心距和内齿轮的分度圆直径、齿顶圆直径和齿根圆直径。 4-7 根据教材图4-15b证明：正常齿制标准渐开线直齿圆柱齿轮用齿条刀具加工时，不产生根切的最 小齿数。并求短齿制标准渐开线直齿圆柱齿轮用齿条刀具加工时的最少齿数。 4-8 如图所示，用卡尺跨三个齿测量渐开线直齿圆柱齿轮的公法线长度，试证明：只要保证卡脚与渐 开线相切，无论切于何处，测量结果均相同，其值为（注：和分别表示基圆齿距 和基圆齿厚） 4-9 试根据渐开线特性说明一对模数相等，压力角相等，但齿数不等的渐开线标准直齿圆柱齿轮，其 分度圆齿厚、齿顶圆齿厚和齿根圆齿厚是否相等，哪一个较大。 4-10 试与标准齿轮比较，说明正变位直齿圆柱齿轮的下列参数：、、、、、、 、、、，哪些不变，哪些起了变化，变大还是变小。 4-11 已知一对正常齿渐开线标准斜齿轮柱齿轮，，，，试计算其螺旋角、端面模数、端面压力角、当量齿数、分度圆直径、齿顶圆直径和齿根圆直径。 4-12 试设计一对外啮合圆柱齿轮，已知，，，实际中心距为，问 （1）该对齿轮能否采用标准直齿圆柱齿轮传动？ （2）若采用标准斜齿圆柱齿轮传动来满足中心距要求，其分度圆螺旋角、分度圆直径、和 节圆直径、各为若干？ 4-13 试求和的正常齿渐开线标准斜齿圆柱齿轮的不根切最小齿数。 4-14 已知一对等顶隙收缩齿渐开线标准直齿圆锥齿轮的，，，